partÍcula libre: se llama así a una dinÁmica...

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DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA

2da Semana

2Isaac NewtonIsaac Newton

16421642--17271727

3

• PARTÍCULA LIBRE: Se llama así a una partícula que está AISLADA, es decir, es única en el universo.

Sistema de Referencia Inercial (SRI)

•• SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL (SRI):SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL (SRI):Es todo objeto que está en EQUILIBRIO con una PARTÍCULA LIBRE. Despreciando el efecto de la rotación alrededor del sol y de su propio eje LA TIERRA ES UN SRI.

• EQUILIBRIO: Ocurre cuando una partícula tiene ACELERACIÓN NULA respecto de una partícula libre.

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• FUERZA: Resulta de la interacción entre dos objetos.

• Es una cantidad vectorial.• En el SI la unidad es el newton, N.• 1 N = 1 kg·m·s-2

Fuerza

• Cumple con el principio de SUPERPOSICIÓN.

1F

2F

3F

4Fm

2 3 4 =∑1 iiF = F + F + F + F F

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Ejemplos de fuerzasFuerzas de contacto Fuerzas de campo

m M

q Q

Hierro N S

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FUERZAS BÁSICAS EN LA NATURALEZA

FUERZA

La fuerza gravitatoria

La fuerza electro débil

La fuerza nuclear fuerte

Se debe a la “carga eléctrica”.•Fuerzas: eléctricas, magnéticas, electromagnéticas (10-2); y•La nuclear débil (10-12).

•Tiene lugar entre partículas (protones y neutrones) en el interior del núcleo atómico.•Orden de magnitud: 100

Se debe a la “masa”.fuerza de largo alcance.Orden de magnitud: 10-39

Se clasifican según las propiedades intrínsecas de la materia

7

Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, mientras no haya fuerza neta sobre él.

Primera ley de Newton(ley de inercia)

Se mueve a velocidad constante Se detiene bruscamente

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SEGUNDA LEY DE NEWTON

LA ACELERACIÓN ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A LA FUERZA

VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN CON LA FUERZA

m

a

F m

2a

2F m

3a

3F

a

o

F

2Kg4Kg

6Kg

o

o

Masa cte

9

LA ACELERACIÓN ES INVERSAMENTE PROPORCIONAL A LA MASA

VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN CON LA MASA

1 m

a1

F 2 m

a2

F

a3

3 mF

m (Kg)

a (m/s2)

F cte


10

SEGUNDA LEY DE NEWTONLa aceleración de una partícula es directamente proporcional a la fuerza neta sobre ella, y es inversamente proporcional a su masa.

m

F2

F1

F3

m

FR

a

R2m

ms

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Fa

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SEGUNDA LEY DE NEWTONSobre una partícula (m = 1 kg) que se mueve sobre un plano inclinado liso y con velocidad inicial v(0) = -12ii-9jj m/s, se aplican las fuerzas F1 = 2,5t N (t es el tiempo) paralelo al plano inclinado y hacia arriba; y F2 = 10 N a lo largo del eje horizontal +x. Si gg = -10 jj m/s2 y la acción de la superficie es normal sobre el bloque, halle : a) El ángulo de inclinación del plano b) La fuerza neta y la aceleración del bloque c) La velocidad en t = 5 s

y

x

v -9 3a) tg α= = = α=37ºv -12 4

⇒

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆb) m 2,5 0,8 0,6 10 10 10+2 -10+1,5 N+ + −1 2F = F + F g N = t i + j + i j = t i + t j

( ) ( ) 2

mˆ ˆ10+2 -10+1,5m sFa = = t i + t j

( ) ( ) ( )5 5

0 0

mˆ ˆ ˆ ˆc) d t dt 10+2t -10+1,5t dt 63 40,25s

⎡ ⎤⇒ ⇒ = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫0

v

0vv = a v - v = i + j v i j

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1.La figura muestra los cuerpos m1, m2 y m3(m2<m3) inicialmente en reposo. Considerando las superficies lisas, las cuerdas y poleas ideales, halle:

a. La aceleración de cada bloque. b.La tensión en las cuerdas.c. La rapidez de m2 luego de haber recorrido

la distancia s.

) ( ) ( ) ( )2 1 3 1 1 2 3 1 2 3a De la fig: x -x + x -x =cte 2x +cte=x +x 2a =a +a 1⇒ ⇒

( )2 2 2m g-T=m a 2m2

T

2m gm3

T

3m g

( )3 3 3m g-T=m a 3

m11T

1m g

N ( )1 1 1T =m a 4

TT

1T

( )2 51T = T

1 2 1 2 1 2Resolviendo: Sea D=4m m +m m +m m


2 31

4m ma = gD

1 2 1 3 2 32

m m -m m +4m ma = gD

1 2 1 3 2 33

-m m +m m +4m ma = gD

13


) 1 2 3 1 2 311 1 1

1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3

4m m m 2m m mTb T =m a = g; T gm m +m m +4m m 2 m m +m m +4m m

= =

) 2 1 2 1 3 2 32 02 2

m m -m m +4m mc v v 2 sa = 2s gD

= +

NOTA.NOTA.-- Este procedimiento funciona muy bien cuando el movimiento de las partículas interconectadas es a lo largo de una dirección , como el ejemplo mostrado en la figura.

1 2 1 3 2 31

1 2 1 3 2 3

-m m -m m +4m ma = gm m +m m +4m m

Rpta:

14

Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero otra fuerza de igual magnitud en la misma dirección pero con sentido contrario.

2

1

FF

Tercera ley de Newton(ley de acción y reacción)

•Las fuerzas de (acción – reacción) actúan sobrecuerpos diferentes.

F = -F F

F

15

F´

F

F’

F

Tercera ley de Newton(ley de acción y reacción)

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Caja sobre plano inclinado

w = mg

F

R

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

d

m

θ

F

Acción del plano

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A

B

superficie lisa

superficie rugosa

RA

RB

W

A B•

T

WRA

articulación

A

B

A B

cable


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• El sistema mostrado esta en equilibrio; el peso del bloque A es mayor que el peso de B.• Indique cuál es el diagrama de cuerpo libre más adecuado para el bloque B

B

A

B


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Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero (∑ F = 0), según la primera ley de Newton, la partícula está en reposo o con MRU, es decir en equilibrio.

FR=∑ F = 0 ⇒ Equilibrio ⇒ Reposo o MRU

Equilibrio de una partícula(Fuerzas Concurrentes)

N

w

N = - w

FR = 0

F2

F1

m

F3

F1 + F2 + F3 = 0

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Equilibrio de una partícula

Las cuerdas y las poleas de la figura son ideales. Si el bloque mostrado está en equilibrio, halle las tensiones en las cuerdas A y B

( )A BDCL polea B: F=0 T -2T 0 1⇒ =∑

( )A BDCL bloque: F=0 T +T -60=0 2⇒∑

( ) ( ) B ADe 1 y 2 : F=0 T =20 N; T =40 N⇒∑

ΑΤ

BΤBΤ ΑΤ BΤ

W

21

FUERZAS DE FRICCIÓN

22

f

El ladrillo después de ser lanzado se detiene ..

Superficie de contacto en el ladrillo

Superficie de contacto en el piso


23


24fk =µk N

µk : Coeficiente de rozamiento cinéticoµs : Coeficiente de rozamiento estáticofk : Fuerza de rozamiento cinético

Fuerza de Fricción, f

fs(max) =µs N

Región Estática Región Cinética

fs = Ffk = µk N

Fuerza aplicada al cuerpo, F


F

f

N

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FUERZAS DE FRICCIÓNUn patinador (m=70 kg) empieza a descender por un plano inclinado 30º respecto a la horizontal, desde una altura de 2 m. Al final del plano hay un corte vertical debajo del cual existe un foso de anchura 5 m y cuyo nivel superior está a 10 m por debajo del final del plano. Si el coeficiente de fricción es de µ = 0,024, calcule:a ) La velocidad al final del plano.b ) La distancia del corte vertical a la que caerá. Supera l foso?c ) Velocidad mínima que debe tener al final del plano para salvarlo.

θ

d

h

L( )P 5,-10

AO

y

x 1N mgfDCL

A 1

θ=30º; h=2 m; d=10 m;L=5 m; v =0; = Nf µ

y' 1 1F 0 N -mgcosθ=0 N =35 3 N= ⇒ ⇒∑

( ) 2x'F ma mgsenθ- =ma a=g sen30º- cos30º =4,8 mf sµ= ⇒ ⇒∑

26


) ( )2 20 A 0 0 0

h ˆ ˆˆv = v +2as 2a 2·4,8·4=6,2 v v v 3,1 3 msen30º

a s= = ⇒ = = −i j

) ( ) ( )2 2 21p 0 0 02

ˆ ˆt t =3,1 3t - 3,1t+5t y =-10=- 3,1t +5t t 1,14sb ⇒ ⇒ ≈0 0r= r +v + g i j

( )p 0 px =3,1 3t 3,1 3 1,14 x =6,12 m= ⇒ salvael foso!

) ( ) ( )

( )

2

2 2m

2

m m2 2m

1 xc Ec. trayectoria: y=-tgθx- g ; x,y = L,-d2 v cos θ

1 L L g m-d=-tgθL- g v = v =4,84 s2 v cos θ cosθ 2 d-Ltgθ⇒ ⇒

27

Ft : fuerza tangencial

FC : fuerza centrípeta

La fuerza centrípeta es perpendicular a la fuerza tangencial

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR

ˆ2

CvF = m NR

dv ˆmdttF = T

+R t NF = F F

CF

RF

tF

m

R

T̂

N̂

28

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.

v ˆmR

2

CF = N

R NF = F

29

FUERZAS EN MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

FUERZA CENTRÍPETAcc amF =

T TF = m a = c teFUERZA TANGENCIAL

FUERZA TOTAL

+R t NF = F F

ˆ2

CvF = m NR

d v ˆmdttF = T

Dirección centrípeta

R = Radio de la Circunferencia

taCa

aR

Dirección tangencial

El movimiento circular generalizado no restringe a la fuerza tangencial

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FUERZAS EN MOVIMIENTO CIRCULAR

Considere dos puntos –cada uno de masa 1 kg- sobre la superficie terrestre uno en el ecuador y otro en Lima (-12ºde latitud) . Para cada uno debido a la rotación de la Tierra (mT=5,96x1024 kg; RT = 6400 km), calcule:a) La velocidad y la aceleración.b) Fuerza normal.

) -5T

2π 2πa ω= = =7,27×10 rad s v=ωR =465,42 m sT 24·3600

⇒

-5 2a=ωv=7,27×10 ×465,42=0,034 m s

) ( )( ) N0,0340,0341maFFb NNTOTAL ====

31

Fuerza de Gravitación Universal

32

Es la fuerza con la que los objetos en el universo se atraen debido a su masa.

G = 6,67 X 10-11 m3 kg-1 s-2

Ley de Gravitación Universal

( )1 22

m ·m ˆF=-G r Nr

Fr

r̂

1m

2m

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PESOEl peso es la fuerza de gravitación universal que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. Su magnitud es dependiente de la aceleración de gravedad g y de la masa m del cuerpo.

mgmg

T2T

M ·mF = G = mgR

m

2 2g=9,81 m s 10 m sEn la superficie terrestre

≈

T2T

Mg=GR

TRH

TM

( )T

2T

Mg=GR H+

NOTA

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•• BraheBrahe, a fines del siglo 16, fue el primer astrónomo que demostró la teoría heliocéntrica

• Hizo mediciones de la posición de los planetas con una precisión de 1 minuto de arco.

•• KeplerKepler, usó estos datos, los suyos y la geometría para determinar el movimiento de los planetas

Leyes de Kepler

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Las orbitas de los planetas son elípticas,con el Sol en uno de sus focos

•PRIMERA LEY

36

Una línea que une el planeta con el Sol barre áreas Iguales en iguales intervalos de tiempo

constantedAd=

t

•SEGUNDA LEY

2d A 1 dθ 1 1r rv rvsenφd 2 d 2 2t t ⊥= = =

vr×=21

dAdt

37

Descubierto en 1619, relaciona el periodo sideral con la longitud del semieje mayor.

El cuadrado del periodo de rotación de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor R1 ( ≈ radio medio ) de sus orbitas

3m

2 RkT =

Si T representa el periodo sideral en años y Rm el radio medio

Esta ley es válida para cualquier situación donde dos cuerpos orbitan entre sí.

•TERCERA LEY

( )1m 1 22R = R + R

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BIBLIOGRAFÍA

• SEARS F, ZEMANSKY M., et al, Física vol1, 9na ed., Addison Wesley Longman, Mexico, 1999.

• CEPREUNI, Apuntes de clase, 2004.• FIIS-UNI, prácticas y exámenes anteriores

partÍcula libre: se llama así a una dinÁmica...

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