pd cap 05 ec diferencia 15 ii
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Ecuaciones DiferencialesTRANSCRIPT
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA)
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
E.A.P. INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES
Flavio Nireo Carrillo Gomero
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE TELECOMUNICACIONES
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CONTENIDO
ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES. Métodos de Solución
REPRESENTACION CON DIAGRAMA DE BLOQUES.
PROBLEMAS
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ECUACIONES EN DIFERENCIAS
LINEALES CON
COEFICIENTES CONSTANTES.
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ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON
COEFICIENTES CONSTANTES
SLDIT
x[n] y[n]
0 0
[ ] [ ]N M
k
k m
m
y n x nk ma b
0 1 2[ ] [ 1] [ 2] ..... [ ]ka y n a y n a y n a y n k
0 1 2[ ] [ 1] [ 2] ..... [ ]kb x n b x n b x n b x n m
Ecuación en Diferencias
Condiciones iniciales: y(−1), y(−2), y(−3), . . . , y(-N).
Requiere: (1) factor de escala, (2) suma, (3) elementos de retardo.
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SOLUCION DE LAS
ECUACIONES EN DIFERENCIAS
LINEALES CON
COEFICIENTES CONSTANTES.
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SOLUCION DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS
LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
0 0
[ ] [ ]N M
k m
k m
a y n k b x n m
0 1 2[ ] [ 1] [ 2] ..... [ ]ka y n a y n a y n a y n k
0 1 2[ ] [ 1] [ 2] ..... [ ]kb x n b x n b x n b x n m
SOLUCION GENERAL • SOLUCION PARTICULAR [ ]py n
• SOLUCION ECUACION HOMOGENEA [ ]hy n
[[ ]] [ ] hpy nn yy n
Ecuación en Diferencias
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METODO DIRECTO
El objetivo es determinar y[n] para n≥ 0, para una determinada entrada
x[n] para n≥ 0 y un conjunto de condiciones iniciales.
Suponiendo x[n]=0, se obtiene la ecuación de diferencias homogénea:
0
[ ] 0N
k h
k
a y n k
Asumiendo que la solución es exponencial:
yh[n]=λn
SOLUCION HOMOGENEA
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
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……
Sustituyendo la solución tentativa, se obtiene la siguiente ecuación polinómica:
λn-N(λN+a1 λN-1 + a2 λ
N-2+………..+ aN-1 λn + aN )=0
Polinomio característico
Si las raíces son distintas, la solución general para la ecuación de diferencias homogénea es:
yh[n]=C1 λn+C2 λ
n +……………+CN λ nN
Donde C1, C2, …………CN son los coeficientes de ponderación.
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
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…… SOLUCION PARTICULAR:
yp[n] es cualquier solución que cumple con lo siguiente:
Para solucionar, se supone para yp[n] una forma que depende de la forma
de x[n].
0
0 0
[ ] [ ] , 1N M
k p m
k m
a y n k b x n m a
A (constante) K
A Mn KMn
A nM K0 nM + K1 n
M-1 + ………..+ KM
An nM An (K0 nM +K1 n
M-1 + ……….. + KM)
AcosΩ0n
AsenΩ0n K1 AcosΩ0n + K2 AsenΩ0n
FORMA GENERAL DE SOLUCION PARA DIFERENTES SEÑALES DE ENTRADA
Señal de entrada Solución Particular
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
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EJEMPLO I
Sea la siguiente ecuación de diferencias de un sistema discreto:
[ ] [ 1] [ ]y n ay n x n
[ ] [ 1] 0h hy n ay n
[ ] , nx n b b a Para: a) b) [ ] [ ], nx n b u n b a
Solución:
Caso a)
Solución Homogénea:
[ ] n
hy n A
1 0n nA aA
1(1 ) 0na 0
a
n
h Aany ][
Ensayando una solución
Sustituyendo
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
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………….. Solución Particular:
[ ] n
py n Bb
n
p bab
bny
][
Ensayando una solución del mismo tipo que
Sustituyendo en la ecuación de diferencias
1n n nBb aBb b
bB
b a
Solución General: nn Aabab
bny
][
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
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…… Caso b)
Solución Particular:
Ensayando la solución particular de la misma forma de la entrada:
Sustituyendo en la ecuación de diferencias:
La Solución
No satisface, para n=0 y por lo tanto no es solución para todo n.
bB
b a
Buscar otra solución particular, ensayando:
Reemplazando:
yp[n] =Bbnu[n]
Bbnu[n]- aBbn-1u[n-1]= bnu[n]
yp[n]=Bbnu[n]+Canu[n]
Bbnu[n]-aBbn-1u[n-1]+ (Canu[n]- aCan-1u[n-1])= bnu[n]
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
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…… La igualdad se cumple para cualquier valor de n<0 debido a los
términos u[n].
Para n>0, el término en amarillo es nulo por que coincide con la
solución homogénea.
Luego para n>0 : ab
bB
La Solución General:
[ ] [ ] [ ]n n nb ay n b u n a u n Aa
b a a b
La ecuación en n=0, se reduce a: 1CB
ba
aBC
1
La Solución Homogénea: no hace falta por que no depende de la secuencia de entrada y esta ha sido determinada en el caso anterior
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
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EJEMPLO II
Determinar la ecuación de diferencias del sistema de cálculo de la media
acumulativa de una señal x[n] en el intervalo 0 ≤ k ≤ n.
El cálculo de la media acummulada está definida por:
0
1[ ] [ ] 0,1,....
1
n
k
y n x k nn
Solución:
Se observa que el cálculo de y[n] requiere almacenamiento de todas las
muestras de x[k] en el intervalo de cálculo, osea para 0 ≤ k ≤ n.
Utilizando y[n-1] y reordenando y[n] obtenemos:
1
0
( 1) [ ] [ ] [ ] [ 1] [ ]n
k
n y n x k x n ny n x n
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
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…… Osea la media acumulada se puede calcular en forma recursiva
multiplicando el valor anterior de la salida y[n-1] por n/(n+1), multiplicando
la entrada actual x[n] por 1/(n+1) y sumando los dos productos:
1[ ] [ 1] [ ]
1 1
ny n y n x n
n n
RETARDO DE UNA
MUESTRA
ATENUADOR
1/(n+1)
ATENUADOR
n
x[n] y[n] +
+
Diagrama de bloques de la forma recursiva del sistema cálculo de la media acumulada :
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
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SOLUCION UTILIZANDO MATLAB
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EJEMPLO III
Sea la siguiente ecuación de diferencias de un sistema discreto:
1[ ] [ 1] [ ], 0
2y n y n x n CI
[ ]x n nPara: a) b) [ ] cos8
x n n
Solución:
Caso a)
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
En forma analítica:
1
[ ]2
n
y n u n
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……
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
% Ecuaciones en Diferencias lineales con coeficientes constantes
% Función FILTER
% Y = FILTER(B,A,X)
% Filtra los datos del vector X con los datos del filtro descritos por %
% los vectores A and B para crear los datos filtrados Y.
% La implementación de la ecuación en diferencia estandar:
%
% a(1)*y(n)+a(2)*y(n-1)+ ... +a(na+1)*y(n-na) =
% =b(1)*x(n)+b(2)*x(n-1)+ ... +b(nb+1)*x(n-nb)
%
% Si a(1) no es igual a 1, FILTER normaliza los coeficientes del filtro
% através de a(1).
%
% [Y,Zf] = FILTER(B,A,X,Ci)
%
% Da acceso a las condiciones iniciales y finales, Ci y Cf, de los
%retardos.
% Ci es un vector de longitud MAX(LENGTH(A),LENGTH(B))-1, o un arreglo
% de dimensiones de tamaño MAX(LENGTH(A),LENGTH(B))-1 y con el resto de
% las dimensiones que correspondan a X.
%
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……
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
clear all;close all;clc;clf;
n=0:63;
% ------------------------------------------------
% y[n] - 0.5y[n-1] = x[n]
% -------------------------------------------------
A=[1 -0.5];
B=[1];
% Secuencia de entrada impulso unitario
x=[1 zeros(1,(length(n)-1))];
%
figure(1),
stem(n, x, 'b');grid;
xlabel('n');ylabel('x[n]');
% Condiciones iniciales
y1=0;
Ci=[y1];
% Aplicación de la función filter
y=filter(B, A, x, Ci);
% Gráfica de la señal de salida
figure(2),
stem(n,y,'r');grid;
xlabel('n'); ylabel('y[n]');
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……
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
0 10 20 30 40 50 60 700
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
x[n
]
0 10 20 30 40 50 60 700
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ny[n
]
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……
Sea la siguiente ecuación de diferencias de un sistema discreto:
1[ ] [ 1] [ ], 0
2y n y n x n CI
[ ]x n nPara: a) b) [ ] cos8
x n n
Solución:
Caso b)
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
En forma analítica:
1
[ ] 1.75cos 0.34172 8
n
y n n u n
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……
Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X= 16
Y= 1
n
x[n
]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
X= 17
Y= 1.7488
n
y[n
]
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REPRESENTACIÓN EN
DIAGRAMA DE BLOQUES.
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REPRESENTACION EN DIAGRAMA DE BLOQUES
Las ecuaciones en diferencias de los sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo pueden ser representados mediante un diagramas de bloques.
La ecuación en diferencias generalizada de los SDLIT:
Proporciona un algoritmo programable en un computador para calcular la respuesta de un sistema a una excitación dada.
0 0
[ ] [ ]N M
k m
k m
a y n k b x n m
Las operaciones requeridas para este cálculo son susceptibles de ser organizadas en combinaciones diferentes.
Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques
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ELEMENTOS SIMBÓLICOS BÁSICOS
Z-1 x[n] y[n]=x[n-1]
x[n] a
y[n]=ax[n]
x1[n]
x2[n]
y[n]= x1[n]+ x2[n]
Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques
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EJEMPLO III
(a) Diagrama de bloques de un sistema no recurrente:
Z-1
x[n] b0
b1
y[n]
x[n] y[n]
-a1
b0
Z-1
y[n]= b0 x[n]+b1 x[n-1]
(b) Diagrama de bloques de un sistema recurrente:
y[n]= b0 x[n]-a1 y[n-1]
Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques
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ESTRUCTURA DE TIPO I
x[n] y[n] b0
Z-1
b1
Z-1
b2
Z-1
bp
bp-1
Z-1
-a1
Z-1
-a2
Z-1
-ap
-ap-1
0 1
[ ] [ ] [ ]P P
k k
k k
y n b x n k a y n k
Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques
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ESTRUCTURA DE TIPO II
x[n] y[n] b0
Z-1
b1
Z-1
b2
Z-1
bp
bp-1
-a1
-a2
-ap
-ap-1
0 1
[ ] [ ] [ ]P P
k k
k k
y n b x n k a y n k
Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques
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PROBLEMAS
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PROBLEMAS
1.- Un sistema es descrito por la siguiente ecuación de diferencia:
y[n] + y[n - 2] = x[n] + 2x[n - 2]
(a) Encontrar la respuesta natural del sistema.
(b) Hallar la respuesta forzada cuando el sistema es excitada por x[n] = u[n]
2.- Determine la solución general de la ecuación de diferencias siguiente:
y[n] - y[n - 1] + 1/4 y[n - 2] = 2x[n - 1]
3.- Considerando que el sistema en estudio inicialmente se encuentra en reposo y descrito por la ecuación:
y[n] – (1/2)y[n - 1] = x[n]
Asumiendo que x[n] = δ[n], ¿cuál es el valor de y[0]?, ¿qué ecuación es satisfecha por h[n] para n ≥ 1, y con que condición auxiliar?. Resolver esta ecuación para obtener una expresión de forma cerrada para h[n].
4.- Determine la respuesta impulsional de los siguientes sistemas SLDIT causales descritos por las siguientes ecuaciones:
(a) y[n] – y[n - 2] = x[n]
(b) y[n] – y[n - 2] = x[n] + 2x[n - 1]
Ecuación en Diferencias Problemas
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…….. 5.- Un crédito de s/. 100,000 será cancelada en cuotas mensuales iguales de k nuevos
soles. El interés mensual acordado con el banco se cargará a una tasa anual del 12% sobre lo no cancelado aún; por ejemplo, después del primer mes, la deuda total es igual a:
El problema es determinar el valor de k tal que después de un tiempo específico el crédito sea totalmente cancelado, dejando un balance neto de cero.
(a) Para resolver el problema, considerar que y[n] represente la deuda no cancelada justo después del enésimo pago mensual. Asumir que la cantidad principal se presta en el mes 0 y los pagos mensuales se inician en el mes 1. Demuestre que y[n] satisface la ecuación de diferencias pagada el justo después del enésimo pago mensual:
y[n] - αy[n - 1] = - k , para n ≥ 1
con la condición inicial: y[0] = S/.100,000
donde α es una constante que debe ser determinada.
(b) Resolver la ecuación de diferencias de (a) para determinar :
y[n] para n ≥ 0
(c ) Si el crédito debe ser pagado en 30 años, después de 360 pagos mensuales de k nuevos soles, calcule el valor apropiado de k .
(d) ¿Cuál es el pago total hecho al banco después del periodo de 30 años?
0.12/ .100,000 /100,000 / .101,000
12S S S
Ecuación en Diferencias Problemas
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BIBLIOGRAFIA
![Page 33: Pd Cap 05 Ec Diferencia 15 II](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051218/5695d4881a28ab9b02a1c7ea/html5/thumbnails/33.jpg)
BIBLIOGRAFIA
[1] A. V. Oppenheim, y R.W.Schafer, Capítulo 2: Señales y Sistemas en Tiempo Discreto, TRATAMIENTO DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO, 2.ª Edición, Editorial Prentice Hall, pp. 35-41, 2000.
[2] J. G. Proakis, y D. G. Manolakis, Capítulo 1: Introducción, TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES, 3.ª Edición, Editorial Prentice Hall, pp. 95-118, 2000.
Ecuación en Diferencias
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Fin del Capítulo V
Ecuación en Diferencias