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I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A

D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A

T E C N O L O G Í A I N D U S T R I A L 1 º

C U R S O : 2 0 1 1 / 2 0 1 2 © J . G a r r i g ó s

P1

1A

RALínea de cierre

R1

R2

R

R3

2

3

R5

R4

B

RB

5

P4

P3

4P2

E S T Á T I C A G R Á F I C A A P L I C A D A A L C Á L C U L O D E E S T R U C U T R A S .

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A

© J . G a r r i g ó s P á g i n a 1

ÍNDICE

1 . E S T ÁT I C A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 . E S T ÁT I C A G R ÁF I C A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 . 1 . C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z A S C O N C U R R E N T E S E N U N P L A N O . . . . . . . . . . . . 2

2 . 2 . C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z A S N O C O N C U R R E N T E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 . 3 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N A F U E R Z A E N D O S C O M P O N E N T E S . . . . . . . . . . . 8

2 . 4 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N A F U E R Z A E N T R E S : M É T O D O D E C U L M A N

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

2 . 5 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N S I S T E M A D E F U E R Z A S E N D O S

C O M P O N E N T E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

3 . E S T R U C T U R AS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

3 . 1 . D E F I N I C I Ó N D E E S T R U C T U R A S Y A C C I O N E S A Q U E S E V E N

S O M E T I D A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

3 . 2 . E S T R U C T U R A S R E T I C U L A R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

3 . 3 . E S F U E R Z O S E N S I S T E M A S R E T I C U L A R E S P L A N O S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

4 . C ÁL C U L O D E E S F U E R Z O S E N E S T R U C T U R AS P O R E S T ÁT I C A G R ÁF I C A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

4 . 1 . C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S P O R E L M É T O D O G R Á F I C O D E

C R E M O N A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

4 . 2 . C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S P O R E L M É T O D O G R Á F I C O D E

C U L M A N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

4 . 3 . C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S P O R E L M É T O D O G R Á F I C O D E R I T T E R .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

AN E X O A: U N I D AD E S D E F U E R Z A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4

P R O B L E M AS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5




1 . ESTÁTICA

E s t á t i c a . - E s l a p a r t e d e l a m e c á n i c a q u e e s t u d i a e l e q u i l i b r i o d e l o s

c u e r p o s s o m e t i d o s a f u e r z a s .

A l c o n j u n t o d e p r o c e d i m i e n t o s o m e t o d o l o g í a q u e s e f u n d a m e n t a e n

p r o p i e d a d e s g e o m é t r i c a s p a r a l a r e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s d e e q u i l i b r i o d e

f u e r z a s , s e d e n o m i n a E s t á t i c a G r á f i c a o G r a f o s t á t i c a .

H a s t a l a a p a r i c i ó n d e l o s p r o g r a m a s v e c t o r i a l e s d e C A D , e l m é t o d o

d e l a e s t á t i c a g r á f i c a t e n í a m e n o s e x a c t i t u d q u e e l m é t o d o a n a l í t i c o

m a t e m á t i c o . H o y e n d í a , l a p r e c i s i ó n p u e d e s e r l a m i s m a , y l o q u e e s

m e j o r , e s t e e s m u c h o m á s r á p i d o e i n t u i t i v o , d a n d o u n a v i s i ó n m á s g e n e r a l

q u e e l c á l c u l o a n a l í t i c o , q u e h a c e n d e é l u n m é t o d o m u y a d e c u a d o d e

e s t u d i o p a r a l a m a t e r i a d e t e c n o l o g í a i n d u s t r i a l d e b a c h i l l e r a t o .

2 . ESTÁTICA GRÁFICA

2 . 1 . C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z AS C O N C U R R E N T E S E N U N P L AN O E s t e e s e l c a s o e n q u e t o d a s l a s f u e r z a s s e e n c u e n t r a n s i t u a d a s e n

u n p l a n o . E s t a s f u e r z a s p u e d e n t e n e r :

E l m i s m o o d i s t i n t o p u n t o d e a p l i c a c i ó n

L a m i s m a o d i s t i n t a s d i r e c c i o n e s .

L a a c c i ó n c o n j u n t a d e t o d a s l a s f u e r z a s e s p o s i b l e s u s t i t u i r l a p o r u n a

s o l a q u e l l a m a r e m o s r e s u l t a n t e ( R ) . A c a d a u n a d e l a s f u e r z a s i n d i v i d u a l e s

q u e c o m p o n e n e l s i s t e m a s e d e n o m i n a n c o m p o n e n t e s d e l a r e s u l t a n t e .

L a r e s u l t a n t e s e d e t e r m i n a m e d i a n t e l a o p e r a c i ó n c o m p o s i c i ó n d e

f u e r z a s . S i l o q u e s e d e t e r m i n a n s o n l a s c o m p o n e n t e s a p a r t i r d e l a

r e s u l t a n t e a e s t a o p e r a c i ó n s e d e n o m i n a d e s c o m p o s i c i ó n d e f u e r z a s .

E l c a s o m á s s e n c i l l o d e d e s c o m p o s i c i ó n d e f u e r z a s , e s a q u e l , e n q u e

t o d o s t i e n e n i g u a l l í n e a d e a c c i ó n o s o p o r t e :




D a d o q u e s e s o b r e e n t i e n d e q u e e l l e c t o r c o n o c e s o b r a d a m e n t e e l

c a r á c t e r v e c t o r i a l d e l a f u e r z a , e n a d e l a n t e n o s e i n d i c a r á a f i n d e

f a c i l i t a r e l t r a t a m i e n t o d e t e x t o y g r á f i c o s .

S i l a s f u e r z a s s o n d e s e n t i d o s c o n t r a r i o s , s e a g r u p a n , s e g ú n l a

f i g u r a , y s e r e s t a n l a s r e s u l t a n t e s p a r c i a l e s .

C u a n d o e l s i s t e m a d e f u e r z a s e s c o n c u r r e n t e e n u n p u n t o O ,

a p l i c a m o s a p a r t e e l p o l í g o n o d e f u e r z a s ( P D F ) , y t r a s l a d a m o s l a r e s u l t a n t e

A E a l s i s t e m a , d e m a n e r a q u e p a s e p o r O .

F 3 F 2 F 1

R

F 1 + + = F 2 F 3 R

P 1 P 3 P 4 P 2 P 5

A o R

P1

P2 P3

P4O

R

P4

P1

P2

P3

R1,2

R1,2

,3

A

B

C

D

E

P D F




L a c o n s t r u c c i ó n s e b a s a e n l a e x t e n s i ó n d e l m é t o d o d e l

p a r a l e l o g r a m o , d o n d e s e h a b r í a n i d o o b t e n i e n d o p a r c i a l y s u c e s i v a m e n t e

R 1 , 2 d e P 1 a P 2 ( A C ) , R 1 , 2 , 3 d e R 1 , 2 y P 3 ( A D ) , y R 1 , 2 , 3 , 4 = R ( A E ) , c o m o

s u m a d e t o d a s l a s f u e r z a s .

O b s e r v a n d o l a f i g u r a , s e p u e d e a p r e c i a r q u e p a r a q u e l a r e s u l t a n t e

f u e s e n u l a , b a s t a r í a q u e e l p u n t o A , c o i n c i d i e s e c o n E . D e e s t o e s p o s i b l e

o b t e n e r l a s i g u i e n t e c o n c l u s i ó n , p a r a s i s t e m a s c o n c u r r e n t e s e n e q u i l i b r i o :

S i u n s i s t e m a c o n c u r r e n t e e n u n p u n t o , e s t á e n e q u i l i b r i o , l a

r e s u l t a n t e e s n u l a , y l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l P D F e s u n a p o l i g o n a l

c e r r a d a .

A s í , s i s e d e s e a r a e n c o n t r a r u n a f u e r z a e n e l s i s t e m a a n t e r i o r p a r a

a n u l a r e l s i s t e m a y d e j a r l o e n e q u i l i b r i o , d i c h a f u e r z a s e r í a i g u a l a l a

r e s u l t a n t e p e r o d e s e n t i d o c o n t r a r i o .

2 . 2 . C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z AS N O C O N C U R R E N T E S C u a n d o l a s f u e r z a s n o s o n c o n c u r r e n t e s , i r e m o s h a c i e n d o s u m a s

p a r c i a l e s ( p r o p i e d a d a s o c i a t i v a ) h a s t a o b t e n e r l a r e s u l t a n t e .

S e a e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e f u e r z a s d e s l i z a n t e s y c o p l a n a r i a s , d e l

q u e q u e r e m o s h a l l a r s u r e s u l t a n t e :

P 5

P 2

P 1

P 3

P 4




P a r a r e s o l v e r l o o p e r a m o s d e l a s i g u i e n t e f o r m a :

A ) T o m a m o s u n p u n t o c u a l q u i e r a “ O ” ( p o l o ) , y s e l l e v a P 1 , y a c o n t i n u a c i ó n

P 2 , p a r a o b t e n e r R 1 , 2 . D i c h a R 1 , 2 , l a d e s p l a z a m o s p a r a l e l a d e s d e e l

p o l í g o n o e f u e r z a s a l p o l í g o n o f u n i c u l a r , y h a b r á d e p a s a r p o r A

( P 1P 2 ) .

B ) L a l í n e a R 1 , 2 t r a z a d a p o r A , c o r t a r á a l a l í n e a d e a c c i ó n d e P 3 e n B .

T r a z a m o s e n e l P D F R 1 , 2 , 3 r e s u l t a n t e d e R 1 , 2 y P 3 , y l a d e s p l a z a m o s

p a r a l e l a a l P o l í g o n o F u n i c u l a r ( P F ) , h a c i é n d o l a p a s a r p o r B , l a c u a l

c o r t a a l a l í n e a d e a c c i ó n d e P 4 e n C .

C ) S i g u i e n d o e l m i s m o s i s t e m a , l a r e s u l t a n t e R 1 , 2 , 3 , 4 h a b r á d e p a s a r p o r

C , y c o r t a r á e n D a l a l í n e a d e a c c i ó n d e P 5 .

D ) H a l l a m o s f i n a l m e n t e R 1 , 2 , 3 , 4 , 5 q u e s e r á i g u a l a l a r e s u l t a n t e R ,

o b t e n i d a d e R 1 , 2 , 3 , 4 y P 5 .

H a c i e n d o p a s a r e n P F , R 1 , 2 , 3 , 4 , 5 = R , p o r e l p u n t o D o b t e n d r e m o s l a

r e s u l t a n t e d e l s i s t e m a .

A c a d a u n a d e l a s f u e r z a s q u e p a r t e n d e l p o l o d e l P D F s e l e s

d e n o m i n a “ r a d i o s p o l a r e s ” .

P1

P2

P3

P4

P5

P1

P2P3

P4

R1,2

R1,2,3

R1,2,3,4

P5 R

A

B

C D

R

O

E

R1,2

R1,2,3

R1,2,3,4

POLÍGONO DE FUERZAS (PDF)

POLÍGONO FUNICULAR (PF)




E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e c u a l q u i e r t r i á n g u l o d e l P D F e s h o m ó l o g o d e

t r e s r e c t a s q u e e n e l P F s e c o r t a n e n u n p u n t o .

L o s r a d i o p o l a r e s q u e p a r t e n d e O , s e d e n o m i n a n t e n s i o n e s f u n i c u l a r e s y

l a l í n e a p o l i g o n a l A B C D

S i e n l a l í n e a d e a c c i ó n d e R s e e s c o g e u n p u n t o c u a l q u i e r a , c o m o e l

E ( P F d e l a f i g u r a a n t e r i o r ) , r e s u l t a l a p o l i g o n a l A B C D E . S u p o n i e n d o q u e

t a l p o l i g o n a l e s u n h i l o f i j a d o e n E y c o n l o s v é r t i c e s m e n c i o n a d o s e n l a s

i n t e r s e c c i o n e s d e l a s f u e r z a s c o m p o n e n t e s , e s f á c i l c o m p r o b a r q u e l a

d i s p o s i c i ó n a d o p t a d a e s l a d e e q u i l i b r i o d e l h i l o b a j o l a a c c i ó n d e l a s

f u e r z a s d a d a s , s i e n d o l a s t e n s i o n e s d e l h i l o d e c a d a t r a m o p r e c i s a m e n t e

l a s r e s u l t a n t e s p a r c i a l e s h a l l a d a s .

S u p ó n g a s e a h o r a , q u e d e s e a m o s o b t e n e r l a r e s u l t a n t e p a r c i a l d e P 2

y P 3 . E n e l P D F l a r e s u l t a n t e s e r á R 2 , 3 . P a r a e n c o n t r a r e l p u n t o d e l P F

p o r d o n d e p a s a R 2 , 3 , n o s b a s a r e m o s e n l o s i n d i c a d o a n t e r i o r m e n t e . D a d o

q u e e l t r i á n g u l o d e P D F ( P 2 - P 3 - R 2 3 ) , l e c o r r e s p o n d e u n h a z d e r e c t a s

c o n c u r r e n t e s e n e l P F , b a s t a r á t r a z a r p o r e l p u n t o X ( i n t e r s e c c i ó n d e P 2 y

P 3 ) , l a r e s u l t a n t e p a r c i a l R 2 , 3 , q u e s e r á p a r a l e l a a l R 2 , 3 , d e l P D F .

P1

P2

P3

P4

P5

R2,3

A

B

C D

R E

R1,2

R1,2,3

R1,2,3,4

P1

P2P3

P4

R1,2

R1,2,3

R1,2,3,4

P5 R

R2,3

O

X




E n e l P F s e d a l a s i t u a c i ó n d e l a s f u e r z a s ( n o s i e n d o n e c e s a r i o q u e

d i c h o p o l í g o n o i n d i q u e s u m a g n i t u d ) .

E n e l P D F , s e m u e s t r a l a i n t e n s i d a d , s e n t i d o y d i r e c c i ó n d e l a s

f u e r z a s , p e r o n u n c a s u s i t u a c i ó n .

P o r l o g e n e r a l e l P D F t a l y c o m o s e h a r e p r e s e n t a d o a n t e r i o r m e n t e ,

e s d e c i r , u t i l i z a n d o e l o r i g e n d e l a p r i m e r a f u e r z a c o m o p o l o O , n o s e

s u e l e e m p l e a r , y e s m á s u s u a l e l m é t o d o q u e s e d e s c r i b e a c o n t i n u a c i ó n :

S u p ó n g a s e e l s i s t e m a d e t r e s f u e r z a s P 1 , P 2 y P 3 d e l a s i g u i e n t e

f i g u r a , y s e a d o p t a u n p o l o a r b i t r a r i o “ O ” , q u e n o c o n t i e n e a P 1 . P a r a e s t a

c o n s t r u c c i ó n n o s a y u d a r e m o s d e u n a f u e r z a a u x i l i a r a r b i t r a r i a R o , q u e

p a s e p o r u n p u n t o c u a l q u i e r a d e P 1 , p o r e j e m p l o ( A ) . L a r e s u l t a n t e d e R o y

P 1 s e r á R 1 , e s d e c i r R 1 = P 1 + R o , d o n d e R 1 p a s a p o r e l p u n t o A y c o r t a a B

e n P 2 .

P a r a t e r m i n a r l a c o n s t r u c c i ó n y h a l l a r l a r e s u l t a n t e b a s t a r á c o m p l e t a r

e l P D F , y t r a s l a d a r p a r a l e l a s d e R 2 y R 3 a l P F . R e s u l t a n d o e l P u n t o D

( i n t e r s e c c i ó n d e l o s r a d i o s p o l a r e s R o y R 3 ) , e l l u g a r p o r d o n d e h a b r á d e

p a s a r l a r e s u l t a n t e R .

P 1

R

P 2 P 3

P 1

P 2

P 3

R R o

R o

R 1 R 1 R 2

R 2

R 3

R 3

P D F P F

A

B C

D

O




O b s e r v e l a c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e l o s t r i á n g u l o s d e l P D F y l a

i n t e r s e c c i ó n d e t r e s r e c t a s c o n c u r r e n t e s e n e l P F . E n n u e s t r o c a s o l a

c o r r e s p o n d e n c i a e s :

T r i á n g u l o R o , P 1 , R 1 , p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o A d e R o , P 1 , R 1

T r i á n g u l o R 1 , P 2 , R 2 , p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o B d e R 1 , P 2 , R 2

T r i á n g u l o R 2 , P 3 , R 3 , p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o C d e R 2 , P 2 , R 3

T r i á n g u l o R o , R , R 3 , p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o D d e R o , R , R 3 .

D e l a m i s m a f o r m a q u e e n e l m é t o d o d e s c r i t o a n t e r i o r m e n t e , c u a n d o

e l P D F s e c o n s t r u y e d e e s t a f o r m a a l o s v e c t o r e s a u x i l i a r e s R o , R 1 , R 2 y R 3

s e l e s d e n o m i n a n R a d i o s P o l a r e s .

S i e n l u g a r d e d e t e r m i n a r l a f u e r z a R , r e s u l t a n t e d e l s i s t e m a , s e

d e b i e r a e n c o n t r a r s u e q u i l i b r a n t e , é s t a s e r í a e n t o d o i g u a l a R

( i n t e n s i d a d , d i r e c c i ó n y p o s i c i ó n ) , s a l v o e n s u s e n t i d o , q u e s e r í a e l

c o n t r a r i o .

2 . 3 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N A F U E R Z A E N D O S C O M P O N E N T E S S e n o s p u e d e n p r e s e n t a r d i f e r e n t e s c a s o s :

A . - D e s c o m p o n e r l a r e s u l t a n t e R e n d o s , c u y a s l í n e a s d e a c c i ó n s o n

c o n o c i d a s ( L 1 y L 2 ) .

E s t e p r o b l e m a s o l o t e n d r á s o l u c i ó n s i l a s d o s r e c t a s o l í n e a s d e

a c c i ó n ( L 1 y L 2 ) , s o n c o n c u r r e n t e s e n u n m i s m o p u n t o .

R

L 1

L 2




L a s o l u c i ó n d e e s t e p r o b l e m a e s m u y s e n c i l l o , p u é s b a s t a r á t r a z a r

p o r e l a f i j o d e R ( e x t r e m o d e l v e c t o r R , d o n d e e s t a l a p u n t a d e f l e c h a ) , u n a

r e c t a p a r a l e l a a L 2 q u e c o r t e a L 1 , y u n a r e c t a p a r a l e l a a L 1 q u e c o r t e a

L 2 , r e s u l t a n d o d e l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n A y B l o s a f i j o s d e l a s f u e r z a s

c o m p o n e n t e s ( P 1 y P 2 ) , c u y o p u n t o d e a p l i c a c i ó n e s l a i n t e r s e c c i o n d e L 1 y

L 2 . A e s t a c o n s t r u c c i ó n s e l e d e n o m i n a l a r e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o .

B . - D e s c o m p o n e r l a r e s u l t a n t e R e n d o s f u e r z a s , c o n o c i d a l a l í n e a d e

a c c i ó n o r e c t a s o p o r t e d e u n a f u e r z a , y u n p u n t o “ A ” p o r e l q u e d e

d e b e p a s a r l a o t r a .

R e a l m e n t e e s t e e s e l m i s m o p r o b l e m a q u e e l a n t e r i o r , p u e s t o q u e

b a s t a r á h a l l a r l a i n t e r s e c c i ó n f r L 1 c o n R , u u n i r e s t e p u n t o c o n A ,

o b t e n i e n d o L 2 .

P e r o s u p o n g a m o s q u e R y L 1 s e c o r t a n f u e r a d e l o s l í m i t e s d e l

d i b u j o , c o m o e n e s e l c a s o d e l a s i g u i e n t e f i g u r a .

R

L 1

L 2

O P 1

P 2

A

B

R

L 1

A



© J . G a r r i g ó s P á g i n a 1 0

P a r a d a r s o l u c i ó n a e s t e p r o b l e m a o p e r a r e m o s d e l a s i g u i e n t e f o r m a :

A ) T r a z a m o s e l P D F c o n u n p o l o a r b i t r a r i o O , d e s d e d o n d e p a r t e n d o s

r a d i o s p o l a r e s R 1 , R 2 a l o s e x t r e m o s d e R .

B ) C o m o e l t r i a n g u l o R 1 , R 2 , R , d a r á l u g a r e n e l P F a u n p u n t o d o n d e s e

c o r t a n l a s p a r a l e l a s a R 1 , R 2 y R , p o r e l p u n t o A d e l P F , t r a z a m o s l a

p a r a l e l a a R 2 h a s t a q u e c o r t e a R e n u n p u n t o “ B ” . P o r e l p u n t o B ,

t r a z a m o s l a p a r a l e l a a R 1 , q u e c o r t a r á a L 1 e n “ C ” .

C ) U n i m o s c o n u n a r e c t a R 3 , e n e l P F l o s p u n t o s A y C .

D ) E n e l P D F , t r a z a m o s p o r O e l r a d i o p o l a r R 3 p a r a l e l o a l a r e c t a R 3 d e l

P F .

E ) S i l l a m a m o s P 1 a l a f u e r z a s i t u a d a e n l a l í n e a d e a c c i ó n L 1 ; l a

i n t e r s e c c i ó n e n e l P F d e P 1 , R 1 y R 3 d e b e d a r u n t r i á n g u l o e n e l P D F ,

p o r l o c u a l , b a s t a r á t r a z a r e n e l P D F d e s d e l a i n t e r s e c c i ó n d e R 1 y R ,

u n a l í n e a p a r a l e l a a L 1 h a s t a c o r t a r a R 3 , d e d o n d e o b t e n d r e m o s l a

f u e r z a P 1 .

F ) P a r a o b t e n e r l a f u e r z a q u e p a s a p o r e l p u n t o A , q u e l l a m a r e m o s P 2 ,

u n i m o s e n P D F e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e P 1 c o n R 3 , c o n e l p u n t o d e

i n t e r s e c c i ó n d e R c o n R 2 , o b t e n i e n d o a s í l a s e g u n d a c o m p o n e n t e

b u s c a d a .

C . - D e s c o m p o n e r l a r e s u l t a n t e R , e n d o s f u e r z a s P 1 , y P 2 p a r a l e l a s a l a

d a d a y q u e p a s e n p o r l o s p u n t o s A y B .

0

R

L 1 A

R 1

R 2

R

R 3

B

C

R 1 R 2

R 3

P 2 P 1

P 2

P 1




A s i m p l e v i s t a e s t e p r o b l e m a n o t i e n e s o l u c i ó n d a d o q u e l a s

c o m p o n e n t e s n o s o n c o n c u r r e n t e s a l s e r p a r a l e l a s . C u a n d o s e d a e s t e c a s o

a d o p t a m o s q u e d i c h a s c o m p o n e n t e s c o n c u r r e n e n e l i n f i n i t o .

E l p r o c e s o p a r a r e s o l v e r e l p r o b l e m a e s l e s i g u i e n t e :

A ) T r a z a m o s u n P D F c o n l a r e s u l t a n t e R , y u n p o l o c u a l q u i e r a “ O ” , d e s d e

d o n d e p a r t e n l o s r a d i o s p o l a r e s R 1 y R 2 h a s t a l o s e x t r e m o s d e R .

B ) P o r l a r e g l a d e l t r i á n g u l o R 1 , R 2 , R d e l P D F , t r a z a m o s p o r u n p u n t o

c u a l q u i e r a ( X ) d e l a l í n e a d e a c c i ó n d e R d e l P F , r e c t a s p a r a l e l a s a R 1

y R 2 h a s t a c o r t a r a l a s l i n e a s d e a c c i ó n d e l a s c o m p o n e n t e s P 1 y P 2

q u e p a s a n p o r l o s p u n t o s A y B .

C ) E n e l P F u n i m o s p o r R 3 , l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e R 1 c o n l a l i n e a

d e a c c i ó n q u e p a s a p o r A , c o n l a i n t e r s e c c i ó n d e R 2 c o n l a l í n e a d e

a c c i ó n d e B .

D ) T r a s l a d a m o s u n a p a r a l e l a a R 3 a l P D F , d e f o r m a q u e p a s e p o r e l p o l o

“ O ”

.

R

B

A

R

B

A R 1

R 1

R 2

R 2

R 3

R 3

P 1

P 1

P 2

X

R

O




X

Y

rXYR

L1

L2

L3

R rXY

r3

RXY+ r3 = Rr1 + r2 = RXY

r1

r2P1

P2

P3

E ) L a i n t e r s e c c i ó n e n e l P D F d e R 3 c o n R , n o s d a r á l a s c o m p o n e n t e s P 1 y

P 2 b u s c a d a s , q u e h a b r e m o s d e t r a s l a d a r a l P F .

2 . 4 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N A F U E R Z A E N T R E S : M É T O D O D E C U L M AN E s t e p r o b l e m a t i e n e u n a s o l u c i ó n ú n i c a c u a n d o s o n c o n o c i d a s l a s

l í n e a s d e a c c i ó n d e l a s f u e r z a s y e s t á n n o s e c o r t a n e n u n p u n t o f o r m a n d o

u n h a z .

A l p r o c e d i m i e n t o q u e p e r m i t e e n c o n t r a r s o l u c i ó n a n u e s t r o p r o b l e m a

s e l e d e n o m i n a m é t o d o C u l m a n . S e a l a f u e r z a a d e s c o m p o n e r R y l a s t r e s

r e c t a s s o p o r t e L 1 , L 2 y L 3 . D i b u j a m o s u n a r e c t a X Y q u e v a d e s d e e l p u n t o

X , i n t e r s e c c i ó n d e c u a l q u i e r a d e l a s r e c t a s s o p o r t e c o n l a f u e r z a R , a l

p u n t o Y , p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s o t r a s d o s r e c t a s s o p o r t e . . A

c o n t i n u a c i ó n d e s c o m p o n e m o s R e n l a s d i r e c c i o n e s d e L 3 y l a d e l a r e c t a

R X Y e n e l P D F .

C o m o l a f u e r z a r X Y e s c o n c u r r e n t e c o n l a s d i r e c c i o n e s d e L 1 y L 2 s e

p u e d e d e s c o m p o n e r e n l a s f u e r z a s r 1 y r 2 e n e l P D F , q u e d a n d o r e s u e l t o e l

p r o b l e m a .

U n c a s o p a r t i c u l a r s e p u e d e p l a n t e a r c u a n d o L 1 y L 2 s o n p a r a l e l a s

e n t r e s í y R y L 3 n o l o s o n , n i e n t r e e l l a s , n i c o n l a s a n t e r i o r e s . E l

p r o c e d i m i e n t o d e o b t e n c i ó n d e l a s c o m p o n e n t e s d e l a s f u e r z a s e s




p r á c t i c a m e n t e i d é n t i c o a l a n t e r i o r . C o m e n z a m o s p o r d e t e r m i n a X ,

i n t e r s e c c i ó n d e R c o n l a r e c t a s o p o r t e d e P 3 , m i e n t r a s q u e Y s e e n c u e n t r a

e n e l i n f i n i t o e n l a d i r e c c i ó n d e L 1 y L 2 . P o r t a n t o , r X Y s e r á p a r a l e l a a l a s

r e c t a s d e a c c i ó n d e L 1 y L 2 . P a r a d e s c o m p o n e r r X Y t o m a m o s u n p o l o O y

l o s r a d i o s v e c t o r e s o r a d i o s p o l a r e s r 1 ’ y r 2 ’ e n e l P D F ; s e g u i d a m e n t e s e

c o n s t r u y e e l p o l í g o n o f u n i c u l a r P F i d e n t i f i c a d o c o m o A B C y t r a z a m o s e n

é s t e ú l t i m o l a l í n e a d e c i e r r e r 3 ’ q u e t r a s l a d a m o s p a r a l e l a a l P D F p a r a

o b t e n e r e l v a l o r d e l a s c o m p o n e n t e s r 1 y r 2 .

E n e l c a s o d e q u e l a s t r e s f u e r z a s h u b i e r a n t e n i d o q u e e q u i l i b r a r a

R , s e r í a s u f i c i e n t e c o n c a m b i a r e l s e n t i d o a l a s t r e s c o m p o n e n t e s

d e t e r m i n a d a s .

2 . 5 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N S I S T E M A D E F U E R Z A S E N D O S C O M P O N E N T E S

E l p r o b l e m a d e d e s c o m p o s i c i ó n y a h a s i d o d e t a l l a d o a n t e r i o r m e n t e ,

p o r l o q u e e s t e c a s o n o e s m á s q u e l a c o n j u n c i ó n d e c o n t r u c c i o n e s y a

c o n o c i d a s .

S u p ó n g a s e e l s i s t e m a d e f u e r z a s P 1 , P 2 , P 3 , P 4 y P 5 d e l a s i g u i e n t e

f i g u r a , l a s c u a l e s s e d e s e a n e q u i l i b r a r p o r d o s f u e r z a s , u n a d e d i r e c c i ó n

v e r t i c a l , q u e p a s e p o r e l p u n t o M , y o t r a q u e p a s e p o r e l p u n t o N

U t i l i z a n d o l o s m é t o d o s d e s c r i t o s s e c o n s t r u y e e l P D F y e l P F

( A , B , C ; D , E ) , p a r a l o c a l i z a r l a p o s i c i ó n d e l a r e s u l t a n t e R d e l s i s t e m a .

R

L3

o

r1'r3'

r3

r2'

r2 r1

L1

L2

R

r1'

r2'

r3'

X

Y

P3

P1

P2 C

B

A




U n a v e z c a l c u l a d a l a r e s u l t a n t e R , b a s t a r á d e s c o m p o n e r l a e n d o s

c o m p o n e n t e s , c o n l a s c o n d i c i o n e s i n d i c a d a s , p a r a l o c u a l o p e r a r e m o s d e l a

f o r m a i n d i c a d a e n a p a r t a d o s a n t e r i o r e s , y q u e p a r a e s t e c a s o p a r t i c u l a r

t e n d r á e l s i g u i e n t e p r o c e s o :

A ) E n e l P D F e l t r i á n g u l o R 1 , R 6 , R , t i e n e s u h o m o l o g o e n u n p u n t o d e l P F ,

d o n d e s e c r u z a n l a s t r e s r e c t a s . D a d o q u e l a s r e c t a s R 1 y R 6 t r a z a d a s

a n t e r i o r m e n t e n o c u m p l e n l a c o n d i c i ó n d e p a s a r p o r l o s p u n t o s M y N ,

t r a z a m o s e n P F u n a p a r a l e l a a R 6 ( q u e l l a m a r e m o s R 6 ’ p a r a n o

c o n f u n d i r l a c o n R 6 ) , q u e p a s e p o r e l p u n t o N y c o r t e a l a r e c t a d e

a c c i ó n d e R .

P 1 P 2 P 3

P 4

P 5

M

N

R 2

P 1 P 2 P 3 P 4

P 5

M

N

P 1

P 2

P 3

P 4

P 5

R 1

R 2

R 3

R 4

R 5 R 6

R

R 5

R 4 R 3

R 1

R 6 R

O

A B C

D

E




B ) P o r e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n ( S ) d e R 6 ’ c o n l a r e c t a d e a c c i ó n d e R ,

t r a z a m o s u n a p a r a l e l a a R 1 ( q u e l l a m a r e m o s R 1 ’ ) , q u e c o r t e a l a r e c t a

d e a c c i ó n q u e p a s a p o r e l p u n t o M ( l a f u e r z a q u e p a s a p o r e l p u n t o M ,

h a d e s e r v e r t i c a l s e g ú n e l e n u n c i a d o d e l p r o b l e m a ) , o b t e n i e n d o e l

p u n t o T .

C ) U n i m o s e n e l P F c o n l a r e c t a “ s ” l o s p u n t o s N c o n T . A l a r e c t a “ s ” , s e

l e s u e l e l l a m a r e n e l a r g o t d e l a e s t á t i c a g r á f i c a “ L í n e a d e c i e r r e ” .

D ) T r a s l a d a m o s u n a p a r a l e l a a l a l í n e a d e c i e r r e a l P D F , d e f o r m a q u e

p a s e p o r e l p o l o O .

E ) O b s e r v a n d o e l P F l a f u e r z a q u e p a s a p o r M ( q u e h a d e s e r v e r t i c a l )

d e b e c o r r e s p o n d e r s e c o n u n t r i á n g u l o e n e l P D F R 1 = R 1 ’ , s , R M ; p o r t a n t o

t r a z a m o s u n a r e c t a q u e p a r t e d e l a i n t e r s e c c i ó n d e R 1 c o n P 1 e n e l P D F

d e d i r e c c i ó n v e r t i c a l h a s t a c o r t a r a “ s ” , o b t e n i e n d o a s í R M .

F ) B a s t a r á u n i r e n e l P D F e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n R c o n R 6 , c o n e l p u n t o

d e i n t e r s e c c i ó n s c o n R M , p a r a o b t e n e r l a c o m p o n e n t e d e l a f u e r z a q u e

p a s a p o r N , q u e d e n o m i n a r e m o s R N .

G ) T r a s l a d a n d o p a r a l e l a s d e R M y R M a l P F , o b t e n d r e m o s l a d i r e c c i ó n d e

l a s c o m p o n e n t e s b u s c a d a s y e l p r o b l e m a e s t a r á s o l u c i o n a d o .

P1P2

P3

P4

P5

P1

P2

P3

P4

P5

R1

R2

R3

R4

R5 R6

O

RR1

R2 R3

R4

R5

R

R6

M

N

R1 R6

T

S

RM

RN

ss

A

B C

D

E




3 . ESTRUCTUR AS

3 . 1 . D E F I N I C I Ó N D E E S T R U C T U R A S Y AC C I O N E S A Q U E S E V E N S O M E T I D AS S e d e n o m i n a e s t r u c t u r a a t o d a d i s p o s i c i ó n o r d e n a d a y e s t a b l e c a p a z

d e s o p o r t a r s i n r o m p e r s e l a s c a r g a s o e s f u e r z o s a l a s q u e s e v e n

s o m e t i d a s .

N o s e c o n s i d e r a n c o m o e l e m e n t o s d e l a s e s t r u c t u r a s l a s

c o n s t r u c c i o n e s a u x i l i a r e s d e e s t a s , c o m o t u b e r í a s , m o n t a n t e s d e

d e c o r a c i ó n , a i s l a m i e n t o s , t a b i q u e r í a s , e t c . . P o r e l l o e s p r e c i s o a l d i s e ñ a r

e s t r u c t u r a s q u e é s t a s s e a n a u t o s u f i c i e n t e s p a r a s o p o r t a r l o s s i s t e m a s d e

c a r g a s q u e a c t ú a n s o b r e e l l a s y a s u v e z s e a n c a p a c e s d e t r a n s m i t i r l a s a l

t e r r e n o d o n d e e s t á n a s e n t a d a s . C o n d e f o r m a c i o n e s q u e n o s o b r e p a s e n l o s

l í m i t e s r e g l a m e n t a r i o s , n i p o n g a n e n p e l i g r o l a e s t a b i l i d a d o r e s i s t e n c i a d e

l a e s t r u c t u r a .

L a n o r m a v i g e n t e e n n u e s t r o p a í s e s e l d e n o m i n a d o C ó d i g o T é c n i c o

d e l a E d i f i c a c i ó n d e 2 0 0 6 ( R e a l D e c r e t o 3 1 4 / 2 0 0 6 B O E 2 8 / 0 3 / 2 0 0 6 ) -

h t t p : / / w w w . c o d i g o t e c n i c o . o r g / i n d e x . p h p ? i d = 3 3 - , d o n d e s e e s t a b l e c e u n a

c l a s i f i c a c i ó n d e l o s t i p o s d e c a r g a s q u e a c t ú a n s o b r e e d i f i c a c i o n e s y

e s t r u c t u r a s . L a s a c c i o n e s a c o n s i d e r a r e n e l d i s e ñ o d e u n p r o y e c t o r e a l

s o n :

G r a v i t a t o r i a s .

D e l v i e n t o .

T é r m i c a s .

S í s m i c a s

E m p u j e s d e t i e r r a

e t c . .

A c c i o n e s g r a v i t a t o r i a s . - S o n l a s c a r g a s p r o d u c i d a s p o r e l p e s o d e l a

p r o p i a e s t r u c t u r a , e l d e l o s e l e m e n t o s q u e s o p o r t a y p o s i b l e s o b r e c a r g a

d e n i e v e d e p e n d i e n d o d e l a a l t i t u d s o b r e e l n i v e l d e l m a r .

http://www.codigotecnico.org/index.php?id=33




A c c i o n e s d e l v i e n t o . - S o n l a s c a r g a s q u e l a e s t r u c t u r a h a b r á d e s o p o r t a r

d e b i d o a l v i e n t o , e s t a s a c c i o n e s d e p e n d e n d e l a f o r m a d e l a

c o n s t r u c c i ó n , s u s u p e r f i c i e y e l l u g a r g e o g r á f i c o d o n d e e s t á i m p l a n t a d a .

A c c i o n e s t é r m i c a s . - E n e s t e b l o q u e s e c o n s i d e r a n l a s v a r i a c i o n e s d e

t e m p e r a t u r a q u e p u e d e n a f e c t a r a l a e s t r u c t u r a . E n e l c á l c u l o d e e s t a s

a c c i o n e s , s a l v o q u e s e d i s p o n g a n d a t o s c o n c r e t o s , s e s u e l e t o m a r c o m o

m á r g e n e s d e d i s e ñ o 3 0 º C .

A c c i o n e s s í s m i c a s . - S o n l a s a c c i o n e s q u e p u e d e n l l e g a r a p r o d u c i r l o s

s e í s m o s s o b r e l a s c o n s t r u c c i o n e s . P a r a e l l o s e e s t a b l e c e p o r m e d i o d e

l o s o r g a n i s m o s c o m p e t e n t e s d e c a d a p a í s u n o s c o e f i c i e n t e s q u e h a b r á n

d e t e n e r s e e n c u e n t a p a r a e l c á l c u l o e n f u n c i ó n d e d o n d e s e i m p l a n t e l a

e s t r u c t u r a .

E m p u j e s d e l t e r r e n o . - T i e n e e n c u e n t a l a a c c i ó n q u e e l t e r r e n o p u e d e

e j e r c e r s o b r e l a c o n s t r u c c i ó n d e f o r m a l a t e r a l . S u c á l c u l o e x i g e u n

c o n o c i m i e n t o b á s i c o d e l a m e c á n i c a d e l s u e l o . E s t a s a c c i o n e s v a r í a n

c o n l o s t i p o s d e t e r r e n o , s i e s t o s s o n s e c o s o a n e g a d o s , a s í c o m o e l

í n d i c e d e h u e c o s q u e t i e n e n l o s m i s m o s ( e s t a d o d e c o m p a c t a c i ó n ) .

3 . 2 . E S T R U C T U R AS R E T I C U L AR E S . U n o d e l o s t i p o s d e e s t r u c t u r a m á s c o m u n e s , s o n l o s d e n o m i n a d a s

s i s t e m a s r e t i c u l a r e s p l a n o s , q u e e s t á n f o r m a d a s p o r u n c o n j u n t o d e b a r r a s

s i t u a d a s e n u n p l a n o c o n s t i t u y e n d o u n a r e d d e t r i á n g u l o s . L o s v é r t i c e s d e

l o s t r i á n g u l o s q u e g e n e r a l m e n t e s e s i t ú a n e n e l c o n t o r n o d e l a e s t r u c t u r a ,

s e l l a m a n n u d o s . L o s n u d o s s e u n e n m e d i a n t e b a r r a s , q u e p u e d e n s e r

s u p e r i o r e s o i n f e r i o r e s e n e l c o n t o r n o , o m o n t a n t e s ( b a r r a s v e r t i c a l e s ) y

d i a g o n a l e s e n e l i n t e r i o r .




P a r a q u e u n s i s t e m a r e t i c u l a r p l a n o s e a e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d o y

e s t a b l e d e b e v e r i f i c a r s e q u e , s i N e s e l n ú m e r o d e n u d o s y B e l n ú m e r o d e

b a r r a s s e c u m p l a q u e :

B = 2 N – 3

E n t r e l o s s i s t e m a s r e t i c u l a r e s s e c o n o c e n t r e s t i p o s f u n d a m e n t a l e s :

J á c e n a s ( f i g . a ) , a r m a d u r a d e c u b i e r t a o c u c h i l l o s ( f i g . b ) , y a r c o s o

p ó r t i c o s ( f i g . c )

3 . 3 . E S F U E R Z O S E N S I S T E M AS R E T I C U L AR E S P L AN O S P a r a e l c á l c u l o d e l a s t e n s i o n e s e x i s t e n t e s e n l a s b a r r a s s e p u e d e n

s e g u i r m e t o d o l o g í a s d i v e r s a s , g r á f i c a s o a n a l í t i c a s , s i b i e n e n t o d o s l o s

c a s o s s e p a r t i r á d e l a s s i g u i e n t e s h i p ó t e s i s d e c á l c u l o :

a ) L o s n u d o s c o n s t i t u y e n a r t i c u l a c i o n e s i d e a l e s s i n r o z a m i e n t o

b ) L a s c a r g a s q u e a c t ú a n s o b r e s i s t e m a s r e t i c u l a r e s s e s u p o n d r á n q u e

e s t á n a p l i c a d o s a l o s n u d o s y e n e l p l a n o d e l a e s t r u c t u r a

r e s i s t e n t e .




c ) L a s b a r r a s s o n r e c t a s y s u s d e f o r m a c i o n e s d e s p r e c i a b l e s e n r e l a c i ó n

a s u s d i m e n s i o n e s .

P a r a l a d e t e r m i n a c i ó n d e e s f u e r z o s e n l a s b a r r a s s e e m p l e a n m é t o d o s

g r á f i c o s ( C r e m o n a , C u l m a n y R i t t e r ) o e l a n a l í t i c o . D e l o s p r i m e r o s ,

t a n t o e l m é t o d o d e C u l m a n c o m o e l d e R i t t e r p e r m i t e n c o n o c e r

t e n s i o n e s a i s l a d a s e n s ó l o a l g u n a s b a r r a s , m i e n t r a s q u e e n C r e m o n a l o s

e s f u e r z o s s e c a l c u l a n e n t o d a s s u s b a r r a s .

L a s t e n s i o n e s d e l a s b a r r a s s o n d e d o s t i p o s : t r a c c i ó n o c o m p r e s i ó n .

E n e l p r i m e r o l a b a r r a t i e n d e a a l a r g a r s e y e n e l s e g u n d o a a c o r t a r s e .

L a s d o s t e n s i o n e s q u e a c t ú a n s o b r e u n a b a r r a q u e u n e l o s n u d o s h y k

s e r á n i g u a l e s y o p u e s t a s . S i e l n u d o h s e e n c u e n t r a s o m e t i d o a l a

t e n s i ó n T h k ( c o r r e s p o n d i e n t e a l a b a r r a h - k ) y e n l a t e n s i ó n e n e l n u d o

k l a d e n o m i n a m o s T k h , s e c u m p l e q u e T h k = - T k h

4 .CÁLCULO DE ESFUERZOS EN ESTRUCTUR AS POR

ESTÁTICA GRÁFICA

4 . 1 . C ÁL C U L O D E E S T R U C T U R AS P O R E L M É T O D O G R ÁF I C O D E C R E M O N A U n o d e l o s m é t o d o s g r á f i c o s m á s u t i l i z a d o s p a r a e l c á l c u l o d e l a s

t e n s i o n e s e n l a s b a r r a s e n e s t r u c t u r a s r e t i c u l a r e s e s e l d e n o m i n a d o

m é t o d o d e C r e m o n a . E s t á b a s a d o e n q u e t o d a s l a s f u e r z a s i n t e r i o r e s y

e x t e r i o r e s d e u n s i s t e m a r e t i c u l a r d e b e n e q u i l i b r a r s e e n c a d a u n o d e l o s

n u d o s d e l m i s m o .

E l m é t o d o d e C r e m o n a s e r e a l i z a p o r e l l o n u d o a n u d o ,

r e c o r r i é n d o l o s t o d o s y e s t a b l e c i e n d o l a c o n d i c i ó n d e e q u i l i b r i o ( p o l í g o n o

d e f u e r z a s P D F , c e r r a d o ) . P a r a l l e v a r a c a b o d e f o r m a o r d e n a d a l a




P1

A

RA

1B

RB

5

P4

P3

P2

P1 = P3 = 150 kgP2 = 200 kgP4 = 250 kg

2

4

3

a p l i c a c i ó n d e l p r o c e d i m i e n t o , d e b e e m p e z a r s e p o r u n n u d o d o n d e e x i s t a n

ú n i c a m e n t e d o s b a r r a s e i r p r o g r e s a n d o h a s t a c o n c l u i r e n e l ú l t i m o .

S u p ó n g a s e l a a r m a d u r a a s i m é t r i c a d e l a s i g u i e n t e f i g u r a , d o n d e s o n

c o n o c i d a s l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n s o b r e l a e s t r u c t u r a .

L a f o r m a d e p r o c e d e r e n e s t e m é t o d o e s l a s i g u i e n t e :

A ) E n p r i m e r l u g a r c a l c u l a m o s l a s r e a c c i o n e s e n l o s a p o y o s A y B ,

u t i l i z a n d o l a l í n e a d e c i e r r e .

B ) E n u m e r a m o s t o d o s l o s n u d o s d e l a a r m a d u r a , g e n e r a l m e n t e c o m e n z a n d o

p o r u n o e n e l q u e s o l o c o n c u r r e n d o s b a r r a s , p o r e j e m p l o e n n u d o

n ú m e r o 1

C ) A c o n t i n u a c i ó n v a m o s a i m p o n e r a l n u d o 1 l a c o n d i c i ó n d e q u e s e

e n c u e n t r e e n e q u i l i b r i o , p a r a l o q u e s e r á s u f i c i e n t e q u e l a s f u e r z a s

a p l i c a d a s a é l : R A , P 1 y l a s t e n s i o n e s T 1 , 2 y T 1 , 3 d e l a s b a r r a s b 1 , 2 y

b 1 , 3 s e e q u i l i b r e n ; e s d e c i r , d e n u n p o l í g o n o c e r r a d o .




P1

1A

RALínea de cierre

R1

R2

R

R3

2

3

R5

R4

B

RB

5

P4

P3

4P2

P1 = P3 = 150 kgP2 = 200 kgP4 = 250 kg

R3

RB P4

P3

R5

R4

RA

RP2

R2

P1R1

O

Línea de cierre

D ) P a r a q u e s e c u m p l a C ) , e n e l P F y e n t o r n o a l n u d o 1 s e e s t a b l e c e u n

o r d e n d e t r a z a d o d e c a r g a s , c o m e n z a n d o p o r l a s f u e r z a s q u e s e

c o n o c e n , y e n s e n t i d o d e l a s a g u j a s d e l r e l o j . E n n u e s t r o c a s o

c o m e n z a m o s e n e l P D F p o r e l p u n t o d e a p l i c a c i ó n d e R A , o b s e r v a n d o e l

a r c o t r a z a d o a l r e d e d o r d e l n u d o 1 d e l P F , a l a c a b a r R A s e g u i r e m o s p o r

P 1 q u e y a e s t á t r a z a d a e n e l P D F ; l u e g o p o r e l e x t r e m o d e l a f l e c h a d e

P 1 t r a z a m o s u n a p a r a l e l a a l a b a r r a b 1 , 2 d e l a e s t r u c t u r a , y p a r a c e r r a r

e l p o l í g o n o , t r a z a m o s o t r a p a r a l e l a a l a b a r r a b 1 , 3 q u e h a d e p a s a r p o r




e l p u n t o d e a p l i c a c i ó n d e l v e c t o r R A , y q u e c o r t a r a a l a p a r a l e l a t r a z a d a

a n t e r i o r m e n t e .

E ) A c o n t i n u a c i ó n y o b s e r v a n d o e l a r c o t r a z a d o a l r e d e d o r d e l n u d o 1 e n e l

P F , n o s s i t u a m o s s o b r e e l i n i c i o d e R A y v a m o s s i g u i e n d o e l c a m i n o

t r a z a d o y a s i g n a n d o e l s e n t i d o a l a s t e n s i o n e s a l a s b a r r a s e n e l

s e n t i d o e n q u e n o s m o v e m o s .

F ) R e c o r d a m o s , q u e a u n q u e e n e l P D F , l a s c o m p o n e n t e s d e l a s f u e r z a s P 1 ,

P 2 , P 3 , P 4 , l a r e s u l t a n t e R y l a s r e a c c i o n e s R A y R B e s t é n t r a z a d a s e n

l í n e a s p a r a l e l a s t o d a s e l l a s r e c a e n s o b r e l a m i s m a l í n e a d e a c c i ó n y s e

s e p a r a n a e f e c t o s d e d i b u j o .

G ) E l s i g u i e n t e p a s o s e r á l o c a l i z a r u n n u d o d e l q u e d e s c o n o z c a m o s e l

v a l o r d e d o s d e l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n s o b r e é l , e n n u e s t r o c a s o a

a u n q u e e s t á e l n u d o 5 t o m a m o s e l n u d o 2 p a r a s e g u i r u n o r d e n , d e j a n d o

T1,2

T1,3R3

RB P4

P3

R5

R4

RA

RP2

R2

P1R1

O

Línea de cierre

P1

1A

RALínea de cierre

R1

R2

R

R3

2

3

R5

R4

B

RB

5

P4

P3

4P2




e l n u d o 5 p a r a e l f i n a l , e l c u a l , n o s s e r v i r á d e c o m p r o b a c i ó n d e l a

c o r r e c c i ó n d e l c á l c u l o .

G ) D e l n u d o 2 c o n o c e m o s l a t e n s i ó n d e l a b a r r a b 1 , 2 , y l a c o m p o n e n t e P 2 ,

y d e s c o n o c e m o s l a s t e n s i o n e s T 2 , 3 y T 2 , 4 d e l a s b a r r a s b 2 , 3 y b 2 , 4 . ,

p o r l o c u a l , e l a r c o a t r a z a r e n e l P F p a r t i r á d e l a b a r r a b 1 , 2 y

t e r m i n a r a e n l a b 2 , 3 .

H ) E n n u e s t r o c a s o , y y a e n e l P D F , p a r t i r e m o s d e l a f i j o ( l u g a r d e l a

f l e c h a ) d e l v e c t o r T 1 , 2 , l l e g a r e m o s a l o r i g e n d e P 2 , q u e r e c o r r e r e m o s

v e r t i c a l m e n t e y h a c í a a b a j o . P o r e l a f i j o d e P 2 t r a z a m o s u n a p a r a l e l a a

l a b a r r a b 2 , 4 , y p o r e l a f i j o d e T 1 , 2 u n a p a r a l e l a a b 2 , 3 h a s t a c o r t a r a

l a p a r a l e l a a n t e r i o r . V o l v i e n d o a r e a l i z a r e l r e c o r r i d o e n e l P D F , e n e l

s e n t i d o i n d i c a d o p o r e l a r c o d e l P F , i n d i c a m o s e l s e n t i d o d e l a s

t e n s i o n e s T 2 , 4 y T 2 , 3 , c o m p r o b a n d o q u e e l p o l í g o n o s e h a c e r r a d o .

I ) D e l a m i s m a f o r m a o p e r e m o s c o n l o s n u d o s r e s t a n t e s h a s t a l l e g a r a l

n u d o 5 q u e n o s s e r v i r á c o m o c o m p r o b a c i ó n d e l o s t r a z a d o s a n t e r i o r e s .

N o t a : C u a n d o h a b l a m o s d e t e n s i ó n e n l a b a r r a b 1 , 2 y l a i n d i c a m o s c o m o

T 1 , 2 , e s t á t e n s i ó n e s t á m i r a d a d e s d e e l n u d o 1 ; s i m i r á r a m o s l a t e n s i ó n d e

e s a m i s m a b a r r a d e s d e e l n u d o 2 , l a t e n s i ó n s e r í a T 2 , 1 q u e t e n d r í a e l

m i s m o v a l o r q u e T 1 , 2 , p e r o s e r í a d e s e n t i d o c o n t r a r i o , e s d e c i r :

T 1 , 2 = - T 2 , 1

e s t o m i s m o s e c u m p l e p a r a c u a l q u i e r o t r a b a r r a .

F i n a l m e n t e e l d i b u j o q u e d a r í a c o m o s e i n d i c a e n l a s i g u i e n t e f i g u r a .




GRUPO I.E.S ANDRÉS DE VANDELVIRA

ALBACETE

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍAJ.Garrigós D 1º BCH Segunda

1cm/100 kg

ALBERTO CURSO EVALUACIÓN

FECHA ESCALACÁLCULO DE UNA ESTRUCTURA POR EL

MÉTODO DE CREMONA26/12/2009

- Barra 1-2 compresión 523.8 kg- Barra 1-3 tracción 463 kg- Barra 2-3 compresión 503,9 kg

ESCALA 1 cm ¦ 100 kg

- Barra 3-4 tracción 194,4 kg- Barra 2-4 compresión 245,6 kg- Barra 3-5 compresión 161,6 kg- Barra 4-5 compesión 264.5 kg- Reacción en el apoyo A RA 328,5 kg- Reacción en el apoyo B RB - 421,5 kg




P a r a s a b e r s i l a s b a r r a s e s t á n s o m e t i d a s a c o m p r e s i ó n o t r a c c i ó n

a d o p t a r e m o s l a s i g u i e n t e r e g l a :

S i l a t e n s i ó n e n t r a a l n u d o , l a b a r r a e s t a r á s o m e t i d a a c o m p r e s i ó n

y l a m a r c a r e m o s c o n e l s i g n o .

S i l a t e n s i ó n s a l e d e l n u d o , l a b a r r a e s t a r á s o m e t i d a a t r a c c i ó n , y

l a m a r c a r e m o s c o n e l s i g n o .

E j e m p l o . S i e s t a m o s e n e l n u d o 1 d e l a e s t r u c t u r a , o b s e r v a m o s e n e l P D F

q u e l a t e n s i ó n d e l a b a r r a T 1 , 2 e n t r a r í a a l n u d o p o r l a b a r r a b 1 , 2 , p o r l o

c u a l , l a b a r r a e s t a r á s o m e t i d a a c o m p r e s i ó n .

S i e s t a m o s e n e l n u d o 3 d e l a e s t r u c t u r a , o b s e r v a m o s q u e l a t e n s i ó n

T 3 , 4 d e l a b a r r a b 3 , 4 i r í a c o n l a d i r e c c i ó n d e l a b a r r a s a l i e n d o d e l n u d o

s e g ú n s e i n d i c a e n e l P D F , p o r l o c u a l , d i r e m o s q u e e s t a b a r r a e s t á

s o m e t i d a a t r a c c i ó n .

E n e s t e p u n t o , t a n s o l o q u e d a s a b e r e l v a l o r d e l a s t e n s i o n e s d e l a s

b a r r a s , l o c u a l s a b r e m o s d i b u j a n d o e l P D F a e s c a l a , e n n u e s t r o c a s o

a d o p t a r e m o s u n a e s c a l a d e 1 c m = 1 0 0 k g1, c o n l o c u a l b a s t a r á m e d i r e l

v a l o r d e l a s t e n s i o n e s y a p l i c a r l e s l a e s c a l a a d o p t a d a p a r a o b t e n e r e l v a l o r

d e l a t e n s i ó n d e l a s d i s t i n t a s b a r r a s d e l a e s t r u c t u r a .

P o r l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l o s m é t o d o s g r á f i c o s , e s m u y i m p o r t a n t e l a

e x a c t i t u d d e l d i b u j o , d a d o q u e u n p e q u e ñ o e r r o r d e t r a z a d o i m p l i c a a c u m u l a r u n

g r a n e r r o r e n e l n u d o f i n a l , d a n d o l a i m p r e s i ó n q u e e l p r o c e s o e s t á m a l

r e a l i z a d o , c u a n d o e l e r r o r s o l o e s d e b i d o a l t r a z a d o .

1 E n l o s d i b u j o s a n t e r i o r e s n o s e c u m p l e l a e s c a l a 1 c m = 1 0 0 k g , a l h a b e r s i d o

d e s f o r m a d o s p o r l a n e c e s i d a d d e l t r a t a m i e n t o d e i m á g e n e s e n u n p r o c e s a d o r d e t e x t o s .




4 . 2 . C ÁL C U L O D E E S T R U C T U R AS P O R E L M É T O D O G R ÁF I C O D E C U L M AN P e r t e n e c e a l m é t o d o g e n e r a l d e l a s s e c c i o n e s m u y u t i l i z a d o e n M e c á n i c a

A p l i c a d a . S e b a s a e n p r a c t i c a r u n c o r t e i m a g i n a r i o e n l a e s t r u c t u r a y

e s t a b l e c e r a c o n t i n u a c i ó n l a s c o n d i c i o n e s d e e q u i l i b r i o d e c a d a u n a d e l a s

p a r t e s e n q u e s e h a d i v i d i d o e l c o n j u n t o .

P a r a d e t e r m i n a r e l e s f u e r z o e n l a s b a r r a s p , q y r d e l a f i g u r a , e n

p r i m e r t é r m i n o s e c a l c u l a n l a s r e a c c i o n e s e n l o s a p o y o s m e d i a n t e e l

p r o c e d i m i e n t o y a c o n o c i d o .

C o n t i n u a m o s h a c i e n d o u n c o r t e i m a g i n a r i o C C ’ q u e c o m p r e n d a l a s b a r r a s

o b j e t o d e e s t u d i o . L a s t e n s i o n e s ( f u e r z a s ) i n t e r i o r e s d e l a s b a r r a s , q u e

d e s i g n a r e m o s p o r RyQPRyQP ,, d e b e r á n e s t a r e n e q u i l i b r i o c o n c a d a

u n a d e l a s p a r t e s e n q u e s e h a d i v i d i d o l a a r m a d u r a . D i c h a s t e n s i o n e s s ó l o

e s p o s i b l e q u e a c t ú e n e n l a s d i r e c c i o n e s d e l a s b a r r a s , y a q u e d e o t r a

m a n e r a h a r í a n g i r a r a é s t a s , p o r l o c u a l t a l e s e s f u e r z o s s ó l o p o d r á n s e r d e

t r a c c i ó n o c o m p r e s i ó n .

P1

P2

P3

P4

P5

RA

R1

R2

R3

R4

R5

R6

P1

P2

P3

P4

P5

R

O

R1

R2R3 R4

R5

R6

RB

RA

Línea de cierre

C

C'

p

q

r

RB




S e g u i d a m e n t e e s t a b l e c e m o s l a r e s u l t a n t e Fi d e l a s f u e r z a s q u e o b r a n a

u n o d e l o s l a d o s d e l c o r t e ( e n n u e s t r o c a s o a d o p t a r e m o s e l l a d o

i z q u i e r d o ) , i n c l u y e n d o l a r e a c c i ó n e n e l a p o y o R A . FiPPRA 21 . L a

f u e r z a c a l c u l a d a p a s a r á p o r l a i n t e r s e c c i ó n d e R 3 c o n l a l í n e a d e c i e r r e

d e l P F ( p u n t o C )

Ú n i c a m e n t e n o s q u e d a d e s c o m p o n e r l a f u e r z a F i e n t r e s f u e r z a s P , Q y

R q u e l a e q u i l i b r e n y e s t é n e n l a s b a r r a s p , q y r ( m é t o d o d e C u l m a n ) . E l

p r o c e d i m i e n t o e s e l s i g u i e n t e :

1 . P r o l o n g a m o s l a d i r e c c i ó n d e u n a d e l a s b a r r a s h a s t a q u e c o r t e a l a

l í n e a d e a c c i ó n d e F i ( p u n t o D ) .

2 . U n i m o s D c o n e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s b a r r a s p y q ( p u n t o E ) .

3 . T r a z a m o s e n e l P D F p a r a l e l a s a D E y D F , o b t e n i é n d o s e l a s f u e r z a s

XyR ( X e s u n a f u e r z a a u x i l i a r d e c o n s t r u c c i ó n s u m a d e )QyP .

S e h a d e c u m p l i r :

4 . L a f u e r z a

X

c a l c u l a d a

s e

d e s c o m p o

n e e n l a s

d i r e c c i o n e

s d e l a s

b a r r a s p y

q ,

e n c o n t r á n

d o s e l a s

t e n s i o n e s

P1

P2

P3

P4

P5

RA

RB

R

R1

R2

R3 R4R5

R6

C

C'

P

Q

RFi

C

D

E

F

p

qr

X

cerrado) polígono un forman,,.( RyXFiAsíteequilibranlaesFiiFXR




QyP . QPX

O b s e r v e q u e 021 RQPPPRA

, e s t o e s , e l s i s t e m a d e f u e r z a s d e

l a i z q u i e r d a e s t á e q u i l i b r a d o p o r l a s t e n s i o n e s d e l a s b a r r a s p o r d o n d e

s e h a e f e c t u a d o e l c o r t e .

T a l y c o m o s e h a c o n s i d e r a d o e n e l p r o b l e m a , u t i l i z á n d o s e e l s i s t e m a d e

f u e r z a s d e l l a d o i z q u i e r d o d e l a a r m a d u r a , s i l a s t e n s i o n e s e n c o n t r a d a s s e

d i r i g e n h a c i a e l n u d o s i t u a d o a l a i z q u i e r d a d e l c o r t e , l o s e s f u e r z o s s o n

d e c o m p r e s i ó n , e n t a n t o q u e s i s e d i r i g e n h a c i a e l n u d o s i t u a d o a l a

d e r e c h a d e l c o r t e e s d e t r a c c i ó n . E n e s t e e j e m p l o l a s t e n s i o n e s Q y R s o n

d e t r a c c i ó n y P e s d e c o m p r e s i ó n .

P1

P2

P3

P4

P5

RA

RB

R1

R2

R3

R4

R5

R6

P1

P2

P3

P4

P5R

O

R1

R2R3 R4

R5

R6

RB

RA

Línea de cierre

C

C'

P

Q

R

Fi

Fi

R

X

Q P

MÉTODO DE CULMAN:

Si las tensiones se dirigen hacia el

nudo situado a la izquierda del corte

COMPRESIÓN.

En sentido contrario TRACCIÓN.

C

D

E

F

p

qr




4 . 3 . C ÁL C U L O D E E S T R U C T U R AS P O R E L M É T O D O G R ÁF I C O D E R I T T E R .

S e a u n a e s t r u c t u r a r e t i c u l a r p l a n a s o b r e l a q u e a c t ú a n l a f u e r z a s

65,4,3,2,1 PyPPPPP , e n l a c u a l d e s e a m o s e n c o n t r a r e l e s f u e r z o a q u e

e s t á s o m e t i d a l a b a r r a b 2 5 , e s t o e s , l a b a r r a q u e u n e l o s p u n t o s 2 y 5 . P a r a

e l l o , s e a p l i c a u n c o r t e C C ’ , d e m a n e r a q u e d i c h o c o r t e p a s e p o r l a b a r r a

q u e s e p r e t e n d e c a l c u l a r . D a d o q u e l a e s t r u c t u r a e s t á e s t á t i c a , l a s d o s

p a r t e s e n q u e l a d i v i d i m o s , a t r a v é s d e l c o r t e C C ’ , t e n d r á n q u e e s t a r e n

e q u i l i b r i o c o n l a s t e n s i o n e s T 2 4 , T 2 5 y T 3 5 ( s i t o m a m o s l a p a r t e i z q u i e r d a

d e l a s e c c i ó n ) , o T 4 2 , T 5 2 y T 5 3 ( s i s e t o m a l a p a r t e d e l a d e r e c h a ) . S e g ú n

e s t o , s i c o n s i d e r a m o s e l t r a m o d e l a p a r t e i z q u i e r d a , p a r a d e t e r m i n a r T 2 5 ,

b a s t a r á t o m a r m o m e n t o s r e s p e c t o a l p u n t o K ( p u n t o d o n d e s e c o r t a n l a s

r e c t a s q u e p a s a n p o r l a s b a r r a s b 2 4 y b 3 5 ) , d e t o d a s l a s f u e r z a s e x t e r i o r e s

e i n t e r i o r e s q u e o b r a n a l a i z q u i e r d a d e l a s e c c i ó n C C ’ , n o o l v i d a r i n c l u i r

l a r e a c c i ó n e n l e a p o y o R A . S e h a t o m a d o e l p u n t o K c o m o c e n t r o d e

m o m e n t o s p o r q u e a l c o n c u r r i r e n é l l a s b a r r a s b 2 4 y b 3 5 , l a s t e n s i o n e s d e

e s t a s b a r r a s r e s p e c t o a e s t e p u n t o e s c e r o ( M = A B s e n = 0 y a q u e e l

s e n = 0 p o r p a s a r l a s f u e r z a s p o r e l p u n t o K ) .

S u p o n d r e m o s i n i c i a l m e n t e q u e t o d a s l a s t e n s i o n e s e n l a s b a r r a s s o n

d e t r a c c i ó n , e s d e c i r , s e a l e j a n d e l o s n u d o s 2 y 3 . P o r o t r o l a d o , s e a M K

e l m o m e n t o r e s u l t a n t e d e R A , P 1 y P 2 c o n r e l a c i ó n a K , c u y o s i g n o e s e l

i n d i c a d o p o r l a f i g u r a . C o m o e l M h a d e s e r c e r o c o n r e s p e c t o a l p u n t o K ,

s e v e r i f i c a :

0* 2525 KK dTM

D e d o n d e s e c a l c u l a l a t e n s i ó n T 2 5 , m i d i e n d o d 2 5 c o n l a e s c a l a d e

l o n g i t u d e s y d e t e r m i n a n d o M K p o r l a e x p r e s i ó n :

KpKpKAAK dPdPdRM 21 *2*1*




S i l a t e n s i ó n a d e t e r m i n a r h u b i e s e s i d o T 2 4 e l c e n t r o d e m o m e n t o s l o

t o m a r í a m o s e n e l p u n t o 5 ( d o n d e s e c o r t a n l a s o t r a s d o s b a r r a s d e l a

s e c c i ó n t o m a d a ) . A s í s i M 5 e s e l m o m e n t o r e s u l t a n t e d e l a s f u e r z a s R A , P 1

y P 2 e n r e l a c i ó n a l p u n t o 5 , t e n d r e m o s l a s e x p r e s i o n e s :

0*

*2*1*

524245

525155

dTM

dPdPdRM ppRAA

c o n l o q u e c a l c u l a m o s l a t e n s i ó n T 2 4 .

P a r a e l c á l c u l o d e T 3 5 p r o c e d e r í a m o s d e f o r m a s i m i l a r . T o m a n d o e l

p u n t o 2 c o m o c e n t r o d e m o m e n t o s l a s e x p r e s i o n e s s e r í a n l a s s i g u i e n t e s :

0*

*2*1*

235352

222152

dTM

dPdPdRM ppRAA

D a d o q u e l o s s e n t i d o s d e l a s b a r r a s s e e l i g i e r o n a r b i t r a r i a m e n t e ,

d e b e t e n e r s e e n c u e n t a q u e s i r e s u l t a s e n p o s i t i v a s h a n s i d o

p r e e s t a b l e c i d a s c o r r e c t a m e n t e ( y s e r í a n d e t r a c c i ó n c o m o s e s u p u s o

T24

T25

T35

d

25-K

dRA-5

MK

0




1

2

3

4

5

6

7

8

9

P1

P2 P3

P4RA

C

C'

L1 L2 L3 L4

A

i n i c i a l m e n t e ) , p e r o s i f u e s e n n e g a t i v a s h a b r í a d e i n v e r t i r s e l a t e n s i ó n , t a l

e s e l c a s o d e l a T 2 4

E l m é t o d o d e R i t t e r e s u n a c o m b i n a c i ó n d e u n m é t o d o g r á f i c o y

a n a l í t i c o p o r c o m b i n a r a m b o s r e c u r s o s . E s e s p e c i a l m e n t e r e c o m e n d a b l e

p a r a l a c o m p r o b a c i ó n d e l a t e n s i ó n d e a l g u n a b a r r a , o b j e t o d e e s t u d i o e n

p a r t i c u l a r .

E n e l s u p u e s t o q u e e l c e n t r o d e m o m e n t o s e n l a a p l i c a c i ó n d e l

m é t o d o d e R i t t e r r e s u l t e u n p u n t o i m p r o p i o ; e s t o e s , d o s b a r r a s s e c o r t e n

e n e l i n f i n i t o p o r s e r p a r a l e l a s , l a a p l i c a c i ó n d e e s t e m é t o d o r e s u l t a m á s

s e n c i l l a .

S e a u n a j á c e n a c o n u n s i s t e m a d e c a r g a s c o m o e l q u e s e i n d i c a e n

l a f i g u r a .

S e p r e n d e e n c o n t r a r l a t e n s i ó n e n l a b a r r a 7 , 8 ( T 7 8 ) y e l c e n t r o d e

m o m e n t o s O , e s d e c i r l a i n t e r s e c c i ó n d e l a s b a r r a s b 6 8 y b 7 9 , s e e n c u e n t r a

e n e l i n f i n i t o . P a r a a b o r d a r e s t e p r o b l e m a i m a g i n a r e m o s , a u n a e s c a l a

a d e c u a d a , q u e e l p u n t o i n e l i n f i n i t o f u e s e O c o n l a b a r r a b 7 8 i n c l i n a d a u n

á n g u l o α y l a s c a r g a s P i ( i = 1 , 2 , 3 … ) f o r m a n d o á n g u l o s α i ( i = 1 , 2 , 3 , … ) c o n

r e l a c i ó n a l a r e c t a d e l i n f i n i t o O A . S i s e c o n s i d e r a l a f i g u r a s i g u i e n t e y s e

t o m a n m o m e n t o s e n r e l a c i ó n a O , r e s u l t a :




senLLLLXd

senLLLXd

senLLXd

senLXd

senXd

siendo

dTdPdPdPdR

AA

AA

*)4321(

*)321(

*)21(

*)1(

*

:

0*****

78

33

22

11

7878332211

S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s d e l a s d i s t a n c i a s d e l a s f u e r z a s e n l a

e x p r e s i ó n d e l o s m o m e n t o s y , c o n s i d e r a n d o q u e X t e n e m o s :

P1

P2 P3

P4RA

C

L1 L2 L3 L4

T78

CAO

X

dA

d1

d2

d3

d78

senLLLLX

senXRsenLLLXPsenLLXPsenLXPT AA

X *4321

**3*321*32*21*21*1*1lim78




C o m o d e l a s u s t i t u c i ó n d i r e c t a s e o b t i e n e l a i n d e t e r m i n a c i ó n / s e

a p l i c a l a r e g l a d e L ’ H ô p i t a l ()('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf )

L a e c u a c i ó n a n t e r i o r m u e s t r a q u e l a

s u m a d e c o m p o n e n t e s s e g ú n e l e j e Y

( p e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c c i ó n d e l i n f i n i t o )

d e b e a n u l a r s e . E s t o p e r m i t e , p a r a e s t e

c a s o p a r t i c u l a r , s i m p l i f i c a r e l m é t o d o

o b t e n i é n d o s e T 7 8 g r á f i c a m e n t e m e d i a n t e

l a c o n s t r u c c i ó n r e a l i z a d a e n l a f i g u r a . S e

i n i c i a l l e v a n d o t o d a s l a s f u e r z a s q u e

a c t ú a n a l a i z q u i e r d a d e l a s e c c i ó n C C ’ y

c o n s t r u y e n d o p o r M u n a p a r a l e l a a l a b a r r a

b 7 8 q u e i n t e r c e p t a a l e j e X t r a z a d o p o r e l

o r i g e n d e R A . L a t e n s i ó n b u s c a d a e s l a

c o m p o n e n t e M Q , c u y o m ó d u l o e s T 7 8 t i e n e

s e n t i d o c o n t r a r i o a l q u e s e h a b í a s u p u e s t o

p o r d i r i g i r s e h a c i a e l c o r t e , e s u n a t e n s i ó n d e c o m p r e s i ó n .

sen

senRsenPsenPsenPT AA

X

*3*32*21*1lim78

P1

P2

P3

RA

T78

Y

X

M

Q

N

T78*se

n




ANEXO A: UNI D ADES DE FUERZ A

C o m o e s s a b i d o l a e c u a c i ó n f u n d a m e n t a l d e l l a d i n á m i c a i n d i c a q u e :

amF *

L a f u e r z a e s i g u a l a l a m a s a p o r l a a c e l e r a c i ó n .

E n e l S i s t e m a I n t e r n a c i o n a l ( S . I ) l a u n i d a d d e f u e r z a e s e l N e w t o n

( N ) , q u e s e d e f i n e c o m o l a f u e r z a q u e a p l i c a d a a u n k i l o g r a m o d e m a s a , l e

c o m u n i c a u n a a c e l e r a c i ó n d e u n m e t r o p o r s e g u n d o c a d a s e g u n d o :

1 N = 1 k g * 1 m / s2

E n e l S i s t e m a T é c n i c o l a u n i d a d d e f u e r z a e s e l k i l o g r a m o - f u e r z a ,

k g f , o k i l o p o n d i o , k p . H a y q u e r e c o r d a r q u e l a u n i d a d d e m a s a e n e l

S i s t e m a T é c n i c o e s l a u n i d a d t é c n i c a d e m a s a , u . t . m . e q u i v a l e n t e a 9 , 8

k g d e m a s a . D e e s t e m o d o , s e d e f i n e e l k i l o g r a m o - f u e r z a , k g f , o

k i l o p o n d i o , k p , c o m o l a f u e r z a a p l i c a d a a u n a u n i d a d t é c n i c a d e m a s a q u e

l e c o m u n i c a u n a a c e l e r a c i ó n d e u n m e t r o p o r s e g u n d o c a d a s e g u n d o

1 k g f = 1 k p = 1 u . t . m . * 1 m / s2

E n i n g e n i e r í a e s c o m ú n h a b l a r d e f u e r z a s o c a r g a s d a d a s e n k g ,

c u a n d o c o r r e c t a m e n t e s e d e b i e r a d a r e n k g f , e s t o e s d e b i d o a q u e s e h a c e

l a s i g u i e n t e a s o c i a c i ó n q u e r e s u l t a m u c h o m á s t a n g i b l e :

Ns

mkg

s

mmtukgf

s

mkgN

8,91*8,91*...11

1*11

22

2

S a b e m o s q u e l a a c e l e r a c i ó n t e r r e s t r e e s a = 9 , 8 m / s2, p o r t a n t o , u n k g

d e m a s a s o m e t i d o a l a a c e l e r a c i ó n p r o v o c a d a p o r l a g r a v e d a d t e r r e s t r e

e j e r c e r í a u n a f u e r z a d e :

kgfNs

mkgamF 18,98,9*1;*

2




D e a h í , q u e s e d e f i n a e l k i l o g r a m o - f u e r z a , k g f , c o m o l a f u e r z a

e j e r c i d a p o r u n a m a s a d e 1 k g s o m e t i d a a l a g r a v e d a d t e r r e s t r e .

PROBLEM AS

1 ª ) D a d a l a e s t r u c t u r a r e t i c u l a r d e l a f i g u r a , d o n d e P 1 = P 2 = P 3 = P 4 =

P 5 = 1 0 0 0 k g f , c a l c u l e p o r e l m é t o d o d e C u l m a n l a s t e n s i o n e s T 4 6 , T 5 6 y T 5 7

2 ª ) C a l c u l a r p a r a l a e s t r u c t u r a a n t e r i o r , l a t e n s i ó n d e l a b a r r a b 1 2 , p o r e l

m é t o d o d e R i t t e r .

3 ª ) A p l i c a n d o e l m é t o d o d e C r e m o n a , d e t e r m i n e l a t e n s i ó n e n t o d a s l a s

b a r r a s d e l a s e s t r u c t u r a d e l p r o b l e m a 1 .

4 ª ) L a a r m a d u r a d e P o l o n c e a u s i m p l e d e l a f i g u r a e s t á s o m e t i d a a l o s

e s f u e r z o s P 1 = P 5 = 5 0 0 k g f y P 2 = P 3 = P 4 = 1 0 0 0 k g f . C a l c u l e l a s t e n s i o n e s e n

t o d a s l a s b a r r a s a p l i c a n d o e l m é t o d o d e C r e m o n a .

2000 2000 2000 2000 2000 2000

35°

25°

70°

54°20°

1

2

3 5 7

9

11

10

84

6P1

P2

P3

P4

P5




ª ) C a l c u l e p o r e l m é t o d o d e R i t t e r l a t e n s i ó n d e l a b a r r a b 3 4 , e i n d i q u e a

q u e t i p o d e e s f u e r z o e s t á s o m e t i d a .

6 ª ) C a l c u l e p o r e l m é t o d o d e C u l m a n l a s t e n s i o n e s e n l a s b a r r a s b 2 4 , b 3 4 y

b 3 5 e i n d i q u e e l t i p o d e e s f u e r z o s a q u e e s t á n s o m e t i d a s .

7 ª ) E l c u c h i l l o d e a r m a d u r a t i p o b e l g a d e l a s i g u i e n t e f i g u r a e s s i m é t r i c o y

t i e n e 1 5 m d e l u z . L a s c a r g a s v e r t i c a l e s q u e s o p o r t a n l o s n u d o s s o n d e

1 2 5 0 k g f p a r a P 1 y P 2 y d e 2 5 0 0 k g f p a r a l a s r e s t a n t e s . C a l c u l e l o s

e s f u e r z o s d e l a s b a r r a s b 3 4 , b 5 6 y b 1 2 .

1

15°

15°

P1

P2

P3

P4

P5

5000

2000

2

4

6

753

1

a

a 40

00

2000 10

00

15000

2

4

6

8

10

11975

3

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7




150015001500

7

1800

A

B

5

C

2

3 1

4

6

P1

P2

P3

P4

8 ª ) C a l c u l a s l a s t e n s i o n e s d e t o d a s l a s b a r r a s , d e l a e s t r u c t u r a d e l

p r o b l e m a 7 , p o r e l m é t o d o d e c r e m o n a

9 ª ) U n a v i g a - j á c e n a d e u n p u e n t e e s t á f o r m a d a p o r s e i s r e c u a d r o s d e l a d o s

p a r a l e l o s , s e g ú n s e m u e s t r a e n l a s i g u i e n t e f i g u r a . E n c a d a u n o d e l o s

n u d o s 4 , 6 , 8 , 1 0 y 1 2 a c t ú a u n a c a r g a d e 4 0 0 0 k g f y e n l o s n u d o s

e x t r e m o s l a c a r g a s s o n P 1 = P 7 = 2 0 0 0 k g f . C a l c u l e l o s e s f u e r z o s e n l a s

b a r r a s b 2 3 , b 4 5 y b 6 7 y l a t e n s i ó n T 1 3 .

1 0 ª ) D a d a l a m é n s u l a d e l a f i g u r a q u e s o p o r t a l a s c a r g a s kgfPP 50041 y

NPP 81,9*100032 , d o n d e a = 1 , 5 m . L a f i j a c i ó n d e l a m é n s u l a e n e l p u n t o

B s e h a c e m e d i a n t e l a b a r r a C B . C a l c u l e l o s e s f u e r z o s d e c a d a u n a d e l a s

b a r r a s y l a s r e a c c i o n e s BA RyR .

1

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

2

3

4

2500 2500 2500 2500 2500 2500

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2500

p2 4 r3 r4 r1 r5 r p3 -...

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