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LA PROPORCIONALIDAD EN EL “TEXTO

DEL SABER” DE LAS ESCUELAS

NORMALES. UN ANÁLISIS SOBRE LAS

ORGANIZACIONES MATEMÁTICAS Y

DIDÁCTICAS

Maricela Soto Quiñones maricelasoto@benmac.edu.mx Luis Manuel Aguayo Rendón

l_aguo@yahoo.com.mx Orlando Daniel Jiménez Longoria

orlandojimenez@benmac.edu.mx Benemérita Escuela Normal “Manuel Ávila Camacho”

RESUMEN

La formación de profesores en las

escuelas normales promueve el dominio de

contenidos relacionados con diversos campos

del saber tanto disciplinarios como didácticos

ya que en su práctica los estudiantes

normalistas deben gestionar tareas de distinto

nivel de complejidad en el que asumen roles

tanto de aprendices como de enseñantes. Este

trabajo presenta un análisis de la manera en

que se incluye la proporcionalidad en los

programas de estudio de la Escuela Normal,

sus conceptualizaciones, nociones,

representaciones, así como las diferentes

tareas matemáticas y didácticas planteadas

para la formación inicial de docentes.

PALABRAS CLAVE: Texto del saber, Proporcionalidad, Organizaciones Matemáticas, Organizaciones Didácticas.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En el caso de la formación inicial de profesores en México, a partir del 2012 se puso

en marcha un plan de estudios basado en el llamado enfoque por competencias que a decir

de Gascón (2011) persigue el desarrollo personal integral orientado hacia el ejercicio

profesional, social y cívico, sustentado en un aprendizaje permanente a lo largo de toda la

vida.

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Sin embargo, esta perspectiva de formación constituye lo que Gascón y Bosch (2007)

denominan “generalismo pedagógico” que se caracteriza por eliminar lo que es específico de

cada disciplina, diluyendo el conocimiento en un conjunto de competencias genéricas ajenas

a toda disciplina. Estas competencias, que han sido definidas aislando las disciplinas,

representan un conocimiento de base para la formación que se plasma en los programas

oficiales para la formación de profesores mediante seis ámbitos: la planeación del

aprendizaje, organización del ambiente del aula, evaluación educativa, promoción del

aprendizaje de todos los alumnos, compromiso y responsabilidad con la profesión y

vinculación con la institución y el entorno. (SEP, 2011)

Tales ámbitos deberían promoverse de modo interrelacionado sin correspondencia

exclusiva con una asignatura, por ejemplo, el dominio de contenidos de enseñanza se vincula

con los espacios curriculares en el plan de estudios de educación básica, las habilidades

intelectuales o la formación valoral se corresponden con los estilos y prácticas escolares que

serán promovidos en el conjunto de los estudios. Esta visión generalista muestra que “…la

contraposición entre aprender conocimientos y adquirir competencias no es más que una

nueva versión de la falacia que contrapone aprender conocimientos a aprender a aprender”

(Gascón y Bosch, 2007, p. 206) y suele olvidar que los saberes disciplinares tienen rasgos

específicos equivalentes a una actividad humana en particular.

Para el caso de la formación de profesores de educación primaria, esta situación

resulta más compleja, en tanto que los estudiantes deben dominar un gran número de saberes

disciplinares -vistos como competencias-, para conjuntarlos con saberes pedagógicos,

psicológicos, sociológicos, entre otros. Además de esta complejidad, otra dificultad es la

escasa formación didáctica basada en el manejo de textos que abordan someramente el

saber disciplinar con ciertos matices de un saber pedagógico.

En lo que toca a la formación para la enseñanza de las matemáticas, actualmente, el

enfoque basado en la resolución de problemas incluido en los planes de estudio de educación

básica y normal ocupa un lugar central en el diseño de situaciones didácticas, la idea de

aprender matemáticas al resolver problemas tiene el propósito de que los estudiantes se

enfrenten a situaciones donde pongan en juego los saberes con los que cuentan para

confrontarlos, validarlos y reformularlos hasta llegar a una clara comprensión de las técnicas

convencionales y al dominio de los lenguajes y modelos que mejor se adapten al nivel de

resolución. Sin embargo, estas orientaciones curriculares pueden no corresponder con las

tareas puestas en el programa de estudios (en adelante “texto del saber”) esto es, en los

materiales curriculares lo que destaca la pertinencia de analizar tanto las Organizaciones

Matemáticas y Didácticas que se proponen en los materiales para la formación inicial del

profesorado.

A decir de Barquero, Bosch y Gascón (2013), el profesor se enfrenta a ciertos

problemas docentes asociados a la enseñanza de un tema matemático específico, tales

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problemas se formulan empleando, generalmente sin cuestionarlas, las nociones disponibles

de la cultura escolar incluidas en los documentos curriculares. Algunas cuestiones que

requieren de respuesta desde la formación y que pertenecen a la relación institucional que se

establece entre la actividad matemática y el problema didáctico (Baquero, et al. 2013),

respecto de la proporcionalidad serían las siguientes:

¿Cómo se considera, cómo se describe y cómo se interpreta la proporcionalidad en

las instituciones formadoras de docentes?

¿Qué se entiende en las Escuelas Normales por enseñanza de la proporcionalidad o

qué tipo de tareas matemáticas y didácticas de proporcionalidad se instituyen?

La revisión del saber a enseñar, que aquí se presenta intenta poner en evidencia la

“textualización del saber” propia del currículo de las Escuelas Normales y su posible relación

con los modelos epistemológicos de la actividad matemática. También se pretende revisar la

pertinencia de la lógica institucional respecto del saber matemático y didáctico, ya que “… en

la formulación de un problema didáctico cualquiera el didacta siempre utiliza […] una

descripción y una interpretación […] del ámbito matemático que está en juego”. (Barquero, et.

al. 2013, pp. 4-5)

MARCO TEÓRICO

Desde la Teoría Antropológica de lo Didáctico, se considera que en el sistema de

formación son inseparables las dimensiones matemática y didáctica, puesto que ambas

constituyen el núcleo del objeto de estudio de la Didáctica de la Matemática y uno de sus

principios básicos postula que toda actividad humana puede describirse en términos de

praxeologías u organizaciones praxeológicas1, porque toda práctica se encuentra

acompañada de un saber, lo que implica la posibilidad de explicar lo qué se hace, cómo se

hace y por qué se hace, en este caso se habla de Organizaciones Matemáticas (OM) y

Organizaciones Didácticas (OD).

En este sentido, el profesor en formación juega diversos roles durante el proceso de

su formación, se ubica como “aprendiz” de matemáticas cuando relaciona los saberes

aritméticos formales que estudia en la Normal con los saberes de la escuela primaria, para

ello deberá resolver tareas que le permitan dicho dominio. También se ubica en el rol de

“profesor analista” cuando reflexiona sobre los elementos propios de la enseñanza de las

matemáticas, y ocupa el rol de “ingeniero diseñador” cuando selecciona o diseña situaciones

problemáticas o secuencias didácticas para desarrollar la enseñanza, o bien se ubica como

1 A decir de Chevallard (2006) una praxeología u organización praxeológica es la unidad básica mediante la cual puede analizarse cualquier acto humano a través de dos componentes interrelacionados: la praxis y el logos.

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“profesor en acto” cuando plantea y gestiona tareas que le permitan dirigir el proceso de

estudio de una organización matemática con un grupo de niños.

En el estudio de las matemáticas, además del contexto numérico existen otras

variables que determinan la técnica de resolución de las tareas planteadas y el tipo de tareas

y técnicas matemáticas y didácticas que el profesor en formación estudiará en la normal

dependen del nivel educativo en el que vaya a trabajar, esto incluye el dominio de los

principios y propiedades del concepto matemático que será enseñado pero también los

enfoques sugeridos en los programas educativos y las orientaciones didácticas para su

estudio. Además de la dependencia con el nivel educativo, es necesario tomar en cuenta

también que los saberes matemático y didáctico requieren de una correlación entre el tema y

la cuestión a estudiar.

Para la enseñanza de la proporcionalidad, es necesario considerar la fusión entre lo

matemático y lo didáctico y destacar que dicho objeto constituye un tema fundamental para

la vida cotidiana, así como para la resolución de tareas en diversas áreas de las matemáticas

por lo que se requiere un buen dominio conceptual y procedimental, que si bien puede estar

presente en diversas circunstancias no se aprende naturalmente.

Las investigaciones sobre enseñanza de la proporcionalidad han tenido un fuerte

desarrollo en los últimos años, actualmente ya no se postula la enseñanza de una sola técnica

de cálculo (por ejemplo, regla de tres), ahora la atención se centra en la relación entre dos

magnitudes, en la estructura y las tareas que hacen posible la incorporación de los modelos

de resolución. Algunas investigaciones (Boisnard, Houdebine, Julo y Kerboeuf, 1994) señalan

que el aprendizaje memorístico de la “regla de tres”, de la representación del concepto, de

los métodos que lo conforman, así como de las propiedades que se designan bajo los

términos de la proporcionalidad y otro tipo de reglas, no es suficiente para lograr un verdadero

conocimiento de la proporcionalidad. No obstante, tal afirmación puede ser debatida porque

algunas instituciones pueden suponer que precisamente esas técnicas constituyen el “saber

a enseñar”.

Bajo estas consideraciones, en lo que sigue se presenta un análisis tanto de las OM

como las OD expresadas en el currículo oficial de las Escuelas Normales y la

programabilidad2 que se establece en el texto del saber para el estudio de la proporcionalidad.

2 La textualización del saber establece una programación de los aprendizajes y de los controles, que se determinan en función de las secuencias razonadas que favorezcan la adquisición progresiva de los conocimientos expertos. (Chevallard, 1991)

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METODOLOGÍA

Para la concreción de este análisis se hizo una revisión documental del plan de

estudios 2012, de los programas oficiales y materiales de estudio de las Escuelas Normales.

De manera particular se analizó el programa del curso “Aritmética: su aprendizaje y su

enseñanza”, específicamente la Unidad de Aprendizaje IV “Desarrollo del razonamiento

proporcional” en virtud de que ahí se incluyen las OM y las OD propias de la proporcionalidad.

En esta Unidad se analizó la desincretización3 del texto del saber en cuatro elementos

temáticos (SEP, 2012):

Análisis de los conceptos de razón y proporción a través de diversas

situaciones.

Estudio del concepto de porcentaje y su representación gráfica.

Resolución de problemas que involucran el cálculo de porcentajes.

El estudio de la variación proporcional directa.

Para la sistematización de las OM y las OD, se hizo una doble categorización, por un

lado, se cuantificó el tipo de organización inscrito en los materiales de estudio y por otro se

revisó el rol que asumen los estudiantes normalistas en las diferentes organizaciones, es decir

como “aprendiz” de matemáticas, “profesor analista”, “ingeniero diseñador” y “profesor en

acto”.

DESARROLLO Y DISCUSIÓN

Desde la perspectiva del Plan de estudios de la Escuela Normal, el razonamiento

proporcional se vincula con el estudio de los conceptos de razón, proporción, porcentaje y

variación proporcional de manera conjunta, en lo que sigue se observará el manejo particular

de estos elementos a partir del análisis de las OM y las OD que se plantean en los materiales

de estudio.

3 Se podría decir que la desincretización es una delimitación de saberes parciales, que se expresan en un discurso autónomo, esta delimitación produce “… la descontextualización del saber, su extracción de la red de problemáticas y de los problemas que le dan sentido completo, la ruptura del juego intersectorial constitutivo del saber en su movimiento de creación y de realización”. (Chevallard, 1991, p. 60)

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a) Las organizaciones matemáticas.

En la escuela normal el estudio de la razón inicia con el profesor en formación en el rol

de “analista”, en un segundo momento en el de “aprendiz” de matemáticas, es decir,

inicialmente se le pide analizar una propuesta didáctica para el estudio de las razones y

proporciones incluida en los textos de apoyo, en esa propuesta se toma la comparación de

cantidades a partir de la resolución de situaciones problemáticas basadas en un modelo

tabular para luego establecer a la razón como resultado de dividir la cantidad que está siendo

comparada entre la cantidad de referencia. Con ello se institucionaliza a la razón como

“número que permite comparar dos magnitudes mediante un cociente” (Isoda, Cedillo. 2012,

p. 58).

Cuando la fracción representa un cociente, la razón incluye el manejo de números

decimales como resultado de esa división que se representa en una recta numérica para

establecer la comparación entre dos magnitudes. Una vez modeladas las representaciones,

el estudiante deberá resolver una serie de tareas del tipo:

¿Cuál es la razón de tiros acertados respecto al total de tiros? o

¿Cuál es la razón de alumnos de quinto grado, respecto al número total de niños que

asisten a una fiesta?

En esta situación se aprecia la lógica institucional, establecer un mecanismo de

dominio de la razón como una comparación de magnitudes y se destaca que, al inicio de este

primer acercamiento a la razón, ésta se presenta en situaciones donde una magnitud es parte

de la otra, por ejemplo, la razón entre total de tiros y tiros encestados es igual al número de

tiros encestados entre el número de tiros.

En la misma postura, de “profesor analista”, se sugieren textos al estudiante para que

revise la relación que existe entre razón y la idea de “número de veces”, en dichos textos se

argumenta que, en ocasiones, al comparar dos cantidades se toma a una de ellas como

“cantidad de referencia”. La situación anterior confirma la hipótesis de Perry (2003), cuando

señala que, por lo general, en las instituciones educativas la razón se representa como una

división indicada, un cociente o un operador multiplicativo desde la perspectiva de los

números fraccionarios.

Con la revisión de situaciones problemáticas se supone que el profesor en formación

identifica la razón como comparación de magnitudes a partir de un cociente y comprende la

idea “número de veces” para establecer la relación de la razón como fracción y además se

supone también que comprende la proporción como una igualdad de razones al visualizar de

razones equivalentes. Las restricciones de la actividad tienen que ver con el hecho de que,

en dichos textos se le plantean cuestiones como: ¿Qué dificultades presentan las actividades

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planteadas?, ¿cuál es la diferencia entre una actividad y otra? Por lo que se puede apreciar

que el papel de “analista” se restringe fundamentalmente a la organización matemática.

Posteriormente, situado en el rol de “aprendiz de matemáticas” se le pide que resuelva

tareas matemáticas relacionadas con las razones y proporciones. Al parecer, la intención de

este tipo de tareas es retroalimentar los saberes adquiridos en el momento de “profesor

analista” y emplear la técnica de comparación de magnitudes a través de una razón, aunque

también se incluye el concepto de razón que, sin revisarse con antelación, se vincula con la

razón y la proporción: el porcentaje.

Para el estudio del porcentaje como parte de la razón se le ubica en el rol de “profesor

analista”, se parte del análisis de una situación problemática donde se expresa una razón

utilizando al 100 como cantidad de referencia. Otra tarea matemática que analiza es la

representación de razones en porcentajes (35%, 12%, 80%) y su expresión en números

decimales (0.50, 0.6, 0.325), con ello se pretende identificar al porcentaje como una razón

que puede ser expresada y manipulada en términos numéricos o mediante una gráfica en la

que manifiesta la relación parte-todo, cuando el todo se vuelve 100.

Nuevamente, en el rol de “profesor analista” el estudiante analiza la propuesta

didáctica para el estudio de la variación proporcional directa e inversa, su representación

gráfica y sus aplicaciones. Para ello, revisa en los textos oficiales las situaciones en las que

se pueden relacionar dos magnitudes que cambian juntas. Para identificar la proporcionalidad

directa el estudiante analiza modelos tabulares con cantidades preestablecidas en las que es

notorio que, si una cantidad aumenta o disminuye 2, 3, 4 y 5 veces la otra cantidad lo hará en

la misma proporción, con estas situaciones se intenta que el estudiante observe la pertinencia

de utilizar el valor unitario como la técnica más eficiente y que identifique también la constante

de proporcionalidad.

b) Las organizaciones didácticas.

En este tipo de organizaciones se plantean cuestionamientos a los profesores en

formación sobre las OM descritas en los apartados anteriores, tales como: “Establece las

similitudes y diferencias entre las razones parte-todo y parte-parte. Enuncia las posibles

dificultades que podría enfrentar el alumno para la comprensión de cada una.” (Cedillo, et-al.,

2012, p. 108)

Resulta destacable la idea de afianzar la relación existente entre la fracción y la razón,

esto se ve reforzado cuando el texto oficial instituye que:

Las razones finalmente son números racionales, son fracciones. Por lo tanto, tiene sus

propiedades y están sujetas a sus principios. Una cualidad fundamental de los números

racionales es la de equivalencia. Dos números racionales A/B y P/Q son equivalentes

si y solamente si A x Q = P x B. Los números racionales equivalentes se construyen

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así: Dado el número racional A/B y K cualquier número racional diferente de cero,

entonces: (AxK)/(BK) es otro número racional equivalente a A/B. (Cedillo. T. et-al. 2012,

p. 106).

Esta afirmación establece la igualdad entre razón y números racionales, hecho que ha

sido debatido, no obstante que existe una relación entre ambos elementos, resulta necesario

establecer esa diferencia con el planteamiento de tareas matemáticas y didácticas que

permitan esclarecer tal distinción. Con este saber institucionalizado, se cierra el trabajo con

la razón y la proporción para dar paso al estudio del concepto de porcentaje y su

representación gráfica como una extensión de la razón.

Entre las tareas didácticas, es frecuente que las consignas planteadas no se

modifiquen de tarea a tarea, generalmente el tipo de preguntas son similares a las planteadas

en el tema anterior, un ejemplo del tipo de cuestiones didácticas planteadas es la siguiente:

¿Consideras conveniente la forma en que se introduce el estudio de los porcentajes?,

¿coincide la forma en que tú calculas porcentajes con la forma en que se muestra en la

lección? (Cedillo, T. et-al., 2012, p. 109). Es decir, se plantean cuestiones sobre la relación

entre conceptos matemáticos, pero también se pide una reflexión sobre la forma en que éstos

se introducen en la escuela.

Una vez que los estudiantes han transitado sobre esta temática como “aprendices” de

matemáticas concluyen el proceso de estudio como “diseñadores” de situaciones

problemáticas para el cálculo de porcentajes, aunque también se ubican como “profesores en

acto” cuando se les pide poner en práctica las situaciones diseñadas con alumnos de

educación básica y reflexionar sobre los resultados obtenidos a través de registros de clase.

En este caso es destacable la ausencia del estudio de OD sobre la variación proporcional

directa.

RESULTADOS

Una vez hecha la revisión general del “texto del saber”, para identificar el número y tipo

de tareas que se incluyen en el curso de Aritmética: su aprendizaje y su enseñanza, las OM

sobre el razonamiento proporcional que se identificaron fueron las siguientes:

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Tabla 1

Organizaciones matemáticas en el texto del saber

Organizaciones matemáticas (OM)

Tareas/Número Frecuencia relativa

Razones 7 46.66% Porcentaje 3 20%

Proporcionalidad 5 33.34% Total 15 100%

Como lo muestra la tabla 1, las OM más numerosas son las relativas al estudio de la

razón (46.66%), se enfocan a la comprensión de la noción de razón; a la representación

gráfica y comparación entre dos magnitudes; a la relación entre la razón proporción y la

fracción y; a la búsqueda de razones equivalentes. Para el estudio del porcentaje sólo se

incluyen tres tipos de tareas: aquellas donde se vinculan porcentaje y razón; las que requieren

su representación gráfica y; las de resolución de problemas que involucran el cálculo de

porcentajes como razón.

En el caso de la proporcionalidad, el número de tareas es regular en comparación con

el resto de los otros conceptos matemáticos, el 33.34% de las tareas se focalizan en la

proporcionalidad y fundamentalmente se refieren al manejo de la variación proporcional

directa y la constante de proporcionalidad en modelos tabulares; la construcción de gráficas

de proporcionalidad; la resolución de problemas de proporcionalidad directa y; la búsqueda

de valores faltantes.

En cuanto a las OD, se observa que en número son similares a las OM sólo se aprecia

una diferencia de 3 tareas entre unas y otras (12 y 15 respectivamente), no obstante, la

distribución porcentual entre los objetos de estudio si refleja diferencias relevantes, sobre todo

en las OD de la proporcionalidad, esto se muestra en la siguiente tabla:

Tabla 2

Organizaciones didácticas en el texto del saber.

Organizaciones didácticas (OD)

Tareas/Número Frecuencia relativa

Razones 3 25% Porcentaje 9 75%

Proporcionalidad 0 0% TOTAL 12 100%

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La tabla 2 muestra la ausencia de tareas didácticas para el estudio de la

proporcionalidad, pero paradójicamente, el porcentaje que tiene el menor número de tareas

matemáticas tiene la mayoría de tareas didácticas, éstas se focalizan en el análisis del

funcionamiento del porcentaje como objeto matemático, en señalar las dificultades que los

alumnos de la escuela primaria pudieran tener en la resolución de situaciones problemáticas,

en identificar los saberes previos necesarios para la comprensión de este concepto y en la

descripción de situaciones donde el porcentaje se hace presente.

A la razón se dedica el 25% de tareas didácticas, se centran en identificar los

propósitos didácticos en ciertas lecciones del libro de texto y las dificultades que podría

enfrentar un alumno de la escuela primaria para comprender su significado.

Bajo este mismo análisis, el texto del saber refleja una distribución de tareas

matemáticas y didácticas que da mayor énfasis al papel de “aprendiz de matemáticas” e

incluye pocas tareas donde se le sitúa como “profesor en acto”, tal situación se muestra en la

siguiente tabla:

Tabla 3

Papel del profesor en las OM y las OD.

Aprendiz de matemáticas

Profesor analista

Ingeniero diseñador

Profesor en acto

No. de tareas matemáticas

15 7 0 0

No. de tareas didácticas

0 3 1 1

Total absoluto 15 10 1 1 Total relativo 55.56% 37.04% 3.7% 3.7%

Tal como lo muestra la tabla 3, más de la mitad de las tareas (55.56%) son matemáticas

y ubican al como “aprendiz” de matemáticas, el 44.44% son tareas didácticas en las que

ocupa el rol de “analista”, “diseñador” y “profesor en acto”, aunque se hace mayor énfasis a

la postura de “profesor analista”, sobre todo cuando se pide revisar la estructura,

funcionamiento y dificultades de las tareas matemáticas planteadas.

Sólo hay una tarea (3.7%) que ubica al estudiante como “profesor ingeniero o

diseñador” y una más que lo coloca como “profesor en acto” donde se pide que elabore una

situación problemática relacionada con el porcentaje y la experimente con alumnos de

educación básica.

CONCLUSIONES

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Como se ha podido ver, el texto del saber pretende cumplir un propósito, que los

estudiantes adquieran el dominio matemático de la proporcionalidad mediante tareas basadas

en la resolución de problemas. Si bien en algunos momentos se coloca al estudiante en

posición de “analista”, en términos generales sus tareas tienen que ver con el “aprendiz” de

matemáticas.

Por otra parte, los actuales programas y libros de texto de matemáticas para la

educación básica plantean problemas para lograr el aprendizaje, sin embargo, el predominio

de las situaciones problemáticas deja poco espacio para una institucionalización que permita

a los estudiantes reconocer y nombrar los conceptos matemáticos implícitos en esos

problemas. Este desequilibrio entre problemas y conceptos es propio de las actividades para

la escuela primaria pero también se hace presente en los programas para las escuelas

normales, es relevante porque en general, los profesores en formación resuelven tareas muy

similares a las de la escuela primaria.

Se podría decir que el texto del saber otorga mayor énfasis a las Organizaciones

Matemáticas, lo que ilustra la importancia que la institución otorga al dominio matemático, no

obstante esta consideración, el estudio formal de la proporcionalidad se limita al análisis de

conceptos matemáticos pero son escasos los momentos para reconocer las diferentes

técnicas de resolución de problemas, conocimiento necesario para promover la aparición de

técnicas convencionales durante el trabajo en la educación básica. Ambas deficiencias, la

conceptual y técnica, influirán de manera directa en el diseño y posterior gestión de

dispositivos o secuencias didácticas.

En lo que respecta a las Organizaciones Didácticas, destaca en el “texto del saber” la

preeminencia del “profesor analista”, las tareas se centran más en lo matemático que en lo

didáctico, en pocos momentos se pide al profesor en formación que diseñe situaciones o

dispositivos para el estudio de la proporcionalidad y en menos que pruebe los mismos en el

espacio escolar. Es de considerarse que el texto oficial del saber aumenta progresivamente

los momentos en los que los profesores en formación van a la práctica, pero, aunque los dos

últimos semestres de su formación se desarrollan principalmente en la escuela primaria, en

el periodo donde “estudian” cuestiones aritméticas (que ocupan el mayor tiempo en el

programa) existe un importante desequilibrio entre las organizaciones praxeológicas de

formación, es decir, entre el saber y el saber hacer.

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REFERENCIAS

Barquero, B. Bosch, M. y Gascón J. (2013). Las tres dimensiones del problema didáctico de

la modelización matemática. Educación Matemática, 15(1), pp.1-28.

Boisnard, D., Houdebine, J., Julo, J., Kerboeuf, M.-P. & Merri M. (1994). La proportionnalité

et ses problèmes. Paris: Hachette.

Cedillo, T., Isoda, M., Chalini, A., Cruz, V., Ramírez, M. E. y Vega, E. (2012). Matemáticas

para la Educación Normal: guía para el aprendizaje y enseñanza de la aritmética.

México: Pearson/SEP.

Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. AIQUE,

Buenos Aires.

Gascón, J. Bosch M. (2007). La miseria del generalismo pedagógico, ante el problema de la

formación del profesorado. En Ruiz-Higueras, L.; Estepa, A.; García, F. J. (Eds).

Sociedad, Escuela y Matemáticas. Aportaciones de la teoría Antropológica de lo

Didáctico, pp. 201-240. Jaén: Universidad de Jaén, Servicio de Publicaciones.

Gascón, J. (2011). ¿Qué problema se plantea el enfoque por competencias? Un análisis

desde la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en didáctique des

mathématiques, 31(1), pp. 9-50.

Isoda, M. y Cedillo, T. (Eds.). (2012). Matemáticas para la Educación Normal, tomo V, Vol. 2.

México: Pearson/SEP

Perry, P., Guacaneme, E., Andrade, L., Fernández, F. (2003) Transformar la enseñanza de

la proporcionalidad en la escuela: Un hueso duro de roer. Una empresa Docente,

Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia.

SEP. (2011). Documento base para la consulta nacional de la Reforma Curricular de la

Educación Normal: Licenciatura en educación primaria, Licenciatura en educación

preescolar y Licenciatura en educación preescolar intercultural bilingüe. México. D.F.

SEP. (2012). Aritmética: su aprendizaje y enseñanza. Licenciatura en Educación Primaria.

Programa del curso. DGESPE. México.