matemáticas discretas operaciones entre conjuntos
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Matemáticas Discretas
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
OperacionesOperaciones entreentre conjuntosconjuntos
A ∪ B = { x | x∈A ∨ x∈B}
A ∩ B = { x | x∈A ∧ x∈B}
A – B = { x | x∈A ∧ x∉B}
A = { x | x ∉ A ∧ x∈U }, siendo U el conjunto universal U
Unión de Conjuntos
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
U
A B
Intersección de Conjuntos
A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
U
A B
Diferencia entre Conjuntos
A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
U
A B
Complemento de un Conjunto
Ā = {x | x ∉ A}
U
A
EjerciciosEjercicios
Sean A={a,b,c,d,e}, B={a,b,c,d,e,f,g,h}
y U={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j,k}. Calcule
A ∪ B, A ∩ B, A – B, B – A, B, A ∩ B
ConjuntosConjuntos DisjuntosDisjuntos
A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅
•Sean A={1,2,3}, B={7,8,9}, C={3,1,6}, D={1,8,9}
•E= ∅, F={1}, G={7, 3}, H={7,3,9}
Identidades entre conjuntos
Leyes de Leyes de idempotenciaidempotencia
A ∪ A = AA ∩ A = A
Leyes de Leyes de dominacidominacióónn
A ∪ U = UA ∩ ∅ = ∅
Leyes de Leyes de identidadidentidad
A ∪ ∅ =AA ∩ U = A
NombreNombreIdentidadIdentidad
Identidades entre conjuntos
Leyes Leyes distributivasdistributivas
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Leyes Leyes asociativasasociativas
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Leyes Leyes conmutativasconmutativas
A ∪ B =B ∪ A
A ∩ B =B ∩ A
NombreNombreIdentidadIdentidad
Otras Identidades
Leyes de De Leyes de De MorganMorgan
(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B
NombreNombreIdentidadIdentidad
ComprobandoComprobando identidadesidentidades� Método 1: Utilizar la notación de conjuntos y las equivalencias lógicas
� Método 2: Construir una tabla de pertenencia
� Método 3: Utilizar las identidades conocidas para probar nuevas
ConjuntosConjuntos
Pruebe que (A ∩∩∩∩ B) = A ∪∪∪∪ B
A ∩∩∩∩ B = { x | x ∉∉∉∉ A ∩∩∩∩ B }
A ∩∩∩∩ B = { x | ¬¬¬¬( x ∈∈∈∈ A ∩∩∩∩ B) }
A ∩∩∩∩ B = { x | ¬¬¬¬( x∈∈∈∈A ∧∧∧∧ x∈∈∈∈B) }
A ∩∩∩∩ B = { x | ¬¬¬¬( x∈∈∈∈A) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ (x∈∈∈∈B) }
A ∩∩∩∩ B = { x | (x ∉∉∉∉ A) ∨∨∨∨ (x ∉∉∉∉ B) }
A ∩∩∩∩ B = { x | (x ∈∈∈∈ A) ∨∨∨∨ (x ∈∈∈∈ B) }
A ∩∩∩∩ B = A ∪∪∪∪ B
TablaTabla de de PertenenciaPertenencia
Considerar cada combinación de conjuntos en los que un elemento puede pertenecer y
verificar que los elementos en la misma combinación de conjuntos pertenecen a
ambos conjuntos en la identidad
Tabla de pertenencia
11111
11011
11101
00001
01110
01010
01100
00000
A ∩∩∩∩(B∪∪∪∪C)B∪∪∪∪CCBA
Tabla de pertenenciaTabla de pertenencia
1
1
1
0
0
0
0
0
(A∩∩∩∩B)∪∪∪∪(A∩∩∩∩C)
11111
11011
10101
00001
00110
00010
00100
00000
A∩∩∩∩CA∩∩∩∩BCBA
UsandoUsando IdentidadesIdentidades
A A ∪∪ (B (B ∩∩ C) = A C) = A ∩∩ (B (B ∩∩ C) C) Ley de De MorganLey de De Morgan
= A A ∩∩ (B (B ∪∪ C)C) Ley de De MorganLey de De Morgan
= (B (B ∪∪ C) C) ∩∩ AA ConmutativaConmutativa para para intersecciinterseccióónn
= (C (C ∪∪ B) B) ∩∩ AA ConmutativaConmutativa para para uniunióónn
............
UniUni óónn GeneralizadaGeneralizada
La unión de una colección de conjuntos es el conjunto que contiene aquellos elementos que son miembros, al menos, de uno de los conjuntos de la colección
AA11 ∪∪ AA2 2 ∪∪ . . . . . . ∪∪ AAnn = = ∪∪(1(1≤≤ i i ≤≤n)n) AAii
IntersecciIntersecci óónn GeneralizadaGeneralizada
La intersección de una colección de conjuntos es el conjunto que contiene aquellos elementos que son miembros de todos los conjuntos de las colección
A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An = ∩(1≤ i ≤n) Ai
ConjuntosConjuntos
Sea Ai={i, i+1, i+2, ...}
Determine: ∪(1≤≤≤≤ i ≤≤≤≤ n) Ai y ∩ (1≤≤≤≤ i ≤≤≤≤n) Ai
ConjuntosConjuntos
Sea Sea Ai={i, i+1, i+2, ...}
Determine: Determine: ∪∪(1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ ii ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) AAi i y y ∩∩ (1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ i i ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) AAii
∪∪∪∪∪∪∪∪((((((((1 1 ≤≤≤≤≤≤≤≤i i ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) == {1,2,3,...}{1,2,3,...}
∩∩∩∩∩∩∩∩(1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ i i ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) = {n, n+1, n+2, ...}= {n, n+1, n+2, ...}
ConjuntosConjuntos
Sea Sea Ai={1,2,3,...,i} para i=1,2,3,.... i=1,2,3,....
DetermineDetermine
∀∀∪∪ (1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ i i ≤≤≤≤≤≤≤≤=n)=n) AAii
∀∀∀∀∀∀∀∀∩∩∩∩∩∩∩∩ (1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ i i ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) AAii
ConjuntosConjuntos finitosfinitos
� Es posible designar sus elementos comoprimero, segundo, etc. miembro
� Se pueden enumerar mediante losnaturales desde 1 hasta k
A es un conjunto finito si existe un enteropositivo k tal que existe una
correspondencia entre A y el conjunto de los naturales menores o iguales a k