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Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com

SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 06

FACULTAD DE :

ESCUELA PROFESIONAL DE :

DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I

ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA:

TEMAS:

Operaciones en los números reales.

Ecuaciones polinómicas.

Ecuaciones lineales. TIEMPO: 08 horas académicas.

COMPETENCIA:

Resuelve y aplica operaciones matemáticas, relacionadas con el sistema de los números reales,

ecuaciones polinómicas así como su aplicación en el campo práctico de la vida cotidiana.

CAPACIDADES:

Clasifica y resuelve problemas relacionados con número reales. Clasifica y resuelve problemas relacionados con ecuaciones polinómicas.

ACTITUDES:

RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico. PUNTUALIDAD: Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases. PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa

activamente en el desarrollo de las clases.

E

V

A

L

U

A

C

I

Ó

N

MOMENTOS O FASES

DESCRIPCIÓN DETALLADA DE ESTRATEGIAS Y METODOLOGÍA

MEDIOS Y MATERIALES

TIEMPO

EVALUACIÓN

INDICADORES INSTRUMENTO

Motivación y exploración

MOTIVACIÓN:

(ANEXO Nº 01)

EXPLORACIÓN

El docente presenta en la pizarra

una lista de ejercicios

relacionadas a operaciones con

ecuaciones polinómicas. (Lluvia

de ideas, Técnica interrogativa)

El uso para seguir la secuencia.

(ANEXO Nº 01)

Material Impreso

Pizarra

Plumones

acrílicos

Mota

Palabra hablada

50 min.

Interés por el

tema,

participación

individual y en

grupo.

Observación espontánea. Intervención

oral

Problematización

Se plantea las siguientes

interrogantes:

¿Pueden identificar y

seleccionar las

propiedades en las

operaciones con suma,

resta, multiplicación

,división y potenciación

en el sistema de los

números reales?

Exposición oral

45 min.

Dadas las

diferentes

propiedades y

operaciones

que se

realizan en el

conjunto de

números

reales y

ecuaciones

polinómicas

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación (ANEXO Nº 06)


¿Al ejercicio realizado

anteriormente que

nombre le dan?

¿Serias capaz de

plantear ejercicios con

ecuaciones polinómicas?

¿Conocen las diferentes

clases de conjuntos

numéricos?

¿Qué clase de conjuntos

observan en los

ejercicios planteados?

¿Realicen ejercicios

aplicando operaciones

en el conjunto de

números reales y sus

propiedades así como

con ecuaciones

polinómicas?

desarrollan los

ejercicios

planteados.

Participación

activa

Construcción del conocimiento

Se forma 7 grupos.

Modulo de lógica matemática

- (ANEXO Nº 03)

-

Los estudiantes plantean

sus ejemplos con

números reales y

ecuaciones polinómicas .

Se realizan indicaciones

en la pizarra sobre

conceptos básicos,

dadas en la hoja técnica.

(ANEXO Nº 04)

Se realiza la

sistematización de lo

aprendido.

Los estudiantes

plantean y desarrollan

un laboratorio con

ejercicios. (ANEXO Nº

05)

Cada grupo lo desarrolla

en papelote y expone.

Papelógrafo. Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03) Textos auxiliares. cinta adhesiva

185 min.

Aplicación de

la teoría en la

solución de su

problema

específico. A

partir de los

ejemplos

establecidos

en clase

realizan

problemas

relacionas a

su carrera.

Trabaja en forma individual y grupal , comentan ,discuten

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación

(ANEXO Nº 06)

Transferencia del conocimiento

- Los estudiantes resuelven los ejercicios planteados en su


BIBLIOGRAFÍA

MOISES LÁZARO, Matemática Básica Tomos I y II

VENERO BALDEON ARMANDO, Matemática Básica

GARFUNKEL SALOMÓN, Las Matemáticas en la vida cotidiana.

USS. MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA. 2005. Lambayeque – Perú.

módulo de trabajo.

Los estudiantes

participan anotando sus

respuestas en la pizarra

Los estudiantes elaboran

ejercicios referidos a

operaciones con

ecuaciones polinómicas:

ecuaciones lineales.

(Hoja de información

,Grupo de estudio ,

trabajo en equipo;

exposición del problema

planteado.(ANEXO Nº04)

Hoja impresa Folder de trabajo

120 min.

Aplica

estrategias

metacognitivas

para

representar la

solución de los

ejercicios

planteados.

Presentación de trabajo individual o grupal

Ficha de evaluación (ANEXO Nº

05)

Folder de trabajo.


ANEXO Nº 01

(El problema de las cien palomas).Al volar sobre un palomar, dijo el gavilán:

Adiós mis cien palomas.

A lo que una paloma respondió:

No somos cien. Pero con nosotras mas nosotras, mas la mitad de nosotras, más un

cuarto de nosotras, mas tu gavilán, si seriamos cien. ¿Cuál es el número de palomas?

Rpta: El número de palomas es 36.

ANEXO Nº02

Recuerda: “El hombre es mortal por sus temores e inmortal por sus ideas”. Pitágoras

Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar.

Materiales: Papelotes y plumones azul, negro y rojo.

ANEXO Nº03

Modulo de lógico matemática.

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

1. NÚMEROS REALES.

La noción de número es muy antigua, los pueblos primitivos usaban piedras para contar sus

rebaños...En la actualidad de qué nos valemos para contar? ....

Los números que usamos para contar son los llamados NÚMEROS NATURALES, y

designaremos al conjunto de estos números como N.

Consideraremos al cero número natural y distinguiremos con N-{0} al conjunto que no

contiene el cero.

En este conjunto N, podemos sumar y multiplicar sin salirnos de él, (en este caso se dice

que la suma y la multiplicación son cerradas), la resta no siempre es posible ya que si

queremos resolver a-b donde b es mayor que a, necesitamos otros números... De aquí

surgen los NÚMEROS NEGATIVOS, que junto a los naturales forman el conjunto de los

NÚMEROS ENTEROS, que designaremos Z.. En este conjunto, la suma, la resta y la

multiplicación son cerradas.


Le proponemos a continuación que piensen si siempre es posible efectuar la división en Z.

LOS AYUDAMOS CON ESTE EJEMPLO:

4:3 =……………..

Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 de por resultado 4. ¿Qué

número entero cumple con ésta condición?

Para poder resolver ésta situación vamos a introducir otro conjunto numérico: LOS

NÚMEROS RACIONALES. Los designaremos por la letra Q.

Un número racional es el cociente de dos números enteros m y n siendo n 0 (recordamos

que la división por cero no está definida). En este conjunto, la suma, la resta, la

multiplicación y la división son cerradas.

Veamos algunos ejemplos:

7

es racional porque 7 y 5 son enteros 5

0 0 es racional porque se puede expresar como y ambos son enteros

1

5 0,5555....... es la expresión decimal del número racional

9

Todo número racional puede representarse como una expresión decimal periódica o limitada.

Por ejemplo:

37 = 1,121212........= 1,12 Periódica pura

33

32 0,355555........= 0, 35

90

Periódica mixta

9 0,45 Decimal limitada

20 A continuación estableceremos cuando dos números racionales son iguales:

m Sean

n

p y dos números racionales,

q

m p

si y solo si m.q = n.p

n q

¿Pueden representar todos los números que conocen mediante una expresión decimal

limitada o periódica ? Pidan a su calculadora el número .

El resultado que obtuvieron es sólo una aproximación. Hasta el año 1983 dos japoneses

habían calculado 16.777.216 cifras decimales del número .

Todo número cuya expresión decimal no es limitada o periódica constituye un NUMERO IRRACIONAL.

Otros ejemplos de números irracionales son:

2 ; 3 ; 5 ; e = 2, 718281...


3 2; 3 3; 4 2; 5 2

Al conjunto de los números irracionales los designaremos con la letra I. La unión de los conjuntos I y Q constituye el conjunto de los reales . Entonces, la relación de dependencia de estos conjuntos es:

N Z Q ; Q I

Estas relaciones nos muestran la importancia de conocer las operaciones y sus propiedades

en pues con ello conocemos las operaciones y propiedades en N, Z y Q.

2. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES:

Es conveniente que ahora recordemos las propiedades que gozan algunas operaciones. La

aplicación correcta de las mismas ayuda a un manejo fluido de las operaciones con números

reales. Además trataremos de introducirnos en el “lenguaje simbólico” de la matemática.

La suma, cumple con las siguientes propiedades:

CERRADURA: Para cada par de números reales a y b existe un único número real

llamado suma denotado por a+b.

a b ! c / a + b = c

ASOCIATIVA: En una adición de tres sumandos es igual sumar los dos primeros y a esto el

tercero, que sumar al primero la suma del segundo y del tercero.

a, b, c , (a + b) + c = a + (b + c)

CONMUTATIVA: El orden de los sumandos no altera la suma.

a, b , a + b = b + a

EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO: Existe un número real llamado cero tal

que sumado a cualquier número “a” da como resultado el mismo número “a”

a

, 0

/ a + 0 = 0 + a = a

EXISTENCIA DEL INVERSO: Para cualquier número real “a” existe un número real “-a”

llamado inverso aditivo u opuesto, tal que sumado con “a” da como resultado el elemento

neutro.

a , - a / a + (-a) = (-a) + a = 0

DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA SUMA:

a, b, c , ( a + b). c = a.c + b.c

3. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES

POTENCIACIÓN: Recordemos lo siguiente:


3

an , si n 1 n N

a0 = 1 si a 0

(a-1 ) n = (1/a)n n N, a 0

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

Distributiva respecto del producto: (a . b)n

= an

.bn

Producto de potencias de igual base: am

. an

= am+n

Cociente de potencias de igual base: am

/ an

= am _ n

Potencia de potencias: ( am)n

= am.n

Distributiva respecto del cociente: (a / b)n = an / bn

Observación: La potenciación no es distributiva respecto de la suma:

(a + b)n an + bn

RADICACIÓN: Recordemos ahora la definición de radicación y sus propiedades:

Dado un número natural "n" mayor que cero, y "a" un número real, se llama raíz n-

énesima de "a" al número b, tal que la potencia n-ésima de "b" es igual a "a".

n a b b

n a , n N 0

n = índice a = radicando b = raíz

Ejemplo:

3 8 = 2 23 = 8

3 1 /64 = -1 / 4 (-1 / 4)3 = -(1/64)

¿La radicación es siempre posible en ?. Para dar respuesta a esta pregunta analicemos el

siguiente ejemplo:

Para calcular 9 debemos pensar que número elevado al cuadrado es -9. ¿Existe algún

número real que verifique esta condición ?.........Ninguno, ya que el cuadrado de cualquier

número real distinto de cero es siempre positivo.

En general decimos que toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el

conjunto de los reales.

En consecuencia: la radicación no es cerrada en .

¿Cuándo es posible su cálculo en ? ¿Cuántas respuestas encontramos?

Volvemos a plantear algunos ejemplos para dar respuesta a este interrogante:

3 64 = 4 4 = 64

3 8 = -2 3

(-2) = -8

Cuando calculamos 4 16 encontramos dos respuestas: 2 y -2 ya que

24 = 16 y (-2)4 = 16

Entonces podemos resumir diciendo:


1) Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando.

2) Si el índice es par y el radicando positivo, existen dos raíces reales y opuestas.

Recordaremos las propiedades fundamentales de la radicación:

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN (Suponiendo que n a y n b existan)

Entonces:

distributiva respecto del producto: n a. b =

n a . n b

Distributiva respecto del cociente: n a: b = n a : n b

Raíz de raíz n m a nm a

La radicación NO es distributiva respecto de las operaciones de adición o sustracción.

• n a + b n a + n b ; •

n a - b n a - n b

Sean a ; n, m y p N- 0 consideremos

n a

m y

np a

mp . ¿Es posible efectuar la

simplificación de radicales ?

Analicemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

6

43

6.1 3 3.

1

4 3

2 4 2

Ejemplo: 5 25

5 32 2

5 1

1

5 2

5 5

2)5

5 2

Ejemplo: 6 82

6 64 2

4. RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.

A continuación recordaremos, mediante ejemplos, el procedimiento de tales transformacion Ejemplo:

1 a)

1. 3 3

3 3. 3 3

a b)

b - c

a b + c

b - c b + c

a b + c

b 2

c

5. RELACIONES DE IGUALDAD

Recordemos que además en el conjunto de los reales se define la relación de igualdad y


que se verifican las siguientes propiedades.

Cualesquiera sean los números reales a, b y c, la igualdad de números reales es:

1) REFLEXIVA: a : a = a (Todo número real “a” es igual a sí mismo)

2) SIMÉTRICA: a, b : si a = b entonces b = a (Para todo par de números reales

“a” y “b” si “a” es igual a “b”, entonces “b” es igual a “a”)

3) TRANSITIVA: a, b, c : si a = b y b = c entonces a = c (Si un número real “a” es igual a

un número real “b” y “b” es igual al número real “c”, entonces a = c). 4) UNIFORME:

Para la adición: a, b, c , si a = b entonces a+c=b+c (Si ambos miembros de una

igualdad se le suma un mismo número se obtiene otra igualdad).

Para la Multiplicación: a, b, c , si a = b entonces a . c = b . c (Si multiplicamos

ambos miembros de una igualdad por un mismo número se obtiene otra igualdad).

Sobre la base de estas propiedades se demuestran las leyes cancelativas de la adición y la

multiplicación.

Para la adición a, b, c : a + c = b + c entonces a = b.

Para la multiplicación a, b, c y b 0 si a.b = c.b entonces a = c

Y también la ley de anulación del producto: a.b = 0, si a=0 ó b=0 ó a=b=0

Pasaremos ahora a considerar la diferencia entre números reales.

a y b ; a - b = a + (-b), a es el minuendo y b es el sustraendo.

Por ejemplo: 5 1

5 (1

)

4 4

Insistiremos un poco más en la aplicación de las leyes cancelativas y la anulación del

producto. Si por ejemplo consideramos la ecuación:

5x + 4 + 2x = 2 + 4 + 5x ¿Puede simplificar los sumandos 4? ¿Y los 5x que también se repiten en ambos miembros?

¿Es correcta ésta última cancelación?. Sí, es posible cancelar porque en la suma se verifica la

ley cancelativa sin ninguna restricción.

Otro ejemplo: Sea la igualdad 2x + 5 = 3x + 5, efectuamos la cancelación se tiene:

2x = 3x entonces: 2x-3x = 0 ¿Qué propiedad se aplicó?

De aquí obtenemos que x = 0

Pero si en 2x = 3x se hubiera aplicado la ley cancelativa sin tener en cuenta que x = 0, se

obtendría 2 = 3, que no es una identidad.

¿Dónde está el error? No se ha tenido en cuenta la restricción a ésta ley:

"NO SE PUEDEN CANCELAR LOS FACTORES QUE SON IGUALES A CERO"

Entonces cuando se emplee ésta ley, es decir la propiedad cancelativa de la multiplicación con un factor

literal, se debe aclarar que la simplificación no es válida para todo valor que anule dicho factor. Si no se

tiene en cuenta lo expresado se corre el riesgo de "perder soluciones" como se comprobó en el

ejemplo.

En cuanto a la ley de anulación del producto, ¿Cómo se empleará?


a . b = 0 a = 0 b = 0, esto quiere decir que se pueden dar alguna de éstas tres situaciones:

a = 0 b 0

a 0 b = 0 ( se lee "ó"; se lee "y")

a = 0 b = 0

Esta propiedad facilita la resolución de ecuaciones del tipo:

(x + 2) .(x-1/5) = 0

Como el producto es cero uno de los factores es cero, de ahí podemos obtener que una raíz es igual a -

2 y la otra es 1/5. Verifiquen, luego, si éstos valores satisfacen la igualdad.

6. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura especial:

NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO Intervalo abierto (a,b) { x / a < x < b }

Nº comprendidos entre a y b, sin incluir a ni b

Intervalo cerrado [a,b] { x / a x b } Nº comprendidos entre a y b,

ambos incluidos.

(a,b] { x / a < x b } Nº comprendidos entre a y b,

Intervalo semiabierto incluido b pero no a

[a,b) { x / a x < b } Nº comprendidos entre a y b,

incluido a pero no b

(- ,a) { x / x < a } Números menores que a

Semirrecta (- ,a] { x / x a } Nº menores que a y el propio a

(a,+ ) { x / a < x } Números mayores que a

[a,+ ) { x / a x } Nº mayores que a y el propio a

Observación:

La propia recta real se representa en forma de intervalo, así: = (- ,+ )

7. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Una expresión algebraica es aquella donde figuran números y letras relacionadas entre si por

operaciones matemáticas.

Ejemplo:

v t ; ab

t

100

; 3 ax2 - b2 ;

4 x 2

a 2

7ax

Cada sumando de una expresión algebraica se denomina término.


2

Cada término de una expresión algebraica consta de tres partes: signo, parte numérica ó

coeficiente y parte literal.

Por ejemplo: -7 ab3 consta de un signo negativo (-), la parte numérica es 7 y la parte literal

ab3.

8. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA:

Es el valor que se obtiene sustituyendo cada letra de la parte literal por un valor numérico,

efectuando luego las operaciones para llegar al valor numérico de la expresión.

Esto permite considerar igualdad o equivalencia entre expresiones algebraicas.

Dos expresiones algebraicas son EQUIVALENTES si toman el mismo valor numérico

para todos los valores en que estén definidas.

y a - 2 + 4c

Estas dos expresiones algebraicas son equivalentes. Para demostrar la igualdad de estas dos

expresiones se debe operar una de ellas hasta llegar a la otra

9. POLINOMIOS

Seguramente en algún momento de su ciclo secundario ha pasado por el laboratorio de su

escuela para llevar a cabo algunas experiencias. Por ejemplo:

- Estudiar el alargamiento de un resorte al suspender un peso del mismo.

- Estudiar la temperatura de una masa de agua en función del tiempo en que es sometida al

calor.

Una vez volcados los resultados en tablas y efectuando la representación gráfica habrá

obtenido puntos relativamente alineados con el origen. Por lo tanto en cualquiera de estos

casos podemos llegar a una ley aproximada para el intervalo considerado, que tendrá la forma:

a) y = mx + b

Otros de los estudios que habrá efectuado es el del movimiento rectilíneo uniforme y

la traducción de la relación posición tiempo (t) es:

b) st = v.t + so

O del movimiento uniforme variado donde la relación entre la posición tomada por el móvil y el

tiempo está traducida en la siguiente expresión:

c) st = vo t + ½ a t2

O también:

d) st = so+ vo t + ½ a t2 cuando so 0

De todo lo dicho observamos que los segundos miembros de las igualdades (a) y (b)

responden a la forma:

a 1 x a 0

Y los de las igualdades (c) y (d) a la forma:

a 0 a1 x a 2 x


2 3 n

Surge entonces la necesidad de estudiar las expresiones de la forma:

P(x) a 0 a1 x a 2 x a 3 x a 4 x4 ............ an x

n

Que llamaremos polinomios, donde los a 0 , a1 , a 2 ,............a n son elementos de por

ejemplo el conjunto de los números reales, llamados coeficientes, x es una indeterminada, y

los exponentes de la indeterminada x son todos enteros no negativos.

Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales lo simbolizamos (x).

Si an 0 diremos que el grado de P(x) es n (gr P(x) = n).

Se llama polinomio nulo al polinomio:

0 0x 0x2 0x3 ............ 0x n

Por definición el polinomio nulo no tiene grado.

Según que el número de términos con coeficientes nulos sea 1, 2, 3, .....el polinomio

se llama monomio, binomio, trinomio, etc.

10. OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS

Se llama monomio a toda expresión algebraica con exponente natural.

1- SUMA (RESTA)

Para sumar (restar) dos monomios éstos deben ser semejantes (igual parte literal)."La suma

(resta) de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es la suma (resta) de los

coeficientes y tiene la misma parte literal que los monomios dados"

Ejemplo:

-2 ab3 + 5 ab3 = ( -2 + 5 ) ab3 = 3 ab3

-2 ab3

- 5 ab3

= ( -2 - 5 ) ab3

= -7 ab3

2- PRODUCTO

"El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los

coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales". (Se aplica producto de

potencias de igual).

Ejemplo:

( -2 ab3c3).5 ac2 = ( -2 .5 )ab3c3ac2 = - 10 a2 b3c5

3- COCIENTE "El cociente de dos monomios es una expresión algebraica que se obtiene aplicando

las propiedades de la división de números, en sus coeficientes, y del cociente de potencias de

igual base, en sus partes literales "

Ejemplo:


(-8a2b4c): [(2/3)ab2] = -12ab2c

OBSERVACION:

Con frecuencia se nos presentan divisiones donde los divisores son monomios del tipo

x+ a, tal vez recuerden que en éstos casos es práctico aplicar la regla de Rufini. Sean

las siguientes expresiones:

(2x3 - 4x2 + 5) : ( x + 2)

Entonces:

a) 2 -4 0 5

b) -2 -4 16 -32

c) 2 -8 16 -27

El cociente es 2 x2 - 8 x + 16 y el resto -27.

Los pasos que se siguen son:

a) En la primera fila se escriben los valores numéricos de cada

coeficiente. (Previamente ordenado y completo).

b) En el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término de grado cero de la

expresión del divisor.

c) En la tercera fila se obtienen los coeficientes del cociente donde: el primero de ellos

es el primero del dividendo y los restantes se obtienen multiplicando el anterior por el

número que se escribe en el ángulo izquierdo y sumado a este producto (que se

escribe en la segunda fila ) el correspondiente de la primera.

d) El último número que se obtiene en la tercera fila es el resto de la división.

Ahora podemos enunciar el Teorema del Resto: el resto de la división de un

polinomio P(x) por otro de la forma x+a es igual a P(-a).

11. ¿QUÉ ES LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN?

La solución o conjunto solución de una ecuación es el VALOR o VALORES que asume la

o las incógnitas, con la característica de verificar la ecuación.

Si una ecuación está escrita en función de una variable o incógnita, a su solución también

se le podrá llamar RAÍZ.

Ejemplos:

i) La raíz o solución de 4x + 5 = x + 29 es x = 8 ii) Las raíces de x2 – 2x - 3 = 0 son x1 = 3 x 2 = -1

iii) Las raíces de x3 – 12x2 + 47x = 60 son x1 = 3, x2 = 4 x3 = 5


3x + y = 2

iv) La solución de es x =3

1 y = 1

2x – y = -1/3

Clasificación de las ecuaciones.

Las clasificaremos según:

a) La posibilidad de solución. b) La naturaleza de las expresiones que intervienen en la igualdad. c) El número de incógnitas. d) El grado absoluto.

Según la posibilidad de solución: Las ecuaciones pueden ser:

1. Ecuación compatible: aquella que admite solución, a su vez puede ser:

Determinada: si presenta un número limitado de soluciones.

Ejemplo: x2 – 11 + 28 = 0, C.S.{4;7} observamos que esta ecuación admite

dos soluciones.

Indeterminada: si presenta un número ilimitado de soluciones.

Ejemplos:

i) x + y + z = 10, tiene infinitas soluciones.

ii) (x+5)2 = 20x + (x-5)2 cualquier valor que reemplacemos en esta expresión

la igualdad se mantiene.

2. Ecuación incompatible: aquella que no admite solución, frecuentemente se le dá

el nombre de ecuación absurda o inconsistente.

Ejemplos: i) 06

42

3

2 xx; observa que C.S. = Ø

ii) x2 + 2x + 1 = x2 + 2x = - 8; observa que C.S. = Ø

Según la naturaleza de los exponentes que intervienen en la igualdad.

Pueden ser:

1. Ecuación algebraica: si ambos miembros de la igualdad solo intervienen

expresiones algebraicas, a su vez puede ser:

Ecuación algebraica racional: aquella en donde la incógnita puede tener

exponentes a números enteros. Una ecuación algebraica puede ser entera o

fraccionaria.

o Ecuación algebraica racional entera: si los exponentes de la

variable son enteros positivos (la variable debe estar en le

numerador).

Ejemplo: i) x2 + 5x + 6 = 0 → C.S. = {-3;2}


ii) 23

10 xx → C.S. = {20}

o Ecuación algebraica racional fraccionaria: si al menos uno de los

exponentes de la variable (estando esta en el numerador).

Ejemplo:

i) 10

155

1 x

x → C.S. = {

5

1; 10}

ii) xx

132

→ C.S. = {3}

iii) x + y-1 + x2 = 0

Ecuación algebraica irracional: si al menor un exponente es una fracción o

la incógnita o alguna expresión está afectada por un radical.

Ejemplo: i) 2x + x = 3x → C.S. = {0;1}

ii) 83x - x = - 4 → C.S. = {8}

2. Ecuación trascendente: es aquella en la que al menos uno de los términos en la

igualad es una expresión trascendente.

Ejemplos: i) 2x + senx = 0

ii) x2 + lnx2 = log 55, etc.

Según el número de incógnitas: pueden ser de una, dos, tres, o más incógnitas.

Ejemplos:

i) x2 – x – 2 = 0 … ecuaciones con 1 sola incógnita.

ii) 2x + y = 5 … ecuaciones con 2 incógnitas.

iii) x + y –z = 10 … ecuaciones con 3 incógnitas, etc.

Según el grado absoluto: podrán ser lineales (de primer grado), cuadráticas (de

segundo grado), cúbicas (de tercer grado), cuártica (de cuarto grado)… etc.

Ejemplos:

i) 2x + y = 5 … ecuaciones de primer grado con dos variables o incógnitas.

ii) x + y – z = 10 … ecuación de primer grado con tres variables o incógnitas.

iii) x2 – 25 = 0 … ecuación de segundo grado con una incógnita. etc.

Nota:

x = b ↔ x = b2,

además:

x > 0 b > 0


ANEXO Nº04

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº06

I. RESOLVER LOS SIGUIENTESOPERACIONES RELACIONADOS A L SISTEMA DE NUMEROS REALES

1. Indicar cuáles de los siguientes números racionales son iguales:

7/5; ½; 1.4; 1.40; 0.5; -7/4; -1/2; 13/9; 14/15; 2/8; 0; a; (ab – a)/90; a/9; 3a/27

2. Tache los números que no correspondan a la clasificación:

Naturales: 0; -1/5; -0.8; 2; 1.1310133333333….; 10/2; 20/5

Enteros: -5; 6/3; 0; ; -0.2; 7/4; 2.6; -13; -5.3

Racionales: -4; 5/2; 0; 2.23; 1.8; ; 3; -2.6; ; 9/23

Reales: -4; 4; -5/9; -9; 2.25; 2.7; ; 3. La multiplicación tiene las mismas propiedades que las enumeradas para la suma.

4. Traducir al lenguaje coloquial las propiedades de la multiplicación. Proponga ejemplos

mostrando que no se cumplen las propiedades asociativa y conmutativa en la resta y en la división.

5. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En este último caso

justificar las respuestas proponiendo un contra ejemplo.

a) a . 0 = 0

b) (-a) . (-b) = - (a.b)

c) a + ( -b + c) = a - b + c

d) a : ( b + c) = (a : b) + (a : c) , siendo b+c 0 ; b 0 y c 0

e) a - ( b + c) = a - b + c

f) a . ( -b) = a . b

g) a . ( b -c) = a . b - a . c

h) La ecuación 2 x = 1 tiene solución en Z

i) - ( - a ) = a

6. Dar contraejemplos mostrando que:

1) la potenciación no es conmutativa

2) la potenciación no es asociativa

7. En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Se propone indicar cuáles son y corregirlos:

1) ( 22 . 2-3 . 25)2 = ( 24)2 = 216

2) ( 52)4 : ( 5-3)2 = 58 : 5-6 = 114 = 1

3) ( 74 . ( 72)6 )/(79)2 = (7 4 712)/ 718 = 7-2 = (-7)2 = 49

4) (7. 2 - 14)0 + 50 = 2


8. Aplicando las propiedades de la potenciación demostrar que:

1) (a + 2)2 - (a - 2)2 - 4(2a + 1) = - 4

2) (3 . 3n+1 + 3 n+2)3 : (3 n+2)3 = 8

3) (10 . 2n+1

)3

: (2 n+1

)3

= 1000

4) 22-n . (2 . 2n+1 + 2n+2) = 32

9. Calcular:

a) 4 8 3 8

b) 5. 5 3 2 . 3 4

1 5 2

c)

20

3. 3 2 a . 3 a 3 d)

e) 2. 3 2 5 32

f) 3 54 243 6 81

h) a4 a 24 a 5

10. Exprese como potencia de exponentes fraccionario y calcule:

1) 3. 4 27

2 .

2) 5 8

2 4

5. 3 3

3) 125. 27 4)

a. a

3 a

11. Mostrar que:

2

1

2

1

2

1

2

1ba

ba

ba

12. Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:

1

a) 3 2

5

b) 5 9

x 1 c) x 1

d) 2 5

2 5


e) 2

x y II. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES CON UNA Y DOS

VARIABLES

1. 8z = 40 + 3z

2. 10x = - 5x + 60

3. - 15y + 3 = - 36 - 18y

4. 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12

5. 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5

6. 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5

7. 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5

8. 16 - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2)

9. - (7x - 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4) = - ( - x + 7) - (6x - 4 - 7)

10. - 18 - [ 3(x + 2) + 4] = 21 - [ 6( - 2x - 2) + 1]

11.

12. –

13.

14. –

15. – –

16.

III. RESUELVE APLICANDO LA REGLA DE RUFFINI Y VERIFICA CON EL TEOREMA DEL

RESTO:

)2(:)2.(1 3 xx

)1(:)2

13.(2 24 xxx

)2

1(:)32.(3 53 xxxx

)5,0(:)32

1.(4 3 xxx

8. Determine a, sabiendo que – 2 es raíz de p(x) = 5x4 – 7 x3 + 11x + a

9. Sea p(x) = 4x4 + 10 x3 + 19x + 5. Hallar p(-3)

10. Siendo A(x)= 122 xx B(x)= 22

21 x C(x)=

2

2332 xx D(x)=

21x Calcular:

a. A(x). B(x) b. B(x). C(x).

5. ( 13 23 xx ): ( 3x )

6. (435 xx ): (

21x )

7. ( 325x ): (x-2)


c. A(x).(- D(x) ) d. 2(A(x) – B(x) ) – B(x).C(x)

e. A(x) – B(x) +C(x) f. A(x).D(x) – C(x)

11. Si se tiene que: 12

32

2

1)( 432 xxxxxP

Calcular el valor numérico de P(x) para los siguientes valores:

a) x = 1 b) x = -1 c) x = 2 d) x = -2

12. calcular el valor de k para que:

a. el valor numérico para x=1 de P(x) sea igual a 4, xkxkkxxP )3(4)( 42

b. H(2)= - 9, kxxkkxxH2

93

4

1)( 2

c. el valor numérico para x= -3 de T(x) sea igual a 69, xxkxT 4)( 22

d. L(2)= 50 xkxkkxkxL .3)2()( 2232

IV. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

13. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55.

¿Cuál es el número?

14. ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?

15. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es

el número?

16. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?

17. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es

147. Hallar el número.

18. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los

números?

19. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida

del lado del cuadrado.

20. Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3:5 y su perímetro es 140 m.

Calcular el largo y en ancho.

21. Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica.

¿Cuánto mide el lado?

22. Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble

de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

23. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de

la novia era 3/4 de la edad de la novia. ¿Qué edad tienen actualmente?

24. La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan

en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué edad tienen

actualmente?

25. Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la

séptima parte de la edad del padre?

26. Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por

ello S/ 169. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más S/ 20 y cada

lápiz cuesta el doble de cada goma, más S/ 8. ¿Cuánto cuesta cada material?

27. Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara US$ 14,00 a Gladys y US$ 35,00 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

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