Estructura en CELOSÍA

1

Resumen: Una forma de representar a los sistemas

es mediante figuras básicas de bloques conectados entre sí,

formando una estructura que relaciona la entrada y la salida.

La representación en celosía en aplicada para el

procesamiento de voz, ya que se caracteriza por su gran

estabilidad, también es implementada en filtros existiendo tres

tipos, los filtros FIR, IIR y la celosía escalonada.

Para su resolución es necesario realizar un análisis

de los sistemas que se desea analizar aplicando las fórmulas

que nos permitirán obtener las constantes, las mismas que

representan la ganancia en la parte gráfica.

PALABRAS CLAVE: Filtros FIR, Filtros IIR, Escalonada.

1. INTRODUCCIÓN

AQUÍ SE ANALIZARÁ UNA DE LAS

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LOS SISTEMAS LTI, LA REPRESENTACIÓN EN CELOSÍA ES UNA FORMA DE

RECONOCER AL SISTEMA ANTES DE QUE ESTE SEA

INGRESADO A UN SOFTWARE, RESULTA SER UN

ESTUDIO BASTANTE INTERESANTE YA QUE EL TEMA

ESTÁ RELACIONADO CON EL PROCESAMIENTO DE VOZ

Y EL MÉTODO RESULTA SER MUY SENCILLO, LO QUE LO

HACE MUY INTERESANTE.

2. DESARROLLO

2.1 Estructura en celosía

La representación de la estructura

proporciona relaciones entre algunas variables

internas con la entrada y la salida que, a su vez, es

la clave de la implementación.

Existe una gran diversidad de realizaciones.

Estas pueden poseer diferente complejidad

computacional o requisitos de memoria. Sin

embargo, una de las características más

importantes es la robustez frente

A los efectos de la representación de la

información con una longitud de palabra finita. La

estructura en celosía se usa ampliamente en

procesado digital de la voz y en la realización de

filtros adaptativos por sus características de

estabilidad.

2.2 Celosía FIR Sistema todo ceros (MA)

Dado un filtro FIR cuya función de

transferencia es:

Vamos a definir un conjunto de filtros

La respuesta al impulso unitario del filtro m

es .

Donde m es el orden del filtro.

Para este conjunto de filtros su respuesta

temporal será:

Suponga ahora que tenemos un filtro de orden m=1. La salida de tal filtro es:

Esta salida también puede obtenerse a partir del filtro en celosía de primer orden o de una sola etapa, mostrado en la Figura 1, excitando ambas entradas con x(n) y seleccionando la salida de la rama superior. Si seleccionamos . El parámetro K1 de la celosía se denomina coeficiente de reflexión.

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZA ARMADAS ESPE_L Representación de un sistema LT I en Celosía

Hugo Fernando Jacho Vaca

e-mail: hugofernando88@hotmail.com

Estructura en CELOSÍA

2

Figura 1. Filtro en celosía FIR de una sola etapa

Obtención de los coeficientes de reflexión

Para obtener los coeficientes recordemos que:

Entonces

K m

mmm

m

zBKzAzA

21

1

)()()(

Y de manera inversa dado los coeficientes de reflexión se pueden hallar la función de transferencia de la siguiente manera

),()()( 1

1

1 zBzKzAzA mmmm

),()()( 1

1

1 zBzzAKzB mmmm

1)()( 00 zBzA

2.3 Celosía IIR Sistema Todo Polos (AR)

Dada función de transferencia de un

sistema todo polos

Obtención de los coeficientes de reflexión

La ecuación en diferencias será:

si en este sistema intercambiamos la salida y la

entrada tenemos:

que es un sistema FIR del que ya conocemos la

relación entre la función de transferencia y los

coeficientes de reflexión. Si utilizamos las

ecuaciones de la celosía FIR e intercambiamos

entrada y salida tenemos las ecuaciones siguientes

para la celosía IIR todo polos:

Si tenemos en cuenta estos cambios en la

estructura, obtenemos los diagramas de bloques

que a continuación se muestra:

Figura 2. Filtro en celosía IIR de orden 1 y 2.

En el diagrama observamos claramente la

realimentación del sistema a través de las señales

gi(n) propia de los sistemas recursivos.

Los coeficientes de reflexión son idénticos a

los obtenidos para el filtro FIR, si bien en el

diagrama se ordenan en orden inverso.

La estabilidad del filtro IIR solo polos está

garantizada sí . (Test de estabilidad ∀m de

Schur-Cöhn)

Estructura en CELOSÍA

3

2.4 Celosía escalonada (ARMA).

La estructura en celosía escalona, celosía

en escalera o lattice-ladder nos proporciona una

estructura para la representación de sistemas que

tienen ceros y polos. Consideremos un sistema

general ARMA.

Si utilizamos una variable intermedia

Las ecuaciones en diferencias serán:

Obtención de los coeficientes de reflexión y

ponderación de la escalera

Para obtener la estructura en celosía ARMA, calcularemos los coeficientes de reflexión como en los casos anteriores, considerando un sistema todo polos, y posteriormente calcularemos los

coeficientes con la expresión

Los coeficientes del polinomio sirven para

determinar los coeficientes de ponderación de la

escalera { } y los coeficientes del polinomio

determinan los parámetros de la celosía { }.

La estructura resultante es la siguiente:

Figura 3. Filtro en celosía escalonada.

2.5 Ejercicios

2.5.1 Obtenga los coeficientes de la celosía correspondiente al filtro FIR con función de transferencia.

321

4

1

2

1

4

31)(

zzzzA

Resolución La estructura en celosía se usa ampliamente en procesado digital de la voz y en la realización de filtros adaptativos. Un sistema en celosía presenta una serie de etapas en cascada, donde el filtro describe el conjunto de ecuaciones siguiente:

)()()( 00 zXzGzF

),()()( 11 1 zGKzFzF mmmm z m=1,2,…,M – 1

)()()( 1

1

1 zGzzFKzG mmmm

, m=1,2,…,M – 1

Donde Km es el parámetro de celosía de la etapa m-ésima, también denominados coeficientes de reflexión por ser idénticos a los coeficientes de reflexión introducidos en el test de estabilidad de Schür-Cohn. Las Ecuaciones m=1,2,…,M – 1 y se describen el comportamiento de la etapa m-ésima, donde las entradas son Fm_1(z) y Gm_1(z), proporcionándolas salidas Fm(z) y Gm(z). En conjunto, las Ecuaciones

)()()( 00 zXzGzF a m=1,2,…,M – 1 son un

Estructura en CELOSÍA

4

conjunto de ecuaciones recursivas que describen el filtro en celosía. Como vemos en la figura inferior, primera etapa, la entrada x(n) está conectada a f0(n) y g0(n), y la salida f(n) de la última etapa se considera la salida del filtro

Dado que el sistema tiene dos salidas, FM(Z) y GM(Z), y una única entrada, X(z), podemos diferenciar dos funciones de transferencia:

,)(

)(

)(

)()(

0 zF

zF

zX

zFzA MM

M

,)(

)(

)(

)()(

0 zG

zG

zX

zGzB MM

Figura 4. Filtro en celosía de M-1 etapas

Figura 5. Estructura de cada etapa.

por lo que dividiendo las ecuaciones

)()()( 00 zXzGzF a m=1,2,…,M – 1 por X(z),

tenemos:

1)()( 00 zBzA

),()()( 1

1

1 zBzKzAzA mmmm

m=1,2,…,M – 1

),()()( 1

1

1 zBzzAKzB mmmm

m=1,2,…,M – 1

Como partimos de los coeficientes del filtro FIR para la realización en forma directa, tenemos el polinomio A(z) que es:

3

3

2

3

1

33

321

3

)3()2()1()0(

4

1

2

1

4

31)(

zzz

zzzzA

Además, sabemos que los coeficientes del filtro de salida B(z) son inversos a los de A(z) por lo que:

321

3

3

2

3

1

333

4

3

2

1

4

1

)3()2()1()0()(

zzz

zzzz

y por tanto

),0()3(

),2()1(

33

33

),1()2(

),3()0(

33

33

Deseamos determinar los correspondientes parámetros del filtro de celosía {Ki}. Para ello

sabemos qué )(iK ii . Dado que el grado del

polinomio A(z) es tres, tendremos una celosía de tres etapas, de la cual podremos obtener inmediatamente el parámetro

4/1)3(33 K .

Para obtener el parámetro K2 necesitaremos el polinomio A2(z). La relación recursiva general se determina fácilmente a partir de las Ecuaciones

),()()( 1

1

1 zBzKzAzA mmmm

y

),()()( 1

1

1 zBzzAKzB mmmm

donde:

)()()(

)()()(

11

1

1

1

zAKzBKzA

zBzKzAzA

mmmmm

mmmm

Donde sí conocemos mm BK , y A(z) podemos

resolver :)(1 zAm

K m

mmm

m

zBKzAzA

21

1

)()()(

La cual es precisamente la recursión descendente usada en el test de estabilidad de Schür-Cohn.

Estructura en CELOSÍA

5

Mediante la recursión descendiente, con m = 3, se obtiene:

21

2

3

333

23

1

3

21

1

)()()(

zz

zBKzAzA

K

Por lo que:

21

2223

2

3

1)(3/1)2(

zzzyBK

Al repetir la recursión descendente, obtenemos:

1

2

2

222

12

11

1

)()()(

z

zBKzAzA

K

Por lo que finalmente 2/1)1(11 K con

lo que los coeficientes de la estructura celosía resultan

K1 = 1/2, K2 = 1/3, K3 = 1/4 La estructura en celosía del sistema FIR propuesto es la representada en la Figura

2.5.2 Obtenga los coeficientes de reflexión correspondientes al filtro FIR con función de transferencia

21

2

72)(

zzzH

Resolución Para aplicar la recursión descendente mediante la que se obtendrán los coeficientes en celosía, también denominados coeficientes de reflexión, el coeficiente am(0) debe definirse como 1 por conveniencia matemática, luego tomaremos:

)('.2)( zHzH

21

2

1

4

71)('

zzzH

Así, obtendremos los coeficientes en celosía de H'(z) y aplicaremos un factor de ganancia 2 a la salida de la estructura resultante.

Otra peculiaridad que debe tenerse en cuenta es que, en el caso de que K2(0) hubiera sido 1, nos hubiéramos encontrado con K2= - 1 = α2(2). Ha de tenerse presente que siempre que un

parámetro de celosía es 1mK es una indicación

de que el polinomio Am-1 (z) tiene una raíz en la circunferencia de radio unidad. Así, siempre que se

obtiene un parámetro de celosía 1mK se rompe

la ecuación recursiva y no se podrá seguir la recursividad descendente. En estos casos, dicha raíz puede ser factorizada y extraída de Am-1 (z), continuando el proceso iterativo para el sistema de orden reducido. Siguiendo con el caso que nos ocupa, dado H'(z) tenemos que los polinomios A2(z) y B2(z) se definen como

21

22

1

4

71)(

zzzA

21

24

7

2

1)(

zzzB

Por tanto, K2 = α2(2) = - 1/2. Siguiendo con la ecuación recursiva descendente tenemos que:

2

2

2221

1

)()()(

K

zBKzAzA

4

11

4

7

2

1

2

1

2

1

4

71

2121

zzzz

1

2

71

z

y por lo tanto K1=-7/2. La representación final del diagrama de bloques de H(z) según una estructura de celosía se representa en la Figura, cabe remarcar en esta realización el factor de ganancia dos de la salida del mismo.

Estructura en CELOSÍA

6

3 CONCLUSIONES

Las tres estructuras en celosía tanto FIR, IIR y escalonada tienes una íntima relación por sus coeficientes de reflexión, las fórmulas para su determinación son las mismas cambiando únicamente en su gráfica.

La representación en celosía es utilizado en aplicaciones como, el procesamiento de voz, implementación de filtros adaptativos debido a que posee una gran estabilidad, además su análisis en muy sencillo facilitando su análisis.

4 BIBLIOGRAFÍA

E. Soria, M. Martínez, J. Francés, and G. Camps, “TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES. Problemas y ejercicios resueltos,”, 4ta ed., Ed. España: PEARSON EDUCATION, 2003

Obtendo de: http://ocw.uv.es/ingenieria-y-arquitectura/filtros digitales/tema_5_realizacion_de_sistemas_en_tiempo_discreto.pdf