Operaciones de simetría

Una operación de simetría cambia el arreglo nuclear de una molécula a una

posición que es físicamente indistinguible de la posición original.

No tiene efecto sobre las propiedades físicas de la molécula.

A cada operación de simetría le corresponde un elemento de simetría (entidad

geométrica respecto a la cual se aplica la operación de simetría: punto, línea,

plano).

Cinco operaciones de simetría (convención: las operaciones de simetría se

aplican a la molécula y no al sistema de referencia utilizado).

1). Operación identidad: Deja la molécula inalterada (esta operación es

importante para la aplicación de la teoría de grupos). Se representa por la letra E.

2). Operación de rotación. Rotación de la molécula en la dirección de las manecillas del relojalrededor de un eje.

Si la rotación 2/n (n es entero) lleva a la molécula a una posición indistinguible de la original,se dice que la molécula tiene como elemento de simetría un eje de orden n (también ejepropio o eje de rotación).

Cn elemento de simetría Cn operador de simetría

La operación k(2/n) con k entero, también lleva a coincidencia a la molécula.

elemento de simetría (coincide con Cn).

operador de simetría (rotación por k(2/n) o aplicar k veces la rotación 2/n).

n(2/n) conduce al arreglo original.

Si existe el elemento de simetría Cn, entonces la rotación contra las manecillas del reloj por

k(2/n) es una operación de simetría y se denota por . De hecho,

En una molécula que presenta varios ejes de rotación, el eje con mayor valor de n es el eje principal.

k

nC

k

nC

ECn

n

k

nC

)kn(

n

k

nCC

C4

Notación para elementos de simetría que coinciden.

Convención: se escoge el símbolo

con menor n.

.diferentessonCyC,CSolo 3

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3). Operación de reflexión. Consiste en reflejar la molécula sobre un plano.

Si la operación lleva a coincidencia se dice que la molécula tiene un plano de simetría como elemento de simetría. El plano se denota por σ y la operación de reflejar sobre este plano por σ.

σh → plano perpendicular si es perpendicular al eje principal.

σv → plano contiene al eje principal.

σd → plano contiene al eje principal y bisecta el ángulo entre dos ejes de simetría de orden dos perpendiculares al eje principal (caso particular de σv).

Se cumple que σ2 = E

4) Operación de rotación-reflexión

Consiste de una rotación de 2π/n seguida de una reflexión en el plano perpendicular al eje de rotación (el orden es indistinto).

Elemento de simetría: Eje de rotación de orden n alternante, eje impropio, eje de rotación-reflexión.

Operación de simetría: Sn

Diferentes planos de reflexión

Eje de rotación-reflexión

Se cumple que:

En general, para k aplicaciones sucesivas de Sn.

si k es impar

si k es par

Asimismo

si n es impar

si n es par

2

n

2

nCS

k

nh

k

nCS

k

n

k

nCS

1

S

h

n

nS

ESn

n

Operación de inversión: invierte todos los núcleos de la molécula con relación a un centro.

Si O es el origen de un sistema de referencia cartesiano, entonces esta operación cambia todo

punto (x, y, z) al punto (-x, -y, -z).

Si la molécula alcanza coincidencia, entonces O es el elemento de simetría i correspondiente a la

operación de simetría i.

i = S2

i2 = E

Centro de inversión

Álgebra de las operaciones de simetría

La aplicación sucesiva de dos operaciones de simetría produce otra operación de simetría.

PQ = R

La aplicación de Q seguida de P es igual a la operación de simetría R.

Las operaciones de simetría no necesariamente conmutan.

C3C3-1 = E C3

-1C3 = E conmutan

C3v = v v C3 = v no conmutan

Las operaciones de simetría obedecen la ley asociativa.

(PQ)R = P(QR) = PQR

Si la aplicación sucesiva de dos operaciones de simetría conduce a la operación identidad, entonces una es la inversa de la otra:

PQ = QP = E

E identidad

P-1 = Q

Q-1 = P

Se cumple que:

(PQ)-1 = Q-1P-1

Dado que los operadores de simetría no conmutan, se debe respetar el orden de aplicación o “multiplicación” de dos o mas operadores:

PQ = R

TPQ = TR

Pero no

TPQ = RT

Otro ejemplo

PQ = R

PQR-1 = RR-1 = E

Momento dipolar

Por simetría es posible determinar si una molécula tiene momento dipolar y en algunos casos

su dirección.

La dirección del momento dipolar debe ser la misma después de aplicar cualquier operación

de simetría.

Si una molécula tiene un eje de orden n, el vector de momento dipolar debe estar sobre este

eje.

Si una molécula tiene dos mas ejes no coincidentes su momento dipolar debe ser cero (el

momento dipolar no puede estar en dos ejes al mismo tiempo).

dμ q

Metano

Si la molécula tiene un plano de simetría el momento dipolar debe estar contenido en este

plano.

Si existen varios planos de simetría, el momento dipolar debe estar en la intersección de estos

planos.

Si la molécula tiene un centro de inversión no puede tener momento dipolar.

Actividad óptica

Luz: campos eléctricos y magnéticos oscilantes perpendiculares a la dirección de propagación.

Polarización: propiedad que describe la dirección de las oscilaciones del campo eléctrico.

-En el caso de polarización circular el vector eléctrico asociado con la luz describe una hélice

de mano derecha o izquierda.

Si dos rayos de luz polarizada circularmente (de hélice derecha e izquierda) de igual frecuencia se

sobreponen se obtiene luz polarizada en un plano.

Calcita (CaCO3) tiene dos índices de refracción.

La dirección de propagación de la luz puede cambiar en proporción al índice

de refracción (ley de Snell).

Este material divide un rayo de luz monocromática en dos rayos con

polarización opuesta.

Algunas sustancias pueden rotar el plano de polarización de un rayo de luz

polarizada plana (actividad óptica).

Polarímetro

En términos moleculares, la condición para que una sustancia presente actividad óptica

es que su estructura (molecular) no pueda ser sobrepuesta en su imagen obtenida por

reflexión en un espejo.

En este caso, existen dos formas de la sustancia (enantiómeros) que exhiben actividad

óptica opuesta.

Si una molécula tiene un eje impropio Sn entonces se puede sobreponer sobre su imagen en el espejo.

Sn Cn + = + Cn

Sn equivalente a rotar la imagen en el espejo. Como la aplicación de Sn lleva a coincidencia a la

molécula, entonces la misma se sobrepone a su imagen después de la aplicación de esta operación de

simetría.

Por tanto, si una molécula tiene un eje impropio Sn no presenta actividad óptica.

Como

S1 =

S2 = i

Entonces una molécula que tenga un plano de reflexión o un centro de inversión es ópticamente

inactiva.

Inversamente, una molécula que no presenta un eje impropio Sn puede presentar (en principio)

actividad óptica.

Moléculas que no tienen eje Sn

Moléculas sin eje Sn que no exhiben actividad óptica (similitud de grupos

funcionales).

No tiene eje Sn pero por rotaciones internas la molécula se puede sobrepones a su imagen.