FORMULACIÓN DE PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN, FUNCIÓN

OBJETIVO, MODELOS, PROCEDIMIENTOS PARA RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

AlumnaMoreno Yesenia

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSIÓN MARACAY

UN POCO DE HISTORIA

La investigación operativa tiene sus orígenes en la Segunda Guerra Mundial, debido a la necesidad urgente de asignación de recursos escasos en las operaciones militares, en problemas tácticos y estratégicos. Estas mismas técnicas se han extendido con posterioridad a las empresas.

Disciplinas típicas de la investigación operativa son la optimización con sus múltiples sabores (lineal, no lineal, entera, estocástica, multiobjetivo), teoría de la decisión y de juegos, teoría de colas y simulación, teoría de grafos o flujos de redes

UN POCO DE HISTORIALa optimización es una parte relevante dentro de la investigación operativa. Tuvo un progreso algorítmico inicial muy rápido. Muchas técnicas – programación lineal, programación dinámica son anteriores a 1960. En la última década se han producido avances significativos generados por el desarrollo en

1984 por parte de Karmarkar de un método de punto interior para programación lineal. Optimizadores como CPLEX 3.0 en 1994, CPLEX 7.0 en 2000. Se observa una mejora global, de software y algorítmica, de 10000 veces entre la versión de CPLEX 1.0 de 1988 y la 7.0 del 2000.

Hoy es posible resolver un problema LP de 500000 ecuaciones con 500000 variables y 2000000 de elementos no nulos en la matriz de restricciones en un PC con suficiente memoria principal. Aproximadamente, para un problema LP se puede decir que se requiere 1 MB de memoria principal por cada 1000 ecuaciones.

¿QUÉ ES OPTIMIZACIÓN?

La optimización consiste en la selección de una alternativa mejor, en algún sentido, que las demás alternativas posibles. Es un concepto inherente a toda la investigación operativa. Sin embargo, determinadas técnicas propias de la investigación operativa se recogen bajo el nombre de optimización o programación matemática.

COMPONENTES DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN:

Función Objetivo

Es la medida cuantitativa del funcionamiento del sistema que se desea optimizar(maximizar o minimizar). Como ejemplo de funciones objetivo se puedenmencionar: la minimización de los costes variables de operación de un sistemaeléctrico, la maximización de los beneficios netos de venta de ciertos productos, laminimización del cuadrado de las desviaciones con respecto a unos valoresobservados, la minimización del material utilizado en la fabricación de un producto,etc.

COMPONENTES DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN:

Variables

Representan las decisiones que se pueden tomar para afectar el valor de la funciónobjetivo. Desde un punto de vista funcional se pueden clasificar en variablesindependientes o principales o de control y variables dependientes o auxiliares o deestado, aunque matemáticamente todas son iguales. En el caso de un sistemaeléctrico serán los valores de producción de los grupos de generación o los flujospor las líneas. En el caso de la venta, la cantidad de cada producto fabricado yvendido. En el caso de la fabricación de un producto, sus dimensiones físicas.

COMPONENTES DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN:

Restricciones

Representan el conjunto de relaciones (expresadas mediante ecuaciones e inecuaciones) que ciertas variables están obligadas a satisfacer. Por ejemplo, las potencias máxima y mínima de operación de un grupo de generación, la capacidad de producción de la fábrica para los diferentes productos, las dimensiones del material bruto del producto, etc.

MÉTODOS

Métodos Clásicos

Son los algoritmos que habitualmente se explican en los libros de optimización. A este grupo pertenecen la optimización lineal, lineal entera mixta, no lineal, estocástica, dinámica, etc

Métodos Metaheurísticos

Aparecieron ligados a lo que se denominó inteligencia artificial e imitan fenómenos sencillos observados en la naturaleza. En este grupo se incluyen los algoritmos evolutivos (genéticos entre otros), el método del recocido simulado (simulated annealing), las búsquedas heurísticas (método tabú, búsqueda aleatoria, avariciosa, etc.) o los sistemas multiagente.

En la siguiente tabla se muestran las expresiones matemáticas generales de algunos tipos de problemas de optimización dentro de los métodos clásicos. Los problemas se distinguen por el carácter de las funciones que intervienen (lineales o no lineales) y de las variables (reales/continuas o enteras/discretas).

Programación lineal

(linear programming)

LP

mincT xx

Ax = b

x ≥ 0

x ∈ ℝ n , c ∈ ℝ n , A ∈ ℝ m×n ,b ∈ ℝm

Programación lineal entera mixta

(mixed integer programming)

MIP

mincT x +dTy

x

Ax + By = b x,y ≥ 0

x ∈ ℤ n , y ∈ ℝ l , c ∈ ℝ n , d ∈ ℝl

A ∈ ℝ m×n , B ∈ ℝ m×l ,b ∈ ℝm

Programación cuadrática

(quadratic programming)

QP

mincT x + 1 xTQxx 2

Ax = b

x ≥ 0

x ∈ ℝ n , c ∈ ℝ n , A ∈ ℝm×n

Q ∈ ℝ n×n ,b ∈ ℝm

Programación no lineal min f(x)x

(non linear programming) g(x) = 0

NLP h(x) ≤ 0

l ≤ x ≤ u

f : ℝ n → ℝ

g,h : ℝ n → ℝm

PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

1 Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2 Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3 Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

4 Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5 Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.