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2014
Por Verónica Pairone
CAPÍTULO III
LA INDIA
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CONOCIENDO… LA MATEMÁTICA LA INDIA Capítulo III
2014
Colección “Conociendo la matemática”
Capítulo I : Las matemáticas prehistóricas. Egipto, la Mesopotamia, los
babilónicos.
Capítulo II: Grecia.
Capítulo III: La India.
Capítulo IV: China.
Capítulo V: Mayas, Incas y Aztecas.
Capítulo VI: Renacimiento
Capítulo VII: Siglo XVII y XVIII
Capítulo VIII: Siglo XIX
Capítulo IX: Siglo XX
Capítulo X: Siglo XXI
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CONOCIENDO… LA MATEMÁTICA LA INDIA Capítulo III
2014
Mohenjo-Daro fue una ciudad de la antigua cultura del valle del Indo. Sus ruinas se encuentran en territorio del actual Pakistán. Fue habitada durante el tercer milenio antes de nuestra era (entre el 2600 a. C. y el1800 a. C.) a orillas del río Indo.
urante el primer milenio de
nuestra era las excavaciones
arqueológicas que se han
realizado en Mohenjo Daro nos
muestran la existencia de una vieja
civilización con un alto nivel cultural en la
India, pero no ha llegado a nosotros
ningún documento del tipo matemático de
aquella época lejana. Un milenio más tarde
el país fue ocupado por los invasores arios
que procedían de las altiplanicies de Irán,
los cuales introdujeron el sistema social de
castas y desarrollaron la literatura
sánscrita.
La caída del Imperio Romano de
Occidente se sitúa tradicionalmente en el
año 476, que fue precisamente el año en el
que nació Aryabhata, el autor de uno de
los textos matemáticos hindúes más
antiguos que se conocen, sin embargo
debió haber una actividad de tipo
matemático en la India mucho antes de
esta época.
La India, tuvo como Egipto, sus
“tensadores de cuerda”, y los
conocimientos geométricos primitivos que
se fueron decantando de la planificación
de templos y la medición y construcción
de altares, adoptando la forma de un
cuerpo de conocimiento conocido como
los Sulvasütras; Sulva es una palabra que
se refiere a las cuerdas utilizadas para
mediciones, y Sütra significa un libro de
reglas o aforismos relativos a un cierto
ritual o a una ciencia. Sin embargo, la gran
dificultad que hay para atribuirle una fecha
determinada a estas reglas, es que nos
encontramos con una sorprendente falta de
continuidad de la tradición en la
matemática hindú: las contribuciones
importantes son acontecimientos
episódicos separados por largos intervalos
de tiempo sin ningún progreso.
Los Sulvasütras, son obras escritas
en verso, de las cuáles se conservan tres
versiones, la más conocida es la que lleva
el nombre de Apastamba. En esa
exposición primitiva, que puede
remontarse a la época de Pitágoras, se
encuentran reglas para la construcción de
ángulos rectos por medio de ternas de
cuerdas cuyas longitudes constituyen
ternas pitagóricas; sin embargo estas
ternas pueden derivar fácilmente de la
vieja regla babilónica para construirlas, y
por lo tanto no es improbable que hubiera
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Julio 2014
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¿Cómo acabó la palabra “seno” aplicada a un concepto trigonométrico que no tiene relación
alguna con ninguna de sus acepciones?
Todo comenzó con el tratado de Astronomía india titulado Pait mahasiddh nta, en el que aparece una tabla de jy -ardina, esto es, “medias cuerdas”, las cuales se empleaban en los cálculos astronómicos. El término volvió a aparecer en el ryabhatiya, la obra magna del matemático hindú ryabhata, que lo abreviaba como jy . Los árabes lo transcribieron a su idioma como jiba, pero, como el árabe no utiliza las vocales, en los textos aparecía sólo jb. Una lectura posterior, mal entendida o quizá mal intencionada, interpreto jb como jaib, que significa “pecho” o “seno”, y los traductores latinos la adoptaron tal cual, como sinus, que se significa “seno” , “pliege en la toga” y también “bahía”. El término no sólo hizo fortuna en las lenguas romances, pues incluso la palabra inglesa sine proviene del latín.
una influencia mesopotámica en los
Sulvasütras.
Más difícil es explicar otra de las
reglas que da Apastamba, que recuerda
fuertemente algunos teoremas del álgebra
geométrica que aparecen en el libro II de
los Elementos de Euclides.
Estas obras han sido fechadas por
los historiadores de una manera muy
variada dentro de un intervalo que va
desde el siglo VIII a.C al siglo II de
nuestra era.
Luego de los Sulvas tras, vinieron
los Siddh ntas, o sistemas astronómicos.
El comienzo de la disnatía del rey Gupta
(hacia el 290) señala un relanzamiento o
renacimiento. Hay cinco versiones
diferentes de ésta obra. Las teorías
astronómicas principales son
evidentemente griegas, pero aparecen
mezcladas con una cantidad considerable
de viejo folklore hindú. Todos los
Siddh ntas estaban esencialmente de
acuerdo en su contenido, variando sólo la
fraseología utilizada, eran tratados de
astronomía formulados por medio de
reglas crípticas en verso sánscrito, con
muy pocas explicaciones y sin ninguna
demostración.
Estos textos aparecieron a finales
del siglo IV o comienzos del V, para
algunos son de gran originalidad y para
otros hay una gran influencia griega.
Mientras que la trigonometría de Ptolomeo
se basaba en la relación funcional entre las
cuerdas y los correspondientes arcos o
ángulos centrales en una circunferencia,
que ellas subtienden, los escritores de los
Siddh ntas transformaron esto para
convertirlo en un estudio de la
correspondencia entre la mitad de la
cuerda y la mitad del arco o del ángulo
central subtendido por la cuerda total. Así
fue como nació, aparentemente la
trigonometría moderna que conocemos
como el seno de un ángulo, nuestra palabra
seno se deriva, pasando por una
accidentada historia en su traducción al
árabe, del nombre hindú.
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Aryabhata
Durante el siglo VI, no mucho
después de la composición de los
Siddh ntas vivieron dos matemáticos
hindúes de los cuales sabemos que
escribieron libros sobre el mismo tipo de
materias, el más viejo de ellos y a la vez el
más importante de los dos fue Aryabhata,
cuya obra más conocida, escrita hacia el
499 y titulada Aryahatiya, está escrita en
verso y cubre diversos
temas de astronomía y
de matemáticas. Esta
obra es bastante
análoga a la de los
Elementos de Euclides
ocho siglos antes. Las
dos obras son
recopilaciones de
desarrollos anteriores
compiladas por un
autor único. Los
Elementos constituyen
una síntesis bien
ordenada lógicamente
de la matemática
pura, expuesta con un elevado grado de
abstracción y con un objetivo pedagógico
evidente, mientras que el Aryabhatiya es
una breve obra descriptiva escrita en 123
estrofas métricas, con el objeto de
suplementar las reglas del cálculo
utilizadas en astronomía y en las técnicas
de medicación matemáticas, sin ninguna
relación con la lógica o la metodología
deductiva.
Los Aryabhatiya, están escritos en
33 versos, empiezan con una bendición y
después algoritmos para el cálculo de los
cuadrados, cubos, raíces cuadradas, raíces
cúbicas; 17 versos están relacionados con
la geometría y 11 con la aritmética y el
álgebra. El décimo verso ofrece un valor
de π como la proporción 62832: 20000,
equivalente a 3,1416, el valor más
aproximado que se tuvo durante casi 1000
años.
La obra incluye también unas
tablas de seno, en
contraste con el uso
que Ptolomeo daba a
la cuerda como
medida básica, los
hindúes utilizaban la
media-cuerda y la
expresaban respecto a
los radios. Así pues,
excepto para un valor
constante los senos
hindúes están cerca
de nuestros
conceptos actuales.
Al dividir el
cuadrante en 24 partes iguales, y partiendo
de ciertas fórmulas y resultados básicos,
como sen 30°=1/2.
Aryabhata conformó una tabla de
senos para ángulos desde 3° 45'. Dio
también una fórmula para aproximarse al
seno de cualquier ángulo sin utilizar la
tabla, que tiene una precisión de dos
lugares decimales. Aryabhata además,
utiliza en otros contextos el valor
para π, que aparece tan frecuentemente en
la India que se le conoce a veces como “el
valor hindú” de π.
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Numeración Brahmi
La trigonometría hindú fue
evidentemente una herramienta auxiliar
para la astronomía tan útil como precisa,
posiblemente influenciados por los
griegos, pero lo que no parecen haber
adoptado de éstos es la geometría griega.
La segunda mitad del Aryabhatiya
trata de la medida y cálculo de tiempos y
de trigonometría esférica, y aquí es donde
nos encontramos con un elemento nuevo
que iba a dejar una huella permanente en
la matemática de las generaciones futuras:
el sistema de numeración posicional
decimal. La idea del “valor local o
posicional” había sido ya un elemento
absolutamente esencial del sistema de
numeración babilónico, y quizá lo que los
hindúes hicieron fue darse cuenta de que
esta idea era aplicable también al sistema
de notación decimal para los números
enteros, que ya se estaba usando en la
India.
Los números en la India
Los números de Kharosthi se
encontraron en inscripciones del siglo IV
a.C. Eran símbolos especiales para el 1 y
el 4, y para el 10 y el 20, los números por
encima del 100 se construían por adición,
esta escritura fue evolucionando
gradualmente para dar lugar a otro sistema
de notación, conocido como el de los
caracteres Brahmi, muy parecido al cifrado
alfabético del sistema jónico griego. Los
primeros trazos en los números de Brahmi
aparecieron en el siglo III a.C, en las
columnas Asoka repartidas por toda la
India, y estaban más desarrollados,
incluyendo símbolos especiales, para los
múltiplos de 10 y de 100, así como para
las potencias superiores a 10.
De los numerables cifrados del
sistema Brahmi a nuestra notación
moderna para los números naturales hay
que superar dos breves etapas, la primera
consiste en reconocer que, utilizando
estrictamente el principio posicional, las
cifras que representan los nueve primeros
números pueden servir también como
cifras para los correspondientes múltiplos
de 10, o por la misma razón, como cifras
para representar los múltiplos
correspondientes de cualquier potencias de
10. Posiblemente los llamados numerales
hindúes fueran el resultado de un
desarrollo interno únicamente, quizá se
desarrollaron primero en el contexto de los
intercambios occidentales de la India con
Persia.
Desgraciadamente los hindúes no
aplicaron el nuevo sistema de numeración
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El 0 es un vacío. Es la ausencia de número y su origen, es indio. En sánscrito, 0 se
dice sunya, que significa vacío o en blanco, y fue utilizado ya en el siglo u
antes de nuestra era. A Occidente llegó con mucho más retraso y de manos de los
árabes. En la India, la utilización del 0 estaba tan difundida en las costumbres que éste aparece incluso en poemas y
textos sagrados. La concepción del 0 es un logro de enorme importancia cultural.
para los enteros al campo de las fracciones
decimales, así se perdió la ventaja
potencial más importante del cambio de la
notación de tipo jónico.
La segunda etapa que no habían
superado los hindúes para llegar al sistema
de numeración moderno, es la que consiste
en la introducción de una notación especial
para una posición que falta o, lo que es lo
mismo de un símbolo para el cero. La
primera aparición indudable de cero en la
India es en una inscripción del año 876. es
muy posible que el cero tuviera su origen
en el mundo griego, y que de allí se
propagase a la India.
Con la introducción del décimo
numeral en el sistema de notación hindú
para representar el cero, en la forma de un
redondo huevo de oca, quedaba completo
el moderno sistema de numeración para
los enteros. Aunque las formas hindúes
medievales de las diez cifras numerales
son muy diferentes de las que usamos hoy
en día, los principios teóricos del sistema
quedaban ya definitivamente establecidos.
El nuevo sistema de numeración
que llamamos usualmente el sistema hindú
no consiste más que en una nueva
combinación de tres principios básicos,
todos ellos con un origen mucho más
antiguo:
1- una base decimal.
2- una notación posicional.
3- una forma cifrada para cada uno
de los 10 numerales básicos.
Ninguno de estos tres principios se
debía originalmente a los hindúes, pero lo
que si se debió a ellos probablemente fue
la idea de reunir por primera vez los tres
para construir el sistema de numeración
moderna.
El desarrollo de nuestro sistema de
notación para los números naturales fue
sin dudas una de las dos contribuciones
más importantes de la India a la historia de
la matemática.
En cambio, a los matemáticos
hindúes les fascinaban las cuestiones
numéricas, ya tuvieron que ver solamente
con las operaciones aritméticas usuales o
con la resolución de ecuaciones
determinadas o indeterminadas. La suma y
la multiplicación se hacían en la India casi
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de la misma manera como las hacemos
hoy. Entre los métodos utilizados para
multiplicar había uno que se conoce con
varios nombres: multiplicación en gelosia,
multiplicación en celdillas o en
cuadrilátero.
Más matemática en la India
Otro matemático importante de la
India fue Brahmagupta (628), sus
contribuciones al álgebra fueron muy
significativas; reglas
para el cálculo de
áreas, soluciones de
ecuaciones cuadráticas
incluyendo las dos
raíces aun en casos en
que una de ellas es
negativa, de hecho, la
primera vez que
aparece sistematizada
la aritmética de los
números negativos y
del cero es en la obra
de él.
Es uno de los
matemáticos mejor
conocidos de la escuela Ujiain.
Hay que decir también que los
hindúes consideraban igualmente como
números las raíces irracionales de otros
números, cosa que no hicieron nunca, los
griegos. Este paso supuso una ayuda
enorme para el álgebra, y los matemáticos
hindúes han sido muy elogiados por
decidirse a adoptar esta medida, sin
embargo carecieron de una distinción clara
entre los resultados exactos e inexactos,
hasta que en el siglo XIX consiguieron al
fin fundamentar el sistema de los números
reales sobre una base sólida.
La matemática hindú consistió,
como hemos visto, en una mezcla de
bueno y malo, pero parte de lo bueno fue
extraordinariamente bueno, y a este
respecto Brahmagupta merece que no se le
regateen elogios. El álgebra hindú es
notable, especialmente
por su desarrollo del
análisis indeterminado,
al que Brahmagupta
mismo hizo varias
contribuciones.
Es evidente que
él amaba la
matemática por sí
misma, y que fue
quien aparentemente
dio una solución
general de la ecuación
diofántica lineal
, con a, b
y c enteros, además
estudio la ecuación diofántica cuadrática x²
= 1 + py², la cual fue resuelta en algunos
casos particulares por el matemático
Bhaskara (1114-1185), el matemático más
importante del siglo XII.
Él fue quien completó algunos de
los huecos de la obra de Brahmagupta,
como encontrar la solución a la ecuación
antes mencionada y al enfrentarse con el
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CONOCIENDO… LA MATEMÁTICA LA INDIA Capítulo III
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Contar en verso…
En la india, los siglos del V al VII han sido definidos por algunos historiadores
occidentales como “la época de la poesía”, pues la poesía parecía
impregnarlo todo. Veamos como planteaban los indios de aquella época
un problema matemático:
“Un collar se rompió durante unos
embates amorosos.
Una tira de perlas, entonces se escapó.
Un sexto de las mismas al suelo cayó.
Un quinto, sobre la cama se quedó.
Un tercio, la joven dama salvó.
La décima parte, el amante retuvo.
Y seis perlas en el cordón quedaron
Di cuántas perlas tenía el collar de
estos dichosos.”
problema de la división por cero. La
primera vez que apareció la afirmación de
que tal cociente es infinito es en el Vija-
Ganita de Bhaskara. Éste fue el último
matemático medieval importante de la
India, y su obra representa la culminación
de las contribuciones hindúes anteriores a
su época.
El Lilavati, lo mismo que el Vija-
Ganita, obras escritas por Bhaskara,
contienen numerosos problemas que tratan
de los temas favoritos de los hindúes:
ecuaciones lineales y cuadráticas, tanto
determinadas como indeterminadas,
simples problemas de medida de áreas,
progresiones aritméticas y geométricas,
raíces ternas pitagóricas y otros. Muchos
de los problemas que aparecen en su obra
provienen de fuentes hindúes anteriores.
Éste matemático murió a finales
del siglo XII, y durante varios siglos
fueron muy pocos los matemáticos de
estatura comparable que aparecieron en la
India.
A pesar de esto, hubo matemáticos
hindúes que llevaron a cabo pequeños
progresos en un país que se vio sumido en
la confusión política. Pero el sudoeste de
la India permaneció a salvo de estas
convulsiones y desarrolló sus matemáticas
entre los siglos XIV y XVII. Kerala era el
centro del comercio marítimo y, por tanto,
un entorno cosmopolita.
Madhava de Sangamagramma
(c.1340-1425), conocido por los
astrónomos posteriores como Golavid, o el
“Maestro de las Esferas”, fue uno de los
más grandes matemáticos medievales. Sus
obras sobre las series infinitas se han
perdido, pero son muy citadas por
escritores del siglo XVI. Muchos de los
resultados obtenidos después por
matemáticos europeos se deberían
adjudicar a Madhava, incluida la
expansión polinomial infinita de senos y
cosenos, que se atribuye a Newton, y las
fórmulas de aproximación a los ángulos
pequeños, que forman parte de las series
de Taylor.
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Una vez, Ramanujan estaba muy enfermo en un hospital de Londres; Hardy lo fue a visitar y dijo al llegar: Vine en el taxi 1729, el número me pareció muy banal y espero que no sea de mal agüero. Al contrario - replicó Ramanujan – el número no es nada banal, es un número muy interesante. Es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas.
1729= 1³ + 12³ = 9³ + 10³
Dichos trabajos aportaron tablas
trigonométricas muy precisas (tenían
exactitud de ocho lugares decimales).
También encontramos varias series
infinitas que expresan el valor de π. Una,
redactada en verso, ilustra cómo ciertos
objetos fueron utilizados tradicionalmente
para simbolizar números que ayudaban en
la recolección:
Dioses [33], ojos [2], elefantes [8],
serpientes [8], fuegos [3], árbol [3],
cualidades [3], vedas [4], naksatras [27],
elefantes [8], y brazos [2] – el sabio dice
que ésta es la medida de la circunferencia
cuando el diámetro del círculo es
900.000.000.000.
Al leer los números de derecha a
izquierda y al dividirlos por el diámetro se
obtiene un valor π con una exactitud de
once lugares decimales
Esta facilidad para tratar con series
infinitas remite a un moderno prodigio de
Kerala, que poseía una notable habilidad
manipuladora en aritmética y en álgebra,
hablamos del genial matemático hindú del
siglo XX, Srinivasa Ramanujan (1887-
1920), comparable con Bhaskara.
En su obra se encuentra el aspecto
desorganizado, la potencia del
razonamiento intuitivo y el desprecio por
la geometría que aparecían de manera tan
relevante en sus predecesores. Sus
increíbles hallazgos le llevaron a la
Universidad de Cambridge.
Durante su corta vida (32 años),
fue el más famoso matemático de la India
contemporánea, escribió unos 3000
teoremas en muchas ramas de las
matemáticas: teoría de números, funciones
elípticas, fracciones continuas y mucho
más. Algunos de sus teoremas son
“extraños”, según dice su colega británico
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Curiosidad numérica
Un número de Kaprecar es aquel que cuando se eleva al cuadrado y se toma un número determinado de dígitos de la derecha y se le suma el número remanente que queda a la izquierda, da el número original. Por ejemplo: , sus partes: 88 + 209 = 297. De este modo, 297 es un número de Kaprekar.
Los primeros números de Kaprekar son: 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777… el número de 10 dígitos más pequeño es: 1.111.111.111.
Estos números, llenos de formas y caparazones sonoros, se deben al matemático indio Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986).
G. H. Hardy (1877-1947), y todavía se
están estudiando.
Nació en el sur de la India, en una
familia muy pobre, pero de casta muy alta,
tan pobre era que no podía comprar papel,
inventaba sus matemáticas escribiendo con
tiza en una pizarra. A los 26 años obtuvo
fondos para ir a Inglaterra a trabajar con
G. H. Hardy.
Conjeturó que el número ,
compuesto por tres irracionales, era un
número entero. En 1974, en las
computadoras de la Universidad de
Arizona (E.U.A), se comprobó que,
efectivamente, era el número 262 537 412
640 768 744.
Ramanujan hacía cómputos
mentales con una facilidad extraordinaria,
en una de sus libretas, encontrada en 1976,
aparecen miles de fórmulas matemáticas.
En resumen, los eclécticos
matemáticos hindúes adoptaron y
desarrollaron solamente aquellos aspectos
que les atraían y, desde un cierto punto de
vista al menos, puede decirse que fue
desafortunado el hecho de que su primer
amor haya sido la teoría de números en
general y el análisis indeterminado en
particular, porque el crecimiento y
desarrollo posterior de la matemática no
iba a surgir de esos campos.
Sin embargo, en la matemática
moderna hay al menos dos cosas que nos
recuerdan lo que debe la matemática a la
India en su desarrollo, lo mismo que a
tantos otros países.
La trigonometría de la función seno
proviene verosímilmente de la India, y
nuestro sistema de numeración actual para
los enteros recibe con toda propiedad el
nombre de sistema hindú-árabe para
indicar su probable origen en la India y su
divulgación a través de Arabia.
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CONOCIENDO… LA MATEMÁTICA LA INDIA Capítulo III
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BIBLIOGRAFÍA
- Albertí Miquel. Planeta matemático. El mundo es matemático. Editec, 2011. - Boyer B. Carl. Historia de la matemática. Alianza Editorial, 1986. - García del Cid, Lamberto.Del ábaco a la revolución digital. El mundo es matemático. Editec 2011. - Navarro Joaquín. Los secretos del número . El mundo es matemático. - Mankiewicz Richard. Historia de las matemáticas. Del cálculo al caos. Paidós, 2000. - Torra Vincenc. Del ábaco a la revolución digital. El mundo es matemático. Editec 2011.