Notación de sumatoria 3.1 Escriba los términos explícitos de cada una de las siguientes sumas indicadas:

a) ¿ A } c) ¿ > e) ÍT(Xj-a) j=\ ./=i j=\

b) ¿ ( F y - 3 ) 2 d) ¿ / ^

7 = 1 k=\

SOLUCIÓN a) X , + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6

« (K, - 3) 2 + (K, - 3) 2 + (K3 - 3) 2 + ( l i - 3) 2

c) a + a + a + - - + a = /Va

<0 /•*. + / A +/3X3 +/4X 4 + / 5 X 5

e) (X, - a) + (X 2 - a) + (X 3 - a) = X, + X 2 + X 3 - 3a

3 .2 Exprese en notación de sumatoria cada uno de los siguientes términos:

a) X\ + X\ + XI. + • • • + X2

W

b) ( x 1 + y 1 ) + ( x 2 + y 2 ) + - - - + ( x 8 + y 8 )

c) fxX\ +f2X¡ + ••• +f20X¡0

d) aíbl + a202 + a 3» 3 + • • • + aNbN

e) / , x 1 y 1 + / 2 x 2 y 2 + / 3 x 3 y 3 + / 4 x 4 y 4

SOLUCIÓN

10 20 4

¡ = \ 1=1 7 = 1

b) ¿ ( A } + ry) d) f > , ¿ , 7 = 1

3 .3 Pruebe que Z £ , ( o X , + 0^ - cZ,) = aZjy X ; + F) - cX", Z;, donde a, ¿ y e son cualesquiera constantes.

SOLUCIÓN N

] T (aXj +bYj - cZ y) = (aX, + bYt - eZ,) + (aX 2 + ¿ > r 2 - cZ 2 ) + • • • + (oXA, + bYN - cZN)

= (aX, + aX2 + • • • + aXN) + ( ¿y , + bY2 4- • • • + bYN) - (cZ, + cZ2 + • • • + cZs,

= a(x, + x 2 + • • • + xN) + b{ y, + y 2 + • • • + y ; V ) - c(z, + z 2 + • • • + zN) •N N N

=°¿2xJ+b¿2Y>-c¿2zi 7 = 1 7 = 1 i=\

o, más breve, X(aX + ¿ y - cZ) = « X x + bZY-cZz.

3 .4 Dos variables, Xy Y, toman los valores X, -2,X2- - 5 , X1 = 4,XA= -Y2 - - 8, F 3 = 10, Y4 - 6, respectivamente. Calcule a) X * . b)'_Y. _ 11 . _ e) XY2,/) (Zxy&Y), g) XXY2

y h) X ( X + Y)(x- Y).

SOLUCIÓN

Obsérvese que en cada caso el subíndice j de X y Y ha sido omitido y que X es entendida como X)=i- Así, por ejemplo, XX es la abreviatura de XjLi X,.

a) X x = (2) + ( - 5 ) + (4) + ( - 8 ) = 2 - 5 + 4 - 8 = - 7

¿>) X 3 / = ( - 3 ) + ( - 8 ) + (10) + (6) = - 3 - 8 + 1 0 + 6 = 5

c) Xxy = (2) ( -3) + ( - 5 ) ( - 8 ) + (4)(10).+ .(-8)(6) = - 6 + 40 + 40 - 4 8 = 26

d) XX 2 = (2) 2 + ( - 5 ) 2 + (4) 2 + ( - 8 ) 2 = 4 + 25 + 16 + 64 = 109

e) X ^ = ( - 3 ) 2 + ( - 8 ) 2 + (10) 2 + (6) 2 = 9 + 64 + 100 + 36 = 209

f) (XX)(X Y) = ( -7)(5) = - 35, utilizando los incisos d)yb). Véase que (£X) (X Y) * XXK

g) Xxy 2 = (2 ) ( -3 ) 2 + ( - 5 ) ( - 8 ) 2 + (4)(10)2 + ( -8) (6) 2 = -190

h) X ( X + Y)(X - Y) = X ( X 2 - y2) = XX 2 - X y2 = 109 - 209 = -100, usando los incisos d)ye).

3 .5 Si X % , X,. = - 4 y £ « . , X 2 = 10, calcule a) £ jL i (2X, + 3), o) W - 1) y

c) X 5 = 1 ( X y - 5 ) 2 .

SOLUCIÓN

a) ¿ ( 2 X y + 3) = ¿ 2X¡ + ¿ 3 = 2 ¿ X,. + (6)(3) = 2 ( -4 ) + 18 = 10 7 = 1 7 = 1 7 = 1 ;=1

*) - !) = £ W / - = £ * ? - £ * ; = 10 - ( - 4 ) = 14 >=\ i=\ f \ j=\

6 6 6 6

C) £(*} - 5 ) 2 = £(*/ - IOXJ+25) = £ X J - 1 0 £ +25(6) = 1 0 - 10(-4)+25(6) = 2 0 0

7 = 1 7 = 1 y = l 7 = 1

Si así se desea, se puede omitir el subíndice j y utilizar X en lugar de X;=i, siempre y cuando se comprendan bien estas abreviaturas.

La media aritmética 3 .6 Las calificaciones de un estudiante en seis exámenes fueron: 84, 9 1 , 72, 68, 87 y

78. Encuentre la media ari tmética.

SOLUCIÓN

- ¿2* 84 + 91 + 7 2 + 68 + 87 + 78 480 o n

x - i r - 6 = - 6 " = 8 °

Con frecuencia el término promedio se utiliza como sinónimo de media aritméaca. Sin embargo, estrictamente hablando, esto es incorrecto, dado que existen otros p w f dios además de la media aritmética.

3 . 7 Un científico registró diez mediciones del d iámetro de un cilindro: 3.88. 4 J R . 3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 4.03, 3.92, 3.98 y 4.06 cent ímetros [cm). D I I I I M T m media ari tmética.

CAPÍTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

SOLUCION é

- yx 3.88 + 4.09 + 3.92 + 3.97 + 4.02 + 3.95 + 4.03 + 3.92 + 3.98 + 4.06 39.82 „ „„ X = ^ = : IÖ = _ = 3 . 9 8 c m

3 . 8 E l siguiente resultado con Mini tab muestra el tiempo por semana que pasaron en línea 30 usuarios de Internet, y también la media de los 30 tiempos. ¿Diría usted que este promedio es típico de los 30 tiempos?

MTB > p r i n t e l

Data Display

t ime 3 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 9 10 10 10 10 10 10 12 55 60

MTB > mean e l

Column Mean

Mean of t ime = 10.400

SOLUCION

La media de 10.4 horas no es típica o representativa de los tiempos. Obsérvese que 21 de los 30 tiempos son de un solo dígito, pero la media es de 10.4 horas. Una gran desventaja de la media es que se ve fuertemente afectada por valores extremos.

3 . 9 Encuentre la media ari tmética de los números 5, 3,6, 5,4, 5, 2, 8 , 6 , 5 ,4 ,8 , 3 ,4 ,5 , 4, 8,2, 5 y 4.

SOLUCIÓN

Primer método

i , _ E X _ 5 + 3 + 6 + 5 + 4 + 5 + 2 + 8 + 6 + 5 + 4 + 8 + 3 + 4 + 5 + 4 + 8 + 2 + 5 + 4 96 a q

~ ~ Ñ ~ ~ 20 _ 2 0 " 4 8

Segundo método

Hay seis 5, dos 3, dos 6, cinco 4, dos 2 y tres 8. Por lo tanto,

v _ = \ZfX = (6)(S) + (2)(3) + (2)(6) + (5)(4) + (2)(2) + (3)(8) ^ 96 \Zf N 6 + 2 + 2 + 5 + 2 + 3 2 0 '

3 .10 De un total de 100 números , 20 eran cuatros, 40 eran cincos, 30 eran seises, y los restantes eran sietes. Obtenga la media ar i tmética de los números .

SOLUCIÓN

'S

"£/ N 100 ~ 100 y Y.PC _ Y.fX = (20)(4) + (40)(5) + (30)(6) + (10)(7) _ 530 _ ^

3.11 Las calificaciones finales de un estudiante en matemát icas , física, inglés e higiene son, en ese orden, 82, 86, 90 y 70. Si los créditos respectivos recibidos por estos cursos son 3, 5, 3 y 1, determine un promedio de calificaciones apropiado.

Problemas! i I É • 67

SOLUCION

Se utiliza una media aritmética ponderada, con pesos asociados a< derada, como el número de créditos recibidos. Así, pues,

- ••' ZwX _ (3)(82) + (5)(86) + (3)(90) + (l)(70) _ 5 > 3 + 5 + 3 + 1

3.12 Una empresa tiene 80empleados, 60 ganan $10.00 por hora y 20, $13.00 por h a n .

a) Determine la ganancia media por hora.

b) ¿Sería igual la respuesta en a) si los 60 empleados tuvieron un salario medio de $10.00 por hora? Compruebe su respuesta.

c) ¿Cons idera que el salario medio por hora es representativo?

SOLUCIÓN a ) y. _ E / y _ ( 6 0 ) ( $ 1 0 - 0 0 ) + (20)($13.00)

~Ñ~ 6 0 T 2 0 - $ 1 ° - 7 5

b) Sí, el resultado es el mismo. Para probarlo, supóngase que/] números tienen media mx

y que/ 2 números tienen media m 2 . Debe probar que la media de todos los números es

- = / i W i +f2m2

h +h Considere que la suma de l o s / números sea M, y la suma de los/ 2 números sea

A/ 2. Entonces, de acuerdo con la definición de la media aritmética, el resultado es:

M i M , w, = — y m1 = —

h Ji o Mi = /¡mi y M2 = / 2 m 2 . Siendo que los (/i + / 2 ) números se suman (M, + M 2 ) , la media aritmética de todos los números es

fy +Í2 ' h +fi

como se pidió. El resultado se generaliza fácilmente.

c) Se puede decir que $10.75 es un salario por hora "representativo", en el sentido de que la mayoría de los empleados ganan $10.00, que no se aleja mucho de $10.75 por hora. Es necesario recordar que siempre que se resumen datos numéricos en un solo número (como sucede en un promedio), es posible que se cometa algún error. Sin embargo, el resultado no es tan engañoso como el del problema 3.8.

En realidad, para asegurarse, se deben dar ciertos estimados de la "dispersión" o "variación" de los datos respecto de la media (u otro promedio). Esto se conoce como dispersión de los datos. En el capítulo 4 se presentan diversas medidas de dispersión.

3.13 Cuatro grupos de estudiantes, consistentes de 15, 20; 10 y 18 individuos, reporta­ron pesos medios de 162, 148, 153 y 140 libras (Ib), respectivamente. Encuentre el peso medio de todos los estudiantes.

SOLUCIÓN

,Y_ ^ X _ (15X162) + (20X148) + (10)(153) + (18X140) _ 1 5 ( H b

Yj 15 + 2 0 + 1 0 + 1 8

3.14 Si los ingresos medios anuales de trabajadores agrícolas y no agrícolas son de $25 000 y $35 000, respectivamente. ¿El ingreso medio anual de ambos grupos sería de $30 000?

CAPÍTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

SOLUCIÓN

Sería de $30 000 sólo si el número de trabajadores agrícolas y no agrícolas fuera el mismo. Para determinar la media verdadera del ingreso anual, se tendría que conocer el número relativo de trabajadores en cada grupo. Suponga que 10% de todos los trabaja­dores son agrícolas, entonces la media seria (0.10)(25 000) + (0.90)(35 000) = $34 000. Si hubiera el mismo número de ambos tipos de trabajadores, entonces la media sería (0.50)(25 000) + (0.50X35 000) = $30 000.

3.15 Uti l ice la distribución de frecuencias de estaturas de la tabla 3-1 para encontrar la estatura media de los 100 estudiantes hombres de la universidad X Y Z .

SOLUCIÓN

En la tabla 3-1 se indica la forma de resolverlo. Obsérvese que todos los estudiantes con estaturas de 60 a 62 pulgadas (pulg), de 63 a 65 pulgadas, etcétera, se consideran con esta­turas de 61 pulgadas, 64 pulgadas, etcétera. Entonces, el problema se reduce a encontrar la estatura media de 100 estudiantes donde 5 miden 61 pulgadas, 18 miden 64, etcétera.

Los cálculos necesarios suelen resultar tediosos, especialmente en casos en que los números son grandes y en los que existen muchas clases. Hay técnicas breves que reducen el trabajo en tales situaciones; por ejemplo, véanse los problemas 3.20 y 3.22.

Tabla 3-1

Estatura (pulg) Marca de clase (X) Frecuencia (/) fx

60-62 61 5 305

63-65 64 18 1 152

66-68 67 42 2 814

69-71 70 27 1 890

72-74 73 8 584

/ V = X / = 100 / v - = X / = 6 745

„ IfX IfX 6 745 X = — - = = = 67.45 pulg

Tf N 100

Propiedades de la media aritmética 3.16 Pruebe que la suma de las desviaciones de X¡, X2,..., XN, respecto de su media, es

igual a cero.

SOLUCIÓN

Sean d¡ = X\ -X, d2 = X2-X,..., dN = XN-Xlas desviaciones d e X b X2,...,XN, a partir de su media X. Entonces

Suma de las desviaciones = £ d ¡ = X(Xj-X) = Yji¡ - NX

donde se ha usado X en lugar de ¿J¡.\- Se hubiera podido omitir el subíndice j en X¡, dado que queda X¡ sobreentendido.

3.17 S i ^ + YVZ2 = X2 + Y2,...,ZN = XN+ YN, pruebe que Z = X + Y.

SOLUCION

Por definición,

£* N

Y = £ Y N

Z = £ z

N

Problemas resueltos • 69

Luego: = £ Z = E ( X + Y) = ¿Z X - ^ Y £

N N N S v "

donde los subíndices j de X, Y y Z se han omitido y donde _

3.18 a) Si N números XUX2,...,XN tienen desviaciones respecto de a n h p B t r i A, dadas por d¡ = X, -A,d2 = X2—A,...,dN=XN—A, rr [ r i r i i n i m \mmbí

N

X - ^ + ^ = ¿ + ^

o) En caso de que X, , X 2 ) . . . , Xj¡- tengan, en ese orden, las frecuencias/ j , / 2 , . . . , / , . y d¡ = X¡ - A,..., d K - X k - A, demuestre que el resultado del inciso á) es sustituido por

X = ^ + ^ i = ^ + ^ donde £ ¿ = E / = i V

7=1

SOLUCION

a) Primer método

Dado que d¡ = X¡- Ay X¡ = A + d¡, por ello,

Y = E ^ J = lZ(A+dj) = ZA + Edj _NA + Zdj = E4 N N N N N

donde se utiliza X en lugar de X%¡ por brevedad.

Segundo método

Se tiene d = X- AoX = A+d, omitiendo los subíndices en d y X. Así, por el problema 3.17,

X = A+d = A + ^ N

dado que la media de varias constantes todas iguales a A es A. K

. ^ = U_ = E fM = Efj(A + dj) E Afj+ E fj dj _AZfj + Z fjdj b) K N N N /Y

7=1

- /V _ / Í + TV + N

Obsérvese que formalmente el resultado se obtiene del inciso a) sustituyendo d¡ por f¡d¡, y sumando desde j = 1 hasta K, en lugar de hacerlo desde j = 1 hasta N. El resultado es equivalente a X = A + d, donde 2 = (Zjd)IN.

Cálculo de la media aritmética para datos agrupados

3.19 Uti l ice el mé todo del problema 3.18a) para encontrar la media ari tmética de los números 5, 8, 11, 9, 12, 6, 14 y 10, eligiendo como la "media supuesta" A k » valores á) 9 y b) 20.

70 CAPÍTULO 3 Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

SOLUCIÓN

a) Las desviaciones de los números dados respecto de 9 son —4, - 1 , 2, 0, 3, —3, 5 y 1. La suma de las desviaciones es X d = - 4 - 1 + 2 + 0 + 3 - 3 + 5 + 1 = 3. Por lo tanto.

x = A + h r = 9 + o = 9.375 N 8 b) Las desviaciones de los números dados respecto de 20 son —15, —12, —9, —11, —8,

-14 , - 6 y - 1 0 , lo mismo que X ¿ = _ 8 5 . Por lo tanto,

X = A + ^ = 20 + = 9.375 TV 8

3 . 2 0 Uti l ice el m é t o d o del problema 3.18b) para encontrar la media ari tmética de las es­taturas de 100 estudiantes hombres de la universidad X Y Z (véase el problema 3.15).

SOLUCION

El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 3-2. Aquí se consideró la marca de clase 67 (con la mayor frecuencia) como la media supuesta A, aunque es posible utilizar cualquier marca de clase para A. Obsérvese que los cálculos son más sencillos que los del problema 3.15. Para abreviar el trabajo aún más, se procederá como en el problema 3.22, donde se usa el hecho de que todas las desviaciones (columna 2 de tabla 3-2) son múltiplos enteros del tamaño del intervalo de clase.

Tabla 3 - 2

Marca de clase (X) Desviación d = X - A Frecuencia (/) fd

61 - 6 5 - 3 0

64 - 3 18 - 5 4

A—.67 0 42 0 70 3 27 81 73 6 8 48

N = Zf= 100 T,fd = 45

* = ^ + ^ = 67 + - 4 A = 67.45 pulg

3.21 Sea que d¡ -X¡-A represente las desviaciones de cualquier marca de clase X¡, en una distribución de frecuencias respecto de una marca de clase dada A. Pruebe que si todos los intervalos de clase son del mismo t amaño c, entonces a) todas las desviaciones son múlt iplos de c (es decir, d¡ = cup donde u¡ - 0, ± 1 , ±2,...) y b) la media ar i tmética puede calcularse a partir de la fórmula

A + Ufi* N

SOLUCIÓN

a) El resultado se ilustra en la tabla 3-2 del problema 3.20, donde se observa que todas las desviaciones en la columna 2 son múltiplos del tamaño del intervalo de clase c = 3 pulg.

Para ver que el resultado es verdadero casi siempre, nótese que si X¡, X2, X 3 > . . . son marcas de clase sucesivas, su diferencia común será, para este caso, igual a c, de manera que X2 = X¡ + c, X} = X¡ + 2c y, en general, X¡ = X¡ + (j - 1 )c. Entonces, cualquier par de marcas de clase, por ejemplo, Xp y Xq, diferirán en

Xp-Xq=[X, + (p-l)c]-[X, + (<7- l)c] = (p-q)c,

que es un múltiplo de c.

Problemas resucitas •

b) Por el inciso a), las desviaciones de todas las marcas de ci a ellas, son múltiplos de c (es decir, d¡ = cu¡). Entonces, utilizando el problema 3.1 S¿

N N N \ N )

Nótese que esto es equivalente al resultado X = A + cü, que es posible obtener a partir deX=A +3, colocando d=cu y observando qued=c¡¡ (véaseel problema

3.22 Uti l ice el resultado del problema 3.21¿>) para encontrar la estatura media de 100 estudiantes hombres de la universidad X Y Z (véase el problema 3.20).

SOLUCIÓN

El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 3-3. El método se denomina método de compilación y debe utilizarse siempre que sea posible.

Tabla 3-3

A

X u / fu

61 - 2 5 - 1 0 64 - 1 18 -18

-» 67 0 42 0 70 1 27 27 73 2 8 16

N= 100 £ / " = 15

3.23 Calcule el salario semanal medio de los 65 empleados de la empresa P&R, a partir de la distribución de frecuencias de la tabla 2-5, usando a) el mé todo largo y b) el mé todo de codificación.

SOLUCIÓN

Las tablas 3-4 y 3-5 contienen las soluciones para a) y b), respectivamente.

Tabla 3-4 Tabla 3-5

X / fx X u / fu

$255.00 8 $2 040.00 $255.00 - 2 8 -16

265.00 10 2 650.00 265.00 - 1 10 -10

275.00 16 4 400.00 A - —• 275.00 0 16 0

285.00 14 3 990.00 285.00 1 14 14

295.00 10 2 950.00 295.00 2 10 20

305.00 5 1 525.00 305.00 3 5 15

315.00 2 630.00 315.00 4 2 8

N = 65 ¿ZfX = $lS 185.00 Ar = 65 II

CAPÍTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

Puede suponerse que se han introducido errores en estas tablas, dado que las marcas de clase en realidad son $254.995, $264.995, etcétera, en lugar de $255.00, $265.00... Si se utilizan las marcas de clase verdaderas en la tabla 3-4, entonces la marca de clase resulta ser $279.76 en vez de $279.77, cuya diferencia es insignificante.

x=XfX = $ 1 8 1 8 5 0 0

= $ 2 7 9 7 7 $ = A + c = $275.00 + H ($10.00) = $279.77 N 65 V N ) 6 5

3.24 Utilizando la tabla 2-9d), encuentre el salario medio de los 70 empleados de la empresa P&R.

SOLUCIÓN

En este caso, los intervalos de clase no son del mismo tamaño, por lo que habrá que utilizar el método largo, como se indica en la tabla 3-6.

Tabla 3-6

X / fx

$255.00 8 $2 040.00

265.00 10 2 650.00

275.00 16 4 400.00

285.00 15 4 275.00

295.00 10 2 950.00

310.00 8 2 480.00

350.00 3 1 050.00

N = 70 \ZP< $19 845.00

_ YfX $19 845.00 „,„„„ „„ X = =!— = = $283.50

N 70

La mediana

3.25 E l siguiente resultado de Mini tab muestra el tiempo que 30 usuarios de Internet pasaron realizando búsquedas en línea, así como la mediana de los 30 tiempos. Verifique la mediana. ¿Cons idera que este promedio es representativo de los 30 tiempos? Compare sus resultados con los del problema 3.8.

MTB > p r i n t e l

DataDisplay

t i m e 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 9 10 10 10 10

MTB > m e d i a n e l

Column Median

M e d i a n o f t i m e = 7 . 0 0 0 0

SOLUCIÓN

Obsérvese que los dos valores intermedios son 7 y que la media de los dos valores inter­medios es 7. En el problema 3.8 la media fue de 10.4 horas. La mediana es más represen­tativa de los tiempos que la media.

5 5 5 5 6 7 7 7 8 8

10 10 12 55 60

Problemas resueltos • 7 3

3.26 Se registró el número de transacciones de A T M por día en 15 lagares de una gran ciudad. Los datos fueron: 35, 49, 225, 50, 30, 65, 40, 55. 52 " - - - - 25. 47, 32 y 60. Encuentre a) la mediana de las transacciones y b) la media de las transacciones.

SOLUCIÓN

a) Los datos ordenados son: 30, 32, 35,40,47,48,49, 50,52, 55, 60.65. ~e 225 j 325 Debido a que el número de datos es impar, sólo existe un valor intermedio. 50. qoe es la mediana.

b) La suma de los 15 valores es 1 189. La media es 1 189/15 = 79.267'. Obsérvese que la mediana no se ve afectada por los dos valores extremos 225 •

325, mientras que la media sí. En este caso, la mediana es un mejor indicador del promedio del número de transacciones diarias de ATM.

3.27 Si a.) 85 y b) 150 números se ordenan, ¿ c ó m o calcularía la mediana de dichos números?

SOLUCIÓN

á) Dado que son 85 datos, que es un número impar, sólo existe un valor intermedio con 42 números por debajo y 42 por encima. Por lo tanto, la mediana es el número 43.

b) Puesto que son 150 datos, un número par, hay dos valores intermedios con 74 núme­ros por debajo y 75 por encima de ellos. Los dos valores intermedios son los números 75o. y 76o., y su media aritmética es la mediana.

3.28 A partir del problema 2.8, encuentre la mediana de los pesos de los 40 estudiantes de la universidad estatal; utilizando á) la distr ibución de frecuencias de la tabla 2-7 (reproducida aquí como tabla 3-7), y b) los datos originales.

SOLUCIÓN r

a) Primer método (por interpolación)

Se supone que los pesos en la distribución de frecuencias de la tabla 3-7 se distribu­yen de manera continua. En tal caso, la mediana es aquel peso que deja por encima a la mitad de la frecuencia total (40/2 = 20) y por debajo a la otra mitad.

Tabla 3-7

Peso (Ib) Frecuencia

118-126 3 127-135 5 136-144 9

145-153 12

154-162 5 163-171 4

172-180 2

Total 40

La suma de las primeras tres frecuencias de clase es 3 + 5 + 9 = 17. Por lo tanto, para llegar al valor deseado, 20, se requieren tres más de los 12 casos de la cuarta clase. Dado que el cuarto intervalo de clase, 145-153, en realidad corresponde i ios pesos de 144.5 a 153.5, la mediana debe estar a 3/12 de distancia entre 144.5 y 155-5. es decir, la mediana es

3 3 144.5+ — (153.5 - 144.5) = 144.5+ — (9) = 146.81b

7 4 ZAPÍTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

Segundo método (utilizando la fórmula)

Debido a que la suma de las primeras tres y las primeras cuatro frecuencias de clase son 3 + 5 + 9 = 1 7 y 3 + 5 + 9 + 12 = 29, respectivamente, queda claro que la mediana se encuentra en la cuarta clase, la cual es, por lo tanto, la clase de la mediana. Entonces:

L, = frontera inferior de la clase de la mediana = 144.5

N = número de datos = 40

( X / ) i = suma de todas las clases inferiores a la clase de la mediana = 3 + 5 + 9 = 1 7

/mediana = frecuencia de la clase de la mediana = 12

c = tamaño del intervalo de clase de la mediana = 9

por lo tanto,

Mediana = L t +

W 2 - ( E / ) A c = 1 4 4 , 5 / 4 0 / 2 : 1 7 \ (9) = 146.8 Ib

\ /mediana / \ * í J b) Los pesos originales ordenados son

119, 125, 126, 128, 132, 135, 135, 135, 136, 138, 138, 140, 140, 142, 142, 144, 144, 145, 145, 146, 146, 147, 147, 148, 149, 150, 150, 152, 153, 154, 156, 157, 158, 161, 163, 164, 165, 168, 173, 176 La mediana es la media aritmética de los pesos 20 y 21, en ese orden, y es igual a 146 Ib. 3.29 Muestre c ó m o se puede obtener la mediana del peso en el problema 3.28, a partir

de á) un histograma y b) una ojiva de porcentajes.

FIGURA 3-3

SOLUCION

a) La figura 3-3a) es el histograma correspondiente a los pesos del problema 3.28. La mediana es la abscisa correspondiente a la línea LM, que divide el histograma en dos áreas iguales. Ya que en un histograma el área corresponde a la frecuencia, el área a la derecha y a la izquierda de L M representan, cada una, la mitad de la frecuencia total o 20. Así, las áreas AMLD y MBEL tienen que ver con las frecuencias de 3 y 9. Entonces A M = t¡AB = ís(9) = 2.25, en tanto que la mediana es 144.5 + 2.25 = 146.75 o 146.8 Ib, redondeando a la décima de libra. El valor también puede leerse de mane­ra aproximada en la gráfica.

15-

• 10-

5-

Mediana

B T - i 1 r

122 131 140 149 158 167 176 Peso (libras)

a)

¿ 1 0 0 — 1

ra T3 ra a 80-E 3 o ra 60—

£ 4 0 -

o c 0) 3 O u

20-

T

^ 5 0 %

PJ

R¿. / P

s

i .Mediana

i i i i i r 117.5 126.5 135.5 144.5 153.5 162.5 171.5 180.5

Peso (libras)

b)

Problemas resueltos •

b) La figura 3-3fc) forma el polígono de frecuencias relativas acumuladas porcentajes) correspondiente a los pesos del problema 3.28. La mediana es la a h f ñ r del punto P en esta ojiva, cuya ordenada es 50%. Para calcular su valor, véase de los triángulos semejantes PQR y RST que

RQ PQ RQ 50% - 42.5% 1 , 9 RS = Sf ° T = 72.5% -42 .5% = 4 3 5 1 ^ *<? = 4 = 2 2 5

Por lo tanto: Mediana = 144.5 + RQ = 144.5 + 2.25 = 146.75 Ib

o 146.8 Ib, redondeando a la décima de libra. Este valor también puede leerse, de manera aproximada, directamente en la gráfica.

3.30 Encuentre la mediana del sueldo de los 65 empleados de la empresa P & R (véase el problema 2.3).

SOLUCIÓN

Aquí N = 65 y Nfl = 32.5. Dado que la suma de las primeras dos y de las primeras tres frecuencias de clase son 8 + 10 = 18 y 8 + 10 + 16 = 34, respectivamente, la clase de la mediana es la tercera clase. Utilizando la fórmula:

Mediana = L , + ( N ^ ~ ^ ^ M c = $269.995 + ( ^ y g - ^ ) ($10.00) = $279.06 \ ./mediana / r - . „ •

La moda

3.31 Encuentre media, mediana y moda de los conjuntos a) 3,5, 2 , 6 , 5 , 9 , 5 , 2 , 8, 6 y b) 51.6, 48.7, 50.3,49.5,48.9.

SOLUCIÓN

a) Los números ordenados son 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8 y 9.

Media = rs(2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 8 + 9) = 5.1

Mediana = media aritmética de los dos números centrales =£(5 + 5) = 5

Moda = número que aparece con mayor frecuencia = 5

b) Los números ordenados son 48.7, 48.9, 49.5, 50.3 y 51.6.

Media = K48.7 + 48.9 + 49.5 + 50.3 + 51.6) = 49.8

Mediana = número central = 49.5

Moda = número más frecuente (aquí no existe)

3.32 Desarrolle una fórmula para determinar la moda de datos presentados en una dis­tr ibución de frecuencias.

SOLUCIÓN

Suponga que la figura 3-4 representa tres rectángulos del histograma de la distribución de frecuencias, donde el rectángulo central corresponde a la clase modal. Considérese tam­bién que los intervalos de clase son del mismo tamaño.

Defina la moda como la abscisa del punto de intersección P de las líneas QS > RT construidas.

Sean X = L , y X = U¡ las fronteras inferior y superior de la clase modal, así como A y A 2 las diferencias de la frecuencia de clase modal con las frecuencias de clase, a b derecha y a la izquierda de la clase modal.

A partir de triángulos PQR y PST semejantes, el resultado es:

EP__PF_ *LzA± = k ' i ~ x

RQ~ST ° A , _ A :

- - = / T L / l O 3 • Medio, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

FIGURA 3-4 R

o

: y /

Î F

\

Moda = X'

Entonces A 2 ( X - L , ) = A,(Í7 1 -X) A 2 X - A 2 L , = A,(7 , -A,X (A, + A 2 )X= A, t/, + A 2 L,

- A ^ i + A 2 ¿ , O X = I 7

A , + A 2

Debido a que U¡= L¡+c, donde c es el tamaño del intervalo de clase, esto se convierte en

^ _ A i ( ¿ i + c ) + A 2 ¿ ! _ (A, + A 2 ) ¿ , + A | C | / A , A ! + A 2 A , + A 2 V^i + A

El resultado tiene la siguiente interesante interpretación: Si se traza una parábola que pase por los tres puntos medios de los techos de los rectángulos de la figura 3-4, la abscisa del máximo de esta parábola será igual a la moda que se obtuvo antes.

3.33 Calcule el salario modal de los 65 empleados de la empresa P & R (véase el proble­ma 3.23) utilizando la fórmula desarrollada en el problema 3.32.

SOLUCIÓN

Aquí L, = $269.995, A , = 1 6 - 10 = 6, A 2 = 16-14= 2, y c = $10.00. Por tanto:

Moda = Li + ( A ) c = $269.995 + (j^lj($10-00) = $277.50

Relación empírica entre media, mediana y moda 3.34 a) Use la fórmula empír ica media - moda = 3(media - mediana) para calcular el

salario modal de los 65 empleados de la empresa P&R.

b) Compare su resultado con la moda obtenida en el problema 3.33.

SOLUCIÓN

a) En los problemas 3.23 y 3.30 se obtuvo una media = $279.77 y una mediana = $279.06. Por ello,

Moda = media - 3(media - mediana) = $279.77 - 3($279.77 - $279.06) = $277.64

b) En el problema 3.33 se obtuvo un salario modal de $277.50, por lo tanto, hay una buena concordancia con el resultado empírico en este caso.

La media geométrica 3.35 Encuentre a) la media geométr ica y b) la media ari tmética de los números 3, 5, 6,

6, 7, 10 y 12. Suponga que los números son exactos.

Problemas resueltos •

SOLUCIÓN

a) Media geométrica = G = V(3)(5)(6)(6)(7)(10)(12) = V453 600. Usando i : ¡ mos comunes, log G =} log 453 600 = K5.6567) = 0.8081, entonces. G = 6 - . : re­dondeado a la centésima más cercana). Alternativamente puede utilizarse una calcu­ladora.

Otro método

log G = ?(log 3 + log 5 + log 6 + log 6 + log 7 + log 10 + log 12)

= K0.4771 +0.6990 + 0.7782 + 0.7782 + 0.8451 + 1.0000+ 1.0792)

= 0.8081

Entonces G = 6.43

b) Media aritmética = X = ^(3 + 5 + 6 + 6 + 7 + 1 0 + 1 2 ) = 7. Esto ilustra el hecho de que la media geométrica de un conjunto de números positivos distintos es menor que la media aritmética.

3.36 Los números X¡, X2,..., XKocurren con frecuencias/, , / , . . . , f K , d o n d e / + / 2 + • • • +fK = N es la frecuencia total.

a) Encuentre la media geométr ica G.

b) Obtenga una expresión para log G.

c) ¿De qué manera se pueden utilizar los resultados para encontrar la media geo­métr ica de los datos agrupados en una distr ibución de frecuencias?

SOLUCIÓN

a) G= \¡X,Xx---\ X2X2- • • X2 • • • XKXK- • • XK = Xf<Xf{ • • • Xf*

/ i veces /, veces fK veces

donde N = ^f. A esto se le denomina media geométrica ponderada.

b) logG = i log {X{'X£ •; 1 ( / , log A-, + f2 \ogX2 + ••• + fK \ogXK)

7=1

donde se considera que todos los números son positivos; de lo contrario, no estarían definidos los logaritmos.

Obsérvese que el logaritmo de la media geométrica de un conjunto de números positivos es la media aritmética de los logaritmos de dichos números.

c) El resultado puede usarse para calcular la media geométrica de datos agrupados, tomando X¡, X 2 , . . . , XK como marcas de clase y / i , / 2 , . . . , / f como las frecuencias de clase correspondientes.

3.37 Durante un año la proporción del precio de un cuarto de leche, respecto del precio de unarebanadade pan, fue de $3.00, mientras que durante el siguiente año fue de $2.00.

a) Calcule la media ar i tmética de estas dos proporciones en un periodo de dos años .

b) Determine la media ari tmética de las proporciones de los precios del pan j de la leche, en el periodo de dos años .

c) Discuta la conveniencia de usar la media ari tmética para promediar propor­ciones.

d) Analice qué tan adecuada es la media geomét r ica para promediar proporcio­nes.

SOLUCIÓN

a) Proporción media del precio de la leche con el del pan = í(3.00 + Z

CAPÍTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

b) Dado que la proporción del precio de la leche con respecto al del pan durante el primer año es de 3.00, la proporción del precio del pan en relación con el de la leche es de 1/3.00 = 0.333. De manera similar, la proporción del precio del pan en cuanto al de la leche en el segundo año es 1/2.00 = 0.500.

Por lo tanto,

Proporción media del precio del pan = 0.500) = 0.417 con respecto al de la leche

c) Se esperaría que la proporción del precio de la leche en cuanto al del pan fuese el recíproco de la proporción media del precio del pan sobre el de la leche, si la media es un promedio adecuado. Sin embargo, 1/0.417 = 2.40 * 2.50. Esto muestra que la media aritmética es un promedio inadecuado para las proporciones.

d) Media geométrica de la proporción d e l = „ V ó 0 Q

precio de la leche respecto al del pan

Media geométrica de la proporción del / /—- / . 7. . , V , . . = V(0.333)(0.500) = V0.0167= 1/V6.00 precio del pan en relación al de la leche

Como estos promedios son recíprocos, se concluye que la media geométrica es más adecuada que la media aritmética para promediar proporciones en este tipo de pro­blemas.

3.38 E l conteo de bacterias en cierto cultivo se incrementó de 1 000 a 4 000 en 3 días. ¿Cuál fue el promedio del porcentaje de incremento diario?

SOLUCIÓN

Ya que un incremento de 1 000 a 4 000 es de 300%, se podría pensar que el promedio del porcentaje de incremento diario es de 300%/3 = 100%. Sin embargo, esto implicaría que durante el primer día el conteo aumentó de 1 000 a 2 000, durante el segundo de 2 000 a 4 000 y en el tercero de 4 000 a 8 000, lo cual no es verdad.

Para determinarlo, se denotará al promedio del porcentaje de incremento como r. Entonces:

Conteo total de bacterias después de 1 día = 1 000 + 1 OOOr = 1 000(1 + f)

Conteo total de bacterias después de 2 días = 1 000(1 + r) + 1 000(1 + r)r = 1 000( 1 + rf

Conteo total de bacterias después de 3 días = 1 000( 1 + r)2 + 1 000( 1 + rfr = 1 000 (1 + rf

Esta última expresión debe ser igual a 4 000. Por ello, 1 000(1 + rf = 4 000, (1 + rf = 4, 1 + r = ^ 4 , y r = ^4 - 1 = 1.587 - 1 = 0.587, así que r = 58.7%.

En general, si se inicia con una cantidad P y se incrementa a una razón constante r por unidad de tiempo, después de n unidades de tiempo se tiene la cantidad

A = P{\ + rf Esta se denomina fórmula del interés compuesto (véanse los problemas 3.94 y 3.95).

La media armónica

3.39 Encuentre la media armónica H de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12.

SOLUCIÓN

! = J_ 1 _ i / ] 1 i 1 1 j _ J_ \ I /140 + 84 + 70 + 70 + 60 + 42 + 35 W ~ / V ^ A - " 7 V 3 + 5 + 6 + 6 + 7 + 1 0 + "Í2; ~ 7 V 420

501

2 940

2 940 H = =5.87

501

Problemas resueltos •

Es conveniente expresar las fracciones en forma decimal primero. Por lo tamo

— = i (0.3333 + 0.2000 + 0.1667 + 0.1667 + 0.1429 + 0.1000 + 0.0833 H

1.1929 7

y " = l Í 2 9 = 5 - 8 7

La comparación con el problema 3.35 ilustra el hecho de que la media armónica de varios números positivos diferentes es menor que su media geométrica, la cual es menor que su media aritmética.

3.40 Por 4 años consecutivos el propietario de una casa compró combustible para su calefacción a $0.80, $0.90, $1.05 y $1.25 por galón (gal). ¿Cuál fue el costo pro­medio del combustible en los 4 años?

SOLUCIÓN

Caso 1

Supóngase que el propietario compró la misma cantidad de combustible cada año, por ejemplo, 1 000 gal. Entonces

costo total $800+ $900 + 1 050 + $1 250 „ , „ „ , , Costo promedio = = = $ 1.00 / gal

cantidad total comprada 4 000 gal

Esto es igual a la media aritmética del costo por galón; es decir, i($0.80 + $0.90 + $1.05 + $1.25) = 1.00/gal. El resultado sería idéntico aun cuando se utilizaran x galones al año.

C a s o ^

Considérese que el propietario gasta la misma cantidad de dinero cada año, por ejemplo, $1 000. Entonces:

costo total $4 000 . Costo promedio = = = $0.975 / gal

F cantidad total comprada (1 250 + 111 l + 952 + 800)gal

Esto es igual a la media armónica del costo por galón. 4

1 1 1 1 0~80 + 0^90 + L05 + L25

0.975

El resultado sería idéntico aun cuando se gastaran y dólares cada año.

Ambos procedimientos son correctos, aunque cada uno fue calculado de diferente manera.

Debe indicarse que en caso de que el número de galones usados cambie de un año a otro, la media aritmética del caso 1 se reemplazaría por una media aritmética ponderada. De forma similar, si la cantidad gastada cambia de un año a otro, la media armónica del caso 2 se reemplazaría por una media armónica ponderada

3.41 Un automóvi l viaja 25 millas a 25 mph, 25 millas a 50 mph y 25 millas a 75 mph. Calcule la media ari tmética y la media a rmónica de las tres velocidades. ¿Cuál es la correcta?

SOLUCIÓN

La velocidad promedio es igual a la distancia recorrida entre el tiempo total y es igual a.

75

' 4 = 40.9 mph

LA- ULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

La media aritmética de las tres velocidades es:

25 + 50 + 75 = 50 mph

La media armónica se calcula de la siguiente manera

1 1 ^ 1 1 / 1 1 1 \ 11 „ 450 , „ H = Ñ^X = 3[25 + T0 + 15)= 450 > 17 =

La media armónica es la medida correcta de la velocidad promedio.

La media cuadrática

3.42 Calcule la media cuadrát ica de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12.

SOLUCIÓN

Media cuadrática = MC = ^ + * + * + * + * + ^ + = ^57 = 7.55

3.43 Pruebe que la media cuadrát ica de dos números positivos distintos, a y b, es mayor que su media geométr ica .

SOLUCIÓN

Se requiere demostrar que \/\(a2 + b2) > \/ab. Si esto es cierto, entonces, elevando al cuadrado ambos lados, h(a2 + b2) > ab, de tal modo que a2 + b2> lab, a2 - lab + b2 > 0o (a - b)2 > 0 Esta última desigualdad es verdadera, dado que el cuadrado de cualquier número real distinto de cero debe ser positivo.

La prueba consiste en invertir el procedimiento anterior. Así, comenzando con (a -b)2 > 0 que se sabe es cierto, se puede demostrar que a2 + b2 > lab, h(a2 + b2) > ab y, finalmente, V j (a2 + b2) > Vab, como se pidió.

Obsérvese que V $ ( Í J 2 +b2) = V a ¿ , si y sólo si a = b.

Cuartiles, deciles y percentiles

3.44 Encuentre a) I o í cuartiles Q¡, Q2y Q}, y b) \os deciles D¡, D2,..., D9 para los sala­rios de los 65 empleados de la empresa P & R (véase el problema 2.3).

SOLUCIÓN

a) El primer cuartil Q¡ es el salario obtenido contando N/4 = 65/4 = 16.25 de los casos, empezando con la primera clase (la inferior). Ya que la primera clase incluye 8 casos, debe tomar 8.25 (16.25 - 8) de los 10 casos de la segunda clase. Por el método de interpolación lineal se tiene

Qx = $259.995 + ^ ($10.00) = $268.25

El segundo cuartil Q2 se obtiene contando los primeros 2N/4 = N/2 = 65/2 = 32.5 casos. Dado que las dos primeras clases incluyen 18 casos, habrá que tomar 32.5 - 18 = 14.5 de los 16 casos de la tercera clase; por lo tanto,

Q2 =$269.995 + ^ ( $ 1 0 . 0 0 ) =$279.06 16

Véase que Q2 es, en realidad, la mediana.

Problemas resueltos •

El tercer cuartil Q¡ se obtiene contando los primeros 3AV4 = 1(65) = -casos. Puesto que las cuatro primeras clases comprenden 48 casos, se tiene que lo­mar 48.75 - 48 = 0.75 de los 10 casos de la quinta clase; entonces

Q} = $289.995 + ($10.00) = $290.75

Por lo tanto, 25% de los empleados reciben $268.25 o menos, 50% g¿ris > I" -o menos y 75% perciben $290.75 o menos.

b) El primero, segundo,..., noveno deciles se obtienen contando /V/10, 2AV10,..., 9A//10 de los casos, comenzando con la primera clase (inferior). Así:

Di = $249.995

D 2 = $259.995

D 3 = $269.995

D 4 = $269.995

Ds = $269.995

Por lo tanto, 10% de los empleados gana $258.12 o menos, 20% recibe $265.00 o menos,..., 90% obtienen $301.00 o menos.

Obsérvese que el quinto decil es la mediana. El segundo, cuarto, sexto y octavo deciles, que dividen la distribución en cinco partes iguales y que se denominan quintiles, tienen un uso práctico.

3.45 Determine a) el percentil 35o. y b) el percentil 60o. de la distr ibución en el proble­ma 3.44.

SOLUCIÓN

a) El percentil 35o. denotado por P 3 5, se obtiene contando los primeros 35M100 = 35(65)/ 100 = 22.75 casos, comenzando con la primera clase (inferior). Entonces, igual que en el problema 3.44,

P 3 5 = $269.995 + ($10.00) = $272.97 16

Esto significa que 35% de los empleados gana $272.97 o menos.

b) El percentil 60o. es Pw = $279.995 +ft($10.00) = $283.57. Obsérvese que esto coin­cide con el sexto decil y el tercer quintil.

3.46 Explique c ó m o pueden obtenerse los resultados de los problemas 3.44 y 3.45 de una ojiva de porcentajes.

SOLUCIÓN

En la figura 3-5 se muestra la ojiva de porcentajes correspondiente a los datos de los problemas 3.44 y 3.45.

El primer cuartil es la abscisa del punto de la ojiva cuya ordenada es 25%, el segundo y tercer cuartiles son las abscisas de los puntos de la ojiva con ordenadas 50% y 75%. respectivamente.

Los deciles y percentiles pueden obtenerse de forma similar. Por ejemplo, el séptimo decil y el percentil 35o. son las abscisas de los puntos de la ojiva que corresponden a tas ordenadas 70% y 35%, respectivamente.

+ —($10.00) = $258.12 D„ = $279.995 + —($10.00) = $283.57 8 14

+ —($10.00) = $265.00 £>7 = $279.995 + —($10.00) = $288.21 10 14

+ —($10.00) = $270.94 D 8 = $289.995 + —($10.00) = $294.00 16 10

+ —($10.00) = $275.00 D 9 = $299.995 + —($10.00) = $301.00 16 5

+ ^ ( $ 1 0 . 0 0 ) = $279.06 16

Salarios (dólares)