Instituto Politécnico Nacional

Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

Práctica 2

Alumnos:

- Champo Vázquez Abimael - Sandoval Chileño Marco A.

Materia: Control Clásico

Profesor: Adolfo Rojas Pacheco

Grupo: 3MM3

Ejercicios

X(t) b k m y(0) y’(o)

0 2 2 1 0 0

Para este caso la perturbación de entrada es 0, además las condiciones iniciales también lo son,

por lo tanto es de esperarse que el sistema simplemente responda a un estímulo nulo con una

respuesta igualmente nula. Las raíces de este sistema caracterizado por los valores de masa,

coeficiente de amortiguamiento y constante K elástica indican que el sistema se hubiera

comportado con respuesta Subamortiguada.

X(t) b k m y(0) y’(o)

0 0 2 1 0 0

Para este caso la perturbación de entrada es 0, además las condiciones iniciales también lo son,

por lo tanto es de esperarse que el sistema simplemente responda a un estímulo nulo con una

respuesta igualmente nula. Las raíces de este sistema caracterizado por los valores de masa,

coeficiente de amortiguamiento y constante K elástica indican que el sistema se hubiera

comportado con respuesta Oscilatoria (Sin amortiguamiento).

X(t) b k m y(0) y’(o)

0 2 1 1 0 0

Para este caso la perturbación de entrada es 0, además las condiciones iniciales también lo son,

por lo tanto es de esperarse que el sistema simplemente responda a un estímulo nulo con una

respuesta igualmente nula. Las raíces de este sistema caracterizado por los valores de masa,

coeficiente de amortiguamiento y constante K elástica indican que el sistema se hubiera

comportado con respuesta críticamente amortiguada

X(t) b k m y(0) y’(o)

0 3 1 1 0 0

Para este caso la perturbación de entrada es 0, además las condiciones iniciales también lo son,

por lo tanto es de esperarse que el sistema simplemente responda a un estímulo nulo con una

respuesta igualmente nula. Las raíces de este sistema caracterizado por los valores de masa,

coeficiente de amortiguamiento y constante K elástica indican que el sistema se hubiera

comportado con respuesta sobre amortiguada

X(t) b k m y(0) y’(o)

0 2 2 1 1 0

En este caso el sistema responde de forma sub-amortiguada (nótese que la gráfica tiene una

precipitación) La respuesta sucede aún sin un estímulo debido a que inicia con una posición inicial

diferente a su posición de equilibrio, sin embargo las oscilaciones son atenuadas un poco lento en

comparación de los otros ejercicios.

X(t) b k m y(0) y’(o)

0 0 2 1 1 0

En este caso el sistema se mueve aún sin tener una fuerza inicial, esto se debe a la posición inicial,

sin embargo en esta ocasión el coeficiente de amortiguamiento es nulo y por lo tanto no existe un

parámetro que pueda detener la oscilación o irla atenuando, el sistema entonces responde de

forma oscilatoria sin amortiguamiento.

X(t) b k m y(0) y’(o)

0 2 1 1 1 0

El sistema pasa desde la posición de la condición inicial, hasta una posición de equilibrio mediante

una curva no tan suave, correspondiente a una respuesta críticamente amortiguada, como se

puede ver no existe ningún tipo de oscilación sobre algún punto, esto debido a que el sistema

tiene las raíces correctas para alcanzar a eliminar las oscilaciones.

X(t) b k m y(0) y’(o)

0 3 1 1 1 0

El sistema pasa desde la posición de la condición inicial, hasta una posición de equilibrio mediante

una curva más suave aunque más lenta que la anterior, correspondiente a una respuesta sobre

amortiguada, como se puede ver el sistema paso a su estado de equilibrio en mayor tiempo, sin

embargo lo hiso una curva menos abrupta.

X(t) b k m y(0) y’(o)

u(t) 2 2 1 0 0

Subamortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un subamortiguado (las raíces fueron X1=(-1+i) y X2=(-1-i)). Esto

fue corroborado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya que

la entrada del sistema es una señal constante (no varía con el tiempo), entonces el sistema oscila

ligeramente hasta llegar a su punto de equilibrio y al ser sus condiciones iniciales 0 el sistema

empieza en 0.

X(t) b k m y(0) y’(o)

u(t) 2 2 1 1 0

Subamortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un subamortiguado (las raíces fueron X1=(-1+i) y X2=(-1-i)). Esto

fue corroborado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya que

la entrada del sistema es una señal constante (no varía con el tiempo), entonces el sistema oscila

ligeramente hasta llegar a su punto de equilibrio y al ser su condición inicial 1 (posición) el sistema

empieza en 1 y su oscilación es más grande.

X(t) b k m y(0) y’(o)

u(t) 0 2 1 0 0

Oscilatorio

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un oscilatorio (las raíces fueron X1=1.414i y X2=-1.414i). Esto fue

corroborado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya que la

entrada del sistema es una señal constante (no varía con el tiempo), además el sistema no cuenta

con amortiguador (b=0), entonces no hay magnitud física que detenga al sistema y se mantiene

oscilando por la fuerza de entrada. Al ser los valores iniciales 0 el sistema siempre empieza a

oscilar en 0.

X(t) b K m y(0) y’(o)

u(t) 0 2 1 1 0

Oscilatorio

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un oscilatorio (las raíces fueron X1=1.414i y X2=-1.414i). Esto fue

corroborado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya que la

entrada del sistema es una señal constante (no varía con el tiempo), además el sistema no cuenta

con amortiguador (b=0), entonces no hay magnitud física que detenga al sistema y se mantiene

oscilando por la fuerza de entrada. La diferencia con el anterior es que ahora la condición inicial es

1 (para la posición) entonces la posición del sistema empieza en 1 y oscila arriba de 1.

X(t) b k m y(0) y’(o)

u(t) 2 1 1 0 0

Críticamente amortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un críticamente amortiguado (las raíces fueron X1=-1 y X2=-1).

Esto fue corroborado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya

que la entrada del sistema es una señal constante (no varía con el tiempo), además el sistema

cuenta con un valor de amortiguamiento más grande que los demás valores, entonces el sistema

se detiene de una manera rápida logrando el equilibrio casi sin oscilar, partiendo desde su

condición inicial de posición 0.

X(t) B k m y(0) y’(o)

u(t) 2 1 1 1 0

Críticamente amortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un críticamente amortiguado (las raíces fueron X1=-1 y X2=-1).

Esto fue corroborado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya

que la entrada del sistema es una señal constante (no varía con el tiempo), además el sistema

cuenta con un valor de amortiguamiento más grande que los demás valores, entonces el sistema

se detiene de una manera rápida logrando el equilibrio casi sin oscilar, al ser su condición inicial

“1” el sistema sufre de una perturbación al inicio por lo cual oscila antes de llegar al equilibrio.

X(t) B k m y(0) y’(o)

u(t) 3 1 1 0 0

Sobreamortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un sobreamortiguado (las raíces fueron X1=-0.381 y X2=-2.618).

Esto fue corroborado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya

que la entrada del sistema es una señal constante (no varía con el tiempo), además el sistema

cuenta con un valor de amortiguamiento considerablemente más grande que los demás valores,

entonces el sistema se detiene de una manera más rápida logrando el equilibrio, al ser su

condición inicial “0” parte de esa posición y llega al equilibrio sin oscilar.

X(t) b k m y(0) y’(o)

u(t) 3 1 1 1 0

Sobreamortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un sobreamortiguado (las raíces fueron X1=-0.381 y X2=-2.618).

Esto fue corroborado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya

que la entrada del sistema es una señal constante (no varía con el tiempo), además el sistema

cuenta con un valor de amortiguamiento considerablemente más grande que los demás valores,

entonces el sistema se detiene de una manera más rápida logrando el equilibrio, al ser su

condición inicial “1” oscila un poco pero llega al equilibrio más rápido que el críticamente

amortiguado.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2Cos(8πt) 2 2 1 0 0

Este sistema inicia en la posición de equilibrio y tiene las raíces para comportarse de forma

subamortiguada, nótese que la perturbación de entrada provoca que el sistema inicie teniendo

una variación muy grande que después atenúa (de forma subamortiguada) y estabiliza, es

importante apreciar que aunque el sistema se estabiliza continua teniendo variaciones que,

aunque son pequeñas, (La escala indica X10-3 alejándose cierta distancia se vería como una línea)

se deben a que la entrada varía a una frecuencia mucho más alta que la natural.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2Cos(8πt) 0 2 1 0 0

Este sistema inicia en la posición de equilibrio y tiene las raíces para comportarse de forma

oscilatoria, nótese que la perturbación de entrada provoca que el sistema inicie teniendo una

variación en la forma de coseno que se mantiene ya que no hay amortiguamiento, es importante

apreciar que la escala es pequeña, por lo tanto alejándonos, apresaríamos una función coseno

normal, sin embargo estas variaciones rápidas se deben a que la frecuencia de entrada es muy alta

en comparación de la natural. Estas pequeñas vibraciones son quizá en grandes aplicaciones

despreciables, y lo importante es la respuesta oscilatoria del sistema.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2Cos(8πt) 2 1 1 0 0

Este sistema inicia en la posición de equilibrio y tiene las raíces para comportarse de forma

críticamente amortiguada, nótese que la perturbación de entrada provoca que el sistema inicie

teniendo una variación muy grande que después estabiliza (de forma críticamente amortiguada),

es importante apreciar que aunque el sistema se estabiliza continua teniendo variaciones que,

aunque son pequeñas, (La escala indica X10-3 alejándose cierta distancia se vería como una línea

normal que cae de acuerdo a una respuesta críticamente amortiguada) se deben a que la entrada

varía a una frecuencia mucho más alta que la natural.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2Cos(8πt) 3 1 1 0 0

Este sistema inicia en la posición de equilibrio y tiene las raíces para comportarse de forma sobre

amortiguada, nótese que la perturbación de entrada provoca que el sistema inicie teniendo una

variación muy grande que después estabiliza (de forma sobre amortiguada), es importante

apreciar que aunque el sistema se estabiliza continua teniendo variaciones que, aunque son

pequeñas, (La escala indica X10-3 y alejándose cierta distancia se vería como una línea normal que

cae de acuerdo a una respuesta críticamente amortiguada) se deben a que la entrada varía a una

frecuencia mucho más alta que la natural.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2Cos(8πt) 2 2 1 1 0

Este sistema inicia en una posición diferente a la de equilibrio y tiene las raíces para comportarse

de forma subamortiguada, nótese que el sistema regresa a su estado de equilibrio atenuando de

forma subamortiguada el movimiento oscilatorio, este sistema al igual que los otros con entrada

cosenoidal presenta variaciones pequeñas, sin embargo la escala automática nos impide ver estas

variaciones ya que la posición inicial es muy grande en comparación de estos cambios que se

deben a que la entrada varía a una frecuencia mucho más alta que la natural, provocando ese

“ruido”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2Cos(8πt) 0 2 1 1 0

Este sistema inicia en una posición diferente a la de equilibrio y tiene las raíces para comportarse

de forma oscilatoria no amortiguada, nótese que el sistema oscila respecto a la posición cero, este

sistema, al igual que los otros con entrada cosenoidal presenta variaciones pequeñas, sin embargo

la escala automática nos impide ver estas variaciones ya que la posición en la que varía es muy

grande en comparación de estos cambios, y sólo apreciamos la respuesta como una línea

continua, estos cambios se deben a que la entrada varía a una frecuencia mucho más alta que la

natural, provocando ese “ruido”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2Cos(8πt) 2 1 1 1 0

Este sistema inicia en una posición diferente a la de equilibrio y tiene las raíces para comportarse

de forma críticamente amortiguada, nótese que el sistema cambia desde la posición inicial hacia

una posición de equilibrio cayendo de forma rápida y eliminando oscilaciones, al igual que los

otros con entrada cosenoidal presenta variaciones pequeñas, sin embargo la escala automática

nos impide ver estas variaciones, ya que la posición en la que varía es muy grande en comparación

de estos cambios, y sólo apreciamos la respuesta como una línea continua, estos cambios se

deben a que la entrada varía a una frecuencia mucho más alta que la natural, provocando ese

“ruido”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2Cos(8πt) 2 2 1 1 0

Este sistema inicia en una posición diferente a la de equilibrio y tiene las raíces para comportarse

de forma sobre amortiguada, nótese que el sistema cambia desde la posición inicial hacia una

posición de equilibrio cayendo de forma lenta pero suave y eliminando oscilaciones, al igual que

los otros con entrada cosenoidal presenta variaciones pequeñas, sin embargo la escala automática

nos impide ver estas variaciones, ya que la posición en la que varía es muy grande en comparación

de estos cambios, y sólo apreciamos la respuesta como una línea continua, estos cambios se

deben a que la entrada varía a una frecuencia mucho más alta que la natural, provocando ese

“ruido”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2cos(t) 2 2 1 0 0

Subamortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un subamortiguado (las raíces fueron X1=(-1+i) y X2=(-1-i)). Esto

no se observa al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya que la

entrada del sistema es una señal que varía con el tiempo lo cual impide que el sistema llegue al

equilibrio (causa “ruido”), entonces el sistema oscila respecto a la posición inicial “0”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2cos(t) 2 2 1 1 0

Subamortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un subamortiguado (las raíces fueron X1=(-1+i) y X2=(-1-i)). Esto

no se observa al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya que la

entrada del sistema es una señal que varía con el tiempo lo cual impide que el sistema llegue al

equilibrio (causa “ruido”), entonces el sistema oscila desde la posición inicial “1” hasta llegar a

oscilar respecto a la posición “0”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2cos(t) 0 2 1 0 0

Oscilatorio

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un oscilatorio (las raíces fueron X1=1.414i y X2=-1.414i). Esto fue

graficado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente (aunque

inesperada) ya que la entrada del sistema es una señal que varía con el tiempo impidiendo el

equilibrio (causa “ruido”), además el sistema no cuenta con amortiguador (b=0), entonces no hay

magnitud física que detenga al sistema, esto provoca que la oscilación de la entrada más la

oscilación propia del sistema provoca una oscilación muy extraña alrededor de la posición inicial

“0”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2cos(t) 0 2 1 1 0

Oscilatorio

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un oscilatorio (las raíces fueron X1=1.414i y X2=-1.414i). Esto fue

graficado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente (aunque

inesperada) ya que la entrada del sistema es una señal que varía con el tiempo impidiendo el

equilibrio (causa “ruido”), además el sistema no cuenta con amortiguador (b=0), entonces no hay

magnitud física que detenga al sistema, esto provoca que la oscilación de la entrada más la

oscilación propia del sistema provoca una oscilación muy extraña desde la posición inicial “1”

hasta oscilar alrededor de 0.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2cos(t) 2 1 1 0 0

Críticamente amortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un críticamente amortiguado (las raíces fueron X1=-1 y X2=-1).

Esto fue analizado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya

que la entrada del sistema es una señal que varía con el tiempo impidiendo el equilibrio (causa

“ruido”), además el sistema cuenta con un valor de amortiguamiento más grande que los demás

valores, entonces el sistema oscila con una amplitud de la mitad de la señal de entrada alrededor

del punto inicial “0”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2cos(t) 2 1 1 1 0

Críticamente amortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un críticamente amortiguado (las raíces fueron X1=-1 y X2=-1).

Esto fue analizado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya

que la entrada del sistema es una señal que varía con el tiempo impidiendo el equilibrio (causa

“ruido”), además el sistema cuenta con un valor de amortiguamiento más grande que los demás

valores, entonces el sistema oscila con una amplitud de la mitad de la señal de entrada alrededor

del punto “0” pero iniciando desde el punto inicial “1”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2cos(t) 3 1 1 0 0

Sobreamortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un sobreamortiguado (las raíces fueron X1=-0.381 y X2=-2.618).

Esto fue observado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya

que la entrada del sistema es una señal que varía con el tiempo impidiendo el equilibrio (causa

“ruido”), además el sistema cuenta con un valor de amortiguamiento considerablemente más

grande que los demás valores, entonces el sistema oscila aunque con una amplitud más pequeña

que en los casos anteriores (críticamente amortiguado). Oscila alrededor de la posición inicial “0”.

X(t) b k m y(0) y’(o)

2cos(t) 3 1 1 1 0

Sobreamortiguado

De los cálculos, para los cuales se tomaron los valores característicos del sistema, se obtiene que el

sistema se debe comportar como un sobreamortiguado (las raíces fueron X1=-0.381 y X2=-2.618).

Esto fue observado al ingresar los datos del sistema en MATLAB, esta respuesta es coherente ya

que la entrada del sistema es una señal que varía con el tiempo impidiendo el equilibrio (causa

“ruido”), además el sistema cuenta con un valor de amortiguamiento considerablemente más

grande que los demás valores, entonces el sistema oscila aunque con una amplitud más pequeña

que en los casos anteriores (críticamente amortiguado). Oscila alrededor de la posición “0” pero

parte desde la posición inicial “1” haciendo que oscile arriba de 1.

Conclusión

Esta práctica nos permitió de forma rápida obtener las gráficas y resultados de los 4 tipos de

respuestas para un sistema vistas en clase, a pesar de la naturaleza de la entrada podemos notar

que la respuesta siempre estará muy ligada al comportamiento predicho por las raíces de la

ecuación o polos de la función de transferencia, a menos que la perturbación de entrada sea nula

y las condiciones iniciales sean las de equilibrio, ya que en este caso el sistema no está siendo

modificado y la respuesta por lo tanto es 0.

Otro caso particular que podemos notar es cuando la frecuencia natural coincide con la frecuencia

de entrada, ya que en este caso el sistema entrará en resonancia y le será difícil llegar a una

posición estable.

También es posible observar que a veces los sistemas tienen en su respuesta alteraciones muy

pequeñas, como ruido, esto debido a que la entrada que se aplica varía con una frecuencia muy

alta y aunque estas variaciones pueden ser despreciables, se alcanza a apreciar.