La matemtica Medieval y el Renacimiento

Gloria Latino Emilio Garcia 2012

Se considera el comienzo de esta poca en el siglo VI, con la cada del

Imperio Romano, hasta el siglo XV, con la cada de Constantinopla.

En Occidente, a partir del siglo VI hasta el siglo XII hubo una decadencia

en el desarrollo del conocimiento matemtico, donde este era muy

elemental. En tanto que en el Oriente, se produce una eclosin a travs de

los hindes y de los rabes, enriqueciendo el saber occidental luego de

este perodo.

Desarrollo del conocimiento matemtico en la poca Oscura. Siglos VI XII

Occidente No hay contribuciones al conocimiento matemtico

Oriente

Hindes

rabes

Inventan el actual sistema de numeracin, el concepto de cero y de los nmeros negativos; e hicieron importantes aportes al rea de la

trigonometra con el estudio de los tringulos rectngulos.

Perfeccionan el sistema de numeracin hind.

Realizan importantes progresos en el lgebra.

Se los consideran los inventores de la trigonometra.

Conservaron y transmitieron a Occidente los trabajos griegos.

Ubicacin Geogrfica: Imperio Bizantino

En el ao 755 el Imperio Islmico se escindi en dos partes, el reino Occidental, con

capital en Crdoba, y el Oriental en Bagdad.

Los europeos latinos superaron la barrera lingstica de la cultura rabe durante

el siglo XII, ya que una oleada de traducciones posibilit un renacer en la

transmisin del saber, durante las cruzadas.

Los traductores ms importantes fueron:

Adelardo de Bath (1075 1160). Explic a los lectores latinos los numerales hind

arbigos. Tradujo las tablas astronmicas del matemtico rabe Al-Khowarizmi,

y Los Elementos de Euclides.

Gerardo de Cremona (1114 1187). Super la traduccin de Adelardo de Los

Elementos de Euclides tomada de Thabit Ibn-Qurra.

Roberto de Chester (? - ?) . Hizo la primera traduccin del tratado de Al-

Khowarizmi, llamado lgebra.

Leonardo de Pisa (1180 1250), matemtico italiano

conocido como Fibonacci o hijo de Bonaccio.

Como su padre era un mercader tuvo la oportunidad

de viajar por el Oriente y aprender el desarrollo de la

matemtica de los rabes, reconociendo la eficacia de

los nmeros indo-arbigos (de Al-Khowarizmi).

Promova el usos de estos nmeros en detrimento de los

nmeros romanos utilizados en toda Europa.

Con los nuevos conocimientos se entusiasm y viaj a diversos pases rabes,

recibiendo ah lecciones de sabios musulmanes. De vuelta a Pisa, compuso 5 obras:

la primera de ellas en 1.202, revisada y aumentada en 1.228 es Liber Abaci (Libro

del baco). Con ella introduce el uso del cero en Occidente y presenta al mundo la

famosa sucesin que lleva hoy su nombre, mediante un problema referido a los

conejos:

Cuntas parejas de conejos se producirn en un ao, comenzando con una

pareja nica, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce

a su vez desde el segundo mes?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ., un,

Donde un = un-1 + un-2 , para n 3, es decir, cada trmino es la suma de

los dos trminos inmediatamente anteriores.

Se han descubierto muchas propiedades interesantes de esta sucesin,

como por ejemplo:

Dos trminos sucesivos cualesquiera son primos entre s.

El lmite:

Sucesin de Fibonacci

El Tringulo de Tartaglia o Pascal construido con los nmeros combinatorios o

coeficientes binomiales, tiene una conexin directa con los nmeros de Fibonacci.

La suma de los nmeros situados en las diagonales de menor pendiente forman la

sucesin de Fibonacci.

Si excluimos una de las diagonales con los unos, las sumas de las diagonales de

Fibonacci aquellas que originaron cada trmino de la sucesin son las sumas

parciales de la sucesin de Fibonacci.

La sucesin de Fibonacci y la naturaleza.

Uno de los aportes ms significativo de los

matemticos europeos de la poca medieval fue el

tratamiento de las series infinitas, un tema

esencialmente original y nuevo, que reconoce al

infinito como algo completo.

Nicole Oresme (1323? 1382) fue un universitario

parisino a quien se le atribuye la primera

demostracin de la divergencia de la serie armnica.

Oresme agrup los sucesivos trminos de tal manera que cada grupo contenga una cantidad

de trminos equivalentes a una potencia de dos.

El grupo m-simo incluye 21 trminos por lo que obtenemos infinitos grupos y la suma de

stos es mayor o igual que 1/2, con lo que

superamos cualquier nmero dado.

Tuvo sus orgenes en Italia, en el siglo XIV, difundindose por el resto

de Europa durante los siglos XV y XVI.

En este perodo prosper, de forma vertiginosa, la educacin en

general, las artes, la msica, la filosofa, la tica, la moral, la

ciencia

Durante este perodo el lgebra se caracteriz por su inters en la

resolucin de las ecuaciones. Lo que marca la diferencia entre el

lgebra antigua y esta que se est gestando, es la capacidad de

alcanzar la generalizacin de los resultados que permita aplicarlo

a todos los casos. Motivo que le confiere carcter cientfico.

La introduccin de una terminologa uniforme signific no slo

una unificacin de lenguaje, sino un principio de sistematizacin.

El rabe Al-Khowarizmi (780? - 850) es considerado El padre

del lgebra. Este matemtico descubri que al multiplicar un

nmero por s mismo obtenemos uno ms que si multiplicamos el

nmero anterior por el nmero posterior. Al-Khowarizmi no pudo

separar el lgebra de la geometra.

Ver Video

En 1225 Fibonacci trabaj la ecuacin cbica, pero fue Nicolo Fontana, ms

conocido como Tartaglia, quin encontr el mtodo general de resolucin para las

ecuaciones de la forma:

Lenguaje que explica las normas del comportamiento de los nmeros

Este importante logro lleg a odos de Gerolamo Cardano,

quien invit a Tartaglia a visitarlo para tratar de convencerlo

de que le contara cmo era el mtodo de resolucin. ste se lo

cont a condicin de que mantuviera el secreto hasta que lo

publicara. Cardano hizo caso omiso de su promesa y public

antes que Tartaglia la solucin de las ecuaciones cbicas en su

libro Ars Magna en 1545. La frmula que en nuestros das es

conocida como de Cardano-Tartaglia es la que aparece en el

siguiente cuadro.

Exponentes importantes de la poca

Regiomontano estudi en las universidades de Leipzig y Viena,

donde desarroll su gusto por las matemticas y la astronoma.

En Roma lleg a adquirir un gran conocimiento del griego, con

lo que enlaz el conocimiento clsico preservado en

Constantinopla y el movimiento renacentista.

El trabajo sistemtico de los mtodos para resolver tringulos de Regiomontano: De triangulis omnimodis, es de gran significado para las matemticas, ya que

marc el renacimiento de la trigonometra, plana y esfrica.

Problema: Si se conocen la base de un tringulo y el ngulo opuesto, y si adems

se conoce o bien la altura correspondiente a la base o bien el rea, entonces

pueden calcularse los otros lados.

Leonardo conect tambin el arte con las

matemticas.

En sus notas se encuentran cuadraturas,

construcciones de polgonos regulares y

razonamientos sobre centros de gravedad pero se

distingui ms por su aplicacin de las matemticas

a la ciencia y la teora de la perspectiva.

En su Trattato della pittura inicia con la

advertencia:

Quien no sea un matemtico no lea mi trabajo

Diversos estudios muestran como el rostro de

Mona Lisa, tanto en su conjunto como en sus

detalles, se enmarca con precisin en una

elegante sucesin de varios rectngulos

ureos.

Aunque no se dispone de testimonio directo del uso de la proporcin

urea por parte de Leonardo, la composicin de obras como La ltima

cena se solapa de forma asombrosa con diversas figuras ureas, en

especial, el rectngulo.

Piero della Francesca en De prospectiva pingendi (1478)

desarroll cmo representar el mundo tridimensional en una

superficie bidimensional con el uso de la perspectiva, lo que

provoc una revolucin matemtica. Escribi tambin De

corporibus regularibus, donde not la divine proportion en la

cual las diagonales de un pentgono regular se cortan unas a

otras.

Su obra maestra es La

flagelacin de Cristo

Galileo fue un defensor de la Teora de Coprnico, lo que

posteriormente le trajo serios problemas con la Iglesia.

Fue el principal responsable de introducir los mtodos

experimentales y matemticos en todo el campo de la Fsica.

Insisti en la necesidad de hacer medidas sistemticas del

fenmeno estudiado de forma que se pudieran revelar las

regularidades del mismo, de forma cuantitativa y pudieran

ser expresadas posteriormente de forma matemtica. Galileo

es el primer cientfico en el sentido moderno de la palabra.

Desarrollo del lgebra en Occidente

Chuquet (1500) introdujo importantes sincopaciones en va hacia el lgebra

simblica.

Lo que hoy conocemos como: l lo expresaba

Y

Estudi las ecuaciones de la forma donde los coeficientes

y los exponentes son todos ellos nmeros positivos.

Pacioli (1445-1515) escribi la Summa donde recopil la aritmtica, el lgebra,

la geometra y la contabilidad de doble entrada. Adems, introdujo el punto para

representar la divisin de un entero por una potencia de diez, anunciando la coma

decimal.

Widman (1460). Aparecen los signos + y para indicar exceso o defecto en las

medidas de mercancas de los almacenes y es Widman quien los adopta para las

operaciones de suma y resta.

Stifel (1487-1567). Usa las fracciones decimales, el smbolo moderno de las races y

el tringulo de Pascal. Trabaj el nmero negativo en las ecuaciones y la notacin

de las potencias negativas como se usan en la actualidad.

Tartaglia-Cardano. La resolucin de races cuadradas de nmeros negativos

en la ecuacin cbica condujo a la necesidad de crear con mucha resistencia un

nuevo nmero, el imaginario.

Bombelli. Relaciona la geometra con el lgebra. Resuelve la ecuacin cbica

geomtricamente a travs de subdivisiones del cubo.

Werner (1468- 1522). Estaba interesado en la duplicacin del cubo, la parbola y

la hiprbola. Encuentra un mtodo original para graficar parbolas usando un

haz de circunferencias tangentes.

Durero. Aparece el primer cuadrado mgico en su obra Melancola (1514).

Construccin del pentgono regular y otros polgonos regulares. Anticip el

desarrollo de la cartografa.

Peter Apian (1495- 1552) Public el primer mapa del viejo y del nuevo mundo

nombrndolo Amrica.

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