tema 1-geometria vectorial
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7/30/2019 Tema 1-Geometria Vectorial
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Un vector es una cantidad que queda totalmente definida por su magnitud direccin y
sentido.
Definicin de un vector
Geomtricamente se representa por un segmento dirigido.
P
O
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La magnitud de un vector es el tamao de la cantidad y consta de un nmero y la unidad de
la cantidad correspondiente.
Geomtricamente es el tamao del segmento dirigido.
P
O
d=OP
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La direccin de un vector proporciona la lnea de la accin de la cantidad.
Geomtricamente es la inclinacin de la lnea de accin respecto a un segmento
recto, generalmente horizontal.
P
O
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El sentido de un vector nos indica en hacia que lado de la lnea de la accin la cantidad es
aplicada.
Geomtricamente se representa mediante una flecha en el sentido de crecimiento de la lnea
de accin.
P
O
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Notacin
Vector: OP A A
Magnitud: OP =OP A =A A =A
P
O
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La direccin y el sentido de un vector pueden ser descrito por nico ngulo positivo que se
mide desde un segmento recto (usualmente horizontal) que parte del origen del vector y
crece en sentido positivo.
El punto origen del vector se conoce como poloy al segmento recto como eje de referencia.
De esta manera, podemos representar un vector de tamao A y ngulo con las llamadascoordenadas polares, (A, )= A.
P
O
2
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A=(5 cm, 30)
B=(6 cm, 138)
Ejemplo 1: Trazar los vectores dados.
30
138
C=(3 cm, 254)
254
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Ejemplo 2: Trazar los vectores dados. En cada caso, indique su precisin y el error probable
de su trazo de acuerdo a su sistema de medicin.
Indicaciones: Para que su trazo sea lo ms preciso posible, use su juego de geometra y un
portaminas o lpiz con punta delgada.
a. El vectorA tiene un tamao de 362 unidades y un ngulo polar de 125.b. El vectorB tiene un tamao de 813 unidades y un ngulo polar de 224.
Respuesta:
En el caso de la escuadra, la
unidad ms pequea es 1
mm, por lo tanto el error
probable ser de 0.5 mm.
As que la precisin serhasta milmetros.
En el caso del transportador, launidad ms pequea es 1, por lo
tanto el error probable ser de
0.5. As que la precisin serhasta grados.
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Existe un problema, los milmetros de cualquier juego de geometra solo son de alrededor
de 250, de manera que para vectores de tamaos mayores no podran ser trazados, ms an,
las hojas de nuestras libretas no son tan grandes para poder dibujar los vectores. Entonces
necesitamos hacer una escala. La escala se selecciona de acuerdo a las necesidades delproblema especfico, pero siempre se debe tener en cuenta para dar los resultados reales.
En nuestro ejemplo, los vectores tienen tamaos que deben ser escalados. Yo seleccion unaescala tal que,
10 unidades corresponden a 1milmetro 10:1
a. El vector A que tiene un tamao de 362 unidades, se dibuja de un tamao de 36.2 mm
aproximadamente, que corresponden a 3.62 cm.
b. El vector B tiene un tamao de 813 unidades, se dibuja de un tamao de 81.3 mm
aproximadamente, que corresponden a 8.13 cm.
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a). El vector A que tiene un tamao de 362 unidades, se dibuja de un tamao de 36.2 mm
aproximadamente, que corresponden a 3.62 cm, y un ngulo polar de 125.
125
.
A
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b). El vector B tiene un tamao de 813 unidades, se dibuja de un tamao de 81.3 mm
aproximadamente, que corresponden a 8.13 cm, y un ngulo polar de 224.
224
.
B
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Ejercicio en clase 23 de enero: Trazar los vectores dados. En cada caso, indique su
precisin y el error probable de su trazo de acuerdo a su sistema de medicin.
Indicaciones: Para que su trazo sea lo ms preciso posible, use su juego de geometra y un
portaminas o lpiz con punta delgada.a. El vectorA tiene un tamao de 62 unidades y un ngulo polar de 305.
b. El vectorB tiene un tamao de 83 unidades y un ngulo polar de 129.
Tarea para 24 de enero: Trazar los siguientes vectores. En cada caso, indique su precisin
y el error probable de su trazo de acuerdo a su sistema de medicin.
Indicaciones: Para que su trazo sea lo ms preciso posible, use su juego de geometra y un
portaminas o lpiz con punta delgada.
a. El vectorA tiene un tamao de 2520 unidades y un ngulo polar de 253.b. El vectorB tiene un tamao de 5317 unidades y un ngulo polar de 320.
c. El vectorC tiene un tamao de 7158 unidades y un ngulo polar de 56.
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Vector unitario
SE dice que un vector es unitario si su magnitud es de una unidad.
A =1^
Un vector unitario indica la direccin del vector.
A=AA
^
d=OP=A
A^
P
O
A
AA
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Igualdad de vectores
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, la misma direccin y el mismo
sentido.
A=AA ^
B=BB ^
BABABA
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Vector negativo
Un vector es el negativo de otro si tienen la misma magnitud, la misma direccin pero
sentido opuesto al primero.
A=AA ^
B=BB ^
BABABA
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Vectores paralelos
Dos vectores son paralelos si tienen la misma inclinacin.
Si dos vectores son paralelos, entonces son proporcionales.
A=AA ^
B=BB ^
BAkBAB||A
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Dos vectores paralelos pueden tener sentidos opuestos.
En este caso, suelen llamarse vectores antiparalelos.
A=AA ^
B=BB ^
BAkBABA
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Suma de vectores
La suma de dos es un vector.
La suma de dos vectores no es la suma de las magnitudes ni de las direcciones y/o sentidos.
BAR
Geomtricamente, para encontrar el vector resultante de la suma de dos vectores tenemos
dos mtodos:
Mtodo del polgono.
Mtodo del paralelogramo.
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Mtodo del polgono
B=BB^
A=AA
B=BB
^
R=A+B
R=A+B no implica R=A+B ni R= A+B^ ^ ^
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R=(6.55 cm, 91)
A=(5 cm, 30)
B=(6 cm, 138)
30138
138
30
Ejemplo 3: Sume los vectores dados por el mtodo del polgono.
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Ejemplo 4: Sume los vectores dados por el mtodo del polgono.
a. El vectorA tiene un tamao de 362 unidades y un ngulo polar de 125.
b. El vectorB tiene un tamao de 813 unidades y un ngulo polar de 224.
c. El vectorC tiene un tamao de 758 unidades y un ngulo polar de 76.
125.
A 224
.
B
76.
C
-
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125
.
A
224
.
B
76.
C
R=(785 unidades, 143)
R
143
-
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Tarea para 28 de enero: Sumar los vectores dados por el mtodo del polgono.
a. El vectorA tiene un tamao de 2520 unidades y un ngulo polar de 253.b. El vectorB tiene un tamao de 5317 unidades y un ngulo polar de 320.
c. El vectorC tiene un tamao de 7158 unidades y un ngulo polar de 56.
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Mtodo del paralelogramo.
A=AA
B=BB^
B=BB^
R=A+B no implica R=A+B ni R= A+B^ ^ ^
R=A+B
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Ejemplo 5: Sume los vectores dados por el mtodo del paralelogramo.
30138
R=(6.55 cm, 91)
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Ejemplo 6: Sume los vectores dados por el mtodo del paralelogramo.
a. El vectorA tiene un tamao de 362 unidades y un ngulo polar de 125.
b. El vectorB tiene un tamao de 813 unidades y un ngulo polar de 224.
c. El vectorC tiene un tamao de 758 unidades y un ngulo polar de 76.
125
.
A 224
.
B
76.
C
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125
.
A
224
.
B
R1
R1
76
C
R
143
125
.
A
224
.
B
R1
76
.
C
R
143
R=(785 unidades, 143)
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Tarea para 29 de enero: Sumar los vectores dados por el mtodo del polgono.
a. El vectorA tiene un tamao de 2520 unidades y un ngulo polar de 253.b. El vectorB tiene un tamao de 5317 unidades y un ngulo polar de 320.
c. El vectorC tiene un tamao de 7158 unidades y un ngulo polar de 56.
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Resta de vectores
Mtodo del inverso aditivo.
La resta de dos vectores es un vector definido por:
R=ABA+(B)
Geomtricamente, para encontrar el vector resultante de la resta de dos vectores tenemos
dos mtodos:
Mtodo del tringulo.
Como demostraremos: La resta de dos vectores no es la resta de las magnitudes ni de lasdirecciones y/o sentidos.
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Mtodo del inverso aditivo
A=AA^
B=BB^
B= BB^
R=ABA+(B)
B= BB^
R=ABA+(B)
-
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Mtodo del tringulo
B=BB
^
A=AA
B=BB^
R=ABA+(B)
R=A B no implica R=A B ni R= A B^ ^ ^
En ninguno de los dos mtodos,
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A=(5 cm, 30)
B=(6 cm, 138)
Ejemplo 7: Reste el vectorB del vectorA (R=A-B).
-B=(6 cm, 318)
R=(8.87 unidades, 350)
Mtodo del inverso aditivo.
Mtodo del tringulo.
Ej l 8 R t l t B d l t A (R A B)
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Ejemplo 8: Reste el vectorB del vectorA (R=A-B)..
a. El vectorA tiene un tamao de 62 unidades y un ngulo polar de 226.
b. El vectorB tiene un tamao de 53 unidades y un ngulo polar de 129.
A=(62 unidades, 226)
B=(53 unidades, 129)
-B=(53 unidades, 309)
R=(86.5 unidades, 264)
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Producto de un escalar por un vector
El producto por de un escalar por un vector solo afecta a la magnitud y, si el escalar es
negativo, al sentido.
A
2A
A
2A
-
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Propiedad conmutativa
La suma de vectores es conmutativa.
A=AA^
B=BB^
A=AA^
B=BB^
R=A+B
R=B+A
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La suma de vectores es asociativa.
AB
C
A
B C
B
C
A
Propiedad asociativa
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El producto de dos escalares por un vector es asociativo
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Un escalar se distribuye su producto sobre la suma de vectores.
A
B
kA
kB
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Un vector se distribuye su producto sobre la suma de escalares.
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Ejemplo 9: Usando los vectores
encuentre CBAR
3
4
8
5
2
3
)253,unidades76(A
)320,unidades120(B
)23,unidades84(C
A=(76 unidades, 253)
B=(120 unidades, 320)
C=(84 unidades, 23)
-
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CBAR34
85
23
A=(114 unidades, 253)
32
B=(75 unidades, 140)
58
C=(112 unidades, 253)
43
A=(76 unidades, 253)
B=(120 unidades, 320)
C=(84 unidades, 23)
CA 453
-
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CBAR34
85
23
A=(114 unidades, 253)
32 B=(75 unidades, 140)
58 C=(112 unidades, 253)
43
R=(26 unidades, 312)
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Tarea para 31 de enero: Usando los vectores
encuentre el vector
332
253
121 rrrr
)128,unidades2520(r1
)54,unidades1950(r2
)128,unidades1620(r3