SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES O IMPARES (desarrollo

Cosenoidal o senoidal)

*Problemario*

Matemáticas V

EJEMPLO 1: 1Demostrar que el producto de dos funciones pares, o dos funciones impares es una función par, ya que el producto de una función par y una función impar es una función impar.

Solución: Sea f ( t )=f 1 ( t ) f 2 ( t ) . si f 1 ( t ) y f 2(t) son funciones pares, entonces

f (−t )=f 1 (−t ) f 2 (−t )=f 1 ( t ) f 2 ( t )=f (t ).

Y si f 1 ( t ) y f 2(t)son funciones impares, entonces

f (−t )=f 1 (−t ) f 2 (−t )=−f 1 ( t ) [−f 2 (t ) ]=f 1 (t ) f 2 ( t )=f (t ) .

Esto prueba que f (t) es una función par.Analógicamente, si f 1(t) es par y f 2(t) es impar, entonces

f (−t )=f 1 (−t ) f 2 (−t )=f 1 (t ) [−f 2 (t )=−f 1 (t ) f 2 (t ) ]=−f 1 (t ) f 2 (t )=−f (t ) .

Esto prueba que f ( t )es una función impar.

1 Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall pag.24

EJEMPLO 2:

Demostrar que cualquier función f (t) se puede expresar como la suma de dos funciones componentes, de las cuales una es par y la otra impar.

Solución: Cualquier función f (t) se puede expresar como

f ( t )=12f ( t )+ 1

2f (−t )+ 1

2f ( t )−1

2f (−t)

¿ 12

[ f ( t )+f (−t)]+12

[ f ( t )− f (−t)]

Sea−12

[ f ( t )+f (−t)]= f e (t )

12

[ f ( t )−f (−t) ]=f 0( t)

Entonces,

f e (−t )=12

[ f (−t )+ f (t)]=f e (t)

f 0 (−t )=12

[ f (−t )−f ( t)]=−12

[ f (t )−f (−t) ]=−f 0(t)

De donde,f (t )=f e (t )+ f 0(t)

2Donde f e( t)es la componente par y f 0(t) es la componente impar de la función dada f (t).

2 Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall, pág. 25

EJEMPLO 3: 3si f (t) es par, demostrar que

∫−a

a

f (t )dt=2∫0

a

f (t )dt

Solución: Si se escribe nuevamente el primer miembro de la ecuación anterior se tiene:

∫−a

a

f (t )dt=∫−a

0

f (t )dt+∫0

a

f (t )dt

Haciendo t=−x en la primera integral del segundo miembro

∫−a

0

f (t )dt=∫a

0

f (−x )(−dx)=∫0

a

f (−x )dx

Puesto que f (t) es par, es decir, f (−x )=f ( x ) ,se tiene

∫0

a

f (−x )dx=∫0

a

f ( x )dx=∫0

a

f (t )dt .

Lo cual es cierto pues cualquier símbolo se puede usar para representar la variable “comodín”; por consiguiente,

∫−a

a

f (t )dt=∫0

a

f ( t )dt+∫0

a

f ( t )dt=2∫0

a

f ( t )dt

3 Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall, pag. 26

EJEMPLO 4: Si f (t) es impar, demostrar que

∫−a

a

f (t )dt=0

f (0 )=0

Solución: Si se escribe nuevamente el primer miembro de la primera ecuación, se tiene:

∫−a

a

f (t )dt=∫−a

0

f (t )dt+∫0

a

f (t )dt

¿∫0

a

f (−t )dt+∫0

a

f (t )dt .

Puesto que f (t) es impar, es decir, f (−t )=−f ( t ) ,se tiene

∫−a

a

f (t)dt=−∫0

a

f (t)dt+∫0

a

f (t )dt=0

En particular,f (−0 )=−f (0 ) ;

4De donde,f (0 )=0

4 Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall, Pág. 26,27.

Ejemplo 5: 5Desarrolle f ( x )=x2 en una serie de Fourier en término de senos en el intervalo 0<x<1 de inmediato podemos escribir, para 0<x<1.

x2∑n=1

∞

bn sennπx ,

En la que:

bn=2∫0

1

x2 sen nπ x dx

¿2[−x2 cosnπxnπ+2 xsennπx

(nπ )2+2cos nπx

(nπ )3 ]10¿2[−cosnπnπ

+ 2cos nπn3π 3

− 2

n3π3 ]Por lo tanto, la serie sinusoidal de Fourier, en 0<x<1 para x2 es:

5 Ecuaciones Diferenciales, Octava edición, Earl D. Rainville V, Traducción: Víctor Hugo Ibarra Mercado

EJEMPLO 6: 6encontrara la serie de Fourier de f ( x )=x 4 en [−1,1 ] como f es una función par, x4 sen (nπx )es impar y sabe de inmediato que los coeficientes del seno bn son cero. Para los otros coeficientes, calcule:

a0=∫−1

1

x4dx=2∫0

1

x4dx=25

a0=∫−1

1

x4 cos (nπx )dx

¿2∫0

1

x4 cos (nπx )dx=8 n2π2−6π 4n4

(−1)n

La serie de Fourier de x4 en [−1,1 ] es

15+∑n=1

∞

8n2 π2−6π 4n4

(−1)n cos (nπx)

Para considerar nuevamente el problema de la convergencia, observe que en este ejemplo, f (0 )=0 , pero la serie de Fourier en x=0 es

15+∑n=1

∞

8n2 π2−6π 4n4

(−1)n

No está claro que la suma de esta serie sea 0.

6 Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Peter V. O’Neil, sexta edición, pag. 57.

EJEMPLO 7: 7sea f ( x )=x3 para −4≤x ≤4. Como f es impar en [−4,4 ] ,los coeficientes de Fourier de los cosenos son todos cero. Los coeficientes de Fourier de los senos son todos cero. Los coeficientes de Fourier de los senos son

bn=14∫−4

4

x3 sen ( nπx4 )dx¿ 12∫0

4

x3 sen( nπx4 )dx=(−1)n+1128 n2π 2

n3π 3

La serie de Fourier de x3 en [−4,4 ]es

∑n=1

∞

(−1)n+1128 n2π 2−6n3π 3

sen ( nπx4

¿)¿

Más adelante usara estos argumentos. Por ahora éste es un resumen de las conclusiones. Si f es par en [−1,1], entonces su serie de Fourier en este intervalo es:

12a0∑

n=1

∞

an cos(nπxl

)

En donde

an=2L∫0

L

f ( x )cos ( nπxL

)dx para n=0,1,2…

Si f es impar en [−L, L], entonces su serie de Fourier en este intervalo es

∑n=1

∞

bn sen ( nπxL )Donde

7 Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Peter V. O’Neil, sexta edición, pag. 58.

EJEMPLO 8:8 Hallar la serie de Fourier de la siguiente función en el intervalo de [0 , π ] y dibujar su gráfica. f ( x )=x

Solución: Haremos que esta función presente un comportamiento impar en el intervalo de [−π ,π ¿, por lo que los coeficientes an=0.

bn=2L∫0

L

f ( x ) sen nπxLdx= 2

π [∫0

π

x sennπxπdx ]

¿ 2π [∫

0

π

x sennxdx ]=2π [( 1n2 sennx− xn cosnx )π0]¿ 2π [( 1n2 sennπ− xn cosnπ−0+0)]¿ 2π [−πn (−1)n]=−2

n(−1)n

Y la serie de Fourier toma la forma:

f ( x )=∑n=1

∞

(bn sen nπxL )=∑n=1

∞

(−2n (−1)n sen nx)

8 Método de solución de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones, Ma. Del Carmen Cornejo Serrano, editorial Reverté. Pág. 221

EJEMPLO 9: 9una función periódica f ( t )con periodo 2π está definida dentro del periodo −π<t<πpor

f ( t )=¿Encuentre su expansión en serie de Fourier.Solución: en la fig. se muestra la grafica de la función f ( t ),sobre el intervalo −4π< t<4 π . Es claro que f ( t ) es una función impar de t , así que su expansión en la serie de Fourier consiste en de los términos con seno solamente. Haciendo T=2π , esto es w=1, la expansión en serie de Fourier

está dada por: f (t )=∑n=1

∞

bn sennt

Con

b0=2π∫0

π

f (t )sennt dt (n=1,2,3 ,…)

¿ 2π∫0

π

f ( t)sennt dt=2π [−1n cosnt ]0

π

¿ 2nπ

(1−cosnπ )= 2nπ

[1−(−1)n ]

¿ { 4nx (impan)

0( par n)

Así la expiación en serie de Fourier de f (t) es:

9 Matemáticas Avanzada para Ingeniería, James Glyn y colaboradores, segunda edición, Pág. 295.

Ejemplo 10: 10supóngase que f ( t )=t para 0< t<L. Determinar la serie de cosenos de Fourier y la serie de senos de Fourier para f .

Solución: la ecuación implica:

a02L∫0

L

tdt= 2L [ ¿12t ]0

L

=L

Y

an=2L∫0

L

t cosnπtLdt= 2L

n2π2∫0

nx

ucos udu

¿ 2Ln2π2

[usenu+cosu ]0nπ={−4 L/n2π 2para nimpar0 paran par

Así, la serie de cosenos de Fourier de f es:

t=L2−4 L

n2 (cos πtL +1

32cos

3 πtL

+1

52cos

5πtL

+…)

10 Ecuaciones Diferenciales, Edwards. C Henry, sexta edición. Pág. 560

EJEMPLO 11: 11calcular la serie de Fourier de f ( x )=|x|,−1<x<1

Solución: En este caso T=1. Como f es una función par, f ( x ) sen nπx es una función impar. Por consiguiente,

bn=∫−1

1

f (x ) sen nπxdx=0 , n=1,2,3…

Como f ( x ) cosnπx es una función par, tenemos

a0=∫−1

1

f (x )dx=2∫0

1

xdx= x2|01=1

an=∫−1

1

fcos nπxdx=2∫0

1

xcosnπxdx

¿ 2π 2n2

∫0

πn

ucosudu= 2π 2n2

[cos u+usenu ]0πn= 2π 2n2

¿¿

¿ 2

π 2n2[ (−1 )n−1 ] , n=1,2,3….

Por tanto,

f ( x ) 12+∑n=1

∞2π 2n2

[(−1)n−1 ] cosnπx

11 Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones con Valores de Frontera, Nagle. R Kent, cuarta edición Pág. 597

¿ 12− 4

π2 {cos πx+ 19 cos3 πx+ 125 cos5πx+…}

EJEMPLO 12: 12Desarrollar f ( x )=x ,−2< x<2en una serie de Fourier.

Solución: desarrollamos f en series de senos, puesto que un examen de la figura 5.5 muestra que la función es impar en el intervalo −2<x<2

Con la identificación 2 p=4 , p=2,2p

=1 ,entonces.

bn=∫0

2

xsennπ2xdx

Entonces integrando por partes resulta

bn=4 (−1)n−1

nπPor lo tanto,

f ( x )= 4π∑n=1

∞ (−1)n+1

nsen

nπ2x

12 Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición,

EJEMPLO 13: 13La función f ( x )={−1 ,−π<x<01,0≤ x<π mostrada en la figura 5.7 es impar en el intervalo

– π<x<π . Con p=π , resulta.

bn=2π∫0

π

(1 ) sennx dx

¿ 2π1−(−1)n

n

Y entonces

f ( x )= 2π∑n=1

∞ 1−(−1)n

nsen nx

13 Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición,

EJEMPLO 14: 14desarrolle la serie de Fourier para f ( x )=x en −2<x<2. Como f ( x )=x es impar nos damos cuenta que solamente tenemos que usar la serie de Fourier de senos.

a0=¿0¿

an=¿0¿

bn=¿∫

0

2

xsen( nπ2 )xdx ¿Para poder realizar la integral necesitamos hacerla por pares.

μ=x ;v=−2nπcos( nπ2 )x dx

dv=dx ; dv=sen( nπ2 ) x dxbn=[−2xnπ cos( nπ2 )x ] 2

0+ 2nπ

∫0

2

cos( nπ2 )x dx

bn=[−2xnπ cos( nπ2 )x ]2

0+[ 4n2π2

sen ( nπx x )]20=−4nπ

(−1)n

f ( x )=∑1

∞

( 4nπ (−1 )n+1 sen ( nπ2 ) x)

14http://www.wikimatematica.org/index.php? title=Series_de_Fourier_en_senos_y_cosenos#Ejemplo_.2301_2

EJEMPLO 15: 15sea la función f ( x )=x2+xencuentre si es par o imparf (−x )=(−x )2+(−x)

f (−x )=x2− xIndefinido

15http://www.wikimatematica.org/index.php? title=Series_de_Fourier_en_senos_y_cosenos#Ejemplo_.2301_2