Sesion 7 lgebraConceptos bsicos

Productos notables

Factorizacin

Fracciones algebraicas

lgebraRama de las matemticas que trata a las cantidades de manera general.

Expresiones algebraicas Se conoce as a la combinacin de nmeros reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades, mediante operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin, etctera.

Ejemplos 3a + 2b 5, en esta expresin son constantes 3, 2, 5 y las variables son a y b.

(z2 + 8)(5z4 7), en esta expresin son constantes 8, 5 y 7, variable z y 2, 4 exponentes.

Trmino algebraico. Es un sumando de una expresin algebraica y representa una cantidad. A todo trmino algebraico se le denomina monomio y consta de: coeciente, base(s) y exponente(s).

Trminos Semejantes

Dos o ms trminos son semejantes cuando los mismos exponentesafectan a las mismas bases. Ejemplos Los siguientes trminos tienen lasmismas bases con sus respectivos exponentes iguales, por ejemplos.

7b con 4b

8x2y3 con 7x2y3

16 abc2 con abc2

Reduccin de trminos semejantes Para simplicar expresiones que involucren trminos semejantes, se suman o restan los coecientes.

Ejercicios

Valor numrico

El valor numrico de una expresin algebraica se obtiene al sustituir a las literales o letras con sus respectivos valores numricos y entonces se realizan las operaciones indicadas.

Lenguaje algebraico:Expresa oraciones de lenguaje comn en trminos algebraicos.

Polinomios

Expresin algebraica que consta de varios trminos algebraicos.

Suma

En la suma los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los trminos semejantes.

5x3 3x2 6x 4; 8x3 + 2x2 3; 7x2 9x +1.

Resta

En esta operacin es importanteidenticar el minuendo y elsustraendo, para posteriormenterealizar la reduccin de trminossemejantes.

Multiplicacin

Monomio por monomioAl multiplicar monomios,primero se multiplican loscoecientes y despus lasbases.

Polinomio por monomio

Se multiplica cada unode los trminos delpolinomio por elmonomio o viceversa

Polinomio por polinomio

Divisin

Productos notables

Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sinnecesidad de efectuar el producto.

Cuadrado de un binomio

El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual alcuadrado del primer trmino, ms el doble producto del primertrmino por el segundo, ms el cuadrado del segundo; esta reglageneral se expresa con la frmula:

( + )2= 2 + 2 + 2

Cuadrado de un trinomio

El desarrollo de la expresin: (a + b + c)2 es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los trminos, ms los dobles productos de las combinaciones entre ellos:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Binomios conjugados

Son de la forma (a + b)(a b)y su resultado es ladiferencia de los cuadradosde ambas cantidades, comose ilustra en la frmula:

(a + b)(a b) = a2 b2

Binomios con trmino comn

Son de la forma (x + a) (x + b), suresultado es un trinomio cuyodesarrollo es el cuadrado deltrmino comn, ms la suma de lostrminos no comunes por eltrmino comn, ms el producto delos no comunes.

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Cubo de un binomio

Es de la forma (a + b)3, su desarrolloes un polinomio de cuatro trminosal que se llama cubo perfecto y sudesarrollo es el cubo del primertrmino, ms el triple producto delcuadrado del primero por elsegundo, ms el triple producto delprimero por el cuadrado delsegundo, ms el cubo del segundo.(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

Factorizacin

Factorizar es expresar una suma o diferencia de trminos como el producto indicado de sus factores; stos se presentan en la forma ms simple.

Factor comn

Es la expresin comn que tienen todos los trminos de una expresin algebraica.

Fracciones algebraicas

Una fraccin algebraica contiene literales y se simplica al factorizar al numerador y al denominador y al dividir aquellos factores que se encuentren en ambas posiciones.

Suma y resta de fracciones algebraicas

Multiplicacin de fracciones algebraicas

Divisin de fracciones algebraicas

Sesin 8: lgebra

Ecuaciones de primer grado

Sistemas de ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de segundo grado

Conceptos generales

Igualdad. Dos cantidades son iguales o equivalentes cuando tienen el mismo valor.

Ecuacin. Una ecuacin es una igualdad con una o varias incgnitas que se representan con letras. Las ecuaciones pueden ser frmulas que se utilizan para encontrar una magnitud.

Solucin de una ecuacin. La solucin o soluciones de una ecuacin son los valores que hacen que la igualdad se cumpla.

Grado de una ecuacin. El grado de una ecuacin se obtiene del trmino de mayor grado que contenga a la(s) incgnita(s).

Ecuaciones de primer grado con una incgnita

Ecuaciones que se resuelvenmediante la aplicacin deecuaciones equivalentes conoperaciones elementales (suma,resta, multiplicacin o divisin) aambos miembros de la ecuacin,hasta obtener el valor de laincgnita.

Sistemas de ecuaciones de primer gradoEcuacin lineal

Una ecuacin de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C sonconstantes reales tales que A y B no son cero, recibe el nombre delineal.

Solucin de una ecuacin lineal Una ecuacin lineal tiene comoconjunto solucin todos los pares ordenados (x, y), que satisfacen laecuacin, donde x y y son nmeros reales.

La grca de una ecuacin lineal Ax + By + C = 0, es una recta que forman los puntos de su conjunto solucin.

Cul es la grca de la ecuacin 2x 3y + 7 = 0?

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables

Se ha visto que el conjunto solucin de la ecuacin Ax + By + C = 0, sontodos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuacin. En unsistema de dos ecuaciones con dos variables, que tiene la forma

Cada ecuacin representa una recta en el plano, entonces, se pueden presentar tres casos:

I. Las rectas se intersecan en un punto. Las rectas slo coinciden en un punto, por tanto, se dice que el sistema tiene una solucin.

II. Las rectas son coincidentes. Dos ecuaciones representan rectas coincidentes si al multiplicar una de ellas por un nmero real k, se obtiene la otra.

III. L as rectas son paralelas. En este caso, las rectas no tienen ningn punto en comn, por tanto, el sistema no tiene solucin.

Mtodos de solucin

Reduccin (suma y resta) Este mtodo consiste en multiplicar las ecuacionesdadas por algn nmero, de tal forma que al sumar las ecuaciones equivalentesque resultan, una de las variables se elimina para obtener una ecuacin con unaincgnita, y al resolverla se determina su valor, para posteriormente sustituirla enalguna de las ecuaciones originales y as obtener el valor de la otra incgnita.

Sustitucin Este mtodo consiste en despejar una de las variables de cualquierade las dos ecuaciones y sustituir dicho despeje en la ecuacin restante, as resultauna ecuacin de primer grado, la cual se resuelve para obtener el valor de una delas variables. Este primer valor se sustituye en el despeje para determinar el valorde la variable que falta.

Igualacin En este mtodo se elige una variable, la cual se despeja de ambasecuaciones, los despejes se igualan y se resuelve la ecuacin de primer grado queresulta. Por ltimo, el valor que se obtiene se sustituye en cualquiera de losdespejes para hallar el otro valor.

Ecuaciones de segundo grado

Denicin

La ecuacin de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c R y a 0, es unaecuacin de segundo grado; al trmino ax2 se le llama cuadrtico, a bxlineal, c es el trmino independiente y se clasican de la siguienteforma:

Solucin de la ecuacin de segundo grado

Discriminante

2 4

2

2 4 si >0 soluciones distintas

si = 0 soluciones iguales

si

Sesin 9: Algebra

Grafica de ecuaciones lineales

Grafica de ecuaciones logartmicas

Grafica de ecuaciones parablicas

Grafica de ecuaciones exponenciales

Sesion 10: lgebra

Progresiones

Sumatorias

Factorial