Departamento de Física y electrónica INFORME DE LABORATORIO

PÉNDULO SIMPLE

C. Genes, J SalcedoDepartamento de Física y Electrónica

Facultad de Ciencias Básica e ingenieríaPrograma de Física

RESUMEN

Un péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) se define en Física como un punto material (de masa m) suspendido de un hilo (de longitud L y masa despreciable) en el campo de la gravedad de la tierra o x planeta con campo gravitacional constante. Cuando se hace oscilar la masa, desplazando de modo que el hilo forme un ángulo muy pequeño con la vertical (esto es Θ<15 °), describe aproximadamente un movimiento armónico simple. Es decir las oscilaciones efectuados por el péndulo, el cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. En este experimento se verificara que el periodo del péndulo simple depende la longitud de la cuerda y del campo gravitatorio que en este caso es el de la tierra.[4]

Palabras claves: M.A.S, periodo, oscilación

ABSTRACT

a simple pendulum (also called or mathematical pendulum or ideal pendulum) as defined in physics material point (mass m) hanging by a thread (of length L and negligible mass) in the gravity field of the earth ox planet with constant gravitational field. When the mass is oscillated by moving the thread so that it forms a very small angle with the vertical (this is Θ<15 °), describes approximately simple harmonic motion. I mean oscillations made by the pendulum swings from one body to the other side of its equilibrium position in a certain direction, and at equal intervals of time. In this experiment verify that the period of the simple pendulum depends on the length of the string and the gravitational field in this case is that of the earth.[4]

Keywords: M.A.S, period, oscillation

TEORÍA RELACIONADA

El péndulo simple es un ejemplo del movimiento armónico simple. Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por una cuerda de la longitud L y de masa despreciable (figura 1). Si la partícula se lleva a la posición A de modo que la cuerda haga un ánguloΘ con la vertical OC , y luego se suelta, el péndulo oscilara entre A y la posición simétrica A’.[1]

Figura 1. Movimiento oscilatorio del péndulo.

Un péndulo simple consta de una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. cuando la lenteja se deja en libertad desde un ángulo ϕ0 con la vertical, oscila a un lado y a otro con un periodo T.

Las fuerzas que actúan en la lenteja son su peso (mg) y la T de la cuerda (figura 2). Cuando la cuerda forma un ángulo ϕ con la vertical, el peso tiene las componentes mg cos ϕ a lo largo de la cuerda y mg sen ϕ tangencial al arco circular en el sentido de ϕ decreciente. En donde ϕ se mide en radianes Para la

componente tangencial, la segunda ley de Newton (∑ F t=ma t

) nos da.

Figura 2. Fuerza sobre la lenteja de un péndulo.

−mg sen ϕ=md2 sd t2 (1)

En donde la longitud del arco s está relacionada con el ángulo ϕ mediante s=Lϕ. Derivando dos veces con respecto del tiempo ambos lados de la expresión se obtiene

d2 sd t 2 =

d2 ϕd t 2

Sustituyendo en la ecuación (2) L d2 ϕ/ d t 2 por d2 s /d t2 se obtiene

d2 ϕd t 2 =−g

Lsenϕ (3)

Obsérvese que la masa m no aprese en la ecuación (3), es decir, el movimiento de un péndulo no depende de su masa. Para valores de pequeños de ϕ, senϕ=ϕ y

d2 ϕd t 2 =−g

Lϕ(4)

De la ecuación (4) es de la misma forma que la ecuación

( d2 xd t 2 =−k

mx )

Para un objeto ligado a un muelle. El movimiento de un péndulo es, por lo tanto, aproximadamente armónico simple, para pequeños desplazamientos angulares.

La ecuación (4) también puede escribirse en la forma

d2 ϕd t 2 =−ω2 ϕ (5 )

Donde ω2= gL

.

Y ωes la frecuencia angular –no la velocidad angular- del movimiento del péndulo. En consecuencia, el periodo es

T=2 πω

=2 π √ Lg(6)

De acuerdo con la ecuación (6), cuanto mayor sea la longitud del péndulo, mayor es el periodo. [2]

Entonces una relación que represente el periodo de oscilación de un péndulo simple está dada por la ecuación (6) para cuando el ángulo inicial sea menor de 15° (θ ≤ 15°). Para oscilaciones mayores la relación exacta para el periodo no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie (Para θ>15 °)

T=4 √ Lg

k (senθ0

2 )=4√ Lg∫0

π2

dθ

√1−se n2 θ0

2se n2θ

Donde θ0 es la amplitud angula máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en la serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil.

T=2 π √ Lg (1+ 12

22 sen2 θ2+ 12 32

22 42 se n4 θ2+…)(7)

MATERIALES UTILIZADOS

Los materiales utilizados en la práctica fueron:

Materiales Referencia Cantidad

Barra compacta P11207 1

Fuente de poder de 5v P11076.93 1

Balín con ojete de diferentes diámetros

P02466.01 2

Regla milimetrada P03001.00 1

2

Péndulo simple por C. genes, J Salcedo

1000mm

Cursores 1 par P02201.00 1

Pinzas en ángulos rectos

P02040.55 2

Varilla cuadrada 1250 mm

P02029.55 1

Base triangular P02002.55 1

Pasador P03949.00 1

Sedal de 1m ……….. 1

MONTAJE Y PROCEDIMIENTO

Para el logro de la realización de la práctica, Péndulo simple, se realizó el montaje de la ver figura 3.

Figura 3. Péndulo simple un péndulo.

1] primero se tomó los materiales a utilizar y se armó el péndulo simple como lo muestra a figura 3.

2] Luego para una longitud fija de la cuerda de 44,30cm, se tomó un Balín metálicas de masa 8,55gr y radio 0,62 cm se ató al extremo de la cuerda colgante, a continuación esta masa se puso a oscilar y por medio del cronometro digital debido a la fuente de poder y el cursor, se anotaron los apuntes correspondiente del periodo de cada oscilación.

3] Con base a lo realizado anteriormente se cambio el Balín de masa 8.55gr por 66.35gr con radio 1,27 cm y se realizó el proceso experimental anterior.

4] En esta parte experimental se realizó la parte 2 y 3 pero esta vez la longitud de la cuerda fue de 80cm y las masas del péndulo simple fueron de 40gr y 60gr.

5] En este proceso experimental consistió en cambiar la longitud de la cuerda y se ató la masa o Balín de 8,55gr estando está fija, se determinó el periodo de oscilación para cada longitud de cuerda.

ANALISIS Y RESULTADOS

De acuerdo a la realización de la práctica del péndulo simple, los datos obtenidos fueron.

1] Con relación al proceso experimental 2, se obtuvo la siguiente tabla.

Periodo T± ∆ T 1,336±0,0005Masa M(gr) 8,55±

Tabla 1. Periodo de oscilación del péndulo simple para una masa de 8,55gr.

2] Con relación a la parte 3 del proceso experimental, se obtuvieron los siguientes datos mostrados a continuación

Periodo (T± ∆ T )s 1.337 ±0,000Masa M(gr) 66,35 ±

Tabla 2. Periodo de oscilación del péndulo simple para una masa de 66,35gr.

3] Con relación a la parte 4 del proceso experimental, se obtuvieron los siguientes datos

Periodo (T± ∆ T )s 1.783 ±0,001Masa M(gr) 40 ±

Tabla 3. Periodo de oscilación del péndulo simple para una masa de 40gr

Periodo (T± ∆ T )s 1,782±0,001Masa M(gr) 60 ±

Tabla 4. Periodo de oscilación del péndulo simple para una masa de 40gr.

Para la tabla 1 y 2 la grafica obtenida es

3

Gráfica 1. Periodo del péndulo simple respecto a la masa para una misma longitud de cuerda (44,30cm)

La gráfica anterior fue realizada en el programa origin 6.1 note que la regresión de mejor ajuste es lineal y es

Y=1.335+1.7301 E−5 ∙ X 8Donde X es la masa en gramos y Y es el periodo en segundos, note que la pendiente de la ecuación 8 es del orden de 1 ∙10−5 , esta cantidad comparada con el intercepto de la misma ecuación (1.335) es muy pequeña, dado que X es la masa, note que X está limitado hasta cierto valor, la expresión 1.7301E-5 X será pequeña siempre con respecto al intercepto, dado que si X es muy grande entonces de acuerdo a la expresión 8, el periodo se va ver afectado por la masa oscilante del péndulo simple causando un movimiento no armónico simple, pero en la gráfica 1 se puede observar que el periodo de oscilación del péndulo es siempre el mismo a un cuando se vario la masa de 8,55gr a 66,35 gr, esto quiere decir que el periodo de oscilación de la masa de dicho péndulo simple no se es afectado por la masa. Acudiendo a la teoría relacionada, note que la expresión 6 del periodo del péndulo depende solo de la longitud de la cuerda L y de la gravedad g, por tanto el periodo no se ve dependiente de la masa del péndulo y es por esto que la gráfica 1 es una línea recta paralela respecto a eje x, si esto es así, entonces la pendiente de la ecuación 8 es cero, y 1.7301E-5 X ≈ 0 ,luego la ecuación estaría dado por Y=periodo del péndulo simple=1.335 s.

Con relación a la tabla 3 y 4 la gráfica obtenida es

Gráfica 2. Periodo del péndulo simple respecto a la masa para una misma longitud de cuerda (80cm)

De La gráfica anterior se puede decir que el periodo del péndulo simple se es el mismo para la masa de 40gr y 60 gr, ya que la gráfica es una línea recta paralela respecto al eje del periodo, note que la regresión obtenida es de forma lineal igual Y=1.785+5 E−5 ∙ X ,esto nos permite utilizar los mismos análisis hechos de la gráfica 1, entonces de acuerdo a esos análisis se puede decir que 5 E−5 ∙ X ≈ 0, y si lo anterior se cumple, entonces el periodo del péndulo simple sin importar la masa (pero está limitada, ver análisis de la grafica 1) tenemos que el periodo Y=periodo del pendulo simple=1,785 s, si acudimos a la teoría relacionada tenemos que lo dicho anteriormente se refleja en la ecuación 6 del periodo del péndulo simple.

5] De acuerdo al proceso experimental 5, los resultado obtenidos o tomados durante el proceso se muestra en la siguiente tabla.

Longitud ( l ± ∆ l )cm Periodo (T ± ∆ T ) cm44,3± 0,1 1,337±0,00050,0± 0,1 1.427±0,001760,0± 0,1 1,560±0,000470,0± 0,1 1,687±0,000

Tabla 5. Periodo de oscilación de la masa del péndulo simple para diferentes longitudes de la cuerda.

La gráfica efectuada con relación a los datos experimentales de la tabla anterior es

4

Péndulo simple por C. genes, J Salcedo

Gráfica 3. Periodo del péndulo simple respecto a la longitud de la cuerda para una masa de 8,55gr.

En la gráfica anterior se tiene el comportamiento del periodo del péndulo simple cuando la longitud de la cuerda se varía para una masa constante. La regresión de mejor ajuste es potencia y es

Y=0,197 X0,505 9Con base a la expresión anterior del periodo T(s)=Y y la longitud de la cuerda X (cm), tenemos que existe de cierto modo una proporcionalidad entre el periodo y la longitud de la cuerda , dado que si incrementamos la longitud la cuerda el periodo también lo hace y eso se puede observar en la tabla 3, acudiendo a la teoría relacionada, la ecuación 6 del periodo del

péndulo simple esta denotada por T=2 π √ Lg

donde T α √L,

es decir el periodo T es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda L, y esto se refleja en la gráfica 3 cuya gráfica es una función radical debido a que el exponen de X de

la ecuación 9 es ≈12

, entonces se puede decir que el resultado

experimental de la gráfica 3 también corrobora a la teoría ya descrita

CUESTIONES Y RESPUESTAS:

1] Con los datos tomados del proceso experimental 5, realice la grafica de T en función del la √ l ¿Qué tipo de grafica obtiene y qué relación existe entre el periodo y la longitud de la cuerda del péndulo?

R// Con base a la tabla 5 graficaremos T vs √ l, la grafica obtenida es

Gráfica 4. Periodo del péndulo simple respecto a la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda para una masa de 8,55gr.

La gráfica que se obtiene es una línea recta, es decir el periodo varia directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda del péndulo

2] calcule la pendiente de la grafica anterior. Que magnitud física puede calcula a partir de este valor. Calcúlela. Compare la magnitud fisca encontrada con el valor teórico reportado en la literatura.

R// de acuerdo a la regresión lineal obtenida en la gráfica 4 tenemos que Y=−0,017+0,203 X , donde Y es el periodo del péndulo simple y X en la √ l, luego tenemos que la pendiente de la regresión es m=0,203

Para saber que unidades tienes comparemos la regresión obtenida con la ecuación 6 de la teoría relacionada

Esto es T=2 π √ lg=2 π

√g√ l, note que la gráfica 4 es una línea

recta debido a que se gráfico T vs la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda. A nivel teórico para obtener una línea recta al graficar T vsl es tomas la ecuación 6 y elevar al cuadrado a la raíz cuadrada de l ,esto es

T=2 π

√g(√l )2=2π

√gl

Entonces T=2 π

√gl , esta ecuación la podemos relacionar con la

regresión de la gráfica 4, debido a que ambas corresponden a una gráfica lineal del periodo con relación a la longitud de la cuerda, entonces relacionando ambas ecuaciones tenemos que

2 π

√gl=−0,017+0,203 X 10

5

Se puede decir que −0,017 ≈ 0 por tanto

2 π

√gl=0,203 lcon X=l

Luego tenemos que si X=l, entonces 2 π

√g≈ 0,203 por tanto

la pendiente de la regresión corresponde a

2 π

√g≈ 0,203

Una magnitud Física que podemos encontrar es la gravedad de la tierra, encontrando este valor tenemos que

[ 2 π0,203 ]

2

≈ g=958,009 cm /s2=9,58009 m /s2

Comparando este valor con el de la teoría relacionada, tenemos que el campo gravitacional de la tierra es 9,81 m /s2 por tanto

9,81 m /s2≈ 9,58009 m/ s2

Note que se puede decir que existen errores en el valor de la gravedad obtenido experimentalmente, pero eso se debe más que todo a que este experimento no se realizó en el vacio donde no “hay fricción”.

3] ¿esperaba el resultado anterior? Si o no, ¿Por qué?

R// Si se esperaba este resultado ya que la ecuación 6 al graficar T vs la longitud de la cuerda la pendiente correspondería implícitamente a la gravedad de la tierra, dado que el péndulo simple efectúa un movimiento amónico simple para pequeños ángulos de oscilación, esto es debido a una fuerza recuperadora que para este caso está dado por el campo gravitacional de la tierra.

4] para el proceso experimental 1,2,3, y 4. Realice la gráfica de T en función de la Masa ¿Qué tipo de gráfica obtiene y que pude decir acerca la relación entre de T y M?.

R// ver grafica 1 y grafica 2 y los análisis efectuados en estas graficas.

5] Según los resultado experimentales ¿depende el periodo de oscilación de un péndulo de su masa? sí o no ¿Por qué?

R// con base a la grafica 1 gráfica 2 el periodo no depende de la masa del péndulo simple porque si acudimos a la teoría, la ecuación 6 no tiene relacionada la masa, por tanto si se intenta graficar T vs M, entonces se obtendrá una gráfica paralela con relación al eje x o eje de las Masas, esto implica que la pendiente de la regresión obtenida es cero por tanto el periodo dependería del intercepto de la regresión obtenida (ver regresión de la gráfica 1 y 2, note que las regresiones obtenidas son lineales con intercepto A y pendiente B).

6] ¿Qué condiciones debe cumplir el sistema de la figura 3 para ser considerado con un péndulo simple?

R// Para considerarlo péndulo simple este debe cumplir que su movimiento es M.A.S, es decir que el ángulo con que oscila la masa debe ser menor igual a 15°. La longitud de la cuerda debe ser inextensible con masa despreciable. La masa oscilante del péndulo simple debe no puede ser muy grande comparada con la longitud de la cuerda. La masa del péndulo simple está limitada ya que si la masa es muy grande entonces el movimiento del péndulo simple no sería armónico simple si no un movimiento amortiguado debido a la fricción con el medio.

7] EL periodo de este sistema, depende de la amplitud angular y del radio de los balines.

R// En cuanto a la amplitud angular tenemos que la ecuación 6 de la teoría relacionada se dedujo para pequeñas oscilaciones, y la expresión 7 se dedujo para grandes oscilaciones, en cuanto al radio de la esfera tenemos si el radio de la esfera o balines son muy grandes el movimiento de péndulo no seria armónico por que habría mucha fricción con el medio por tanto el movimiento como se había mencionado antes sería un movimiento amortiguado.

8] Menciones algunas aplicaciones del péndulo simple en la vida diaria.

R// En los relojes de pared que tiene un péndulo colgante, o más bien una aplicación del péndulo simple fue la invención del los relojes, sirve para determinar la magnitud del campo gravitacional de la tierra en diferentes puntos de la tierra y otras aplicaciones más como en la música.

9] ¿Que posibles errores cometidos en la elaboración del laboratorio, como los corregiría?

R// Bueno los errores cometidos fueron pocos como el medio donde se realizó el experimento (ya que no es en el vacio), podemos decir que la presencia de fricción contribuye a que se cometan errores significante.

Estos errores lo podemos corregir si se utilizara un péndulo sensible se decir con la esfera oscilante del péndulo de diámetro quizás de ≈ 5 mm y una longitud de la cuerda también sensible a dicha masa, estas consideraciones nos permite a disminuir a fricción del medio para la realización del experimento.

Conclusiones

De los resultados obtenidos en la grafica 1 y 2, se puede decir que esta corrobora a la teoría relacionada dado que el periodo de oscilación del péndulo simple no depende de la masa, pero se había referenciado que esta independencia está limitada dado que si la masa del péndulo es demasiado grande entonces el movimiento de oscilatoria no sería armónico.

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Péndulo simple por C. genes, J Salcedo

Con relación a la gráfica 3 de los resultados o la gráfica 4 de las preguntas relacionadas, se puede observar como es la dependencia del periodo del péndulo simple son relación a la longitud de la cuerda, entonces de esto se concluye que el periodo del péndulo simple depende de cuanta longitud tenga la cuerda, si la longitud de la cuerda es muy larga entonces el tiempo trascurrido en realizar el péndulo una oscilación es grande con relación a un péndulo simple que tiene una longitud de cuerda corta (hasta cierto punto).

Con base a la pregunta 2 de las preguntas y respuestas se puede decir que la realización de la práctica del péndulo simple es importante porque se puede determinar el valor del campo gravitatorio del la tierra en cualquier parte de la tierra

REFERENCIAS

[1] Alonso M., Finn E. 1976-1970, Mecánica vol. 1. Ed. por Fondo Educativo Interamericano S.A., México.pag. (366).

[2] Paul A. Tipler, 2001, Física para la ciencia y la tecnología, Volumen I, Cuarta edición, EditorialReverté, S.A. España, Pág. (408-410).

[3] Armando Villamizar. Actualización: Jesús Cortes Sprockel. Información: Irma Toro Castaño. Consultor estudiantil: Péndulo Simple. 2005. Bogotá: FaridEstefenn Uribe. 2005.

[4]http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/rdelgado/docencia/FISICA_ITI/PRACTICAS/Pendulo-Simp.pdf

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