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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
INTEGRAL DE INVERSIN PAG 1
ESCUELA POLITCNICA DEL EJRCITO
INGENIERIA ELECTRNICA
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
TRANSFORMADA INVERSA APLICANDO INTEGRAL DE
INVERSIN
DANIEL LARA [email protected]
Resumen: La integral de inversin es un
mtodo muy til para la evaluar la
transformada Z inversa o para determinar la
inversa de Z, este mtodo se obtiene
directamente a partir de la integral de
contorno haciendo uso del Teorema de
Cauchy.
PALABRA CLAVE
Integral de inversin.
Integral de contorno. Z inversa.
1 OBJETIVOS
Desarrollar y comprender el mtodo de integral de inversin la transformada inversa.
Aplicar en ejercicios para determinar cmo funciona este mtodo.
Determinar la transformada z inversa directamente a partir de la integral de contorno.
2 TEORIA
2.1 DEFINICION A la integral de inversin tambin se le conoce
tambin como integral de contorno. Esta es una
herramienta que sirve para la obtencin de la
transformada z inversa.
La integral de inversin de la transformada
est dado por:
Ecuacin. (1)
El procedimiento de pasar de la transformada z a
su seal correspondiente se denomina
transformada z inversa. Para determinarla se
puede recurrir a la formula integral de Cauchy,
que establece:
{
Ecuacin. (2)
Donde C es cualquier contorno cerrado en el
plano z, f (z) una funcin de variable compleja,
analtica dentro y sobre el contorno C.
De forma ms general, si la es analtica dentro y sobre el contorno C, entonces existen
todas las derivadas de orden y se cumple:
{
Ecuacin. (3)
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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
INTEGRAL DE INVERSIN PAG 2
Este mtodo inverso de transformacin de forma
analtica no se utiliza con frecuencia. En vez de
ello se emplean tablas de algunas
transformaciones conocidas, que junto con las
propiedades de la transformada z permiten
obtener ms fcilmente la seal buscada
3 ANALISIS
Para el anlisis de este mtodo de resolucin, lo
aplicaremos a dos ejemplos, a pesar de que se
podran hacer de forma directa, pero la idea es
comprobar la credibilidad del mtodo. Los
ejemplos son planteados a continuacin:
EJERCICIO 1:
Calcule la transformada z inversa de
| | | |
Usando la integral de inversin compleja
Con
Con
Esto se puede repetir para todo n < 2 resultando en x(n) = 0. Por tanto, resumiendo ambos casos
en una ecuacin se obtiene:
EJERCICIO 2:
Aplicando la integral tenemos:
[ ]
Reemplazando con nuestros valores tenemos:
[ ]
Operando y simplificando la expresin
obtendremos:
[ ]
Donde C es una circunferencia de radio mayor
que 3. Hemos llegado a este momento crtico,
donde la variable debe ser analizada. Llegamos a dos casos fundamentales:
Cuando
Por lo tanto se obtienen solo ceros, y el nico
polo inevitable es en .
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INTEGRAL DE INVERSIN PAG 3
Pero k = 1;
[ ]
[ ]
[ ]
Evaluando que es: en , entonces tenemos:
Cuando
Aqu lo que sucede, es que aumentan los polos y
los ceros se disminuyen. El polo que se
encuentra en . Por ejemplo para , tenemos que:
Evaluado en respectivamente, tenemos:
Ahora, evaluando para
(
)
Evaluado en respectivamente, tenemos:
Y as respectivamente, todos los valores de n
negativos nos darn de resultado cero. Por lo
tanto se concluye que:
[ ] [ ]
4 RESLUTADOS
Se determin que la integral de
inversin sirve para obtener la
transformada inversa de Z.
Se realiz el anlisis con ejercicio para
comprender el desarrollo del mtodo.
5 CONCLUSIONES
Los polos del sistema debe estar contenidos dentro del crculo de
convergencia adems de verificar si son
simples o mltiples para una correcta
resolucin.
Si tiene un polo simple o uno mltiple es preferible aplicar otro mtodo de
inversin.
Este mtodo inverso de transformacin de forma analtica no se utiliza con
mucha frecuencia.
6 ENLACES
http://www.ie.itcr.ac.cr/palvarado/PDS/cap03.pdf
http://neutron.ing.ucv/electronica/materias/c2515/temas1_archivos/tema11.pdf
7 LIBROS
Tratamiento de seales, [Jhon G.
Proakis] pag. 187-189
Sistemas de Control en Tiempo Discreto/Segunda Edicin/Katsuhiko
Ogata.