optimizacion con restricciones

OPTIMIZACIÓN

Tema 1 CONJUNTOS CONVEXOS

Tema 2 FUNCIONES CÓNCAVAS Y CONVEXAS

Tema 3 CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LA OPTIMIZACIÓN

Tema 4 OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES

Tema 5 LAGRANGE Y KHUN TUCKER

Tema 6 PROGRAMACIÓN LINEAL

www.fonemato.com

Tema 5: Optimización con restricciones 65

Tema 5

Optimización con restricciones 5.01 Optimización con restricciones de igualdad ............................................. 66 5.02 La función de Lagrange ................................................................................. 66 5.03 Condición necesaria de óptimo local ......................................................... 66 5.04 Condición suficiente de óptimo local ........................................................ 68 5.05 Condición suficiente de óptimo global ...................................................... 68 5.06 Interpretación de los multiplicadores de Lagrange .................................. 69 5.07 Método directo de resolución ................................................................... 88 5.08 Optimización con restricciones de desigualdad ....................................... 90 5.09 Condiciones de Khun Tucker ..................................................................... 90 Test Lagrange ................................................................................................ 99 Test Khun Tucker ......................................................................................... 104


5.1 OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD

Si n m> y g A n m: ⊆ℜ ℜ es diferenciable, buscamos los puntos de ℜn que verifican el sistema de "m" ecuaciones g x b m( ) = ∈ℜ y hacen que la función di-ferenciable f A n: ⊆ℜ ℜ presente un máximo o un mínimo:

Opt f x g x b. ( ) ( ) sujeto a =

5.2 LA FUNCIÓN DE LAGRANGE De la función L n m:ℜ ℜ+ tal que L x f x g x bt( ; ) ( ) ( )λ λ= − • −a f se dice que es la función de Lagrange asociada a nuestro problema de optimización, siendo λ λ λ λ= ∈ℜ( ; ; ... ; )1 2 m m el vector de multiplicadores de Lagrange. De λ j se dice que es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricción g j jx b( ) = . 1) En todo punto x del conjunto de soluciones factibles X x g x bn= ∈ℜ =/ ( )m r

del problema sucede que L x f x( ; ) ( )λ = . En efecto:

L x f x g x b f x

x X g x b g x b

t

m

( ; ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

λ λ= − • − =

∈ ⇒ = ⇒ − = ∈ℜ

a f0

2) Si ( *; *)x λ es un punto crítico de la función de Lagrange, el punto x* pertene-ce al conjunto de soluciones factibles X x g x bn= ∈ℜ =/ ( )m r. En efecto, si

( *; *)x λ es un punto crítico de L x f x g x bt( ; ) ( ) ( )λ λ= − • −a f, sucede que ∂

∂λ= − − = ⇒ = ∀ =

L x x b g x b j mj

j j j j( *; *) ( *) ( *) , , , ... ,λ gd i 0 1 2

5.3 CONDICIÓN NECESARIA ÓPTIMO LOCAL Si x* es un óptimo local y rg Jf x m n( ( *)) = < , hay un vector λ* de multiplicado-res de Lagrange tal que ( *; *)x λ es un punto crítico de L x( ; );λ así, es:

∇ − •∇ =

=

R

S

|||

T

|||

=∑f x g x

g x b

j

mj j

Expresa qu xx

( *) ( *)

( *)

*

( * ; *)( ; )

10λ

λλ

e es puntocrítico de L

debido a 2)

Observa: si ∇ − •∇ ==∑f x g xj

mj j( *) ( *)*

10λ , es ∇ = •∇

=∑f x g xj

mj j( *) ( *)*

1λ ; o

sea, el vector ∇f x( *) es combinación lineal de los vectores ∇ ∇g x g xm1( *), ... , ( *), y los coeficientes de dicha CL son los multiplicadores de Lagrange λ λ1* *, ... , .m


Deducción geométrica de la condición necesaria de óptimo local en el caso bidimensional: Considera que x x x= ( ; )1 2 y nos planteamos el problema de minimizar de f x( ) bajo la restricción g x( ) .= 0

Siendo X x g x= ∈ℜ =2 0/ ( )m r el conjunto de soluciones factibles del problema y S x f x kk = ∈ℜ =2 / ( )m r la curva de nivel "k" de "f", sabemos que la solución del problema corresponde al punto del CSF por el que pasa la curva de nivel de "f" con menor valor de "k" ..... y como muestra la figura, a dicho punto se llega recorriendo la gráfica de g x( ) = 0 (el CSF) hasta el punto x* en que dicha gráfica y la curva de nivel son tangentes.

Como el vector ∇f x( ) es perpendicular a la curva de nivel de "f" que pasa por el punto x y el vector ∇g x( ) es perpendicular en el punto x a la gráfica de g x( ) = 0 , si ambas curvas son tangentes en el punto x*, los vectores ∇f x( *) y ∇g x( *) de-ben ser colineales; es decir ∇f x( *) y ∇g x( *) deben ser linealmente dependien-tes, por lo que es posible encontrar sendos escalares α βy no nulos y tales que α β•∇ − •∇ =f x g x( *) ( *) 0 .... y haciendo λ β α* / ,= resulta ser

∇ − •∇ =f x g x( *) * ( *)λ 0

Que quede requeteclaro: lo único que deducimos del razonamiento geomé-trico es que los vectores ∇f x( *) y ∇g x( *) son colineales .... y siendo colineales pueden tener el mismo sentido o no, lo que depende de "f" y de "g". Por tanto, el escalar λ* puede ser positivo o negativo.

Del multiplicador de Lagrange λ* también se dice que es la variable dual

correspondiente a la restricción g x( ) = 0

g x( ) = 0 x1

x2

x*• •

• x0

x1

f x k( ) =

Si el recorrido por la gráfica de g x( ) = 0 se hace partiendo de x0 o de x1, debe continuarse hasta x*, pues a lo largo del recorrido se van

atravesando curvas de nivel que corresponden a valores cada vez me-nores de "f". Una vez situados en x*, es imposible obtener valores

menores de "f" sin abandonar el CSF (la gráfica de g x( ) ).= 0

k ↓


De otro modo: si la curva de nivel S x f x kk = ∈ℜ =2 / ( )m r y la gráfica de g x( ) = 0 son tangentes en el punto x*, tienen igual pendiente en x*. Como la pendiente de Sk en x* es −f x f xx x1 2( *)/ ( *) y la pendiente de g x( ) = 0 en x* es

−g x g xx x1 2( *)/ ( *), ha de ser f xf x

g xg x

x

x

x

x1

2

1

2

( *)( *)

( *)( *)

= , lo que sucede sólo si

∇ =f x f x f xx x( *) ( ( *); ( *))1 2 y ∇ =g x g x g xx x( *) ( ( *); ( *))1 2 son proporcionales; o sea, si existe λ* tal que ∇ = •∇f x g x( *) * ( *),λ es decir: ∇ − •∇ =f x g x( *) * ( *) .λ 0

5.4 CONDICIÓN SUFICIENTE DE ÓPTIMO LOCAL

Sea el problema Opt f x g x b. ( ) ( ) sujeto a = , donde f n:ℜ ℜ y g n m:ℜ ℜ son de clase C2 en su dominio. Si ( *; *)x λ es un punto crítico de L x( ; )λ , la con-dición suficiente para que x* sea máximo (mínimo) local estricto es que la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana H L xx ( *; *)λ sea definida negativa (defi-

nida positiva) si se restringe a los vectores h n∈ℜ tales que Jg x ht( *) • = 0.

5.5 CONDICIÓN SUFICIENTE DE ÓPTIMO GLOBAL

En efecto, supuesto que "f" es cóncava, para todo par de puntos x x y 0 del CSF, sucede que

f x f x f x x x It( ) ( ) ( ) ( ) ( )− ≤ ∇ • −0 0 0 Para la i-ésima ( , , ... , )i m= 1 2 restricción g x bi i( ) = , por ser diferenciable g i , el producto ∇ • −g x x xi t( ) ( )0 0 es la derivada de g i en x0 según el vector x x− 0, y resulta ser nula si el CSF es convexo:

∇ • − =+ • − −

=

=• + − • −

=

→

→

g x x x g x x x g x

g x x g x II

i t i i

i i

( ) ( ) lim. ( ( )) ( )

lim. ( ( ) )) ( ) ( )

0 00

0 0 0

00 01 0

θ

θ

θθ

θ θθ

definición de derivada de una campo escalar en un punto según un vector

Si x x y 0 son puntos del CSF, por ser convexo éste, podemos garan-tizar que el punto θ θ• + − •x x( )1 0 también es del CSF, por lo que

g x x g x bi i i( ( ) )) ( )θ θ• + − • = =1 0 0

Siendo convexo el CSF y cóncavaconvexa{ } la función objetivo "f", si ( *; *)x λ es un

punto crítico de L x( ; )λ , el punto x* es un máximomínimo{ } global del problema; o

sea: si el problema es convexo, la condición necesaria de optimalidad lo-cal es una condición necesaria y suficiente de optimalidad global.


Si ( *; *)x λ es un punto crítico de L x( ; )λ , entonces:

∇ = •∇=∑f x g xi

mi i( *) ( *)*

1λ

Así, si x es otro punto del CSF, multiplicando los dos miembros de la ecuación anterior por ( *)x x t− , resulta:

∇ • − = •∇FHG

IKJ • − = ⇒

≡

∇ • − = ∀ =

⇒ − ≤ ⇒ ≤ ⇒

≡

=∑f x x x g x x x

x xg x x x i m

f x f x f x f x x

x x

ti

mi i t

i t

( *) ( *) ( *) ( *)

*,( *) ( *) , , ... ,

( ) ( *) ( ) ( *) *

*

*1

0

0

0

1 2

0

λ

según (II), sin más que considerar que es0,

es máximo global

según (I), sin más que considerar que

5.6 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Sea el problema

Opt f x g x b. ( ) ( ) sujeto a =

donde f n:ℜ ℜ y g n m:ℜ ℜ son de clase C2 en su dominio.

Si ( *; *)x λ es un punto crítico de L x( ; )λ que verifica la condición suficiente de optimalidad local, puede demostrase que

∂∂

=f x

bii

( *; *) *λλ

O sea, λ i* mide el grado de sensibilidad del valor óptimo de la función objetivo ante variaciones del segundo miembro bi de la i-ésima restricción g x bi i( ) = .

Si el CSF es convexo y "f" es estrictamente cóncavaconvexa{ }, el máximo

mínimo{ } global es

único .... y para acreditarlo (en el caso de que "f" sea estrictamente cóncava) basta sustituir el ≤ por < en la demostración precedente.


FONEMATO 5.6.1 A fin de racionarte el consumo de kalimocho, el gobierno te entrega una chapa de 27 2.π dm para que con ella construyas un recipiente cilíndrico que gratuita-mente te llenará de kalimocho semanalmente. 1) Determina el cilindro óptimo, comprobando que se trata de un máximo. 2) Si un litro de kalimocho vale 30 euros, ¿cuánto estarías dispuesto a pagar se-

manalmente por disponer de 1 dm2 más de chapa?

SOLUCIÓN Si x1 es el radio de la base del cilindro y x2 es la altura, su volumen es

f x x x x altura( ; ) . .1 2 12

2= ≡ ×π área de la basea f a f Como no somos gilipollas, el cilindro carecerá de base superior; así el área del cilindro será 27 2.π cm si π π π. . . . .x x x1

21 22 27+ =

• La función de Lagrange es:

L x x x x x x x( ; ; ) . . . . . . . .1 2 12

2 12

1 22 27λ π λ π π π= − + −c h • La condición necesaria de óptimo local exige la anulación del gradiente de

la función de Lagrange:

∇ = ⇒

= − + =

= − =

= − + − =

RS||

T||L x x

L x x x x

L x x

L x x x

x

x( ; ; )

. . . . . . . .

. . . .

. . . . .1 2

1 1 2 1 2

2 12

1

12

1 2

0

2 2 2 0

2 0

2 27 0

λ

π λ π π

π λ π

π π πλ

a fa f

c h

De la 12ªª{ } ecuación se deduce que λ λ

= +=

x x x xx

1 2 1 21 2

. /( )/ ,{ } por tanto:

x xx x

x xx x x x1 2

1 21 2

1 21 22

12

.+

= ⇒+

= ⇒ =

Haciendo x x1 2= en la 3ª ecuación del sistema, resulta:

π π π. . . .x x x x12

12

1 22 27 0 3+ − = ⇒ = =

Haciendo x x1 2 3= = en la 2ª ecuación del sistema, resulta λ = 3 2/ .

2 1. .π x

• x1

x2


• Condición suficiente

Si g x x x x( ) . . . . . ,= + −π π π12

1 22 27 el carácter del punto x0 3 3= ( ; ), para el que es λ0 3 2= / , está determinado por el signo que la forma cuadrática de ma-triz asociada H L xx ( ; )0 0λ tiene si se restringe al subespacio que forman los

vectores h h ht = 1 2 tales que ∇ • =g x h( )0 0.

Es:

h H L x h h

L xx

L xx x

L xx x

L xx

h

h x xx h

h h

g x

tx

t

t

x

t

• • = •

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂

L

N

MMMMM

O

Q

PPPPP• =

= • − −−

LNM

OQP • =

= • LNMOQP • =

∇

( ; )

( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; )

. . . . . . . .. . . .

. .

.

(

( ; )

0 0

2 0 0

12

2 0 0

1 22 0 0

2 1

2 0 0

22

2 11 0 0

0

2 2 2 22 2 0

3 33 0

λ

λ λ

λ λ

π π λ π π λπ π λ

π ππ

λ

) . . . . . .

. . .

. . .. .

. . . . . .( . . . ,

• = ⇒ + • LNMOQP = ⇒

⇒ • LNMOQP = ⇒ = −

= − • LNMOQP • −LNMOQP =

= + − = − < ∀ ≠

h x x x hh

hh h h

h h hh

h h h h h

x0 2 2 2 0

12 6 0 2

2 3 33 0 2

3 2 3 2 9 0 0

1 2 1 0 12

12

2 1

1 11

1

12

1 1 12

1

π π π

π π

π ππ

π π πa f

Como la forma cuadrática de matriz asociada H L xx ( ; )0 0λ es definida negativa

si se restringe al subespacio ∇ • =g x h( )0 0, el punto x0 3 3= ( ; ) corresponde a un máximo local estricto.

2) Es:

λ00

32= ≅ FH

IK

Variación

x

del volumen óptimo del cilindroVariación de área del cilindro

Por tanto, si el área sufre una variación de 1 dm2 , la variación aproximada del volumen óptimo es de 3

23dm ...... y como cada dm3 de kalimocho vale 30 eu-

ros (1 litro tiene 1 dm3 ), semanalmente estaríamos dispuestos a pagar como

máximo 32 30. euros por disponer de 1 dm2 más de chapa.


FONEMATO 5.6.2 La producción de una empresa es x x1

22. , siendo x1 y x2 las respectivas cantida-

des empleadas de dos ciertos inputs. La función de coste es C x x x x( ; ) . . .1 2 1 22 3= +

1) Halle la cantidad a emplear de cada input si se deben producir 9000 unidades. 2) Determine la variación de coste si se producen 9002 unidades

SOLUCIÓN Debemos minimizar C x x x x( ; ) . .1 2 1 22 3= + sujeto a x x1

22 900. = .

• La función de Lagrange es L x x x x x x( ; ; ) . . . .1 2 1 2 12

22 3 9000λ λ= + − −c h. • La condición necesaria de óptimo local exige la anulación del gradiente de


∇ = ⇒= − == − == − − =

RS|T|

L x xL x xL xL x x

xx( ; ; )

. . ..

.1 2

1 1 2

2 12

12

2

02 2 03 0

9000 0λ

λλ

λ c h

De la 12ªª{ } ecuación se deduce que

λλ==

RSTUVW

13

1 212

/( . )/ ,x x

x por tanto:

1 3 3 3

0 09000

1 2 12 1

21 2 1 2

12

2

x x xx x x x x

x

. . . .

.

= ⇒ = ⇒ =

= ==

al dividir los dos miembros por x eliminamos posibles solucionesdel sistema para las que x ..... pero si x no se cumple la

restricción x

11 1

Haciendo x x1 23= . en la 3ª ecuación del sistema, resulta:

9 9000 0 10 3023

2 1.x x x− = ⇒ = ⇒ =

Haciendo x1 230 10= = y x en la 2ª ecuación del sistema, resulta λ = 1 300/ .


Si g x x x( ) . ,= −12

2 9000 el carácter del punto x0 30 10= ( ; ), para el que es λ0 1 300= / , está determinado por el signo que la forma cuadrática de matriz asociada H L xx ( ; )0 0λ tiene si se restringe al subespacio que forman los vecto-

res h h ht = 1 2 tales que ∇ • =g x h( )0 0.

Es:

h H L x h h

L xx

L xx x

L xx x

L xx

htx

t• • = •

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂

L

N

MMMMM

O

Q

PPPPP• =( ; )

( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; )0 0

2 0 0

12

2 0 0

1 22 0 0

2 1

2 0 0

22

λ

λ λ

λ λ


= • − −−LNM

OQP • =

= • − −−LNM

OQP • =

∇ • = ⇒ • LNMOQP = ⇒

⇒ • LNMOQP = ⇒ = −

= − • − −−LNM

OQP •

−LNMMOQPP =

= −

h x xx h

h h

g x h x x x hh

hh h h

h h hh

t

xt

x

2 22 0

1 15 1 51 5 0

0 2 0

600 900 0 32

32

1 15 1 51 5 0

32

1

2 11 0 0

01 2 1

2 0 12

12

1 2

2 22

2

. . . .. .

/ //

( ) . .

.

. / //

.

( ; )

λ λλ λ

1532 2 1

532

2760 0 02

22 2 2

22. . .( ). . . . ,− + − − = > ∀ ≠h h h h he j e j

Como la forma cuadrática de matriz asociada H L xx ( ; )0 0λ es definida positiva

si se restringe al subespacio ∇ • =g x h( )0 0, el punto x0 30 10= ( ; ), correspon-de a un mínimo local estricto.

2) Es

λ00

1300= ≅ FH

IK

Variación

x

coste óptimoVariación de producción

Por tanto, si la producción aumenta 2 unidades, es:

λ00

1300= ≅ FH

IK

Variación

x

coste óptimo2

Así, la variación aproximada del coste óptimo es de 2300 .


FONEMATO 5.6.3 Determinar los óptimos de f x y z e e ex y z( ; ; ) = + +− − − si x y z+ + = 3.

SOLUCIÓN • La función de Lagrange es L x y z e e e x y zx y z( ; ; ; ) .λ λ= + + − + + −− − − 3a f . • La condición necesaria de óptimo local exige la anulación del gradiente de


∇ = ⇒

= − − = ⇒ = −= − − = ⇒ = −

= − − = ⇒ = −= − + + − =

RS||

T||

− −

− −

− −L x y z

L e eL e e

L e eL x y z

x x x

y y y

z z z( ; ; ; )λ

λ λλ λ

λ λ

λ

0

00

03 0a f

Obviamente, ha de ser x y z= = .

Haciendo x y z= = en la 4ª ecuación del sistema, resulta x y z= = = 1.

Haciendo x y z= = = 1 en la 1ª ecuación del sistema, resulta λ = −1/e.

• Condición suficiente Si g u x y z( ) ,= + + − 3 el carácter del punto u0 1 1 1= ( ; ; ), para el que es λ0 1= − / ,e está determinado por el signo que la forma cuadrática de matriz asociada H L uu ( ; )0 0λ tiene si se restringe al subespacio que forman los vecto-

res h h h ht = 1 2 3 tales que ∇ • =g u h( )0 0. Es:

h H L u h h

L ux

L ux y

L ux z

L uy x

L uy

L uy z

L uz x

L uz y

L uz

h

he

e

tu

t

t

• • = •

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂

L

N

MMMMMMM

O

Q

PPPPPPP

• =

= •

( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; )

//

/

0 0

2 0 0

2

2 0 0 2 0 0

2 0 0 2 0 0

2

2 0 0

2 0 0 2 0 0 2 0 0

2

1 0 00 1 00 0 1

λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

eh

LNMM

OQPP •

¡Yuppi!: como H L uu ( ; )0 0λ es definida positiva en ℜ3 , es definida positiva

en todo subespacio de ℜ3 ; por tanto, el punto u0 1 1 1= ( ; ; ) corresponde a un mínimo local estricto, que también es global, pues el problema es convexo, ya que el CSF es convexo (pues la restricción x y z+ + = 3 es lineal) y la función objetivo "f" es convexa.


FONEMATO 5.6.4 Determinar los óptimos de f x y z x y z( ; ; ) = + +2 2 2 si x y z+ + = 3.

SOLUCIÓN • La función de Lagrange es

L x y z x y z x y z( ; ; ; ) .λ λ= + + − + + −2 2 2 3a f • La condición necesaria de óptimo local exige la anulación del gradiente de


∇ = ⇒

= − = ⇒ == − = ⇒ == − = ⇒ == − + + − =

RS||

T||

L x y z

L x xL y yL z zL x y z

xy

z( ; ; ; )

. .. .. .

λ

λ λλ λλ λ

λ

0

2 0 22 0 22 0 2

3 0a f

Obviamente, ha de ser x y z= = .

Haciendo x y z= = en la 4ª ecuación del sistema, resulta x y z= = = 1.

Haciendo x y z= = = 1 en la 1ª ecuación del sistema, resulta λ = 2.

• Condición suficiente Si g u x y z( ) ,= + + − 3 el carácter del punto u0 1 1 1= ( ; ; ), para el que es λ0 2= , está determinado por el signo que la forma cuadrática de matriz aso-ciada H L uu ( ; )0 0λ tiene si se restringe al subespacio que forman los vectores

h h h ht = 1 2 3 tales que ∇ • =g u h( )0 0.

Es:

h H L u h h

L ux

L ux y

L ux z

L uy x

L uy

L uy z

L uz x

L uz y

L uz

h

h

tu

t

t

• • = •

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂

L

N

MMMMMMM

O

Q

PPPPPPP

• =

= •LNMM

O

( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; )

0 0

2 0 0

2

2 0 0 2 0 0

2 0 0 2 0 0

2

2 0 0

2 0 0 2 0 0 2 0 0

2

2 0 00 2 00 0 2

λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

QPP • h

¡Yuppi!: como H L uu ( ; )0 0λ es definida positiva en ℜ3 , es definida positiva

en todo subespacio de ℜ3 ; por tanto, el punto u0 1 1 1= ( ; ; ) corresponde a un mínimo local estricto, que también es global, pues el problema es convexo, ya que el CSF es convexo (pues la restricción x y z+ + = 3 es lineal) y la función objetivo "f" es convexa.


FONEMATO 5.6.5 Determine el paralelepípedo recto de área mínima y volumen unidad.

SOLUCIÓN Siendo "x", "y" y "z" las aristas paralelepípedo, su volumen es x y z. . , y su área está determinada por f x y z x y x z y z( ; ; ) . . . . . .= + +2 2 2 • La función de Lagrange es L x y z x y x z y z x y z( ; ; ; ) . . . . . . . . .λ λ= + + − −2 2 2 1a f • La condición necesaria:

∇ = ⇒

= + − = ⇒ =+

= + − = ⇒ =+

= + − = ⇒ =+

= − − =

R

S|||

T|||

L x y z

L y z y z y zy z

L x z x z x zx z

L x y x y x yx y

L x y z

x

y

z

( ; ; ; )

.( ) . . .( ).

.( ) . . .( ).

.( ) . . .( ).

. .

λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

0

2 0 2

2 0 2

2 0 2

1 0a f

Por tanto: y zy z

x zx z

x zx z

x yx y

y zy

x zx

x zz

x yy

x y z

+= +

+ =+

RS|

T|

UV|

W|⇒

+= +

+ =+

RS|

T|

UV|

W|⇒ = =. .

. .

Haciendo x y z= = en la 4ª ecuación del sistema, resulta x y z= = = 1. Haciendo x y z= = = 1 en la 1ª ecuación del sistema, resulta λ = 4 .

• Condición suficiente Si g u x y z( ) . . ,= − 1 el carácter de u0 1 1 1= ( ; ; ), para el que λ0 4= , lo determina el signo que la FC de matriz asociada H L uu ( ; )0 0λ tiene si se restringe al sub-

espacio de los vectores h h h ht = 1 2 3 tales que ∇ • =g u h( )0 0. Es:

h H L u h h h

g u hhhh

h h h

h h h hh h

hh

h h h h h h h h

tu

t• • = •− −

− −− −

LNMM

OQPP • =

∇ • = ⇒ •LNMMOQPP = ⇒ = − −

= − − •− −

− −− −

LNMM

OQPP •

− −LNMM

OQPP =

= − − − + − − + =

=

( ; )

( )

.( ). ( ). ( ). .

.

0 0

0 123

1 2 3

2 3 2 32 3

23

2 3 2 2 3 3 2 3

0 2 22 0 22 2 0

0 1 1 1 0

0 2 22 0 22 2 0

2 2

4

λ

a fh h h h h h h

h Definida p22

2 3 32

2 323

4 4 4 22 4+ + = • LNMOQP •LNMOQP⇒. . . ositiva

Así, el punto u0 1 1 1= ( ; ; ), corresponde a un mínimo local estricto.


FONEMATO 5.6.6 Determine el paralelepípedo de volumen máximo y área 6.

SOLUCIÓN Siendo "x", "y" y "z" las aristas paralelepípedo, su volumen es f x y z x y z( ; ; ) . .= , y si su área es 6, debe ser 2 2 2 6. . . . . . .x y x z y z+ + = • La función de Lagrange es L x y z x y z x y x z y z( ; ; ; ) . . . . . . . . .λ λ= − + + −2 2 2 6a f • La condición necesaria:

∇ = ⇒

= − + = ⇒ =+

= − + = ⇒ =+

= − + = ⇒ =+

= − + + − =

R

S

|||

T

|||

L x y z

L y z y z y zy z

L x z x z x zx z

L x y x y x yx y

L x y x z y z

x

y

z

( ; ; ; )

. . .( ) ..( )

. . .( ) ..( )

. . .( ) ..( )

. . . . . .

λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

0

2 0 22 0 2

2 0 22 2 2 6 0a f

Por tanto: y zy z

x zx z

x zx z

x yx y

yy z

xx z

zx z

yx y

y z x zx z x y x y z

..( )

..( )

..( )

..( )

. .. .

2 2

2 2

+=

+

+=

+

RS|

T|

UV|

W|⇒ +

=+

+=

+

RS|

T|

UV|

W|⇒ =

= ⇒ = ={ }

Haciendo x y z= = en la 4ª ecuación del sistema, resulta x y z= = = 1. Haciendo x y z= = = 1 en la 1ª ecuación del sistema, resulta λ = 1 4/ .

• Condición suficiente Si g u x y x z y z( ) . . . . . . ,= + + −2 2 2 6 el carácter del punto u0 1 1 1= ( ; ; ), para el que λ0 1 4= / , está determinado por el signo que la forma cuadrática de matriz asociada H L uu ( ; )0 0λ tiene si se restringe al subespacio que forman los vecto-


h H L u h h h

g u hhhh

h h h

h h h hh h

hh

h h h h h h

tu

t• • = •LNMM

OQPP • =

∇ • = ⇒ •LNMMOQPP = ⇒ = − −

= − − •LNMM

OQPP •

− −LNMM

OQPP =

= − − + − −

( ; )/ /

/ // /

( )

/ // // /

.( / ). ( ). ( ).

0 0

0 123

1 2 3

2 3 2 32 3

23

2 3 2 2 3

0 1 2 1 21 2 0 1 21 2 1 2 0

0 4 4 4 0

0 1 2 1 21 2 0 1 21 2 1 2 0

2 1 2

λ

3 2 3

22

2 3 32

2 323

1 1 21 2 1

+ =

= − − − = • − −− −LNM

OQP •LNMOQP⇒

h h

h h h h h h hh Definida n

.

. //

a fegativa

Así, el punto u0 1 1 1= ( ; ; ), corresponde a un máximo local estricto.


FONEMATO 5.6.7 Una cooperativa de aceite te entrega 12 m2 de chapa para que construyas un de-pósito paralelepipédico que te llenará gratuitamente de aceite. 1) Determina el paralelepípedo óptimo. 2) Si un litro de aceite vale 3 euros, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar por dispo-

ner de 1 m2 más de chapa?

SOLUCIÓN Siendo "x", "y" las dimensiones de la base del paralelepípedo y "z" su altura, el volumen es f x y z x y z( ; ; ) . .= .

Como no somos gilipollas, el paralelepípedo carecerá de base superior; así su área es 12, debe ser

x y x z y z. . . . .+ + =2 2 12

• La función de Lagrange es: L x y z x y z x y x z y z( ; ; ; ) . . . . . . . .λ λ= − + + −2 2 12a f

• La condición necesaria de óptimo local exige la anulación del gradiente de la función de Lagrange:

∇ = ⇒

= − + = ⇒ =+

= − + = ⇒ =+

= − + = ⇒ =+

= − + + − =

R

S

|||

T

|||

L x y z

L y z y z y zy z

L x z x z x zx z

L x y x y x yx y

L x y x z y z

x

y

z

( ; ; ; )

. .( . ) ..

. .( . ) ..

. . .( ) ..( )

. . . . .

λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

0

2 0 2

2 0 2

2 0 22 2 12 0a f

Por tanto: y z

y zx z

x zx z

x zx yx y

yy z

xx z

zx z

yx y

x yz y

..

..

..

..( )

. .

. .( )/

+=

+

+=

+

RS|

T|

UV|

W|⇒

+=

+

+=

+

RS|

T|

UV|

W|⇒

==RST

UVW2 2

2 2

2 2

2 22

Haciendo x y z y= =, /2 en la 4ª ecuación del sistema, resulta y = 2, por lo que x = 2 y z = 1. Sustituyendo en la 1ª ecuación del sistema, resulta λ = 1 2/ .

• Condición suficiente Si g u x y x z y z( ) . . . . . ,= + + −2 2 12 el carácter del punto u0 2 2 1= ( ; ; ), para el que λ0 1 2= / , está determinado por el signo que la forma cuadrática de matriz asociada H L uu ( ; )0 0λ tiene si se restringe al subespacio que forman los vecto-



h H L u h h h

g u hhhh

h h h

tu

t• • = •LNMM

OQPP • =

∇ • = ⇒ •LNMMOQPP = ⇒ = − −

( ; )/

/

( ) .

0 0

0 123

1 2 3

0 1 2 11 2 0 11 1 0

0 4 4 8 0 2

λ

= − − •LNMM

OQPP •

− −LNMM

OQPP =

= − − + − − + =

= − − − =

= • − −− −LNM

OQP •LNMOQP⇒

h h h hh h

hh

h h h h h h h h

h h h h

h h hh Definida n

2 3 2 32 3

23

2 3 2 2 3 3 2 3

22

2 3 32

2 323

20 1 2 1

1 2 0 11 1 0

2

2 12 2 2

2 41 11 4

./

/.

.. .( . ). ( . ). .

. . .

e j

egativa


2) Es:

λ00

12= ≅ FH

IK

Variación

u

del volumen óptimoVariación de área

Por tanto, si dispones de 1 m2 cuadrado más de chapa, la variación aproxima-da del volumen óptimo es de 1

23m ...... y como cada m3 de aceite vale 3000

euros, estaremos dispuestos a pagar como máximo 12 3000. euros por disponer

de 1 m2 más de chapa.


FONEMATO 5.6.8 Determínense las dimensiones de la caja de zapatos de mayor volumen que pue-de inscribirse en una esfera de radio unidad.

SOLUCIÓN Si el origen de coordenadas es el centro de la esfera y las dimensiones de la caja son 2 2. , .x y y 2.z, su volumen es f x y z x y z( ; ; ) . . .= 8 , y ha de ser x y z2 2 2 1+ + = , pues los vértices de la caja son puntos de una esfera de radio unidad. • La función de Lagrange es: L x y z x y z x y z( ; ; ; ) . . . .λ λ= − + + −8 12 2 2c h • La condición necesaria:

∇ = ⇒

= − = ⇒ == − = ⇒ == − = ⇒ == − + + − =

RS||

T||

L x y z

L y z x y z xL x z y x z yL x y z x y zL x y z

xy

z( ; ; ; )

. . . . . . /. . . . . . /. . . . . . /λ

λ λλ λλ λ

λ

0

8 2 0 48 2 0 48 2 0 4

1 02 2 2c h

De las tres primeras ecuaciones se deduce que x y z= = . Haciendo x y z y= =, en la 4ª ecuación del sistema, resulta y = 1 3/ , por lo que x z= = 1 3/ . Sustituyendo en la 1ª ecuación del sistema, resulta λ = 4 1 3. / .

• Condición suficiente Si g u x y z( ) ,= + + −2 2 2 1 el carácter de u0 1 3 1 3 1 3= ( / ; / ; / ), para el que λ0 4 1 3= . / , lo determina el signo que la FC de matriz asociada H L uu ( ; )0 0λ

en el subespacio de los vectores h h h ht = 1 2 3 tales que ∇ • =g u h( )0 0. Es:

h H L u h h h

g u hhhh

h h h

tu

t• • = •−

−−

L

NMMM

O

QPPP• =

∇ • = ⇒ •LNMMOQPP = ⇒ = − −

( ; ). / . / . /

. / . / . /

. / . / . /

( ) . / . / . /

0 0

0 123

1 2 3

8 1 3 8 1 3 8 1 38 1 3 8 1 3 8 1 38 1 3 8 1 3 8 1 3

0 2 1 3 2 1 3 2 1 3 0

λ

= − − •−

−−

L

NMMM

O

QPPP•− −LNMM

OQPP =

= − − − − − + − − +

+ − − + == − − − =

= •

h h h hh h

hh

h h h h h h hh h h h h

h h h h

h h

2 3 2 32 3

23

2 3 222

32

2 3 2

2 3 3 2 3

22

2 3 32

2 3

8 1 3 8 1 3 8 1 38 1 3 8 1 3 8 1 38 1 3 8 1 3 8 1 3

8 1 3 22 2

4 4 4

. / . / . /. / . / . /. / . / . /

. / . ( ) .( )..( ). . .

. . . .

cf

− −− −LNM

OQP •LNMOQP⇒

4 22 4

23

hh Definida negativa

Así, el punto u0 1 3 1 3 1 3= ( / ; / ; / ) corresponde a un máximo local estricto.


FONEMATO 5.6.9 Un examen consta de tres problemas y la puntuación que se obtiene en el i-ésimo ( , , )i = 1 2 3 es P i x i1 2= . . , siendo x i el tiempo empleado en él. La duración del examen es de 14.a minutos, donde a > 0 depende del humor del profesor. 1) Determina el tiempo a dedicar a cada problema para obtener la máxima pun-

tuación, comprobando que se trata de un máximo. 2) Determina la variación de la puntuación máxima producida por una variación

unitaria del tiempo total disponible

SOLUCIÓN Maximizar f x x x x x x( ; ; ) . . .1 2 3 1 2 32 4 6= + + s.a x x x a1 2 3 14+ + = . .

• La función de Lagrange es:

L x x x x x x x x x a( ; ; ; ) . . . . .1 2 3 1 2 3 1 2 32 4 6 14λ λ= + + − + + −a f • Condición necesaria:

∇ = ⇒

= − = ⇒ == − = ⇒ == − = ⇒ == − + + − =

RS||

T||

− −

− −

− −L x x x

L x xL x xL x xL x x x a

x

x

x( ; ; ; ) . .

. ..

/ /

/ /

/ /1 2 3

1 11 2

11 2

2 21 2

21 2

3 31 2

31 2

1 2 3

0

02 0 23 0 3

14 0

λ

λ λλ λλ λ

λ a f

Por tanto, ha de ser:

x xx x

x xx x

x x x a

x a x a x a a

11 2

21 2

21 2

31 2

1 23 2

22

2

2 1 3

22 3

49 4 4

94 14 0

4 9 1

− −

− −=

=

RS|T|

UV|W|⇒ =

=RST

UVW⇒ + + − = ⇒

⇒ = ⇒ = = =

/ /

/ /.

. ./

. /. .

. , . , /sustituyendo en la 4ª ecuación

λ

• Condición suficiente Si g x x x x a( ) . ,= + + −1 2 3 14 el carácter del punto x a a a0 4 9= ( ; . ; . ), para el que λ0 1= / ,a lo determina el signo de FC de matriz asociada H L xx ( ; )0 0λ

en el subespacio de los vectores h h h ht = 1 2 3 tales que ∇ • =g x h( )0 0.

h H L x h ha

aa

htx

t• • = •−

−−

L

NMMM

O

QPPP•

−−

−( ; )

/( . )

.( . ) /

0 03/2

3/23/2

2 0 00 4 00 0 3 9 2

λ

Como H L xx ( ; )0 0λ es definida negativa en ℜ3 , es definida negativa en todo

subespacio de ℜ3 ; así, x a a a0 4 9= ( ; . ; . ) es un máximo local estricto.

2) Es λ00

1= ≅ FHIK/ a Variación

x

de la puntuación máximaVariación de tiempo disponible ; por tanto, si se dis-

pone de una unidad más de tiempo, la puntuación máxima aumentará aproxi-madamente 1/ .a


FONEMATO 5.6.10

Determinar los óptimos de f x y z x y z( ; ; ) . .= sujeto a 2 2 503 30

. ..

x y zx y z+ + =+ + ={ }.


L x y z x y z x y z x y z( ; ; ; ; ) . . . . . . .λ μ λ μ= − + + − − + + −2 2 50 3 30a f a f. • Condición necesaria:

∇ = ⇒

= − − == − − == − − == − + + − == − + + − =

R

S||

T||

L x y z

L y zL x zL x yL x y zL x y z

xyz( ; ; ; ; )

. . ( )

. . ( ). . ( )

. . ( ). ( )

λ μ

λ μλ μλ μ

λμ

0

2 0 13 0 2

2 0 32 2 50 0 4

3 30 0 5a fa f

Restando miembro a miembro ( )1 y (3), resulta y z x y z x. . .− = ⇒ =0

Haciendo z x= en ( )4 y (5), resulta:

2 2 50 03 30 0

12 122

. ..

x y xx y x

x zy

+ + − =+ + − = ⇒ = ⇒ =

={ } { } Haciendo x z y= = =12 2, en ( )1 y (2):

24 2 0144 3 0

18 25264 5

− − =− − = ⇒ = −

=.

.//

λ μλ μ

λμ{ } {

• Condición suficiente Si g u x y z x y z( ) ( . . ; . ),= + + − + + −2 2 50 3 30 el carácter de u0 12 2 12= ( ; ; ), para el que es λ μ0 18 25 264 5= − =/ / y 0 , está determinado por el signo que la FC de matriz asociada H L uu ( ; ; )0 0 0λ μ tiene si se restringe al subespacio que

forman los vectores h h h ht = 1 2 3 tales que Jg u h( )0 0• = . Es:

h H L u h h h

Jg u hhhh

h h hh h h

hh h

h hh

hh

tu

t• • = •LNMM

OQPP • =

• = ⇒ LNMOQP •LNMMOQPP =LNMOQP⇒

⇒+ + =+ + =

RSTUVW⇒

== −

RST= − •

LNMM

OQPP • −

LNMMOQPP = −

( ; ; )

( )

. ..

.

0 0 0

0 123

1 2 31 2 3

23 1

1 11

1

0 12 212 0 122 12 0

0 2 1 21 3 1

00

2 2 03 0

0

00 12 2

12 0 122 12 0

0 4

λ μ

12

10 0< ∀ ≠, h



FONEMATO 5.6.11 Resuelva el siguiente problema en función de a ≠ 0.

Opt a x x a y y a z zs a x y z

. . .( ) . .( ) . .( ). : .

+ + + + ++ + =

1 1 12 2

SOLUCIÓN • La función de Lagrange es:

L x y z a x x a y y a z z x y z( ; ; ; ) . .( ) . .( ) . .( ) . .λ λ= + + + + + − + + −1 1 1 2 2a f • La condición necesaria de óptimo local exige la anulación del gradiente de


∇ = ⇒

= + − = ⇒ = += + − = ⇒ = += + − = ⇒ = += − + + − =

RS||

T||

L x y z

L a x a xL a y a yL a z a zL x y z

xy

z( ; ; ; )

.( . ) . .( . )/.( . ) .( . ).( . ) .( . )

.

λ

λ λλ λλ λ

λ

0

2 1 2 0 2 1 22 1 0 2 12 1 0 2 12 2 0a f

De las tres primeras ecuaciones se deduce que x y z y= + =2 12. , . Haciendo

x y z y= + =2 12. , en la 4ª ecuación del sistema, resulta y = 1 6/ por lo que

z = 1 6/ y x = 5 6/ .

Sustituyendo en la 2ª ecuación del sistema, resulta λ = 4 3. /a .

• Condición suficiente Si g u x y z( ) . ,= + + −2 2 el carácter del punto u0 5 6 1 6 1 6= ( / ; / ; / ), para el que λ0 4 3= . / ,a está determinado por el signo que la forma cuadrática de matriz asociada H L uu ( ; )0 0λ tiene si se restringe al subespacio que forman los vecto-

res h h h ht = 1 2 3 tales que ∇ • =g u h( )0 0.

Es:

h H L u h ha

aa

htu

t• • = •LNMM

OQPP •( ; )

..

.0 0

2 0 00 2 00 0 2

λ

¡Yuppi!:

∗ Si a > 0, la forma cuadrática de matriz asociada H L uu ( ; )0 0λ es definida po-sitiva en ℜ3 , por lo que es definida positiva en todo subespacio de ℜ3 ; así, el punto u0 5 6 1 6 1 6= ( / ; / ; / ), corresponde a un mínimo local estricto

∗ Si a < 0, la forma cuadrática de matriz asociada H L uu ( ; )0 0λ es definida ne-gativa en ℜ3 , por lo que es definida negativa en todo subespacio de ℜ3 ; así, el punto u0 5 6 1 6 1 6= ( / ; / ; / ), corresponde a un máximo local estricto.


FONEMATO 5.6.12

La función de utilidad de un consumidor es U x x x x( ; ) . ,/ /1 2 1

1 221 2= siendo x1 y

x2 las cantidades consumidas de sendos bienes de precios unitarios 3 y 5 u.m.

1) Si el consumidor gasta la totalidad de su renta, 90 u.m, en adquirir esos bienes, determine la cantidad que debe consumir de cada uno para maximizar su utili-dad. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange.

2) Si el consumidor no tuviese que gastar toda su renta, ¿se modificaría la canti-dad a consumir de estos bienes? ¿Qué cantidad consumiría de cada uno? Re-suélvalo gráficamente.

SOLUCIÓN

1) Debemos maximizar U x x x x( ; ) ./ /1 2 1

1 221 2= sujeto a 3 5 901 2. .x x+ = .

• La función de Lagrange: L x x x x x x( ; ; ) . . . ./ /1 2 1

1 221 2

1 23 5 90λ λ= − + −a f • La condición necesaria de óptimo local exige la anulación del gradiente de


∇ = ⇒

= − = ⇒ =

= − = ⇒ =

= − + − =

R

S|||

T|||

L x x

Lxx

xx

Lxx

xx

L x x

x

x( ; ; )

..

.

..

.. .

1 2

12

1

2

1

21

2

1

2

1 2

02

3 06

25 0

103 5 90 0

λ

λ λ

λ λ

λ a f

Por tanto:

xx

xx

x x x x2

1

1

22 1 1 26 10

10 6 53. .

. . .= ⇒ = ⇒ =

Haciendo x x1 253= . en la 3ª ecuación del sistema, resulta:

3 53 5 90 0 9 152 2 2 1. . .x x x x+ − = ⇒ = ⇒ =

Sustituyendo en la 2ª ecuación del sistema, resulta λ = 12 15.

.


Siendo x0 15 9= ( ; ) y λ0 12 15

=.

, como la forma cuadrática de matriz asocia-

da H L xx ( ; )0 0λ es definida negativa en todo punto del dominio económico

del problema, el punto x0 15 9= ( ; ) corresponde a un máximo local estricto.

2) Debemos maximizar U x x x x( ; ) ./ /1 2 1

1 221 2= sujeto a

3 5 90 0 01 2 1 2. . ; ;x x x x+ ≤ ≥ ≥


El CSF es el sombreado en la siguiente figura.

La curva Sk de nivel "k" de la utilidad es S x x x x kk = ∈ℜ =( ; ) / ./ /1 2 2

11 2

21 2o t

Como la utilidad toma igual valor en los puntos de una misma curva de nivel, la solución corresponde al punto del CSF por el que pasa la curva de nivel de con mayor valor de "k". Al superponer las figuras resulta evidente que la solución es el punto en que la recta 3 5 901 2. .x x+ = es tangente a la curva de nivel. Como la pendiente de la recta es −3 5/ y la pendiente de U x x x x k( ; ) ./ /

1 2 11 2

21 2= = es

dxdx

U x xU x x

x x

x x

xx

x

x21

1 1 2

2 1 2

11 2

21 2

11 2

21 2

21

1212

= − = − = −−

−

( ; )( ; )

. .

. .

/ /

/ /

ha de ser − = − ⇒ =35

53

21

1 2xx x x. , que coincide con el resultado de Lagrange.

Por tanto, no se modifica la cantidad a consumir de cada bien.

FONEMATO 5.6.13 Sea el programa Opt. 2. .x y sujeto a x y2 24 72+ =.

1) Resuélvalo mediante el método de Lagrange. 2) Dé significado económico al problema. En este caso, ¿cuál sería su solución?

SOLUCIÓN • La función de Lagrange es L x y x y x y( ; ; ) . . . .λ λ= − + −2 4 722 2c h • Condición necesaria:

∇ = ⇒

= − = ⇒ =

= − = ⇒ =

= − + − =

R

S||

T||

L

L y x yx

L x y xy

L x y

x

y0

2 2 0

2 8 0 44 72 02 2

. . .

. . . ..

λ λ

λ λ

λ c h

Haciendo x y2 24= . en la 3ª ecuación del sistema, resulta:

⇒ = ⇒ =yx

xy x y4 42 2

. .

x1

x2

30

18

x1

x2k↑


4 4 72 0 9

3 4 3 36 6 1 26 1 2

3 4 3 36 6 1 26 1 2

2 2 2

2 2

2 2

. .

. //

.( ) //

y y y

y x xx

y x xx

+ − = ⇒ = ⇒

⇒= ⇒ = = ⇒ = ⇒ =

= − ⇒ = −RST

= − ⇒ = − = ⇒ = ⇒ = −= − ⇒ =RST

RS|

T|

λλ

λλ

Los puntos u u u u1 2 3 46 3 6 3 6 3 6 3= = − = − = − −( ; ), ( ; ), ( ; ) ( ; ) y satisfacen la condición necesaria


Si g u x y( ) .= + −2 24 72 es ∇ =g u x y( ) . .2 8 , y H L uu ( ; ) ..λ λλ= −

−2 22 8 .

∗ El punto u1 6 3= ( ; ), con λ = 1 2/ , es un máximo local estricto, pues:

h H L u h h h hh h

g h hh h h

tu• = • = − • −

− • −LNMOQP = − <

∇ • = ⇒ • LNMOQP = ⇒ = −

( ; ) . . .

( ; ) .

1 2 22

2 22

12

1 2

12 2 1 2

2 42 16 0

6 3 0 12 24 0 2

λ

∗ El punto u2 6 3= −( ; ), con λ = −1 2/ , es un mínimo local estricto, pues:

h H L u h h h hh h

g h hh h h

tu• = − • = • • LNM

OQP = >

∇ − • = ⇒ − • LNMOQP = ⇒ =

( ; ) . . .

( ; ) .

2 2 22

2 22

12

1 2

12 2 1 2

2 42 16 0

6 3 0 12 24 0 2

λ

∗ El punto u3 6 3= −( ; ), con λ = −1 2/ , es un mínimo local estricto, pues:

h H L u h h h hh h

g h hh h h

tu• = − • = • • LNM

OQP = >

∇ − • = ⇒ − • LNMOQP = ⇒ =

( ; ) . . .

( ;. ) .

3 2 22

2 22

12

1 2

12 2 1 2

2 42 16 0

6 3 0 12 24 0 2

λ

∗ El punto u4 6 3= − −( ; ), con λ = 1 2/ , es un máximo local estricto, pues:

h H L u h h h hh h

g h hh h h

tu• = • = − • −

− • −LNMOQP = − <

∇ − − • = ⇒ − − • LNMOQP = ⇒ = −

( ; ) . . .

( ;. ) .

4 2 22

2 22

12

1 2

12 2 1 2

2 42 16 0

6 3 0 12 24 0 2

λ

Si la función objetivo f x y x y( ; ) . .= 2 es la de producción de una empresa que emplea dos inputs en cantidades "x" e "y" y C x y x y( ; ) .= +2 24 es la función de costes de la empresa, hemos maximizado la producción cuando el coste es 72; en tal caso, la única solución con sentido económico es u1 6 3= ( ; ), que corresponde a un máximo local estricto.


FONEMATO 5.6.14 Un consumidor, ante el consumo de dos bienes, se enfrenta al problema:

Max U x x Ln x Ln x x p x M. : ( ; ) . . . .1 2 1 2 1 2 212

12= + + = sujeto a p1

siendo x1 y x2 las cantidades a consumir de cada uno de los bienes, p1 y p2 los precios unitarios, "M" su renta y U x x( ; )1 2 su función de utilidad. Determine la cantidad óptima a consumir de cada bien en función de los precios y de la renta. ¿Qué variación experimentará la utilidad ante un aumento unitario de la renta cuando el consumo es óptimo?


L x x Ln x Ln x x p x M( ; ; ) . . . . .1 2 1 2 1 2 212

12λ λ= + − + −p1a f

• La condición necesaria de óptimo local exige la anulación del gradiente de la función de Lagrange:

∇ = ⇒

= − = ⇒ =

= − = ⇒ =

= − + − =

R

S||

T||

L x x

L x p p x

L x p p xL x p x M

x

x( ; ; )

. . . .

. . . .. .

1 2

1 11

1 1

2 22

2 2

1 2 2

0

12 0 1

21

2 0 120

λ

λ λ

λ λ

λ p1a f

Por tanto: 1

21

21 1 2 21 1 2 2 1

21

2. . . . . . .p x p x p x p x x pp x= ⇒ = ⇒ =

Haciendo x pp x1

21

2= . en la 3ª ecuación del sistema, resulta:

p1. . . . .

. .

pp x p x M p x M

x Mp x M

p M

21

2 2 2 2 2

22

11

0 2

2 21

+ − = ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒ =λ


Siendo x Mp

Mp

01 22 2= ( . ; . ) y λ0 1= M , como la forma cuadrática de matriz aso-

ciada H L xx ( ; )0 0λ es definida negativa en todo punto del dominio económico

del problema, el punto x0 corresponde a un máximo local estricto.

• Es:

λ00

1= ≅ FHIKM

Variación

x

del la utilidad óptimaVariación de renta

Así, si la renta aumenta una unidad, la variación aproximada de la utilidad óptima es 1/ .M


5.7 MÉTODO DIRECTO DE RESOLUCIÓN Si el sistema de "m" ecuaciones g x b m( ) = ∈ℜ es tan tontorrón que pueden ex-plicitarse (despejarse) "m" de las "n" variables de decisión en función de las res-tantes " "n m− variables, sustituyendo las primeras en la función objetivo, el problema se transforma en un problema de optimización sin restricciones. • Por ejemplo, si f :ℜ ℜ2 es tal que f x x x x( ; ) .1 2 1

222 2= + + , en el pro-

blema de optimizar "f" sujeta a la restricción x x13

2 2 0− − = , tenemos la suer-te de poder explicitar (despejar) la variable x2 :

x x x h x x13

2 2 1 132 0 2− − = ⇒ = = −( )

Así, nuestro problema se reduce a optimizar la función u:ℜ ℜ tal que u x f x h x x x( ) ( ; ( )) .( )1 1 1 1

2132 2 2= = + − +

Condición necesaria: u x x x x'( ) . . , /1 1 12

12 6 0 0 1 3= + = ⇒ = −

Condición suficiente:

Como u x

u xxx

' '( ) .' '( / ) . /

0 2 12 2 01 3 2 12 2 0

1 1 01 1 1 3

= + = >− = + = − <

RSTUVW

==−

a fa f , la función "u" presenta un

mínimomáximo{ } local estricto en el punto x

x1

101 3

== − /{ }, y la función "f", sujeta a la

restricción la restricción x x13

2 2 0− − = , presenta un mínimomáximo{ } local estricto

en el punto x x hx x h

1 21 2

0 0 21 3 1 3 55 27= = = −

= − = − = −, ( )

/ , ( / ) /{ }. • Por ejemplo, considera que buscamos las dimensiones de la caja de zapatos

de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio unidad. Tomando como origen de coordenadas el centro de la esfera, si 2 21 2. , .x x y 2 3.x son las dimensiones de la caja, su volumen es f x x x x x x( ; ; ) . . .1 2 3 1 2 38= .... y debe cumplirse la restricción x x x1

222

32 1+ + = , pues los vértices de la caja

son puntos de una esfera de radio unidad. Tenemos la suerte de poder explicitar (despejar) la variable x3:

x x x x h x x x x12

22

32

3 1 2 12

221 1+ + = ⇒ = = − −( ; )

Así, nuestro problema se reduce a maximizar la función u:ℜ ℜ2 tal que

u x x f x x h x x x x x x( ; ) ( ; ; ( ; )) . . .1 2 1 2 1 2 1 2 12

228 1= = − −

Condición necesaria:

u x x xx

x x

u x x xx

x x

xx

x

x

1 2 12

22 1

2

12

22

2 1 12

22 2

2

12

22

1

2

8 11

0

8 11

0

1 31 3

= − − −− −

FHG

IKJ=

= − − −− −

FHG

IKJ=

U

V|||

W|||

⇒ ⇒=

=

RSTUVW

. .

. .

....//


Condición suficiente:

Como Hu( / ; / ) / // /

1 3 1 3 32 3 16 316 3 32 3

= − −− −LNM

OQP es definida negativa, la función

"u" presenta un máximo local estricto en el punto ( / ; / )1 3 1 3 , y la función "f", sujeta a la restricción la restricción x x x1

222

32 1+ + = , presenta un máximo

local estricto en el punto ( / ; / ; ( / ; / )) ( / ; / ; / ).1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3h ≡


5.8 OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD

Siendo diferenciable g A n m: ⊆ℜ ℜ , buscamos los puntos de ℜn que verifi-can el sistema de "m" inecuaciones g x b m( ) ≤ ∈ℜ y hacen que la función dife-renciable f A n: ⊆ℜ ℜ presente un máximo o un mínimo:

Opt f x g x b. ( ) ( ) sujeto a ≤

• Se dice que la solución factible x* satura la restricción g x bi i( ) ≤ si la satisface son el signo de igualdad; o sea, si g x bi i( *) = .

• Se dice que la solución factible x* no satura la restricción g x bi i( ) ≤ si la satis-face son el signo de desigualdad; o sea, si g x bi i( *) .<

• Se dice que la solución factible x* es regular si los gradientes de las restriccio-nes saturadas en x* son vectores linealmente independientes. Por ejemplo, si las restricciones son g x x x x y g x x x1 1 2 1 3 2 2 1 2 21 0 2 0( ; ) ( ) ( ; ) .= − − ≤ = ≤ , es claro que el punto ( ; )1 0 satura ambas, pues g y g1 21 0 0 1 0 0( ; ) ( ; )= = , pero no es regular, ya que los vectores ∇ = − − − = −g x1 1

21 01 0 3 1 1 0 1( ; ) ( .( ); ) ( ; )( ; ) y

∇ =g2 1 0 0 2( ; ) ( ; ) no son linealmente independientes.

5.9 CONDICIONES DE KHUN-TUCKER • Si la solución factible regular x corresponde a un mínimo local, el vector ∇f x( ) es combinación lineal no positiva (de coeficientes no positivos) de los gradientes de las restricciones saturadas en x .... y al expresar matemáticamente esta condición, resulta:

1 0

2 0 1 23 0 1 24 1 2

1) ( ) ( )

) , , , .... ,) .( ( ) ) , , , .... ,) ( ) , , , .... ,

∇ − •∇ =

≤ ∀ =− = ∀ =

≤ ∀ =

=∑f x g x

i mg x b i m

g x b i m

i

mi i

i

i i i

i i

λ

λλ

• Si la solución factible regular x corresponde un máximo local, el vector ∇f x( ) es combinación lineal no negativa (de coeficientes no negativos) de los gradientes de las restricciones saturadas en x .... y al expresar matemáticamente esta condición, resulta:

1 0

2 0 1 23 0 1 24 1 2

1) ( ) ( )

) , , , .... ,) .( ( ) ) , , , .... ,) ( ) , , , .... ,

∇ − •∇ =

≥ ∀ =− = ∀ =

≤ ∀ =

=∑f x g x

i mg x b i m

g x b i m

i

mi i

i

i i i

i i

λ

λλ


EJERCICIO 5.9.1 Resuelva gráficamente el siguiente programa, comprobando que las soluciones obtenidas satisfacen las condiciones de Kuhn Tucker.

Opt f x x x x. ( ; ) ( )1 2 12

2 21= + − sujeto a x x

x12

22

116 4 1 0 1 0+ − ≤ − ≥,

SOLUCIÓN El CSF es el sombreado en la figura. La curva Sk de nivel "k" de la función obje-tivo "f" es la circunferencia de centro en el punto ( ; )0 1 y radio k:

S x x f x x k x x x x kk = ∈ℜ = = ∈ℜ + − =( ; ) / ( ; ) ( ; ) / ( )1 2 2 1 2 1 2 212

2 21m r n s Como "f" toma el mismo valor en todo punto de una misma curva de nivel, el mínimo (máximo) corresponde al punto del CSF por el que pasa la curva de nivel de "f" con menor (mayor) valor de "k".

• Obviamente, el mínimo se presenta en el punto A = ( ; ).1 1

• Hallamos el máximo "B" observando que está en la elipse x x1

222

16 4 1 0+ − = y

que dicha elipse y la circunferencia x x k12

2 21+ − =( ) son tangentes en "B", por lo que tienen igual pendiente en "B".

Siendo g x xx x

1 1 212

22

16 4 1( ; ) = + − , la pendiente de la elipse x x1

222

16 4 1+ = es

dxdx

g x x xg x x x

xx

xx

21

1 1 2 11 1 2 2

12

12

82 4= −

∂ ∂∂ ∂

= − = −( ; )/( ; )/

// .

La pendiente de la circunferencia f x x k( ; )1 2 = es

41

1

•B

• Ax1

x2

•

k A

x x12

22

16 4 1 0+ − =

x1 1 0− =


dxdx

f x x xf x x x

xx

xx

21

1 2 11 2 2

12

12

22 1 1= −

∂ ∂∂ ∂

= −−

= −−

( ; )/( ; )/

..( )

Así, el máximo es B = −( . ; )2 353

13 , que corresponde a la solución del sistema:

x x xx

xx

12

22

12

1216 4 1 0 4 1+ − = − = −−

; .

• Para comprobar que "A" y "B" satisfacen las condiciones de Kuhn Tucher, lo primero es expresar todas las restricciones de la forma g x bi i( ) :≤

x x

x

g x xx x

g x x x

12

22

1

1 1 212

22

2 1 2 1

16 4 1 0

1 016 4 1

1 0

+ − ≤

− ≥

UV|W|⇒ = + −

= − + ≤

RS|T|

( ; )

( ; )

• El mínimo A = ( ; )1 1 es solución factible regular, pues satisface las restricciones del problema y los gradientes de las restricciones saturadas en A = ( ; )1 1 son vectores LI, ya que A = ( ; )1 1 sólo satura la restricción g x x x2 1 2 1 1 0( ; ) = − + ≤ y el vector ∇ = −g2 1 1 1 0( ; ) ( ; ) es LI, pues no es el vector cero. Así, solo falta comprobar que el vector ∇ = − =f x x( ; ) ( . ; .( ) ( ; )( ; )1 1 2 2 1 2 01 2 1 1 es CL no posi-tiva de ∇ = −g2 1 1 1 0( ; ) ( ; ), lo que es evidente, pues ∇ = − •∇f g( ; ) ( ) ( ; )1 1 2 1 12 .

Atent@: el que

∇ = • ∇ + − • ∇f g g( ; ) ( ; ) ( ) ( ; )1 1 0 1 1 2 1 11 2

indica que al resolver el problema de mínimo a lo bestia, exigiendo que 1 02 0 1 23 0 1 24 1 2

1 1 2 2) ( ) ( ) ( )) , ,) .( ( ) ) , ,) ( ) , ,

∇ − •∇ − •∇ =≤ ∀ =

− = ∀ =≤ ∀ =

f x g x g xi

g x b ig x b i

i

i i i

i i

λ λλλ

los multiplicadores correspondientes al mínimo ( ; )1 1 son λ1 0= y λ2 2= − , siendo previsible el resultado λ1 0= , pues la restricción g x x1 1 2 0( ; ) ≤ no se satura en el mínimo ( ; )1 1 .

• El máximo B = −( . ; )2 353

13 es solución factible regular, pues satisface las res-

De la 2ª resulta 4 12 2. ;x x= − así, es x2 1 3= − / , que sustituido en la 1ª da: x

x x12

12

1

1

16136 1 0 16 35

362 35

32 35 3

+ − = ⇒ = ⇒ =

= −

. .

. / ,descartamos x pues la abcisa de "B" es positiva

Según K−T, al optimizar f x g x( ) ( ) sujeto a ≤ 0, si la solución factible regular x es un mínimo (máximo) local, el vector ∇f x( ) es combinación lineal no po-

sitiva (no negativa) de los gradientes de las restricciones saturadas en x .


tricciones del problema y los gradientes de las restricciones saturadas en "B"

son LI, ya que "B" sólo satura la restricción g x xx x

1 1 212

22

16 4 1 0( ; ) = + − ≤ y el

vector ∇ − = −g12 35

313

3512

16( . ; ) ( ; ) es LI, pues no es el vector cero. Así, solo

falta comprobar que ∇ − = −f ( . ; ) ( . ; )2 353

13

4 353

83 es CL no negativa de

∇ − = −g12 35

313

3512

16( . ; ) ( ; ), lo que es obvio:

∇ − = •∇ −f g( . ; ) ( . ; )2 353

13 16 2 35

3131

Atent@: el que

∇ − = • ∇ − + • ∇ −f g g( . ; ) ( . ; ) ( . ; )2 353

13 16 2 35

313 0 2 35

3131 2

indica que al resolver el problema de máximo a lo bestia, exigiendo que

1 02 0 1 23 0 1 24 1 2

1 1 2 2) ( ) ( ) ( )) , ,) .( ( ) ) , ,) ( ) , ,

∇ − •∇ − •∇ =≥ ∀ =

− = ∀ =≤ ∀ =

f x g x g xi

g x b ig x b i

i

i i i

i i

λ λλλ

los multiplicadores correspondientes al máximo ( . ; )2 353

13− son λ1 16= y

λ2 0= , siendo previsible el resultado λ2 0= , pues en el máximo ( . ; )2 353

13−

no se satura la restricción g x x2 1 2 0( ; ) ≤ .


EJERCICIO 5.9.2 En el programa Mín f x x x x x. ( ; ) . . .1 2 1

222 12 3 2= − − sujeto a x x1

222 1 0+ − ≤ , de-

termínense los puntos que cumplen la condición de Kuhn Tucker. SOLUCIÓN Según Kuhn Tucker, al minimizar f x g x( ) ( ) sujeto a ≤ 0, si la solución factible regular x es un mínimo local, el vector ∇f x( ) es combinación lineal no positiva de los gradientes de las restricciones saturadas en x .... y al expresar matemáti-camente esta condición, resulta:

1 0

2 0 1 23 0 1 24 0 1 2

1) ( ) ( )

) , , , .... ,) . ( ) , , , .... ,) ( ) , , , .... ,

∇ − •∇ =

≤ ∀ == ∀ =

≤ ∀ =

=∑f x g x

i mg x i m

g x i m

i

mi i

i

i i

i

λ

λλ

En nuestro caso, como f x x x x y g x x x( ) . . . ( )= − − = + −2 3 2 112

22

1 12

22 , es:

∇ = −−LNM

OQP ∇ = LNM

OQPf x x

x g x xx( ) .

. ; ( ) ..

4 26

22

12

12

Por tanto, los puntos que pueden ser solución del problema han de satisfacer el siguiente sistema de condiciones:

1 4 26

22

00

4 2 2 06 2 0

2 0

3 1 00

1 04 1 0

12

12

1 12 2

12

22

12

22

12

22

) ..

.

.. . .

. . .)

) .( )

)

xx

xx

x xx x

x x óx x

x x

−−LNM

OQP − • LNM

OQP =LNMOQP⇒

− − =− − =RST

≤

+ − = ⇒=

+ − =

RS|T|

+ − ≤

λ λλ

λ

λλ

El sistema se desdobla en los dos siguientes:

( ):

) . . .. . .

)))

/ , ,I

x xx x

x x

x x

1 4 2 2 06 2 0

2 03 04 1 0

1 2 0 0

1 12 2

12

22

1 2

− − =− − =RST≤=+ − ≤

R

S||

T||

U

V||

W||⇒ = = =

λλ

λλ

λ

( )

) . . .. . .

)))

, ,, ,

/ , ' ,/ , ' ,

II

x xx x

x xx x

x xx xx xx x

1 4 2 2 06 2 0

2 03 1 04 1 0

1 0 1 01 0 3

1 5 0 96 31 5 0 96 3

1 12 2

12

22

12

22

1 21 21 21 2

− − =− − =RST≤+ − =+ − ≤

R

S||

T||

U

V||

W||⇒

= = = > ⇒= − = = ⇒= = = −= = − = −

RS||

T||

λλ

λ

λλ

λλ

no cumple 2)no cumple 2)

En definitiva, los únicos puntos que satisfacen la condición necesaria de Kuhn Tucker son ( / ; ), ( / ; ' ) ( / ; ' )1 2 0 1 5 0 96 1 5 0 96 y − .


EJERCICIO 5.9.3 Determínense los puntos que cumplen la condición de Kuhn Tucker.

Mín x x x x x x. . . . . .2 2 10 1012

1 2 22

1 2+ + − −c h s.a. x xx x12

22

1 2

5 03 6 0

+ − ≤+ − ≤

RST .

SOLUCIÓN Según Kuhn Tucker, al minimizar f x g x( ) ( ) sujeto a ≤ 0, si la solución factible regular x es un mínimo local, el vector ∇f x( ) es combinación lineal no positiva de los gradientes de las restricciones saturadas en x .... y al expresar matemáti-camente esta condición, resulta:

1 0

2 0 1 23 0 1 24 0 1 2

1) ( ) ( )

) , , , .... ,) . ( ) , , , .... ,) ( ) , , , .... ,

∇ − •∇ =

≤ ∀ == ∀ =

≤ ∀ =

=∑f x g x

i mg x i m

g x i m

i

mi i

i

i i

i

λ

λλ

En nuestro caso, como f x x x x x x xg x x x g x x x

( ) . . . . .( ) ; ( ) .= + + − −= + − = + −2 2 10 10

5 3 612

1 2 22

1 21 1

222

2 1 2

es:

∇ = + −+ −

LNM

OQP ∇ = LNM

OQP ∇ = LNM

OQPf x x x

x x g x xx g x( ) . .

. . ; ( ) .. ; ( )4 2 10

2 2 1022

31

1 21 2

112

2


1 4 2 102 2 10

22

31

00

2 0 0

3 5 03 6 0

0 5 00 3 6 0

4 5 03 6 0

1 21 2

112

2

1 2

1 12

22

2 1 21 1

222

2 1 2

12

22

1 2

) . .. .

..

) ,

) .( ).( . ) .

).

x xx x

xx

x xx x

ó x xó x x

x xx x

+ −+ −

LNM

OQP − • LNM

OQP − • LNM

OQP =LNMOQP

≤ ≤

+ − =+ − =

RSTUVW⇒

= + − == + − =

RST+ − ≤+ − ≤

R

λ λ

λ λ

λλ

λλ

STUVW

El sistema se desdobla en los cuatro siguientes, que pueden no tener solución:

( )

) . .. .

.

.) ,

)

).

I

x xx x

xx

x xx x

1 4 2 102 2 10

22

31

00

2 0 0

3 00

4 5 03 6 0

1 21 2

112

2

1 2

12

12

22

1 2

+ −+ −

LNM

OQP − • LNM

OQP − • LNM

OQP =LNMOQP

≤ ≤==

+ − ≤+ − ≤

RSTUVW

R

S

||||

T

||||

λ λ

λ λλλ{


( )

) . .. .

..

) ,

) .

).

II

x xx x

xx

x x

x xx x

1 4 2 102 2 10

22

31

00

2 0 0

3 03 6 0

4 5 03 6 0

1 21 2

112

2

1 2

11 2

12

22

1 2

+ −+ −

LNM

OQP − • LNM

OQP − • LNM

OQP =LNMOQP

≤ ≤=+ − =

+ − ≤+ − ≤

RSTUVW

R

S

||||

T

||||

λ λ

λ λλ{

( )

) . .. .

.

.) ,

)

).

III

x xx x

xx

x x

x xx x

1 4 2 102 2 10

22

31

00

2 0 0

3 5 00

4 5 03 6 0

1 21 2

112

2

1 2

12

22

2

12

22

1 2

+ −+ −

LNM

OQP − • LNM

OQP − • LNM

OQP =LNMOQP

≤ ≤

+ − ==

RST+ − ≤+ − ≤

RSTUVW

R

S

||||

T

||||

λ λ

λ λ

λ

( )

) . .. .

..

) ,

).

).

IV

x xx x

xx

x xx x

x xx x

1 4 2 102 2 10

22

31

00

2 0 0

3 5 03 6 0

4 5 03 6 0

1 21 2

112

2

1 2

12

22

1 2

12

22

1 2

+ −+ −

LNM

OQP − • LNM

OQP − • LNM

OQP =LNMOQP

≤ ≤

+ − =+ − =

RST+ − ≤+ − ≤

RSTUVW

R

S

||||

T

||||

λ λ

λ λ

Por ejemplo, la solución de ( )III es

x x1 2 1 21 2 1 0= = = − =; ; ;λ λ

que satura a x x12

22 5 0+ − ≤ y no satura a 3 6 01 2. .x x+ − ≤

Para averiguar si el punto ( ; )1 2 corresponde a un mínimo, eliminamos las restric-ciones no saturadas en ( ; )1 2 , y las saturadas las tomamos con el signo de igual-dad; después estudiamos el carácter del punto ( ; )1 2 en el problema

Mín x x x x x x. . . . . .2 2 10 1012

1 2 22

1 2+ + − −c h s.a. x x12

22 5 0+ − =

Para programas convexos, las condiciones de Kuhn Tucher son condiciones necesarias y suficientes de optimalidad global.


EJERCICIO 5.9.4 Determínense los puntos que cumplen la condición de Kuhn Tucker.

Máx x x x x. . .3 41 2 13

22+ − −c h s.a. x x

x x1 21 2

1 00 0

+ − ≤≥ ≥,{

SOLUCIÓN

Lo primero es expresar todas las restricciones de la forma g x bi i( ) :≤

Máx x x x x. . .3 41 2 13

22+ − −c h s.a.

x xxx

1 2

1

2

1 000

+ − ≤− ≤− ≤

RS|T|

Según Kuhn Tucker, al maximizar f x g x( ) ( ) sujeto a ≤ 0, si la solución factible regular x es un mínimo local, el vector ∇f x( ) es combinación lineal no negativa de los gradientes de las restricciones saturadas en x .... y al expresar matemáti-camente esta condición, resulta:

1 0

2 0 1 23 0 1 24 0 1 2

1) ( ) ( )

) , , , .... ,) . ( ) , , , .... ,) ( ) , , , .... ,

∇ − •∇ =

≥ ∀ == ∀ =

≤ ∀ =

=∑f x g x

i mg x i m

g x i m

i

mi i

i

i i

i

λ

λλ

En nuestro caso, como f x x x x x

g x x x g x x g x x( ) . .

( ) ; ( ) ; ( )= + − −

= + − = − = −

3 41

1 2 13

22

1 1 2 2 1 2 2

es:

∇ = −−LNM

OQP ∇ = LNM

OQP ∇ = −L

NMOQP ∇ = −

LNMOQPf x x

xg x g x g x( ) .

.; ( ) ; ( ) ; ( )3 3

4 211

10

01

12

21 2 3


1 3 34 2

11

10

01

00

2 0 0 0

31 0

00

0 1 00 00 0

41 0

12

21 2 3

1 2 3

1 1 22 13 2

1 1 22 13 2

1 2

) ..

) , ,

).( ).( ).( )

)

−−LNM

OQP − • LNM

OQP − • −L

NMOQP − • −

LNMOQP =LNMOQP

≥ ≥ ≥

+ − =− =− =

RS|T|

UV|W|⇒

= + − == == =

RS|T|

+ − ≤−

xx

x xxx

ó x xó xó x

x xx

λ λ λ

λ λ λ

λλλ

λλλ

12

00

≤− ≤

RS|T|

UV|W|x

• Si λ λ λ1 2 30 0 0= = =, ,y es x2 2 1= = ±y x1 .

El punto ( ; )−1 2 se descarta, pues no cumple la restricción − ≤x1 0 El punto ( ; )1 2 se descarta, pues no cumple la restricción x x1 2 1 0+ − ≤


• Si λ λ1 2 20 0 0= = =, ,y x es λ3 4 0= − < ⇒ se descarta.

• Si λ λ1 3 10 0 0= = =, ,y x es λ2 3 0= − < ⇒ se descarta.

• Si λ1 1 20 0 0= = =, ,x y x es λ2 3 0= − < ⇒ se descarta.

• Si x x y1 2 2 31 0 0 0+ − = = =, ,λ λ es:

1 3 34 2

11

00

2 0 0 0

31 0

00

41 0

00

13

23

83

12

21

1 2 3

1 223

1 212

1 2 1

) ..

) , ,

)

)

, ,

−−LNM

OQP − • LNM

OQP =LNMOQP

≥ ≥ ≥

+ − ===

RS|T|

+ − ≤− ≤− ≤

RS|T|

U

V

|||||

W

|||||

⇒ = = =

xx

x x

x xxx

x x

λ

λ λ λ

λλ

λ

Por tanto:

∇ = •∇ + •∇ + •∇f g g g( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )13

23

83

13

23 0 1

323 0 1

3231 2 3

Para averiguar si el punto ( / ; / )1 3 2 3 corresponde a un máximo, eliminamos las restricciones no saturadas en ( / ; / )1 3 2 3 , y las saturadas las tomamos con el sig-no de igualdad; después estudiamos el carácter de ( / ; / )1 3 2 3 en el problema

Máx x x x x sujeto a x x. . .3 4 1 01 2 13

22

1 2+ − − + − =c h

• Si x x y x1 2 2 21 0 0 0+ − = = =, ,λ es x1 1= , λ1 0= y λ3 4 0= − < ⇒ se des-carta.

• Si x x y x1 2 3 11 0 0 0+ − = = =, ,λ es x2 1= , λ1 2= y λ2 1 0= − < ⇒ se des-carta.

• Si x x x y x absurdo se descart1 2 1 21 0 0 0+ − = = = ⇒ ⇒, a .


TEST DE LAGRANGE 01) Sea el programa Max f x y. ( ; ) sujeto a g(x ; y) 2,= con "f" y "g" diferenciables.

Si ( ; )1 1 es el punto crítico de la función de Lagrange, corresponderá a un óptimo global si:

a x y x yb x y g x yc

) ( ; ) /) ( ; ) / ( ; ))

"f" es cóncava y X es convexo"f" es cóncava y X es convexo"f" es cóncava

= ∈ℜ + == ∈ℜ =

2

22

2m rm r

02) En el programa Opt y x y. − + =2 2 2 1 s.a: x , el punto ( ; )0 1 : abc

)))

Es un máximo localNo es máximo ni mínimoEs un mínimo local

03) Sea el programa Opt f x y. ( ; ) sujeto a g(x ; y) ,= 6 con ∇ = − −f x y x y( ; ) ( . ; . )2 2 y ∇ =g x y( ; ) ( ; ).2 3 Si g( ; )3 2 6= :

abc

)))

El punto (3;2) es un mínimoEl punto (3;2) es un máximoEl punto (3;2) no es solución del problema

04) Sea el programa Opt f x y. ( ; ) sujeto a g(x ; y) ,= 6 con ∇ = − −f x y x y( ; ) ( . ; . )2 2 y ∇ =g x y( ; ) ( ; ).2 3 Si g( ; )2 3 6= :

abc

)))

El punto (2 ; ) es un máximo local no necesariamente globalEl punto (2 ; ) es un máximo local y globalEl punto (2 ; ) es un mínimo local

333

05) Sea f :ℜ ℜ2 diferenciable y ( ; )1 1 un óptimo de Max f x y. ( ; ) s.a: x + y = 2

a fb f b b bc f

xxx

)))

(1;1) f (1;1)(a ; ) f (a ; ), (a ; ) / a + b 2(1;1) f (1;1)

yy

y

== ∀ =≠

06) Los puntos críticos de la función de Lagrange correspondiente al programa Opt x y y. 2 2 2 1+ − = s.a: x son:

a

b

c

) ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )

) ( ; ), ( ; ), ( ; )

) ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )

0 1 0 1 32

12

32

12

0 1 32

12

32

12

0 1 32

12

32

12

32

12

32

12

− −

− −

− − − −

07) En el problema anterior, el punto ( ; )0 1− : a Es un maxi) mo local ; b) Es un mínimo local

c) No es máximo ni mínimo

08) Sean f g, :ℜ ℜ2 diferenciables y ( ; )a b ∈ℜ2 tal que g a b( ; ) = 2 y ∃λ ∈ℜ de modo que ∇ =f a b g a b( ; ) ( ; )λ∇ :


a a bb a b y g x yc a b y g x y

) ( ; )) ( ; ) ; / ( ; )) ( ; ) ; / ( ; )

es un punto crítico de "f" es candidato a óptimo de "f" en (x ) es punto de silla de "f" en (x )

∈ℜ =∈ℜ =

2

22

2m r

m r

09) Sean f g n, :ℜ ℜ diferenciables y a n∈ℜ un óptimo del programa

Max f x b. ( ) sujeto a g(x) , b= ∈ℜ

Si definimos L x f x g x b( ; ) ( ) .( ( ) )λ λ= + − , se verifica:

a f ab b f a

b c f xb) ( ) ; ) ( ) ; ) ( )

λ λ λ=∂∂

= −∂∂

=∂∂

10) Sea ( ; )1 1 el punto crítico de la Lagrange asociada al programa

Opt x y. ( )2 2 2+ = sujeto a x + y abc

)))

El punto (1; ) es un mínimoEl punto (1; ) es un máximoEl punto (1; ) es un punto de silla

111

11) Sea el programa Opt f x y. ( ; ) sujeto a 2.x + 3.y 12,= con f :ℜ ℜ2 diferen-ciable. Si ( ; )a b es un punto óptimo::

a f b c fx x) ) ) .(a ,b) + f (a ,b) 0 ; f(a ,b) 0 ; (a ,b) 2.f (a ,b)y y= = =3

12) Sea el programa Max f x y. ( ; ) sujeto a g(x ; y) ,= 0 con "f" y "g" diferenciables. Si ∃λ ∈ℜ tal que ∇ − =f a b g a b( ; ) ( ; )λ∇ 0, entonces:

a bb bc b

)))

(a ; ) es un óptimo del problema(a ; ) es un punto critico del problema(a ; ) es un punto de silla del problema

13) Sea el programa Opt f x y. ( ; ) sujeto a g(x ; y) ,= 2 con ∇ =f x y x y( ; ) ( . ; . )2 2 y ∇ =g x y( ; ) ( ; ).1 1 Si g( ; )1 1 2= :

abc

)))

El punto (1; ) es un mínimo globalEl punto (1; ) es un máximo globalEl punto (1; ) no tine porque ser máximo ni mínimo global

111

14) Sean f g, :ℜ ℜ2 diferenciables y ( ; )a b ∈ℜ2 un óptimo del programa

Max f x y c. ( ; ) sujeto a g(x ; y) , c= ∈ℜ a

f x y c g x yb

f x y g x y cc

f x y c g x y

) * *); ) ( ; ) .( ( ; ))

) ); ) ( ; ) .( ( ; ) )

) * *); ) ( ; ) .( ( ; ))

∃ ∈ℜ= + −

∀ ∈ℜ= − −

∃ ∈ℜ= + −

λ λλ λ

λ λλ λ

λ λλ λ

tal que (a ; b; es un punto crítico de la función L(x ; y

el punto (a ; b; es un punto crítico de la función L(x ; y

tal que (a ; b; es un punto de silla de la función L(x ; y

15) Sea el programa Min x y. )2 2 21 1+ − + = sujeto a (x y .2 Los puntos críticos de la función de Lagrange son:

a b c) ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ) ; ) ( ; ), ( ; ), ( ; ) ; ) ( ; ), ( ; )0 0 2 0 1 1 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0


16) El óptimo local del anterior programa es: a b c) ( ; ) ; ) ( ; ) ; )0 0 2 0 No puede determinarse

17) Sea f :ℜ ℜ2 diferenciable y ( ; )a b un óptimo de Max x y s.. + =a: g(x ; y) 4 a g a b b g bb g a b b g bc g a b b g b

xxx

) ( ; )) ( ; )) ( ; )

= = −= == ≠

444

y g (a ; ) (a ; ) y g (a ; ) (a ; ) y g (a ; ) (a ; )

yyy

18) Sea el programa Opt f x y. ( ; ) sujeto a g(x ; y) ,= 6 con ∇ =f x y x y( ; ) ( . ; . )2 2 y ∇ =g x y( ; ) ( ; ).2 3 Si g( ; )2 3 6= :

abc

)))

El punto (2 ; ) es un máximo globalEl punto (2 ; ) no tiene porqué ser máximo ni mínimo globalEl punto (2 ; ) es un mínimo global

333

19) Los puntos críticos de la función de Lagrange correspondiente al programa Opt y x y. − + =2 2 2 1 s.a: x son:

a

b

c

) ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )

) ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )

) ( ; ), ( ; )

0 1 0 1 32

12

32

12

0 1 0 1 32

12

32

12

32

12

32

12

0 1 32

12

− − − −

− − − − −


SOLUCIÓN 01) La correcta es b), pues en tal caso el programa será convexo.

02) La correcta es a). 03) Si g CSF( ; ) ( ; ) ,3 2 6 3 2= ⇒ ∈ pero ∇ =g( ; ) ( ; )3 2 2 3 y ∇ = − −f ( ; ) ( ; )3 2 6 4 no

son LD (no son colineales); así, en ( ; )3 2 no se cumple la CN ⇒ ( ; )3 2 no es solución del problema.

04) Si g CSF( ; ) ( ; ) ,2 3 6 2 3= ⇒ ∈ y como ∇ =g( ; ) ( ; )2 3 2 3 y ∇ = − −f ( ; ) ( ; )2 3 4 6 , son LD (son colineales), se cumple la CN. El programa es convexo, pues g x y( ; ) es lineal (∇ = ∀ ∈ℜ ⇒ = + +g x y x y g x y x y cte( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) . . )2 3 2 32 y

"f" es estrictamente cóncava, ya que Hf x y( ; ) = −−

2 00 2 es definida negativa

en todo punto. Así, la CN es suficiente y ( ; )2 3 es un máximo local que tam-bién es global.

05) Si g x y x y( ; ) = + y ( ; )1 1 es un óptimo de Max f x y. ( ; ) s.a: x + y = 2, los vec-tores ∇ =g( ; ) ( ; )1 1 1 1 y ∇ =f fx( ; ) (1 1 (1;1); f (1;1))y son colineales (LD); así, ha de ser fx (1;1) f (1;1).y=

06) La correcta es b).





11) La correcta es c).

12) La correcta es b) pues si ∇ − =f a b g a b( ; ) ( ; )λ∇ 0, los vectores ∇f a b( ; ) y ∇g a b( ; ) son LD (colineales).

13) Si g CSF( ; ) ( ; ) ,1 1 2 1 1= ⇒ ∈ y como ∇ =g( ; ) ( ; )1 1 1 1 y ∇ =f ( ; ) ( ; )1 1 2 2 , son LD (son colineales), se cumple la CN. El programa es convexo, pues g x y( ; ) es lineal (∇ = ∀ ∈ℜ ⇒ = + +g x y x y g x y x y cte( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) )1 1 2 y "f" es es-

trictamente convexa, ya que Hf x y( ; ) = 2 00 2 es definida positiva en todo

punto. Así, la CN es suficiente y ( ; )1 1 es un mínimo local que también es global.

14) La correcta es a).

15) La correcta es c): resolver gráficamente.

16) La correcta es a): resolver gráficamente.

17) Si ( ; )a b es óptimo de Max x y s.. + =a: g(x ; y) 4 , los vectores ∇ =f a b( ; ) ( ; )1 1 y ∇ =g a b g b g bx( ; ) ( (a ; ); (a ; ))y son colineales (LD) ⇒ g (a ; ) (a ; )yx b g b= .


18) Si g CSF( ; ) ( ; ) ,2 3 6 2 3= ⇒ ∈ y como ∇ =g( ; ) ( ; )2 3 2 3 y ∇ =f ( ; ) ( ; )2 3 4 6 , son LD (son colineales), se cumple la CN. El programa es convexo, pues g x y( ; ) es lineal (∇ = ∀ ∈ℜ ⇒ = + +g x y x y g x y x y cte( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) . . )2 3 2 32 y "f" es

estrictamente cónvexa, ya que Hf x y( ; ) = 2 00 2 es definida positiva en todo

punto. Así, la CN es suficiente y ( ; )2 3 es un mínimo local que también es global.



TEST KUHN TUCKER

01) Sea el programa Min f x y. ( ; ) s.a: g(x ; y) 4,≤ con "g" de clase 2 en ℜ2 y tal que ∇ =g x y x y( ; ) ( . ; . ).2 2 El punto ( ; )1 1 es de Kuhn Tucker si:

a g b g c g) ( ; ) ; ) ( ; ) ; ) ( ; )1 1 4 1 1 0 1 1 4< ∇ = =

02) Sean f g, :ℜ ℜ2 diferenciables y ( ; )a b ∈ℜ2 un punto óptimo del progra-ma Max f x y. ( ; ) )sujeto a g(x ; y) c (con c≤ ∈ℜ , tal que g a b c( ; ) :<

a f a bb f a bc f a b g a b

) ( ; )) ( ; )) ( ; ) ( ; )

∇ =∃ < ∇ <∃ < ∇ = •∇

00 00

λλ λ

tal que tal que

03) Sean f g, :ℜ ℜ2 diferenciables y ( ; )a b ∈ℜ2 un punto óptimo del progra-ma Max f x y. ( ; ) )sujeto a g(x ; y) c (con c≤ ∈ℜ , tal que g a b c( ; ) :=

a f a bb f a b g a bc f a b g a b

) ( ; )) ( ; ) ( ; )) ( ; ) ( ; )

∇ =∃ ≤ ∇ = •∇∃ ≥ ∇ = •∇

000

λ λλ λ

tal que tal que

04) Sean f g, :ℜ ℜ2 diferenciables y ( ; )a b ∈ℜ2 un punto óptimo del progra-ma Max f x y. ( ; ) )sujeto a g(x ; y) c (con c≥ ∈ℜ , tal que g a b c( ; ) :=

a a b g a b a b g a bb a b g a b a b g a bc a b g a b a b g a b

x y

x y

x y

) ( ; ) . ( , ) ( ; ) . ( , )) ( ; ) . ( , ) ( ; ) . ( , )) ( ; ) . ( , ) ( ; ) . ( , )

∃ ≥ = =∃ ≤ = =∃ > = =

λ λ λλ λ λλ λ λ

000

tal que f y f tal que f y f tal que f y f

x y

x y

x y

05) Sean f g, :ℜ ℜ2 diferenciables y ( ; )a b ∈ℜ2 un punto óptimo del progra-ma Min f x y. ( ; ) )sujeto a g(x ; y) c (con c≤ ∈ℜ , tal que g a b c( ; ) :=


) ( ; )) ( ; ) ( ; )) ( ; ) ( ; )

∇ =∃ ≥ ∇ = •∇∃ ≤ ∇ = •∇

000

λ λλ λ

tal que tal que

06) Sean f g, :ℜ ℜ2 diferenciables y ( ; )a b ∈ℜ2 un punto óptimo del progra-ma Min f x y. ( ; ) )sujeto a g(x ; y) c (con c≥ ∈ℜ , tal que g a b c( ; ) :=


) ( ; )) ( ; ) ( ; )) ( ; ) ( ; )

∇ =∃ ≥ ∇ = •∇∃ ≤ ∇ = •∇

000

λ λλ λ

tal que tal que

Kuhn Tucker: si la solución factible regular x (o sea, x satisface to-das las restricciones y los gradientes de las restricciones saturadas en x son vectores LI) es un mínimo (máximo) local, el vector ∇f x( ) es CL no posi-

tiva (negativa) de los gradientes de las restricciones saturadas en x


07) Sea el programa Opt f x y a. ( ; ) ,s.a: x + y ≤ con a ∈ℜ y f :ℜ ℜ2 diferen-ciable:

abc

)))

El programa tine máximo y mínimo globalesEl programa tine máximo globalNo es posible garantizar la existencia de óptimos globales

08) Sea el programa Max f x y x yx y. ( ; ) ( ; )

( ; ) s.a: gg ,1

2≤≤

00{ } con y f g g, ,1 2 de clase C2

en ℜ2. Si ( ; )a b es un máximo global que no satura ninguna restricción:

a g a b g a bbc g a b g a b

) ( ; ) ( ; ))) ( ; ) ( ; )

∃ > ∇ = ∇ + ∇∇ =∃ < ∇ = ∇ + ∇

λ λ λ λ

λ λ λ λ

1 1 1 2 2

1 1 1 2 20

, 0 tales que f(a ; b)f(a ; b)

, 0 tales que f(a ; b)

2

2

09) Sea el programa Min f x y. ( ; ) sujeto a g(x ; y) ,≤ 2 con "f" y "g" diferenciables y tales que ∇ =f x y x y( ; ) ( . ; . )2 2 y ∇ =g x y( ; ) ( ; )1 1

abc

)))

El punto (0 ;2) es un punto de Kuhn TuckerEl punto (1; ) es un punto de Kuhn TuckerEl punto (0 ; ) es un punto de Kuhn Tucker

10

10) Sean los programas

Min x yMin x y

. )

. )2 2 22 2 2

1 11 1

+ − + =+ − + ≤

sujeto a (x y sujeto a (x y

22

a

b

c

)

)

)

Los puntos de Kuhn Tucker no coinciden con los puntos críticos de la función de Lagrange

Los puntos de Kuhn Tucker coinciden con los puntos críticos de la función de Lagrange

Entre los puntos críticos de la función de Lagrange, sólo el punto (0 ; ) es un punto de Kuhn Tucker0

11) Sea el programa Min f x y. ( ; ) sujeto a x + y 4, x 0, y 0,≤ ≥ ≥ siendo "f" de cla-se C2 en ℜ2 . El punto ( ; )2 2 es de Kuhn Tucker si:

abc

) ( ; ) ( ; )) ( ; ) ( ; )) ( ; ) ( ; )

∃ ≤ − < − <∃ ≤ = =∃ ≤ − > − >

λ λ λλ λλ λ λ

0 2 2 0 2 2 00 2 2 2 20 2 2 0 2 2 0

tal que f y f tal que f f tal que f y f

x yx y

x y

12) Sean los programas Max y xMax y x

.

.− + =− + ≤

2 22 2

11

sujeto a x y sujeto a x y

22

a

b

c

)

)

)

Los puntos de Kuhn Tucker no coinciden con los puntos críticos de la función de Lagrange

Los puntos de Kuhn Tucker coinciden con los puntos críticos de la función de Lagrange

Entre los puntos críticos de la función de Lagrange, sólo el punto (0 ; ) es un punto de Kuhn Tucker1


SOLUCIÓN 01) La a) es falsa: si ( ; )1 1 no satura la restricción ( ( ; ) )g 1 1 4< , no de de KT.

La b) es una estupidez: si ∇ = ⇒∇ = ≠g x y x y g( ; ) ( . ; . ) ( ; ) ( ; ) ( ; )2 2 1 1 2 2 0 0 .

La c) no es correcta: sabiendo sólo que g( ; )1 1 4= , no podemos garantizar que ( ; )1 1 sea de KT.

02) La correcta es a), pues la restricción no está saturada en el óptimo ( ; ).a b

03) La correcta es c): como la restricción está saturada en el óptimo ( ; )a b y el problema es de máximo, el vector ∇f a b( ; ) es CL no negativa de ∇g a b( ; ).

04) Si ( ; )a b ∈ℜ2 un óptimo de Max f x y. ( ; ) s.a: g(x ; y) c− ≤ − y g a b c( ; ) ,= el vector ∇f a b( ; ) es CL no negativa de −∇g a b( ; ); o sea, ∇f a b( ; ) es CL no po-sitiva de ∇g a b( ; ); así, ∃ ≤ ∇ = •∇ ⇒λ λ0 / ( ; ) ( ; )f a b g a b la correcta es b).

05) La correcta es c): como la restricción está saturada en el óptimo ( ; )a b y el problema es de mínimo, el vector ∇f a b( ; ) es CL no positiva de ∇g a b( ; ).

06) Si ( ; )a b ∈ℜ2 es óptimo de Min f x y. ( ; ) s.a: g(x ; y) c− ≤ − y g a b c( ; ) ,= el vector ∇f a b( ; ) es CL no positiva de −∇g a b( ; ); o sea, ∇f a b( ; ) es CL no ne-gativa de ∇g a b( ; ); así, ∃ ≥ ∇ = •∇ ⇒λ λ0 / ( ; ) ( ; )f a b g a b b) es correcta

07) La correcta es c).


09) Descojone total: si ∇ = ⇒ = + + ⇒g x y g x y x y cte( ; ) ( ; ) ( ; )1 1 no es posible hacer nada, pues la restricción queda x y cte+ + ≤ 2.

Si se considera el programa Min f x y. ( ; ) sujeto a x + y ,≤ 2 nada se arregla, porque: El punto ( ; )0 2 satura la restricción, pero ∇ =f(0 ;2) ( ; )0 4 no es CL no positi-va de ∇ =g(0 ;2) ( ; )1 1 . El punto ( ; )1 1 satura la restricción, pero ∇ =f(1; )1 2 2( ; ) no es CL no positiva de ∇ =g(1; )1 1 1( ; ). El punto ( ; )0 0 no satura la restricción. La cosa se arregla si se considera Max f x y. ( ; ) sujeto a x + y :≤ 2 la solución es ( ; )1 1 , que satura la restricción y ∇ =f(1; )1 2 2( ; ) es CL no negativa de ∇ =g(1; )1 1 1( ; ).

El descojone desaparece si se redacta así: Sea el programa Min f x y. ( ; ) sujeto a g(x ; y) 4,≤ con "g" de clase 2 en ℜ2 y tal que ∇ =g x y x y( ; ) ( . ; . ).2 2 Si (1;1) es un punto de KT:

a g b g c g) ( ; ) ; ) ( ; ) ; ) ( ; )1 1 4 1 1 0 1 1 4< ∇ = =

En tal caso, la c) es correcta.


10) Los puntos críticos de Lagrange son ( ; ) ( ; )0 0 2 0y . El punto ( ; )2 0 no es de KT, pues ∇ =f(2 ; )0 4 0( ; ) no es CL no positiva de ∇ =g(2 ; )0 2 0( ; ). El punto ( ; )0 0 es de KT, pues ∇ =f(0 ; )0 0 0( ; ) es CL no positiva de ∇ = −g(0 ; )0 2 0( ; ), pues ∇ ≡ = • − ≡ ∇f(0 ; ) (0 ; ).0 0 0 0 2 0 0( ; ) ( ; ) g

11) Como el programa es de mínimo y ( ; )2 2 sólo satura x + y 4≤ , el punto ( ; )2 2 es de Kuhn Tucker si ∇f(2 ; )2 es CL no positiva de ∇ =g(2 ; )2 1 1( ; ); o sea, si existe λ ≤ 0 tal que ∇ = •∇ = •f(2 ; ) (2 ; )2 2 1 1λ λg ( ; ); o sea:

(f f (f f(f f f f

x y x yx y x y

( ; ); ( ; )) ( ; ) ( ; ); ( ; )) ( ; ) ( ; )( ; ) ; ( ; ) ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 02 2 2 2 0 0 2 2 2 2

= • ⇒ − • = ⇒⇒ − − = ⇒ = =

λ λλ λ λ

12) Los puntos de Lagrange son ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )0 1 0 1 32

12

32

12− − − − , y sólo el

( ; )1 0 es de KT, pues sólo para ese punto sucede que ∇ =f(0 ; )1 0 1( ; ) es CL no negativa de ∇ =g(1; )0 2 0( ; ).

optimizacion con restricciones

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