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Walter Orlando Gonzales Caicedo

www.goncaiwo.wordpress.com

SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 11 - 12

FACULTAD DE :

ESCUELA PROFESIONAL DE :

DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I

ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA:

TEMAS: Funciones, definición y propiedades.

Regla de correspondencia. Dominio y rango de una función. Gráfica de una función. Funciones especiales: Identidad, constante, lineal, raíz cuadrada, valor absoluto. Clases de funcione: inyectiva, suryectiva, biyectiva; operaciones con funciones: suma, diferencia, multiplicación y división de funciones; composición de funciones; función inversa.

TIEMPO: 08 horas académicas.

COMPETENCIA:

Entender y aplicar el concepto de función para representar en el plano cartesiano y así poder explicar el comportamiento de ciertos fenómenos de la vida diaria.

CAPACIDADES:

Construye el gráfico, determina el dominio y rango de una función.

Realiza operaciones con funciones.

Establece la función inversa de una función dada, si la tuviera.

Resuelve y aplica las funciones al estudio de casos o proyectos de su especialidad.

ACTITUDES:

RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico. PUNTUALIDAD: Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases. PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa

activamente en el desarrollo de las clases.

E

V

A

L

U

A

C

I

Ó

N

MOMENTOS O FASES

DESCRIPCIÓN DETALLADA DE ESTRATEGIAS Y METODOLOGÍA

MEDIOS Y MATERIALES

TIEMPO

EVALUACIÓN

INDICADORES INSTRUMENTO

Motivación y exploración

MOTIVACION:

(ANEXO Nº 01)

EXPLORACION: El docente presenta en la pizarra una lista de ejercicios relacionadas con

funciones. Será importante en nuestra carrera el estudio de las funciones, me servirá en mi carrera.(ANEXO Nº 01)

Material Impreso.

Pizarra

Plumones

acrílicos

Mota

Palabra hablada.

50 min.

Interés por el tema, participación individual y en

grupo.

Observación espontánea. Intervención oral

Problematización

Se plantea las siguientes

interrogantes:

¿Podrían representar un

problema real utilizando

funciones?

¿Cómo definen a una

función?

¿Conoces las

propiedades de

funciones?

¿Sabes identificar el

dominio y rango de una

función?

Exposición oral

45 min.

Dadas las diferentes propiedades y operaciones que se realizan con las funciones desarrollan los ejercicios

planteados. Participación activa

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación (ANEXO Nº 06)



¿Qué funciones

especiales conoces?

Construcción del

conocimiento

Se forma 7 grupos.

Modulo de lógica

matemática

- (ANEXO Nº 03)

-

Los estudiantes analizan

los conceptos de

Funciones y propiedades.

Regla de

correspondencia. Dominio

y rango de una función.

Gráfica de una función.

Funciones especiales:

Identidad, constante,

lineal, raíz cuadrada,

valor absoluto.

(ANEXO Nº 04)

Se realiza la

sistematización de lo

aprendido.

Los estudiantes plantean

y desarrollan un

laboratorio con ejercicios.

(ANEXO Nº 05)

Papelógrafo. Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03) Textos auxiliares. cinta adhesiva

185 min.

Aplicación de la teoría en la solución de problemas específicos. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas relacionas a su carrera. Trabaja en forma individual y grupal , comentan ,discuten

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación (ANEXO Nº 06)

Transferencia del

conocimiento

Los estudiantes resuelven

los ejercicios planteados

en su módulo de trabajo.

Los estudiantes participan

anotando sus respuestas

en la pizarra

(Hoja de información

,Grupo de estudio ,

trabajo en equipo;

exposición del problema

planteado.(ANEXO Nº04)

Los alumnos resuelven en

grupo una ficha de

trabajo:”Leo, analizo y

resuelvo” (ANEXO Nº 03)

que les permitirá

descubrir procedimientos

Hoja impresa Folder de trabajo.

120 min.

Aplica estrategias metacognitivas para representar la solución de los ejercicios planteados. Presentación de trabajo individual o grupal

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Folder de trabajo.



BIBLIOGRAFÍA Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas para Administración y Económia. Ayra Jadish C. Matemáticas Aplicadas, a la Administración, Economía, Ciencias Biológicas y Sociales. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú. Figueroa G. R. (2006). Matemática Básica. Ediciones San Marcos. Perú. Gonzales Caicedo, Walter Orlando et al. (2009). Modulo de Lógico Matemática. Lambayeque – Perú. Leithold. Matemáticas previas al Cálculo: Funciones, Gráficas. Moisés, Lázaro. (2007). Matemática Básica Tomos I y II. Editorial Moshera. Perú. Venero Baldeon, Armando. Matemática Básica.

ANEXO Nº 01 Una empresa agro exportadora produce cierto producto que vende $10. El costo de producción de x productos diariamente está dado por la fórmula: C(x) = x2 + 32x – 40. ¿Cuál debe ser la producción diaria a fin de que la empresa obtenga ganancias?

ANEXO Nº 02

Recuerda: Excelente maestro es aquel que, enseñando poco, hace nacer en el alumno el deseo grande de aprender. A. Graf Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar.

ANEXO Nº 03

USS. MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA

FUNCIONES 1. DEFINICIONES:

para reconocer e

interpretar a las

proposiciones.

El docente destaca los

resultados a través de la

evaluación del trabajo

realizado..

Los alumnos desarrollan

ejercicios propuestos del

modulo correspondiente a

funciones



Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango).

Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente.

Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen:

1) f AxB.

2) (x,y) f (x,z) f y = z ó x Df; ! y Rf / (x,y) f y = f(x).

De donde: A: Conjunto de Partida. B: Conjunto de Llegada.

Dominio de f: Df = {x A/ ! y B y = f(x) }

Rango de f o Codominio: Rf= {y = f(x) B/ x A} OBSERVACION: 1) Para que dos diagramas representen función de cada elemento de A debe salir

sólo y sólo una flecha hacia B. 2) Una ecuación graficada en el Plano Cartesiano, se dice que es función, si

cualquier vertical trazada a la gráfica la corta en un solo punto. 3) Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

4) f: A B. y = f (x) “Regla de correspondencia”. Esta regla de correspondencia nos da la definición de Notación Funcional. 2. NOTACIÓN FUNCIONAL Es un operador que emplea la variable x para indicar el dato que ingresa y f(x) para indicar el resultado. Se denota por f(x) y se lee “f de x”.

Ejemplo: Si . Calcular: E = f(1) + 1 f(2)

Solución: Si x = 1 entonces: f(1) = 1 (1+1)/ 2= 1 Si x = 2 entonces: f(2) = 2 (2+1)/ 2= 3 Luego:

E = f(1) + 1 f(2) = (1 + 1)3 = 8 3. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES: Si f es una función real de variable real si y solamente si todo recta vertical corta a su grafica a lo mas en un punto. Ejemplo: De acuerdo a esta propiedad se tiene que las circunferencias y las rectas verticales no corresponden a funciones. 4. APLICACIÓN

Dado fA B, f es aplicación sí y sólo sí Df = A. OBSERVACION:

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Toda aplicación es función, pero no toda función es aplicación.



FUNCIONES ESPECIALES 1. F. LINEAL:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=ax+b

a, b son constantes. Df = R Rf = R

2. F. CONSTANTE:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=b Df = R Rf = {b}

3. F. IDENTIDAD:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=x

Es una función lineal donde a=1, b=0

Df = R Rf = R

4. F. VALOR ABSOLUTO:

Regla de Correspondencia: y=f(x)= x

0 xsi x;

0 xsi x;f(x)y

5. F. RAÍZ CUADRADA:

Regla de Correspondencia:

y=f(x)= x

Df = 0R

Rf = 0R

6. F. CUADRÁTICA:



EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones. 2 2 2, / 9f x y R y x

2 3 4, /g x y R y x

2, / 3h x y R x y

2, / 4j x y R x

Solución: Tenemos:

2 2 2, / 9f x y R y x

Donde:

2 29y x

Como “y” esta elevado a una potencia par Luego: f no es función

2 3 4, /g x y R y x

Tenemos:

3 4y x

Donde: “g” si es función porque la potencia de la variable y es impar.

2, / 3h x y R x y

Tenemos:

3x y

22

3x y

Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx + c.

La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: y = a(x-h)2 + k



23x y

Entonces:

2

2

2

2

2

3 , 03

3 , 0

3 , 0

3 , 0

x y yx y

x y y

y x y

y x y

Luego: Para cada “x”, “y” tiene dos valores por lo tanto “h” no es función.

2, / 4j x y R x

Tenemos:

4x Luego: j no es función

2. Dado el conjunto de pares ordenados

23,2 3 , 1,5 , ,3 3,4 , 6,7 1,3 2, 4 , 2,2g x y x y x y x y

Hallar “x” e “y” para que g sea función y dar como respuesta Dom (g)∩Ran(g) Solución: Tenemos:

23,2 3 , 1,5 , ,3 , 3,4 , 6,7 , 1,3 , 2, 4 , 2,2g x y x y x y x y

Entonces: De Se tiene que:

2 3 4x y De Se tiene que:

2 4x y Luego: se tiene el sistema de ecuaciones

2 3 4

2 4 (3)

2 3

x y

x y

x y 4

6 3x y 12

8 8

1

x

x

2( 1) 3 4y



2 3 4

3 6

2

y

y

y

Entonces:

3,4 , 1,5 , 1,3 , 6,7 , 4,3 , 2, 4

3, 1,1,6,4,2

4,5,3,7, 4

3,4

g

g

g g

g

D

R

D R

3. Hallar el Dominio de:

3/ 22

2

2 3( ) 5 6

5 6

xf x x x

x x

Solución:

3/ 22

2

3/ 2 22

2 35 6

5 6

1 2 3

5 65 6

xf x x x

x x

xf x

x xx x

2 223

1 2 3

5 65 6

xf x

x xx x

Donde: Para:

2 5 6 0

3 2 0

x x

x x

+ - + - -∞ - 3 -2 +∞

Entonces:

, 3 2,

Para:

22 5 6 0x x

2

2 2

3 2 0

3 2 0

x x

x x

+ + + - -∞ - 3 -2 +∞



Entonces:

R- {-3,-2}

Luego: el dominio de la función es: Dom(f)= {(-∞,-3)U(-2,+∞)}∩[R- {-3,-2}] Dom(f)= (-∞,-3)U(-2,+∞)

ANEXO Nº04

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº12 I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Sea la función F = {( x, y ) / y = x + 2 }, hallar el dominio, el rango de F y

graficar.

2. Para la función F = {(x,y)/ y = }, hallar el dominio, el rango de F y graficar.

3. Hallar el dominio, el rango y esbozar la gráfica de las siguientes funciones con

valores en R.

a) 23)( xxf

b) 142)( 2 xxxg

c) 53)( xxh

4. La utilidad por fabricar una cantidad x de cierto producto viene dada por la

función:

1610)( 2xxxf , 0x . Graficar f

5. Sea la función f definida por 13122)( 2 xxxf , 3,1x . Hallar el Ran(

f )

6. Graficar la función:

)(xh

7. Si F representa una función: F = {(3; 7a+2b), (2; 5) (2; a+2), (3; 5b-2a)} ¿Cual o cuales de los siguientes conjuntos son funciones? A = {(a;b), (b-a; 5), ( 5; b-a), ( a+b ; 5)} B = {3;b),(b;3),(3;8),(9;2a-b)}

-2x si x < -1

x2 si 1x 1

1 si 1< x < 3

4x si 3x



C = {(3;5),(9,7),(b;a),(5a+3b)}

8. Sean los conjuntos: A= {1,2,3} y B= {a,b,c,d,e} ,entonces: F= {(1,b);(2,b);(3,d)} es una función de A en B F= {(1,b);(1,c);(2,a); (3,e)} es una función de A en B F= {(1,b);(2,c)} es una función de A en B F= {(1,c);(2,c);(3,c)} es una función de A en B Representar cada caso en un diagrama sagital.

9. Hallar la regla de correspondencia de en cada caso que se presenta:

a)

b) c)

d) II. Hallar el dominio, rango y graficar cada uno de las siguientes funciones:

10. 3y

11. 2y

12. 3

xy

13. xy

14. 3xy

15. 33

xy

16. 2

2xy

17. 5

)4( 2xy

18. 25 2 xxy

19. 5

23

x

xy

20. 2)3(xy

CLASES DE FUNCIONES 1 F. INYECTIVA (UNIVALENTE ó 1-1:

f: A B, es inyectiva x1, x2 Df x1 x2 f (x1) f (x2); es decir, cuando los elementos se relacionan uno a uno. OBSERVACIÓN: Una función es inyectiva cuando cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen diferente, es decir, cuando los elementos del conjunto de llegada tienen una o ninguna contraimagen.



Ejemplos:

1. 3-x

x3)(xf es inyectiva.

2. g(x) = 2x² + 2 no es inyectiva, pues g(1) = g(-1) = 4

2 F. SURYECTIVA, SOBREYECTIVA O SOBRE:

f: A B, es suryectiva si: y B, x A / (x.y) f ó y = f(x) “Regla de correspondencia”; es decir, el Rango es igual al conjunto de llegada. OBSERVACIÓN: Una función es sobreyectva cuando el rango es igual al conjunto de llegada, es decir, cuando todos los elementos del conjunto de llegada tienen una o más contraimagen.

Ejemplo: f(x) = 2x + 5 es sobreyectiva. g(x) = 2x² + 2 no es sobreyectiva, pues -2 no pertenece al recorrido de

g, g(x) 2 x Dg

3 F. BIYECTIVA:

f: A B, es biyectiva si f es inyectiva y suryectiva a la vez. OBSERVACIÓN: Una función es biyectiva cuando es sobreyectiva e inyectiva a la vez, es decir, que cada uno de los elementos del conjunto de llegada tiene una, y nada más que una, contrimagen.

f

A B

-1

-2

-3

-a

-b

-c

-d

f

A B

-1

-2

-3

-4

-a

-b

-c



Ejemplo: Dado A = {1,2,3,4} y B = {a,b,c} y f = {(2,b), (3,a), (1,a), (4,c)}

a) f no es inyectiva por (3,a), (1,a)

b) f es suryectiva pues Rf = B.

c) f no es biyectiva, pues no es inyectiva y suryectiva a la vez.

4 FUNCIÓN INVERSA (f-1 ó f*) Una función f tiene inversa si y sólo sí es inyectiva. OBSERVACION: Para toda f-1 se cumple:

Si fA B f*B A.

Df = Rf* y Rf = Df

*.

Ejemplo: Hallar la inversa de: 3-x

2)(xf

Solución:

Tenemos:

3-x

2y

Despejando x:

y

x2

3

32

yx

Luego:

32

)(1

xxf

32

xy

Ejemplo: F1 = {(2,4), (4,6), (6,8)}

Entonces: f1

-1 = {(4,2), (6,4), (8,6)} es inyectiva. Luego: tiene f1

-1.

f

A B

-1

-2

-3

-4

-a

-b

-c

-d



F2 = {(5,1), (6,1), (7,2)} Entonces: Se tiene que no es inyectiva Luego: no tene f2-1.

Ejemplo:

Una función f: AB, se ha representado mediante un diagrama sagital obteniéndose:

A B

Según esto, entonces: f es una aplicación, f es inyectiva, f es suryectiva, f es biyectiva.

Solución:

Tenemos:

f no es aplicación por que sobra el elemento 8

f no es inyectiva por que al 1 le corresponde tres imágenes

f es suryectiva por que en el conjunto de llegada no sobran elementos f no es biyectiva por que f no es inyectiva.

OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Suma y resta de funciones

Para obtener la función f + g, resultado de sumar dos funciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x) Ejemplo: Sean f(x)=x2 y g(x)=2x. Calcular f(x)+g(x) Solución: Tenemos: h(x)=f(x)+g(x)= x2+2x De forma análoga se encuentra la resta de funciones f - g Es decir: h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)

3

5

7

8

9

1



2. Multiplicación y división de funciones

Para obtener la función f*g, resultado de multiplicar dos funciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x)=(f*g)(x)=f(x)*g(x) Ejemplo: Sean f(x)=2x y g(x)=0.5x Entonces: h(x)=f(x)*g(x)=2x*0.5x= x2 Para obtener la función f/g, resultado de dividir dos funciones, f y g.

Es decir: h(x)=(f/g)(x)=f(x)/g(x) Ejemplo: Sean f(x)=2x2 y g(x)=0.5x Entonces: h(x)=f(x)/g(x)=2x2/0.5x= 4x 3. Composición de funciones

En general, dadas dos funciones f y g

x f f(x) g g[f(x)] g º f

La función g◦f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[f(x)]

Ejemplo: Sean: y

¿Cuánto vale f(4)? y ¿ g(2)? Calcula g[f(4)] y g[f(0.5)] ¿Cuál es la función g◦f(x)?

Solución:

Tenemos: f(4) = 3 y g(2) = ½

g[f(4)] = g(3) = 1/3 y g[f(0.5)] = g(-4) = -1/4

g◦f(x) = g(2x-5) =



ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº13

I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Esbozar la gráfica de las siguientes funciones con valores en R y diga la clase de función que es.

a) 23)( xxf

b) 142)( 2 xxxg

2. Si xxf 24)( y 224)( xxg . Determinar el dominio y regla de

correspondencia de:

a) gf b) )( gf c) gf d) gf / e) g ◦ f

3. Sea la función f definida por )(xf = 13122 2 xx , 3,1x . Hallar el

Ran( f ) y qué clase de función es.

4. ¿La función dada por f(x) = 6x + 9 es biyectiva?

5. La función: 96)( xxf es biyectiva. Verificar si su inversa 6

9)(1 x

xf

también lo es.

6. Para f(x) = 3x2 + 5x + 2 ; y g(x) = x2 + x, obtener: a) (f + g)(x) b) (f – g)(x)

c) (f * g)(x)

d) )(

)(

xg

xf

e) (f g)(x)

7. Para 1

)(x

xxf ; y

21)( xxg , encuentre:

a) ( f + g )(x)

b) )(xf

g

c) ))(( xfg

d) ))(( xgf

8. Hallar la función inversa para cada una de las siguientes funcione

4

32)(

xxg

12)( xxg 2

3)(

x

xxg

2)( xxg

1

32)(

x

xxg

xxg

1)(

12

12)(

x

xxg



9. Indicar la clase de funciones que representan los siguientes gráficos:

a) b) c) d) e) f)

10. Dar un ejemplo de una función de R en R: a) Inyectiva pero no sobreyectiva. b) Sobreyectiva pero no inyectiva. c) Biyectiva d) No inyectiva ni sobreyectiva.

11. Graficar las siguientes funciones y analizar si son biyectivas. Justificar.

a.

1 si2

11 si1

1 si1

)(2

2

xxx

x

xxx

xf

y

x

y

x

1

2

3

4

a

b

c

A B

5

4

2

6

7

8

A B f

1

2

3

a

b

c

6

7

8

5

4

3

A f B A f B



b.

1 si6

13 si

3 si82

)(29

21

xx

xx

xx

xg

c.

4 si)4(

40 si3

0 si2

)(2 xx

x

xx

xh

d. 0 si

0 si)(

2 xx

xxxk

LAS FUNCIONES Y SUS APLICACIONES

1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radián.

1) Función seno:

La función seno es la función definida por: f(x)= sen x. Características de la función seno Dominio: R

Recorrido: [-1, 1]

El período de la función seno es 2π

La función y = sen x es impar, ya que sen(-x) = -sen x, para todo x en R.

La gráfica de y = sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas

son: x =nπ para todo número entero n.

El valor máximo de sen x es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y = senx es 1.

Grafica de y = senx



2) Función coseno: La función coseno es la función definida por: f(x) = cos x. Características de la función coseno Dominio: R Recorrido: [-1, 1]

Es una función periódica, y su período es 2π.

La función y = cosx es par, ya que cos(-x) = cos x, para todo x en R. La gráfica de y = cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas

son: nx2

para todo número entero n.

El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y = cosx es 1.

Grafica de y = cosx

3) Función tangente: La función tangente es la función definida por: f(x)= tan x.



Características de la función tangente

Dominio: }/2

{ ZnnR

Recorrido: R

La función tangente es una función periódica, y su período es π.

La función y = tan x es una función impar, ya que tan(-x) = -tan x. La gráfica de y = tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas

son: x =nπ , para todo número entero n.

Grafica de y = tan x

OBSERVACIÓN: Las otras tres funciones trigonométricas: cotangente, secante y cosecante son también funciones periódicas. Las funciones trigonométricas fueron sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes habían dado expansiones en forma de serie para las mismas. Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y sistemático a las funciones trigonométricas. La periodicidad de estas funciones y la introducción de la medida de los ángulos por radianes, fue realizada por Euler en su

Introductio in Analysis Infinitorum en 1748. Ejemplo:

1) Gráfica de la función )3

2(3 xSeny

Tenemos:

Amplitud = |-3| = 3

3

2Período

6

Desfase



Gráfica:

2) Gráfica de la función 1)3(2 xCosy

Tenemos:

Amplitud = 2

3

2Período

3

Desfase

Desplazamiento vertical = -1

Gráfica:

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