UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

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Instituto de Matemticas

Parcial 3 de Geometra Vectorial

Octubre 09 de 2013

NOTA:

Nombre: Documento:

Profesor: Juan Carlos Arango Parra Grupo:

1. (20 %) Argumentacin. Para las proposiciones siguientes, indique si son Verdaderas o Falsas.Justifique las proposiciones falsas.

a) ( ) Si a y b tienen sentidos opuestos entonces a y

b tienen igual sentido.

b) ( ) Si los vectores libres a yb tienen la misma direccin y magnitud, pero no son

iguales entonces a = b .

c) ( ) Si el ngulo entre los vectores libres a yb es pi

6entonces el ngulo entre los

vectores 2a yb es 5

6pi.

d) ( ) Toda recta en el espacio tiene ecuacin vectorial, paramtica y simtrica.

e) ( ) Si c = 25

b a entonces el conjunto

{a ,

b ,c

}es L.I.

f ) ( ) Si a = b entonces a =

b .

g) ( ) Si la magnitud del vector posicin esA

= 17 y A (x, 8, 9) entonces x = 12.h) ( ) Todo vector en E3 se puede escribir como una combinacin lineal de los elementos

del conjunto{i ,j ,k}

.

i) ( ) Si el conjunto{a ,

b}

es L.I. entonces los vectores a yb estn sobre la misma

recta.

j ) ( ) El conjunto {(x, y, z) R : (x, y, z) = (2+ 5,3 + 8, 4 + )} es un planoque no pasa por el origen.

2. a) La recta L est determinada por los puntos A(2,1, 3) y B(0,4, 1). Hallar las ecuaciones:vectorial, paramtrica y simtrica de la recta L.

b) Un plano pi esta determinado por el punto P (2, 3, 1) y los vectores a = (2, 3, 1) yb =

(1, 4, 3). Halle las ecuaciones: vectorial, paramtrica y cartesiana del plano pi.

c) Para cada uno de los lugares geomtricos hallados con anterioridad, recta L y plano pi,hallar dos puntos diferentes a los dados en el planteamiento.

d) Halle la interseccin entre los lugares geomtricos L y pi.

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3. Considere los vectores posicinA = (3, 1, 0),

B = (2, 2, 3) y

C = (2,6,12).

a) Expresar el vectorA en trminos de los vectores unitarios

i ,j y

k . Encuentre la

magnitud de este vectorA .

b) Para el vectorB encontrar un vector D con sentido contrario y que su mangnitud sea 8

unidades.

c) Encuentre los escalares y para los cuales se presenta la igualdadC =

A +

B .

De acuerdo a esta expresin que se puede decir del conjunto{A,B ,C}

en cuanto a la

dependencia o independencia lineal.

4. Considere el siguiente paralelogramo ABCD donde P es el punto de interseccin de las diago-

nales. Si u =AP y w =

PF entonces son L.I. y por ende forman una base.

A B

CD

P

F

E

Expresar los vectoresAB,

PE y

ED en trminos de esta base.

5. En la pirmide triangular de base ABC y vrtice Q, los segmentos AB, BC y AC, tienen porpuntos medios M , N y L respectivamente. Demuestre vectorialmente que

QM +

QN +

QL =

QA+

QB +

QC

A B

C

Q