4.10.- Campos VectorialesEn matemtica un campo vectorial es una construccin del clculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio eucldeo, de la forma Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la fsica para, por ejemplo, modelar la velocidad y la direccin de un lquido mvil a travs del espacio, o la intensidad y la direccin de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagntica o la gravitatoria, pues cambian punto a punto. En el tratamiento matemtico riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teora general de la relatividad por ejemplo. Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio eucldeo es una funcin a valores vectoriales:

Decimos que es un campo vectorial Ck si como funcin es k veces diferenciable con continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X. Operaciones con campos vectoriales Dados dos campos vectoriales Ck F, G definidos sobre X y una funcin Ck a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adicin:

Debido a la linealidad de la funcin (F+G):

Define el mdulo de los campos vectoriales Ck sobre el anillo de las funciones Ck. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en s mismo un espacio vectorial. Derivacin y potenciales escalares y vectores Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un nmero o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad). Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor respectivamente. Recprocamente: Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto , existe un campo potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto. Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en un punto, existe un campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto. Estas propiedades se explican se derivan del teorema de Poincar. Puntos estacionarios Un punto x en X se llama estacionario si:

El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio vectorial definido en la seccin anterior. - See more at: http://mitecnologico.com/sistemas/Main/CamposVectoriales#sthash.LTmz4SzG.dpuf

4.12 Extremos de una funcin de varias variables. 3.3.1. Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales. Definicin. Una funcin tiene un mximo (mnimo) en un punto si el valor de la funcin en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algn entono de P. Condiciones necesarias de extremo. Si una funcin diferenciable alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:;Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos crticos o estacionarios. No todo punto crtico es un punto extremo.Condiciones suficientes para la existencia de extremos. (a) Caso de dos variables. Sea un punto crtico de una funcin con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea el determinante de su matriz hessiana, entonces:

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa mximo y si es positiva mnimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habr que resolver por otro mtodo)(b) Caso de tres o ms variables. Calculamos los siguientes determinantes:; ;;...;i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la funcin tiene un mnimo en ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo ), entonces la funcin tiene un mximo en iii. En cualquier otro caso hay duda.Volver al comienzo de la Pgina

30. Halla los extremos de la funcin

Solucin:(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.;Los puntos crticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P(0,3) es el nico punto crtico de la funcin.Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,3).

Con lo cual tenemos H(0,3)=+3 luego hay extremo y como se trata de un mnimo.El valor de la funcin en el mnimo es f(0,3)=-8.

Unidad vIntegracinLa integracin es un concepto fundamental del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, una integral es una generalizacin de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeos.

El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las matemticas en el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la ingeniera y en la ciencia tambin; se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin. Fue usado por primera vez por cientficos como Arqumedes, Ren Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del clculo integral, que propone que la derivacin y la integracin son procesos inversos. Introduccin a La IntegracionIntroduccin a la Integracin La integracin es un mtodo para la obtencin deuna funcin o un valor cuyo diferencial sea equivalente a la misma funcin. Esto significa que si la funcin dada es f(x), mediante integrarla obtendramos g(x). Ahora bien, si g (x) es el diferencial de la funcin g(x) entonces g (x) y f (x) son la misma funcin en s. El proceso de integracin es el inverso de la diferenciacin. El smbolo se utiliza para denotar la funcin de integracin. Sea f(x) el coeficiente diferencial de una funcin F(x) con respecto a x entonces,

O,

Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos, dy = f(x) dx = d [F(x)]O, y = f(x) dx = F(x) Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces, y = f(x) dx = F(x) Aqu f(x) dx es leda como la integral def(x) dx. En la ecuacin anterior, f(x) es llamada integrando y F(x) es llamada la integral o funcin primitiva de f(x). Adems la integracin de f(x) con respecto a x es F(x). Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas. Esto significa que el mtodo de integracin se utiliza para sumar el efecto de una funcin que vara continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza variable. Es de notar que el lgebra ordinaria no proporciona algn mtodo para sumar el efecto de una funcin que vare. La integracin es de dostipos, integracin indefinida e la integracin definida. Cuando una funcin es integrada dentro de los lmites definidos, la integral se denomina integral definida. Por ejemplo, . f(x) dx es la integral definida de f(x) entre los lmites a y b y es escrita como, f(x) dx = F(x) = F(b) F(a)Aqu a se llamalmite inferior y b se llama lmite superior de integracin. Si una funcin est dada por y = + C, donde C es una constante de integracin entonces, dy/ dx = d(55 + C)/ dx = 254 + 0 = 254 Como la integracin es el proceso inverso de la diferenciacin, por tanto 254 dx = 55. Esto significa que durante la integracin la constante no aparece. Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante es cero. Por tanto, no podemos decir con certeza si es 254 dx = 55 o 55 + C. Dicha integracin se conoce como integracin indefinida. Por consiguiente en todas las integrales indefinidas, se supone que est presenteuna constante de integracin C, si la condicin de integracin, esto es, el lmite de integracin no es mencionado. Es por esto que debemos aadir una constante C en el resultado de todas las integrales indefinidas. Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos mtodos para entender la diferencia entre ambos. 27 p2 (p3 + 2)8 dxEl ejemplo anterior no contiene lmites de integracin y por tanto es una integral indefinida. 27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C Ahora bien, si ponemos los lmites de la integracin como, 27 p2 (p3 + 2)8 dx(p3 + 2)9 (33 + 2)9 - (23 + 2)9 = 381957187929 - See more at: http://mitecnologico.com/sistemas/Main/Introducci%f3nALaIntegracion#sthash.VKd7tt9t.dpufIntegral De LineaIntegral de Lnea La integracin de lnea es la tcnica de integracin para una funcin a lo largo de una curva dada. Tambin es conocida por los nombresde integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc. Aqu uno podra confundir la integral de lnea y el clculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integracin. Ambos, los campos escalares as como los vectoriales pueden ser integradosutilizando este mtodo. Una integracin de lnea de tales campos producira una sumatoria de valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo. Por ejemplo, asuma que la fuerza F acta sobre una partcula y haga que se mueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuacin.

Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la partcula a lo largo de una distancia pequea s ser, W = F. s De manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para mover la partcula a lo largo de toda la trayectoria se calcular la suma de todas las piezas pequeas de trabajo realizado. Esto se hace mediante la integracin, por supuesto como,

Aqu es importante notar que en lugar de escribir los lmites de integracin, slo el nombre de la trayectoria est escrito en el subndice. Esto significa que la integracin se est efectuando a lo largo de una trayectoria AB. Este es un enfoque de integracin totalmente diferente, dado que aqu la variable est siendo integrada con respecto a la funcin, y no se est incrementando a lo largo de una trayectoria recta, sino que es curva. Por esta razn en particular, esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas Cartesianas xe y. Y la funcin es integrada como,

Como se puede observar en la figura anterior, la fuerza F se bifurca en dos componentes en las direcciones x e y como P x y Q y, respectivamente. Por tanto, la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente,

El clculo de la integral de lnea de un campo escalar es algo diferente. En este, dividimos lo dado en piezas ms pequeas de igual longitud. Elija un punto arbitrario en la curva ynmbrelo como punto de muestra. Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre la curva completa. Trace una lnea recta entre cada par de estospuntos de muestra. Sea la distancia entre estos puntos de muestra denotada como s. La multiplicacin de la funcin de estos puntos de muestra y las respectivas distancias entre ellos puede considerarse como el rea del rectngulo con altura f(r(ti)) y anchura si. Tomando la sumatoria de talestrminos con lmite .

Reconstruyendo la ecuacin anterior obtenemos,

Dado que la distancia medida entre los puntos sucesivos al punto de muestra es,

Esto es equivalente a la sumatoria de Riemann, la cual es,

La integral de lnea encuentra una gran aplicacin prctica. Incluso la ley del electromagnetismo de Faradayest inspirada en la integral de lnea misma. Tambin el clculo del voltaje en el vecindario de una carga puntual puede hacerse utilizando la integral de lnea. Veamos ahora un ejemplo ilustrativo, para

p(t) = (-t/ , 1)

F ds = F(p(t)). p(t) dt

= F( , t).(-t/ , 1) dt

= (0, ).(-t/ , 1) dt

= dtAsuma que t = sin u ydt = cos u du F ds = cos(u) du

cos(u) du

cos2(u) duLa integracin anterior puede realizarse fcilmente utilizando las tcnicas de integracin. - See more at: http://mitecnologico.com/sistemas/Main/IntegralDeLinea#sthash.59YOcnYz.dpufIntegrales Iteradas Dobles Y TriplesIntegrales iteradas dobles y triples La integracin iterada es un mtodo de integracin en el cualefectuamos la operacin de integracin en cascada con respecto a cualquier variable en relacin con las otras variables que se mantienen constantes. La notacin convencional de la integracin iterada es como se muestra a continuacin,

En el ejemplo anterior, primero se calculara la integracin con respecto a la variable y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la comprensin, tambin puede ser escrita como,

La integracin iterada tambin puede realizarse como integracin definida e indefinida. En el ejemplo anterior hemos mostrado una integracin indefinida iterada. Del mismo modo tambin puede hacerse que la integracin definida itere. Lo anteriormente definido es una integracin iterada doble. De manera similar,tambin puede llevarse a cabo una integracin iterada triple. En esa situacin, efectuamos la integracin tres veces en cascada cada momento con respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como trminos constantes. La notacin convencional para la integracin triple es,

En la figura siguiente, tenemos una funcin como, z = f(x, y),

Si calculamos la integracindoblede esta funcin, la salida sera algo como,

Vamos ahoraa comprender el mtodo de clculo para esta integral. El mtodo para determinar el volumen de una figura slida mediante dividirla en trozos de igual tamao e integrarla para el slido entero es conocido por todos. Sin embargo, es conocido por muy pocas personas que tambineste puede utilizarse para determinar la integral doble de una funcin. Attach:cv115.jpg Suponga que la columna cilndrica Q pasa a travs de la figura dada, como se muestra en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el plano como xx.El rea transversal de la columna Q es similar al rea de la curva z = f (x, y). Esta rea yace entre (x, Y2) y (x, Y1). Aqu los puntos (x, Y2) y (x, Y1), son los puntos de interseccin de la regin dada y del plano de interseccin. La seccin transversal de esta pieza es,

La figura anterior es una mirada cercana de la parte inferior de la figura dada. Suponga que el mayor valor adquirido por x es b y el valor ms pequeo es a. Como se puede ver en la figura anterior la recta x= x intersecta el plano R en slo dos puntos y los valores correspondientes de y en estos puntos son Y1 y Y2. El valor de Y1 es menor que Y2. Es posible determinar el valor de Y para algn valor de x a partir de la ecuacin de frontera de la regin R. La ecuacin anterior puede reescribirse como,

Al colocar este valor en la ecuacin del volumen obtenemos,

Donde la ecuacin de volumen es,

Para esta ecuacin, primero realizamos la integracin con respecto ay, la cual es la integracin interior considerando a x como un trmino constante y luego con respecto a x considerando a y como trmino constante. De la misma forma, la integracin iterada triple se utiliza para calcular el momento de inercia, centroides, etc.La integracin tripletambin es calculada en los sistemas de coordenadas esfricas y cilndricas. - See more at: http://mitecnologico.com/sistemas/Main/IntegralesIteradasDoblesYTriples#sthash.5iR3SWYg.dpuf

5.4.- 5.4 aplicaciones a reas y solucin de problemas

Aplicaciones a reas y solucin de problemaSuma y resta de vectores: mtodo grfico y analtico.

Cuando necesitamos sumar 2 o ms magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritmticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen direccin y sentido, debemos utilizar mtodos diferentes a una simple suma aritmtica. Estos mtodos pueden ser grficos o analticos, pero ambos casos se consideran adems de la magnitud del vector, su direccin y su sentido.Resolucin de problemas de suma de vectores

Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y despus 4km al oeste.

Calcular:

Cul es la diferencia total que recorren?

Cul es su desplazamiento?

Solucin:

Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritmticamente las dos distancias:

Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km

para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una direccin particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, despus el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su direccin se determina por el ngulo que forma. As, encontramos que R =5 Km. con un ngulo de 37 en direccin noroeste.

Descomposicin y composicin rectangular de vectores por mtodos grficos y analticos.

Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un nmero mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un nmero mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposicin. Si el sistema equivalente tiene un nmero menor de vectores, el procedimiento se denomina composicin.

5.5.- Integral Doble En Coordenadas PolaresDe la misma manera en que la integral de una funcin positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cmo el rea entre la grfica de la funcin y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una funcin positiva f (x, y) de dos variables, definida en una regin del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la funcin y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una integral triple de una funcin f (x, y, z) definida en una regin del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la regin de integracin. Para integrales de rdenes superiores, el resultado geomtrico corresponde a hipervolmenes de dimensiones cada vez superiores. La manera ms usual de representar una integral mltiple es anidando signos de integracin en el orden inverso al orden de ejecucin (el de ms a la izquierda es el ltimo en ser calculado), seguido de la funcin y los diferenciales en orden de ejecucin. El Dominio de Integracin se representa simblicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de ms a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una funcin de ms de una variable por lo que las integrales mltiples indefinidas no existen. Definicion Una forma relativamente sencilla de definir las integrales mltiples es mediante su representacin geomtrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuacin xn + 1 = f(x1,,xn) y una regin T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la funcin f (si T es una regin cerrada y acotada y f est definida en la regin T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una regin T en el plano x12 es igual a algna integral doble, si es que la funcin f est definida en regin T. Se puede dividir la regin T en una particin interior formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estn completamente contenidas en T. La norma | | | | de esta particin est dada por la diagonal ms larga en las m subregiones. Si se toma un punto (x1i,x2i,,xni) que est contenido dentro de la subregin con dimensiones x1ix2ixni para cada una de las m subregiones de la particin, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,,xn) y la subregin i. Este espacio tendr una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuacin xn + 1 = f(x1,,xn) y la regin T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximacin mejora a medida que el nmero m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podra obtener la magnitud exacta tomando el lmite. Al aumentar el nmero de subregiones disminuir la norma de la particin:

El significado riguroso de ste ltimo lmite es que el lmite es igual L si y slo si para todo existe un > 0 tal que

para toda particin de la regin T (que satisfaga | | | | < ), y para todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,,xni) en la isima subregin. Esto conduce a la definicin formal de una integral mltiple: Si f est definida en una regin cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T est dada por:

siempre que el lmite exista. Si el lmite existe se dice que f es integrable con respecto a T. - See more at: http://mitecnologico.com/sistemas/Main/IntegralDobleEnCoordenadasPolares#sthash.3BmVgU11.dpuf

5.6 Coordenadas cilndricas y esfricas

December 16, 2012 3:06 AM En el sistemas de coordenadas cilndricas un punto P del espacio tridimensional est representado por la terna ordenada (r,,z), donde r y el son las coordenadas polares de la proyeccin de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilndricas son tiles en problemas que tienen simetra alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetra Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilndricas

Ecuaciones para transformar de Cilndricas a Esfricas

El sistema de coordenadas esfricas es especialmente til en problemas donde hay simetra alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Las coordenadas esfricas (, , ) de un punto P en el espacio, donde =OP es la distancia del origen a P, es el mismo ngulo que en las coordenadas cilndricas, y es el ngulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

P 0 0 El sistema de coordenadas esfricas es especialmente til en problemas donde hay simetra alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esfricas como los tres nmeros que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de interseccin de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esfricas

Es el sistema de coordenadas esfricas un punto p del espacio que viene representado por un tro ordenado , donde:

1.- es la distancia de P al origen, .

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilndricas para .

3.- es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto , .

Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Coordenadas EsfricasEcuaciones para transformar de Esfricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esfricas

Ecuaciones para transformar de Esfricas a Cilndricas