objetivos. - ferozo
TRANSCRIPT
OBJETIVOS.
•Definir momento lineal de una partícula y su relación con el impulso resultante queactúa sobre la misma•Aplicar el principio de conservación del momento lineal para una partícula o sistemade partículas en situaciones concretas•Caracterizar diferentes tipos de colisiones• Definir y determinar la posición, velocidad y aceleración del centro de masas o sistemade partículas o de un cuerpo
•¿Por qué es más difícil detener a un camión que a una mosca si se mueven a la misma velocidad? •¿Por qué es más doloroso caer sobre una superficie de cemento que sobre una alfombra?• ¿Qué ocurre cuando chocan dos bolas de billar?• ¿Cómo actúa el airbag de un coche?
Cantidad de movimiento lineal de una partícula
(Momento lineal – Momentum - Impulso lineal)
vmp
= vmp
=
s
mkgp
SI.=
La cantidad de movimiento, momento lineal, impulso lineal o momentum es una
magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en
cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica, la cantidad de movimiento se define
como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado
y
p
x0
v
m
Cuando sobre una partícula actúa una fuerza
neta esa partícula se mueve con movimiento
variado, es decir que si la partícula sufre una
variación en su movimiento es que sobre ella
a accionado una fuerza neta
dt
vdmamFi
==
dt
pd
dt
vmdFi
==
)(
La fuerza neta que actúa sobre una partícula, es igual ala rapidez de cambio de la cantidad
de movimiento lineal de la partícula
x
y
0
v
p
m´p
´v
Si la fuerza neta varía con el tiempo= dtFJ N .
Si una fuerza neta constante actúa sobre una partícula durante un intervalo
de tiempo Δt, el impulso de la fuerza neta es igual al producto de la fuerza neta y el
intervalo de tiempo
tFJi
i = .
iF
IMPULSO – ÍMPETU – IMPULSIÓN -PERCUSIÓN
Fx(N)
t(s)
dtFJi
i .=
El área bajo la cuerva F(t) entre dos instantes de tiempo representa el impulso de la fuerza en ese intervalo de tiempo
TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
El cambio de la cantidad de movimiento de una partícula durante un intervalo de
tiempo, es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre la partícula durante
ese intervalo
( )0
0 00
pppddtdt
pddtFJ
t
t
p
p
t
t
i
−====
Fx(N)
t(s)
Fm(N)
Fuerza Media
La fuerza media, es aquella fuerza constante que produce el mismo ímpetu que una fuerza
variable en el mismo intervalo de tiempo
( ) tFdtFdtFdtFJ m
t
t
m
t
t
m
t
t
i ==== ...
000
( )
t
pp
t
dtF
F
t
t
i
m
−=
=
00
0ppJ
−=
EjemploUn trabajador de 70 kg salta con las piernas estiradas desde una altura de 1 m hacia el piso de concreto. A) ¿Cuál es la magnitud del impulso que siente al caer, suponiendo que se detiene súbitamente en 8 ms? B) ¿Cuál es el valor de la fuerza media que actúa sobre el trabajador? C) ¿Y si cae flexionando las rodillas con lo que prolonga el tiempo de contacto a 0,6s?
PROBLEMA N°1
El bloque de 5kg, debido a una fuerza
horizontal F, desliza a lo largo del plano horizontal, la
fuerza varía con el tiempo de acuerdo con la gráfica. El
coeficiente de rozamiento cinético es μ = 0,35.
Determinar el impulso que actúa sobre el bloque en t =
10s.
−
=
stssitN
stsittF
sN
sN
x1025,775
2015)(
( ) ( ) −−++=−=
s
s
s
m
s
s
sN
s
s
sN
s
s
s
s
x dtkgdttNdttNdtmgFdtJ
10
0
10
2
2
0
6
0
6
0
28,9.5.35,05,775)1530(.
NsNsNsNsNsNsJ 5,1585,1713606003060 =−−++=
F(N)
0 2 4 6 8 10 t(s)
60
30
Solución: el impulso que experimenta el bloque es el resultado de la acción conjunta de todas las fuerzas que actúan
sobre el bloque es esos 10s. El esquema muestra las fuerzas que actúan sobre el bloque en dirección horizontal
F
x
rf
F(N)
0 2 4 6 8 10 t(s)
60
30
-17,15
( )( ) NsssN
NssssNNJ 5,158010)15,17(
2
)60)(210(
2
)02.(6030=−−+
−+
−+=
PROBLEMA Nº4
Una pelota de 1kg cae verticalmente sobre el suelo con una rapidez de 25m/s y rebota con una rapidez de
10m/s. a) ¿Qué impulso actúo sobre la pelota durante el contacto? b) Si la pelota estuvo en contacto durante 0,020s. ¿Cuál fue
la fuerza promedio ejercida sobre el suelo?
Las fuerzas que actúan sobre el momento del impacto con el suelo La pelota son:
Por el teorema del impulso y cantidad de movimiento, el impulso de un cuerpo en un intervalo de tiempo es
igual al cambio de la cantidad de movimiento que experimenta en ese intervalo de tiempo
gmP
SPN
Y(+)
0ppJ
−= )( 0vvmJ y −=
( ) sm
sm
sm
y kgskgJ 35251001 =−−=
( ) tFdtFdtFdtFJ m
t
t
m
t
t
m
t
t
i ==== ...
000
( )
t
pp
t
dtF
F
t
t
i
m
−=
=
00
N
s
kgF s
m
m 925002,0
.35==
gmFNgmNF PmSPpSPm +=−= NNNNSP 8,92598,99250 =+=
Observación. En la mayoría de los casos las fuerzas impulsivas nos tan intensas que prevalecen sobre las otras que actúan sobre el cuerpo
Relación de momento lineal y energía cinética
( ) −== 2
0
2
21. vvmrdFWR
2
21 mvEc =
−== 0ppdtFJ
m
vmmvmvEc
mm
22
212
212
21 ===
m
pEc
2
2
=
vmp
=
Por el teorema del trabajo y la energía cinética
Por el teorema del impulso y cantidad de movimiento lineal
1p
1
np
n
4p
4
3p
3
2p
2
MOMENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
npppppP
.......4321 ++++=
=
=n
i
ipP1
nxxxxxx pppppP .......4321 ++++=
nyyyyyy pppppP .......4321 ++++=
El momento lineal de un sistema de partículas es la suma vectorial de las cantidades de movimiento lineal de las partículas del sistema
Conservación del momento lineal
Si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema es cero, el momento lineal
total del sistema se conserva.
Una fuerza interna es una fuerza ejercida por una parte de un sistema sobre otra. Una
fuerza externa es una fuerza ejercida sobre cualquier parte del sistema por algún
elemento externo al sistema. Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema es
cero, el momento lineal total (la suma vectorial de los momentos lineales de las
partículas individuales que constituyen el sistema) es constante, esto es, se
conserva. Cada componente del momento lineal total se conserva individualmente
sisext Pdt
== 0
nn pppppppppp
.............. 4321004030201 ++++=++++
ctePF sisext ==
0
PROBLEMA N°6Suponga que usted está de pie en una plancha de hielo que cubre el estacionamiento del estadio de fútbol americano de Buffalo; la fricción entre sus pies y el hielo es insignificante. Un amigo le lanza un balón de fútbol americano de 0,400 kg que viaja horizontalmente a 10 m/s. La masa de usted es de 70 kg. a) Si atrapa el balón, ¿con qué rapidez se moverán usted y el balón después? b) Si el balón lo golpea en el pecho y rebota moviéndose horizontalmente a 8 m/s en la dirección opuesta, ¿qué rapidez tendrá usted después del choque?
0==dt
pdFext
cteP
dt
Pd==
0
ctevmvmppP JJGGJGsist =+=+=
JJGGJJGG vmvmvmvm
+=+ 00
x(+)
VkgVkgkgkg sm
sm .70.4,00.7010.4,0 +=+
𝑉 =0,4𝑘𝑔. 10
𝑚𝑠
0,4 + 70 𝑘𝑔= 0,057
𝑚
𝑠
xJJxGGxJJxGG vmvmvmvm +=+ 00
JGF
gmJ
SJN
GJF
( )Js
msm
sm vkgkgkgkg .708.4,00.7010.4,0 +−=+
𝑣𝐽 =0,4𝑘𝑔. (10
𝑚𝑠 + 8
𝑚𝑠 )
70𝑘𝑔= 1,03
𝑚
𝑠
xJJxGGxJJxGG vmvmvmvm +=+ 00
COLISIONES
El término choque hace que una persona común piense en un accidente de tránsito.
Extenderemos su significado para incluir cualquier interacción vigorosa entre cuerpos con
duración relativamente corta. Así que no sólo incluimos accidentes automovilísticos, sino
también bolas que chocan en una mesa de billar, neutrones que inciden sobre núcleos en
un reactor atómico y el impacto de un meteorito sobre la Tierra.
Si las fuerzas entre los cuerpos son mucho mayores que las externas, como suele
suceder en los choques, podemos ignorar las fuerzas externas y tratar los cuerpos
como un sistema aislado. Entonces, el momento lineal se conserva y el momento lineal
total del sistema tendrá el mismo valor antes y después del choque. Dos autos que chocan
en un cruce cubierto de hielo son un buen ejemplo. Incluso dos autos que chocan en
pavimento seco se pueden tratar como sistema aislado durante el choque si, como es
frecuente, las fuerzas entre los autos son mucho mayores que las fuerzas de fricción del
pavimento contra los neumáticos.
En todo choque en el que se pueden ignorar las fuerzas externas, el momentolineal se conserva y el momento lineal total es el mismo antes y después.
Si las fuerzas entre los cuerpos son
conservativas, de manera que no se
pierde ni gana energía mecánica en el
choque, la energía cinética total del
sistema es la misma antes y después.
Esto se denomina choque elástico.
Al chocar los deslizadores, los resortes
se comprimen momentáneamente y
parte de la energía cinética original se
convierte por un momento en energía
potencial elástica. Luego los
deslizadores rebotan, los resortes se
expanden y la energía potencial se
convierte en cinética.
2211022011 vmvmvmvm
+=+
2
22212
11212
022212
01121 vmvmvmvm +=+
COLISIÓN ELÁSTICA
Un atleta que salta sobre una colchoneta y una bala que se
incrusta en un bloque de madera son ejemplos de choques
inelásticos. Un choque inelástico en el que los cuerpos se
pegan y se mueven como uno solo después del choque, es
un choque totalmente inelástico.
( )vmmvmvmvmvm
2121022011 +=+=+
( )21
022011
mm
vmvmv
+
+=
( ) ( )2
022212
011212
2121
0
vmvmvmmEc
EcEcEc f
+−+=
−=
Un choque en el que la energía cinética total final es menor que la inicial es un choque
inelástico
2211022011 vmvmvmvm
+=+
( )2
022212
011212
22212
1121
0
vmvmvmvmEc
EcEcEc f
+−+=
−=
COLISIÓN INELÁSTICA
PÉNDULO BALÍSTICO
( )
( )vmmvm
vmmvmvm
Bbbb
BbBBbb
+=
+=+
0
00
El bloque con el proyectil incrustado adquieren la velocidad v luego de la colisión y el péndulo se eleva una distancia y. Toda la energía cinética del sistema se transforma en energía potencial
2
21 )()(
0
vmmgymm
EcEp
BbBb
g
+−+
=+
bB
v0b
b B
( ) ( )
b
Bb
b
Bbb
m
gymm
m
vmmv
20
+=
+=
( )
b
Bbb
m
vmmv
+=0
gyv 2=
COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN
En una colisión frontal alineada de dos esferas sólidas (como las que experimentan las
bolas de billar) las velocidades después del choque están relacionadas con las
velocidades antes del choque, por la expresión:
0102
12
vv
vve
−
−−=
Donde e es precisamente el coeficiente de restitución, mide la velocidad relativa de
alejamiento, dividido entre la velocidad relativa de acercamiento de las partículas. Toma
valores entre 0 y 1
•El valor 1 se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema. •El valor 0<e<1 se da en un choque inelástico donde sólo se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se "consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica, energía sonora, calor, etcétera.•El valor 0 se da en un choque perfectamente inelástico o plástico donde sólo se conserva el momento lineal, y la pérdida de energía cinética es máxima, convirtiéndose en energía de deformación plástica, energía sonora, calor, etcétera.
PROBLEMA N°11
Un bloque de 30kg se deja caer desde una altura h = 2m
sobre el plato de 10kg de una balanza de resorte. Si k = 20kN/m,
determinar el desplazamiento máximo del plato si el impacto es: a)
perfectamente plástico, b) perfectamente elástico.
Es conveniente, proponer un plan de trabajos para resolver un ejercicio, similar a éste
•Situación de los cuerpos antes de la colisión; el cuerpo A cae una distancia “h” por acción
de su peso, hasta impactar con el plato B. El plato B comprime el resorte una cantidad “xo”.
Para el cuerpo A
0=+ EcEp
( ) 022
021 =−+− oAAA vvmghm
hgv A ..20 =
sm
s
mA mv 26,62.8,9.2 20 ==
Para el cuerpo B
0=− gmF BR
k
gmxgmkx B
B ==− 00 0
mkg
xmN
s
m
0049,020000
8,9.10 2
0 ==gmB
RF
Y(+)
•En el momento del choque se considera al sistema de los dos cuerpos, recordando que durante la
colisión las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de cuerpos resultan despreciables frente a
las fuerzas impulsivas internas, por tanto se puede plantear la conservación de momento lineal del
sistema
BBAABBAA vmvmvmvm +=+ 00
a) Si el choque es plástico, ambos cuerpos salen juntos
vmmvmvm BABBAA )(00 +=+
)(
00
BA
BBAA
mm
vmvmv
+
+=
sms
m
kgkg
kgv 695,4
)1030(
26,6.30=
+=
0=+ EcEp
0))(()()( 2
212
0
2
21 =−++−++− vmmxxkgxmm BABA
0)695,4)(1030())0049,0((200008,9)1030( 2
2122
21
2 =+−−++− sm
mN
s
m kgkgmxxkgkg
08605,4402401,39210000 2 =−− NmNxxmN
mx 23,0=
Ambos cuerpos descienden por acción del peso que es una fuerza conservativa
b) Si el choque es elástico, ambos cuerpos después de la colisión salen con diferente velocidad
)1(00 BBAABBAA vmvmvmvm +=+
)2()( 00 BA
BA
vv
vve
−
−−=
( )BABA vvevv 00 −−= 0=+ EcEp
0)()(. 2
212
0
2
21 =−+−+− BBB vmxxkgxm
02151,1102401,9810000 2 =−− NmNxxmN
mx 11,0=
El platillo B desciende por acción de su peso que es una fuerza conservativa
El coeficiente de restitución es igual a 1
De (2)
Colocando esta última expresión en (1)
( ) )'1(0000 BBBABABBAA vmvvevmvmvm +−−=+
( ) )'1(00 BBABAAA vmvevmvm +−=
BA
AAB
mm
evmv
+
+=
)1(0sms
m
Bkgkg
kgv 39,9
1030
)11(26,630=
+
+=
PROBLEMA No12
Un bloque B de 1 kg se mueve con una velocidad v0 de magnitud v0=
2 m/s cuando golpea una esfera A de 0,5 kg, la cual está en reposo y
cuelga de una cuerda amarrada en O. Si se sabe que µk= 0.6 entre el
bloque y la superficie horizontal y que e= 0.8 entre el bloque y la
esfera, determine después del impacto, a) la altura máxima h
alcanzada por la esfera, b) la distancia x recorrida por el bloque
•El bloque B colisiona a la esfera A inicialmente en reposo. En el momento del choque se considera al
sistema de los dos cuerpos, recordando que durante la colisión las fuerzas exteriores que actúan
sobre el sistema de cuerpos resultan despreciables frente a las fuerzas impulsivas internas, por tanto
se puede plantear la conservación de momento lineal del sistema
ABF
BAF
T
gmA
BN
gmB
ctePF sisext ==
0
BBAABBAA vmvmvmvm +=+ 00
X(+)AB
BA
BA
BA
vv
vv
vv
vve
0000 −
−=
−
−−=
)( 00 ABBA vvevv −+=
BBABBABBAA vmvvevmvmvm +−+=+ )( 0000
)()( 0000 ABABBABBAA vvemvmmvmvm −++=+
Para la esfera
0=+ EcEpg
0)( 22
21 =−+ AfAA vvmghm
mhg
vh
s
m
sm
A 294,08,9.2
)4,2(
2 2
22
===
Para el bloque
EcEpgW fr +=
)(. 22
21
BfBB vvmxgm −=−
g
vx B
.2
)(.
2
−
−=
mx
s
m
sm
054,08,9.6,0.2
)8,0(.
2
2
=−
=
BBABABAA vmmvemmevm )()()1( 00 +=−++𝑣𝐵 =
(𝑚𝐵 − 𝑒𝑚𝐴)𝑣0𝐵𝑚𝐴 +𝑚𝐵
sms
m
Bkgkg
kgkgv 8,0
15,0
2)5,0.8,01(=
+
−=
sm
sm
sm
Av 4,2)02(8,08,0 =−+=
El centro de masa es el punto en que puede considerarse concentrada toda la masa de
un objeto o sistema, únicamente en lo que se refiere a movimiento lineal o de traslación.
CENTRO DE MASA
1r
nr
4r
2r
3r
x
y
n
nCM
mmmm
rmrmrmrmr
++++
++++=
...
...
321
1332211
n
nnCM
mmmm
xmxmxmxmx
++++
++++=
...
...
321
332211
n
nnCM
mmmm
ymymymymy
++++
++++=
...
...
321
332211
++++
++++==
n
nCMCM
mmmm
rmrmrmrm
dt
d
dt
rdv
...
...
321
1332211
( )nCMn vmvmvmvmvmmmm
1332211321 ...... ++++=++++
nCM vmvmvmvmvM
1332211 ...++++=
El momento lineal total de un sistema es igual a su masa total M multiplicada por la velocidad de sucentro de masa. El centro de masa de un sistema se mueve como si toda la masa M estuvieraconcentrada en ese punto.
n
nCM
mmmm
vmvmvmvmv
++++
++++=
...
...
321
1332211
CMvMP
=
++++
++++==
n
nnCMCM
mmmm
vmvmvmvm
dt
d
dt
vda
...
...
321
332211
n
nnCM
mmmm
amamamama
++++
++++=
...
...
321
332211
nnCM amamamamaM
++++= ...332211
dt
vdM
dt
PdF CM
ext
==
CMext aMF
=
•Si la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema es cero, la velocidad del centro de masa es constante.• Si la fuerza externa neta no es cero, el centro de masa se acelera como si fuera una partícula de masa M sobre la que actúa la misma fuerza externa neta.
Cuando fuerzas externas actúan sobre un cuerpo o un conjunto de partículas,el centro de masa se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto ysobre ella actuara una fuerza neta igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobreel sistema.
Centro de masa: El vector de posición del centro de masa de un sistema departículas, es un promedio ponderado de las posiciones de las partículas.
Un niño de 40kg está parado en un extremo de un bote de 70kg que mide 4,00m de largo. El
bote está inicialmente a 3m del muelle. El niño observa una tortuga sobre una roca en el otro
extremo del bote y comienza a caminar hacia dicho extremo para atrapar a la tortuga. Ignorar
la fricción entre el bote y el agua. a) Describir el movimiento subsecuente del sistema (niño +
bote). b) ¿Atrapará el niño a la tortuga? (Suponer que el niño puede alcanzar una distancia de
1,00m fuera del bote desde el extremo de éste).
( ) cterVmm CMCMbn ==+
0 = 0
extF
BIBLIOGRAFÍA
Física - Robert Resnick y David Halliday - Parte I. Ed. Cecsa
Física - Robert Resnick; David Halliday y Kenneth S. Krane - Parte I Ed.
Continental.
Física Universitaria - Francis Sears, Mark Zemansky, Hugh Young y Roger
Freedmann -Volumen I. Ed. Adisson-Wesley
Física - Paul A. Tipler. Volumen I. Ed. Reverté
Física- Raymond A. Serway y Jhon W. Jewett Jr. Vol.I. Ed. Thomson.
Física – Wilson, Buffa, Lou. Ed Pearson