（付録）

「光増幅器の雑音」

1. アインシュタイン係数・反転分布パラメータ

2. ＡSE noise： amplified spontaneous emission noise

3. 演算子表記

4. モードの帯域幅

5. 平均値・光子数揺らぎ

6. 増幅後の光子数揺らぎ・ＳＮ比

7. 真空場エネルギーの不変性・光SN比

暫定版 修正・加筆の可能性あり

付録９０６のアプローチ：光増幅器の雑音とは 1. お詫び：自己流かつ説明が飛躍する場面があります。 2. 光増幅器の雑音について量子論的なアプローチを目指します。 3. 真空場は増幅されません。増幅されるのは光増幅器で発生した自然放出光です。 4. 増幅後、光信号は３ｄB以上劣化します。 5. ASE noise：amplified spontaneous emission noise 6. 雑音源を整理します。

増幅信号光のショット雑音、ASEによるショット雑音、増幅信号光-ASE間のbeat雑音 ASE-ASE間のbeat雑音（異なるモード間のbeat雑音ではなく同一モード間のbeat雑音）

7. 自然放出、誘導遷移に関する量子論的な扱いに興味があれば 参考文献：末松、伊賀、長嶋（共訳）「量子エレクトロニクス」、第５章、丸善

９０６－1

アインシュタイン係数（１）

レート方程式：熱平衡状態

0 aa em a b em em

a a em b em

NAN BU N N U U

t

N A N BU N BU

係数ＡとＢの比：508-7

3 3 2 32

2 3 2 3 3 3 2 3

3

22 ,

2 2

2

A L L

B c c L L c

A B L

光の状態密度：508-10 注意：密度行列のρと混同しないこと

辻褄は合っているようです：アインシュタインのＡ、Ｂ係数 •アインシュタインのＢ係数：誘導遷移確率であり、単一モード（単一偏波・角周波数）扱い。 •定在波（無偏光状態）の単位体積当たりの光エネルギーＵem：係数２を含む直交偏波を扱う。 •アインシュタインのＡ係数：自然放出確率であり、係数２を含む直交偏波を扱う。 •Ａ係数で与えられる自然放出過程は放出光の角周波数がν（近傍）に限定される。 •四方八方に散乱する効果を状態密度で記述、「同一角周波数を持つ多モード（直交偏波：係数２を含む）」を扱う。

注意：係数２は直交偏波

電子数：自然・誘導放出による電子遷移a→ｂ 電子数 ＝ 放出される光子数

電子数：誘導吸収による電子遷移ｂ→ a 電子数 ＝ 吸収される光子数

参照508-4：定在波（無偏光状態）の単位体積当たりの光エネルギー

９０６－2

アインシュタインのＢ係数：誘導遷移確率であり、単一モード（単一偏波・周波数）扱い。 •Ｂ係数を「誘導遷移確率」と記述しましたが、正確には が「誘導遷移確率」でしょう。

•定在波（無偏光状態）の単位体積当たりの光エネルギーＵem：係数２を含む直交偏波を扱う。

• 単位体積当たり • は「単一モード（単一偏波・周波数）自然放出による遷移確率（単位体積当たり）」になる。

•以後、「角周波数」ではなく「周波数」で表記します。

アインシュタイン係数（２）

3 1 2 2L A B hf Bhf

sp aa a

n NBhfN BhfN

t t

励起準位電子密度の減少は自然放出による光子数密度増加と同義

自然放出光子数密度増加率：単一モード（単一偏波・角周波数）扱い

Bhf

emBU

誘導遷移光子数密度増加率：係数２を含む直交偏波

• Ｂ係数：単一モード（単一偏波・角周波数）扱い

• Ｕem：係数２を含む直交偏波を扱う。

stem a b

nBU N N

t

エネルギー差

hff

aN

bN

電子密度：励起準位

電子密度：基底準位

電磁波（光）

９０６－3

まとめ：進行波単一モード（単一偏波・角周波数） • 自然放出光子数密度増加率 電子１個が自然放出する確率（単位時間当たり） • 誘導遷移による光子数増加率 注目：Ｂ係数が自然放出確率を与える！ 一口メモ：増幅率は増幅前後の光子数密度比（分子：遷移後、分母：遷移前） • 自然放出前は真空状態なので分母が零となり自然放出による「光増幅」はありえない。 • 誘導遷移の場合、遷移前後の光子数密度比から増幅率を得るから「光増幅」になる。 • 但し、自然放出光（雑音光子）を種とする光増幅は可。これが光増幅器の雑音源（ASE）。

反転分布パラメータ（１）

やや飛躍感があるが • Ｂ係数が単一モード（単一偏波・角周波数）扱いであれば、 を進行波単一モードで読み替えると… 進行波単一モード誘導遷移光子数密度増加率 • 進行波単一モード古典的電磁波エネルギー ：overlineは周期的時間平均

• 量子的電磁波エネルギー ：overlineは平均値を意味する。光子数平均値を で与える。

• 光子数揺らぎがない場合、平均化は不要

st st a bn t n N N

,sp an t N Bhf

,st em a b em stn t BU N N U n hf

９０６－4

emU

emU

stn hf stn

反転分布パラメータ（２）

光増幅：利得係数α（単位時間あたり）

,stst a b

nn N N

t

自然放出：雑音光子数密度（単位時間あたり）

,sp a a

a a b sp sp

a b a b

n N NN N N r r

t N N N N

反転分布パラメータ：population inversion parameter

エネルギー差

hff

aN

bN

電子密度：励起準位

電子密度：基底準位

電磁波（光）

完璧な反転分布

0 1b spN r

注意 • 不完全な反転分布 • 反転分布パラメータが大 • 自然放出光発生が顕著、雑音が大

９０６－5

ASE noise（1）

分布型光増幅器：光ファイバアンプ

入射側 出射側 ファイバ長：D 自然放出光はファイバ内のいたるところで一様に発生！

ｚ軸

V

0

0

z

t

z D

t T D c

この領域で発生した雑音光子は距離Dで光増幅

V

この領域で発生した雑音光子は距離D/2で光増幅

全領域で発生した自然放出光によるASE

AS

E n

ois

e

sp

sp

nV r V

t

sp

sp

nV r V

t

微小領域：ΔV • 自然放出による光子数増加 • といっても増加前の光子数は零 • 自然放出による雑音光子発生数と解釈

V

９０６－6

出射側ASE雑音：進行波単一モード（単一偏波・角周波数） ASE雑音光子数密度： 括弧内のマイナス１が特徴

ASE noise（２）

再掲：光ファイバアンプ

この領域で発生した雑音光子は距離Dで光子数増加

この領域で発生した雑音光子は距離D/2で光子数増加

spr V

spr V

T

spr Ve

2

T

spr Ve

0

1 ,T T t T

sp sp

ASEr e dt G r G e

V

入射側 出射側 ファイバ長：D 自然放出光はファイバ内のいたるところで一様に発生！

V

0t t T D c

V

AS

E n

ois

e

全領域で発生した自然放出光によるASE

V

９０６－7

ｚ軸

演算子表記（１）

光増幅器：信号光とASE雑音

光増幅

自然放出

信号光

ASE雑音

増幅光

a†b †ˆˆ ˆ 1 spc Ga G r b

増幅後の平均光子数密度：計算例（次頁）

注意：進行波単一モード • 増幅前信号側：消滅演算子 • 自然放出側：生成演算子 • 増幅後：消滅演算子

詳細省略 • 消滅演算子を生成演算子にすると交換関係が成

立しません。

ˆ ˆ 1out in spn G n G r

増幅前：状態ベクトル • 信号側：簡単のためコヒーレント状態 • 自然放出側：自然放出前は真空場

0in sig sp

増幅後の信号光平均光子数密度 ASE雑音光子数密度

交換関係：commutation relation

† † †ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 1a a b b c c

９０６－8

消滅演算子 消滅演算子 生成演算子

演算子表記（２）

増幅後の平均光子数密度：計算例

† †

† †

† † †

† † † †

† †

ˆ ˆ ˆ ˆ 1

†

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1

0 ,0

ˆ ˆ,0 ,0

ˆ ˆˆ ˆ 1 0 0

ˆ 1

ˆ ˆ ˆ

out in

sp sp

sp sp sp

in sig sp

out out

sp

bb b b

in sp

in

n c c n a a

c c Ga G r b Ga G r b

Ga a G r bb G G r a b G G r ab

n n

G a a G r bb

G n G r

n a a

2 †ˆ ˆ, 0 0 1bb

９０６－9

出射側ASE雑音：参照906-7

モードの帯域幅（１）

B：光フィルタ帯域幅 • 光増幅器に挿入する光フィルタ通過域 • 簡単のため矩形形状 • 角周波数の代わりに周波数を使用

0f

0 2f B0 2f B

導入：時間領域消滅演算子 • フーリエ変換により周波数領域へ • 被積分項の消滅演算子は進行波単一モード扱い • 被積分項は単一偏波・周波数の消滅演算子

0

0

22

2

ˆ ˆB

fft

Bf

a t a f e df

時間領域 周波数領域

モード分割：総数M

2 2

2 2

ˆ ˆ , 1M M

m

m M m M

Ba t a M

f

2 1 0 1 2, , , ,f f f f f

Δｆ：モードの帯域幅

22

2

0

ˆ ˆm

m

ff

ft

fmf

m

a t a f e df

f f m f

消滅演算子：帯域幅Δｆ

９０６－10

0 f B

９０６－11

モードの帯域幅（２）

有限幅モード：有限帯域幅Δｆを持つモードの取り扱い • 単一モードは単一偏波・周波数を意味する。帯域幅が有限であれば単一周波数とは言えない。 • 但し、帯域幅が零になると信号変調（強度変調など）ができない。 • 光通信の場合、信号変調は必須であり、単一モードは必然的に帯域幅Δｆを含む。

• 消滅演算子：

• 帯域幅Δｆは変調信号を送受信する装置固有の値である。 • 光フィルタ帯域幅Bは光フィルタ固有の値である。 • 電気の世界がΔｆを決める。光の世界がBを決める。

220

2

ˆ ˆ ,m

m

ff

ft

fm mf

a t a f e df f f m f

光増幅

自然放出

変調信号光

ASE雑音

増幅光

ˆma

†ˆmb

†ˆˆ ˆ 1m m sp mc Ga G r b 有限幅単一モード 次頁参照

受信装置

電気信号 装置帯域幅：Δｆ

異種モード間のbeatは帯域外のため検出不可

光フィルタ帯域幅：B

光の世界 電気の世界

９０６－12

モードの帯域幅（３）

計算例：進行波単一モード（単一偏波・周波数）：参照906-8

†ˆˆ ˆ 1 spc f Ga f G r b f

22

2

† 22

2

2 † 22 2

2 2

†

ˆ ˆ

ˆˆ 1

ˆˆ 1

ˆˆ 1

m

m

m

m

m m

m m

ff

ft

fmf

ff f ft

f spf

f ff f

ft ft

f fspf f

m sp m

c t c f e df

Ga f G r b e df

G a f e df G r b f e df

Ga t G r b t

進行波有限幅単一モード（単一偏波・周波数幅Δｆ）：参照906-10

計算省略：交換関係

† † †ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 1m m m m m ma t a t b t b t c t c t

９０６－13

時間領域光子数演算子

† † †

,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆm n m n

m n m n

n t a t a t a a a a

異種モード間のbeat：検出器帯域外として除外 平均値：光子数

† †

,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ, ,

m n m m m

m n m m

m m m

m

n n a a a a n

n n n n n n

分散：光子数揺らぎ

2 22 2 2 2ˆ ˆ, ,m m m m

m

n n n n n n n n

平均値・光子数揺らぎ（１）

次頁：計算例

９０６－14

平均値・光子数揺らぎ（２）

分散：計算例

2 2

22

,

22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ

m m m

m m m m

m m m

m n

m n

m n

m n

m n

m m m m m

m m m

n n n n n n

n n n n n n n n

n n n n n

n n n n n

When m n then n n

n n n n n n

無相関：異なるモード間の光子数揺らぎは無視

９０６－15

確認：有限幅単一モード

長々と書きますが… • モード帯域幅Δｆは変調信号光を送受信する装置固有の値である。 • 有限幅単一モードは、装置を変更しない限りこれ以上分割（分解）できない基本帯域幅（単位）である。 • その意味で、モード帯域幅Δｆを装置固有の光スペクトル分解能と読み替えることも可能である。 • これ以上分割できないから有限幅単一モード一本につき真空場は１個である。 • 自然放出は放出前の状態が真空場なので有限幅単一モード一本につき自然放出光も１個である。 • 光フィルタ帯域幅Bを固定してモード帯域幅Δｆが狭い装置を用意するとモード総数が増大、自然放出光数も増大する。

疑問：錯覚に陥るかもしれません！ • 光フィルタ帯域幅Bを固定してモード帯域幅Δｆを狭くするモード総数が増える。 • 自然放出光が各モードに対して１個ならモード総数の増加とともに自然放出光子数も増える。 • モード帯域幅Δｆを零に近づけると自然放出光子数が無限に増加する。 • モード帯域幅Δｆを狭くすると自然放出頻度が増大する？ • 自然放出のしやすさ・しにくさは装置側の事情で変わる？

答え：やや不正確ですが • モード帯域幅Δｆが狭い変調信号光の時間コヒーレンス長が長くなり、測定に時間が掛かる。 • 狭い帯域幅Δｆを持つ装置は測定時間が長い。例えば、帯域幅Δｆが半分になると測定時間は二倍になるでしょう。 • 自然放出光は測定時間に対して一個なので測定時間が二倍になると単位時間当たりの自然放出光検出数は半減する。 • 帯域幅Δｆが半分になるとモード数は倍増するが、各モードの単位時間当たりの自然放出光検出数は半減する。 • 全体としては自然放出光発生頻度（総検出数）は変わりません。 • 自然放出のしやすさ・しにくさは装置側の事情で変わりません。 • 光増幅器側の事情（反転分布パラメータ）で変わります。（参照：906-5） • もちろん、微小共振器によるパーセル効果（Smith–Purcell effect）などとも無縁です。 まとめますと • 自然放出光子は各モードに対して１個、真空場も各モードに対して１個 • 有限幅単一モードはこれ以上分割（分解）できない基本帯域幅（単位）であり装置固有の光スペクトル分解能 • モード帯域幅Δｆは変調信号を送受信する装置固有の値

自然放出が邪魔なら • モード帯域幅Δｆと光フィルタ帯域幅Bを一致させよ（光フィルタ幅と装置帯域幅と一致させよ） • 変調信号光が属する有限幅単一モードのみ送受信に使え！（あたりまえですが）

９０６－16

増幅後の光子数揺らぎ

増幅前：状態ベクトル • 信号光はモード番号ｍ＝０の有限幅単一モードに限定 • 信号光は変調コヒーレント光（帯域幅Δｆ） • 自然放出側：自然放出前は真空場 • 光フィルタ帯域幅Bはモード帯域幅Δｆより広い • 総モード数をMとする。

2 1 0 1 2, , , ,f f f f f

,f B M B f

0 1 2

0

0

0 ,0

0 0 0,0

in m m m

m sig sp

m sig sp

赤色：信号光用有限幅単一モード

f

増幅後平均光子数：計算例906-17

2

1 ,out in sp inn Gn G Mr n

増幅後光子数数揺らぎ：計算例906-19

22 21 2 1 1out in sp in sp spn Gn G Mr G G n r G Mr

９０６－17

計算例：平均値（１）

平均光子数：計算例

†

†

† † †

† † † †

† †

† †

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆˆ ˆ 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1

ˆ ˆˆ ˆ 1

ˆˆ1 1

out m m m m m m

m

m m sp m

m m m sp m m sp m

m m sp m m sp m m sp m m

m m m m m sp m m m m

sp m m m m sp

n n n n n c c

c Ga G r b

c c Ga G r b Ga G r b

Ga a G r b b G G r a b G G r a b

n G a a G r b b

G G r a b G G r

ˆˆm m m ma b

９０６－18

計算例：平均値（２）

平均光子数：計算例

2† † †

0 0 0 0

† † †

† † †

0 0 0 0

† † †

† †

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 ,0 ,0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0,0 0,0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 ,0 ,0 0 0 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0,0 0,0 0 0 1

ˆ ˆˆ ˆ0, 0

m m m m in

m m m m m m m m

m m m m

m m m m m m m m

m m m m m m m m

m

m a a a a a a n

m a a a a a a

m b b b b b b

m b b b b b b

a b a b

n G

† †

† †

0 0

ˆ ˆˆ ˆ 1

ˆ ˆˆ ˆ1 1

1 , 1

1 , 1

1

m m m m sp m m m m

sp m m m m sp m m m m

m in sp m sp

out m in sp

m

out in sp

a a G r b b

G G r a b G G r a b

n Gn G r n G r

n n Gn G Mr M M

n Gn G Mr

９０６－19

計算例：揺らぎ（１）

光子数揺らぎ：計算例

† †

22 2 2

2 2 † † 2

ˆ ˆ ˆ ˆ 1 † † 2

2 2† † † †

† † †

ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1

ˆˆ ˆ ˆ2 1 1

m m m m

out m m m m

m

m m m m m m m m m m m m

c c c c

m m m m m m

m m m m m sp m m sp m

m m sp m m

n n n n n

n n n n n n n c c c c n

c c c c n n

c c c c Ga G r b Ga G r b

Ga a G G r a b G

† † †

† † 2 † † † †

2 2 † †

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 1 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 1

ˆ ˆ ˆ ˆ1

sp m m

m m sp m m sp m m

m m m m m m m m m m m m m m m m m m

sp m m m m m m

r b b

Ga a G G r a b G r b b

c c c c G a a a a G G a a b b

G r b b b b

注意：生成・消滅演算子の数が揃わない項は削除

９０６－20

光子数揺らぎ：計算例

計算例：揺らぎ（２）

4† † † † 2

0 0 0 0

† † † †

2† † † †

0 0 0 0

† † † †

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 ,0 ,0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0,0 0,0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 ,0 ,0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0,0 0,0 0

ˆ ˆ ˆ

m m m m m m in

m m m m m m m m m m

m m m m m m in

m m m m m m m m m m

m m m

m a a a a a a a a n

m a a a a a a a a

m a a b b a a b b n

m a a b b a a b b

b b

† †

† † 2 † †

2† † 2 † †

2† † 2 2 2

22 2 2

ˆ 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ4 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ 4 1 2 1 1

4 1 2 1

m m m

m m m m m m m m m m m m

m m

sp m m m m m m sp m m m m m m

m m

m m m m m m in in sp sp

m m

in in sp sp

b b

c c c c G a a a a

G G r a a b b G r b b b b

c c c c G n G G n r G r

G n G G n r G Mr

９０６－21

光子数揺らぎ：計算例

計算例：揺らぎ（３）

0 0

2 22 2

22 2 2

22 † † 2

22 2 2

2 2

1 , 1

1

1 1

2 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

4 1 2 1

1

m in sp m sp

m in sp

m

m in sp sp

m

in in sp sp

out m m m m m m m m

m m m m

in in sp sp

in sp

in

n Gn G r n G r

n Gn G Mr

n Gn G r G Mr

G n G G n r G Mr

n n n c c c c n n

G n G G n r G Mr

Gn G Mr

G n

2 2

22 2

2 1 1

1 2 1 1

in sp sp

out in sp in sp sp

G G n r G Mr

n Gn G Mr G G n r G Mr

９０６－22

増幅後のSN比

お馴染みの式：増幅後の平均値と光子数揺らぎ

22 2

1

1 2 1 1

out in sp

out in sp in sp sp

n Gn G Mr

n Gn G Mr G G n r G Mr

ASE雑音源を整理します。 増幅信号光のショット雑音（第一項） ASEによるショット雑音（第二項） 増幅信号光-ASE間のbeat雑音（第三項） ASE-ASE間のbeat雑音（異なるモード間のbeat雑音ではなく同一モード間のbeat雑音）（第四項）

SN比：増幅後

2

2 2

2 2

1 2 1 1

2 1

/, 2 2

2 1 2 /

out in

out in sp in sp sp

in sp

in in inin sp

out inin sp sp out

S Gn

N Gn G Mr G G n r G Mr

G G n r

G n n S NS Sn NF r

N G G n r r N S N

有名な結論：完璧な反転分布でも3dB劣化

９０６－23

光増幅器：単一モードに限定

†ˆˆ ˆ 1 , 1spc Ga G b r

真空場エネルギーの不変性

増幅器前：電磁場の量子化されたハミルトニアン

† † † †1 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2

inH hf a a hf b b hfa a hfb b hf

0 ,0in sig sp in inH hfn hf

状態ベクトル：増幅前 エネルギー：増幅前

信号光エネルギー 真空場エネルギー

1in in out in in

in out

S hfn S Ghfn Ghfn

N hf N hf G hf Ghf

SN比：前頁と定義が違う

増幅前：真空場エネルギー

真空場エネルギー ASE noise

分母に注目 • 一瞬、真空場エネルギーが増幅され

たように錯覚 • 実際は真空場エネルギーとASE

noiseの和 • 真空場エネルギーは増幅前後で不変

やや強引ではあるが という変調信号光エネルギーを測定するのに時間Ｔを要するから、光強度は となる。

９０６－24

光SN比：optical signal-to-noise ratio

光ＳＮ比とは：変調信号光強度/雑音光強度 • 変調の場合、有限幅単一モード扱い • 有限幅に含まれる信号光強度と雑音光強度の比を計算 • 有限幅とはモード帯域幅（変調帯域幅）Δｆのことであり、 Δｆは装置固有の値 • 帯域幅Δｆの逆数は装置の時間分解能Тであり、測定時間に相当すると考える。

1,

1

1 1

out in inout

out

out out

S Ghfn GhfnP f

N hf G hf T T

P POSNR

hf f G hf f G hf f

inGhfn

inGhfn T

光スペクトルアナライザ：真空場エネルギーは観測不可

hf 1Hz当たりの真空場雑音光強度

1G hf f 右図赤色：変調帯域幅Δｆに含まれるASE雑音光強度 f 変調帯域幅

青色：変調信号光強度