1  

Nota Técnica: Volatilidad ¿Qué es volatilidad? Se conoce como volatilidad a la sensibilidad que tiene un activo a variar su precio de mercado ante cambios en condiciones externas, en general a las tasas de interés. Se dice que un activo es más volátil en la medida que un pequeño cambio en las tasas de interés provoque un cambio considerable en el precio. Una alta volatilidad indica que los precios del activo oscilan bruscamente y no constituyen una opción segura para inversión a largo plazo pues conllevan un alto riesgo. ¿Por qué cambian las tasas de interés? Sería ilógico pensar que las tasas de interés que sirven para descontar los flujos futuros de un bono se mantendrán constantes, ya que, de hecho, éstas tasas que representan el costo de oportunidad de invertir en un bono determinado cambian continuamente, en estricto sentido varían día con día por razones diversas, la más importante de ellas las operaciones de mercado abierto por parte del Banco Central, el aumento de la probabilidad de impago por parte de la compañía o gobierno, la creciente integración de los mercados financieros internacionales, entre otras tantas. Pensemos, por ejemplo, en un bono gubernamental a dos años colocado a la par a una tasa del 6% nominal anual capitalizable semestralmente y con un valor nominal de $100.

𝑉𝑃 =$3

(1 + 3%)!+

$3(1 + 3%)!

$3(1 + 3%)!

+$103

(1 + 3%)!

𝑉𝑃 = $100.00

Supongamos que más tarde, el mismo día, BANXICO decide implementar una política monetaria que disminuya la tasa de interés de referencia de 6% a 4%. ¿Cuál será el efecto en el bono emitido el día anterior?

𝑉𝑃 =$3

(1 + 2%)!+

$3(1 + 2%)!

$3(1 + 2%)!

+$103

(1 + 2%)!

𝑉𝑃 = $103.81

Como vemos el precio del bono hoy incrementa ante una disminución de las tasas de interés de bonos de la misma calidad crediticia y mismo vencimiento. Este hallazgo no es nada trivial pues constituye la más importante y más general regla para valuar bonos: cuando la tasa de rendimiento requerido (required yield) sube, el precio del bono hoy baja; cuando la tasa de interés requerido baja el precio del bono hoy sube.

𝑆𝑖   ↑ 𝑖  −  ↓  𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝑑𝑒𝑙  𝐵𝑜𝑛𝑜  ℎ𝑜𝑦 Si   ↓ 𝑖  −  ↑  𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝑑𝑒𝑙  𝐵𝑜𝑛𝑜  ℎ𝑜𝑦

  2  

La siguiente tabla ejemplifica el comportamiento del precio del bono en cuestión cuando cambian las tasas de rendimiento requerido:

Esta regla es general para cualquier bono, sin embargo hay una variable que no hemos considerado: el vencimiento. Pensemos nuevamente en el bono soberano de dos años del ejemplo anterior y añadamos otro con vencimiento en cinco años con valor nominal de $100 y cupones semestrales, ambos con una tasa cupón del 6% nominal anual y un rendimiento requerido del 4%. Si bien es cierto que gracias a la relación del precio del bono con las tasas de interés podemos estar seguros de que si la tasa de rendimiento requerido baja, el precio de ambos instrumentos va a subir, pero ¿qué bono subirá más de precio? Procedamos al cálculo:

𝑉𝑃(𝑏𝑜𝑛𝑜  2  𝑎ñ𝑜𝑠) =$3

(1 + 2%)!+

$3(1 + 2%)!

$3(1 + 2%)!

+$103

(1 + 2%)!= $103.81

𝑉𝑃(𝑏𝑜𝑛𝑜  5  𝑎ñ𝑜𝑠) =$3

1 + 2% ! +$3

1 + 2% !$3

1 + 2% ! +$3

1 + 2% ! +$3

1 + 2% ! +$3

1 + 2% ! +$3

1 + 2% !

+$3

1 + 2% ! +$3

1 + 2% ! +$103

1 + 2% !" = $108.98

Ahora calculemos el cambio porcentual en el precio de ambos bonos, pues es mediante ésta medida que determinaremos en general para qué instrumentos varían más los precios ante un cambio en la tasa de interés requerida.

∆𝑉𝑃 =𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙∗ 100

∆𝑉𝑃(𝑏𝑜𝑛𝑜  2  𝑎ñ𝑜𝑠) =$103.81 − $100

$100∗ 100 =  3.81%

∆𝑉𝑃(𝑏𝑜𝑛𝑜  5  𝑎ñ𝑜𝑠) =$108.98 − $100

$100∗ 100 =  8.98%

$0.00    

$20.00    

$40.00    

$60.00    

$80.00    

$100.00    

$120.00    

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20  

Precio  del  Bono  ($)  

Rendimiento  Requerido  (%)  

Precio  del  Bono  (2  años)  

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Como hemos visto, el bono de mayor vencimiento es más volátil, es decir tendrá variaciones mayores en su precio frente a cambios iguales en la tasa de interés requerido y esto se comprueba intuitivamente pues al tener una mayor cantidad de flujos de efectivo, cuando cambia la tasa a la que se descuentan afecta más flujos y por tanto cambia en mayor proporción el precio. Es importante mencionar que el cambio porcentual es casi simétrico en un punto estacionario. El siguiente gráfico muestra cómo varía el precio de tres bonos con diferente vencimiento cuando aumenta la tasa de rendimiento requerido1:

¡Error! Vínculo no válido. Como podemos observar en el gráfico anterior el bono con vencimiento en 30 años presenta fluctuaciones mayores que los de 10 y 2 años, se dice que éste bono es más volátil que los otros dos. Nótese que cuando el rendimiento requerido es 3% y es igual a la tasa cupón, el precio de los tres instrumentos financieros es igual al valor nominal, es decir, $100. Las tres líneas de tendencia son estrictamente convexas y decrecientes a tasas decrecientes, es decir que los cambios en el precio del bono cuando la tasa es chica son mas significativos que los cambios en el precio del bono cuando la tasa es grande.

                                                                                                               1  Para consultar los precios de cada uno de los tres bonos con cada tasa de rendimiento requerido consúltese el Apéndice 1 al final del presente documento.  

$0.00    

$20.00    

$40.00    

$60.00    

$80.00    

$100.00    

$120.00    

$140.00    

$160.00    

$180.00    

$200.00    

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20  

Precio  del  Bono  Hoy  

Rendimiento  Requerido  (%)  

Precios  de  Bonos  de  Diferente  Vencimiento  ante  cambios  en  la  tasa  

Precio  del  Bono  2  años  

Precio  del  Bono  10  años  

Precio  del  bono  30  años  

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Modelos de Medición de Volatilidad Existen varios métodos para medir la volatilidad de los instrumentos que emplean tanto asesores financieros como instituciones financieras, tales como repricing model, maturity model, desviación estándar, entre otros, sin embargo al estar valuando bonos hay tres medidas de volatilidad pertinentes:

• Price Value of a Basis Point • Yield Value of a Price Change • Modelo de Duración (Macaulay)

Price Value Of A Basis Point Tal como su nombre lo estipula, es el cambio en el precio de un bono cuando cambia la tasa de rendimiento requerido en un punto base (0.01%). Este cambio se debe expresar en valor absoluto pues es simétrico cuando la tasa sube un punto base que cuando baja la misma proporción dado que el cambio es mínimo. Mientras menor sea éste indicador menor será la volatilidad del bono.

𝑃𝑉𝐵𝑃 =∥ 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙  𝑑𝑒𝑙  𝐵𝑜𝑛𝑜 − 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝑑𝑒𝑙  𝐵𝑜𝑛𝑜  𝑐𝑜𝑛  (+/−)  1  𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜  𝑏𝑎𝑠𝑒 ∥ Ejemplo: Calcular el PVBP de un bono a 2 años con valor nominal de $1000, tasa cupón del 20%, rendimiento requerido del 20% y pago de cupones semestrales. Sabemos que cuando el bono es colocado a la par su Precio es igual a su valor nominal por lo tanto:

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝐵𝑜𝑛𝑜!!! = $1000.00 Ahora calculemos el precio del bono cuando cambia la tasa de interés requerido en un punto base.

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝐵𝑜𝑛𝑜!!! =$100

(1+ 10.01%)1+

$100(1+ 10.01%)2

$100(1+ 10.01%)3

+$1,100

(1+ 10.01%)4

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝐵𝑜𝑛𝑜!!! = $999.68

𝑃𝑉𝐵𝑃 =∥ $1,000− $999.68 ∥=∥ $0.32 ∥

Comprobemos si nos da el mismo resultado si bajamos la tasa en un punto base.

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝐵𝑜𝑛𝑜!!! =$100

(1+ 9.99%)1+

$100(1+ 9.99%)2

$100(1+ 9.99%)3

+$1100

(1+ 9.99%)4

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜  𝐵𝑜𝑛𝑜!!! = $1,000.32

𝑃𝑉𝐵𝑃 =∥ $1,000− $1,000.32 ∥=∥ $0.32 ∥

Queda así comprobada la simetría del modelo.

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Yield Value of a Price Change Éste modelo de medición de volatilidad sigue una metodología inversa al Price Value of a Basis Point, pues lo que hace variar es el precio del bono y plantea cual tendría que ser el nuevo rendimiento requerido para que los flujos futuros esperados igualen el precio presente del bono. Una vez obtenido este nuevo rendimiento requerido se debe restar con el rendimiento requerido inicial para obtener éste indicador.

𝑌𝑉𝑃𝐶 = 𝑌𝑇𝑀 − 𝑌𝑇𝑀′ Es importante mencionar que mientras más pequeño sea este indicador, la volatilidad del bono será mayor pues implica que para obtener el cambio deseado de $X en el precio requeriría tan solo una pequeña variación en la tasa de interés requerido. Ejemplo: Calcular el Yield Value of a Price Change de un bono colocado a la par con vencimiento de 2 años y tasa cupón del 20% con valor nominal de $1,000. El valor objetivo del bono es $1,050.

$1,050 =$100

(1+ 𝑌𝑇𝑀)1+

$100(1+ 𝑌𝑇𝑀)2

$100(1+ 𝑌𝑇𝑀)3

+$1,100

(1+ 𝑌𝑇𝑀)4

𝑌𝑇𝑀 = 8% semestral2

𝑌𝑉𝑃𝐶 = 20% − 16% = 4%

Modelo de Duración de Macaulay El modelo de duración se basa en la lógica de que el vencimiento de un bono no es necesariamente igual a su duración, o lo que es igual, al periodo de amortización de la inversión en el bono. La segunda y más útil interpretación establece que la duración constituye una medida de sensibilidad ante cambios en la tasa de interés cuando ésta varía en cantidades pequeñas. El vencimiento y la duración son iguales sólo cuando se trata de un bono cupón cero, es decir que no tiene pagos de interés intermedios y se recibe el principal y el interés al vencimiento. Para todos los demás bonos que sí reciben pagos periódicos de interés la duración será necesariamente menor al vencimiento pues se están tomando en cuenta todos los pagos intermedios para amortizar el capital. La formula general de la duración es la siguiente:

𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =1 ∗ 𝑃𝑉(𝐶1)

𝐵𝑃+2 ∗ 𝑃𝑉(𝐶2)

𝐵𝑃+3 ∗ 𝑃𝑉(𝐶3)

𝐵𝑃+. . .+

𝑛 ∗ 𝑃𝑉(𝐶𝑛) + 𝑃𝑉(𝐹𝑉)𝐵𝑃

𝐵𝑃 = 𝑏𝑜𝑛𝑑  𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒;  𝑃𝑉 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡  𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒;  𝑛 = 𝑙𝑎𝑠𝑡  𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑;  𝐶𝑛 = 𝑐𝑢𝑝𝑜𝑛  𝑛

                                                                                                               2  Este resultado se obtuvo mediante la función TIR en Excel, revisar apéndice 2 para ver el procedimiento.  

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Matemáticamente se dice que la duración es el promedio ponderado del valor presente de los cupones multiplicado por el periodo en que se pagan y dividido ente el precio inicial del bono. Modelo de Duración Modificada La duración modificada es la duración de Macaulay dividida entre uno más la tasa de mercado, esto es:

𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 =𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑑𝑒  𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦

(1+ 𝑦)

La duración modificada aproxima el cambio en precio del bono ante cambios de la tasa de interés. Se relaciona directamente con la derivada de la función con respecto a la tasa de interés, es decir, como cambia el precio instantáneamente en un punto dado de la función, lo que es:

𝑑𝑃𝑑𝑦

1𝑃 = −  𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎

Si nos interesara calcular el cambio aproximado ante una varianza de tasa de interés dada, bastaría despejar el cambio en la tasa de interés (dy):

𝑑𝑃𝑃 = −  𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎  (𝑑𝑦)

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Apéndice 1 Rendimiento  Requerido   Precio  del  Bono  2  años   Precio  del  Bono  10  años   Precio  del  bono  30  años  

1%   $107.80     $136.09     $189.91    2%   $103.81     $116.35     $134.76    3%   $100.00     $100.00     $100.00    4%   $96.37     $86.41     $77.38    5%   $92.91     $75.08     $62.14    6%   $89.60     $65.59     $51.52    7%   $86.45     $57.62     $43.84    8%   $83.44     $50.91     $38.12    9%   $80.56     $45.23     $33.71    10%   $77.81     $40.41     $30.23    11%   $75.18     $36.29     $27.41    12%   $72.66     $32.78     $25.08    13%   $70.26     $29.75     $23.13    14%   $67.95     $27.15     $21.46    15%   $65.74     $24.89     $20.02    16%   $63.62     $22.93     $18.76    17%   $61.59     $21.21     $17.65    18%   $59.65     $19.71     $16.67    19%   $57.78     $18.39     $15.79    20%   $55.99     $17.22     $15.00    

Apéndice 2

t   flujo  0    $(1,050.00)  1    $100.00    2    $100.00    3    $100.00    4    $1,100.00    

=TIR(C5:C9)   8%