Captulo 1CONCEPTOS 1.1 SISMO.Es todo estremecimiento de la tierra con mayor o menor vio-lencia. Si es muy fuerte denomina terremoto, si es pequeo temblor. 1.2 ORIGEN DE LOS SISMOS. Existenvariasteorasacercadelorigendelosterremotos, pero la ms aceptada es la teora de las placas.Esta teora dice que la corteza terrestre est dividida en gran-des bloques o placas que tiene movilidad de respuesta a los procesos convectivos que ocurren en las profundidades de la tierra. La actividad ssmica ocurre, en gran parte en los bor-desdeestasplacas.Elmovimientorelativoentreplacases de separacin, el material candente del interior de la tierra ya sea lava o magma, emerge y se solidifca lentamente forman-donuevacortezaterrestre.Lacontinuapresindefuerzas internas, el desplazamiento de bloques de la corteza terrestre, la elasticidad de la roca y su capacidad para almacenar ener-ga son causa de los terremotos. Dinmica Estructural 2El origen de los terremotos en el Per es debido a la interac-cin entre la placa de Nazca y la Sud americana.LaplacadeNazca,frentealascostasdelPer,semueven horizontalmenteyseintroducepordebajodelaSudameri-cana como se puede ver en el siguiente esquema, la placa de Nazca presiona a la Sudamericana ocasionando deformacio-nes concntricas de fuerzas.Cuando los esfuerzos exceden cierto lmite, la presin es li-beradaporunmovimientofuertedelaplacagenerndose esta forma el terremoto. Alguna de ellas puede generar tam-bin olas ssmicas altas llamados maremotos o tsunami.1.3 NATURALEZA DE LAS ONDAS SSMICASLosmovimientosdelamasarocosadelacortezaterrestre producen fuerzas y tensiones en la roca.Silaestructurarocosaes sufcientemente rgida como para nosufrirdeformacin,seacumularesfuerzoshastallegar al lmite de elasticidad de la roca dando lugar a un colapso o movimiento brusco. Se genera vibraciones cuando un medio elstico sbitamente libera energa.1.4 CARACTERSTICAS DE LAS ONDAS SSMICAS Las ondas ssmicas son similares a las olas de mar se despla-zan transmitiendo energa. Laintensidaddisminuyeamedidaquelaondasealejadel punto de origen hasta disiparse totalmente.Se puede hacer la analoga como cuando se sacude un mantel se hace vibrar una cuerda.Las ondas ssmicas se propagan a travs de las diversas ca-pas de la corteza terrestre llegando a la superfcie.1.5 FOCO SSMICO (F). Es el centro de la perturbacin mecnica; origen desde don-de se libera gran cantidad de energa ssmica que se transmite en forma de ondas.Ing. Genaro Delgado Contreras 31.6 EPICENTRO. Es la proyeccin del foco ssmico en la superfcie.

Algunos de las ondas observadas en un punto como A se transmiten por la superfcie desde el epicentro. Otros viajan directamente dese el Foco al punto donde observamos el sis-mo (punto A) Estos son por lo general ms fuertes.Existendostiposdeondas,lalongitudylatransversal.La primera tiene la misma direccin en que se propaga la onda, son similares a la onda sonora tambin se les conoce con el nombre de punto P(preliminar); porquees la que tiene ma-yor velocidad de propagacin y tiene periodo de vibracin de 1 segundo o menos. Su velocidad de propagacin vara se-gn el medio movindose a 6 Km/s en la corteza y llegando hasta 12 Km/s en el interior de ncleo.La segunda tiene vibraciones perpendiculares a la direccin depropagacin.LasOndasquesegeneranalsacudiruna cuerda son este tipo. Son anlogas a la onda de la luz pues lapartculadetierrasemueveendireccinperpendicular en que avanza la onda. A estas ondas tambin se les conoce con el nombre de onda S (segundo preliminar) y tienen una velocidadde 0,6 veces de la onda P.Las ondas P y S generan otros tipos de ondas a medida que se encuentran planos refectantes y refractantes en la superfcie de la tierra. Dinmica Estructural 4 1.7. MAGNITUD E INTENSIDAD DE UN SISMOLasvibracionesqueproduceunsismo,sondetectadasre-gistradasymedidasporinstrumentosdenominadossism-grafos. El registro de tales vibraciones es un sismograma y reproduce grfcamente o sobre cinta magntica las vibracio-nes en amplitud y en frecuencia del movimiento de la tierra durante el sismo.No existe una distincin clara entre la palabra temblor y te-rremotoperogeneralmentesedenominaterremotoapartir deunaintensidaddeVIaVIIIenlaescalamodifcadade Mercalli.Lamagnituddeunsismoesunamedidadelacantidadde energa liberada en el foco ssmico.Laintensidadesunamedidadelosefectosmacrossmicos sobreobjetosnaturalesestructurasartifcialesyobservado-res en una localidad dda.Paratenerunaideadelgradodedestruccindeunsismo podemosdecirqueunterremotodemagnitudVIlibrea6 1020ergios,equivalentesaunos14300toneladasde TNT Un terremoto de magnitud VIII libera energa equivalente a 14 millones de toneladas de TNT.Captulo 2EFECTOS DEL SISMO EN EDIFICACIONES2.1 TIPO DE SUELOEn terrenos duros o rocas, las ondas ssmicas de alta frecuen-ciaseamplifcan.Afectaprincipalmentealasestructuras rgidas. Los terrenos blandos amortiguan las ondas de alta frecuencia y, por lo general, amplifcan las ondas de baja frecuencia. En este caso las estructuras fexibles son ms afectadas.2.2 PESO DE LA EDIFICACIN Cuando un sismo afecta la base de una edifcacin se generan fuerzas de inercia que originan esfuerzos y deformaciones en la estructura. A mayor peso de las edifcaciones mayores son estas fuerzas y sus efectos. Por esta razn las edifcaciones ms pesadas son siempre ms daadas por los sismos.Cuantomsaltoestelcentrodegravedad,mayoressern los esfuerzos en los elementos para mantener el equilibrio.No olvidemos que el cortante es mayor cuando ms pesado es la estructura debido a:HZUSCRdP Donde H es la cortante basal, P es el pedo la estructura.2.3 FORMA DE LA ESTRUCTURAEnloposiblesebuscaquelasestructurastengansimetra paraqueelcentrodemasasyderigidecescoincidanyno tengamos excentricidad que nos genere torsin.Si los elementos estn arriostrados. Su deformacin durante Dinmica Estructural 6el sismo ser menor.Cuando las edifcaciones estn unidas reaccionan como una sola de mayor rigidez.Lo que se busca es que toda estructura tenga un material que absorba y disipe energa y que tenga la capacidad de amor-tiguar los efectos evitando concentraciones de esfuerzos que puedan generar una ruptura. Captulo 3ANLISIS DINMICO DE EDIFICIOSUn problema con el que se encuentra el ingeniero es la deter-minacinderespuestasdeestructurasfrenteaexcitaciones transitorias como terremotos o explosiones.Elproblemaqueseencuentraesquelasestructurastienen un gran nmero de grados de libertad, requirindose un gran nmero de coordenadas para determinar la posicin de la es-tructura en cualquier instante.Las fuerzas excitadoras tampoco pueden ser defnidas en for-ma simple.Parasimplifcarelproblemadelascaractersticasdelaes-tructurasonestudiadosporseparadodelaspropiedadesde los sismos, determinndose la respuesta de la primerafrente a la segunda. Las caractersticas de la estructura vienen da-dos por sus frecuencias, formas de modo y grado de amorti-guamiento.El sismo se defne por su espectro, que es la envolvente de las respuestas de un modo de modelo mecnica estndar de un grado de libertad con un amortiguamiento dado, contra el periodo de vibracin del modelo. 3.1 FUNDAMENTO DE DINMICA ESTRUCTURAL3.1.1 Movimiento oscilatorio.Tambin se le conoce con el nombre de movimiento vibrato-rio y es uno de los ms importantes movimientos que existen en la naturaleza. Un partcula oscila cuando se mueve peri-dicamente con respecto a su posicin de equilibrio.Elmovimientodeunpnduloesoscilatorio.Uncuerpoen el extremo de un resorte estirado, una vez que se suelta, co-mienza a oscilar. Dinmica Estructural 8De todos los movimientos oscilatorios el ms importante es el movimiento armnico simple (M.A.S.), debido a que ade-ms de ser el movimiento ms simple de describir matemti-camente, constituye una aproximacin muy cerca de muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza.3.1.2 Importancia del movimiento oscilatorio en la ingenie-ra estructural.Los edifcios estn constituidos por prticos como se mues-tra en la siguiente fgura. (a) plantaFigura 3.1 (b) elevacin (c)Ing. Genaro Delgado Contreras 9Un prtico est formado por vigas y columnas.Una de los sistemas de idealizacin de edifcios que se usa a me-nudo, es llamado pndulo invertido mostrado en la Fig.3.2.

Figura 3.2El prtico de la Figura 3.1 (b) se idealiza de la forma mostrada en la Figura 3.1(c).Por lo expuesto podemos ver la importancia de los fundamentos de energa y movimiento vibratorio.Observando el prtico de la Figura 3.1(b) podemos ver que las columnas del primer entrepiso estn en paralelo. Lo mismo po-demosdecirdelosentrepisosposteriores. Alidealizarlasco-lumnas como resortes, vemos que las columnas de cada entrepi-so son resortes que estn en paralelo.Aspodemosverquelarigidezequivalentedelprimerpisoes K1,y de los entrepisos posteriores K2y K3. Silasmasasm1ym2fueranmuchomenosquem3,esdecir, fueran despreciables el sistema quedar de la siguiente manera:Elresortehelicoidalsehareemplazado porunelementodeelasticidadtransver-sal, cuya constante de rigidez K se deter-mina a partir de la defexin A ocasionado por la fuerza lateral P. Dinmica Estructural 10

Si tenemos un prtico de un piso como se muestra en la fgura, la idealizacin ser la mostrada:de modo que tenemos un sistema masa resorte con las siguientes caractersticas: KmPeriodo de vibracin:T 2Desde el punto vista estructural nos interesa conocer el periodo de la estructura.Portodoloexpuestoacontinuacinharemoselestudiodelos fundamentos de trabajo y energa, as como del movimiento vi-bratorio.De modo que este caso K1, K2, K3 estn enserieparalocualhallaramossurigi-dez equivalente.Captulo 4PRINCIPIOS ENERGTICOS Al disear estructuras se tiene que considerar que stas son so-metidasalaexcitacindefuerzasexternas,talescomosismos explosiones, vientos, etc.Vemosquetalesfenmenossonliberacindeenerga,portal razn la estructura se deforma llegando al caso extremo del co-lapso.Losingenierosaldiseartendrnquehacerestructuras capaces de soportar tales fuerzas y para el anlisis de las mismas se basarn en los principios de trabajo y energa.Enstapartedelaexpresincentraremosnuestraatencinen los fundamentos de la fsica, especfcamente en el movimiento vibratorio que es el que tiene que ver muy especialmente con los movimientos de la tierra.En el anlisis de estructuras vemos que es muy importante el estu-dio de la energa de deformacin ya que los mtodos energticos en el Anlisis Estructural son de valiosa ayudaal diseador.Iniciaremos nuestro estudio presentando los fundamentos de la energa de deformacin para posteriormente exponer los princi-piosdelmovimientovibratorioysurelacinconlaingeniera sismoresistente.4.1 ENERGA DE DEFORMACIN.Se considera que los cuerpos o sistemas mecnicos estn for-madospormateriaqueconsistedepartculasdenominadas puntosmaterialesycuyoconjuntoconstituyelaconfgura-cin del sistema. Se dice que un sistema experimenta una de-formacin cuando cambia su confguracin, es decir cuando se desplazan sus puntos materiales.Si se supone un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, ste se deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra Dinmica Estructural 12al sistema de fuerzas externas. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se transforma y acumula en el cuerpo.Este trabajo o energa de deformacin es el utilizada por el cuerpopararecuperarsuformacuandocesalaaccindel sistema de fuerzas externas.Sielcuerporecuperaexactamentesuformainicialsedice queesuncuerpopotencialmenteelstico,eindicaqueel trabajodelasfuerzasexternasduranteladeformacindel cuerposetransformartotalmenteenenergadedeforma-cin,desprecindoselasprdidaspequeasporcambiode temperatura. En cualquier caso, se cumple siempre la ley de la Termodinmica: El trabajo efectuado para las fuerzas ex-ternasmselcalorqueabsorbeelsistemadelexteriores igualalincrementodeenergacinticamselincremento de energa interna. Por otra parte el incremento de energa cintica es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas ex-ternas e internas.Enlossistemaselsticossedeprecianlasprdidasporca-lor y la energa interna del sistema (energa potencial de las Fuerzas internas) es la energa o trabajo de deformacin de dicho sistema.Considerando una barra elstica de seccin transversal A y la longitud L, sujeto a una carga axial P, aplicada gradualmente como se muestra en la fgura: (a) (b) Figura 4.1Ing. Genaro Delgado Contreras 13Suponiendoquesecumplelaleyexperimentaldeelasticidad lineal de Hooke, como se muestra en la fgura 4.1(b) se tiene: PLEA..(4.1)o: deformacin de la barra E : mdulo de elasticidad deYoung.LacargaPseaplicagradualmenteyladeformacinaumenta segn la ecuacin (4.1). El trabajo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema, se expresa de la siguiente manera: Pd(4.2)De (4.1) PEAL (4.3)sustituyendo (4.3) EALdEAL22 donde: 12 PFigura 4.2 Dinmica Estructural 14Eltrabajodedeformacincorrespondealreasombreadadel tringulo mostrado en la fgura 4.2(a).En el caso de elasticidad no lineal fg. 4.2(b), la energa de defor-macin es el rea bajo la curva, como se puede ver de la frmula (4.2).4.2 ENERGA COMPLEMENTARIA DE DEFORMACIN Eselreaarribadelacurvacarga-deformacinylimitada superiormenteporlarectahorizontalquecorrespondeala carga P. Su valor se calcula por la integral:C dP (4.4)y tiene gran importancia al considerar los teoremas de Cas-tiglianocuandolaaplicacindelacargaesinstantnea,el trabajo de deformacin es P.o , es decir el rea del rectngulo que corresponde a la suma C + u.4.3 MTODO DE ENERGA Y TRABAJO4.3.1Trabajo realizado por una fuerza.Sea una partcula de masa m sometida a la accin de la fuerza Ing. Genaro Delgado Contreras 15Fque recorre la curva C. El trabajo realizado por dicha fuerza es la integral curvilnea= FdrC= + F dr F drT nC.......(4.5)dondeFT y Fn sonloscomponentesdeenladireccintan-gente y normal.Como Fn y drforma90entoncesF drn 0quedandola ecuacin (4.5) reducida a:= FdrCdonde FTydr son colineales, por tantoF dr F dr F drT T T Cos0perodr = ds donde ds : diferencial de arco = F dsTC4.3.2 Trabajo y energa cinticaSabemos que: F ma..(4.6)

F: resultante de todos las fuerzas exteriores m : masa

a: vector aceleracin.multiplicandopor draambos miembros de (4.6)F dr mrdr mrdrdtdt ... .. Dinmica Estructural 16

F dr mrrdt . ( ).. . ..(4.7)por otro ladoddtrr rr rr rr ( ). . . .. .. . .. . + 2 donde: rrddt r.. . 122..(4.8)(4.8) en (4.9) F dr mdrddt 1221212 F dr m dr 1221212 F dr mv mv 1212121212 .(4.9)donde la expresin de la izquierda representa el trabajo total y la expresin de la derecha el cambio de la energa cintica.

Captulo 5RESORTESPor la ley de Hooke en todo cuerpo elstico las fuerzas deforma-doras son proporcionales a sus respectivas deformaciones. Si un cuerpo elstico est sometido a una fuerza deformadora este pre-sentarunareaccincontraria,llamadafuerzarecuperadora, de igual valor pero de sentido opuesto a la fuerza deformadora.Si el resorte mostrado en la fgura se alarga debido a la fuerza de una longitud x, la fuerza recuperadora serF F KxRK: constante elstica 5.1 SIGNIFICADO FSICO DE LA CONSTANTE KSiunresortetieneunaconstanteK=100Kg/cmsignifca que para deformar dicho resorte 1cm se requiere de 100 Kg.De lo expuesto podemos decir: La constante K de un resorte, eslafuerzaquehayqueaplicarleparaproducirunadefor-macin unitaria. Dinmica Estructural 185.2 COMBINACIN DE RESORTES.Los resortes pueden estar en serie o en paralelo.5.2.1 Resorte en serie.El desplazamiento total (XT) ser:XT = x1 + x2 + x3

PorHookeF = Kx xFx de modo que FKFKFKFKTE + +112233......(5.1)FT = Fuerza total.KE = K equivalente.pero la fuerza F es la misma para cada resortepor lo tanto F F F FT

1 2 3 reemplazando en (5.1)1 1 1 11 2 3K K K KE + +

Ing. Genaro Delgado Contreras 19demodoquesitenemosnresorteenserie,elKEdelsistema ser:1 1 1 1 1 11 2 3 1K K K K K KE n n + + + + +.... 1 11K KE iin

5.2.2 Resortes en paralelo.

En este caso la fuerza F hace que los resortes se estiren o com-primen por igual, de modo que:F = F1 + F2 + F3

KEX = K1x1 + K2x2 + K3x3pero: x = x1= x2 = x3 ; por lo tantoKE = K1+ K2 + K3de modo que si tenemos n resortes en paralelo, el KE del sistema ser:KE = K1+ K2 + K3+...+Kn-1+KnK KE iin

1 Dinmica Estructural 20Observacin:Si tenemos el siguiente sistema: K1 y K2 estn en paralelo as como K3 y K4.Pero K1 y K3 as como K2 y K4no estn en serie aunque a sim-ple vista as lo parezcan.Estoesdebidoaquealvibrarlamasamestasedesplazar unAigualhacialaderechaeizquierdademodoqueunosse alarguen lo mismo que otros se contraen y cuando todos resortes tienenelmismodesplazamientosedicequeseencuentranen paralelo, por lo tanto la constante de elasticidad equivalente del sistema analizado ser:KE = K1+ K2 + K3+K4. Captulo 6DINMICA DE LOS SISTEMAS VIBRATORIOSAntes de entrar en el anlisis defniremos el concepto de sistema.Sistema.Sistema es todo cuerpo o conjunto de cuerpos que tienen masa y elasticidad, y que es susceptible de vibrar u oscilar.Si las masas y elasticidades estn segregados y concentrados en distintos elementos el sistema es discreto.Si las masas y elasticidades estn distribuidos en alguna forma dentro del cuerpo oscilante el sistema se denomina continuo.mKSistema simpleK1K2Sistema mltiplex1x2K1mSistema continuoLossistemascontinuostieneninfnitosgradosdelibertad,los discretos tiene un nmero fnitos de ellos.A continuacin presentamos el caso ms general de los sistemas vibratorios que es aquel que tiene fuerza excitadora, amortigua-miento y resorte.Todosistemavibratoriopierdeenergadebidoalamortigua-miento, para evitar su paralizacin se le inyecta energa adicio-nal mediante la aplicacin de fuerzas externas. Dinmica Estructural 22Las oscilaciones as obtenidas se les denomina vibraciones for-zadas cuya ecuacin es: mx cx Kx Ft + +( )la funcin F(t) vara comnmente con el tiempo y puede ser: ex-citacin armnica, en la base, por impulsos o arbitraria.Sedenominaexcitacinarmnicaporquelaexcitacinviene dada por fuerzas que tiene funcin seno o coseno. Al caso gene-ral se le denomina vibraciones forzadas amortiguadas y lo vere-mos posteriormente a los casos particulares.Captulo 7CASOS PARTICULARES DE LA ECUACIN GENERAL DEL MOVIMIENTO.La ecuacin general de la dinmica de los sistemas vibratorios hemos visto que viene dado por:

x x x Ft + +21 12 ( )

Pero se pude presentar por casos particulares tales como:- Vibracin libre. - Vibracin libre amortiguada.- Vibracin forzada sin amortiguamiento. 7.1 VIBRACIN LIBRE.En el caso de vibracin libre el sistema no tiene amortigua-miento ni fuerza excitadora de modo que la ecuacin gene-rales reducida a:

x x +120.........(7.1)Es el caso mas elemental de vibracin ya que el sistema vibrar indefnidamente al no tener amortiguamiento.La solucin de la ecuacin diferencial7.1 ser: x C t C t+1 1 2 1Sen Sen ........(7.2)cuyo modelo matemtico ser:

mxK

Trabajaremosconlossiguientescondi-ciones iniciales para t = 0 x xx x

00

Dinmica Estructural 24reemplazandoenlaecuacin(7.2)alvalordelascondiciones iniciales, obtendremos la constante C2. x C C C x0 1 2 2 00 0+ Sen Cos derivado (7.2) x C t C t 1 1 1 1 2 1Cos Sen.........(7.3)reemplazando las condiciones iniciales en (7.3) hallamos el va-lor de la constante C1. x C C Cx0 1 1 1 2 1010 0 Cos Sen reemplazando los valores C1 y C2 en (7.2) obtenemos xxt x t+011 0 1 Sen Cos.......(7.4)Haciendounarreglogeomtricoeintroduciendoalngulode fase o llegamos al siguiente esquema:x0AA: amplitudu1t - o u1t o x01Ing. Genaro Delgado Contreras 25del esquema obtenemos : Sen Sen xAxA0 11 ........(a) Cosen Cos xAx A00........(b)reemplazando (a) y (b) en la respuesta dinmica, tenemos:x A t A t+ Sen Sen Cos Cos 1 1 expresin que se asemeja al coseno de una diferencia:x A t Cos( ) 1 .......(7.5)la amplitud expresada en funcin de las condiciones iniciales lo obtenemos directamente del esquema anterior:A xx +02 0212.......(7.6) tambin podemos expresar el ngulo de fase en funcin de las condiciones iniciales. Arctg xx10 ........(7.7)grfcamente: T: periodo de la oscilacin Dinmica Estructural 26Si x x A 00

(amplitud) la ecuacin de la respuesta dinmica se simplifca a:

x A tCos1en t t x A t1 1 1 1Cos t t x x A t T+1 2 1 1 1+T Cos ( ) 1 1 1 12 ( ) t T t + T 21........(7.8)La ecuacindeducida nos da el periodo de la vibracin.La inversa del periodo es la frecuencia de las oscilaciones o fre-cuencias natural del sistema.7.2 VIBRACIN LIBRE AMORTIGUADAEn la prctica, la energa del sistema no es constante, si no que se pierde paulatinamente, bien sea por fricciones exter-nas o bien por fricciones moleculares internas en el material elstico. Denosuministrarseenergaadicionalalsistema,mediante laaplicacindefuerzasexternas(vibracionesforzadas),la amplitud decrece gradualmente, y se dice que el movimiento es amortiguado. Existen tres tipos de amortiguamiento.- Amortiguacinviscosos.Ing. Genaro Delgado Contreras 27- Amortiguacin por friccin.- Amortiguacin estructural.7.2.1 Amortiguacin viscosa.Escausadaporelmovimientodeuncuerposobreunasu-perfcieseca.LafuerzaamortiguadoraP0es,enestecaso, proporcional a la velocidad del sistema.P Cx0C: constante de proporcionalidad.La amplitud decrece exponencialmente.7.2.2 Amortiguacin por friccinEs causada por el movimiento de un cuerpo sobre una super-fcie seca. La fuerza de friccin es prcticamente constante y proporcional a N (fuerza normal a la superfcie).P N0: coefciente de friccin.La amplitud decrece linealmente.7.2.3 Amortiguacin estructural. La energa se disipa por fricciones internas en el material o en las conexiones entre los elementos de la estructura.Las fuerzas amortiguadoras son proporcionales a las defor-maciones de la estructura, las que a su vez, en el caso de un sistema elstico (en la cual los esfuerzos permanecen dentro de la zonas elsticas del material), son proporcionales a las fuerzas elsticas internas, PE, es decir:P i PE 0p: constante de proporcionalidadi : unidad imaginaria ( ) 1

lo que indica que el vector P0es de sentido contrario al vector velocidad x;p puede tomar el valor de 0,05. Dinmica Estructural 28 Amortiguacin viscosaLo ms simple de determinar matemticamente es la amortigua-cin viscosa, y es lo que estudiamos a continuacin .En este caso la ecuacin general se reduce a:

x b x x + +2 01 12 .........(7.9)la solucin de la ecuacin diferencial ser:x Cert

resolviendo (7.9) tenemos:r b21 122 0 + + r b b1 121212 + r b b2 121212 x C e C er t r t +1 21 2......(7.10)reemplazando los valores r1 y r2 en (7.10). x C e C eb b t b b t + + ( ) ( )1 2121212121212 .....(7.11)El signifcado fsico de esta solucin dependen de las magnitu-des realistas deb212y12 que determina si los exponentes son reales o cantidades complejas.Si el radical es mayor que cero estaremos en el caso de nomina-do sobre amortiguado.Fsicamente signifca un amortiguamiento relativamente grande, delsistema.Lasolucinparaestecasodesobreamortiguacin es la siguiente. x C e C et t + 1 21 2 1 2, : cantidades reales.Ing. Genaro Delgado Contreras 29Elmovimientodelamasaenestaeventualidad,noesoscila-torio, sino que tiene una marcha exponencial. Suponiendo, por ejemplo, que el movimiento comienza dando a la masa un des-plazamiento A y despus se le suelta desde el reposo. La curva del desplazamiento es la que se muestra a continuacin:Debido al amortiguamiento relativamente grande, la masa libe-rada desde la posicin del reposo nunca pasa de la posicin del equilibrio esttico. En este caso la vibracin desaparece, deno-minndose a este caso pulso muerto. La amplitud se aproxima a cero exponencialmente conforme crece t y no se efecta nin-guna oscilacin. Si el radical es menor que cero, es decirb21212 < , el amorti-guamientoespequeoyelradicalesimaginariollamndosea este caso sub-amortiguado, en este caso:b i b2121212 212

obtenindose: x e C e Ceb t i b t i b t +

]]] 1112 212212 212 ....(7.12)sabemos que: e ii + Cos Sene ii Cos Sen Dinmica Estructural 30aplicamos este concepto a la ecuacin (7.12)x e C C b t iC C b tb t + +

]] 11 2 1 212 21212 212( ) Cos ( )Sen ( ) ( ) C C C C1 2 1 2+ y deben ser reales ya que es un requisito para que el desplazamiento en un problema fsico resulta real por lo tanto C1 y C2 deben ser nmeros complejos conjugados. C C CC iC C121 21 2 + ( ) C1 , C2: nmeros reales. x e C b t C b tb t +

]] 11 12 2122 12 212Cos Sen....(7.13) Haciendo un arreglo geomtrico. x0C o C1C212212breemplazando (a) y (b) en 7.13 x e C b t C bb t +

]] 112 21212 212Cos Cos Sen Senx Ce b tb t 112 212(Cos ).....(7.14)212 212 bC C a Cos ......( ) 1C C b Sen ......( ) 2Ing. Genaro Delgado Contreras 31Enestecasoelmovimientonoesperidicayaquelasampli-tudesdeciclossucesivasdecrecen.Sinembargocomolospe-riodos son iguales, a este movimiento se denomina movimiento con tiempo peridico.Tb

212 212 .......(7.15) 212 212 bcalculamos la relacin de las amplitudes de los sucesivos ciclos de vibracin.xxeebeb tb tbb12211 112 21212 2122 + ( )

la cantidad de amortiguamiento es especifcada a menudo dando el decremento logartmico o, siendo: ln lnxxeneb12212 212

212bb decremento logartmico (7.16) Dinmica Estructural 32para sistemas que tienen pequeo amortiguamiento, una manera simple de determinar el decremento logartmico partiendo de la curva de vibracin libre es como sigue: + + ln( ) ln( )x xxxxA A1 + +A A A xxxxxx12132 3( ) ( ) .....ParaAxxpequeos, los trminos de orden elevadospueden des-preciarse , obtenindose: Axx ...........(7.17)Demodoqueeldecrementologartmicoesaproximadamente igual a la fraccin de decrecimiento en amplitud durante un ciclo de la vibracin.Otra importante magnitud en el anlisis de las vibraciones amor-tiguadaseslaenergaperdidaporcicloacausadelafuerza amortiguadora.La energa total del sistema cuando se encuentra en una de sus posiciones extremas con velocidad cero, es:1212 Kxla energa un ciclo despus es:22 12 ( )K x x A

por lo tantola energa perdida por ciclo es:A A A + 1 22 2 2121212Kx Kx Kx x x ( ) ( ) Ing. Genaro Delgado Contreras 33expresandoestaprdidadeenergacomounafraccindela energa total del sistema, tenemos:A A A

|('`JJ|('`JJ22xxxx si el amortiguamiento es pequeo, el trmino al cuadrado puede despreciarse, obteniendo fnalmente:A A |('`JJ 2 2xxdemodoqueparaamortiguamientospequeoslafraccinde energa perdida por ciclo es aproximadamente igual al doble del decremento logartmico.Si b21212 es decir b =1, entonces 12 2120 bllamn-dose a este caso amortiguamiento crtico.La ecuacin (7.11) se reduce a:x C e C eb t b t + 1 21 1 en este caso la solucin de la ecuacin ser:x A Bt eb t +( )1conformet eb t entonces 10 como e-bu1t se aproxima a cero ms rpidamente que t se aproxi-ma a h, el movimiento se disipa exponencialmente.El amortiguamiento crtico es el caso lmite de sobreamortigua-miento.Designando a nc el valor de bu1 para el caso de amortiguamiento crtico, tenemos:n nC C2121 ; dividimos bu1entre nc. bnbbC 1 11 se defne como el factor de amortiguamiento. Dinmica Estructural 347.3 VIBRACIN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO.Cuando el sistema no tiene amortiguamiento, y est afectado porunafuerzaexcitadora,laecuacingenerallapodemos expresar as: x x F t + 12Sen..........(7.18)lasolucindestaecuacindiferenciallinealnohomognea consistededospartes:unasolucincomplementariaxcyuna solucin particular xP. Por lo tanto: X x xC P +.......(7.19)la solucin complementaria es la solucin de la parte homog-nea de la ecuacin diferencial. Tenemos que resolver la ecuacin sin segundo miembro; es decir es el caso de la solucin obtenida para vibracin libre que segn demostramos es:x A tC Cos( ) 1......(7.20) lasolucinparticulartendrquesatisfacercompletamentela ecuacin.Asumimos que la solucin particular sea:x J t L tP+ Sen Cos ; J y L constantesderivado x J t L tP Cos Sen

x J t L tP 2 2Sen Cosreemplazando los valores de xP y xP en (7.18) + + 2 212120J t L t J t L t F t Sen Cos Sen Cos SenIng. Genaro Delgado Contreras 35 ( ) Sen Sen 12 20012 2 J t F t JF ( ) Cos 12 20 0 L t Lpor lo tanto:xFtP 012 2 Sen ...(7.21)reemplazando (7.20) y (7.21) en (7.19)x A tFt +Cos( ) Sen 1012 2

Observamosquelasolucincomplementariacorrespondeala vibracin libre y la solucin particular, a la vibracin forzada.Aqu nos interesa analizar la solucin particular de la vibracin forzada. Un sistema sin amortiguamiento es un caso idealizado ya que la friccin existe en todos los sistemas fsicos indepen-dientemente de lo pequeo que puede ser.Eventualmenteenunsistemareallavibracinlibresedisipa, nosucediendoasenlaexpresinmatemticaquesehapre-sentadoaquysolamenteseconservalavibracinforzadadel estado permanente. Analizando la solucin particular vemos que la vibracin forzada del estado permanente sin amortiguamiento tiene las siguientes caractersticas.- La respuesta tiene la misma frecuencia que la funcin de la fuerza.- Si la frecuencia de la fuerza es menor que la frecuencia natu-ral del sistema u < u1, la respuesta est en fase con la fuerza. Si u>u1la respuesta est 180 fuera de la fase.- Si defnimosla deformacin esttica xst como:xFKF mKmFst 0 012podemos escribir la amplitud A del estado constante de la vibra-cin forzada no amortiguada. Dinmica Estructural 36AF F m F KmK

12 2012 2012 2( )

AF KFK

012121201211 1 ( ( )) ( ) AFK( ) ( )01211

]]]]]]factor de amplifcacin dinmica.- Cuando u = u1, la amplitud A, se vuelve infnita, llamndose a este caso resonancia. La solucin particular parau = u1, es:x Bt tPSen en donde BFm

2 Ing. Genaro Delgado Contreras 37entonces xFmt tP 2 Sen Esta expresin revela el hecho de que la amplitud de la respuesta correspondiente al estado permanente, en el caso de resonancia creceilimitadamenteconeltiempo,esdecirlaamplitudnose har inmediatamente fnita cuando u = u1 como indica la expre-sin F 12 2, sino que este incremento es como se muestra en la fgura Dinmica Estructural 38Captulo 8VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS8.1 VIBRACIN ARMNICA.A continuacin haremos la deduccin de la ecuacin general cuando el sistema es excitado por una fuerza excitadora sin-usoidal F0Senut. A ste caso general se denomina vibracin forzada amortiguada.

Haciendo el equilibrio de la masa m vemos que al actuar la fuerza excitadora F0Senut surge fuerzas que la contrarestan como son: la fuerza de amortiguamiento, la fuerza del resor-te y la fuerza de inercia, dndonos el siguiente diagrama de cuerpo libre. haciendo equilibrio de fuerzas obtenemos:mx cx Kx F t + + 0Sen............(8.1) xcm xKm xFmt + + 0Sen ...........(8.2)la ecuacin (8.1) es la ecuacin general de los sistemas vi-bratorios.Haremos las siguientes cambios variables: Dinmica Estructural 40cmb21

Km12

FmF0

reemplazamos en (8.2) obteniendo la siguiente expresin: x b x x F t + +21 12 Sen........(8.3)u :frecuencia de la excitacinu1 :frecuencia del sistemab:coefciente de amortiguamiento.como observacin importante diremos que cuando la frecuencia de la excitacin y del sistema coinciden, es decir u = u1, el sis-tema entra en resonancia hasta llegar al colapso.Solucin de la vibracin forzada amortiguada. x b x x F t + +21 12 Sen

x x xc P +.......(8.4)Lasolucincomplementariacorrespondealasolucindela ecuacin (8.3) sin segundo miembro.Tomaremos el caso del subamortiguamiento. x e c b t c btcb t +

]] 11 1 2 2 121 1 Cos Cos ....(8.5) Ing. Genaro Delgado Contreras 41La solucin particular tendr la forma: x A t B tP+ Sen Cos

derivando: x A t B tP Cos Sen x A t B tP 2 2Sen Cosreemplazando valores en (8.3) + + + 2 21 112122 2 A t B t b A t b B tA t BSen Cos Cos SenSen Coos Sen t F t agrupando los trminos en forma conveniente:( ) 12 212 A b B F( ) 12 212 0 +B b Aresolviendo el sistema de ecuacionesAFb

+( )( ) 12 212 2 212 24Bb Fb

+24112 2 212 2 ( )Haciendo el siguiente arreglo geomtrico.

Dinmica Estructural 42 A t B t A B t Sen Cos Sen( ) ++ 2 2

xFbF bP +

]]+ +212 2 212 2 2 212 222 212 212 2 244 ( )( ) ( ) 44212 22bt

]] Sen( ) xF bbtP + +( )( )Sen( ) 12 2 2 212 212 2 2 212 244xFbtP +( )Sen( ) 12 2 2 212 24......(8.6)reemplazando (8.5) y (8.6) en (8.4)x e c bt c btb t + + 11 122 121 1 ( Cos Sentrmino transitorio Fb ( )Se 12 2 2 212 24 +nn( ) t trmino de estado constante Larespuestadinmicanossealaunasuperfciededosmovi-mientos:- Movimiento de periodo 2112 bcuya amplitud decrece ex-ponencialmente con el tiempo.- Movimiento de amplitud constante y periodo 2. Este mo-vimientoeselquesemuestraenlasiguientefgurapara u1>u .Ing. Genaro Delgado Contreras 43Debido a eb t 1 el primer trmino de esta expresin decrece con el tiempo y transcurrido un tiempo sufciente puede considerarse que se ha amortiguado, solamente persiste el movimiento descri-to por el segundo trmino. Por esta razn al primer trmino se le denomina trmino transitorio y al segundo trmino de estado constante.Elcarcterdeltrminotransitoriodependedelas condiciones iniciales del movimiento, mientras que las vibracio-nes del estado constante son independientes de las condiciones iniciales y estn en funcin de la fuerza y de los parmetros del sistema.8.1.1 Amplitud de la vibracin forzada de estado constante.Sabemos que: AFb

+ ( ) 12 2 2 212 24.........(8.7)donde: Dinmica Estructural 44 FFmF KmKF K 0 0 0121 ............(8.8)reemplazando (8.8) en (8.7)AF KbF Kb

+

]]]+01212 2 2 212 2012212141 2 ( )( ) ( )AF Kb01221211 2

]]]+ ( ) ( ).........(8.7)F0/Kesladesviacinqueelsistematendrabajolaaccinde la carga esttica F0; esto es, la desviacin del sistema bajo una funcin de fuerza de frecuencia cero.La expresin del lado derecho de la ecuacin representa una am-plifcacin dinmica o factor de magnifcacin con la relacin de las frecuencias y la relacin de los amortiguamientos se muestra en la fgura siguiente.La caracterstica ms signifcativa de esta fgura es el hecho de que, aproxima a la relacin de frecuencia u/u1 = 1 el factor de amplifcacin llega ser muy grande si la relacin de amortigua-miento es pequea.Cabeanotarqueseacostumbraaexpresarelamortiguamiento como una fraccin del amortiguamiento crtico, siendo este def-nido como nc = u1. Si nc = bu1entonces n/nc = b que se defne como.El valor infnito para n/nc = 0, que, por lo dems no existe en la prctica, puesto que es imposible reducir el amortiguamiento a cero,requieredeuntiempoinfnitoparaalcanzarlaamplitud Ing. Genaro Delgado Contreras 45infnita aunque el amortiguamiento fuese cero.Laexistenciadegrandesdesplazamientosenlasproximidades de u/u1 = 1 se denomina resonancia y la frecuencia para que u = u1 se llama frecuencia resonante.Si el amortiguamiento es pequeo, la mxima amplitud tiene lu-gar muy cerca de u/u1 = 1, por lo que la mxima amplitud puede muy prximamente ser establecida para u/u1 = 1 teniendo as:AF Kbresonancia 02 8.1.2. Clculo de la relacin de frecuencias que da la mxima amplifcacin.De la expresin : AF Kb01221211 2

]]]+ ( ) ( ) Dinmica Estructural 46haciendo: AF KQ0

y 1 xQx bx

+11 22 2 2( ) ( )Q x x bx + +( ) 1 2 42 4 2 2 1 2dQdxx x bx x x bx + + + +121 2 4 4 4 82 4 2 2 3 2 3 2( ) ( )igualando dQdx 0 para calcular los puntos crticos + +4 4 8 03 2x x bxfactorizando:x x b ( ) 4 4 8 02 2 + las soluciones sern:x= 0 y 4 4 8 02 2x b + x = 0 y x b 1 22121 2 b.........(8.8)8.1.3 Valor mnimo de b para que la amplifcacin nunca sea menor que la unidad.AF Kb01221211 21

]]]+( ) ( ) 1 2 1122121 2

]]]+

]]]]( ) ( )bIng. Genaro Delgado Contreras 47reemplazando121 2 b1 1 2 4 1 2 12222 221 2 ( )

]]]+ ( )

]]]]b b b4 4 1 4 4 141 22 4b b b b ( ) ( ) 4 4 1 0 2 1 04 2 22b b b + ( )b228.2 EXCITACIN EN LA BASEDeloscasosantesmencionadosestudiaremosacontinua-cin el movimiento en la base.Diremos como ilustracin que es un caso muy frecuente de-bidoaquelossismosexcitanlaestructuraenlabaseoci-mentacin.El modelo matemtico se presenta de la forma siguiente: el diagrama del cuerpo es: Dinmica Estructural 48planteando el equilibrio de fuerzas: mx cx x Kx x Fg g t + + ( ) ( )( )haciendo y x xg my x cy Ky Fg t( )( ) + + my cy Ky F mxt g + +( ).........(8.9)a la ecuacin deducida le corresponde el siguiente modelo:De acuerdo al modelo hallado se considera el sistema como em-potrado, con la fuerza mxg en la direccin y sentido mostrado.8.2.1 Transmisibilidad.El caso de mayor inters desde el punto de vista estructural, es de los sismos, en los cuales el sistema es excitado por la cimen-tacin. En esta parte de la expresin hallaremos una frmula que nos proporcionar una mediad de la interaccin entrela base y el sistema, es decir, de las fuerzas dinmicos que se transmiten en una u otra direccin.baseIng. Genaro Delgado Contreras 49Aestarelacinentrelacimentacinyelsistemasedenomina transmisibilidad. Sea y y tt () 0Sen el movimiento de la base, calcularemoslafuerzaquesetransmitealamasascomola amplitud de la vibracin de la masa.Analizando el equilibrio de fuerzas: mx cx y Kx y + + ( ) ( ) 0mx cx Kx Ky cy + ++y y t 0Senmx cx Kx y K t tC + ++0( Sen Cos ) Haciendo el siguiente arreglo geomtrico: |('`JJarctgcK Sen

+cK c2 2 2........(a) Cos

+KK c2 2 2........(b)mx cx Kx F t + + 0Senmx cx Kx y K t c t + ++0( Sen Cos ) ......(8.10) Dinmica Estructural 50reemplazando:mx cx Kx y K c t t + ++ +02 2 2 (Sen Cos Cos Sen )mx cx Kx y K c t + ++ 02 2 2 Sen( )AF Kb

]]]+0122121 2 ( ) ( )..........(8.11)F y K c0 02 2 2 + FKy K cKycK0 02 2 2021 + +|('`JJ .......(8.12) tambin sabemoscmbKmcKb cKb

||||||| 2221121 1 ......(8.13)(8.13 en (8.12) FKy b00121 2+ ( )........(8.14)reemplazando (8.14) en (8.11) Ay bb

+

]]]+012122121 21 2( )( ) ( )..........(8.15)fnalmente obtenemos la siguiente expresin:Ing. Genaro Delgado Contreras 51 Aybb012122121 21 2

+

]]]+( )( ) ( ).......(8.16)donde y0 es la amplitud de la excitacin y (8.15) es la amplitud del movimiento descrito por el cuerpo oscilante A/ y0 es lo que se denomina transmisibilidad.En la fgura siguiente se muestra curvas de transmisibilidad para distintos valores de b.Lacombinacinderesorteyamortiguadorseconvierteenun amortiguadorcuandoA/y0>1,yenunatenuadoruoscilador en el caso contrario.Delgrfcoseobservaquelasoscilacionesnosepuedenais-lar sino para relaciones de frecuencias mayores de2 , cuando 12 el movimiento se asla mejor sin amortiguadores (b = 0). Dinmica Estructural 52El concepto de trasmisibilidad tiene aplicaciones prcticas en el diseo de aisladores para ase de mquinas, cuyas vibraciones no son convenientes en la estructura, para soportes de instrumentos que no deben ser perturbados por agentes exteriores, etc., y ade-ms es un parmetro importante en el estudio de la interaccin suelo estructura.8.3 EXCITACIN POR IMPULSOS.Se entiende por impulso, una fuerza no peridica aplicad s-bitamente, es decir en un tiempo muy pequeo pero fnito ya queladuracindelafuerzaestancorta,quenoalcanzaa producir oscilaciones entretenidas y el movimiento se llama de transicin.Las cargas impulsivas tienen aplicacin prctica en el diseo de estructuras o prueba de explosiones.Sabemos que el momentum es igual al impulso que lo imprime.mv Pdt de dondevPdtm

Si un sistema parte de su lugar de equilibrio (x0 = 0) y el impulso le aplica una velocidad inicialvPdtm0 la posicin x viene dada por:Ing. Genaro Delgado Contreras 53 xe Pdt tm btb t( )Sen

112 .........(8.17)8.4 EXCITACIN ARBITRARIA8.4.1 Integral de Duhamel.Las fuerzas excitatrices arbitrarias, son los ms comunes en eldiseodeestructurascivilesyaquecomprendenlossis-mos, mareas, explosiones, etc. y se caracterizan por tener una ley de formacin o expresin algortmica que las defna.En nuestros anlisis consideramos una fuerza excitatriz arbi-traria, la cual se puede considerar compuesta por una serie de impulsossucesivosdepequeaduracin.Debidoaquelas ecuaciones diferenciales lineales tienen la propiedad de ser superponibles, la respuesta del sistema a la carga arbitraria, es igual a la suma de las respuestas correspondientes a cada uno de los impulsos que lo componen.Consideraremosinicialmenteelmovimientodeunsistema masa resorte, no amortiguado, al que se le aplica un solo impulso. Con respecto a la fgura podemos decir que un impulso F0At pro-ducir una velocidad inicial x0 que puede ser calculado por: F t mx xF tm0 0 00AA Dinmica Estructural 54El desplazamiento x de un sistema no amortiguado que efecta oscilaciones libres est dado por: xxt x t+011 0 1 Sen Costenemos: xF tmx0000A ySi medimos el tiempo para el punto de defexin cero, obtene-mos: xF tm

01A Sen t1 .......(8.18)Unavezhalladoelmovimientobajolaaccindeunimpulso, podemospor el principiodesuperposicin, encontrar elmovi-miento bajo la accin de cualquier funcin de fuerza.Es solamente necesario que la funcin arbitraria puede ser repre-sentada por un nmero infnito de impulsos.Supongamos que la curva de la fgura representa una fuerza ex-citadora que es aplicada en tiempo t = 0 y se desea determinar e desplazamiento en tiempo T. Considerando que la fuerza puede ser divida en un gran nmero de impulsos de los cuales uno de ellos es F(t)dt.Ing. Genaro Delgado Contreras 55EldesplazamientoxenelTdebidoaesteimpulsopuedecal-cularse por: (8.18) donde t es el tiempo que transcurre entre la aplicacin del impulso y la medida del desplazamiento.En el tiempo T, el diferencial del desplazamiento ser: dxFt dtmT t( )( )1Sen1......(8.19)El desplazamiento total se obtiene sumando todos los impulsos de 0 hasta T lo que signifca la integracin de la expresin xmF T ttT 1110( )Sen ( ).....(8.20)expresin que es conocido como Integral d Duhomel.Conlaexpresin(8.20)sepuedecalcularelmovimientopara cualquiersistemanoamortiguadoquetengadesplazamientoy velocidad cero, como condiciones iniciales.Si F(t) se da como dato grfco o numrico la integracin puede efectuarsepormtodosgrfcosonumricosyunaventajade esta ecuacin es su adaptabilidad o soluciones de estos tipos.8.4.2 Generalizacion de la integral de Duhomel. Sitenemosunsistemadevibracinlibreamortiguadodonde para t = 0, x = 0 y xIm

la ecuacin del movimiento ser: mx cx Kx + +0donde la solucin para el caso de movimiento subamortiguado es: x e c bt c btb t + 11 122 121 1 ( Cos Sen )reemplazando las condiciones iniciales en la ecuacin (8.21) 0 001 1e c c ( )

la expresin (8.21) se reduce a: x e c btb t 12 121 Sen...........(8.22) Dinmica Estructural 56derivado: x e c b bt e b c btb t b t 1 12 12121 2 121 1 1 Cos Senen esta expresin reemplazamos las condiciones iniciales y des-pejamos c2. cIm b2121

reemplazando en c2 en (8.22) xe I btm bb t

1121211Sen........(8.23) donde t es el tiempo que transcurre entre la aplicacin del impul-so y la medida del desplazamiento. De la fgura para t =T : xe F dtm bb T t dtb ttT

11212011( )Sen ( ) laexpresin(8.24)eslaintegraldeDuhomelcuandohay amortiguamiento.Observamos en esta misma expresin, que cuando no hay amor-tiguamiento (b = 0) se obtiene la ecuacin (8.20).Captulo 9FORMULACIN DEL MODELO DINMICO9.1 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTADA continuacin se muestra una estructura aporticada de un pisoFigura 9.1Estamismaestructurapuedeseridealizadacomounsistema masa - resorte.Figura 9.2Alanalizar esta estructura de tipo rectangular que se apoya en cuatro columnas y es de una sola planta, podemos ver que tiene infnitos grados de libertad pero se puede reducir a una sola te-niendo en cuenta las siguientes hiptesis:- Que la estructura tenga simetra.- Disear y construir las losas y/o vigas como elementos es-tructurales de rigidez infnita, de modo que el movimiento Dinmica Estructural 58del sistema puede ser determinado en cualquier momento por la posicin del centro de masa.- Debido a que las masas de los lasos y vigas es mucho ma-yorqueeldelascolumnas,sepuedeconsiderarqueel peso del entrepiso se concentra al nivel de la losa y consi-deramos solo la mitad del peso de las columnas.Con las hiptesis anteriores el sistema se reduce a una masa con-centrada, sostenida por un resorte sin masa como se observa en la fgura 9.2.La estructura idealizada tiene seis grados de libertad: 3 traslacio-nales y 3 rotaciones respecto a un sistema de referencia x, y, z. Sialamasaconcentradaselepermitetrasladarseenunasola direccinrotaralrededordeunodesusejes,bastarsolouna coordenadaparadeterminarsuposicinencualquierinstante obtenindosedeestamaneraunaestructuradeungradodeli-bertad.Si la estructura de la fgura 9.1 (a) vibra verticalmente, es decir enladireccinzycumpleconlahiptesisantesexpuestas,el periododevibracinsecalcularconsiderandounavibracin libre.Trabajamos con la ecuacin: mz Kz z zKm ++ 0 02 donde1 la masa m viene a ser la masa del entrepiso en estudio concentra-do a nivel de la losa, por lo tanto es un valor conocido, slo nos falta calcular la rigidez K.Por la ley de Hooke sabemos que:Ing. Genaro Delgado Contreras 59 AA

PlEAPKEAldonde

por lo tanto 122 EAmT y TlmEA 2 Si la estructura en lugar de moverse verticalmente, lo hace hori-zontalmente en la direccin x se puede representar por la fgura 9.3.Figura 9.3Calcularemos la rigidez K en base a las ecuaciones de pendiente y defexin.Debemos tener presente la hiptesis planteadas inicialmente para realizar el anlisis. Si asumimos el techo como infnitamente r-gido,entoncesstenorota,slosetrasladaluego,lacolumna estar perfectamente empotrada en su base, en la parte superior tambin estar empotrada pero puede desplazarse.Las ecuaciones de pendiente y defexin son: M MEIhij ijoi j ij + + 2 2 3 ( ) M MEIhij ijoj i ij + + 2 2 3 ( ) Dinmica Estructural 60donde: I: Suma de los momentos de inercia inercias de las secciones de los cuatro columnas en la direccin x (ver fgura 9.1 (a)).E: mdulo de elasticidad del material.h: altura libre de las columnas. Debido a que los puntos i y j no giran i = j = 0.Los momentos de empotramiento sern: Mij = Mji = 0 debido a que no existen ara a la largo de la columna.MEIh hij|('`JJ2 3A;MEIh hji|('`JJ2 3A

M MEIhij ji62 Ing. Genaro Delgado Contreras 61por equilibrio Mi 0 REIhi 123 Ala rigidez es defnida como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario:KR EIhi A123KEIh

123y el periodo estar expresado como: ThEI 221213 Si la estructura est articulada en la base, demostraremos que su rigidez es: KEIh

33la demostracin es lo siguiente M MEIhij ijoi j ij + + 2 2 3 ( ) ......(a)M MEIhij ijoj i ij + + 2 2 3 ( ) .....(b) Dinmica Estructural 62En el extremo i la columna se encuentra articulada, por lo tanto el momento es cero y el nudo tiene un giro i. El extremo j no gira durante el desplazamiento: j = 0Reemplazamos los valores conocidos en (a) 0 23 32 i ih hA A....en (b)MEIh h hEIhji 2323 32( )A A A

por condicin de equilibrio debe cumplir que:Mi 0de donde obtenemos:REIhj 33A

la rigidez la obtenemos dividiendo el cortante entre el desplaza-miento. KEIh

33 9.2 MODELOS DE VARIOS GRADO DE LIBERTADSitenemosunaestructuraaporticadacomolamostradaenla fguraveremosquestapuedeseridealizadacomoelsistema masa resorte de la fgura.Ing. Genaro Delgado Contreras 63Planta (a)portico tpico (b)idealizacin (c) Dinmica Estructural 64Estaidealizacinlapodemosrealizardebidoaqueennuestro anlisis estas estructuras tienen grados de libertad y sus entrepi-sos se deforman slo por cortante ya que los pisos no rotan sino que slo se trasladan horizontalmente.Paraobtenerelmodeloporcortanteseasumenlassiguientes hiptesis:a) Las masas se concentran al nivel de cada piso.b) El sistema de losas y vigas es muy rgido respecto a la ri-gidez de las columnas.c)Ladeformacindelaestructuranodependedelafuerza axial presente en las columnas. Por la hiptesis a) se puede reducir los infnitos grados de liber-tad de la estructura a tanto grados como pisos tenga el edifcio. Por la hiptesis b) podemos aceptar que los nudos no rotan man-tenindose las columnas verticales en sus uniones con las vigas en su parte superior e inferior.Porlahiptesisc)sefjaladeformadademodoquelasvigas permanecen horizontales.Donde:i=1,2,3...nsonlospisosdel edifcio.mi : masa de cada piso i.Fi:Fuerzahorizontalaplicada en el piso i.Vi:Fuerzacortantedelentre-piso i.Ki: Constante de rigidez lateral del entrepiso i.xi:desplazamientolateraldel entrepiso. Ing. Genaro Delgado Contreras 65A continuacin realizaremos el anlisis de un prtico de una cru-ja, para facilitar el planteo de las ecuaciones. La rigidez de las dos columnas es equivalente a la rigidez de todas las columnas del entrepiso y las masas concentradas es igual a la masa total del piso mas el peso del medio entrepiso superior adyacente y el peso del medio entrepiso inmediato inferior.donde:Si analizamos el entrepiso mi, el diagrama de cuerpo libre ser:dondelasfuerzasqueactansobrelamasamisernFiylas cortantes que le transmiten las columnas superiores e inferiores que vienen dados por:v K x xi i i i + + + 1 1 1( ).....(a)v K x xi i i i ( )1.....(b)haciendo equilibrio de fuerza se obtiene: v F v m xi i i i i ++ 1 para determinar las caractersticas de la estructura, podemos ha-cer Fi = 0, ya que estas son independientes de la excitacin.Reemplazando (a) y (b) en (c) K x x F K x x m xi i i i i i i i i 1 1 1 + + + ( ) ( ) ordenando en forma conveniente: m x K x x K x x Fi i i i i i i i i + + + 1 1 1( ) ( ) m x K x K K x K x Fi i i i i i i i i i + + + + + 1 1 1 1( ).....(9.1) Dinmica Estructural 66i m x Kx K K x Fi m x Kx K K x Kx F + + + + 121 1 2 2 2 1 1 12 2 3 3 2 3 2 2 1( )( )223 3 4 4 3 4 3 3 2 31 13 i m x Kx K K x Kx Fi n mx K x Kn n n n + + ++ + ( )(nn n n n n nK x Kx F + ]]]]]]]]+ 1 19 2)... . podemos hacer un arreglo matricial, de modo que:mmmmmn[ ]

]]]]]]]]1230 0 00 0 00 0 00 0 0 KK K KK K K KK K K KKn[ ]

+ + +

1 2 22 2 3 33 3 4 40 0 00 00 00 0 0 0

]]]]]]]]

xxxxxFFFFn[ ]

]]]]]]]][ ]

123123 , FFn

]]]]]]]]conlacualobtenemoslasiguienteecuacindinmica,lacual condensa las n ecuaciones planteadas en (9.2). m x K x F[ ][ ]+[ ][ ] .....9.3Ing. Genaro Delgado Contreras 67Acontinuacinplantearemosalgunosejemploqueservirnde ilustracin para formular la ecuacin dinmica de una estructura.planteamos la ecuacin de equilibrio para cada masa m x K x K x x Ft1 1 1 1 2 2 1 10 + ( ) ( ) m x K x x K x x F t2 2 2 2 1 3 3 2 20 + ( ) ( ) ( ) m x K x x F t3 3 3 3 2 30 + ( ) ( )agrupando convenientemente.

m x K K x Kx Ft1 1 1 2 1 2 2 10 + + +( ) ( ) m x Kx K K x Kx F t2 2 2 1 2 3 2 3 3 2 + + ( ) ( )m x Kx Kx F t3 3 3 2 3 3 30 ( )llevando a un arreglo matricial obtenemos:mmmxxxK K KK K1231231 2 220 00 00 00

]]]]]

]]]]]++ 22 3 33 31231230+

]]]]]

]]]]]

K KK KxxxFFFttt( )( )( )

]]]]]

Dinmica Estructural 68Ejemplo. PlantearOtra forma de idealizar una estructura es de la siguiente manera:planteamos el diagrama de cuerpo libre analizamos el equilibrio y agrupamos convenientemente: m x K K x Kx1 1 1 2 1 2 20 + + ( ) m x Kx Kx2 2 2 2 2 20 + expresando en forma matricial: mmxxK K KK Kxx12121 2 22 212000

]]]

]]]++

]]]

]]] 00

]]]Ing. Genaro Delgado Contreras 69PROBLEMAS DE APLICACIN 1.Unavigaderigidezinfnitasoportaelpesodeunmurode ladrillo.Estavigaseapoyasobreotrafexiblede0,25x0,50m2y sobre un dado de concreto en el otro extremo.Calcular el periodo de vibracin de la viga infnitamente r-gida, cuya seccin es 0,15 x 1,00. Solucin: La viga AB soporta, en forma distribuida, el peso del muro y su peso:Peso del muro :1800 x 0,15 x 400 x 2,50 = 2700,00 Peso de la viga :2400 x 0,15 x 400 x 1,00 = 1440,00 4140,00 Dinmica Estructural 70 carga distribuida que acta sobre la viga AB:4140 004 001035,,/ Kg m

Lareaccinde2070KgenelextremoB,defexionaalaviga fexible CD, generalmente un A. para una viga simplemente apoyada:A PLEI348de donde la rigidez lateral se expresa como:KP EIL A483 Para calcular el periodo de vibracin de la viga AB la idealiza-mos como articulada en A, debido a que el dado de concreto se comporta como rtula, y como resorte en el extremo B debido a que este punto se deforma un A.Ing. Genaro Delgado Contreras 71dF dmxdmdWg g d por relaciones de semejanza en la Figura: xx l

xlx xlx d Fglxd por condicin de equilibrio, debe cumplirse: MA 0200glxd Klxl + = Dinmica Estructural 72lgl x Klx330 + xgKlx + 30 ecuacin del movimiento reemplazando valores: KEIlTn cm

48 48 210 25 5030097 22333. /

de la ecuacin del movimiento:123

gKl11302 092 , sgT sg20 02081,2. Plantear la ecuacin diferencial del movimiento de la m.

Ing. Genaro Delgado Contreras 73Solucin: diagrama de cuerpo libre de lamasa m.mx Kx x ft+ ( )( ) 1M20 Kx a a Kx a a ( )( ) ( )1 12 2 + ax 15por equilibrio de fuerzas:FV

0 Dinmica Estructural 74Kx a Kx a Kx x ( ) ( ) ( )1 1 12 + + x x1514

en (1)mx Kx x ft+ ( )( )514 xKm xfmt+ 914( )3.Hallar el periodo d la pequeas oscilaciones del pndulo in-vertido rgido de la fgura: Solucin: MA 0Ing. Genaro Delgado Contreras 75

3 3 4 2 4 3 0 ml l Kl l Kl l mg l ( ) ( ) ( ) ( ) + + + |('`JJ

43 30KmglTKmgl

243 24. La masa oscila por la parbola sin friccin, plantear la ecua-cin diferencial exacta del movimiento y luego hallar la fre-cuencia de las pequeas vibraciones.MA0 Dinmica Estructural 76Solucin:Aplicando el mtodo energticoEp mgy mgax2Ec mx y mx m axx++12121242 2 2 2 2 2( ) ( ) E Ep Ec+

E mgax mx maxx+ +2 2 2 2 2122 dEdt 0

m ax x maxx mgax ( ) 1 4 4 2 02 2 2 2+ + + para pequeas oscilaciones:mxmgax + 2012f f ga 121221

Ing. Genaro Delgado Contreras 775. Plantear la ecuacin diferencial del movimiento.dF dmxI........(1)dmdWgqdgqq a

, pero 2dmqdag

2adems:xx a

xa x

Solucin: dr Dinmica Estructural 78en (1)dFq dagxI 222Mq dagxdFIA

322 MA 0q xag d Kx a Kx aa320222 2 2 0+ + =( ) ( )qagx Kx +3 0 xKgqax + 306.Plantear la ecuacin diferencial del movimiento. Solucin: Ing. Genaro Delgado Contreras 79a) Para 0 < r < l .dF dmxI........(1) dmdWgdg 2 adems: xx l

xlx

en (1) dFdglxI

2 MdglxdFIA

22 b) para l < r < 2l. dF dmxI dmdWgdg

xx lxlx 2 2 dFdglxI MdglxdFIA

2MA 0 22 22022 && xgldxgld Kx l Kx llll ++ + ( ) ( ).. Dinmica Estructural 80 23735 0 xlgxlgKx + + 35 0lxgKx+ 7. Plantear la ecuacin diferencial del sistema.dF dmxdmdWgdgpor relacin de semejanza:xlx xlx

dFxgld Solucin: Ing. Genaro Delgado Contreras 81por condicin de equilibrio, debe cumplirse: MA 0 MxglddFA

2200 xgld Klxl+ =l xglKlx330+ xKgxl+ 308. Plantear la ecuacin del movimiento del sistema mostrado. Dinmica Estructural 82Solucin:dF dmxdmdWgqdg qqa

dmq dag

xa x

dFq d xag

22Mq xdagdFA

32dF dmx xaxdmq dagx 224

yqxa

224dFq da

334Ecuacin de la parbolaIng. Genaro Delgado Contreras 83Mq xagddFA

434por condicin de equilibrio MA 0q xdagq xda gKx a Kx a Kx aaa 324302044 2 + + + +( ) ( ) ( )qaxgqaxgKaxKgxqa2 248510200370 + + + 9.Plantearlaecuacindiferencialdelmovimientodelamasa mSolucin:mx xx x F t + 41 0( ) Cos Dinmica Estructural 84xxx x122 13553 MA 05 5 4 31 1Kx a Kx x a ( ) ( )( )x x11237

mx Kx x F t + 412370( ) Cos xKxmF tm+ 100370 Cos10. Plantear la ecuacin del movimiento para la masa m.Solucin: Ing. Genaro Delgado Contreras 85diagrama del cuerpo libre de la masa mmx Kx x F t + ( ) Sen1 0........(1)dF dmxI......(2)dmdWgqdg adems:qaqaxx a 3 3 31;de donde qaq ( ) 13 xa x

31 Dinmica Estructural 86reemplazando estos valores en (2)dFqdagxq dagxI+ 3 91221 Mrotula 0qxagdqxa gd Kx a K x x aaa&& &&1213032 10334 3 0 + + + = ( ) ( )( )92tambin se cumple que:xxaax x212 14343

341633 021 1 1qagx Kax Kax x + ( )despejamos x1.xqxqaKg x1 1259100 .......(3)M00 qxagdqxagd Kx a Kx x a 12132 13 94 3 0 + + ( ) ( )( )124944302121 1qagxqagx Kax + + qaKg x x 1 1169 .....(4)(4) en (3)x x x1 19259100169 ( )x x1929

Ing. Genaro Delgado Contreras 87en (1)mx K x x F t + |('`JJ 9290Sen xKm xFmt + 20290Sen11. Un cuerpo A de masa m puede desplazarse sobre una recta horizontal. Para o = o0el resorte no est deformado.Plantearlaecuacindelmovimientoparapequeasoscila-ciones.Solucin: 0+ d Aresorte fl l0.........(1)l l d x l d x df ++ 0 0 0Cos Cos Cos Cos( ) .....(2)(2) en (1)Aresortel d x d+ 0 0Cos Cos( ) Aresortex d l d + Cos( ) ( Cos ) 0 0 1la ecuacin del movimiento ser: Dinmica Estructural 88mx Kresorte+A Cos 0mx K dresorte+ A Cos( ) 00mx Kx d l d d + [ ]Cos( ) ( Cos )Cos( ) 0 0 01 0para pequeas oscilaciones: d d 0 1 ; Cosmx Kx +[ ] Cos Cos 0 00 xKmx +

]]] Cos200 12. Para el pndulo invertido de la fgura calcular el periodo de las pequeas oscilaciones de la masa m. Solucin:Ing. Genaro Delgado Contreras 89MA 04 4 9 3 4 2 4 0 ma a Ka a Ka a Ka a mg a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + +

]]]

1490KmgaT 21TKmga

4913. El bloque B representado en la fgura se conecta al cuerpo A mediante el amortiguador viscoso. La masa B es de 2Kg y el valor C es 40 N.seg/m. El movimiento del cuerpo A es ar-mnico simple defnido por la ecuacin x1 = e Sen ut donde e =50mm y u = 20rad/seg.a) La amplitud del movimiento estable de B.b) El ngulo de fase del movimiento de B con respecto del movimiento de A. Dinmica Estructural 90 Solucin:planteamos la ecuacin diferencial del sistema.mx Cx x + ( )10mx Cx Cx + 1pero x e t1 Cosmx Cx Ce t + Cosreemplazando valores:2 40 40 x x t Cos......(1)la solucin general de esta ecuacin es:x x xC P +pero nos interesa solamente la solucin particular xP .x A t B tP+ Sen Cos x A t B tP Cos Sen............(2) x A t B tP 2 2Sen Cos.......(3)Ing. Genaro Delgado Contreras 91reemplazando (2) y (3) en (1)2 40 22 2( Sen Cos ) ( Cos Sen ) Cos + A t B t A t B t t agrupando e identifcando trminos tenemos: +2 40 22B t A t t Cos Cos CosA B 120.......(o) 2 40 02A t B t Sen SenA B........()de o y obtenemosA B140140 ; x t tP140140Sen Cos x A B tP+ ( )2 2Sen de donde la amplitud es:( ) ( ) ,1401400 03542 2 La amplitud del movimiento estable de cuerpo B es 35,4mm y el ngulo de fase del movimiento del cuerpo B con respecto al movimiento del cuerpo A es igual a o, pero sabemos que:arctg AB arctg1 401 4045oel ngulo de fase es 45. Dinmica Estructural 9214.Unavigasimplementeapoyadasoportaunmotordepeso 200lb en el centro de la luz. La rigidez de la viga es tal que la defexin esttica de su punto medio es 0,12 pulg y su amor-tiguamiento viscoso es tal que despus de 10 ciclos de vibra-cin libre la amplitudes reducida a 1/10 de su valor original. El motor gira a 600RPM y debido al desbalanceo del rotor se origina F0 = 500lb para esa velocidad. Despreciando la masa del peso propio de la viga, hallar la amplitud de las vibracio-nes de estado constante para el punto medio de la viga.Solucin:stmgK0 12 , pulg

120 12 Kmg, 600 600 26020rev radsegradg min23947 8418,

212bblnxxn1110+|('`JJln10 100 23026 ,AFKb

+

]]]012121 2 ( ) ( ).......(1)Ing. Genaro Delgado Contreras 9311 2260378 ,........(2) 121216 666 667 KmK m; , .FK050016 666 670 0299999 =, ., .........(3)(2) y (3) en (1)A0 12497 , pulg15.UnamasamfrenadaporunresortedeconstanteKse encuentrainicialmenteenreposo.Eneltiempot=0se encuentrabajolaaccindeunafuerzaexcitadaF(t)=Fo Cosut. Suponiendo que no hay amortiguamiento y dado que u/2r =10 ciclos/seg, m pesa 4,534Kg, K = 2,7 Kg/m, Fo = 45,359Kg, encontrar: a) La amplitud de las vibraciones forzadas.b) La amplitud de las vibraciones libres.Solucin : W = 4,534 Kg m = 4.534 =0,462UTM9.8 K = 2,7 Kg m F0 = 45,339 Kg 12 70 462 Km,, Dinmica Estructural 9412 417, / rad segA 45 3592 71202 4172,,(,)A m0 02489 ,16. Plantear la ecuacin del movimiento para el bloque y luego hallar el coefciente de amortiguamiento crtico.Solucin: mx Cx K K x + + +2 01 2( ) xCmK Km+ ++

201 2para el amortiguamiento crticob =1Ing. Genaro Delgado Contreras 95221 1Cmb C mcrit ;C K K mcrit+( )1 216. Una masa que pesa 10lbs esta sujeta por un resorte de K = 15lbs/pie y se mueve experimentad la accin de un fuerza de amortiguamiento viscoso.Se observa que la fnal de 4 ciclos de movimiento la amplitud se ha reducido a la mitad. Hallar a) El decremento logartmico.b) El periodo. Solucin: 11nxxnnln+|('`JJ

212bb |('`JJ

+14142 0 1732871ln ln ,xxnn despejandob 22 240 027568 , Dinmica Estructural 961 KmTb

2112T seg0 908 ,17. El piso de un edifcio vibra con una amplitud de 0,0003cm y con una frecuencia de 10 rad/seg. Se desea aislar un instru-mento sensible por medio de 4 resortes iguales.La mxima amplitud de vibracin permisible para el instru-mento es de 0,0003 cm.Hallar la constante necesaria para cada resorte. El instrumen-topesa196Kg.Considerarelsistemasinamortiguamiento (b = 0). Solucin :Aybb012122121 21 2

+|('`JJ|('`JJ

]]]]+|('`JJ0 0030 0151112,,

|('`JJy cmradseg00 01510

,Ing. Genaro Delgado Contreras 9717107 KmKe

1074196 9 8107 ,K Kg m 10 2 , /18.Unmotorquepesa50lbsestasoportapor4resortescada uno de constante K =100lbs/pulg.El desequilibrante del rotor es equivalente a un peso de una onzalocalizadoa5pulgdelejederotacin.Elamortigua-miento viscoso es tal que despus de 10ciclos de vibracin librelaamplitudesreducidaalamitaddesuvalorinicial. Sabiendo que el motor est obligado a moverse verticalmen-te.Hallarlaamplituddelavibracindeestadoestabledel motor a 1800RPM.Solucin : FWgrP2FlbsPradseg

1 16386 460 522,( )pulgseg2pulg Dinmica Estructural 98F F lbsP

028 75 , +111nxxnln 1102 ln 0 069212,bbb0 01103 ,14 100050386 4 Kme,130 912,reemplazando estos valores en la ecuacin.A

]]]+ 28 7354000160175 822 0 0110360175 8222,,( ,,) A0 0475 ,19.Uninstrumentocuyopesoes20lbsseencuentramontada sobre una superfcie vibratoria que tiene un movimiento sin-usoidal 1/64 y frecuencia de 60ciclos/seg. Si el instrumento se encuentra montada rgidamente sobre la superfcie. Cual es lo mxima fuerza con lo que debe estar sujeta?.Por otro lado calcular la constante del resorte para el sistema de soporte que limitar la mxima aceleracin del instrumen-to a la mitad de la aceleracin de la gravedad. Ing. Genaro Delgado Contreras 99Solucin:Peso del instrumento W = 20lbsy01 64" 60 120ciclossegradseg queelinstrumentoseencuentremontadorgidamentesobrela superfciesignifcaquelamasatieneeldesplazamientodela base. x y t 0SenF mxmax max .......(1) x y t 0 Cos x y t 20Sen x ymax20......(2)(2) en (1)F m y lbsmax, ( ) 202 20386 4120164115mx x y + ( )0Superfcievibratoria Dinmica Estructural 100mx Kx Ky tF + 00Senx A t Sen( ) x A t 2Sen( ) x Ay gmax|('`JJ 2 201212Klbs 588 8 ,pulg20.Paramedirlasvibracionesverticalesdelacimentacinde un mquina se utiliza un instrumento del tipo que se muestra enlafgura.Elsistemaresorte-masadelinstrumentoha sido diseado para que la defexin esttica sea de 3/4. La frecuencia de la vibracin corresponde a la velocidad de un motor que marcha a 1500RPM.La amplitud del movimiento relativo entre la masa del instru-mento y la cimentacin se ha medido por medio de la lectura enelcuadrantedeuninstrumentodeaforo,resultandoes de 0,008. Hallar la amplitud de la cimentacin. El amorti-guamiento en el instrumento es de 70% del amortiguamiento crtico.Solucin : Ing. Genaro Delgado Contreras 101haremos : x - y = zmx x y Kx y + + ( ) ( ) 0mz y cz Kz ( ) + + +0mz cz Kz my + +y y t 0Sen y y t 0 Cos y y t02 Senmz cz Kz my t + + 02 SenyFKst

034 1500 5012RPMKmradseg;xFKyst 002121234263 189 ,Aybst

]]]+|('`JJ1 212212( )y bst

340 7 50 263 18912; , ; ; , A0 008 , " Dinmica Estructural 10221. Una mquina de W =3860 lbs de peso es montada sobre una viga. Un pistn que se mueve de arriba hacia abajo produce una fuerza armnica de F0 = 7000lbs y frecuencia w =60 rad/seg. Desperdicia el peso de la barra y asumiendo el 10% de amortiguamiento crtico. Hallar:a) La amplitud en el movimiento de la mquina.b) La fuerza transmitida a la viga.Solucin:Rigidez de la viga:KEIl

483 K lb

48 30 10 12010 1210635( )( )pulg

15103860386 4100 05 Kmradseg.,b = 0,1Ing. Genaro Delgado Contreras 1031601000 6 ,yFKst 057000100 07 , pulgamplitud del movimiento : Ayybst0122121 2

]]]|('`JJ( )A = 0,1075transmitibilidadAybb012122121 21 2

|('`JJ+

]]]+|('`JJ( )Ay01 5467 ,amplitud de la fuerza transmitida a la cimentacin.A FAylbsT 007000 1 5467 10827 ,

22.LamasadelcuerpoenformaTesdespreciableyla masadelcuerpoBesde30Kg,K=1200Newt/m,C=270 Newtxseg/m.Elsistemaestenequilibriocuando ABseencuentrahori-zontal.Calcular paraelmovimientoqueseproduce al per-turbar el equilibrio:a) El tipo de movimiento que se desarrolla. Dinmica Estructural 104b) La frecuencia de la oscilacin (si el movimiento tiene este carcter)c) El valor de b. Solucin:MA 04 0 m C K + + + + CmKm 4 40Cmb421 ........(1)Km 412 CKAIng. Genaro Delgado Contreras 105de (2)112004 3010

en (1)b 2708 30 10b0 356 , b