orientaciones didácticas cuarto grado

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¡Bienvenidos a Matemáticas! cuarto grado

La formación matemática que permite a los individuos enfrentar con éxito los problemas de la vida

cotidiana depende, en gran medida, de los conocimientos adquiridos y de las habilidades y actitudes

desarrolladas durante la Educación Básica. La experiencia que vivan los alumnos al estudiar

matemáticas en la escuela puede traer como consecuencias, el gusto o el rechazo hacia la disciplina, la

creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la

búsqueda de argumentos para validar los resultados o la supeditación de éstos al criterio del docente.

El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el estudio de las

Matemáticas, consiste en utilizar secuencias de situaciones problemáticas que despierten el interés de

los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a

formular argumentos que validen los resultados. Al mismo tiempo, las situaciones planteadas deberán

implicar justamente los conocimientos y las habilidades que se quieren desarrollar.

Este espacio se diseñó con la finalidad principal de acompañar al maestro de grupo en su trabajo diario,

para que mediante un trabajo conjunto que deberá incluir a los directivos escolares, autoridades

educativas, padres de familia y sociedad en general, logremos un cambio cultural que nos permita

mejorar la práctica de enseñar matemáticas y, por ende, la competencia matemática de los alumnos.

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Lo que podrán encontrar en este espacio, son las orientaciones didácticas y los planes de clase que se

sugieren para abordar cada uno de los contenidos de los programas de 1º a 6º grado. Tanto las

orientaciones didácticas como los planes de clase son recursos adicionales a los programas de estudio,

en cuya construcción ha participado un grupo numeroso de asesores técnico pedagógicos de primaria y

secundaria, así como profesores de grupo, coordinados por el equipo técnico de la Dirección General de

Desarrollo Curricular.

No menos importante es la bibliografía y otros recursos didácticos que se podrán consultar en esta

página, con la idea de empoderar a los docentes, es decir, que tengan cada vez más y mejores

elementos, no sólo para analizar y gestionar las secuencias didácticas que se proponen, sino para

enriquecerlas e incluso producir nuevas actividades. Esperamos que disfruten el estudio, que aprendan

a valorar la importante labor que realizan y que vislumbren la formación continua en el hacer cotidiano, a

lo largo de la vida profesional.

Equipo de Matemáticas

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Orientaciones didácticas cuarto grado

Las orientaciones didácticas proporcionan una visión más amplia del contenido que se pretende

estudiar, por ejemplo, la importancia de éste como parte de la matemática básica, sus vínculos con

otros contenidos, el nivel de profundidad que se pretende alcanzar, algunos problemas en los que el

contenido tiene aplicación y, en algunos casos, se mencionan recursos adicionales que se pueden

utilizar para el estudio.

Para efectos del Currículo en línea hemos optado por poner una etiqueta a cada contenido, que se

corresponde con las orientaciones didácticas y con las secuencias didácticas. El primer dígito se refiere

al grado, en orden progresivo de 1 a 9, incluyendo los seis grados de primaria y tres de secundaria. El

segundo dígito corresponde al bloque y el tercero al lugar en el que aparece el contenido en el

programa. Así por ejemplo, el contenido 7.3.2 es el segundo del bloque 3 de primero de secundaria. El

uso de las etiquetas nos ha permitido agilizar la comunicación.

Las secuencias didácticas se desglosan en planes de clase, constituyen una propuesta básica para que

los docentes puedan realizar, cotidianamente, un trabajo planificado, con actividades diseñadas en

función del contenido que se va a estudiar y con intenciones didácticas premeditadas, en las que se

describe el tipo de recursos, ideas o instrumentos que se pretende pongan en juego los alumnos.

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Además, incluyen una reflexión anticipada sobre lo que puede ocurrir durante la gestión de la actividad y

algunos elementos con los que el maestro pueda apoyar a los alumnos en el análisis de lo que éstos

producen.

Los planes de clase NO son recetas para seguir al pie de la letra. Los docentes de grupo que utilicen

estos recursos deben resolverlos y analizarlos previamente para apropiarse de ellos, en caso necesario,

pueden hacer las modificaciones o adecuaciones que consideren pertinentes. La tarea de diseñar

buenos problemas para estudiar matemáticas encierra una gran complejidad y otro tanto la de animar la

discusión para que los alumnos produzcan conocimiento a partir de esos problemas. En la primera tarea

podemos apoyar a los docentes, porque las actividades de estudio no son exclusivas para cada grupo

de alumnos, incluso hay actividades que se conocen y se usan universalmente con resultados muy

similares. Luego entonces, esta es una buena manera de acompañarlos, para que juntos logremos

mejorar la práctica de enseñar matemáticas. En la segunda tarea, si acaso podemos orientar al maestro

con algunos elementos que le permitirán sentirse más seguro para gestionar la clase, pero no podemos

suplirlo. Es aquí donde debe echar mano de toda su creatividad, conocimientos y experiencia.

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BLOQUE I

Aprendizajes esperados

Identifica fracciones equivalentes, mayores o menores que la unidad.

Lee información explícita o implícita en portadores diversos.

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN

4.1.1 Notación desarrollada de números naturales y decimales. Valor posicional de las cifras de un número.

4.1.2 Resolución de problemas que impliquen particiones en tercios, quintos y sextos. Análisis de escrituras aditivas equivalentes y de fracciones mayores o menores que la unidad.

4.1.3 Identificación de la regularidad en sucesiones compuestas con progresión aritmética, para encontrar términos faltantes o averiguar si un término pertenece o no a la sucesión.

PROBLEMAS ADITIVOS

4.1.4 Resolución de sumas o restas de números decimales en el contexto del dinero. Análisis de expresiones equivalentes.

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

4.1.5 Exploración de distintos significados de la multiplicación (relación proporcional entre medidas, producto de

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medidas, combinatoria) y desarrollo de procedimientos para el cálculo mental o escrito.

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

FIGURAS Y CUERPOS

4.1.6 Representación plana de cuerpos vistos desde diferentes puntos de referencia.

4.1.7 Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos triángulos.

MEDIDA

4.1.8 Resolución de problemas vinculados al uso del reloj y el calendario.

MANEJO DE LA INFORMACIÓN

ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS.

4.1.9 Lectura de información explícita o implícita contenida en distintos portadores dirigidos a un público en particular.

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Y PLANES DE CLASE DE LOS CONTENIDOS:

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5

http://www.curriculobasica.sep.gob.mx/pdf/primaria/1ergrado/matematicas/Orientaciones_didacticas/OD_PRIMARIA/4GRADO/G4B1/G4B1OD1.pdf





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4.1.6 4.1.7 4.1.8 4.1.9

4.1.1 Notación desarrollada de números naturales y decimales. Valor posicional de

las cifras de un número.

Se busca que los alumnos puedan “pensar” un número de muchas maneras, según el

problema que estén enfrentando.

Los conocimientos incluidos en este apartado se refieren fundamentalmente a que sean

capaces de explicitar las relaciones aritméticas subyacentes a un número y utilizar la

información contenida en la escritura decimal para desarrollar métodos de cálculo,

redondeo, aproximación, encuadramiento, etcétera, que les permitan resolver problemas.

Así, un número natural puede descomponerse aditiva y/o multiplicativamente de distintas

maneras por ejemplo, 4387 se puede descomponer como: 3 000 + 300 + 500 + 587 o 2 x 1

500 + 1 300 + 11 x 5 + 32. Para conocer a qué números corresponden estas expresiones

es necesario realizar el cálculo. Sin embargo, si se conoce la descomposición 4 x 1 000 + 3

x 100 + 8 x 10 + 7, puede determinarse el número escribiendo únicamente los coeficientes





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de las potencias de 10. De esta manera, en la descomposición anterior se forma el número

4387.

Los alumnos deberán descubrir esta propiedad de la descomposición polinómica, formada

por la suma de potencias de 10, multiplicadas por coeficientes menores que 10, a partir de

las actividades y reflexiones que proponga el docente sobre descomposiciones de

números, incluyendo distintos casos, por ejemplo, aquellos que carezcan de uno o varios

de los niveles, es decir, que tengan ceros intermedios como 9084 = 9 x 1 000 + 84, y su

escritura correspondiente en cifras.

Los alumnos también podrán analizar que si se conoce la descomposición polinómica de

dos números, entonces pueden compararse a partir de los coeficientes de las mayores

potencias de 10. Por ejemplo, los números 1 200 + 234 + 8 y 4 x 1 000 + 5 x 100 + 7 se

pueden comparar con cierta facilidad —si se considera a 1 200 como 1 x 1 000 + 2 x 100—

a partir de comparar únicamente los coeficientes de 1 000 en ambos números. Dado que

los alumnos han iniciado en grados anteriores el análisis del sistema posicional en términos

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de cantidad de “unos”, “dieces”, “cienes” de un número, se les relacionará con las

denominaciones habituales de unidades, decenas, centenas, etcétera.

4.1.2 Resolución de problemas que impliquen particiones en tercios, quintos y sextos. Análisis

de escrituras aditivas equivalentes y de fracciones mayores o menores que la unidad.

En tercer grado los alumnos trabajaron con fracciones cuyo denominador era, en general, una potencia

de dos; esto puede conducirlos a que, frente a cada situación, intenten hacer particiones en mitades.

Necesitan varias experiencias, compartir y discutir los hallazgos de sus compañeros para aprender a

hacer nuevas particiones: en tres, cinco, seis… partes iguales. También se genera una mayor

diversidad en las formas de realizar los repartos, por ejemplo, para dos pasteles entre tres, pueden

obtener 1/2 + 1/6 o 1/3 + 1/3, lo que brinda nuevas ocasiones de estudiar la equivalencia de las distintas

expresiones, con apoyo del material. También ocurrirán con más frecuencia errores tales como asignar

1/3 en lugar de 1/6 a la porción que se obtiene al partir un medio en tres partes. Estos errores

constituyen buenas oportunidades para analizar el papel de la unidad de referencia.

En situaciones de medición, el sistema de medidas formado por medios, cuartos y octavos de unidad,

que los alumnos utilizaron anteriormente, puede complementarse con fracciones de unidad generadas

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por 1/3 de la unidad: 1/3, 1/6, 1/9. Esto permitiría a los alumnos identificar escrituras equivalentes como

2/6 = 1/3 o 3/6 = 1/2. Los alumnos deben seguir aprendiendo a expresar fracciones mayores que la

unidad en distintas formas, por ejemplo 5/3 como 1 2/3 o 1 + 2/3.

4.1.3 Identificación de la regularidad en sucesiones compuestas con progresión aritmética, para

encontrar términos faltantes o averiguar si un término pertenece o no a la sucesión.

En este grado los alumnos manejan números de hasta 4 cifras y ya han tenido experiencias en grados

anteriores con las progresiones aritméticas, que son sucesiones donde los Términos que la forman (con

excepción del primero) se obtienen sumando (o restando) una cantidad fija al número anterior.

Ahora avanzarán analizando sucesiones compuestas que pueden estar formadas con figuras, símbolos

o números. Por ejemplo, Beatriz tiene una bolsa de cuentas blancas y otra de cuentas negras y las

empezó a ensartar con hilo como se muestra en la figura, pero no terminó.

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Di cuántas blancas y cuántas negras siguen.

Si Beatriz quisiera aumentar dos lugares más de blancas y de negras, cuántas deberá ensartar de cada

color y en qué orden.

Una sucesión compuesta con símbolos puede ser:

R R, A, R R R, A A, R R R R, A A A, R R R R R, A A A A, ________, _________, __________,

___________

También se les puede pedir que completen una sucesión numérica compuesta donde se combina

crecimiento y decrecimiento, y preguntar:

4, 36, 7, 35, 10, ___, ___, 33, 16, ___, ___

¿El número 29 pertenece a la sucesión? ¿Por qué?

Seguramente los alumnos escribirán los siguientes números para saber si llegan o no al número que se

les pregunta y al justificar su respuesta podrán expresar que los números que ocupan los lugares nones

aumentan de 3 en 3 y los números de los lugares pares disminuyen de uno en uno. En este momento

no se espera que los alumnos encuentren reglas generales para expresar las sucesiones. Habrá que

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tener cuidado en las sucesiones que involucran en su progresión aritmética restas, ya que no se

pretende que los alumnos lleguen a los números negativos.

4.1.4 Resolución de sumas o restas de números decimales en el contexto del dinero. Análisis de

expresiones equivalentes.

En el contexto del dinero, todas las cantidades tendrán dos cifras decimales, ya que el uso habitual no

incluye una escritura como $2.3. Este hecho puede favorecer que los alumnos consideren la parte

entera y la decimal de un número, como dos sistemas autónomos. Será importante en los grados

siguientes, trabajar especialmente este aspecto, con decimales con distinto número de cifras decimales,

que permitirá a los alumnos comprender la relación entre la parte entera y la parte decimal. Algunos

errores frecuentes corresponden, por ejemplo, a señalar que 3.5 es menor que 3.18, ya que 5 es menor

que 18. Es necesario enfrentar a los alumnos a situaciones como éstas ya que si todos los números

tienen igual número de cifras decimales, la discusión sobre esos aspectos no aparecerá.

Los alumnos podrán determinar con cierta facilidad formas de encontrar el resultado de sumas y restas

de números decimales, en el contexto del dinero y de su uso habitual. Ese conocimiento les permitirá

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además disponer de un control semántico de los resultados. Por ejemplo, si para $3.80 + $5.90 obtienen

$8.70 por no considerar que los centavos formaron un peso, podrán estimar que si ambos números son

muy cercanos a $4.00 y a $6.00, la suma de ellos debería estar cercana a $10.00 y no a $9.00.

4.1.5 Exploración de distintos significados de la multiplicación (relación proporcional entre medidas,

producto de medidas, combinatoria) y desarrollo de procedimientos para el cálculo mental o escrito.

Se trata de continuar con el análisis de las distintas situaciones que pueden resolverse con una multiplicación,

por ejemplo, las de proporcionalidad, el producto de medidas (organizaciones rectangulares) o problemas

simples de combinatoria. Como problemas que involucran organizaciones rectangulares se pueden mencionar

los embaldosados o algunos como: “¿Alcanzarán las butacas del teatro para los 400 alumnos de una escuela, si

en el teatro hay 23 filas de 19 butacas cada una?”

En cuanto a los problemas de combinatoria, los alumnos deben tener la oportunidad de resolver algunos por

medio de procedimientos como el listado de todos los elementos que cumplen las condiciones enunciadas. Y

avanzar en la búsqueda sistemática y exhaustiva de las distintas posibilidades.

En los problemas relacionados con los procedimientos de cálculo, se trata de retomar algunos de ellos

elaborados en grados anteriores, como sumas y restas reiteradas, enfatizando los casos en que sea pertinente

el uso del cálculo mental y el algoritmo convencional elaborado en tercer grado. Además, se propiciará la

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discusión sobre la selección del tipo de cálculo a efectuar a partir de los números involucrados. Por ejemplo,

mental para cálculos como: 150 x 8 (realizando por ejemplo la multiplicación por 2 y luego por 4); algoritmo

escrito para otros como 78 x 9.

4.1.6 Representación plana de cuerpos vistos desde diferentes puntos de

referencia.

Las actividades propuestas se vinculan con “Espacio-representación”. La idea es

acomodar un cuerpo geométrico sobre una mesa y que los alumnos, desde el

lugar en que se encuentran dibujen lo que observan.

Se les debe pedir que se centren en la forma y no en el tamaño real de lo que

dibujan, pero sí se deben considerar las proporciones entre los lados. Las

diferentes representaciones que surjan ayudarán a que los alumnos expliquen

por qué el mismo objeto se representa de diversas formas.

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También les ayudará para abstraer formas que ya conocen como cuadrados,

triángulos, rectángulos, etc.

4.1.7 Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos.

Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos triángulos.

Se quiere que identifiquen los triángulos por la medida de sus ángulos (rectángulos,

acutángulos y obtusángulos), por la longitud de sus lados (escaleno e isósceles y el

equilátero como caso particular de estos últimos), así como aquellos que resultan de la

intersección de los dos grupos (triángulos rectángulos que también son isósceles, etc.).

También se puede observar qué tipo de cuadrilátero se forma si se unen, por ejemplo, dos

triángulos rectángulos de igual tamaño por su hipotenusa. ¿Se formará el mismo

cuadrilátero si uno dos triángulos rectángulos por cualquiera de sus lados? ¿Qué figura

obtengo si uno dos triángulos isósceles por cualquiera de sus lados?

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4.1.8 Resolución de problemas vinculados al uso del reloj y el calendario.

Se pueden usar reglas nemotécnicas para recordar el número de días de cada mes. En

vinculación con el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, buscar regularidades

en el calendario. Por ejemplo, si hoy es lunes 21, ¿qué fecha será el próximo lunes?

También emplear fracciones de las unidades de tiempo usuales: medio día, media hora,

cuarto de hora, etcétera. Conocer las diferentes formas de indicar una hora, por ejemplo,

“las trece horas y cuarenta minutos”, “la una y cuarenta”, “faltan veinte para las catorce

horas”, o “faltan veinte para las dos”. Señalar la forma correcta escribirlo: 13:40, 1:40 en

lugar de 13.40 o 1.40 cuyo significado es diferente.

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Resolver problemas, que involucren otras unidades de tiempo por ejemplo, anticipar un día

de finalización de una actividad, dado su inicio y cierta duración; determinar duraciones

entre dos días dados; dada la fecha de finalización de una actividad y su duración,

determinar la fecha de inicio; dada la periodicidad en que se administra un medicamento y

el número de dosis a ingerir, determinar la duración del tratamiento, determinar la fecha de

nacimiento de una persona dada su edad, etcétera.

4.1.9 Lectura de información explícita o implícita contenida en distintos portadores dirigidos a un

público en particular.

A lo largo de la escolaridad primaria, los alumnos deberían avanzar en su comprensión de la

información que se encuentra presente en distintos portadores de la vida en sociedad.

En cada uno de los grados se seleccionarán ejemplos relacionados con los contenidos de ese grado.

Por ejemplo, en un cartel se puede leer: “duela de 1ª. 1½ x 12 x 3 $380 m2 ”. En este caso se debe

entender el significado del cartel: “vendo madera llamada duela, de primera calidad de 1 ½ m de largo

por 12 cm de ancho y 3 cm de espesor cuyo precio es $380 por metro cuadrado. Además, se debe

saber que la duela son listones de madera angosta que se ensamblan unos con otros, para hacer pisos

o techos.

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Es interesante discutir con los alumnos acerca de la frecuencia con que los anuncios están destinados

a un sector específico de la sociedad, en un cierto contexto. El conocimiento de las personas

interesadas en el anuncio anterior, les permite por ejemplo, determinar cuáles son las unidades de

medida utilizadas. Los interesados en comprar duela saben que la longitud se mide en metros y el

espesor en centímetros, que la hay de diferentes anchos. Se puede plantear a los alumnos que busquen

información en su entorno o que diseñen otros carteles utilizando ese tipo de escritura.

BLOQUE II


Identifica fracciones de magnitudes continuas o determina qué fracción de una magnitud es una parte dada.

Identifica y representa la forma de las caras de un cuerpo geométrico.

Identifica ángulos mayores o menores que un ángulo recto. Utiliza el transportador para medir ángulos.



4.2.1Ubicación de números naturales en la recta numérica a partir de la posición de otros dos.

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4.2.2 Representación de fracciones de magnitudes continuas (longitudes, superficies de figuras). Identificación de la unidad, dada una fracción de la misma

PROBLEMAS ADITIVOS

4.2.3 Uso del cálculo mental para resolver sumas o restas con números decimales.


FIGURAS Y CUERPOS

4.2.4 Identificación de las caras de objetos y cuerpos geométricos, a partir de sus representaciones planas y viceversa.

MEDIDA

4.2.5 Construcción de un transportador y trazo de ángulos dada su amplitud, o que sean congruentes con otro.

4.2.6 Uso del grado como unidad de medida de ángulos. Medición de ángulos con el transportador.

4.2.7 Comparación de superficies mediante unidades de medida no convencionales

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(reticulados, cuadrados o triangulares, por recubrimiento de la superficie con una misma unidad no necesariamente cuadrada, etcétera).


4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.2.7

4.2.1 Ubicación de números naturales en la recta numérica a partir de la posición de

otros dos.

Para representar números en la recta numérica se utiliza una serie de convenciones que

los alumnos descubrirán al resolver las cuestiones planteadas, al poner en práctica las

propiedades de los números y en las discusiones que organice el docente.

Por ejemplo, si ya están representados en una recta el cero y el uno, para ubicar el número

nueve será necesario iterar la unidad ocho veces a partir del uno. Si se pide ubicar el 18,

podrá iterarse una vez la distancia entre cero y nueve, previamente fijada; queda de esa

manera establecida una diferencia entre una única ubicación del número nueve y la

posibilidad de representar una distancia de nueve unidades en distintos lugares en la recta.








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En otro ejemplo, se puede solicitar representar los números nueve, 15 y 33 conociendo la

ubicación de los números 17 y 25. Para representar los números solicitados será necesario

determinar una unidad, por ejemplo el punto medio del segmento [17, 25] que corresponde

al número 21, y de la misma manera, ubicar el número 19 en el punto medio de uno de los

segmentos determinados. Dado que ya se ha señalado la longitud de dos unidades —entre

17 y 19— se las podrá iterar a la izquierda del punto correspondiente al 17 y obtener la

ubicación del 15. E iterando la longitud de ocho unidades a partir del 25, obtener la

ubicación del número 33, etcétera.

Por otra parte, aprender a representar números en la recta incluye aprender a graduar la

recta de acuerdo con los números que se pretende representar. Por ejemplo, si se pide

ubicar los números 175, 250, 300 y 475, en una recta sin graduación, se podrá tomar en

ella un origen y un segmento que corresponda a 100 unidades, y al iterar tal unidad se

obtendrán los números 200, 300, etcétera, y partiendo los segmentos en dos, tres, cuatro o

cinco partes iguales, obtener la ubicación de los demás números.

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4.2.2 Representación de fracciones de magnitudes continuas (longitudes, superficies de figuras).

Identificación de la unidad, dada una fracción de la misma.

En tercer grado los alumnos empezaron a determinar fracciones del tipo m/2 n (medios, cuartos,

octavos) en magnitudes continuas como longitudes o superficies y también a identificar las fracciones

que corresponden a partes de dichas magnitudes. En este grado pueden resolver una gama más amplia

de problemas donde las fracciones que se determinan o identifican pueden ser unitarias o no unitarias,

mayores o menores que la unidad. Las unidades de referencia pueden ser diversas como superficies de

rectángulos, triángulos, círculos, figuras irregulares sobre las que pueda iterarse una subunidad.

Cuando se trata de identificar la fracción que corresponde a una parte de unidad, pueden introducirse

situaciones en las que la unidad está subdividida en un número de partes distinto al que indica el

denominador o en partes desiguales, por ejemplo, “¿en qué figura está pintada la mitad de la superficie?

¿En cuál la tercera parte? ¿Y la cuarta parte?”

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Cuando la unidad es la superficie del círculo, los alumnos pueden establecer qué fracciones se pueden

marcar (medios, cuartos, octavos,…) trazando diámetros y cuáles en cambio requieren trazar radios o

diámetros y radios. Debe recordarse que no se trata de que los alumnos hagan representaciones muy

precisas, sólo lo suficiente para poder identificar sin ambigüedad de qué fracción se trata. Y en otro

contexto, se puede preguntar: “¿qué parte del terreno le tocó a Juan si sólo le dieron 50 m2?”

Finalmente, en este grado los alumnos pueden empezar a resolver situaciones en las que no se da la

unidad de referencia, pero sí la fracción, y debe construirse la unidad, por ejemplo:

“Esto es 1/5 de barra de chocolate. Dibuja la barra completa”.

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4.2.3 Uso del cálculo mental para resolver sumas o restas con números

decimales.

El contexto del dinero ya les ha permitido tener algunas reflexiones acerca de la

suma y resta con números decimales. Ahora se trata de que recurran a

resultados memorizados y otras estrategias para efectuar adiciones y

sustracciones mentalmente con números decimales. Por ejemplo:

• Suma de decimales de la forma: a + b = 1; a + b = 10…

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• Restas de la forma: 1 – 0.25 =; 10 – 1.50 =…

• Encuadramiento de decimales entre dos enteros: 31 < 31.24 < 32; 1 < 1.6 < 2…

• Encuadramiento de decimales entre dos números decimales con una cifra

decimal: 5.1 < 5.189 < 5.2

4.2.4 Identificación de las caras de objetos y cuerpos geométricos, a partir de sus representaciones planas y

viceversa.

Se trata de reproducir figuras (cuadrados, círculos, triángulos, rectángulos) a partir de pintar papeles o telas sellando con

las caras de algunos cuerpos previamente elegidos: cilindros, prismas, cubos. Pueden realizarse estas actividades con

distintas finalidades prácticas como pintar las cortinas del salón, decorar un papel de regalo, etc. El diseño de los

decorados puede acordarse grupalmente a partir de algunas pruebas iniciales.

Dada una colección de objetos y de hojas con sellos, distinguir qué objeto lo produjo. Anticipar qué forma quedará

marcada con tal objeto. Verificar en cada caso ejecutando la acción. También se puede dibujar sobre una hoja, en

posiciones no muy comunes, un rectángulo, un triángulo, un cuadrado, etc., congruentes con alguna cara de los cuerpos

disponibles, y los alumnos deben elegir el cuerpo a pintar para obtener los mismos sellos. Igualmente, verifican sus

respuestas al realizar la actividad. El modelo dado debería permitir varias respuestas, como apoyar dos veces la cara de

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un cubo para obtener un rectángulo congruente con una de las caras de un prisma, etcétera. Esto enriquecerá el trabajo

de observación de las características de los cuerpos geométricos y las caras que los forman.

Pintar algunas caras de cuerpos (para ampliar el universo de figuras a otros polígonos o figuras que no son convexas) y

“sellar” una hoja. Reproducir esa figura sobre papel blanco y elegir cuál es la mejor reproducción y por qué. En esa

discusión se pondrán en evidencia cuáles son las propiedades de las figuras que intervienen en la elección.

Recortar las figuras que se obtuvieron por sellado puede contribuir a distinguir, oportunamente, lados rectos y curvos.

4.2.5 Construcción de un transportador y trazo de ángulos dada su

amplitud, o que sean congruentes con otro.

El trabajo consiste en la construcción de un transportador por parte de los

propios alumnos. Se puede recortar un círculo de plástico transparente de

cualquier tamaño y, con un plumón de punto fino, dividirlo en cuatro y luego en

doce partes iguales, con lo cual se podría tener la medida aproximada de varios

ángulos. La ventaja de este transportador no convencional es que deja ver la

circunferencia completa y la relatividad de la línea que sirve como lado inicial del

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ángulo, así como establecer que la medida del ángulo es independiente de la

longitud de sus lados.

En este sentido se les puede decir que tomen un punto de partida cualquiera,

pedirles que marquen un giro de ½ vuelta o de ¼ de vuelta y decirles que

comparen los ángulos obtenidos.

4.2.6 Uso del grado como unidad de medida de ángulos. Medición de ángulos con el

transportador.

Las divisiones del transportador no convencional funcionaron como unidades no

estándares de medida de ángulos. Ahora se trata de introducir el grado sexagesimal y su

definición a partir de un ángulo recto: “es la noventava parte de un ángulo recto”. Esta

definición contribuirá a dar una idea de la amplitud de un ángulo de un grado. Quizás se

pueda pedir a un grupo de alumnos que trace en el pizarrón un ángulo de un grado e

inmediatamente uno de noventa grados.

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Usar el transportador sencillo para medir ángulos en diferentes posiciones. En este

momento es importante que los alumnos sepan colocar adecuadamente el transportador

para obtener los ángulos deseados.

Mediante juegos de comunicación, construir ángulos dada su medida, verificar a través de

la medición y también por superposición entre varias producciones para verificar la

congruencia.

4.2.7 Comparación de superficies mediante unidades de medida no

convencionales (reticulados, cuadrados o triangulares, por recubrimiento de la

superficie con una misma unidad no necesariamente cuadrada, etcétera).

Este conocimiento está estrechamente vinculado con la estimación y cálculo de

áreas. Se les puede pedir que con varios ejemplares de una misma unidad de

área −no sólo cuadrada, sino también triangular, rectangular, circular, etcétera−

cubran una superficie determinada y cuenten cuántas veces entra esa unidad en

la figura. Repetir la medición de la misma figura utilizando otra unidad.

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Analizar los problemas relativos a cuáles son las figuras más convenientes para

cubrir una superficie y cómo las superficies a medir pueden ser poligonales o no;

se presentarán problemas de error en la medición y las mediciones por defecto y

por exceso; esto es, identificar la menor unidad que cubre completamente la

figura y aquella que la rebasa.

Además de cubrir con varios ejemplares de una misma unidad, también se

puede calcular el área con un reticulado, ya sea cuadriculado, triangular o

rectangular, trazado sobre un papel transparente y puesto sobre la figura, o bien,

trazar la figura sobre papel transparente y colocarla sobre una retícula.

Al contar cuántas unidades caben en la figura se discutirá qué pasa con los

bordes; si se da como respuesta el menor número de unidades que cubre

completamente la figura o un número de unidades que supera a la figura, surge

la idea de estimación de área.

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BLOQUE III


Compara y ordena números naturales de cuatro cifras a partir de sus nombres o de su escritura con cifras.

Identifica expresiones aditivas, multiplicativas o mixtas que son equivalentes y las utiliza al efectuar cálculos con números naturales.

Identifica problemas que se pueden resolver con una multiplicación y utiliza el algoritmo convencional en los casos en que es necesario.



4.3.1 Relación entre el nombre de los números (cientos, miles, etc.) y su escritura con cifras. Orden y comparación de números naturales a partir de sus nombres o de su escritura con cifras, utilizando los signos

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› (mayor que) y ‹ (menor que).

4.3.2 Descomposición de números naturales en expresiones aditivas, multiplicativas o mixtas.

4.3.3 Identificación de fracciones equivalentes al resolver problemas de reparto y medición.

PROBLEMAS ADITIVOS

4.3.4 Resolución, con procedimientos informales, de sumas o restas de fracciones con diferente denominador en casos sencillos (medios, cuartos, tercios, etcétera).


4.3.5 Desarrollo de un algoritmo de multiplicación de números hasta de tres cifras por números de dos o tres cifras. Vinculación con los procedimientos puestos en práctica anteriormente, en particular diversas descomposiciones de uno de los factores.

4.3.6 Resolución de problemas en los que sea necesario relacionar operaciones de multiplicación y adición para darles respuesta.


FIGURAS Y CUERPOS

4.3.7 Clasificación de cuadriláteros con base en sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de

66

simetría, etc.)



4.3.8 Resolución de problemas en los cuales es necesario extraer información de tablas o gráficas de barras.


4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.3.8

4.3.1 Relación entre el nombre de los números (cientos, miles, etc.) y su escritura con cifras.

Orden y comparación de números naturales a partir de sus nombres o de su escritura con cifras,

utilizando los signos > (mayor que) y < (menor que).

Trabajar con la numeración oral deberá permitir a los alumnos establecer relaciones con la numeración

escrita y percibir a la vez que las reglas que se utilizan para nombrar los números, no son las mismas

que para escribirlos. Por ejemplo, si se conoce el nombre de un número como: tres mil seiscientos

cuarenta y dos, al enunciar las primeras dos palabras, tres y mil, ya se puede determinar que el número

tendrá cuatro cifras. En cambio si sólo se conoce la primera cifra (el tres) de ese número, no puede









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determinarse el número de cifras que tendrá en total. Esto se debe a que el nombre del número incluye

la potencia de 10 correspondiente.

También es interesante que los alumnos analicen si se puede utilizar el número de palabras necesarias

para nombrar un número como criterio para compararlo con otros números. Por ejemplo, para nombrar

el número 4 000, se necesitan dos palabras, cuatro y mil, mientras que para el número 246 se necesitan

cuatro palabras (considerando doscientos-cuarenta-seis) y, sin embargo, el primero es un número

mayor que el segundo. En la numeración escrita, el número de cifras se puede utilizar como criterio para

comparar dos números. Por ejemplo, si un número tiene más cifras que otro —aun si no se conocen sus

cifras—, se puede asegurar que es mayor que otro que tiene menor cantidad de cifras.

4.3.2 Descomposición de números naturales en expresiones aditivas,

multiplicativas o mixtas.

Ya antes has descompuesto números naturales en diversas formas. Ahora se trata de

que continúen con este tipo de trabajo, revisando cuál es la expresión pertinente a

determinada situación. Por ejemplo, entre las escrituras: 3 x 5 + 5 = 2 x 4 + 12 = 8 x 2

+ 4 = 4 x 5 = 3 x 6 + 2 =, esta última se puede utilizar para calcular mentalmente el

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número de caramelos que le toca a cada uno de tres niños si se reparten 20

caramelos y se quiere que todos reciban la misma cantidad, o la escritura 4 x 5 para

el caso de repartir los 20 caramelos entre cuatro niños.

En estas actividades el signo igual comienza a cobrar un sentido diferente al habitual,

pues indica que el número localizado a la derecha es el resultado del cálculo anterior

y a plantearse como indicador de equivalencia. Una igualdad puede considerarse

como una misma cantidad expresada de dos maneras diferentes.

También se pueden representar escrituras con punto decimal a partir de pesos y

centavos. Por ejemplo, se pedirá formar la cantidad de $2.00 únicamente con

monedas de 20 centavos. Se tratará de escribir la equivalencia obtenida, por ejemplo

2 = 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20, o bien 10 x

0.20. De la misma manera, si se dispone de tres monedas de 50 centavos, y una de

20 centavos se tendrá la cantidad de $1.70.

66

Estas actividades deberán permitir a los alumnos ir construyendo el significado de

número decimal como aquel que tiene un número finito de cifras decimales; aunque

este concepto adquirirá su pleno significado cuando se trabaje en la secundaria con

números que posean un número infinito de cifras decimales, iguales o no. Los

números naturales también son decimales, ya que puede considerarse que tienen

cero cifras decimales. Entonces es importante trabajar a la vez con precios enteros

junto con precios expresados con punto decimal.

4.3.3 Identificación de fracciones equivalentes al resolver problemas de reparto y medición.

Desde tercer grado han aparecido distintas expresiones con fracciones para expresar una misma

cantidad. Por ejemplo, si se quiere repartir entre dos niños un pastel y medio, pueden aparecer

escrituras como ½ + 1/4 o ¼ + ¼ + ¼, etc., para representar la parte que le corresponde a cada uno.

De igual forma, hay que establecer que distintas fracciones pueden representar el mismo número, por

ejemplo, 2/3 y 4/6, donde se analizará que aunque el numerador y el denominador de la segunda

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fracción son más grandes que los de la primera, no quiere decir que esta segunda fracción sea mayor,

ya que ambas representan el mismo número.

En este grado se debe propiciar que los niños relacionen escrituras numéricas, aunque no se refieran a

una situación concreta y establezcan distintas expresiones equivalentes. Por ejemplo, escribir 1 como

1/3 + 1/3 + 1/3; 2/3 + 2/6; 1/5 + 1/5 + 1/5 + 4/10; ½ + ¼ + ¼, o también, 1½ - ½, etcétera.

Siempre que sea necesario se recurrirá a situaciones concretas o gráficos a fin de preservar el sentido

que para los alumnos puedan tener tales escrituras.

Las actividades y reflexiones sobre las diferentes escrituras de una misma cantidad contribuirán a que

los alumnos consideren una fracción como un número que puede ser comparado con otros, que puede

usarse en diferentes operaciones y que puede tener distintas formas de expresarse.

4.3.4 Resolución, con procedimientos informales, de sumas o restas de fracciones

con diferente denominador en casos sencillos (medios, cuartos, tercios, etcétera).

Se trata de sumar fracciones conocidas, relacionadas con situaciones de reparto o

medición como medios, cuartos, tercios, etcétera, sin necesidad de trabajar con el

algoritmo usual. Podrán plantearse, en contextos gráficos o de medición, sumas o restas

66

como ½ + ¼; 1 – ¾, etcétera. Por ejemplo, ¿cuánta nieve sobra de un bote de 3 litros si se

han vendido 1 ¾ litros?

Los alumnos saben que 1 litro tiene 4/4 por lo que podrían pensar: “3 litros menos 1

quedan 2 litros. De ellos tomo 1 litro y le resto ¾, así queda ¼ de litro más el otro litro. Por

lo tanto, sobra 1 ¼ litros de nieve. O problema: una fábrica de chocolate distribuyó 1/3 de

su producción semanal en tiendas de autoservicio y 2/4 en tiendas de abarrotes. ¿Qué

parte de la producción total le falta por distribuir?

Es recomendable usar con frecuencia situaciones en las que los alumnos anticipen,

argumenten y luego puedan verificar sus anticipaciones.

4.3.5 Desarrollo de un algoritmo de multiplicación de números hasta de tres cifras por números de dos o

tres cifras. Vinculación con los procedimientos puestos en práctica anteriormente, en particular diversas

descomposiciones de uno de los factores.

Desde tercer grado los alumnos han ido elaborando distintos procedimientos para obtener el producto de dos

números. En este grado se debe enseñar a los alumnos el algoritmo usual para multiplicar números de hasta

tres cifras por un número de dos o tres cifras.

66

El algoritmo debería enseñarse en relación con los procedimientos que los alumnos han ido estableciendo, en

particular al descomponer uno de los factores. Por ejemplo, para multiplicar 256 por 15, pueden recurrir a

realizar: 256 x 10 y 256 x 5, y finalmente sumar ambos resultados.

Una vez que los alumnos conocieron y entendieron el algoritmo convencional, es necesario que lo practiquen

para dominarlo. Las tareas se pueden diversificar y enriquecer si se combinan con actividades de estimación, de

cálculo mental y con el uso de la calculadora para verificar.

Por ejemplo, se pueden organizar dos grupos y pedir que digan el resultado de 350 x 12. A un grupo se le pide

que realice el algoritmo convencional y al otro que trate de hacerlo mentalmente, lo cual se logra fácilmente

mediante una descomposición como 350 x 10 y 350 x 2, cuyos resultados son 3 500 + 700 = 4 200. Después se

les puede pedir que comparen su resultado ambos grupos. Se puede alternar la tarea que realice cada grupo, a

fin de que todos tengan la oportunidad de poner en práctica ambas estrategias.

4.3.6 Resolución de problemas en los que sea necesario relacionar operaciones de

multiplicación y adición para darles respuesta.

Una vez que los alumnos han empezado a identificar las multiplicaciones que corresponden a los

problemas que resuelven, conviene alternar problemas que impliquen sumas de sumandos desiguales

(problemas aditivos) y otros que involucren sumas de sumandos iguales (problemas multiplicativos) para

que distingan en qué casos los problemas se pueden resolver con una multiplicación y en cuáles no.

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Este trabajo deberá ampliarse a la discusión sobre las escrituras aditivas y multiplicativas. Dado un

problema se podrán presentar distintos cálculos aditivos y multiplicativos y solicitar que seleccionen

aquellos que permitan resolverlo. Por ejemplo, en la estantería de la tienda hay 6 cajas de 8 botes de

leche, pero 3 botes ya tienen fecha de caducidad vencida. ¿Con cuál de las siguientes operaciones se

puede averiguar cuántos botes de leche pueden aún venderse?

La discusión sobre la resolución del problema, el resultado y la selección de una escritura conveniente

deberá ayudar a determinar las relaciones entre las operaciones y a la vez sus características

específicas.

4.3.7 Clasificación de cuadriláteros con base en sus características (lados, ángulos, diagonales,

ejes de simetría, etc.)

Es importante verificar por métodos empíricos (plegado, medición, superposición, etcétera) las

propiedades que se enuncian. De manera general, un cuadrilátero es una superficie limitada por cuatro

rectas que se llaman lados. Hay tres grandes grupos de cuadriláteros: los paralelogramos, cuyos lados

66

opuestos son paralelos, los trapecios que tienen sólo dos lados paralelos y los trapezoides que no

poseen lados paralelos.

Los trapecios se clasifican en: trapecio isósceles (dos ángulos y dos lados no paralelos iguales),

trapecio rectángulo (dos ángulos rectos) y trapecio escaleno (sus cuatro lados y ángulos tienen diferente

medida). A su vez, de los paralelogramos se desprenden los rectángulos (cuatro ángulos rectos) y los

rombos (cuatro lados iguales).

Al analizar las propiedades de los cuadriláteros es conveniente acercar a los alumnos a la idea de

inclusión. Por ejemplo, el cuadrado es un rectángulo porque tiene cuatro ángulos rectos y también es un

rombo porque tiene cuatro lados iguales.

En vinculación con el eje “Manejo de la información” y a manera de resumen, los niños pueden

completar tablas como las siguientes con las propiedades de los cuadriláteros:

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Estas tablas también pueden usarse para distinguir un cuadrilátero. Por ejemplo, se pide que anticipen

el nombre de la figura y verifican las propiedades por plegado, por medición, por superposición con

papel transparente, etcétera.

En la clasificación jerárquica es importante destacar cómo se heredan las propiedades a través de la

inclusión, por ejemplo, el rectángulo, por ser paralelogramo tiene todas las propiedades de los

paralelogramos. A saber, sus lados opuestos son paralelos, sus diagonales se cortan en su punto

medio, sus ángulos opuestos son iguales, etcétera.

4.3.8 Resolución de problemas en los cuales es necesario extraer información de tablas o

gráficas de barras.

66

Las tablas y las gráficas de barras permiten leer información diversa de manera fácil y rápida, ayudan a

establecer relaciones entre la información y ayudan a la visualización y comparación más clara de

información numérica. Las gráficas de barras representan la información en forma de rectángulos que

pueden estar colocados horizontal o verticalmente, siendo esta última la más común.

Desde primer grado, los alumnos han trabajado con la lectura de tablas, como es el caso de las que

usaron para analizar las regularidades en el sistema de numeración, continuaron con la tabla pitagórica

donde representaron información sobre productos de números. Más adelante elaboraron tablas de doble

entrada para representar información diversa.

Ahora habrá que continuar con la lectura y la representación en este tipo de herramientas que aparecen

frecuentemente en los medios de información.

Se puede presentar información tanto en tablas como en gráficas de barras para que establezcan

alguna relación, reflexionen acerca de la información que presentan, obtengan sus propias

conclusiones, etc. Por ejemplo, “En la escuela Nezahualcóyotl se detectaron niños con problemas de

sobrepeso. Con base en la tabla y en la gráfica que se muestran contesta las preguntas.

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¿En qué grupo hay más niños con problemas de sobrepeso?

¿Consideras que hay más riesgo de sobrepeso en las niñas que en los niños? ¿Por qué?

¿Qué se vende más en la cooperativa de la escuela?

¿Crees que exista alguna relación entre el problema de sobrepeso y lo que consumen los niños de

esa escuela?

Los alumnos, además de responder a preguntas que se obtienen directamente de la información que

aparece en la tabla o en la gráfica, podrán obtener algunas conclusiones y pensar en lo que

argumentarán para apoyarlas?

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BLOQUE IV


Resuelve problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones compuestas.

Resuelve problemas que implican sumar o restar números decimales.

Resuelve problemas que impliquen dividir números hasta de tres cifras entre números de hasta dos cifras.

Resuelve problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de un rectángulo cualquiera, con base en la medida de sus lados.



4.4.1 Uso de las fracciones para expresar partes de una colección. Cálculo del total conociendo una parte.

4.4.2 Identificación del patrón en una sucesión de figuras compuestas, hasta con dos variables.

PROBLEMAS ADITIVOS

4.4.3 Resolución de sumas o restas de números decimales en diversos contextos.

66


4.4.4 Desarrollo y ejercitación de un algoritmo para dividir números de hasta tres cifras entre un número de una o dos cifras.


MEDIDA

4.4.5 Cálculo aproximado del perímetro y el área de figuras poligonales mediante diversos procedimientos, tales como, reticulados, yuxtaponiendo los lados sobre una recta numérica, etcétera.

4.4.6 Construcción y uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del rectángulo.

4.4.7 Construcción y uso del m2, el dm2 y el cm2.


4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7








66

4.4.1 Uso de las fracciones para expresar partes de una colección. Cálculo del total

conociendo una parte.

Para conocer el tamaño de una cantidad entera se utilizan los números naturales, por

ejemplo, si en una colección de 100 cuentas para hacer collares, 20 son rojas, basta con

decir “20 son rojas” o “20 de las 100 son rojas”, no hace falta decir “1/5 son rojas”. Pero

cuando las cantidades varían y se quiere que una colección siga siendo siempre la misma

parte de la otra, resulta muy práctico usar fracciones. Por ejemplo, “En un taller de cuentas

producen distintas cantidades cada día para hacer collares. De las cuentas que se

fabrican, quieren pintar 1/5 de rojo, 2/5 de blanco y 2/5 de azul. Indica cuántas deben pintar

de cada color en la producción de cada día”.

66

El ejercicio inverso es más difícil, por ejemplo, “¿Qué fracción del total de cuentas son

rojas?”, “¿qué fracción son blancas?”, etcétera.

En algunos casos, es necesario ver primero qué fracción del total representa una sola

cuenta. Como en total son 8 cuentas, una representa 1/8. Así que, este caso 2/8 son rojas

y 6/8 son blancas, o bien ¼ del total son rojas y ¾ son blancas. Estas actividades

favorecen la comprensión de la noción de fracción como expresión de una relación entre

un todo y sus partes.

Aquí puede observarse que ya se está haciendo jugar a la fracción el papel de razón entre

cantidades. En los grados siguientes, los alumnos estudiarán de manera más sistemática,

y con problemas un poco más difíciles, este significado de la fracción.

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4.4.2 Identificación del patrón en una sucesión compuesta formada con figuras hasta con dos variables.

En grados anteriores los alumnos completaron sucesiones simples y compuestas formadas con figuras en las que el número

de piezas no es relevante. El reto ahora es que puedan identificar y continuar sucesiones con figuras en las que el patrón no

sólo tiene que ver con el tipo de figuras, sino con la cantidad de las mismas. Por ejemplo:

Las siguientes estructuras se arman con las piezas que se muestran:

¿Cuántas varillas y cuántas bolas se necesitan para hacer una fila de 10 cuadrados?

En este caso, se puede pedir que los alumnos describan cuál es el patrón que hay en esta sucesión en cuanto a número de

bolas, número de varillas y número de cuadrados.

Como puede observarse, se pueden generar tres sucesiones.

Número de bolas: 4, 6, 8, …

Número de varillas: 4, 7, 10, …

Número de cuadrados: 1, 2, 3, ….

66

Otro ejemplo de sucesión compuesta es la siguiente:

En este caso, el número de cuadrados verdes y el número de cuadrados azules corresponde a la siguiente sucesión numérica:

6, 0, 8, 1, 10, 2, 12, 3, …

También se puede preguntar si una figura determinada corresponde o no a la sucesión representada. Por ejemplo, dada la

siguiente sucesión, determinar si las figuras de la derecha corresponden o no a la sucesión.

Esta sucesión es compuesta porque está formada por el número de cuadrados azules: 8, 12, 16, … y el número de cuadrados

rojos: 1, 4, 9, …

Otra variante consiste en que un equipo diseñe una sucesión y la entregue a otro equipo para que éste la continúe o describa

el patrón.

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4.4.3 Resolución de sumas o restas de números decimales en diversos contextos.

Ya antes se trabajó con sumas y restas de números decimales en el contexto del dinero, pues los

alumnos −en su mayoría− tienen acceso a éste. Con el fin de avanzar en la comprensión de los

números decimales se deben plantear ejercicios que requieran la interpretación y uso de la información

contenida en la escritura decimal. Por ejemplo, escribir en la calculadora el número 1.25 y decirles que

sin borrarlo realicen una operación para que aparezca en la pantalla el número 1 en lugar del 2.

Otro consiste en pedir que realicen operaciones en su calculadora cuyo resultado sea 0.1, 0.01, etc., y

que digan cuál fue la operación realizada.

Se les puede plantear:

3.47 + ____ = 3.50; 7.02 − ____ = 7; 5.87 + ____ = 5.97

O bien, que escriban el número formado por 15 décimos, 12 centésimos y 17 milésimos.

El contexto de la medición brinda también la oportunidad de manejar y comprender mejor los números

decimales. Por ejemplo, “Alma mide 1.38 m de altura y Rosa mide 1.43 m, ¿cuál es la diferencia de

altura entre ambas”. “Para hacer un pantalón, Samuel compró 1.50 m de tela, pero después compró

1.20 m más para hacer también un chaleco. ¿Cuánto compró de tela en total?”

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4.4.4 Desarrollo y ejercitación de un algoritmo para dividir números de hasta tres cifras entre un

número de una o dos cifras.

Como se ha mencionado en relación con otras operaciones, se propone que la construcción de

algoritmos se plantee a partir de las situaciones de exploración que realicen los alumnos para encontrar

resultados, utilizando propiedades de los números y de las operaciones.

El algoritmo de la división es especialmente complejo, ya que pone en funcionamiento un amplio

conocimiento del valor posicional, de la multiplicación y de la resta. Un algoritmo que conserve el valor

del dividendo sin descomponerlo en unidades, decenas…, permitirá a los alumnos conservar un poco

más el sentido de los distintos cálculos implicados en el algoritmo. Para esto, será importante contar con

la disponibilidad de ciertos resultados de productos como los productos por 10, 20, 100, etcétera.

Por otra parte, estimar el número de cifras del cociente podrá también ayudar a controlar los resultados

obtenidos.

No se buscará un único algoritmo. En relación con la división, al final de este grado los alumnos

deberían estimar aproximadamente el resultado y obtener en casos simples los resultados de las

divisiones por medio de un algoritmo.

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4.4.5 Cálculo aproximado del perímetro y el área de figuras poligonales

mediante diversos procedimientos, tales como, reticulados, yuxtaponiendo

los lados sobre una recta numérica, etcétera.

Se trata de distinguir el perímetro y el área de figuras poligonales. Esto no es

trivial para los niños de esta edad y es fundamental para la conceptualización y

uso de las fórmulas respectivas de cálculo. Se propone calcular en forma

aproximada perímetros y áreas de polígonos cualesquiera, así como trazar

polígonos cuyos perímetros y áreas estén determinados previamente. Por

ejemplo, dado un polígono recortado, calcular su perímetro yuxtaponiendo los

lados sobre una recta, y luego midiendo la longitud total. Si la figura está

dibujada, transportando los lados (mediante papel transparente, compás o regla)

sobre una recta. Para calcular el área, se propone cubrir el polígono con

unidades de superficie iguales entre sí, superponer el polígono en un reticulado y

66

analizar la conveniencia de usar el cuadrado como unidad para medir

superficies.

Se pueden trazar figuras sobre una cuadrícula que tengan igual perímetro y

diferente área y a la inversa (en estos casos es muy útil usar el geoplano).

Comparar en un mismo reticulado el perímetro y el área de zonas de diferentes

colores, y en reticulados diferentes, áreas coloreadas con el mismo color. Por

ejemplo, “¿Se puede afirmar cuál de las zonas verdes es mayor y cuál es la

menor en las retículas de abajo?”.

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4.4.6 Construcción y uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del

rectángulo.

Con respecto al perímetro, se pueden plantear tareas como calcular la cantidad de encaje para

colocar alrededor de una servilleta de forma rectangular, o bien, la cantidad de alambre para

delimitar un terreno.

En cuanto a calcular el área, ya antes los alumnos han resuelto problemas donde se plantea

saber el número de elementos que tiene un arreglo rectangular. Con base en esto, se puede

llegar a la fórmula insistiendo en contar el número de filas o columnas y el número de unidades

en cada una de ellas.

También se puede pedir que cubran una pared con cuadrados de igual tamaño. Al inicio de esta

tarea se les dice que coloquen una fila y una columna de cuadrados sobre la superficie a cubrir y

preguntar si pueden decir cuántos cuadrados iguales necesitarán para cubrir toda la pared.

Se sugiere no apurarse por introducir el cálculo como producto de unidades de longitud porque

allí está ausente el metro cuadrado (o la unidad que sea) como unidad de medida y es muy

importante construir esta idea.

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4.4.7 Construcción y uso del m2 el dm2 y el cm2.

Es importante que los alumnos perciban el tamaño de las unidades más usuales para

medir superficies y las usen para realizar mediciones efectivas. Por ejemplo, medir

superficies con varios ejemplares de cuadrados de un metro, de un decímetro y de un

centímetro de lado. Escribir esas cantidades. Plantear problemas que incluyan precios por

metro cuadrado y a la vez precios por metro lineal como es el caso de las telas.

Construir cuadrados de un metro de lado y de un centímetro, y asignarle la denominación

correspondiente. Así, un metro cuadrado como unidad de superficie, es un cuadrado de un

metro de lado.

Estimar áreas y verificar a través de la medida. Dada una medida, por ejemplo 2½ metros

cuadrados o 20 centímetros cuadrados, construir una figura en el piso que tenga esa

medida. Reconocer contextos en los cuales sea más pertinente usar una unidad que otra.

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BLOQUE V


Identifica y genera fracciones equivalentes.

Utiliza el cálculo mental para obtener la diferencia de dos números naturales de dos cifras.



4.5.1Obtención de fracciones equivalentes con base en la idea de multiplicar o dividir al numerador y al denominador por un mismo número natural.

4.5.2 Expresiones equivalentes y cálculo del doble, mitad, cuádruple, triple, etcétera de las fracciones más usuales (1/2, 1/3, 2/3, 3/4, etcétera).

4.5.3 Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones con figuras, las cuales representan progresiones geométricas.

PROBLEMAS ADITIVOS

4.5.4 Cálculo de complementos a los múltiplos o potencias de 10, mediante el cálculo mental

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4.5.5 Análisis del residuo en problemas de división que impliquen reparto.


MEDIDA

4.5.6 Estimación de la capacidad que tiene un recipiente y comprobación mediante el uso de otro recipiente que sirva como unidad de medida.



4.5.7 Identificación y análisis de la utilidad del dato más frecuente de un conjunto de datos (moda).


4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6 4.5.7








66

4.5.1 Obtención de fracciones equivalentes con base en la idea de multiplicar o dividir al

numerador y al denominador por un mismo número natural.

Los alumnos han trabajado con fracciones equivalentes desde tercer grado donde se les pide

que expresen de diversas formas la misma cantidad.

Ahora se trata de que establezcan la propiedad que caracteriza a las fracciones equivalentes y

que permite generarlas: multiplicar o dividir el numerador y el denominador por un mismo número

natural.

Hay varios caminos para establecer esta propiedad; es recomendable que a lo largo del año los

alumnos recorran algunos como:

• Analizar equivalencias ya conocidas. Por ejemplo, a partir de las equivalencias 1/2 = 2/4 = 3/6

= 4/8, se observa que los numeradores y denominadores se multiplican por un mismo factor.

• Analizando lo que ocurre cuando se multiplica solamente el numerador de una fracción o

solamente su denominador. Si se multiplica el numerador por 3 se obtiene una fracción 3 veces

66

mayor, si se multiplica el denominador, se obtiene una fracción 3 veces menor. Si se hacen las

dos acciones simultáneamente se obtiene una fracción del mismo valor.

• Partiendo de “repartos equivalentes” los alumnos pueden anticipar que cuando los datos de un

reparto son el doble, el triple, etcétera, de los datos de otro reparto, los resultados de ambos

serán iguales, por ejemplo, 1 pastel entre 3 niños da el mismo resultado que repartir 2 pasteles

entre 6 niños, 3 pasteles entre 9 niños, etcétera. Si además registran los resultados con las

fracciones 1/3, 2/6 y 3/9 puede relacionarse la equivalencia de los repartos con la equivalencia

de las fracciones que resultan de dichos repartos.

El hecho de que para comparar o para sumar dos fracciones pueda sustituirse una de éstas por

otra equivalente puede ser difícil de comprender por los alumnos. Es conveniente empezar con

casos sencillos, por ejemplo, con medios, cuartos y octavos. Si, luego de realizar otras

actividades, los alumnos han formado pequeños repertorios de fracciones equivalentes, que las

tengan registradas puede ayudar en el momento de necesitar sustituir una fracción, en tanto la

busquen en la lista correspondiente. Es recomendable usar la recta numérica para verificar el

resultado de las comparaciones y de las equivalencias.

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4.5.2 Expresiones equivalentes y cálculo del doble, mitad, cuádruple, triple, etcétera de las

fracciones más usuales (1/2, 1/3, 2/3, 3/4, etcétera).

Disponer de algunos resultados memorizados ayuda a poner en relación distintos números y facilitar los

cálculos. Por ejemplo, disponer de una igualdad como ¾ = ½ + ¼ es de gran utilidad en sumas como 7

¾ + ½ o, si se pretende sumar 5/6 varias veces, puede resultar más fácil considerar que 5/6 es 1/2 +

1/3. Saber que ¾ = ¼ + ¼ + ¼ deberá implicar entender el sentido inverso, es decir, que 3 veces ¼ es

igual a ¾.

De la misma manera se trata de poder calcular la mitad de una fracción como 4/5 sin necesidad de

utilizar un algoritmo.

El docente propiciará en el aula la formación de un ambiente que favorezca la producción de

procedimientos propios, de encontrar nuevas relaciones entre las fracciones que puedan utilizarse para

facilitar los cálculos.

Disponer de un algoritmo general incluye aprender sus condiciones de uso, por lo tanto, para aquellos

cálculos en los que no sea necesario utilizarlo, se deberá disponer de procedimientos más simples de

cálculo mental.

66

4.5.3 Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones con figuras, las cuales

representan progresiones geométricas.

A diferencia de las sucesiones con progresión aritmética, donde cada término se obtiene sumando una

constante al término anterior, en las sucesiones con progresión geométrica, cada término se calcula

multiplicando el anterior por un mismo número. Por ejemplo, la sucesión numérica que representa el

número de cuadrados que tiene por lado la siguiente sucesión de figura es: 1, 2, 4, 8, …

En este caso, el patrón numérico que se observa consiste en que cada término de la sucesión se

obtiene multiplicando por 2 al término anterior o dicho de otra manera, cada término es el doble del

anterior.

66

Esta regularidad o patrón es lo que se pretende que los alumnos identifiquen y luego lo apliquen. Por

ejemplo, una vez que han determinado la regularidad, podrán continuar la sucesión o encontrar términos

faltantes.

Las variables didácticas que se sugiere trabajar en este contenido son:

• Dada la sucesión, enunciar la regularidad.

• Dada la sucesión encontrar términos faltantes.

• Dada la sucesión encontrar el siguiente término o uno no muy lejano (podría ser el que ocupa el 10º.

lugar), con la idea de que seguramente tendrán que escribir todos los intermedios hasta llegar al que se

solicita.

• Dado un término y una sucesión determinar si pertenece o no ésta.

Por ejemplo, dada la siguiente sucesión de figuras, se podrían plantear preguntas como:

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• ¿Cuál es la regularidad que observan de la sucesión de figuras?

• ¿Cuál es la sucesión numérica que representa el área de cada triángulo de la siguiente sucesión?

• ¿Cuál será el área del triángulo de la figura 6 de la sucesión?

• ¿La siguiente figura corresponde a la sucesión? ¿Por qué?

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4.5.4 Cálculo de complementos a los múltiplos o potencias de 10, mediante el

cálculo mental.

Con la finalidad de ampliar el conocimiento de los números y de la serie numérica, se

plantearán ejercicios en los que se requiera calcular el complemento de un número a

un múltiplo de 10 (como 30, 60, etcétera) o una potencia de 10 (100, 1 000, etcétera).

Por ejemplo, 582 +… = 1 000. También corresponden a este conocimiento

actividades en las que se requiera elegir entre dos o tres números el más cercano a

otro, por ejemplo, determinar entre 31 y 162 el que está más cerca de 100, o bien,

decir cuál de los tres números siguientes está más cerca de 150: 209, 108 o 99.

La elección de los números permitirá discutir que la distancia entre dos números es

independiente de la posición relativa de ambos. En el primer caso, el más cercano a

100 es el 162, a pesar de que “se pasó” como dirían los alumnos. También se podrá

reflexionar sobre los procedimientos para determinar las distancias, tanto en

situaciones más o menos simples como el caso anterior o más complejas, como

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determinar la distancia entre 759 y 1000, donde se podrá completar sucesivamente la

decena, la centena o la unidad de mil correspondiente: “con 1 se llega a 760, con 40

se llega a 800 y con 200 a 1 000; por lo tanto, la distancia de 759 a 1 000 es 1 + 40 +

200 = 241”.

Este razonamiento es complejo para los alumnos en un principio, dado que se

necesita “ir completando” el número menor hasta llegar al mayor, para luego sumar lo

que se fue adicionando en cada caso. Como se trata de completar a decenas,

centenas, etcétera, se obtienen siempre números “redondos”, es decir terminados en

uno o varios ceros, como 40 y 200 y, por lo tanto, adecuados para el cálculo mental.

Este último razonamiento está relacionado con encuadrar números naturales entre

dos decenas consecutivas, entre dos centenas, etcétera.

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4.5.5 Análisis del residuo en problemas de división que impliquen reparto.

Uno de los significados de la división, presente desde grados anteriores, es el de reparto, considerado

como uno de los más fáciles de trabajar en el inicio del estudio de esta operación. No obstante es

necesario en este grado avanzar hacia el análisis del residuo, conocido comúnmente como “lo que

sobra”.

Puede plantearse una serie de problemas en el mismo contexto, donde se pongan en juego las

relaciones entre los distintos elementos de la división.

Por ejemplo, “en un salón de banquetes, se preparan mesas para 12 comensales. Si van a concurrir 146

invitados, ¿cuántas mesas deberían preparar? ¿Cuántos invitados más podrían llegar si se quiere que

todos dispongan de lugares en las mesas preparadas? ¿Los invitados podrían organizarse en las mesas

de manera que se dejen uno o dos lugares vacíos en cada una? Una familia de cuatro personas quiere

sentarse sola en una mesa, ¿alcanzarán los lugares en las otras mesas para los demás invitados?”

Es importante tener en cuenta qué números se utilizan para estos problemas, pues deben permitir que

los alumnos reflexionen fácilmente acerca de lo que sucede con el resido. Por ejemplo, “si se tienen 23

dulces para colocar en bolsas de 6 dulces, cada una, ¿cuántas bolsas se formarán. ¿Qué sucede si en

lugar de 23 dulces hubiera 24?” etcétera.

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4.5.6 Estimación de la capacidad que tiene un recipiente y comprobación mediante el uso

de otro recipiente que sirva como unidad de medida.

Se propone que los alumnos comparen “a ojo” la capacidad de dos recipientes de forma muy

distinta, anticipen y verifiquen por transvase. Estimar cuántas veces cabe el contenido de un

recipiente (considerado unidad) en otro; verificar su estimación al verter el contenido “unidad”.

Si además de líquidos, se usan semillas o arena, se debe favorecer la discusión acerca de rasar

la unidad y también el recipiente a medir.

Se les puede pedir que ordenen tres o cuatro recipientes de diversas formas (botellas de

dimensiones diferentes, floreros, jarras, etc.) sin conocer su capacidad, es decir, “a ojo”. Después

se pedirá que verifiquen. Intercalar en ese orden otro recipiente. Esto favorecerá experiencias de

transitividad en la relación de mayor (o menor).

También, dados varios recipientes llenos de agua, arena, arroz, etc., y otro dado como unidad

(puede ser una taza), pedirles que estimen cuántas veces cabe éste en el recipiente, que lo

registren en una tabla y después verifiquen.

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4.5.7 Identificación y análisis de la utilidad del dato más frecuente de un conjunto de datos

(moda).

En algunas de las situaciones a las que se han enfrentado los alumnos en grados anteriores, era

necesario determinar el valor más frecuente, por ejemplo, cuál es el número que apareció más veces al

tirar un dado. Ahora es necesario darle nombre: “moda” y analizar su utilidad como representante de

una distribución de frecuencias, es decir de una serie de datos con su frecuencia de aparición.

La moda no es siempre un recurso eficaz para caracterizar una situación, dado que para determinarla

sólo se considera el valor más frecuente y no los demás valores. Por ejemplo, si pensamos en las notas

de dos alumnos, Federico: 2, 3, 4, 5, 7, 7 y Mariana: 6, 7, 7, 8, 9, 10, a pesar de que en ambas series de

notas la moda es 7, no se puede considerar que ambos han tenido el mismo desempeño.

Sin embargo, en algunas situaciones la moda es la única característica de valor central que puede

tomarse; por ejemplo, si se contabiliza la cantidad de hombres, mujeres y niños presente en un festival,

la moda indicará cuál de las tres clases tuvo mayor representatividad. O bien, si en la fábrica de zapatos

tienen que determinar de qué número sería bueno fabricar más pares, es aconsejable averiguar cuál es

el número de zapatos que más se vende en las zapaterías.

orientaciones didácticas cuarto grado

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