ondas

Ecuaciones diferenciales nolineales

1. Ecuaciones de Ondas

1..1 Ondas lineales

Sea la ecuacionut + ux = 0 (1.1)

Sus soluciones oscilatorias elementales seran de la forma

u = ei(kx+t)

Onda lineal no dispersiva y no disipativa: t=0, t=5

donde la relacion de dispersion es:

= k (1.2)y por tanto

u = eik(xt) (1.3)

de manera que la superposicion de dos ondas

u = eik1(xt) + eik2(xt) (1.4)

se mueve con una unica velocidad c = 1, de manera que la onda mantiene su formaconforme transcurre el tiempo.

1

2 Capitulo 6

Ondas disipativas

Sea la ecuacionut + ux uxx = 0 (1.5)


u = ei(kx+t)

Onda lineal dispersiva : t=0, t=5


= k + ik2 (1.6)y por tanto

u = eik(xt)ek2t (1.7)

de manera que la onda se disipa conforme transcurre el tiempo

Ondas dispersivas

Sea la ecuacionut + ux + uxxx = 0 (1.8)


u = ei(kx+t)

Onda lineal disipativa : t=0, t=1

1.. ECUACIONES DE ONDAS 3


= k + k3 (1.9)

y por tantou = eik(x(1k

2)t) (1.10)

de manera que la superposicion de dos ondas

u = eik1(x(1k21)t) + eik2(x(1k

22)t) (1.11)

se dispersa conforme transcurre el tiempo puesto que cada componente viajacon distinta velocidad.

1..2 Ondas no lineales: breaking wave

Veamos ahora la ecuacion no lineal

ut + uux = 0 (1.12)

que puede ser resuelta por el metodo de las caractersticas. Busquemos curvas

x = x(s); t = t(s) (1.13)

tales queu(s) = u(x(s), t(s))

sea constante a lo largo de tales curvas. Por tanto

0 =du

ds= ux

dx

ds+ ut

dt

ds= ux

dx

ds uux dt

ds= ux

d(x ut)ds

lo que significa que las caractersticas son las rectas

x ut = cte (1.14)

Por tanto la solucion general se puede escribir en forma implcita como

u = f(x ut) (1.15)

donde f es una funcion arbitraria tal que

u(x, 0) = f(x)

Ello significa que cada punto de la curva f(x) viaja con una velocidad igual a sualtura. Los puntos mas altos viajan a mayor velocidad que los mas bajos. En

4 Capitulo 6

consecuencia la curva se estrecha y distorsiona tal como se ve en las figuras (quecorresponden a f(x) = 1

cosh2 x)

Breaking wave : t=0, t=10, t=20

2.. LA ECUACION DE KORTEWEG DE VRIES 5

2. La ecuacion de Korteweg de Vries

ut + uxxx 6uux = 0 (2.1)

2..1 Sintesis historica

Observaciones de Russell

El experimento de Fermi-Ulam-Pasta

Descubrimiento del soliton: Zabusky y Kruskal

2..2 Soluciones de KdV

Un soliton

Buscamos soluciones de onda plana de la forma:

z = x ct (2.2)

En cuyo caso la ecuacion es:

cuz + uzzz 6uuz = 0

integrando

cu+ uzz 3u2 = A

cu2/2 + u2z/2 u3 = Au+B (2.3)Para A = B = 0 (u y sus derivadas se anulan en el infinito)

du

uu+ c

2

=2dz

cuya integracion es:

u = c2

1

cosh2(c2(z z0))

(2.4)

o bien

u = 2k2 1cosh2(k(x 4k2t) + z0))

(2.5)

con c = 4k2

6 Capitulo 6

Soliton de KdV

En la figura se ha representado u. Como puede verse se trata de una es-tructura de campana localizada cuya amplitud depende de la velocidad de talmanera que cuanto mas alta es, mas deprisa viaja. Esta estructura se propaga sindeformarse de forma que el efecto no lineal compensa el dispersivo.

Dos solitones

La solucion anterior puede escribirse tambien como

u = 2(F1xF1

)x

donde F1 = 1 + f1f1 = e

[2k1(x4k21t)] (2.6)

Se puede comprobar que (2.1) (mas adelante veremos como obtenerlo) poseetambien la solucion:

u = 2(F2xF2

)x

(2.7)

dondeF2 = 1 + f1 + f2 + Af1f2 (2.8)

A =

((k1 k2)(k2 + k1)

)2(2.9)

Lo mejor es pasar al sistema de centro de masas haciendo

x = x+ vt (2.10)

de manera que

k1[(x) + (v 4k21)t]


y

k2[(x) + (v 4k22)t]tengan velocidades iguales y opuestas

v 4k21 = (v 4k22) = v = 2(k21 + k22)

de forma que

f1 = e2k1[xbt]

f2 = e2k2[x+bt]

b = 2(k21 k22)donde hemos supuesto k1 > k2

Comportamiento en t = La solucion se anula excepto a lo largo de las rectas x = bt, x = bt. Supong-

amos k2 < k1.

a) x = bt =; f2 0En tal caso

F2 1 + f1Se trata de un soliton de numero k2 propagandose a lo largo de la recta

x = bt

b) x = bt =; f1 En tal caso

F2xF2

=2k1f1 + 2k2f2 + 2(k1 + k2)Af1f2

1 + f1 + f2 + Af1f2 2k1 + 2(k1 + k2)Af2

1 + Af2

F2xF2

2k1 + 2k2Af21 + Af2

redefiniendo

f2 = Af2 = e2k2[x+btx2]

donde

lnA = 2k2x2puesto que A < 1 y por tanto lnA < 0

Se trata de un soliton de numero k2 propagandose a lo largo de la rectax = bt+ x2

8 Capitulo 6

Comportamiento en t =a) x = bt =; f2

F2xF2

=2k1f1 + 2k2f2 + 2(k1 + k2)Af1f2

1 + f1 + f2 + Af1f2 2k2 + 2(k1 + k2)Af1

1 + Af1

F2xF2

2k2 + 2k1Af11 + Af1

redefiniendof1 = Af1 = e

2k1[xbtx1]

dondelnA = 2k1x1

con x2 > x1Se trata de un soliton de numero k1 propagandose a lo largo de la recta

x = bt+ x1

b) x = bt =; f1 0En tal caso

F2 1 + f2Se trata de un soliton de numero k2 propagandose a lo largo de la recta

x = bt

En consecuencia el soliton 1 pasa de moverse a lo largo de la recta x = bt ahacerlo a lo largo de x = bt + x1. El soliton 2 pasa de moverse a lo largo de larecta x = bt+ x2 a hacerlo a lo largo de x = bt con k1x1 = k2x2 = ln k1k2k2+k1

En las siguienes figuras se ilustra este comportamiento

10 Capitulo 6

12 Capitulo 6

14 Capitulo 6

Segundo transcendente

Otro tipo de solucion puede encontrarse a traves de una reduccion de similaridad.Es facil comprobar que KdV es invariante bajo una transformacion de escala de laforma

x axt a3tu a2u (2.11)

de forma que las siguientes variables

xt1/3, ut2/3

son invariantes de escala. Tiene pues perfecto sentido hacer la transformacion:

z = x(3t)1/3

u = (3t)2/3f(z) (2.12)

de forma que:

t= z

3t

z

x= (3t)1/3

z

y la ecuacion de KdV se reduce a:

fzzz + (6f z)fz 2f = 0 (2.13)

Haciendo

f = yz y2

se obtiene

pzz 2ypz = 0donde

p = yzz 2y3 zyDe forma que una solucion es:

yzz 2y3 zy + = 0 (2.14)

que es PII


Primer transcendente

Otro tipo de solucion puede obtenerse mediante la reduccion de similaridad

z = x+ 3t2

u = t+ f(z) (2.15)

que conduce a la ecuacion1 6ffz + fzzz = 0 (2.16)

que puede integrarse como

fzz 3f 2 + z + = 0 (2.17)

que es PI

Soluciones Elipticas

Volviendo a las soluciones de onda plana dadas por (2.3) y haciendo A = 0

u2z = 2B + 2Au+ cu2 + 2u3 = 2(u u1)(u u2)(u u3) (2.18)

cuya solucion es:

u = u2 (u2 u1)(cn

[u3 u1

2(z z0); k

])2(2.19)

k2 =u2 u1u3 u1 (2.20)

conc = 2(u1 + u2 + u3)A = u1u2 + u2u3 + u1u3

B = u1u2u3siendo ui las tres soluciones de (2.19). Esta solucion representa una onda fuerte-mente no lineal en la que la velocidad, la forma y la frecuencia dependen de laamplitud en una forma nada trivial. Estas ondas, denominadas ondas cnoidales,se pueden observar a veces en los ros. Contiene la solucion de un soliton en ellimite k = 1 (u2 = u3 = 0).

16 Capitulo 6

3. Par de Lax para KdV

Cosideremos la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo:

xx + (() V (x, )) = 0 (3.1)

donde es un parametro de deformacion del potencial y = (x, ). Consid-eremos ahora la ecuacion

= 2(V + 2)x Vx (3.2)

Para que (3.2) y (3.2) sean compatibles, ha de ser xxt = txx, para lo que serequiere

V + Vxxx 6V Vx = 0 = 0 (3.3)

Este es un resultado del mayor interes pues significa que para un potencial V (x, )que se deforme con arreglo a KdV, los autovalores () permanecen sin deformacionEste es un ejemplo de lo que se denomina transformacion isospectral

La ecuacion no lineal KdV es por tanto equivalente al par de ecuaciones lineales(3.1) y (3.2). Dichas ecuaciones se denominan el par de Lax de KdV.

3..1 Transformacion de Scattering Inverso

GGKM (Gardner, Green, Kruskal y Miura) propusiero que la evolucion temporalde V (x, ) en (3.3) puede estudiarse a traves de las propiedades del problemamecanico-cuantico asociado . La idea es la siguiente:

1) Dada una condicion inicial V (x, 0), introducirla como potencial de la ecuacionde Schrodinger (3.1) y resolver el problema de scattering directo, es decir, en-contrar los denominados datos de scattering, es decir:

a) Espectro discreto: = k2n, n = 1..NEl comportamiento de las funciones en el infinito ha de ser:

limxn(x) = cneknx

donde cn son las constantes de normalizacion definidas de forma que

| n |2 dx = 1

b) Espectro continuo: = k2

3.. PAR DE LAX PARA KDV 17

En este caso la solucion en el ha de ser:

limx = a(k)eikx

y

limx = eikx + b(k)eikx

Donde a(k) y b(k) son respectivamente los coeficientes de reflexion y trans-mision

El conjunto de valores n, cn, a(k), b(k) constituyen los datos de scattering

2) Cuando V evoluciona como funcion de , sus datos de scattering tambienevolucionan pero el espectro de autovalores ha de permanecer constante. Laevolucion de las autofunciones puede obtenerse mediante (3.2) y por lo tanto ob-tendremos los datos de scattering para

3) El ultimo paso corresponde a resolver lo que se denomina el problema descattering inverso, es decir, como reconstruir el potencial V (x, ) a partir de losdatos de scattering. Ello es posible mediante la resolucion de una ecuacion integro-diferencial lineal denominada: Ecuacion de Gelfand-Levitan-Marchenko.

Potencial final u(x,t)

Potencial inicial u(x,0) Datos de scattering a t=0

Datos de scattering a t>0

Diagrama IST

El conjunto de los tres pasos anteriores se denomina transformacion de scat-tering inverso por analogia con la trasformacion de Fourier

u(k,0)

u(x,t) u(k,t)

Dato inicial u(x,0)

IFT

FT

Diagrama de FT

18 Capitulo 6

4. Propiedad de Painleve para PDEs (KdV)

El hecho de que las reducciones de similaridad de KdV fuesen ODE con PP, llevoa Ablowit, Ramani y Segur a establecer la denominada

Conjetura de Ars: Una PDE es integrable si todas sus reducciones tienen laPP

Metodo WTC: Mas tarde Weiss Tabor y Carnevale generalizaron la propiedadde Painleve para PDEs estableciendo que

WTC: Una PDE tiene la PP si todas sus soluciones son univaluadas en la var-iedad de singularidades moviles.

Veamos como aplicarlo a la ecuacion de KdV

Propiedad de Painleve para KdV

Ecuacion

e1 := (

tU) + (

3

x3U) 6U (

xU) (4.1)

Calculos auxiliares:

2

x2 = V (x)

t = R(x)

2

x t = ((

xR) + RV) (x)

tV = (

2

x2R) + (

xR)V + R (

xV) (4.2)

Expansion

U =W02

+W1

+W2 +W3 +W4 2

+W5 3 +W6

4 + ....

coeficiente -5

W0 = 2 (x)2 (4.3)

4.. PROPIEDAD DE PAINLEVE PARA PDES (KDV) 19

coeficiente -4

W1 = 2V ( x

) (4.4)

coeficiente -3

W2 =1

6V2 +

1

6R +

2

3(

xV) (4.5)

coeficiente -2

W3 = 16

V ( xV) + (

2

x2V) + (

xR(x, t))

x(4.6)

coeficiente -1

0 = 0 (4.7)

Se satisface la condicion en la resonancia. W4 es arbitrario

coeficiente 0

W5 =1

36(4V (

3

x3V) 3V (

2

x2R) + V2 (

xR)

2V3 ( x

V) + 5V2%1 R ( x

R) + 7V (

xV)2

7 ( x

V)%1 + (

tR(x, t)) + 2 (

3

x3R) 2 (

xV) (

xR)

+ (4

x4V) 36 (

xW4) (x)

2 36W4 (x)2V)/

(x)3

%1 :=2

x2V

coeficiente 1

Se satisface la condicion en la resoanancia. W6 es arbitrario

0 = 0 (4.8)

20 Capitulo 6

5. Metodo de la Variedad Singular para KdV

Se trata de truncar la expansion al nivel constante, es decir:

aj = 0 paratodo j > 2

coeficiente en -3

U =1

6V2 +

1

6R +

2

3(

xV) (5.1)

coeficiente en -2

0 = V ( x

V) + (2

x2V) + (

xR)

integrando

0 = R + (

xV) 1

2V2 + 6(t) (5.2)

coeficiente en -1

0 = 0

coeficiente en 0

t(t) = 0 (5.3)

5..1 Ecuaciones de la variedad singular

0 = R + (

xV) 1

2V2 + 6 (5.4)

tV = (

2

x2R) + (

xR)V + R (

xV) (5.5)

solucion

U =1

4V2 +

1

2(

xV) (5.6)

5..2 Par de lax

V = 2GxG

(5.7)

Rx +RV = 2GtG

(5.8)

5.. METODO DE LA VARIEDAD SINGULAR PARA KDV 21

Parte espacial

0 = GU+ ( 2

x2G)G (5.9)

Parte temporal

0 = 2tG

G+ (

2

x2V) 1

2V3 + 6V

0 = 2tG

G 12V3 + 6V + 2 (

xU) V (

xV)

0 = 2tG

G+ 12

( xG)

G+ 2 (

xU) 4 (

xG) (

2

x2G)

G2

0 = (

tG) + 4 (

xG)+G(

xU) 2 (

xG)U (5.10)

5..3 Transformaciones de Darboux

Expansiones

J2 = G2 G1C1

(5.11)

U1 = U 22

x21

1+ 2

( x1)

2

12 (5.12)

Y2 = 2 Z1

(5.13)

Parte espacial

0 = G1U+ ( 2

x2G1)G1 1

0 = G2U+ ( 2

x2G2)G2 2

0 = J2U1 + ( 2

x2J2) J2 2 (5.14)

22 Capitulo 6

substituyendo en (6.14)

xC = G2G1 (5.15)

C = G2 (xG1) + (

xG2)G1

2 + 1 (5.16)

Parte temporal

0 = (

tG1) + 4 (

xG1)1 +G1 (

xU) 2 (

xG1)U

0 = (

tG2) + 4 (

xG2)2 +G2 (

xU) 2 (

xG2)U

:= (

tJ2) + 4 (

xJ2)2 + J2 (

xU1) 2 (

xJ2)U1 (5.17)


t1 = 4 (

xG1)

2 2G12U 8G12 1 (5.18)

tC = 4G2G1 1 2G1(x, t)G2U

+ 4 (

xG2) (

xG1) 4G2G1 2 (5.19)

5..4 funciones tau

0 =

x1 G12

0 =

x2 G22

0 =

xY2 J22 (5.20)

0 =

t1 4

xG1

2 + 8G12 1 + 2G1

2U

0 =

t2 4

xG2

2 + 8G22 2 + 2G2

2U

0 =

tY2 4

xJ2

2 + 8J22 2 + 2J2

2U1 (5.21)



Z = C2 (5.22)


0 = 0

5..5 Soluciones: u=0

0 =2

x2G1 G1 1 (5.23)

0 =2

x2G2 G2 2 (5.24)

0 = (

tG1) + 4 (

xG1)1 (5.25)

0 = (

tG2) + 4 (

xG2)2 (5.26)

G1 = e(k1 (x4 k1 2 t)), G2 = e(k2 (x4 k2

2 t)) (5.27)

1 = k12

2 = k22 (5.28)

1 =1

2

1 + (e(k1 (x4 k12 t)))2

k1

2 =1

2

1 + (e(k2 (x4 k22 t)))2

k2(5.29)

C =G1G2k1 + k2

(5.30)

Z =G2

2G12

(k2 + k1 )2(5.31)

=1

4

1 + G12 +G2

2 + AG12G2

2

k1 k2(5.32)

24 Capitulo 6

A =

(k2 k1k2 + k1

)2(5.33)

Pasando al centro de masas

G1 = e(k1 (x2 (k2 2+k1 2) t))

G2 = e(k1 (x+2 (k2 2+k1 2) t)) (5.34)


Problemas

1) Determinar que relacion debe haber entre a y b para que la transformacion deGalileo

x = x at, u = u bsea una simetria de la ecuacion de KdV

ut + uxxx 6uux = 0

Solucion

Haciendo el cambio en las derivada

ut = ut + aux

ux = ux

Substituyendo en KdV

ut + aux + uxxx 6(u b)ux = 0

Por tanto sia = 6b

entoncesut + uxxx 6uux = 0

de forma quex = x 6btu = u+ b

es una simetria de KdV

26 Capitulo 6

2) Demostrar que la reduccion

z = x(3t)1/3, u = (3t)2/3F (z)

transforma la ecuacion de KdV en la ODE

Fzzz + (6F z)Fz 2F = 0

y que esta ultima puede escribirse como

Pzz 2yPz = 0

donde

F = yz y2

P = yzz 2y3 zy

Solucion

De acuerdo con la reduccionz

t= x(3t)4/3 = z

3t

z

x= (3t)1/3

y por tanto

ut = 2(3t)5/3F + (3t)2/3Fz

z

3t= (3t)5/3(2F + zFz)

ux = (3t)1Fzuxx = (3t)4/3Fzzuxxx = (3t)5/3Fzzz

Substituyendo en KdV

(3t)5/3(Fzzz + (6F z)Fz 2F ) = 0

o sea

Fzzz + (6F z)Fz 2F = 0 (1)


Derivando F = yz y2 obtenemos

Fz = yzz 2yyzFzz = yzzz 2yyzz 2y2z

Fzzz = yzzzz 2yyzzz 6yzyzz = 0Substituyendo en (1)

yzzzz 2yyzzz 12yy2z 6y2yzz + 12y3yz zyzz + 2yzyz 2yz + 2y2 = 0

que puede agruparse como

(yzzz 6y2yz zyz y)z 2y(yzzz 6y2yz zyz y) = 0

o bien(yzz 2y3 zy)zz 2y(yzz 2y3 zy)z = 0

es decirPzz 2yPz = 0

28 Capitulo 6

3) Demostrar que la ecuacion de Burgers

ut + uxx + 2uux = 0

tiene la propiedad de Painleve

Solucion

el termino dominante es 1. Por tantou =

aj

j1

ut =

(aj)tj1 + (j 1)ajtj2

ux =

(aj)xj1 + (j 1)ajxj2

uxx =

(aj)xxj1+2(j1)(aj)xxj2+(j1)ajxxj2+(j1)(j2)aj2xj3

Substituyendo en la ecuacion y tomando el coeficiente en j3

(aj2)t + (j 2)aj1t + (aj2)xx + 2(j 2)(aj1)xx + (j 2)aj1xx++(j 1)(j 2)aj2x + 2(am)xajm1 + 2(m 1)amxajm = 0

el termino dominante a0 es:2a0

2x 2a20x

y por tantoa0 = x

El coeficiente en aj es:(j 1)(j 2)2x + 2(j 2)xa0 = (j 2)(j + 1)2x

luego hay una resonancia en j = 2

Para j = 1a0t 2(a0)xx a0xx + 2(a0)xa0 2a0xa1 = 0

Substituyendo a0

xt 2xxx xxx + 2xxx 22xa1 = 0despejando a1

a1 = xx + t2x


Para j = 2 (resonancia)

(a0)t + (a0)xx + 2(a0)xa1 + 2(a1)xa0 2xa0a2 + 2a2xa0o sea

(t + xx + 2xa1)x

que substituyendo a1 se satisface identicamente. Luego la condicion en la resonan-cia se satisface y la ecuacion tiene la propiedad de Painleve.

30 Capitulo 6

4) En las notas adjuntas se demuestra que la ecuacion de AKNS

uxxxt + 8uxuxt + 4uxxut = 0

tiene la propiedad de Painleve1) Truncar la serie, es decir imponer aj = 0 y a1 = u para todo j > 1 en n4, n9

y n14. De dichas ecuaciones obtener, ux, ut asi como las ecuaciones de la variedadsingular. Hay que hacer una integracion en x con una constante de integracionque sera el parametro espectral

2) Determinar el termino dominante de las ecuaciones de la variedad singularpara introducir la autofuncion

3) Determinar el par de Lax

ondas

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