(5_103)ondas mecanicas

5/8/2018 (5_103)ONDAS MECANICAS - slidepdf.com

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1

MOVIMIENTO ONDULATORIO

1. Introducción. Propagación de pert urbaciones Analicemos el movimiento ocasionado en la superficie del agua de un estanque cuando es

arrojada una piedra sobre él. La perturbación ocasionada por la piedra en la superficie delagua se propaga sobre ella, de tal forma que un barquito de papel que esté flotando realizará

un movimiento vertical cuando la perturbación alcanza la posición que ocupa, sin embargo

no se producirá un avance ni un retroceso del barquito. La observación de este fenómeno tan

familiar para todos pone de relieve la esencia del movimiento ondulatorio: se produce un

transporte de cantidad de movimiento y de energía, pero no de materia.

En términos más generales, supongamos que una magnitud física está definida en una región

del espacio. Si se produce una variación con el tiempo o perturbación de dicha magnitud

física en un lugar del espacio y dicha perturbación se propaga, ocasionará cambios en las

condiciones físicas en otros puntos del espacio. Entonces diremos que existe una onda

asociada a dicha magnitud física. Por esta razón hablamos de ondas electromagnéticas, ondasen un resorte, ondas sonoras, ondas de gravedad…, cuando la magnitud física que

experimenta una perturbación que se propaga es un campo electromagnético, la posición de

un punto del resorte, la presión en un gas y el campo gravitatorio, respectivamente.

Estamos rodeados de movimientos ondulatorios. Es necesario hacer una clasificación.

Atendiendo al criterio de la necesidad de un medio material que sirva de soporte para la onda

o no, distinguiremos entre ondas mecánicas y ondas electromagnéticas. En este capítulo

centraremos nuestra atención en el estudio de las ondas mecánicas. Para que una onda

mecánica pueda existir deben cumplirse tres cosas:

• Que exista una fuente de perturbación,

• Que exista un medio susceptible de ser perturbado y

• Que exista algún mecanismo físico que permita que las

partículas del medio puedan interaccionar entre sí.

Atendiendo al criterio de la dirección en la que se mueven las

partículas del medio con relación a la dirección en la que avanza

la onda, distinguiremos entre ondas transversales cuando son

perpendiculares dichas direcciones, y ondas longitudinales

cuando coinciden. Atendiendo, finalmente, al criterio de que

exista o no un desplazamiento de la perturbación en todo el

espacio o que, por el contrario, esté confinado a una determinada

región, haremos la distinción entre ondas viajeras y ondastransversales.

Una onda es la propagación en el espacio de una perturbación sin que vaya acompañada de

transferencia de materia. Dicho de otro modo, podemos afirmar que una onda es un

mecanismo de transferencia de energía sin transferencia de materia (la figura 1 muestra cómo

un punto del medio es obligado a moverse cuando la onda transversal que se propaga por la

cuerda lo alcanza).

Figura 1



2

2. Función de onda Consideremos una perturbación provocada en un instante dado en el medio. A la alteración

ocasionada en la posición de las partículas del medio la denominaremos pulso. Nuestro

objetivo es obtener la expresión matemática de un pulso viajero. Para fijar ideas resulta

apropiado imaginarse el caso concreto de una perturbación en una cuerda tensa. En el

instante t=0 el pulso tendrá una forma determinada y estará localizado en un sistema de ejes

cartesianos (figura 2). La ecuación que relaciona las coordenadas x e y de los puntos de la

cuerda en el instante t=0 es,

( ) ( ) x f x y =0, [1]

Pasado un tiempo t el pulso, que viaja a una velocidad v, se habrá desplazado en sentido

positivo del eje X una distancia vt , por lo que un punto de coordenada x se encontrará en el

instante t en la misma posición y que lo estaba originalmente un punto de coordenada x-vt .

Es decir,

( ) ( )vt x f t x y −=, [2]

“la ordenada y de un punto de abscisa x en el instante t es la misma que la que tenía un punto

de abscisa x-vt en el instante t=0”. La función obtenida representa a un pulso que se propaga

sin dispersión en el sentido positivo del eje X . El signo + indicaría que el pulso se propaga

en el sentido negativo de dicho eje. Llamaremos función de onda a dicha función. Pero no

olvidemos que la función y(x,t) puede representar, en principio, a cualquier magnitud física.

3. Ondas armónicas Un caso especialmente interesante de movimiento ondulatorio se presenta cuando la función

f(x-vt) es de tipo armónico, es decir, cuando,

( )vt xk At x y −= sen),( [3]

En esta expresión A es el máximo valor de la perturbación en cada punto y en cada instante,

mientras que k tiene el siguiente significado. Si comparamos un punto situado en x con otro

punto situado en x+2π /k , obtenemos la misma ordenada, efectivamente,

( ) ( )vt xk Akvt kx Avt k xk A −=−+=⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

−+ sen2sen

2

sen π

π

[4]

vr

y

x

vt

Figura 2



3

Esto significa que los puntos separados una distancia,

k

π λ

2= [5]

estarán en el mismo estado de

vibración. A esta distancia lallamaremos longitud de onda y k

representa el número de veces que está

contenida la longitud de onda en una

distancia 2π y se denomina número deonda.

La función [3] representa una

perturbación de tipo armónico simple

que se propaga en el sentido positivo del eje X . Como vemos, en la posición inicial ( x=0) se

produce un MAS,

( ) ( ) ( )π +=−= kvt Akvt At y sensen,0 [6]

que se propaga a lo largo del medio, ocasionando que en cada punto se produzca este mismo

tipo de movimiento. Como vemos, la frecuencia angular del movimiento oscilatorio es,

λ

π ω

vkv

2== [7]

Como ω =2π f=2π /T , tendremos la interesante relación,

T f v

λ λ == [8]

Estas expresiones nos permiten dar otras formas para la ecuación [3],

( ) ( )t kx AT

t x At x y ω

λ π −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= sen2sen, [9]

Ejemplo 1. La función de onda de cierta onda es y(x,t)=10 sen 2π (2x-100t) (m,s).

Determinar: a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia y d) la velocidad de propagación de la onda. Resolución: Comparando el dato suministrado con la expresión general de la función de

onda armónica, podemos concluir que,

sm

f v

Hz T

f

m

m A

50

1001

5,02

1

10

==

==

==

=

λ

λ



4

La igualdad [8] indica claramente que

la onda avanza una distancia λ cuando

transcurre un tiempo T (ver figura).

Este resultado indica que una onda

armónica es doblemente periódica, yaque posee un periodo espacial y un

periodo temporal.

Ejemplo 2. Un bote en movimiento produce ondas superficiales en un

lago tranquilo. El bote efectúa 12oscilaciones en 20 s; cada oscilación

produce una cresta de onda. La crestade la onda tarda 6 s en alcanzar la

orilla distante 12 m. Calcular la

longitud de onda de las ondas de superficie.

Resolución: La frecuencia de la onda generada es,

Hz f 6,020

12==

y su velocidad de propagación es,

smv 2

612 ==

luego, la longitud de onda será,

m f

v3,3

6,0

2 )===λ

4. Análisis de Fourier

De acuerdo con el teorema de Fourier,cualquier movimiento periódico puede

expresarse como una suma de

movimientos armónicos simples de frecuencias angulares ω , 2ω , …, nω ,…ó períodos T,T/2,…, T/n,…El mismo resultado se aplica al caso de movimientos ondulatorios periódicos en

general. Esto significa que la función de onda periódica general f(x-vt) se podrá expresar de

la forma,

( ) ( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

−+−=−0 0

cossenn n

nn t kxnbt kxnavt x f ω ω [10]

Este resultado pone de manifiesto la importancia del estudio de las ondas armónicas.

λ

0

T/4

T/2

3T/4

T



5

5. Ecuación de ondas En este apartado vamos a obtener una ecuación que nos permitirá determinar si la

perturbación de una magnitud física en un lugar determinado del espacio se propaga en

forma de onda o no. La utilidad de esta ecuación será patente cuando nos permita predecir la

existencia de una onda. Este uso de la ecuación de ondas es análogo al que le damos a la

ecuación,

Cx x −=&& [11]

para determinar si un movimiento es armónico simple o no.

Consideremos la función de onda general descrita por la ecuación [2]. Llamaremos q=x-vt .

Entonces, haciendo uso de la regla de la cadena tendremos que,

2

2

2

2

q

f

x

q

q

f

qq

f

x x

f

q

f

x

q

q

f

x

f

∂

∂=

∂

∂⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=

∂

∂⇒

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂[12]

2

22

2

2

q

f v

t

q

q

f v

qq

f v

t t

f

q

f v

t

q

q

f

t

f

∂

∂=

∂∂

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

=∂

∂⇒

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

[13]

Si ahora sustituimos el resultado obtenido en [12] en la última igualdad de [13], tendremos,

finalmente, que,

2

2

22

2 1

t

f

v

f

∂

∂=

∂

∂[14]

que recibe el nombre de ecuación de onda. La perturbación en un lugar del espacio de toda

magnitud física que dependa de la posición y del tiempo en la forma indicada por esta

ecuación, se propagará en forma de onda.

Ejemplo 3. Compruebe que la función de onda armónica verifica la ecuación de onda. Resolución: Hemos de realizar las derivadas indicadas en la ecuación [14] y comprobar

que se verifica dicha relación. Tomaremos la expresión [3] de la función de onda armónica. Entonces,

( ) ( )vt xk Ak x

yvt xk Ak x y −−=

∂∂⇒−=

∂∂ sen2

2

2

cos

( ) ( )vt xk v Ak t

yvt xk Akv

t

y−−=

∂

∂⇒−−=

∂

∂sen

222

2

cos

luego,

2

2

2

1

2

2

t

y

v x

y

∂

∂=

∂

∂



6

6. Velocidad de propagación La velocidad de propagación de una onda depende de las propiedades del medio material en

el que se propaga la perturbación, pero es independiente del estado de movimiento de la

fuente emisora. Es comprensible que esto sea así. Consideremos el caso de las ondas

mecánicas. Las fuerzas intermoleculares mantienen unidas a las moléculas del medio con

mayor o menor intensidad, dependiendo de su estado de agregación. La perturbación sepropaga a través de dicho medio gracias a esta conexión entre moléculas. Si la fuerza que las

une es muy intensa es previsible que la onda se propague con mayor rapidez ya que una

molécula vecina se “enterará” más rápidamente del movimiento de la molécula vecina. Por el

contrario, si dicha fuerza es débil, existirá un retraso apreciable entre que una molécula se

mueve y la vecina le acompañe. La cantidad de moléculas con las que esté conectada una

molécula dada será otro factor determinante en la propagación de la onda. Cuanto mayor sea

este número es razonable pensar que la onda se propagará más lentamente, ya que debe

“informar” de su estado de movimiento a un número mayor de vecinas. Finalmente, cuando

una fuente se mueve emite un pulso que luego

queda abandonado a su suerte en el medio en

el que se propaga, lo cual hace pensar que lavelocidad de propagación será independiente

del estado de movimiento de la fuente. Como

ejemplo de cálculo de la velocidad de

propagación de una onda, obtendremos la velocidad de las ondas transversales en una cuerda

tensa. Consideremos el esquema mostrado en la figura. Un pulso de pequeña amplitud se

transmite por una cuerda. Si nos fijamos en un pequeño trozo de longitud

( ) ( )22dydxd +=l , veremos que aparecen sendas fuerzas de distinta dirección e igual

módulo en sus extremos. Estas fuerzas coinciden con la tensión de la cuerda, F . De acuerdo

con la segunda ley de Newton,

adm F F ·sensen 12 =− θ θ [15]

La masa de dicho trozo de cuerda es ld dm L ρ = , donde L ρ es la densidad lineal de la

cuerda. Por otra parte el trozo de cuerda señalado se mueve en la dirección Y , así que su

aceleración será 22 t ya ∂∂= . Si admitimos que la deformación en la cuerda es de muy

pequeña amplitud, el ángulo que está desviada respecto de la horizontal será muy pequeño.

Entonces se cumple que el seno de dicho ángulo coincide prácticamente con su tangente. Por

lo tanto podremos expresar la fuerza neta en la forma,

( ) ( ) ( )dx x

F Fd F θ θ θ θ tgtgtgtg 12 ∂∂==− [16]

Ahora bien, x y ∂∂=θ tg . Por lo tanto,

( ) dx y

F dx x

F 2

2

tg∂

∂=

∂∂

θ [17]

Haciendo uso del hecho de que la cuerda se desvía una distancia muy pequeña respecto de

su posición inicial de equilibrio, se cumplirá que 0→dy , luego dxd ≈l . Por lo tanto,

sustituyendo los resultados obtenidos en la ecuación [15] obtendremos, finalmente,



7

2

2

2

2

2

2

2

2

t

y

F

y

t

ydxdx

x

y F L

L ∂∂

=∂∂

⇒∂∂

=∂∂ ρ

ρ [18]

que demuestra que la perturbación se propaga como una onda, con una velocidad,

L

F v ρ = [19]

Efectivamente, esta velocidad depende de propiedades del medio (tensión y densidad de la

cuerda). Como vemos, cuanto más tensa se encuentre la cuerda mayor será la velocidad de

propagación de las ondas. Lo mismo puede afirmarse si la cuerda es de pequeña densidad.

Ejemplo 4. Una cuerda tiene una longitud L y una densidad lineal de masa ρ L. La cuerdacuelga verticalmente sujeta por uno de sus extremos. Demostrar que la velocidad de

propagación de una onda transversal en la cuerda es ( ) y L g v −= , donde y es la

distancia desde el extremo fijo al punto de la cuerda en que la velocidad es v. ¿Cuántotiempo tardará una perturbación en recorrer la cuerda completa?

Resolución. En un punto arbitrario de la cuerda, situado a una distancia y por debajo del

extremo fijo de la misma, la tensión de la cuerda es igual al peso del trozo de cuerda que

cuelga desde dicho punto, es decir,

( ) g y L L ρ F −=

Por lo tanto, la velocidad de propagación de una onda transversal en dicho punto será,

( ) g y L

L

F v −== ρ

Como la velocidad esdt

dyv = y tenemos v en función de y, tendremos que,

( )( ) ( )

( ) t

L

g y L g

t dt

L

g y L

dydt

g y L

dy g y L

dt

dy=−−⇒∫ =∫

−⇒=

−⇒−= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

0

2

00

Por lo tanto,

g

Lt 2=

Las velocidades de propagación de otras ondas son,

• Ondas longitudinales en una barra. Siendo Y el módulo de Young y ρ la densidad del

medio,

ρ

Y v = [20]

•

Ondas transversales en una barra. Siendo G el módulo de cizalla y ρ la densidad delmedio,



8

ρ

Gv = [21]

• Ondas de presión en una columna de gas. Siendo Q el módulo de compresibilidad del

gas y ρ su densidad,

ρ Qv = [22]

Ejemplo 5. En un cierto material, cuyo módulo de Young vale 12700 kgf/mm2 , la velocidad

de propagación de las ondas transversales es de 2445 m/s y la de las ondas longitudinales

es de 3620 m/s. Calcular: a) la densidad del material, y b) su módulo de cizalla. Resolución: Simplemente se trata de aplicar las expresiones de ambas velocidades. En un

medio elástico, la velocidad de propagación de una onda transversal es ρ

GT v = y la de

una onda longitudinal es

ρ

Y Lv = , siendo G e Y los módulos de cizalla y de Young,

respectivamente.

Por lo tanto,

357,9497

2

22

3620

2

26108,9

212700

2 m

kg

s

m

m

mm

kgf

N

mm

kgf

Lv

Y === ρ

y,

254,579326

10

2

8,9225,95677671089

2

22

24453

57,94972

mm

kgf

mm

m

N

kgf

m

N

s

m

m

kg

T vG ==== ρ

7. Propagación de energía Si nos fijamos en cualquiera de los movimientos ondulatorios observaremos que en todos los

casos se produce un movimiento de átomos o moléculas el medio donde se propaga la onda.

Sin embargo, tanto los átomos como las moléculas permanecen, en promedio, en sus

respectivas posiciones de equilibrio. Podemos afirmar entonces que lo que se propaga no esla materia sino su estado de movimiento, es decir, cantidad de movimiento y energía.

Consideremos el caso de una onda transversal armónica propagándose por una cuerda. La

correspondiente función de onda será,

( )t kx A y −= sen [23]

La energía cinética de un trozo de masa dm es,

( )t kxdxAt

ydmdE Lc ω ω ρ −=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

∂∂= 222

2

cos21

21 [24]



9

Se puede demostrar que la energía potencial de dicho trozo coincide con su energía cinética.

Por lo tanto, la energía mecánica total del trozo de cuerda será,

( )t kxdxAdE dE dE L pc ω ω ρ −=+= 222 cos [25]

El promedio en un ciclo de esta magnitud será,

22

2

1ω ρ dxA E d L= [26]

A partir de esta expresión, vemos que la energía transmitida por la cuerda en la unidad de

tiempo o potencia, será,

v A P L

22

2

1ω ρ = [27]

Es decir, tanto la energía como la potencia son proporcionales al cuadrado de la amplitud de

la onda. Si el frente de onda es esférico, a medida que dicho frente avanza, la energía que

transporta deberá repartirse entre un número cada vez mayor de partículas del medio. De

hecho, la energía que por unidad de tiempo alcanza cada punto del frente de onda estará

repartida en la superficie de una esfera de radio r igual a la distancia del frente de onda al

foco emisor de la misma. Definimos la magnitud intensidad de acuerdo con la expresión,

2

4 r

P

S

P I

π

== [28]

La onda irá atenuándose con la distancia al foco. A este efecto de atenuación que se produce

en un medio ideal, habría que añadir el efecto del rozamiento en un medio real, que haría que

la intensidad de la onda disminuyera más rápidamente con la distancia.

Ejemplo 6. Una barra de acero, de 4 mm de diámetro, transmite ondas longitudinales por

medio de un oscilador acoplado a uno de sus extremos. La amplitud de las oscilaciones es de0.1 mm, siendo su frecuencia de 10 Hz. Hallar: a) la función de onda de la onda que se

propaga a lo largo de la barra, b) la energía por unidad de volumen transportada, y c) el

flujo de energía por unidad de tiempo a través de una sección cualquiera de la barra.

DATOS: Y acero=2·1011 Pa, ρ acero= 7.8 g/cm3. Resolución. Con los datos del problema, identificando con la expresión general de una ondaarmónica, se resuelve fácilmente el apartado a). La amplitud es de 10-4m, el periodo es

T=1/f=0,1s y la longitud de onda es λ =vT. Como s

mY v 5064

310·8,7

1110·2

=== ρ

, tendremos

que m37,506=λ

( )t x 103

10·98,12sen4

10 −−−= π ψ

Sustituyendo en [26] ρ L dx= ρ dV, la densidad de energía será,

32222

10·56,12 m

J A

dV

dE −=== π ω ρ ε



10

Finalmente nos piden la potencia de la onda,

W Svdt

Svdt

dt

dV

dt

dE P 4310·16,3 −===== π ε

ε ε

8. Efect o Doppler Este efecto lleva el nombre del físico austríaco que lo estudió. Consiste en el cambio de

frecuencia de la onda recibida respecto de la emitida como consecuencia del movimiento

relativo entre el emisor y el receptor de la misma. En el caso del sonido el efecto Doppler es

familiar para todos nosotros. Consiste en el cambio de tono del sonido percibido cuando la

fuente sonora se mueve respecto de nosotros, por ejemplo cuando un automóvil se acerca o

aleja del observador. En el caso de la luz se manifiesta por un desplazamiento del color del

emisor hacia tonos rojos si se aleja del receptor o hacia tonos azules si se acerca a él.

Vamos a considerar en este curso introductorio únicamente el caso en el que el emisor y el

receptor se mueve en la línea que los une en un medio en calma y a velocidades no

relativistas (pequeñas comparadas con la velocidad de la luz).

Supongamos que el observador y el receptor están en reposo

relativo. De acuerdo con la figura la frecuencia de la señal

percibida por el receptor coincide con la frecuencia de la

señal emitida. Es decir, el receptor recibirá dos frentes de

onda consecutivos en el mismo intervalo de tiempo con el que

son emitidos. Sin embargo, si el emisor está en reposo y el

receptor va a su encuentro, recibirá dos frentes de onda

consecutivos con un intervalo de tiempo menor del que sonemitidos. Por el contrario, si se aleja del emisor que está en

reposo, los frentes de onda serán percibidos con un intervalo de tiempo mayor. Es decir, al

acercarse al emisor percibirá una frecuencia mayor que la emitida. Al alejarse, la frecuencia

percibida será menor. Si es el receptor el que permanece en reposo y el emisor el que se

mueve la situación se muestra en la figura. En este caso cada frente de onda es emitido en

puntos diferentes del medio (todos se mueven con la misma velocidad ya que la velocidad de

la onda es independiente del estado de movimiento de la fuente). Si el observador (en reposo)

está situado a la derecha del emisor del esquema mostrado, percibirá una onda de mayor

frecuencia. Por el contrario, si el receptor se encuentra a su izquierda verá alejarse al emisor

y percibirá una onda de menor frecuencia. Aunque el resultado cualitativo es el mismo

cuando los movimientos relativos dan el mismo resultado, es decir, si el emisor y el receptorse acercan la frecuencia aumenta respecto de la emitida y si se alejan, disminuye respecto de



11

la misma, existe una diferencia cuantitativa. Sin necesidad de entrar en el detalle del cálculo,

la ecuación que representa el efecto Doppler aquí descrito es,

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

+

+=

E

R E R

vc

vc f f [29]

donde f R es la frecuencia recibida, f E es la frecuencia emitida, c es la velocidad de la onda, v R

es la velocidad del receptor y v E es la velocidad del emisor, ambas respecto del medio que se

considera en reposo. La ecuación [29] deberá aplicarse con el siguiente criterio de signos: csiempre es positiva y el sentido positivo que determina el signo de las velocidades del emisor

y del receptor es el que va desde el receptor hasta el emisor. Por ejemplo, si tanto el receptor

como el emisor se mueven hacia la derecha yendo por delante el receptor, siendo mayor la

velocidad del emisor, pondríamos ambas velocidades negativas, siendo la del emisor mayor

en valor absoluto. Al sustituir en la ecuación [29] con c positiva, resultaría una frecuencia

recibida mayor que la emitida ya que el numerador de dicha ecuación será mayor que el

denominador.

Ejemplo 7. El radar que emplea la policía de tráfico mide la velocidad de un vehículo a

partir de la desviación de la frecuencia Doppler que experimenta la onda que se refleja en

él. ¿Cuál es la desviación de la frecuencia de una onda electromagnética ( ∆ f=f recibida-f emitida ),de 12 cm de longitud de onda, reflejada por un coche que se acerca en línea recta, a 24 m/s,

hacia el radar situado en el interior del vehículo policial estacionario? Dato: la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es de 3·108 m/s.

Solución. Separaremos el problema en dos pasos. En primer lugar, consideraremos al

vehículo policial como emisor estacionario de una onda electromagnética y al vehículo cuyavelocidad se pretende determinar, como el receptor móvil. La ecuación Doppler toma en este

caso la forma,

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

c

Rvc

E f R f

De acuerdo con el criterio de signos señalado la velocidad del vehículo será positiva,

entonces resultará,

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +=

c

vehículovc

EPOLICIA f RVEHICULO f

Un segundo paso consiste en considerar que ahora es el vehículo el emisor móvil de la onda(que se refleja en él) con una frecuencia f R , que será recibida por el vehículo policial, que

será el receptor en reposo. El criterio de signos nos permite afirmar que ahora la velocidad del vehículo, que es el emisor, será negativa, ya que dicho móvil se mueve en el sentido

contrario al que se toma como positivo. Entonces,

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+=

−

+=

−=

vehículo

vehículo

vehículo

vehículo

vehículo vc

vc f

vc

c

c

vc f

vc

c f f

EPOLICIA EPOLICIA EVEHICULO RPOLICIA

Finalmente,



12

Hz vc

vcc

vc

vc f f f f

vehículo

vehículo

E vehículo

vehículo EPOLICIA EPOLICIA RPOLICIA 40011 =−

−

+=−

−

+=−=∆ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λ

9. Propiedades de las ondas.Las ondas presentan, como característica que las distingue de los movimientos de partículas,

la posibilidad de mostrar fenómenos de interferencias, difracción, reflexión y refracción.

Analizaremos cada uno de ellos a continuación.

9.1. Interferencia La interferencia de dos ondas tiene lugar cuando en un mismo medio coinciden dos

movimientos ondulatorios, de tal forma que las vibraciones de las partículas de dicho medio

se superponen. Los movimientos vibratorios se verán reforzados o reducidos dependiendo de

que ambos movimientos ondulatorios estén o no en fase. Tras pasar por dicha región de

interferencia las ondas continúan moviéndose sin perturbarse mutuamente.

Expresemos matemáticamente este fenómeno. Sean

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

T

t x A y

T

t x A y

λ π

λ π

222

111

2sen

2sen

[30]

las funciones de dos ondas de la misma frecuencia y longitud de onda (coherentes) en una

posición que dista x1 del primer foco emisor y x2 delsegundo foco emisor, tal como se muestra en la figura.

La suma de ambas funciones da como resultado una

onda armónica cuya amplitud viene dada por la

expresión,

θ cos2 21

2

2

2

1 A A A A A ++= [31]

donde,

λ π θ 212 x x −= [32]

Por lo tanto, la amplitud alcanzará su valor máximo, A=A1+A2, cuando cosθ =1, es decir,

cuando,

N nn x x ∈=− ;21 λ [33]

mientras que tomará el valor mínimo, A=A1-A2, cuando cosθ =-1, es decir, cuando,

( ) N nn x x ∈+=− ;2

1221

λ [34]

x2x1



13

Concluimos que en el primer caso se produce

interferencia constructiva, mientras que en el

segundo la interferencia será destructiva. En la

figura se muestra el resultado de la

interferencia de sendas ondas coherentesgeneradas en una cubeta de ondas. Se

observan claramente las posiciones donde se

produce interferencia destructiva.

Ejemplo 8. Dos fuentes síncronas emiten

vibraciones de igual amplitud (A=2 cm) y frecuencia (f=50 Hz) que se propagan con unavelocidad de 1 m/s. Determinar: a) la ecuación que describe el estado de vibración de un

punto P que dista 2,5 cm de la primera fuente y 4,5 cm de la segunda, y b) ¿en qué instantes

se anula el desplazamiento del punto P?

Resolución. Aplicando las ecuaciones λ f=c, k=2π / λ , ω =2π f y la relación trigonométrica,

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−

=+2

sen2

cos2sensen β α β α

β α

obtenemos,

( )( )

[ ] [ ]⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫ −+−

=⇒−=

−=

2

20021100sen

2

21100cos04,0

1002

100sen02,02

1001100sen02,01t x x x x

yt x y

t x y π π π

π π

π π

Sustituyendo las distancias a las dos fuentes, tendremos finalmente,

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−−=−= t t t y π π π π π π π 100sen2

7cos100cos

2

7sen04,0100

2

7sencos04,0

t y π 100cos04,0=

El desplazamiento del punto P es y, y se anulará en los instantes,

N n sn

t n

t t ∈+

=⇒+

=⇒= ;200

12

2

121000100cos π π π

9.2. Principio de Huygens El físico holandés C. Huygens, contemporáneo de Newton, defendía el carácter ondulatorio

de la luz. Desarrolló un método de construcción de los frentes de onda, basado en un

principio, que lleva su nombre, con el que

podemos entender fenómenos típicamente

ondulatorios como la difracción, la reflexión y la

refracción. De acuerdo con este principio, cada

punto de un frente de onda se comporta como

foco emisor de la onda, de tal forma que el frente

de onda real resulta de la envolvente de lospuntos de las ondas secundarias después de un



14

tiempo igual al periodo temporal. La figura ilustra el principio de Huygens.

9.3. Difracción Este característico fenómeno ondulatorio

corresponde al hecho de que una onda pueda ser

percibida detrás de un obstáculo y a ambos lados deun orificio practicado en una pantalla interpuesta en

el camino de propagación de una onda. En la figura

se representa el camino que seguiría un haz de

partículas que incidiera sobre una pantalla que

tuviese practicado un orificio. No esperaríamos que

las partículas que pasan por el orificio se desviasen

del haz, siendo imposible detectar su presencia en la

posición indicada. Sin embargo, si es una onda la

que incide en dicha pantalla el resultado es distinto.

Basándonos en el principio de Huygens, los puntos

del trozo del frente de ondas coincidente con elorificio se comportan como nuevos frentes de onda.

Por lo tanto, el resultado será el que se muestra en la

figura. Entonces la onda será detectada en toda la

región situada al otro lado de la pantalla.

La condición necesaria para que se produzca el efecto de difracción es que el tamaño del

orificio (o del obstáculo) sea del mismo orden de magnitud que la longitud de onda de la

onda incidente. Se entiende así que Newton pensara que la luz tenía una naturaleza

corpuscular, ya que observaba haces de luz propios de un chorro de partículas cuando

practicaba un orificio en una pantalla opaca que ponía en la ventana de su laboratorio. La

razón es que el orificio era de un tamaño mucho mayor que la longitud de onda típica de la

luz visible (unos 700·10-9 m). Con relación a este fenómeno es interesante destacar que G.

Thomson realizó en el primer cuarto del siglo XX un experimento que demostró el carácter

ondulatorio del electrón. Más concretamente, detectó la onda de materia asociada con esta

partícula, predicha por de Broglie, observando que un haz de electrones se difractaba. La

Ciencia también tiene sus casualidades. Precisamente el padre de G. Thomson, J.J. Thomson,

descubrió, a finales del siglo XIX, el electrón, con un experimento (tubo de rayos catódicos)

que ponía de manifiesto el carácter corpuscular de dicha entidad.

9.4. Reflexión y ref racción

Cuando una onda incide sobre una superficie que separa dos medios en los que su velocidadde propagación es diferente se separa en tres partes. Una parte se refleja volviendo hacia el

mismo medio por el que se propagaba la onda incidente,

otra parte pasa al segundo medio y una tercera parte que

resulta de la difusión en todas direcciones provocada por las

partículas de la superficie de separación de los dos medios.

Nos centraremos en las dos primeras. La construcción de

Huygens sirve para deducir las leyes de la reflexión y de la

refracción. Estas leyes son,

a) los rayos incidente, reflejado y refractado y la

normal a la superficie de separación de los dos

medios, están en el mismo plano,



15

b) los ángulos de incidencia y de reflexión, que los rayos incidente y reflejado forman,

respectivamente, con la normal, son iguales,

rfl i θ θ = [35]

c) los ángulos de incidencia y de refracción, que los rayos incidente y refractado forman,

respectivamente, con la normal, cumplen la siguiente relación,

rfr iirfr vv θ θ sensen = [36]

Como vemos cuando una onda pasa a un medio donde su velocidad de propagación es

mayor, el rayo refractado que indica el sentido de avance de la onda refractada se separará

de la normal un ángulo mayor que el ángulo que formaba el rayo incidente con esa misma

línea. Como ilustración de esta ley piense en el efecto óptico ocasionado por un palo que se

introduce, con cierta inclinación, en el agua.

10. Ondas est acionari as La interferencia de una onda confinada en una región del espacio con su onda reflejada da

lugar a una onda que no se propaga en el espacio sino que se mantiene limitada en dicha

región. Recibe el nombre de onda estacionaria. Las ondas estacionarias que se forman en una

cuerda tensa fija por ambos extremos tienen longitudes de onda que están relacionadas con la

longitud de la cuerda mediante una relación de números sencillos. Concretamente,

únicamente están permitidas las ondas estacionarias en una cuerda de longitud L, que está fija

por sus extremos, cuando su longitud de onda es,

N nn

2L

n ∈= ;λ [37]

que coincide con el caso de ondas estacionarias en un

tubo abierto por ambos extremos, de longitud L. Por

otra parte, si la cuerda está fija por uno de sus

extremos únicamente, las ondas estacionarias que en

ella se forman tendrán una longitud de onda,

( ) ( ) N n

12n

4L

12n∈

+=

+;λ [38]

que coincide con el caso de ondas sonoras estacionarias en un tubo cerrado por uno de sus

extremos.

Ejemplo 9. Una onda estacionaria tiene por ecuación t x

y π π

30cos6

sen6 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (C.G.S.).

Calcular: a) la amplitud y velocidad de las ondas componentes, b) la distancia entre dos

nodos y c) la expresión en función del tiempo de la velocidad de una partícula de abscisa

x=2 cm.

Resolución. En general, la amplitud de una onda estacionaria es kx Asen2 , siendo A la

amplitud de las ondas componentes y k el número de onda de cada onda componente. Por otra parte, el término armónico correspondiente a la oscilación armónica simple que



16

experimentan los puntos del medio es, en general, t cos , siendo ω la frecuencia angular de

las ondas componentes. Por lo tanto,

cm A A 326 =⇒=

scmcc

k

k 1806

30

306 ==⇒=⇒

=

=

⎪⎭

⎪⎬⎫π

π ω

π ω

π

Los nodos son los puntos del medio donde la amplitud de la onda estacionaria se anula. Por lo tanto,

cmi xi xn xn x

6166

=−+⇒=⇒= π π

Finalmente, la velocidad de una partícula de abscisa x=2 cm es,

t t

cm xt

yπ π π π

π 30sen39030sen30

3sen6

2

−=−==∂

∂⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

11. Problemas resuelt os

1. Una fuente sonora que emite a 1000 Hz de frecuencia, se mueve con una velocidad de 30

m/s respecto del aire. Suponiendo que la velocidad del sonido, también respecto del aire, es

de 340 m/s, determinar la frecuencia percibida por un observador, en reposo respecto del

aire, que ve a la fuente: a) alejarse de él, y b) acercarse a él. Repetir los apartados a) y b)

considerando que es la fuente la que se halla en reposo y el observador es quien se mueve a

la velocidad de 30 m/s.

Resolución: De acuerdo con la expresión del efecto Doppler,

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+=

E vc

Rvc

E f R f

y haciendo uso del criterio de signos, tendremos que,

Hz

E vc

c

e Ealejándos f R f 9,918

30340

340310 =

+=

+= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Hz

E vc

c

se Eacercándo f R f 8,1096

30340

340310 =

−=

−= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Hz c

Rvc

E f e Ralejándos

f 8,911340

30340310 =

−=

−= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛



17

Hz c

Rvc

E f se Racercándo

f 2,1088340

30340310 =

+=

+= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Observe que los resultados no son cuantitativamente simétricos (aunque lo son

cualitativamente hablando).

2. Dos movimientos ondulatorios que se propagan simultáneamente a través del mismo

medio, tienen por funciones ψ1=4cos(8t-x) y ψ2=4cos(7t-0.8x), en las que t se expresa en

segundos, x en metros y ψ en milímetros. Determinar: a) sus longitudes de onda y frecuencias

respectivas, b) la función del movimiento resultante de la superposición de ambos, c) las

velocidades de fase y de grupo del movimiento resultante. d) ¿Es dispersivo el medio de

propagación?

Resolución. Identificando las funciones de onda con la expresión general de la función de una

onda armónica, resultará,

mk

π π π

λ 21

2

1

2

1 ===

14

2

8

2

11

−=== s f π π π

ω

mk

π π π

λ 5,28,0

2

2

2

2 ===

15,3

2

7

2

22

−=== s f π π π

ω

Literalmente, se suman aplicando determinadas relaciones trigonométricas, resultando,

( ) ( )

( ) ( ) xt xt xt xt xt xt

xt xt

1,05,0cos9,05,7cos82

8,078cos

2

8,078cos8

8,07cos48cos421

−−=+−−−+−

=−+−=+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ψ ψ ψ

La velocidad de fase es igual a la velocidad de propagación de la onda resultante, mientrasque la velocidad de grupo es igual a la velocidad de propagación de la onda de amplitud. Por

lo tanto,

sm

k fase

v 05,01,0

5,0===

ω

sm

grupov 33,89,0

5,7==

El medio es dispersivo porque ambas velocidades son distintas.



18

3. a) ¿Cómo varía la velocidad de propagación de una onda transversal a lo largo de una

cuerda si la tensión se duplica?, b) ¿y si se reduce a la mitad?, c) ¿en cuánto debe modificarse

la tensión de la cuerda para duplicar la velocidad de propagación?, d) ¿y para reducirla a la

mitad?

Resolución. Como la velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda es,

L

T F v

ρ =

donde FT es la tensión de la cuerda y ρL es la densidad lineal de masa de la misma, podremos

analizar la influencia de las modificaciones señaladas en el enunciado del problema.

a) si duplicamos la tensión, la velocidad aumenta en un factor 2 ,

b) si reducimos la tensión a la mitad, la velocidad disminuirá en un factor 2 ,

c)

si queremos que la velocidad se duplique, la tensión deberá aumentar en un factor 4,d) finalmente, si queremos que la velocidad se reduzca a la mitad, deberemos reducir la

tensión de la cuerda en un factor 4.

4. Una onda sinusoidal que viaja en una cuerda tensa, en la dirección positiva del eje X, tiene

una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 1 m y una velocidad de propagación de 5 m/s.

Inicialmente (t=0) en x=0 se sabe que y=0 y que 0 / <∂∂ t y . a) Encontrar la expresión de la

función de onda y b) calcular la velocidad de un punto de la cuerda situado en x=3 m cuando

pasa por su posición de equilibrio.

Resolución. Sustituyendo los datos proporcionados por el enunciado del problema en la

expresión general de una onda armónica, tendremos que,

( ) mt xt x y 52sen02,0),( −= π

La velocidad (valor absoluto) del punto de la cuerda situado en x=3 m es, en cualquier

instante,

( ) s

mt

m xt

y532cos2,0

3

−==∂

∂π π

Pasa por la posición de equilibrio (y=0) en el instante dado por,

( ) ( ) ( ) ( ) N nnt nt t t ∈=−⇒=−⇒=−⇒−= ;5325320532sen532sen02,00 π π π π

Luego,

sm

ym xt

yπ 2,0

0;3

===∂

∂



19

5. En una cuerda larga y horizontal, que está sometida a una tensión de 10 N y cuya

densidad lineal de masa es de 0,25 kg/m, se genera una onda sinusoidal transversal de 2

Hz de frecuencia y 0,5 m de amplitud. Calcular: a) la velocidad del movimiento

ondulatorio, b) la longitud de onda, c) la función de onda y d) la velocidad y la

aceleración de un punto de la cuerda situado a 3,16 m del extremo.

Resolución. La velocidad de la onda transversal que se propaga en la cuerda es,

sm

L

T F v 32,6

25,0

10===

ρ

La longitud de onda es,

m f

v16,3==λ

La función de onda es,

mt x

t x y ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

5,016,32sen5,0),( π

La velocidad de un punto situado a 3,16 m del extremo es,

smt

m xt

y⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

=∂

∂

5,012cos2

16,3

π π

Finalmente, su aceleración será,

25,0

12sen2

8

16,32

2

s

mt

m xt

y⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

=∂

∂π π

6. En un tubo de Kundt, que contiene aire, la distancia entre nodos es de 25 cm. Cuando

el aire se reemplaza por un gas desconocido la distancia entre nodos se amplía hasta 35

cm. Tomando la velocidad del sonido en el aire como 340 m/s, determinar la velocidaddel sonido en el gas desconocido.

Resolución. La distancia entre nodos de una onda sonora estacionaria, que se produce en

el interior de un tubo, es igual a media longitud de onda. Por lo tanto,

1

2252

1

f

c L ===

λ

Al introducir otro gas, distinto del aire, la velocidad del sonido pasa a ser c´, y la

distancia entre nodos será,

1

´235

f

c L ==

Aceptando que la frecuencia de la onda producida es la misma, tendremos que,



20

smc

cc476340

25

35´

35

´

25==⇒=

12. Problemas propuest os

7. Un extremo de un tubo de goma está fijo a un soporte y el otro pasa por una polea de

masa despreciable situada a 5 m del extremo fijo y que sostiene una carga de 2 kg. La

masa del tubo entre el extremo fijo y la polea es de 0,6 kg. A) Hallar la velocidad de

propagación de las ondas transversales a lo largo del tubo. Si una onda armónica de 0,1

cm de amplitud y 0,3 m de longitud de onda se propaga a lo largo del tubo, B) hallar la

velocidad transversal máxima de cualquier punto del tubo. C) Escribir la ecuación de

onda.

Sol.: 12,78 m/s; 0,268 m/s; 10-3sen2π[(x/0,3)-42,6t] (m,s).

8. Un alambre homogéneo de acero de 2m de longitud y 0,5 mm de radio cuelga del techo.Si un cuerpo de 100 kg de masa se suspende del extremo libre, hallar: a) la elongación

del alambre, b) el desplazamiento del punto medio y el esfuerzo hacia abajo sobre él, c)

la velocidad de las ondas longitudinales y transversales que se propagan a lo largo del

alambre. Datos: Yacero=2·1011

Pa, ρacero=7800 kg/m3.

Sol.: 12,48 mm; 6,24 mm; 980 N; 5063,7 m/s; 400 m/s.

(5_103)ondas mecanicas

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