operaciones conjuntos
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OPERA
CIONE
S
ENTRE
CONJU
NTOS
ESTRU
CTURA
S
DISCR
ETAS
Intersección de conjuntos ( )
La intersección entre dos o más conjuntos es otro conjunto formado por
los elementos comunes a ellos; es decir, a los elementos comunes o repetidos de ambos
conjuntos A y B. Los conjuntos son los ladrillos fundamentales de las matemáticas. Es
verdad que los conjuntos, por sí solos, no parecen nada del otro mundo. Pero cuando los
aplicas en distintas situaciones es cuando se convierten en los bloques con los que las
matemáticas se construyen.
La intersección se simboliza con el signo y se coloca entre las letras que representan a
cada conjunto.
Conjunto A = {3, 8, 24}
Conjunto B = {13, 7, 8, 12}
Los elementos que se repiten entre A y B son: 3 y 8. Estos
elementos se anotan en la parte de color amarillo pues representa el lugar común entre
ambos conjuntos.
Otro ejemplo:
B = { a, b, c, d, e, f }
C = { a, d, f, g, h }
B C = { a, d, f }
En el diagrama de Venn la parte ennegrecida representa la intersección de B y C.
Unión de conjuntos: La unión de dos o más conjuntos es otro conjunto formado por los
elementos que pertenecen a uno u otro conjunto o a ambos.
OPERA
CIONE
S
ENTRE
CONJU
NTOS
ESTRU
CTURA
S
DISCR
ETAS
La unión se representa por el símbolo Si un elemento está repetido, se coloca una sola
vez.
Cuando no hay elementos comunes o repetidos (esquema 1) se anotan
todos los elementos en un solo conjunto (una sola figura cerrada):
A B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Si hay elementos repetidos, éstos se anotan en la zona común a ambos
conjuntos (esquema 2), donde se juntan ambas figuras cerradas:
W Z = {9, 6, 8, 5, 7}.
Conjunto de potencia
Este conjunto se refiere a que los elementos de un conjunto pueden verse como va
un número de conjuntos que podemos elevar a un número exponencial.
Ejemplo:
¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de S={1,2,3,4,5}?
Bien, S tiene 5 elementos, así que:
|P(S)| = 2n = 25 = 32
Verás en un momento porqué el número de elementos es una potencia de 2.
Subconjuntos
Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B si todos los elementos de A están
en B.
Ejemplo; si A = {e, m, w, z} y B = {a, e, m, w, x, z}, entonces "A es subconjunto de B"
porque todos los elementos de A están en B, se escribe AcB (se lee A contenido en B).
Observemos que B no es subconjunto de A.
Complemento
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U
que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los
elementos de A que no están en B y se representa por comprensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no
estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
Partición entre conjuntos
Tenemos un conjunto A, construimos todos los subconjuntos del conjunto A. Al
conjunto formado por todos los subconjuntos de A se le llama conjunto de partes del
conjunto A.
Tenemos un conjunto A, creamos subconjuntos de A de forma que cualquier elemento de A
esté en al menos uno de los subconjuntos. Al conjunto formado por esos subconjuntos se le
llama recubrimiento del conjunto A.
Ejemplo: A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A1 = {0,1,2,3,4,5}, A2 = {0,1,2,8,9}, A3 =
{4,5,6,7,8,9}. Los subconjuntos A1, A2 y A3 hacen un recubrimiento del conjunto A.
Cuando en el recubrimiento los elementos del conjunto A están SÓLO en uno de los
subconjuntos se le llama partición.
Esto podemos visualizarlo si nos imaginamos una finca agrícola. Dividimos su superficie
en parcelas que obviamente no se superponen unas a otras, esa parcelación (partición) es
una partición.
Ejemplo: A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A1 = {0,1,2,3,4,5}, A2 = {6,7,8,9}. Los subconjuntos
A1, A2 hacen una partición del conjunto A.
Cardinalidad
La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y corresponde
al número de elementos que tiene el conjunto.
Ejemplos:
W = { $, %, &, /, ª } El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto,
su cardinalidad es 5 ( # = 5 )
Q
=
El conjunto Q está formado por 3
elementos
# Q = 3
K = El conjunto K tiene un elemento
# K= 1
Producto cartesiano
Ejemplo.
Dados los siguientes conjuntos:
P = {mango,uva,sandía }
Q = {melón, piña,ciruela,tuna,limón}
Obtener los productos cartesianos P×Q y Q× P .
Solución.
P×Q = {(mango,melón),(mango, piña),(mango,ciruela),(mango,tuna),(mango,limón),
(uva,melón),(uva, piña),(uva,ciruela),(uva,tuna),(uva,limón),
(sandía,melón),(sandía, piña),(sandía,ciruela),(sandía,tuna),(sandía,limón)}
Q× P = {(melón,mango),(melón,uva),(melón,sandía),
( piña,mango),( piña,uva),( piña,sandía),
(ciruela,mango),(ciruela,uva),(ciruela,sandía),
(tuna,mango),(tuna,uva),(tuna,sandía),
(limón,mango),(limón,uva),(limón,sandía)}
Un sistema de dos ejes coordenados o plano cartesiano, se define como el conjunto de todas
las parejas ordenadas de números reales, que corresponden en sí al producto cartesiano R x
R.
Un sistema de ejes coordenados se construye haciendo que dos líneas rectas se corten
Perpendicularmente en un punto llamado origen, quedando el plano dividido en cuatro
regiones llamadas cuadrantes. Al eje horizontal se le conoce como eje x y al eje vertical
como eje y .
Dado que el conjunto R x R son todas las parejas ordenadas ( y,x ) de un plano cartesiano,
se tiene que:
R2=R x R = { ( y,x ) x ∈R y y ∈R }
En una pareja ordenada ( y,x ), a x se le da el nombre de abscisa y a y , el nombre de
ordenada. Estos
valores sirven para localizar un punto en el plano cartesiano, y se les llama coordenadas de
un punto, que se escribe como P( y,x ).
A cada pareja ordenada de este producto cartesiano le corresponde uno y sólo un punto
sobre el plano cartesiano, y a cada punto del plano cartesiano le corresponde una y sólo una
pareja ordenada. A esto se le llama correspondencia biunívoca.