parte i - u-cursos · 8 capÍtulo1. electrostÁtica problema1.10 (f) considere un cono de altura hy...

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Parte I

Problemas Propuestos

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CAPÍTULO 1

Electrostática

1. Cálculo de Campo/Potencial Eléctrico por Definición

Problema 1.1 (♦)Un disco de radio a completa un casquete semiesféricode radio a. Ambas superficies tienen densidad de cargauniforme σ . Calcule el campo eléctrico en un punto a

2sobre el eje Z.

Hint:

d

dx

[r − z cos(x)

z2√r2 − 2rz cosx+ z2

]=

(z − r cosx) sinx

(r2 sin2 x+ (z − r cosx)2)32

Casquete Semiesférico

Disco

a

X

Y

Z

s

s

Problema 1.2 (♦)Un anillo de radio R0 tiene una carga Q positiva, la cualestá distribuida de manera uniforme sobre el anillo, co-mo se ilustra en la figura. Considere una carga puntualde carga negativa q (q < 0) y masa m, la cual es de-positada en reposo sobre el eje central del anillo cercadel centro representado por el punto A, además la car-ga está soldada a un resorte ideal de constante elásticak0 y largo natural cero con extremo fijo en el punto A.Calcule la frecuencia de oscilación partícula puntual. In-dicación: Considere que la partícula se mueve sobre eleje central del anillo.

R0

k0

Q

qA

6 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA

Problema 1.3 (•)Una densidad de carga lineal λ está repartida de for-ma homogénea a lo largo de un semicircunferencia BDcentrada en C y de radio R. Una carga puntual q es-tá ubicada en punto A como se indica en la Figura 1(CA = R).

a) Calcule el potencial eléctrico en el punto C, V (C).

b) Por argumentos de simetría, determine la direc-ción del campo eléctrico ~E(C). Calcule ~E(C).

c) Determine la relación entre λ y q tal que ~E(C) =0

R

R

C

A

B D

l

q

Problema 1.4 (•)Se tienen dos anillos coaxiales del mismo radio , a, con-tenidos en planos paralelos y separados entre sí una dis-tancia L. Uno de los anillos tiene densidad de cargauniforme +λ y el otro −λ.

a) Calcule el campo eléctrico en el eje común de losanillos, o sea en el eje O′O en la figura.

b) Calcule la diferencia de potencial entre los centrosO′ y O de los anillos.

ELECTROMAGNETISMOPrueba 1

Profs. D. Escaff y C. Romero

12 de Septiembre de 2013 Tiempo: 2 hrs.

P1. Se tienen dos anillos coaxiales del mismo radio , a,contenidos en planos paralelos y separados entre sı unadistancia L. Uno de los anillos tiene densidad de cargauniforme λ y el otro !λ .a) (4 puntos) Calcule el campo electrico en el ejecomun de los anillos, o sea el eje O"O en la figura1.

b) (2 puntos) Calcule la diferencia de potencial entrelos centros O y O" de los anillos.

R }

O

}

L

+ λ

− λ

O’

Figura 1: Par de anillos coaxiales y paralelos, con cargasopuestas, del problema 1.

P2. Una densidad de carga ρ =Crλ , donde λ # 0, lle-na el espacio interior definido por una esfera de radio R,centrada en el origen.

a) (1 punto) Calcule la carga total de la esfera Q.

b) (3 puntos) Calcule el campo electrico en todo el es-pacio.

c) (2 puntos) Determine el potencial para todo r, enfuncion de la carga Q de la esfera.

P3. Considere dos conductores esfericos concentricos deradio a y b > a. El conductor exterior esta conectado atierra y el conductor interior esta a potencialV0.

R

R

r

ρ(r)

a) b)

Figura 2: (a) Dibujo esquematico de la densidad de cargadel problema 2, donde mas oscuro simboliza mas carga-do. (a) Densidad de carga como funcion de la distancia alorigen r.

a) (4 puntos) Encuentre el campo electrico en el espa-cio entre los conductores. Exprese su resultado enfuncion de los datos del problema: V0, a ,b y cons-tantes.

b) (2 puntos) Encuentre una relacion entre a y b; talque, el campo electrico en r = a sea un mınimo.

a

}}

b

Tierra

V0

Figura 3: Corte transversal del par de conductores esferi-cos y concentricos del problema 3. En gris las regionesconductoras y en blanco los espacios vacıos.

1

Problema 1.5 (•)Un alambre semi-infinito cargado yace sobre el semiejepositivo x. El alambre posee una densidad lineal homo-génea λ0.

a) Determine el valor del campo eléctrico en el puntoA de la figura el cual está ubicado sobre el eje ya una distancia a del origen.

b) Determine el valor del campo eléctrico en el puntoB de la figura el cual está ubicado sobre el eje xa una distancia a del origen.

A

l0

O

a

x

y

aB

Problema 1.6 (F)

Considere un alambre muy delgado como el de la figura,éste esta compuesto por dos rectas infinitas y una arcode circulo de 135◦. El alambre tiene una densidad linealde carga λ constante. Encuentre el campo producido enel punto P .

135�

R

l

P

autor: rchi / agradecimientos: smarquez, lmateluna

1. CÁLCULO DE CAMPO/POTENCIAL ELÉCTRICO POR DEFINICIÓN 7

Problema 1.7 (♦)Considere un plano infinito con carga superficial σ > 0.El plano contiene un orificio circular de radio R en susuperficie.

a) Calcule el campo eléctrico en cualquier punto deleje z.

b) A lo largo del eje del orificio se coloca una líneade carga de largo a, densidad lineal λ > 0 y cuyopunto más próximo se encuentra a una distanciad del centro del orificio. Calcule la fuerza de re-pulsión que experimenta la línea de carga.

s

z

R

al

d

Problema 1.8 (♦)Calcule el campo eléctrico creado por un cono macizode altura h y semi ángulo α, uniformemente cargadouna densidad volumétrica de carga ρ0 en su vértice.

a

h

r0

Problema 1.9 (♦)La contaminación por compuestos químicos de un lagode forma circular ha dejado su densidad superficial decarga que, expresada en coordenadas polares se puedeescribir como

σ(r) = − σ0a3

(r2 + a2)32

donde “a” y σ0 son constantes conocidas. Aquí el origende coordenadas es el centro del lago. Se pide:

a) Determine el campo eléctrico que afectará la vidaen el lago. Suponga que puede estimar el dañocalculando sólo la componente z del campo debidaa la densidad superficial de carga.

b) Suponga que debido a esta contaminación, un pezadquiere una carga Q. Determine el trabajo elec-trostático que debe efectuar el pez para llegar alcentro del lago si se encontraba nadando a unadistancia “a” profundidad.

Hint:

d

dr

[−(a2 + 2r2 + z2)

(a2 − z2)√

(a2 + r2)(z2 + r2)

]=

r

((a2 + r2)(z2 + r2))32

s(r)

z

a

Versión β1.0 - Primavera 2014 FCFM - UChile


Problema 1.10 (F)

Considere un cono de altura h y radio basal h. La su-perficie (manto) del cono está cargada uniformementecon una densidad σ0. Calcule el potencial en el centrode la base del cono.

h

h

V ?

Problema 1.11 (•)Calcular el campo electrostático que genera un casqueteesférico de centro O y radio R que porta una densidadsuperficial de carga σ = σ0 cos θ (en coordenadas esfé-ricas) en su mismo centro.

qR

s = s(q)

x

z

O

Problema 1.12 (♦)Dos distribuciones de carga uniformes lineales rectas delargos AB = l1 y CD = l2 se encuentran ubicadas consus extremos B y C a distancia l. Cada una posee densi-dad de carga lineal constante λ1 y λ2 respectivamente.

a) ¿Cuál es la fuerza de Coulomb entre las dos dis-tribuciones de carga?.

b) Muestre que para l � l1, l � l2 el resultadoanterior se reduce a la fuerza entre dos cargaspuntuales.

x

y

l1 l2

l2l1 l

Problema 1.13 (F)

En una primera aproximación, una montaña puede sermodelada como un cono de altura h y semi ángulo α demasa totalM distribuida uniformemente. Geofísicos handeterminado que la gravedad en su cima tiene un valor~g1 = −g1z la cual está a una distancia h sobre el nivelsuelo. Los mismos científicos saben que si la montañano existiese el campo gravitacional terrestre en el mismopunto sería ~g0 = −g0z . Determine ∆~g = ~g1−~g0. (Hint:Puede ser útil el Problema ??)

h

aa

z


2. LEY DE GAUSS 9

2. Ley de Gauss

Problema 2.1 (•)Una distribución de carga esférica ρ se extiende desder = 0 a r = R, con

ρ = ρ0

(1− r2

R2

)

Calcular:

a) La carga total Q.

b) El campo eléctrico en todo el espacio.

c) El potencial eléctrico en todo el espacio.

R

Problema 2.2 (♦)Considere un cable coaxial infinito y rectilíneo, el cualestá compuesto por un cilindro central y diferentes cas-quetes cilíndricos, de radios R1, R2, R3 y R4 respectiva-mente, como se ilustra en la figura. Cada material tienerespectivamente una densidad de carga volumétrica ρ1,ρ2, ρ3 y ρ4 (Ver Figura). En el caso que el cilindro ysegundo casquete cilíndrico (de radio R3) tienen densi-dad de carga cero (ρ1 = ρ3 = 0). Encuentre el campoeléctrico en todo el espacio.

Control I

Electromagnetismo FI2002-2009-01

Prof. Marcel G. ClercAuxiliares: Daphnea Iturra & Alejandro Jara

Tiempo: 3:00 Hrs.

PACS numbers:

I. CABLE COAXIAL

Considere un cable coaxial infinito y rectilıneo, el cualesta compuesto por un cilindro central y diferentes cas-quetes cilındricos, de radios R1, R2, R3 y R4 respecti-vamente, como se ilustra en la figura. Cada materialtiene respectivamente una densidad de carga volumetrica⇢1, ⇢2, ⇢3 y ⇢4 (Ver figura).

R1,ρ1=0

R2,ρ2R3,ρ3=0

R4,ρ4

R1 R2

R3

R4

FIG. 1: Cable coaxial.

En el caso que el cilindro y segundo casquete cilıdrico(de radio R3) tienen densidad de carga cero (⇢1 = ⇢3 =0), Encuentre el campo electrico en todo el espacio.

FIG. 2: representacion de atomo

II. ATOMO

Un atomo esta caracterizado por tener una gran con-centracion de cargas positivas en un pequeno nucleo, elcual esta rodeado por una nube de cargas negativas.

Si la densidad de cargas tiene una distribucion radial–esferica–de la forma

⇢(r) = Ze↵e�↵r

4⇡r(1� ↵r),

donde r es la coordenada radial, Z es el numero atomico,e es la carga del electron, y ↵ es parametro de apan-tallamiento. Encuentre el campo en todo el espacio.

III. OSCILACION

Un anillo de radio R0 tiene una carga Q positiva, lacual esta distribuida de manera uniforme sobre el anillo,como se ilustra en la figura.

Considere una carga puntual de carga negativa q (q <0) y masa m, la cual es depositada en reposo sobre eleje central del anillo cerca del centro representado por elpunto A, ademas la carga esta soldada a un resorte idealde constante elastica k

o

y largo natural cero con extremofijo en el punto A. Calcule la frecuencia de oscilacionpartıcula puntual q [1].

xA

Q

q

R0

B

k0

FIG. 3: Anillos cargado

[1] Indicacion Considere que la partıcula se mueve sobre el eje

central del anillo.

Problema 2.3 (♦)Se tiene una placa infinita no conductora de espesordespreciable la cual posee una densidad superficial decarga−σ, y continua a ella, un bloque infinito de espesorD con una densidad de carga uniforme +ρ. Todas lascargas están fijas. Calcule la dirección y la magnitud delcampo eléctrico:

a) a una distancia h encima de la placa cargada ne-gativamente.

b) dentro del bloque a una distancia d debajo de laplaca cargada negativamente (d < D).

c) a una distancia H bajo fondo del bloque.

+r

�s

D



Problema 2.4 (•)Considere la siguiente distribución de volumétrica de car-ga en coordenadas esféricas

ρ(r) =

{−nρ 0 < r < aρ a ≤ r ≤ b

Donde ρ es una constante y n es un entero no negativo.Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio.

a

b

�nrr

Problema 2.5 (♦)Considere dos placas paralelas cargadas con densidades+σ y −σ de ancho d como muestra en la figura. Searroja una carga +q horizontalmente por el espacio entrelas placas con una velocidad vx. Despreciando efectos deborde, encuentre la trayectoria seguida por la partículacargada y el ángulo que hace su vector de velocidadcon la horizontal en el momento de salir. Asuma que laseparación de las placas es suficiente para que la cargapueda salir de ellas.

vxx +s

�s

d

Problema 2.6 (♦)Considere una esfera maciza de radio R y carga Q. De-termine el flujo de campo eléctrico sobre el cuadrado delado a mostrado en la Figura.

x

y

z

a

a

a

Problema 2.7 (♦)Considere una esfera maciza de densidad de carga ρ0 yradio R la cual posee una perforación esférica de radioa < R

2 a una distancia de d entre sus centros. Demuestreque el campo eléctrico es constante en cualquier puntodentro de la cavidad y determine su valor.

O~d

O0

R

a


2. LEY DE GAUSS 11

Problema 2.8 (F)

Considere dos cilindros infinitos de radios R0 los cualesposeen sus ejes paralelos al eje z (entran y salen de lahoja de papel). Los densidades de carga volumétricasde los cilindros son ρ y −ρ y sus ejes centrales pa-san por los puntos (x0, 0) y (−x0, 0), respectivamente. .

Considerando que x0 < R0, determine:

a) El campo eléctrico en la zona de intersección.

b) Si x0 � R0, ambos cilindros quedan infinitesimal-mente cerca, creando un único cilindro equivalen-te de radio R0 con una densidad de superficial decarga σ(θ). Encuentre el valor de esa densidad.

+r�r

R0

x0�x0 x

(a)

(b)s(q)

xq

y

y

Cilindro Equivalente (x0 ⌧ R0)

Problema 2.9 (♦)Dentro de una esfera de radio a centrada en el origenhay un campo eléctrico

~E(r ≤ a) =E0

ε0

(ra

)2r

Para r > a hay vacío. Se pide determinar

a) La distribución de carga ρ(r) para r ≤ a.

b) El campo ~E y el potencial eléctrico para r > a

c) El potencial eléctrico V (r < a).

ar(r)?

Problema 2.10 (•)Un cilindro infinito de radio R tiene su eje coincidentecon el eje z. El cilindro posee una densidad volumétricaρ(r) = r

a donde a es una constante positiva y r es ladistancia desde el eje del cilindro.

a) Calcule la carga contenida en un cilindro centradoen el eje z, de radio r y altura h para los casosr < R y r > R.

b) Determinar el campo eléctrico ~E(r) en todo elespacio.

c) Calcular el potencial eléctrico V (r) en todo el es-pacio. Tome como referencia V (r = 0) = 0.

d) Grafique | ~E(r)| y V (r) en función de r.

z

R

r(r) =ra



Problema 2.11 (•)Considere un cable infinito cargado con una densidadlineal de carga λ0 rodeada por un casquete cilíndricoinfinito de radio R de densidad superficial homogéneaσ0. Si la densidad lineal coincide con el eje del cilindro,determine:

a) El campo eléctrico en todo el espacio, ¿es conti-nuo el campo eléctrico?.

b) El potencial eléctrico en todo el espacio, ¿es con-tinuo el potencial eléctrico?. (Use como referenciaV (r = R) = 0)

c) Si el alambre se desplazara una distancia δ del ejedel cilindro, ¿cómo determinaría el nuevo valor delcampo eléctrico?.

s0

l0

R

Problema 2.12 (♦)Use el teorema de Gauss para encontrar el campo eléc-trico debido a una distribución de carga

ρ = ρ0e−k|z|

con ρ0 y k constantes positivas.

a) Muestre que el campo es de la forma ~E =(0, 0, E(z)), con E(−z) = −E(z) para z > 0.

b) Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio.

r(z)z

Problema 2.13 (F)

Se tiene una fuente cargada que consiste en una rectainfinita cargada, con densidad uniforme λ y un planoinfinito cargado con densidad de carga uniforme σ. Larecta forma un ángulo agudo 2α con el plano. Considereun punto P está a una altura h sobre el plano. Determine

a) El campo eléctrico total en un punto P sobre larecta que bisecta al ángulo entre la recta y elplano.

b) El trabajo necesario para mover una carga puntualq0 desde el punto P hasta el punto Q el cual estáubicado a una distancia h

2 sobre el plano.

aa

h

l

s

P

(a) Vista Isométrica

aa

h

P

(b) Vista Frontal

s

Q

Qh2


3. CONDUCTORES, CONDENSADORES Y ENERGÍA 13

3. Conductores, Condensadores y Energía

Problema 3.1 (♦)

a) Calcule la fuerza eléctrica que actúa sobre las pla-cas de un condensador de placas planas, cargadocon carga Q.

b) Considere que la carga Q sobre las placas del con-densador se mantiene y que su capacidad es C.Calcule el trabajo que se realiza al llevar las placasa la mitad de la distancia original, manteniendo lacarga constante.

c) Este nuevo condensador se conecta en paralelocon otro condensador inicialmente descargado eigual al condensador de la parte (a). Calcule ladiferencia de potencial entre las placas del con-densador equivalente.

+Q

�Q

Problema 3.2 (♦)Se desea diseñar un condensador esférico a partir deun casquete conductor esférico de radio exterior a, quesea capaz de almacenar la mayor cantidad de energíaposible, sujeto a la restricción que el campo eléctrico enla superficie de la esfera conductora interior, concéntricacon el casquete y de radio b < a, no pueda exceder unvalor dado E0. Calcule, en función de E0, a y constantes,el valor que debe tener el radio b y la magnitud de laenergía que puede almacenar el conductor.

b

a

Problema 3.3 (•)Un alambre infinito tiene una distribución lineal de cargaλ > 0. El alambre se encuentra ubicado en el centro deuna superficie cilíndrica conductora infinita muy delgadade radio R conectada a tierra como se muestra en laFigura.

a) Encuentre la densidad de carga superficial induci-da σ en la superficie interior conductora.

b) Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio.

c) Encuentre el potencial eléctrico en todo el espacio.

l

R



Problema 3.4 (♦)Se tienen dos esferas conductoras de radio R1 y R2

separadas entre si una distancia suficientemente grandeque asegura que cualquier carga sobre ellas se distribuyeuniformemente, sin que la presencia de una esfera afectea la otra. Se desea distribuir una carga Q entre las dosesfera de manera que la energía potencial electrostáticadel sistema de las dos esferas sea mínima. Claramente,en una esfera habrá Q−q y en la otra q. ¿Cuánto vale q,cuál es energía total y cuál es el potencial de cada esferacuándo se alcanza la condición de energía mínima?.

R1

R2

Muy

Lejos

Problema 3.5 (•)Una esfera metálica se encuentra inicialmente descarga-da. Ahora imagine que una carga positiva q es colocadaen algún lugar (no necesariamente el centro) dentro dela esfera y sin tocar las paredes.

a) ¿Qué carga se induce en la pared interior y exteriorde la esfera?. Indicar cualitativamente la concen-tración de densidad de carga inducida.

b) Suponga que se mueve la carga q dentro de lacavidad. ¿Cambia la distribución en la superficieexterior de la esfera?.

c) Ahora se coloca una carga q en contacto con lasuperficie interior de la esfera. ¿Cómo queda ladistribución de carga en la superficie interior y ex-terior?.

d) ¿Qué sucede si ahora se acerca otra carga q′ cercade la superficie exterior del conductor?.

q

Conductor

Problema 3.6 (♦)Un ión es acelerado desde el reposo hasta una diferenciade potencial V0 para luego entrar en una región entredos electrodos cilíndricos muy largos A y B, de radiosa y b respectivamente (a < b). El ión recorre una mediacircunferencia de radio r0 haciendo una trayectoria cir-cular. Despreciando efectos de borde y asumiendo quelos cilindros son muy largos en comparación al espa-cio que los separa, encuentre la diferencia de potencialVBA. Fuente de Iones

ab

r0

AB

V = VO

V = 0



Problema 3.7 (♦)Uno de los primeros modelos de átomo, como un entecompuesto de partes cargadas, lo propuso el descubridordel electrón Joseph John Thomson en 1904. Este mo-delo, también conocido como el modelo del pastel defresas, concibe al átomo como una esfera de carga po-sitiva, en la cual están incrustados los electrones. En elespíritu del modelo del pastel de fresas, modelemos unátomo de hidrogeno (en equilibrio estático) como unaesfera de radio R1 de carga negativa −e uniformementedistribuida en su volumen (el electrón fresa), rodeadade una esfera más grande (concéntrica a la primera), deradio R2 > R1, con carga positiva +e uniformementedistribuida en el volumen comprendido entre R1 y R2.Determine la energía de formación de este átomo (i.e.el trabajo necesario para formarlo trayendo las cargasdesde el infinito).

-+

R1

R2

Problema 3.8 (F)

Considere dos esferas conductoras de radios a y b. Lasesferas están lo suficientemente lejos una de otra comopara despreciar su interacción, (i.e. el equilibrio electro-estático de una esfera no se ve afectado por el campoque genera la carga contenida en la otra).

a) Suponga que las esferas tienen cargas Q1 y Q2,respectivamente. Las esferas se ponen en contac-to mediante un cable lo suficientemente largo, elcual posee un interruptor. Se conectan las dos es-feras y se espera hasta que el sistema alcance elequilibrio electroestático, para luego desconectarel interruptor. Determine la carga que posee ca-da esfera luego que se desconecta el interruptor.¿Qué esfera queda con mayor carga?.

b) Considere ahora que las esferas están descargadasy desconectadas. Suponga ahora que la distan-cia que separa las esferas es d � a, b desde suscentros. Considerando que dos conductores cua-lesquiera pueden formar un capacitor, determinela capacitancia de esta configuración.

a

b

Interruptor



Problema 3.9 (•)Considere una esfera maciza conductora de radio a seencuentra a un potencial V0 en toda su superficie conrespecto al infinito. La esfera esta recubierta por un cas-quete esférico conductor de radio interno b y radio ex-terno c.

a) Determine el campo eléctrico y el potencial eléc-trico en todo el espacio. Además encuentre lasdensidades de carga inducidas en los conductores.

b) Si el casquete esférico se conecta a tierra, ¿cómocambian sus respuestas anteriores?.

b

a c

Problema 3.10 (•)Una carga +Q se encuentra inserta en un alambre con-ductor de largo L y radio R0 muy pequeño. Un cascaróncilíndrico conductor neutro de radios interno R1 y ex-terno R2 y largo L es ubicado simétricamente alrededordel alambre (ver figura). Tener en cuenta que: R0 � R1,R2 � L. Calcule:

a) La densidad lineal de carga λ del alambre.

b) La densidad superficial de carga en la capa internay externa del cascarón; y la densidad volumétricade carga dentro del conductor.

c) El campo eléctrico en todo el espacio.

Ahora deposite una carga −Q en el cascarón cilíndrico,calcule:

d) Las nuevas densidades de carga superficiales en lascapas interna y externa del cascarón, y también ladensidad volumétrica dentro de éste.

e) El nuevo campo eléctrico en todo el espacio.

f) La diferencia de potencial entre el cilindro y elalambre ∆V = Vcilindro − Valambre.

g) La capacidad (o capacitancia) del sistema.

h) La energía almacenada en el sistema.

i) La capacidad C ′ si ahora el alambre tiene carga+2Q y el cascarón tiene carga -2Q.

R1

R2

R0



Problema 3.11 (•)Considere dos condensadores cilíndricos como se indi-can en la figura. Los condensadores tienen radios R1 yR2 (condensador izquierdo) y el de la derecha R3 y R4

(condensador derecho), determine la capacitancia equi-valente en A y B. Considere que R1, R2, R3, R4 � L.

A B

R1

R2

R3

R4

L

Problema 3.12 (•)Una esfera maciza de radio a y carga Q uniformemen-te distribuida es blindada por una capa conductora deespesor uniforme a. La carga neta de la capa es nula.Calcule y grafique el potencial φ(r) en todo el espacio.Considere φ nulo infinitamente lejos de la esfera.

a

2a

Q

Problema 3.13 (F)

Un bloque macizo infinito en sus coordenadas x e y,posee su espesor entre z = a y z = −a. En el espacioexiste una densidad de carga dada por

ρ(z) =

0 |z| > a

ρ0

[exp

(−z + a

δ

)+ exp

(z − aδ

)]|z| ≤ a

con ρ0 y δ constantes positivas conocidas.

a) El campo eléctrico en todo el espacio.

b) Si δ � a, determine nuevamente el campo eléc-trico en el espacio ¿qué tipo de comportamien-to presenta el material?. Justifique su respuesta.Dibuje las líneas de campo en la próximidad delmaterial considerando la aproximación.

c) Usando el campo eléctrico calculado en b) deter-mine el potencial electrostático en todo el espacio.Use como referencia V (z = −a) = V0. Dibujeclaramente las superficies equipotenciales.

z = a

z = �a

z

yr(z)



4. Ecuación de Laplace/Poisson y Método de las Imágenes

Problema 4.1 (♦)Una lámina no conductora coincide con el plano xy.Las únicas cargas en el sistema están sobre la lámina.Se sabe que en el semiespacio z > 0 el potencial esV (x, z) = V0e

−kz cos kx, donde V0 y k son constantes.

a) Verifique que este potencial satisface la ecuaciónde Laplace en el semiespacio z > 0.

b) Encuentre la ecuación para las líneas de campoeléctrico

c) Encuentre la distribución de carga sobre la lámina. x

y

z

Problema 4.2 (♦)Considere la configuración mostrada en la Figura, la cualconsiste en dos planos infinitos conectados a tierra ubi-cados en x = −b y x = b, y bloque infinito con unadensidad de carga volumétrica constante ρ que ocupa elespacio entre x ∈ [−a, a]. Usando la ecuación de Lapla-ce y Poisson, determine el potencial eléctrico entre lasdos placas.

x+a�a�b +b

r

Problema 4.3 (•)Considere dos condensadores formado por dos cas-quetes esféricos conductores concéntricos de radiosR1,R2,ρ1,ρ2 respectivamente. Cada conductor en su po-lo sur tiene una pequeña perforación para conectar elcasquete inferior (ver figura). Si apropiadamente se co-necta cables a los casquetes exteriores y a los interiores,como se ilustra en la figura, encuentre usando la ecua-ción de Laplace la capacitancia del condensador entrelos puntos A y C.

A

C

R1

R2

r1

r2


4. ECUACIÓN DE LAPLACE/POISSON Y MÉTODO DE LAS IMÁGENES 19

Problema 4.4 (♦)Considere un plano conductor z = 0, conectado a tierray frente al cual se ha colocado una carga q en el puntox = 0, y = 0, z = h.

a) Calcule la densidad de carga sobre el plano. Ex-prese su resultado en función de la distancia delorigen a un punto cualquier sobre el plano.

b) Calcule la carga encerrada en un disco de radio ddibujado sobre el plano conductor con centro enel origen. ¿Para qué valor de d la carga encerradapro el disco es − q

2?.

c) Calcule el trabajo que es necesario realizar parallevar una carga q desde x = 0, y = 0, z = hhasta x = 0, y = 0, z = 2h, en presencia delplano conectado a tierra.

q

h

X

Y

Z

Problema 4.5 (♦)Considere un casquete esférico cargado de radio R ycon una densidad de carga superficial σ. Si el centro delcasquete esférico se sitúa a una distancia horizontal ay vertical b con respecto a un plano conductor infinitodoblado en 90o. Encuentre la densidad de carga σx y σysobre los ejes y bosqueje su forma aproximada.

a

bR

+s

Problema 4.6 (F)

Considere una carga puntual q, la cual es colocada en labisectriz de dos conductores ideales planos que formanun ángulo de 45o grados (ver figura). Si la carga tie-ne una una distancia d a los conductores, encuentre laforma del potencial electrostático entre los conductores.

q

d45�

d



Problema 4.7 (F)

Una carga puntual q se ha puesto a una distancia ddel centro de una esfera maciza metálica. Si la esferaposee una carga neta Q, determine la fuerza que sientela carga q.

R q

d

Q

Problema 4.8 (F)

En un túnel minero existe un cable que atraviesa toda sulongitud, a una distancia d del techo del túnel. El túnelpuede ser modelado como un cilindro infinito de radioR, de modo que el cable se mantiene siempre paraleloal eje imaginario del túnel. En cierto instante, el cableadquiere una densidad de carga lineal +λ en toda suextensión.

a) Encontrar una expresión para el potencial V (r, θ)dentro del túnel, en términos de r y θ (coordena-das polares).

b) Determinar la densidad de carga σ(θ) en la pareddel túnel.

c) ¿Cuál es la carga total por unidad de longitudinducida en la pared del túnel?

d) ¿Cuál es la fuerza por unidad de largo que sienteel cable?

q

R

d

Problema 4.9 (♦)Una carga puntual q se ha puesto a una distancia ddel centro de una esfera maciza metálica. Si la esferase encuentra conectada a una batería de potencial V0,determine la fuerza que siente la carga q.

+

R q

V0

d


4. ECUACIÓN DE LAPLACE/POISSON Y MÉTODO DE LAS IMÁGENES 21

Problema 4.10 (♦)Considere una guía de onda, la cual es una tubería me-tálica de sección rectangular de ancho a y alto b. Lasplaca inferior y laterales están conectadas a tierra, esdecir, a potencial cero. La placa metálica superior tie-ne una tensión periódica de período 2πn

a (donde n esun número entero), V (x, y = b) = V0 cos(2πn

a x), V0

da cuenta de la intensidad de la tensión. Encuentre latensión al interior, V (x, y). x

y

b

a

V = V0 cos✓

2pa

x◆

Problema 4.11 (♦)Se tiene una guía rectangular infinita de lados a y b,compuesta por cuatro láminas planas conductoras. Dosde ellas se conectan a tierra, mientras que en las restan-tes existe un potencial contante de valor V0, tal comose indica en las Figuras.

a) ¿Cuáles son las condiciones de borde del proble-ma?

b) Calcule una expresión general para el potencial en-tre las placas usando el método de separación devariables. Muestre todos los casos posibles e indi-que el caso que cumplen las CB. Realice el cálculoconsiderando que cada lado actúa por si solo y fi-nalmente superponga las soluciones encontradas.

a

b

+V = V0

V = V0

+

V = V0

V = V0

V = 0V = 0

Problema 4.12 (♦)Usando el método de separación de variables, calcular elpotencial V (x, y) en el interior de un recinto plano comoel indicado en la figura 1, con las siguientes condicionesde borde:

V (0, y) = 0; V (x, 0) = 0;

∂V

∂x

∣∣∣∣x=a

= 0;∂V

∂y

∣∣∣∣y=b

= −E0

y

xa

b


parte i - u-cursos · 8 capÍtulo1. electrostÁtica problema1.10 (f) considere un cono de altura hy...

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