oue grupoides?
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OUE GRUPOIDES?'
por José L. Viviente Mateu
Esta nota pretende Ilamar la atención sobre la importancia que la noción de
grupoide juega hoy en diversas áreas de la matemática y, particularmente, en
aquellas relacionadas con la teoría de las foliaciones. En este sentido precisa y
actualiza el interesante y general survey de R. Brown de 1987 [1], en algunas
cuestiones ligadas al estudio de la teoría de foliaciones. Recordemos que un
grupoide consta de:
1 Dos conjuntos G y Go, Ilamados el grupoide y su base. Estos últimos
designados a veces ObG. y cuyos elementos se dicen flechas y objetos
respectivamente.
CL-->
29 Un diagrama de morfismos G x G G Go donde G x G = ((x, y)G o --> Go
e G x G18(y) = r3(x)) con a, [3, morfismos dichos fuente y meta
respectivamente, E: Go —> G la inclusión que a un objeto asocia la flecha
identidad o unidad en x, e(x) = y una multiplicación parcial
m: G x G --> G tal que:Go
a (yx) = a (x) , (y x) = (y) ,Vx,V y c G
ii) z (yx) .(zy)x, Vx,VzeG tales que a (z) =j3 (y) A a (y) = (x)
iii) a (Z-.)=f3(i)=VxEG
iv) x a (x) = x,[1.1r,c) x = x, VxeG
v) cada x E G posee un inverso bilátero tal que
- - •-••n0 a (x 1 ) = (x), (x 1 ) = a (x), x-1 x= a (x), x x-1 = (x).
morfismos que serán, topológicos o diferenciales seg ŭ n la categoría en que
operemos. Como señala Mackenzie [ 8 1 'El concepto de grupoide es uno de los
• 1980 AMS CLASSIFICATION: 18B40, 18F05, 18F10, 20L15.
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medios por los que el siglo XX reclama el original dominio de la aplicación del
concepto de grupo. El moderno y riguroso concepto de grupo es demasiado
restrictivo para el campo de aplicaciones geométricas considerado en la obra de
Lie".
Parece ser que el concepto algebraíco de grupoide fué introducido en
algebra por Brandt en 1926 - al menos aquel de grupoide transitivo - al querer
extender la teoría aritmética de ideales del anillo de los enteros algebraícos al
caso no conmutativo, obra que, más tarde, ha sido generalizada por Joyal y
Tierney sobre los topos de Grothendieck, dado que todo topo es equivalente a uno
de la forma BG para G un grupo topológico, siempre que se trabaje con una noción
de espacio topológico ligeramente modificada, tomando el retículo de los
conjuntos abiertos como la noción primitiva en lugar de la de conjunto de puntos.
Donde con BG, como de constumbre, se designa la categoría de los G- conjuntos
(conjuntos provistos de una G-acción) que clasifica a los fibrados principales
sobre un espacio topológico X, que se sustituye por la red de sus abiertos. Hecho
que sigue siendo válido para G un grupoide sobre X.
La noción algebraíca de grupoide aparece por primera vez tratada de modo
sistemático con la obra de P. J. Higgins en 1971 [ 7 ] desarrollando la idea que
relaciona el concepto introducido por Brandt en -1926.- con el de categoría
introducido por Eilenberg MacLane en 1945 [ 5 ]. Y, en efecto, se observa que los
elementos inversibles de toda categoría pequeña constituyen un , grupoide, es
decir, que, ccmo señala Higgins, "un grupoide es unacategoría en que cada
morfismo es un isomorfismo".
Conviene insistir en la observacián de R. Brown sobre el hecho de que la
noción de grupoide, a diferencia de otras generalizaciones del concepto del grupo
(monoide, semigrupo, etc), presenta análogas motivaciones que la de grupo como
pueden ser las combinatorias, las simetrías de la Física o la del grupo de Poincaré,
que determinan los "grupoides de simetrías o 'grupoides de referencias"
introducidos por Ehresmann en el tratamiento de los espacios fibrados, o la de
"grupoide fundamental " que permitió a R. Brown, establecer la más general y
elegante demostración del teorema de Van Kampen.
La idea de Brandt pasá casi inadvertida, en cuanto a su utilidad en otras
áreas de la matemática, hasta que en la década de los 50 C. Ehresmann, [ 4 1, la
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extendió al tratarniento de la teoría de los espacios fibrados considerando la
acción del grupoide estructural de los isomorfismos de fibra sobre fibra. Dado unfibrado principal n (P, p, B, G) construye el grupoide
G(P) = G\ (P P)
dicho "grupoide de simetrías" o de las referencias de n, que es diferenciable
(transitivo, localmente trivial) de base B, que opera también diferenciablemente
segúnq: G (P) x P—>P
acción que, como construcción, Ehresmann caracteriza por un funtor diferenciable.
El mismo Ehresmann introdujo el concepto de grupoide en la teoría de Jets, en el
tratamiento de las conexiones de orden superior, en la teoría de foliaciones(especialmente desarrollada por Haefliger sobre el grupoide Fq de los gérmenes
de difeormorfismos locales de IR determinando los espacios clasificantes Brzi
para las foliaciones de codimensión q , y más generalmente para las r-
estructuras donde r- es el grupoide de los gérmenes de los elementos de un
pseudo - grupo.4Jna sintesis de las ideas de Ehresmann, durante este periodo nos
la ofrece su publicación "Gatungeen von Localen Structures de 1957 y que fué
objeto de estudio en la primera parte de su seminario "Especes de Structures
Locales, Elargissements de Categories" del curso 1960/61, en donde se jntroduce
el grupoide determinado por la acción de un grupo G sobre un conjunto B que
Brown propone denominar grupoide producto semi-director y que Pradines
denomina 'grupoide actor" y Mackenzie "grupoide acción"; este grupoide tienecomo elementos los pares (x,y)e BxGy los morfismos:
fuente cc= pr i : B x G—> B
meta t3 = acción: B x G —>B
La aplicación inclusión
e:B—>BxG
envía x en (x,1) mientras que la multiplicación parcial m: G x B G G está así
solo definida entre (y, g 2) y ( x, g i ) si y solo si cc ( y, g 2 ) = y =13 (x,g i ) = x g/.
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GRUPOIDES Y FOLIACIONES
Sin embargo, el desarrollo geométrico-estructural fué precisado por Pradinesdesde 1966 al saber evidenciar la flexibillidad y potencia operativa conceptual queposee tal noción, principalmente para el tratamiento de los problemas planteadospor el estudio del espacio de hojas de una foliación pues en ellos resulta ser degran utilidad la consideración de la estructura de grupoide asociado a la relaciónde equivalencia o una extensión de su grafo.
Dada una relación de equivalencia si R es su grafo las dos proyeccionespasan a jugar el papel de aplicaciones fuente y meta a, p: M mientras que lacomposición m: R x R —> R, viene dada por la composición de pares (z, y2) (y i , x)
tales que
R x = Y1 = Y2 (z, Y2 )
En particular en el caso de ser R definida por una foliación, ello nosdeterminará el grupoide de holonomía H ó grafo de F, que es el utilizado por A.Connes para, introduciendo una medida transversa sobre Q = M/F y unarepresentación del grupoide de holonomía, considerar l adecuada.,álgebra deconvolución y correspondiente C* - álgebra con que desarrolla su--"teoría noconmutativa de la integración » [2]
De hecho el grupoide de holomonía H es un grupoide topológico sobre M,que aparece como espacio de sus unidades u objetos Sus elementos estánrepresentados por los triples (x, c, y ) donde x e y pertenecen a una misma hoja Lde F y c es un camino continuo que une x a y, dos de tales caminos scnequivalentes si determinan la misma holomonía. H resulta una variedad en generalno seperada de dimensión igual a la suma de la dimensidn de M y de la de lashojas. La proyeccción fuente a : H M y meta p H —> M han sido especificadas
ya, así como su composición que determina el camino compuesto. Pero junto aeste concepto, Ehresmann también introdujo aquel de grupoide de holomoníatransverso H T asociado a una transversal completa T, donde T es una variedad dedimensión igual a la codimensión de las hojas, provista de una inmersión j T —> M
transversa a las hojas y cuya imagen encuentra cada hoja al menos una vez (de
ahí el nombre de completa).
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Los elementos de H "r se representan por los triples (y, h, x) donde h es un
camino que une j(x) a j(y), en una hoja, dos caminos son equivalentes si
determinan la misma holomonía. Dicho de otro modo HT es el subespacio de T x Hx T formado de los triples (y, h, x) tales que j(x) = a (h) y j3 (h) j(y) . H T es una
variedad de dimensión igual a la codimensión de F, mientras que las aplicacionesa y f3 son homeomorfismos locales, de modo que H es un grupoide étale sobre
M.
Mediante éste Pradines y Wuafo -Kanga [10c] caracterizan la esctructura
transversa a una foliación en lo que denominan OF-variedad y morfismo entre
ellas. Con este concepto consiguen enriquecer geométricamente la noción de Q-
variedad de Barre (Satake, Matsusaka, Artín....) sin perder la potencia y elegancia
del formalismo categorial, el cohomológico étale particularmente y, por otro lado,
Ilevar este formalismo a la riqueza geométrica de las nociones de F- variedad de
Moliná y de Schema de variedad de Van Est.. Naturalmente ello les exigió
debilitar la noción de equivalencia regular en que se apoya la noción de Q -
variedad , aunque conservando lo esencial en cuanto que esté caracterizado por
propiedades del` grafo que, como hemos visto, conserva este grupoide.
Resulta que una F-variedad se identifica a una clase de equivalencia de
esquemas de Van Est, (variedades provistas de un pseudo-grupo) y define
canónicamente una QF-variedad. Pero dos follages o 'F-variedades distintas
pueden definir la misma OF-variedad. Cumenge (1981) en su tesis determina una
cohomología de una OF-variedad que al considerar la existencia de una
holomonía transversal no nula generaliza la obtenida por Barre, operando sobre
una "cohomología de escalas" calcada de la cohomogía de Cech, como Barre,
pero donde la presencia de la holomonía , no permite construir los productos
fibrados (con que aparecen representados aquí la intersección de abiertos) a partir
de los productos fibrados conjuntistas, lo que le obliga a operar en términos de
diagramas . Establece así un 'teorema de Leray y un "teorema De Rham'. La
construcción explícita de su cohomología de escalas sobre ejemplos de cocientes
de foliaciones cuya holomonía no es trivial le permite constatar que, en estos
casos, contrariamente a la cohomología básica o a la cohomología singular de C.
Godbillón [ 6 1 la cohomología de las escalas hace intervenir la holomonía.
Completando este trabajo, Tapia (1987), en su tesis determina una serie
de invariantes cchomológicos para
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a) espacios de órbitas de la acción pseudo discreta de un grupo dedifeomorfismos de una variedad como los orbifolds de Thurston.
b) Una variedad de Sataké
c) El espacio de hojas de una foliación
El punto esencial de las construcciones se halla aquí en que en la categoríade las QF-variedades, el pseudo grupo de holomonía total se interpreta comoproducto fibrado, lo que se halla a la base de la idea de definir de modo natural un"site" sobre una QF-variedad S, o mejor el topos que él engendra y que Tapiadencmina el topos étale de la QF-variedad S designándolo Set.
En un contexto "puramente topológico" (con lo que entiende nocionesindependientes del anillo estructural natural del topos) mediante representacionesde este topos por otros topos isomorfos (aunque no canónicamente bien que losean los isomorfismos) obtiene una multiplicidad de puntos de vista que favoreceel desarrollo de $los cálculos. Así, si F es un grupo abeliano del topos étale Set.losgrupos de cohomología H (S et, F) aparecen como límite de una sucesión espectral
que generaliza la de una cubierta. (Lo que le aproxima a la cohomologíaequivariante de Grothendieck).
La comparación de la cohomología étale con la del espacio topológicosubyacente, comparación mediante una sucesión espectral de Leray asociada almorfismo de topos
us S et —> S g,,,, donde Squo<=>M/F
o mejor es el topos de sus haces de conjuntos, permite establecer un morfismocanónico en cohomologfa racional
H' (S q„,, Q)r.- H' (Set9).
Realiza también un estudio de invariantes de naturaleza "geométrica";complejo de De Rahm, fibrados vectoriales, etc. que, después medianteinterpretación de estos objetos en los topos isomorfos, comportamiento de estos
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objetos por imagen directa y recíproca, etc. , le facilita el estudio del cuasi -isomorfismo de Poincaré
R —> 1-2*s
mediante la sucesión espectral de Hodge:
E" = H q (s9t9P s ) H F31-ci (Set R)y así definir una cohomología de De Rham
H PDR ( S et ) = EPP2.
Por otra parte, el punto de vista cotangente, mediante una sucesión espectral deLaray, le permite enviar la cohomología de Hodge de S et, en la cohomologíafoliada de la variedad M
( Set, nPs) —> H q (m.bnPF)homoformismo que induce un isomorfismo canónico de la cohomología de DeRham H DR * (SZ) sobre la cohomología básica de la foliación. Finalizando con laobtención de las clases de Chern de Set•
También debemos observar que las Notas de Pradines de 1966 110 a] y 1967[10 b] amplian la intuíción que de los grupos de simetrías. nos proporcionaba lateoría de los grupos y álgebras de Lie. Las propiedades diferenciales de ambasfueron desarrolladas por Almeida y hoy, con la obra de Mackenzie, se posee yauna completa y sistemática exposición de la teoría de los grupoides y algebroidesde Lie transitivos, que ha facilitado su utilización por el físico - matemático (oteórico) particularmente después de la introduccidn, por A. Weinstein - Dazord - del[3] grupoide simpléctico, grupoide que Pradines, en 1988 [10] generaliza alcaracterizarlo conforme a las ideas de Ehresmann sobre categorías estructuradas.Weinstein prosigue el desarrollo de su programa buscando la cuantización de lasvariedades de Poisson mediante 'cuantización* de sus grupcides simplecticosevitando recurrir a la teoría de deformación, hasta hoy utilizada, para pasar de lasvariedades de Poisson a las álgebras no conmutativas de la mecánica cuántica ysus primeros resultados aparecen publicados en [11].
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GRUPOIDES Y TOPOS
El proceso de generalización aplicado por Pradines al grupoide simpléctico
de Weinstein, siguiendo las ideas de Ehresmann sobre categorías estructuradas,
supone considerar un grupoide como objeto interno a una categoría C que, en
particular, puede ser la de los conjuntos.
Como es bien sabido en teoría de topos destacan por su importancia los
grupoides estructurados denominados "grupoides locales", más arriba aludidos y
que aparecen como objetos internos a la categoría de los "locales" (o espacios sin
puntos) categoría que formaliza la categoría de los retículos de conjuntos abiertos
de espacios topológicos y las aplicaciones f 1 inducidas por aplicaciones continuas
f. Como señala Brown en su survey "Para todo topos existe un grupoide local G
tal que es equivalente a la categoría de los espacios etales E, sobre Ob (G)
junto con una acción continua de G sobre E sobre Ob (G). Si el topos posee
suficientes "puntos" (como pasa con la mayoría de los topos que surgen en
geometría algebráica, por ejemplo) G puede de hecho tomarse como un grupo
topológico. Moerdijk demuestra en [9 a] que esta representación de un topos
puede extenderse a aplicaciones de topos, que hace de la , categoría de topos una
categoría de fracciones de una "categoria de locales". Moerdijk en una reciente [9
b 1 publicación, pone en evidencia como en ocasiones es más conveniente trabajar
con topos clasificantes que con espacios clasificantes, y entre las ocasiones en
que esto es así destaca las que se encuentran en el estudio de la teoría defoliaciones; el de las F— estructuras de Haefliger, el grupoide de holomonía o todo
S-atlas de Van Est.
El proceso, como señala Moerdijk, consiste para tales grupoides en construir
su espacio clasificante BG tomando la realización geométrica del nervio N(G), o
bien se considera la categoría F(G) de los haces sobre el espacio simplicial N(G).
En teoría de topos, se estudia un tercer objeto asociado a G, precisamente su
topos clasificante B(G) que es simplemente, la categoría de los G-haces
equivariantes. Moerdijk prueba que para grupoides étales (en particular los
citados) las tres aproximaciones son compatibles.
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BIBLIOGRAFIA
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9 b I. Moerdijk: Classifyinng Toposes and foliations. Ann. Inst. Fournier,
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10 a J. Pradines: Theories de Lie pour les grupoides differentiables relations
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10 b J. Pradines: Calcul differentiel dans la catégorie des groupoidesinfinitesimaux. CRAS Paris Ser A 264 (1967), 245-248
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serie A (1979), 717-720
10 d J.Pradines: Remarques sur le grupoid cotangent de Weinstein-Dazor.
CRAS Paris t. 306, serie I (1988) 557-560.
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J. reine angew. Math. 417 (1991), 159-189.
Zaragoza, Septiembre, 1991
L Vivienb MateuDepartamentodeMat.mattasFacuttadde CiendasUniversidad de Zaragoza5CCO9 Zaragoza (Spain)
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