04/08/2013

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ONDAS MECNICAS

Qu es una onda? Al tirar una piedra a la superficie en reposo de un lago, se observan que del punto donde cay la piedra se genera un tren de perturbaciones circulares que avanza con velocidad finita

Crestas de la perturbacin

Corcho

Las ondas mecnicas son perturbaciones que viajan por un medio material. Las partculas del medio son desplazadas de su posicin de equilibrio y sufren fuerzas de restauracin que tienden a volverlas a su posicin original. Las ondas transportan energa y cantidad de movimiento.

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Ondas transversal: el desplazamiento de las partculas es perpendicular a la direccin de propagacin de las ondas

Clasificacin de las ondas segn la direccin de desplazamiento de las partculas

Ondas longitudinal: el desplazamiento de las partculas est en la misma direccin en que se propaga la onda de propagacin de las ondas

Ejemplos

Ondas transversales Ondas longitudinales

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Definiciones Frente de onda: puntos que estn en el mismo estado de movimiento Onda plana: las condiciones son las mismas en todas partes de un plano perpendicular a la direccin de propagacin (frente de onda es un plano) (ondas electromagnticas)

Ondas esfricas: las condiciones son las mismas en todas partes de una esfera con centro en la fuente de la perturbacin (frente de onda son esferas) (ondas sonoras)

Descripcin matemtica En el instante inicial se realiza una perturbacin

1tt

0t

v

La perturbacin viaja y mantiene la forma a lo largo del tiempo

La forma de la perturbacin es una funcin del tiempo y del espacio

),(),( txftx

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En el instante inicial )()0,()0,( 0 xfxfx

En el sistema de referencia O, la forma de la onda es )'(0 xf

Haciendo un cambio de sistema de referencia vtxx '

)(),( 0 vtxftx Expresin funcional de una ONDA VIAJERA

Indica direccin de propagacin

Indica sentido de propagacin (- direccin positiva de las x; + direccin negativa de las x)

y

x O

v

P

v

P

y

x O

vty

x O

Ecuacin de onda )(),( vtxftx vtxz

z

zf

x

z

z

zf

x

tx

)()(),(

2

2

2

2

2

2 )()()(),(

z

zf

x

z

z

zf

z

zf

xx

tx

2

22

2

2

2

2 )()()(),(

z

zfv

t

z

z

zfv

z

zfv

tt

tx

z

zfv

t

z

t

zf

t

tx

)()(),(

2

2

22

2 ),(1),(

t

tx

vx

tx

Ecuacin diferencial de la onda

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Ecuacin diferencial para una cuerda

x

y

dx

T

xT

yT

T

xT

yT )sin(sin TTT yy

)tan(tan TLos ngulos son pequeos tan dT

amF

dxadmadT yy tan

2

2

dt

yday

dx

dytan

2

2

2

2

dt

yd

Tdx

yd

2

2

22

2 ),(1),(

t

tx

vx

tx

Relacionado con la velocidad de la onda

Tv

Velocidades de las ondas mecnicas Depende exclusivamente de las caractersticas elsticas e inerciales del medio en que se propagan

Tv CUERDA

Bv FLUIDO

Yv SOLIDO

Tensin

Densidad lineal

Densidad volumtrica

Densidad volumtrica

Mdulo de elasticidad

Mdulo de Young

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Ondas armnicas

El perfil de la onda es un seno o coseno

vtxkAtx sin),(

Amplitud

Longitud de onda

Nmero de onda (k)

),(),( txtx

)(sin)(sin vtxkAvtxkA

)(2)( vtxkvtxk

2k

mm

k

1

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Perodo (T): tiempo que le toma a una onda completa pasar por un punto fijo

),(),( Ttxtx

))((sin)(sin TtvxkAvtxkA

))((2)( Ttvxkvtxk

vT

sT

Frecuencia (f): nmero de ondas completas (ciclos) por unidad de tiempo

Tf

1 Hz

sf

1

Frecuencia angular ()

fT

22

s

rad

Velocidad de la onda

kf

Tv

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Velocidad de una partcula

Posicin tkxAtx sin),(Velocidad transversal de la partcula

tkxA

t

txtxu cos

),(),(

Aceleracin transversal de la partcula

tkxA

t

txutxa sin

),(),( 2

Potencia

x

y

T xT

yT

u

x

yTuTuTuTuFuP

tansincos

tkxAu cos

tkxAk

x

ycos

tkxAv

tkxAkTP

222

22

cos

cos

2

1 22 AvPdt

TP

rea

PI

Intensidad

tkxAtxy sin),(t

txytxu

),(),(

2vT v

k

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Reflexin en extremo fijo

La pulsacin llega al extremo, ejerce una fuerza hacia arriba. El apoyo ejerce una fuerza igual y contraria sobre la pulsacin que regresa en sentido contrario.

La reflexin tiene el desplazamiento vertical invertido.

ttxy 0),( 0X0

Reflexin en extremo libre

La pulsacin llega al extremo, ejerce una fuerza hacia arriba. El apoyo ejerce una fuerza igual y contraria sobre la pulsacin que regresa en sentido contrario.

La reflexin tiene el mismo desplazamiento vertical.

tdx

txdy

xx

0),(

0X0

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Dos cuerdas de densidades diferentes La segunda cuerda tiene mayor densidad que la primera.

La reflexin tiene el desplazamiento vertical invertido. La pulsacin transmitida tiene el mismo desplazamiento vertical.

Las velocidades son diferentes (depende de la densidad).

La frecuencia es la misma para las dos cuerdas.

Dos cuerdas de densidades diferentes La segunda cuerda tiene menor densidad que la primera.

La reflexin tiene el mismo desplazamiento vertical. La pulsacin transmitida tiene el mismo desplazamiento vertical.

Las velocidades son diferentes (depende de la densidad).

La frecuencia es la misma para las dos cuerdas.

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Ejercicios

Cuestin 1

Problemas 1 al 5