LA MEDIDA

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Vectoriales

MAGNITUDES

INSTRUMENTOS DE MEDIDA

ERRORES EN LA MEDIDA

UNIDADES SI

Escalares

Fundamentales

Derivadas Múltiplos

Submúltiplos

Sensibilidad

Precisión

Error absoluto

Error relativo

1UNIDAD

Desde la Antigüedad, el ser humano ha tenido la nece-sidad de medir distintos fenómenos de la naturaleza y algunos elementos de su entorno.Las primeras mediciones están relacionadas con la caza y la recolección; con la necesidad de informar al resto del grupo de la distancia a la que se encontraba la pre-sa. También era importante conocer la mejor época de siembra o de recolección; a partir de ello, surgió el ca-lendario, cuya unidad de medida era el día.Con la aparición de las primeras actividades mercantiles, el ser humano tuvo que aprender a medir el grano de las cosechas y los líquidos, como el aceite o el vino, para cuantifi car los bienes que se intercambiaban o se vendían.Posteriormente, apareció la necesidad de delimitar las distancias (por ejemplo, el Nilo borraba todas las lindes

de los terrenos en su desbordamiento anual) y estable-cer unas medidas de longitud. Las distancias largas co-menzaron a medirse en unidades de tiempo (días de viaje a pie o a caballo) y para las cortas se tomaba como referencia el cuerpo humano (el pie, la palma, etc.).Otras medidas que hoy pueden parecernos muy anti-guas, como la de la temperatura o la de la energía, sólo se han defi nido en los dos o tres últimos siglos, y aún no se han generalizado para todo el mundo.En esta unidad vamos a conocer cómo el ser humano ha convertido la medida en un compañero fi el en su relación con los objetos y los fenómenos que le rodean, y cómo la precisión en ello es uno de los retos pendien-tes de los científi cos en su afán por construir instrumen-tos de medición cada vez más precisos.

LA MEDIDA

SUMARIO

▶ Contenido

Magnitudes

Unidades de medida de las magnitudes

Ecuaciones de dimensión

Representaciones gráfi cas

Instrumentos de medida. Sensibilidad y precisión

Errores en la medida

▶ Trabajo de investigación

▶ Grandes hitos en la historia de la ciencia

▶ Ciencia, tecnología y sociedad

▶ Autoevaluación

UNIDAD 1

[ � ]

1. Magnitudes

Un objeto posee una serie de propiedades, como el color, el olor, la belleza, etc., que no pueden medirse. Sin embargo, cuenta con otras, como la longitud, el peso, el volumen o la densidad que sí son medibles, y a las que denominamos magnitudes físicas.

Una magnitud es la propiedad física de un cuerpo que puede medirse. Para establecer las dimensiones de una magnitud, hay que compararla con otra que tomamos de referencia, y a la que denominamos unidad. Las unidades de medida de las diferentes magnitudes han sido establecidas por la comunidad científica, y son aceptadas por la mayoría de la población mundial.

Para expresar una magnitud, hay que indicar la can-tidad de unidades que contiene. A cada magnitud le corresponde una unidad y debe expresarse con un número y con la unidad correspondiente utilizada. Por ejemplo, un chico mide 1,�4 m; estamos dando el valor de la altura (la magnitud que estamos midiendo), que en este caso es 1,�4 veces la unidad de medida que estamos usando como referencia, en este caso el metro.

A lo largo de la historia, y dependiendo de las zonas geográficas, se han utilizado distintos tipos de unidades para medir una misma magnitud. Actualmente, en la mayoría de los paí-ses se utiliza el sistema internacional de unidades.

1.1 Tipos de magnitudes

La comunidad científica considera que existen unas determinadas magnitudes primarias, las magnitudes fundamentales, y otras que se obtienen a partir de ellas, las magnitudes derivadas.

Así, por ejemplo, si comparamos la magnitud longitud y la magnitud superficie, vemos que la unidad de medida de la longitud, que es el metro, se utiliza también para expresar la superficie, por medio de elevar al cuadrado la unidad de longitud. Es decir, que la superficie es el producto de dos longitudes.

Las diferentes partes del cuerpo han sido utilizadas desde la Anti­güedad como unidades de longitud. El homo ad quadratum de Leo­nardo da Vinci es una muestra de cómo el ser humano es la medida de todas las cosas.

Lord Kelvin

«Si puedes medir aquello de lo que estás hablando y expresarlo con números, sabes algo sobre ello.

Pero si no puedes medirlo, si no puedes expresarlo en números, tu conocimiento es bien magro e insa­tisfactorio».

LA MEDIDA

[ � ]

1.1.1 Magnitudes fundamentales y derivadas

Las magnitudes fundamentales son comunes para todos los cuerpos y se escogen arbitrariamente como tales y no se definen en función de ninguna otra. Son magnitudes fundamentales la longitud (l), la masa (m) y el tiempo (t), la intensidad de corrien-te eléctrica (A), la cantidad de sustancia (mol), etc.

Las magnitudes derivadas se obtienen a partir de las magnitudes fundamentales, median-te ecuaciones matemáticas. Son magnitudes derivadas la velocidad y la fuerza.

sistema internacional de unidades

magnitud unidad

longitud metro

masa kilogramo

tiempo segundo

intensidad de corriente eléctrica amperio

temperatura termodinámica kelvin

cantidad de sustancia mol

intensidad luminosa candela

Tabla de magnitudes fundamentales.

1.1.2 Magnitudes escalares y vectoriales

Las magnitudes escalares están definidas con un número real y la unidad correspondiente. Observa los ejemplos siguientes:

medida de la masa de un cuerpo 6 kg

medida de la longitud de una tabla 5 m

medida de la superficie de un terreno � km2

temperatura de un cuerpo 10 K

trabajo realizado por una máquina 102 J

energía liberada 43 J

Las magnitudes vectoriales se definen por un número real, una unidad, un punto de aplicación, una dirección y un sentido.

Las magnitudes vectoriales son fundamentales en física, pues permiten medir la velocidad de un cuerpo, su desplazamiento y su aceleración. También podemos conocer la fuer-za que aplicamos sobre un cuerpo o calcular la intensidad de un campo eléctrico. Para expresar las magnitudes de velocidad, aceleración, fuerza, etc., debemos emplear una herramienta matemática: el vector.

Un vector viene determinado por un punto de aplicación A (origen) un extremo B, un valor nu­mérico (módulo), una recta que lo contiene (direc­ción) y un sentido (que indica la flecha). Para de­signar un vector se utiliza una letra negrita; por ejemplo, a o una flecha, a→.

EJEMPLO

velocidad = longitudtiempo

fuerza = masa · longitudtiempo2

UNIDAD 1

[ 10 ]

Un vector es un segmento orientado en el espacio, definido por:

– Módulo: es la longitud del vector.– Dirección: es la recta en la que se encuentra el segmento.– Sentido: que se determina con la dirección de la flecha.

2. Unidades de medida de las magnitudes

2.1 Unidades fundamentales SI

Como hemos visto, todas las magnitudes tienen una unidad de medida. Tras mucho tiem-po sin llegar a un acuerdo en un sistema homogéneo para todos los países, la comunidad internacional fijó, en 1�60, el sistema internacional de unidades (SI). Actualmente, la mayor parte de los países utiliza dicho sistema.

Según la ley, en España, así como en todos los países de la Unión Europea, el uso de este sistema es obligatorio.

magnitud nombre símbolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

intensidad de corriente eléctrica

ampere A

temperatura termodinámica kelvin K

cantidad de sustancia mol mol

intensidad luminosa candela cd

Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.

Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvin, tam-bién se utiliza la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación:

t = T – T0

Donde T0 = 273,15 K

En el sistema internacional, la unidad de longitud es el metro, que toma co­mo medida de referencia el metro patrón de Sèvres.

ACTIVIDAD

1 Dadas las siguientes magnitudes, indica cuáles son escalares y cuáles vectoriales:

longitud de una mesa fuerza con la que nos atrae la Tierra

volumen de agua de una piscina masa de nuestro cuerpo

velocidad de un avión intensidad de un campo magnético

temperatura del cuerpo humano

LA MEDIDA

[ 11 ]

2.2 Unidades suplementarias SI

Para la medición del ángulo plano y del ángulo sólido se utilizan las denominadas unidades suplementarias:

magnitud nombre símboloexpresión en unidades SI

fundamentales

ángulo plano radián rad mm–1 = 1

ángulo sólido estereorradián sr m2 m–2 = 1

Definición De las uniDaDes funDamentales Del si

Longitud. El metro (m) es la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz du-rante un tiempo de 1/2��.7�2.45� de se-gundo.

Masa. El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.

Tiempo. El segundo (s) se calcula según la duración de �.1�2.631.770 periodos de la radiación correspondiente a la transición en-tre los dos niveles hiperfinos del estado fun-damental del átomo de cesio 133.

Intensidad de corriente eléctrica. El am-perio (A) es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos con-ductores paralelos, rectilíneos, de longitud infi-nita, de sección circular despreciable y situa-dos a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produce una fuerza igual a 2 · 10–7 newton por metro de longitud.

Temperatura termodinámica. El  kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura ter-modinámica del punto triple del agua.

Cantidad de sustancia. El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que con-tiene tantas entidades elementales como áto-mos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.

Intensidad luminosa. La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocro-mática de frecuencia 540 · 1012 Hz y cuya in-tensidad energética en dicha dirección es 1/6�3 watt por estereorradián.

En Sèvres (Fran­cia) se conser­van los patrones de las unidades de medida. En las fotografías, el kilogramo pa­trón, unos ter­mómetros de mercurio y un fotómetro.

UNIDAD 1

[ 12 ]

Las unidades de las magnitudes fundamentales deben ser cómodas, invariables, inalterables y, sobre todo, fácilmente reproducibles.

De cada unidad, se construye un patrón que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, con sede en Sèvres (cerca de París), y desde aquí se distribuye una copia exacta a los países que adoptan el mismo sistema de unidades.

2.3 Múltiplos y submúltiplos decimales

Las unidades del Sistema Internacional van acompañadas de múltiplos y submúltiplos decimales, puesto que las medidas de las magnitudes que existen en la naturaleza son muy diversas. Así, por ejemplo, no es lo mismo medir el diámetro de la Tierra, que medir el diámetro de un átomo de hidrógeno.

Aun siendo ambas unidades de longitud, en el primer caso utili-zaremos un múltiplo del metro y hablaremos de miles de kilóme-tros y en el segundo caso utilizaremos un submúltiplo del metro, como es el nanómetro.

Definición de las unidades suplementarias SI

ángulo plano. El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio.

ángulo sólido. El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.

normas De la iso (InternacIonal Standard

organIzatIon)

Los nombres de las unidades, así como los múltiplos y submúltiplos, se escri-ben con minúscula (excepto el grado Celsius).

Los símbolos que representan las uni-dades se escriben con minúscula, ex-cepto cuando proceden de nombres propios; entonces, se escribe con ma-yúscula la inicial; por ejemplo, Pa (Pas-cal).

Los prefijos de los múltiplos y submúlti-plos se escriben con minúscula, excep-to en el caso de los múltiplos mega y superiores.

No se pondrá punto después del sím-bolo, salvo que esté al final de la frase.

Los símbolos siempre irán en singular.

Entre el número y el símbolo debe de-jarse un espacio, salvo en las medidas angulares.

Los productos entre unidades se expre-san dejando un espacio entre los sím-bolos. Por ejemplo:

kg m s–2

o bien poniendo un punto entre ellos:

kg · m · s–2

Diámetro de la Tierra:12.756 kmaproximadamente

Diámetro de un átomo de hidrógeno:0,1 nm = 10-10 m,aproximadamente

A menudo, las unidades del sistema internacional no resultan adecuadas por pequeñas o por grandes, por lo que se recurre a múltiplos y submúltiplos, respectivamente.

LA MEDIDA

[ 13 ]

En las siguientes tablas, puedes observar los múltiplos y submúltiplos del sistema interna-cional más utilizados:

múltiplos submúltiplos

factor prefijo símbolo factor prefijo símbolo

101� exa E 10–1 deci d

1015 peta P 10–2 centi c

1012 tera T 10–3 mili m

10� giga G 10–3 micro u

106 mega M 10–� nano n

103 kilo k 10–12 pico p

102 hecto h 10–15 femto f

101 deca da 10–1� atto a

2.3.1 Factores de conversión de unidades

A menudo tenemos que realizar operaciones con magnitudes expresadas en unidades diferentes. Para que los cálculos sean correctos, debemos transformar las unidades e igualarlas. Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un vehículo que se mueve a velocidad constante de 10� km/h en un trayecto durante 20 s, debemos aplicar la ecuación S = v · t . Para ello, debemos transformar los km a m y las h a s mediante los factores de conversión.

Denominamos factor de conversión la relación de equivalencia entre dos unidades de la misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos de equivalen-cia entre ambas unidades. En nuestro caso, el factor de conversión entre horas y segundos viene dado por la expresión 1h / 3.600 segundos o la equivalente 3.600 segundos / 1h , ya que 1 h = 3.600 s.

Para realizar la conversión, tomamos la unidad de partida y usamos la relación o factor adecuado, de modo que se nos simplifiquen las unidades de partida y obtengamos el valor en las unidades que nos interesa. En nuestro caso, deseamos transformar la velocidad de km/h a km/s, con lo que usaremos la primera de las expresiones, ya que así simplificamos la unidad hora:

10� kmhora

· 1 hora

3.600 segundos = 0,03 km/s

Si tenemos que transformar más de una unidad, utilizamos todos los factores de conversión sucesivamente y realizamos las operaciones. Por ejemplo, para transformar los 10� km/h a m/s:

108 kmhora

· 1 hora

3.600 segundos · 1.000 metros

1 km = 30 m/s

UNIDAD 1

[ 14 ]

3. Ecuaciones de dimensión 

Las magnitudes derivadas se definen en función de las magnitudes fundamentales, median-te una fórmula dimensional o ecuación de dimensiones.

En mecánica, las ecuaciones se expresan en función de las magnitudes fundamentales: longitud (L), masa (M) y tiempo (T).

Si estudiamos los procesos eléctricos, además de las magnitudes utilizadas en mecánica, se introduce la magnitud de intensidad de corriente (I).

Ecuación de dimensiones de algunas magnitudes derivadas

magnitud fórmula ecuación de dimensión unidad (SI)

superficie S = a · b S = L · L = L2 m2

volumen V = a · b · c V = L · L · L = L3 m3

velocidad v = s/t v = L / T = L T–1 m / s = m · s–1

aceleración a = v/t a = L · T–1/ T = L · T–2 m / s2 = m · s–2

fuerza F = m · a F = M · L · T–2 kg · s–2 = newton

trabajo W = F · s W = M · L · T–2 · L kg · m2 · s–2 = julio

potencia P = W/t P = M · L–2 · T–2 / T kg · m2· s–3 = watio

Debemos recordar que, en las unidades de longi-tud, superficie y volumen, el factor de conversión de unas unidades a otras varía del siguiente modo:

Longitud. Para cambiar de una unidad de longi-tud a otra superior se divide por 10, es decir, su factor de conversión es 10–1. Para pasar de una unidad de longitud a otra inmediatamente menor se multiplica por 10.

Superficie. Para cambiar de una unidad de longi-tud a otra superior se divide por 100, es decir, su factor de conversión es 10–2. Para pasar de una unidad de longitud a otra inmediatamente menor se multiplica por 100, es decir, por 102.

Volumen. Para cambiar de una unidad de longitud a otra superior se divide por 1.000, es decir, su factor de conversión es 10–3. Para pasar de una unidad de longitud a otra inmediatamente menor se multiplica por 1.000, es decir, por 103.

ACTIVIDADES

2 Responde a las siguientes cuestiones.

a) ¿Qué es un sistema de unidades?

b) ¿Cuál es el sistema de unidades más utiliza­

do en la actualidad? Enumera las siete mag­

nitudes fundamentales de dicho sistema.

c) ¿Qué otros sistemas de unidades importan­

tes se utilizaron hasta hace poco, antes de la

implantación del SI?

3 Expresa en unidades del sistema internacio­nal las siguientes magnitudes:

a) La longitud de una carretera es 5,3 · 104 km;

3,05 hm; 54 cm y 30 m.

b) El tiempo que ha tardado un ciclista en re­

correr una etapa es: 4h 39 min y 21 s.

c) La masa de un cuerpo es de 39 kg; 0,53 hg;

23 g; 102 dag; 852 mg y 35,6 dg.

LA MEDIDA

[ 15 ]

4. Representaciones gráficas

Al observar un fenómeno, podemos medir varias magnitudes y relacionarlas matemática-mente, para obtener una ley física que nos permita efectuar un análisis de los resultados y comprender mejor dicho fenómeno.

La mayor parte de los valores obtenidos en la medición de las magnitudes puede represen-tarse gráficamente para que resulte mas fácil tener una visión general del fenómeno y poder extraer conclusiones a partir de él. La gráfica resulta de la unión de puntos que representa cada par de variables.

30

20

10

10 20 30 40 50 60 70 �0 �0 t (s)t (s)

v = cte

s = so + vt

v (m/s)s (m)

so

Si analizamos el espacio recorrido por un coche, observamos que depende de la velocidad y del tiempo. Si consideramos un movimiento rectilíneo y uniforme, la variable velocidad es constante, con lo que puede simplificarse el estudio y analizarse el comportamiento de las variables o magnitudes.

ACTIVIDADES

4 Halla la ecuación dimensional de la aceleración.

5 Halla la ecuación dimensional del volumen de agua de una piscina de dimensiones a, b y c.

EJEMPLO

Escribe la ecuación de dimensiones de las siguientes magnitudes:

a) velocidad b) fuerza c) densidad

a) La velocidad es una magnitud derivada que viene

definida por la fórmula:

v = s t

Su ecuación de dimensiones será:

[v] =

LT

⇒ [v] = L · T–1

b) La fuerza es una magnitud derivada en cuya fór­

mula intervienen la masa y la aceleración. La ace­

leración, a su vez, depende de la velocidad. Por

tanto:

F = m · a ⇒ F = m · v t

[F] = M · L · T–1

T ⇒ [F] = M · L · T–2

c) Del mismo modo, la densidad será:

d = m v

[d] = ML3 ⇒ [d] = M · L–3

UNIDAD 1

[ 16 ]

La variables o magnitudes se designan según la convención matemática más generaliza-da con x e y. x es la variable independiente; mientras que y es la variable dependiente; entre ambas variables se establece una relación que denominamos comúnmente fun-ción.

y = f(x)

En el fenómeno físico del movimiento del coche, el tiempo es la variable independiente; el espacio es la variable dependiente, y la relación entre ambas viene dada por la ecuación:

s = v · t

En dicha función, v es constante.

Las gráficas, según su complejidad, corresponden a funcio nes matemáticas lineales y = f(x) de la forma y = mx, o bien, y = mx + n; funciones parabólicas y = ax2+ bx + c, o de mayor dificultad.

En la función lineal, un aspecto importante es determinar la pen-diente de la recta, también denominada valor constante. Este valor se calcula dividiendo la variación de la variable dependiente entre la variación de la variable independiente, como se muestra en la siguiente fórmula:

m = y1 – y0

x1 – x0

Para realizar una representación gráfica, debe seguirse el siguiente procedimien-to.

Elegir las magnitudes que vamos a relacionar y establecer la función.

Recoger los valores o medidas de di-chas magnitudes (tablas de valores).

Representar los valores sobre un pa-pel milimetrado en el cual se sitúan sobre unos ejes cartesianos, los valo-res de la variable independiente en el eje de abcisas, y la variable depen-diente en el eje de ordenadas (siste-ma de referencia cartesiano).

Indicar claramente las magnitudes y sus unidades correspondientes, qué representamos en cada eje.

Escoger una escala adecuada sobre los ejes para que la gráfica resulte fácil de interpretar y quede centrada.

EJEMPLO

Estudiamos el movimiento rectilíneo uniforme de

un coche y tras los procesos de medición se obtie­

nen los valores que aparecen en la tabla adjunta.

A partir de ellos, soluciona las cuestiones propues­

tas:

tiempo (s) 2 4 6 8 10

espacio (m) 50 100 150 200 250

a) Representamos gráficamente los valores obtenidos.

b) Calculamos la velocidad del coche en km/h.

a) b) La velocidad viene determinada por la pendiente

de la gráfica.

v = st

; m =

y1 – y0x1 – x0

v = 1004

= 25 m/s ⇒

⇒ v = 90 km/h4

y = m · xs = v · t

t (s)

s (m)

200250

15010050

2 4 6 � 10

y1– y0

x1– x0

100

LA MEDIDA

[ 17 ]

5.  Instrumentos de medida.  Sensibilidad y precisión

Denominamos sensibilidad de un aparato al error absoluto (ea) a la mínima unidad de medida que puede apreciar dicho aparato sin errar en la lectura. Por tanto, un aparato es más sensible cuanto más claramente acusa diferencias de cantidad de la magnitud medida.

Si una balanza aprecia centésimas de gramo, su sensibilidad será de 0,01 g, es decir 10–5 kg y apreciará variaciones de masa de 0,01g en + o en –.

La precisión, sin embargo, es la concordancia existente entre las distintas indicaciones de un aparato de medida al calcular la misma magnitud en idénticas condiciones.

Además de las características de sensibilidad y precisión, un aparato de medida también debe ser rápido al realizar deter-minadas medidas que pueden oscilar dependiendo de factores ambientales, o de las propias muestras, por lo que es impor-tante que trabaje a la mayor brevedad posible.

Otra cualidad importante es la fidelidad. Decimos que un apa-rato es fiel cuando al medir la misma cantidad ofrece siempre el mismo resultado.

Lo que conocemos comercialmente como balanzas de precisión son balanzas en que confluye la sensibilidad del aparato con su precisión en la medida.

ACTIVIDADES

6 Para alargar un muelle, tenemos que aplicar una fuerza que está en función de una constante recuperadora o elástica del muelle y de su alargamiento o elogación. Dicha fuerza viene deter­minada por la ley de Hooke: F = k · x. Sabiendo que k = 500 N/m, ¿qué fuerza hay que aplicar para que el muelle se alargue 10 cm?

7 La siguiente gráfica corresponde al movimiento de un vehículo.

a) A partir de la información que te

aporta la gráfica, describe el movi­

miento del vehículo.

b) ¿Qué tipo de movimiento es? ¿Qué

tipo de movimiento lleva durante los

10 primeros segundos? ¿Y cuando ha

transcurrido una hora? ¿Qué espacio

ha recorrido mientras ha acelerado?

¿Cúal es su velocidad entre los 10 y

los 130 segundos? ¿Cuánto tiempo

ha estado en movimiento? ¿Qué es­

pacio ha recorrido en total?

20

15

10

5

0 10 130 150

t (s)

v (m/s)

UNIDAD 1

[ 1� ]

6.  Errores en la medida

En las mediciones de una magnitud, es importante el rigor, para evitar errores en el resul-tado, que puede aparecer alterado por una apreciación equivocada del observador o por el mal uso o estado del aparato. Por tanto, todas las medidas tienen el riesgo de resultar afec-tadas por algún tipo de error. Esta imprecisión en la medida de una magnitud se denomina error experimental. Dependiendo de sus causas, los errores experimentales pueden ser:

Errores sistemáticos. Son los errores que se producen al medir de la misma forma. Las causas de los errores sistemáticos pueden ser:

– La utilización de aparatos inadecuados o en mal estado (imperfectos). Estos errores pueden detectarse y cuantificarse, puesto que se repiten en todas y en cada una de las mediciones. Pueden suprimirse eliminando las causas que lo producen.

– Errores de escala, que son los producidos al medir con una escala, cuando el indicador se sitúa entre dos divisiones sucesivas, por lo que resulta difícil determinar su valor.

Errores accidentales o aleatorios. Son inevitables, ya que unas veces se producen y otras no, aun en las mismas condiciones. Pueden compensarse repitiendo la medida varias veces, y calculando su media aritmética.

6.1 Error absoluto y error relativo

Toda medida lleva consigo un margen de error, por lo que al valor exacto de la magnitud que se mide se le deben añadir los límites de incertidumbre o error absoluto.

El error absoluto (ea) cometido en una medición es la diferencia entre el valor obtenido en la medición (xi) y el que consideramos exacto de la magnitud x.

ea = xi – x

Para que una medida presente un cierto grado de precisión, debe repetirse varias veces. Se considera medida exacta ( x ) la media aritmética de todas ellas:

x =

x1 + x2 + x3 + … + xnn =

i = n

i = l xin

El error absoluto se expresa con un número positivo o negativo y la unidad correspondiente a la magnitud medida.

El error relativo (er) nos permite determinar la precisión de la medida. Se define como el cociente entre el error absoluto y la medida considerada exacta.

er = ea

x–

Se expresa con un número sin unidades y suele indicarse en forma de porcentaje (%). Para ello, se multiplica el error relativo por 100, con lo que se obtiene el porcentaje de error.

LA MEDIDA

[ 1� ]

EJEMPLO

Un grupo de 7 alumnos de Física ha medido la masa de un anillo de oro en una balanza digital que aprecia

hasta los miligramos, y ha obtenido los siguientes resultados: 7,940 g; 7,925 g; 8,000 g; 7,953 g; 8,001 g;

7,978 g; 7,950 g. Calcula:

a) La masa del anillo de oro.

b) El error absoluto de cada una de las pesadas realizadas.

a) Se considera masa exacta la media aritmética de las pesadas realizadas experimentalmente por cada uno

de los alumnos y alumnas:

x– = 7,940 g + 7,925 g + 8,000 g + 7,953 g + 8,001 g + 7,978 g + 7,950 g

7 =

55,747 g7

= 7,963

x– = 7,963 g.

Por tanto, la masa real del anillo es de 7,963 g.

b) El error absoluto que se ha cometido en cada una de las pesadas es:

1.a pesada: 7,940 – 7,963= –0,023 g; 2.a pesada: 7,925 – 7,963= –0,038 g; 3.a pesada: 8,000 – 7,963= 0,037 g;

4.a pesada: 7,953 – 7,963= –0,010 g; 5.a pesada: 8,001 – 7,963 = 0,038 g; 6.a pesada: 7,978 –7,963= 0,015 g;

7.a pesada: 7,950 – 7,963= –0,013 g

EJEMPLO

La longitud del campo de fútbol del Instituto es de 250 m; al medirla, Luis obtiene 249,95 m. Por su parte,

Patricia mide el pasillo que comunica las clases y obtiene 24,95 m, cuando en realidad mide 25 m. ¿Cuál de

los dos alumnos ha realizado la medida con mayor precisión?

Para saber quién ha realizado la medida con mayor precisión, calculamos el error relativo.

Medida de Luis:

erLuis = |eaLuis|

x =

0,05250

= 0,0002 = 0,02 %

eaLuis = 249,95 – 250 = –0,05 m

Medida de Patricia:

erPatricia = |eaPatricia|

x =

0,0525

= 0,002 = 0,2 %

eaPatricia = 24,95 – 25 = –0,05 m

Luis ha obtenido, por tanto, una medida más precisa, puesto que su error (0,02 %) es menor que el 0,2 % de

Patricia.

UNIDAD 1

[ 20 ]

6.2 Expresión de una medida y su error

6.2.1 Cifras significativas

Si medimos varias veces una cuerda con una cinta métrica que aprecia los milímetros, podemos obtener los siguientes resultados: �30 mm, �31 mm, �32 mm, �32 mm, �33 mm.

Si calculamos la longitud media de la cuerda sumando las cinco cantidades y dividiendo el resultado entre 5, obtenemos:

Lm= �30 + �31 + �32 + �32 + �33

= �31,6 mm = 0,�316 m 5

Como la cinta sólo medía los milímetros y nosotros hemos obtenido una medida más pre-cisa que la que podemos observar experimentalmente, deducimos por tanto que hay un error.

En la práctica, la longitud de la cuerda la expresaríamos como L = �32 mm = 0,�32 m, ya que son las cifras que consideramos significativas.

Podemos decir, por tanto, que las cifras significativas de un resultado son todas las cifras exactas y la última, de aproximación o de precisión.

Para expresar correctamente el resultado de una medición con cifras significativas, debemos tener en cuenta las siguientes reglas:

a Son significativas todas las cifras distintas de cero. b Los ceros colocados entre las cifras significativas son significati-

vos; por ejemplo: 2.030.701. c Los ceros colocados antes de la primera cifra significativa no son

significativos; por ejemplo: 0,5037. d Los ceros colocados después de la última cifra significativa no

son significativos, excepto cuando van seguidos de la coma deci-mal (5030, ), o si van a continuación de una coma (503,0).

Cuando se realiza una operación matemática con la calculadora, no deben expresarse todos los dígitos, sino únicamente los que sean significativos; éstos nunca pueden ser más que los valores de partida.

Para evitar este problema, debemos redondear la cifra.

Supongamos el siguiente resultado:

325,32567 mm

Al tomar una medida, para evitar el error, debe­mos obtener los datos varias veces. Con la media aritmética de éstos obtendremos la medida, que expresaremos en cifras significativas.

LA MEDIDA

[ 21 ]

Suprimimos todos los números a la derecha de la cifra de aproximación o precisión:

Si la cifra de aproximación es menor que 5, se dejan las cifras significativas:

Si la cifra de aproximación es mayor o igual a 5, se añade una unidad a ésta. Si fuese 325,� mm, expresaríamos el resultado como 326 mm.

6.2.2 Notación científica

Las magnitudes físicas, a veces, suelen ser demasiado grandes, como es el caso de la masa de la Tierra, de 5.��0.000.000.000.000.000.000.000 kg, o excesivamente peque-ñas, como los 0,000000000000000000000000000000�10�6 kg de masa del electrón. Expresar estas medidas de este modo no es práctico, ni cómodo, por lo que recurrimos a la notación científica.

Un número expresado en notación científica debe estar constituido por:

– Una parte entera, que consta de una sola cifra significativa y que corresponde a las uni-dades.

– Una parte decimal, formada por el resto de las cifras significativas.– Una potencia de base 10, con exponente positivo o negativo, según sea el orden de

magnitud del número, así los ejemplos anteriores los escribiremos:

MT = 5,98 · 1024 Me = 9,1096 · 10–31

Para realizar cálculos de números expresados en notación científica, se procede de forma natural. Por ejemplo:

3,2 · 10–5 + 1,5 · 10–3 – 2,15 · 10–4 = 0,032 · 10–3 + 1,5 · 10–3 – 0,215 · 10–3 = 1,317 · 10–3

325,3 mm

325 mm

EJEMPLO

Realizamos la medición de las siguientes magnitudes y obtenemos los siguientes resultados: 4,085 km;

435,00 cm; 839 mm; 4,25 · 103 kg. Indica el número de cifras significativas de cada medida:

1 La medida 4,085 tiene 4 cifras significativas.

2 La medida 435,00 tiene 5 cifras significativas.

3 La medida 839 mm tiene 3 cifras significativas.

4 La medida 4,25 · 103 kg tiene 3 cifras significativas.

ACTIVIDAD

6 Dadas las siguientes medidas, exprésalas en unidades del SI y señala el número de cifras signi­ficativas que tienen:

a) 320,001 mg, 63,07 g y 1,20 · 10–3 kg.

b) 0,62 h y 24,21 min.

TRABAJO DE INVESTIGACIÓNTRABAJO DE INVESTIGACIÓN

UNIDAD 1

[ 22 ]

Medida de la masa

Objetivos

■ Aprender a determinar la masa (peso) de un cuerpo mediante la balanza.■ Reconocer las distintas partes de la balanza.■ Adquirir las técnicas necesarias para el manejo y para la utilización de la balanza.■ Aprender a interpretar el concepto del valor medio de una serie de medidas.■ Aprender a calcular el error absoluto y el error relativo de las medidas realizadas.■ Expresar correctamente el resultado de la masa del cuerpo.

Información

Para medir la masa de distintos cuerpos vamos a utilizar la balanza.

En realidad, la balanza nos permite medir el peso, es decir, la fuerza con la que la Tierra atrae a los cuerpos.

Utilizamos en este caso la balanza de dos brazos, de cada uno de los cuales cuelga un platillo.

En uno de los platillos vamos a colocar el cuerpo que hay que medir y en el otro se van colocando paulatinamente pesas hasta que se alcanza el equilibrio, lo que lograremos tras diversas oscilaciones.

Al pesar algunos cuerpos, como vidrios de reloj o similares, debemos procurar no ponerlos en contacto directo con los platillos y pesarlos en los recipientes adecuados. Lógicamente, debemos pesar antes el recipiente. Asimismo, procuraremos conservar los platillos perfecta-mente limpios. Es conveniente no sobrecargar la balanza, pues podría deformarse e incluso romperse.

TRABAJO DE INVESTIGACIÓNTRABAJO DE INVESTIGACIÓN

LA MEDIDA

[ 23 ]

Material

■ Balanza.■ Fragmentos de mármol.■ Bolas de plomo de igual volumen.

Experimentación y observación

1 Realiza en tu cuaderno de prácticas de laboratorio un dibujo detallado de la balanza que vas a utilizar y señala cada una de sus partes.

2 Calcula la masa (peso) de los fragmentos de mármol y de las bolas de plomo. Pésalos cuatro veces. Anota los valores obtenidos en la tabla siguiente.

1.ª pesada

2.ª pesada

3.ª pesada

4.ªpesada

x ea = xi – x er =

ea

xmedidacorrecta

mármol

bolas de plomo

Análisis

Una vez realizada la práctica, anota el valor del peso correcto obtenido por todos los grupos del laboratorio y calcula el valor medio total y la medida correcta de los cuerpos pesados.

Contesta

a ¿Cuál de los grupos ha realizado con mayor precisión la medida? Razona tu respuesta.

b Expresa correctamente la medida que consideréis más correcta.

c ¿Qué grupo ha cometido mayor error en sus medidas? ¿Por qué?

CIENCIA, TECNOLOGÍA Y SOCIEDADGRANDES HITOS EN LA HISTORIA DE LA CIENCIA CIENCIA, TECNOLOGÍA Y SOCIEDADGRANDES HITOS EN LA HISTORIA DE LA CIENCIA

UNIDAD 1

[ 24 ]

Lamedidadeltiempo

El ser humano siempre ha buscado medir el tiempo, pero no ha sido hasta el siglo xx, con la aparición de los relojes de cuarzo, cuando realmente se han construido aparatos suficientemente precisos.

El primer reloj, cuya invención es milenaria, fue el de sol. La punta de la sombra de un palo recorre regularmente un arco, que en la Edad Media fue di­vidido en 12 y luego en 24 segmentos. Había relojes solares en casi todas las iglesias.

La clepsidra es un reloj de agua que utilizaron tanto las civilizaciones precolombinas en América como los egipcios y los griegos. Consistía en un recipiente graduado atravesado por un agujero por el que pa­saba el líquido. La clepsidra permitía medir el tiem­po durante la noche, cuando no podía hacerlo el reloj de sol.

Posteriormente, se usaron el reloj de arena, la vela o el palo de incienso y la lámpara de aceite. Los pri­meros relojes, tal como los conocemos actualmente, aparecieron en el siglo xiii, con una sola aguja que marcaba las horas. Funcionaban gracias a una pesa cuyo movimiento descendente era acompasado por muescas dispuestas regularmente. No eran dema­siado precisos, y podían llegar a retrasarse una hora por día, por lo que a menudo se ponían junto a un reloj de sol para ajustarlos.

En 1657, el físico holandés Huygens creó el primer reloj de péndulo. Rápidamente se le agregó un re­sorte en forma de espiral que mejoraba considera­blemente su precisión. A fines del xviii se generali­zaron los relojes de bolsillo con resorte.

La falta de un instrumento fiable de medida del tiempo era un serio inconveniente para los nave­gantes, que necesitaban saber la distancia de sus viajes. El cronómetro de marina nació en 1736. El reloj eléctrico fue inventado por el escocés Alexan­der Bain en en 1840.

La fabricación de relojes de gran precisión data de principios del siglo xx, y fue posible gracias al cuar­zo. Este mineral vibra a un ritmo regular cuando es­tá sometido a una corriente eléctrica. La introduc­ción del cuarzo en relojería permitió fabricar mecanismos seis veces más precisos que los relojes mecánicos.

En 1929 los relojes de cuarzo ya eran frecuentes, pe­ro fue en 1970 cuando se redujo tanto su tamaño que fue posible fabricar relojes de pulsera de cuar­zo.

En 1958 aparecieron los relojes atómicos, que per­miten alcanzar una precisión de un segundo por 10 millones de años.

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LA MEDIDA

[ 25 ]

Si observamos cómo se mueve la aguja en el velocí­metro de un automóvil cuando variamos la velocidad, comprobaremos cómo ésta se desplaza de un modo continuo a lo largo del círculo. El velocímetro recibe una señal continua del número de vueltas que reali­zan las ruedas cada unidad de tiempo. La aguja refle­ja la velocidad del vehículo señalando las unidades que se especifican en el círculo del velocímetro.

La señal que indica la aguja del velocímetro es ana­lógica.

En un sistema de medición analógico, la señal que enviamos o recibimos es continua, es decir, la aguja podrá señalar los «infinitos valores» que puedan existir entre, por ejemplo, 80 y 81 km/h, otra cosa es que nuestros sentidos perciban dicha variación.

Existen numerosos aparatos de medida analógicos como los que señalan la presión de una caldera de gas, o la rueda que debemos girar para regular el volumen o sintonizar una emisora en un aparato de música. No obstante, en las últimas décadas han aparecido aparatos de medida digital, que poco a poco han ido ganando el terreno a los aparatos ana­lógicos. Los automóviles de última generación, por ejemplo, tienen el velocímetro digital, es decir, cuan­do el coche frena o acelera, los números que indican la velocidad en km/h van variando en una pantalla de cristal líquido. En este caso, la señal que recibe el velocímetro es una señal discreta, es decir, los valo­

res que reflejará tienen un número limitado. Por ejemplo, entre 80 y 81 km/h, la precisión es de déci­mas, el velocímetro será capaz de medir 10 valores entre 80 y 81.

Un ejemplo más cercano es el reloj. Todo el mundo conoce la diferencia entre un reloj analógico (de agujas) y uno digital.

Para convertir una señal analógica en digital se reali­za un muestreo en el tiempo de la señal por medir y se le asigna un valor, que se almacena o se transmite en forma binaria (0 ó 1). Este proceso se conoce co­mo digitalización.

La ventaja de la señal digital es que es mucho mas fácil de almacenar y de transmitir, lo que provoca que a su vez sean más baratos su almacenamiento y su trans­misión, además de aumentar su fiabilidad.

Se dice que el mundo futuro será digital, ya que se puede digitalizar la imagen, el sonido y las señales emitidas por los aparatos para transmitirlas a través de las redes digitales de comunicación. Gracias a esto, pueden observarse las medidas realizadas por aparatos que se encuentran a muchos kilómetros de distancia del observador, lo cual es imposible cuando la medición es analógica.

Elmundoanalógicoyelmundodigital

El mundo que nos rodea es analógico. Nuestros sentidos son órganos de medida analógicos, ya que podemos percibir el paso de la luz a la oscuridad, o del frío al calor como un proceso continuo, con todos sus estadios intermedios.

actividades

[ 26 ]

UNIDAD 1

1 Expresa los siguientes números en notación científica:

a) 360.000.000.000

b) 0,00000000872

c) 124.000.000.000.000

2 Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica:

a) 3,2 · 10–5 + 0,1 · 10–4 – 2,35 · 10–6 =

b) 9 · 109 ·

2 · 10–6 · 0,4 · 10–6

(0,06)2 =

c) 5 · 104 ·

[(0,0002)–3]2 · 0,01

(0,001)3 · (200)–2 =

3 Un grupo de 6 alumnos ha realizado la medi­ción experimental de la masa de una caja de naranjas con una balanza electrónica cuya pre­cisión llega hasta los miligramos.

Se han obtenido los siguientes resultados: 10,928 kg; 10,946 kg; 10,965 kg; 11,000 kg; 10,957 kg; 10,947 kg. Determina:

a) El peso de la caja de naranjas.

b) El error absoluto de cada una de los pesos ob­

tenidos.

4 El patio de un centro de estudios tiene las si­guientes dimensiones: 70,45 ± 0,05 m y 50,38 ± 0,06 m.

a) ¿Cuál es su superficie?

b) ¿Cuál es el error relativo de cada una de las

medidas? ¿Qué error relativo hemos cometi­

do al calcular la superficie?

c) ¿ Cómo se expresa la superficie con su corres­

pendiente margen de error?

5 La velocidad de la luz es 2,997925 · 108 m/s. Si trabajamos con el valor C = 300.000 km/s. ¿Qué error absoluto y relativo estamos cometien­do?

6 Desde la azotea de un edificio dejamos caer una pelota cuatro veces y medimos con un cronó­metro los tiempos que tarda en llegar al suelo.

Obtenemos los siguientes tiempos: 1,02 s; 1,10 s; 1,08 s; 1,05 s. Calcula:

a) El tiempo más exacto que tarda en caer.

b) La incertidumbre en la medida.

c) La expresión del tiempo con incertidumbre.

7 Con varios cronómetros medimos el tiempo empleado por un atleta en correr los 100 m lisos. Un cronómetro marca 12,4 s; otro, 12,325 s y un tercero, 12,1035. Indica la marca del atleta.

8 Calcula la ecuación de dimensión de:

a) Energía cinética.

b) Energía potencial.

c) Trabajo.

9 Si una estrella se encuentra a 3 años luz de la Tierra y un año luz es la distancia que re­corre la luz en un año a una velocidad de 300.000 km/s; calcula la distancia en km que la separa de nuestro planeta. Expresa el resulta­do en notación científica.

10 Demuestra, aplicando la ecuación de dimen­sión a los dos miembros, cuál de las siguientes expresiones es correcta:

a) W = m · v2

t · S

b) W =

m · s2

2t2

11 Expresa las siguientes medidas en su uni­dad correspondiente del sistema internacio­nal.

a) 6 · 10–5 cm, 7 Å, 0,58 µm, 0,032 dam

b) 23 t, 2,83 g, 7 · 10–3 hg, 15 L

c) 35 cm2, 103 m2, 5 · 103 dam2, 3 ha

autoevaluación

[ 27 ]

LA MEDIDA

1 Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) La belleza, la fuerza, la potencia y la alegría

son magnitudes físicas.

b) Medir es comparar cantidades de diferente

magnitud.

c) Unidad es una cantidad determinada que se

toma como patrón.

d) El enunciado «una fuerza no equilibrada que

actúa sobre un objeto hará que éste se acele­

re» es una ley física.

e) Todas las magnitudes físicas pueden expresar­

se en función de un pequeño número de mag­

nitudes llamadas magnitudes fundamentales.

f) El sistema internacional consta de cuatro

magnitudes fundamentales, con sus corres­

pondientes unidades fundamentales.

g) Todas las leyes físicas son homogéneas.

h) El análisis dimensional permite determinar

todas las leyes físicas.

2 ¿Cuál es la unidad de superficie en el sistema internacional?

a) metro

b) metro cuadrado

c) metro cúbico

d) km

3 Clasifica las siguientes magnitudes físicas en escalares y vectoriales.

a) velocidad

b) temperatura

c) volumen

d) fuerza

4 ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones se co­rresponde la ecuación de dimensión de la ener­gía potencial?

a) W = F · S

b) Ec = m · v2

c) Ep =

12

m · g · h

5 De las siguientes medidas, ¿cuál es la de ma­yor precisión?

a) El tiempo que ha tardado un ciclista en dar

una vuelta a un velódromo es de 23,58 s, me­

dido con un reloj que aprecia las centésimas

de segundo.

b) La longitud de una pista de atletismo es de

23,58 m, medida con una cinta métrica que

aprecia hasta los centímetros.

c) La masa de un cuerpo, medida en una balanza

digital que aprecia hasta los mg, es de 23,580 g.

6 Expresa las siguientes medidas en unidades básicas del sistema internacional.

a) 5 hm c) 87 uA

b) 35.000 g d) 35 °C

7 Indica qué expresiones son correctas.

a) 1 kW/h = 3,6 · 103 s

b) 1 kW/h = 3,6 · 106 W/s

c) 1 kW/h = 36 · 106 s

d) 1 kW/h = 3,6 · 106 u

8 Las siguientes medidas están expresadas con su correspondiente cota de error. Señala cuál de las formulaciones de la cota de error es la correcta. Justifica tu respuesta.

a) 9,348 ± 0,01 m c) 4,8 ± 0,071 m

b) 1,07 ± 0,053 m d) 246,13 ± 0,28 m

9 Un chico mide 1,74 m de altura. Al medirlo se ha obtenido 1,75 m, con lo que se ha cometido un error en la medición. Indica qué respuesta es correcta.

a) El error absoluto cometido ha sido de 10 cm.

b) El error relativo cometido ha sido de 0,057 %.

c) El error absoluto cometido es de 0,01 m y el

relativo de 0,57 %.

d) El error absoluto y el error relativo de la medi­

da son iguales.