nÚmeros enteros · significado y contextualizándolo en problemas de la vida cotidiana. 6, 7 13-15...

3 Números enteros

66Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Es posible que algunos alumnos hayan estudiado los números enteros en Primaria y todos habrán manejado números enteros en situa-ciones tan cotidianas como elegir una planta en un ascensor. Sin embargo, este es el primer momento en el que van a operar con ellos. Por este motivo es conveniente partir de cero y mostrar diversas situaciones en las que se utilizan los números enteros y reflexionar sobre

las ventajas de su uso. Esta unidad no debería pretender completar los contenidos relacionados con los números enteros ya que se volverán a estudiar en 2.º de ESO.

Los contenidos que se trabajan en esta unidad parten de situaciones cotidianas en las que encontramos números enteros y se estudian las operaciones que podemos realizar con ellos poniendo énfasis en su aplicación.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de noticias publicadas en los medios de comunicación relacionadas con los números enteros.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con los números enteros.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es la meteorología, los alumnos profundizarán en el uso de los números enteros.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada epígrafe (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚ Conocer los números enteros y utilizarlos en situaciones cotidianas.❚ Operar correctamente con los números enteros.❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de números enteros.❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando números enteros.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario. Para facilitar la comprensión de los contenidos, estas actividades van acompañadas de pistas, ejercicios resueltos o llamadas de atención.

NÚMEROS ENTEROS3

67

3Números enteros

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Números positivos y negativos

1. Identificar números positivos y negativos, y utilizarlos en situaciones cotidianas.

2. Representar números enteros en la recta numérica.

1.1. Identifica los números enteros y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa.1.2. Emplea adecuadamente los números enteros para resolver problemas cotidianos contextualizados.

2.1. Representa e interpreta los números enteros en la recta numérica.

1, 2

51, 52Matemáticas vivas 1, 5Trabajo cooperativo

3-553Matemáticas vivas 1c

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Ordenación de números enterosValor absoluto de un número enteroOpuesto de un número entero

3. Comparar y ordenar números enteros.

4. Calcular valores absolutos y opuestos de números enteros.

3.1. Compara números enteros y los utiliza para ordenar adecuadamente la información cuantitativa.

4.1. Calcula e interpreta adecuadamente el valor absoluto de un número entero comprendiendo su significado y contextualizándolo en problemas de la vida cotidiana.4.2. Calcula e interpreta adecuadamente el opuesto de un número entero comprendiendo su significado y contextualizándolo en problemas de la vida cotidiana.

6, 713-1554-57, 60, 78Matemáticas vivas 1a-d, 2a

8, 958

10, 1159

CMCTCLCSCCAACSIEE

Suma y resta de números enteros

5. Sumar y restar números enteros.

6. Utilizar la suma y la resta de números enteros para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

5.1. Elige la forma de cálculo apropiada utilizando diferentes estrategias que permitan simplificar la suma y la resta de números enteros.5.2. Suma y resta números enteros utilizando medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.

6.1. Emplea adecuadamente la suma y la resta de números enteros para resolver problemas cotidianos contextualizados.

16-2561-64

CM1-CM3

26, 27, 47-5077, 79-84Matemáticas vivas 2b, 3, 4

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Multiplicación y división de números enteros

7. Multiplicar y dividir números enteros.

8. Utilizar la multiplicación y la división de números enteros para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

7.1. Elige la forma de cálculo apropiada utilizando diferentes estrategias que permitan simplificar la multiplicación y la división de números enteros.7.2. Multiplica y divide números enteros utilizando medios tecnológicos.8.1. Emplea adecuadamente la multiplicación y la división de números enteros para resolver problemas cotidianos contextualizados.

28-3465-70

36

35

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Operaciones combinadasOperaciones sin paréntesisOperaciones con paréntesis

9. Desarrollar la competencia en el uso de operaciones combinadas con números enteros como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.

10. Utilizar las operaciones combinadas de números enteros para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

9.1. Calcula el valor de expresiones numéricas de números enteros mediante las operaciones elementales aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.9.2. Realiza operaciones combinadas de números enteros utilizando medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.10.1. Emplea adecuadamente las operaciones combinadas de números enteros para resolver problemas cotidianos contextualizados.

37-4571-76

46

85, 86

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de los números enteros. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre números enteros y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos con-tenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con los números enteros pueden acceder a las lecciones 1068 y 1069 de la web www.mismates.es.

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Ordenación de números enteros • Valor absoluto y opuesto

de un número entero

4. Multiplicación y división de números enteros

• Multiplicación de números enteros • División de números enteros

Lee y comprende las matemáticasNúmeros enteros en la alimentación • Estudio de la cadena de frío

en los alimentos

¿Qué tienes que saber? • Ordenación de números enteros • Suma y resta de números enteros • Multiplicación y división de números

enteros • Operaciones combinadas

Matemáticas vivasLa meteorología • Estudio de temperaturas positivas

y negativas

AvanzaPotencias de base un número entero

Cálculo mentalEstrategia para la resta

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Comprende y resuelve problemas

Practica+

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

MisMates.esLecciones 1068 y 1069 de la web www.mismates.es

Presentación de la unidadIdeas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Primera aplicación de los números enteros

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es la Búsqueda de información, de Mel Silberman

1. Números positivos y negativos GeoGebra. Representación en una recta numérica

3. Suma y resta de números enteros GeoGebra. Suma de números enterosGeoGebra. Resta de números enteros

5. Operaciones combinadas • Operaciones sin paréntesis • Operaciones con paréntesis

Vídeo. Operaciones combinadas con números enteros

Actividades finales Actividades interactivas

Adaptación curricular

3 Números enteros

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO68

69

3Números enteros


Sugerencias didácticas

Para comenzar la unidad partiremos de situaciones cotidia-nas en las que se utilizan los números enteros. Se les plan-teará a los alumnos que propongan ejemplos en los que sea necesario su uso.

Antes de comenzar la unidad conviene repasar las propie-dades y la representación de números naturales así como sus operaciones. En esta unidad se generalizan esas opera-ciones utilizando los números negativos.

Contenido WEB. APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio de la unidad con infor-mación relativa al tema. En él se explican los primeros usos de los números enteros en distintos momentos históricos.

Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

47

3REPASA LO QUE SABES

1. Completa en tu cuaderno.

a) 3 + 2 = § + 3 15 + § = 34 + 15

❚ Propiedad de la suma:El orden de los no altera la suma.

b) 3 ⋅ 2 = 2 ⋅ § § ⋅ 34 = 34 ⋅ 15

❚ Propiedad del producto:El orden de los no altera el producto.

2. Indica a qué número natural corresponde cada punto marcado.

3. Realiza la siguiente operación.

4 − 3 + 7 − 1 − 2 + 9

4. Calcula.

a) 4 ⋅ 5 : 2 ⋅ 6 b) 12 : 3 ⋅ 7 : 2

5. Realiza estas operaciones combinadas.

a) 5 + 3 ⋅ 2 b) 4 + 2 ⋅ (8 − 5) − 1

Podemos encontrar números enteros, por ejemplo, en el interior de la mayor parte de los ascensores a los que subimos.

Así, cuando accedemos a un edificio y montamos en el ascensor, la planta en la que estamos suele representarse con el 0; las plantas superiores se indican con números positivos, y las inferiores, con números negativos.

NÚMEROS ENTEROS

La primera aplicación de los números enteros surgió en la contabilidad, donde los números negativos representaban deudas y los positivos, haberes.

Matemáticas en el día a día ][

Así, cuando accedemos a un edificio y montamos en el IDEAS PREVIAS

Los números naturales:

❚ Propiedades.

❚ Representación.

❚ Operaciones.

1 100• • • •• •

ma1e9

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Completa en tu cuaderno.

a) 3 + 2 = § + 3 15 + § = 34 + 15

Propiedad ___________ de la suma: el orden de los ___________ no altera la suma.

b) 3 ⋅ 2 = 2 ⋅ § § ⋅ 34 = 34 ⋅ 15

Propiedad ___________ del producto: el orden de los ___________ no altera el producto.

a) 3 + 2 = 2 + 3 15 + 34 = 34 + 15

Propiedad conmutativa de la suma: el orden de los sumandos no altera la suma.

b) 3 ⋅ 2 = 2 ⋅ 3 15 ⋅ 34 = 34 ⋅ 15

Propiedad conmutativa del producto: el orden de los factores no altera el producto.

2. Indica a qué número natural corresponde cada punto marcado.

1 100• • • •• •

Los puntos marcados corresponden a los números 2, 3, 5, 8, 11 y 14.

3. Realiza la siguiente operación.

4 − 3 + 7 − 1 − 2 + 9

1 + 7 − 1 − 2 + 9 = 8 − 1 − 2 + 9 = 7 − 2 + 9 = 5 + 9 = 14

4. Calcula.

a) 4 ⋅ 5 : 2 ⋅ 6 b) 12 : 3 ⋅ 7 : 2

a) 20 : 2 ⋅ 6 = 10 ⋅ 6 = 60 b) 4 ⋅ 7 : 2 = 28 : 2 = 14

5. Realiza estas operaciones combinadas.

a) 5 + 3 ⋅ 2 b) 4 + 2 ⋅ (8 − 5) − 1

a) 5 + 6 = 11 b) 4 + 2 ⋅ 3 − 1 = 4 + 6 − 1 = 10 − 1 = 9

3 Números enteros


1. Números positivos y negativos

49

3Actividades3 Números enteros

48

Unos estudios cartográficos han descubierto un pequeño islote de origen volcánico. El mapa refleja las curvas de nivel del islote.a) Si la escala está expresada en

metros, ¿cuál es la altura del volcán sobre el nivel del mar?

b) ¿A qué profundidad se encuentra la base del volcán?

c) ¿Cuántos metros hay entre la cima y la base del volcán?

4

a)

b)

c)

1. NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Marta observa que el termómetro dela calle marca 0 ºC.

Cuando llega a casa, comprueba quela temperatura es de 18 ºC.

A continuación, enciende la radio yel locutor anuncia que la temperatura vaa bajar hasta los −5 ºC.

❚ La temperatura en la calle se indica conel número 0.

❚ La temperatura en la casa se expresa con un número positivo: +18.

❚ La temperatura prevista para mañana se muestra con un número negativo: −5.

Existen muchas situaciones que no se pueden expresar utilizando solo números naturales. Necesitamos los números enteros.

Escribe la temperatura que marcan estos termómetros.1Aprenderás a… ● Identificar números positivos y negativos.

● Utilizar los números enteros.

● Representar números enteros en la recta numérica.

EJERCICIO RESUELTO

} Este es el directorio de plantas de unos grandes almacenes.

Utiliza números enteros para indicar la planta en que se encuentran estas personas.

a) Antonio recoge el coche en el sótano 3.

b) Clara compra el pan en la planta de alimentación.

c) Roberto busca la camiseta de su equipo de fútbol preferido.

SoluciónAntonio está en la planta −3, Clara está en la −1, y Roberto, en la +5.

SS3 SS2 SS1 PB 1 2 3 4 5

Aparcamiento Aparcamiento Alimentación Perfumería Zapatería Niños Hogar Moda Deportes

+1–1 0• • • • • ••

+10• • • ••• •

0• • • • • • •

Al conjunto de los números enteros se le designa por la letra .

Lenguaje matemático

En tu vida diaria

La Organización Mundial

de la Salud lanzó la

campaña «Salud libre

de mercurio en el año

2020» con el objetivo

de eliminar el mercurio

de todos los dispositivos

médicos de medición,

como tensiómetros y

termómetros, para esa

fecha.

Los números enteros están formados por un signo y una parte numérica.

El signo + o − indica si la cantidad está por encima o por debajo del cero.

+ 18 − 5

Signo SignoParte numérica Parte numérica

Investiga

Los números enteros se representan en una recta de esta forma:

1 Dibujamos una recta horizontal y marcamos un punto que representa el 0.

2 Señalamos el 1 a la derecha del 0 y medimos con el compás la distancia entre estos dos puntos.

3 Marcamos los números positivos desplazando esta distancia hacia la derecha, y los negativos, desplazando la distancia hacia la izquierda tantas veces como queramos.

¿Cuáles de ellas se expresan utilizando números enteros positivos? ¿Y números enteros negativos?

Indica en cuáles de estas situaciones se necesitan números enteros positivos y en cuáles negativos. Escribe un ejemplo para cada una de ellas.a) La cantidad de canicas que entran en un tarro.b) Las plantas de un aparcamiento subterráneo.c) La temperatura del agua.d) Los litros de gasolina que caben en el depósito de un coche.e) La profundidad a la que se encuentra un submarino.

¿Qué números enteros corresponden a los puntos marcados en estas rectas numéricas?

2

3

Utiliza Internet para averiguar:a) La temperatura más baja registrada en la Tierra.b) La mayor profundidad alcanzada por un submarino.

5

ma1e10

Soluciones de las actividades1 Escribe la temperatura que marcan estos termómetros.

¿Cuáles de ellas se expresan utilizando números en-teros positivos? ¿Y números enteros negativos?

12 ºC −9 ºC 0 ºC 35 ºC

Se expresan con números enteros positivos 12 ºC y 35 ºC, y con números enteros negativos, −9 ºC.


Conviene empezar el epígrafe preguntando a los alumnos por situaciones en las que sea necesario utilizar los números negativos. Pueden ser preguntas sobre deudas, profundida-des,... y terminar con cuestiones sobre temperaturas para enlazar con el epígrafe.

Es importante en el inicio de la unidad habituar a los alumnos a escribir el signo de los números enteros con los que están trabajando, ya sean positivos o negativos, para posterior-mente prescindir de él cuando los números sean positivos.

GeoGebra. REPRESENTACIÓN EN UNA RECTA NUMÉRICA

Se incluye como recurso TIC un archivo que muestra el procedi-miento para representar números enteros en la recta numérica. Este recurso completa la explicación del libro y tras acceder a él, puede utilizarse pulsando sobre la barra de navegación para ver paso a paso dicha representación, o activando el botón Reprodu-ce de modo que la construcción se realizará automáticamente sin necesidad de interacción con el archivo.

Puede proponerse a los alumnos dibujar más números positivos y negativos de forma exacta.

71

3Números enteros


2 Indica en cuáles de estas situaciones se necesitan números enteros positivos y en cuáles negativos. Escribe un ejemplo para cada una de ellas.

a) La cantidad de canicas que entran en un tarro.

b) Las plantas de un aparcamiento subterráneo.

c) La temperatura del agua.

d) Los litros de gasolina que caben en el depósito de un coche.

e) La profundidad a la que se encuentra un submarino.

a) Se necesitan números positivos.

Por ejemplo: Hay 20 canicas en el tarro.

b) Se necesitan números negativos.

Por ejemplo: Tengo el coche en la tercera planta, es decir, tengo el coche en la planta −3.

c) Se necesitan números negativos.

Por ejemplo: El agua bajó a los −7 ºC en el congelador.

d) Se necesitan números positivos.

Por ejemplo: En el depósito de este coche caben 54 litros de gasolina.

e) Se necesitan números negativos.

Por ejemplo: El submarino está a −52 metros.3 ¿Qué números enteros corresponden a los puntos marcados en estas rectas numéricas?

a)

+1–1 0• • • • • ••

b)

+10• • • ••• •

c)

0• • • • • • •

a) −9, −4, −2, 3, 4, 7 y 10

b) −5, −3, 2, 6, 11, 13 y 15

c) −16, −15, −11, −10, −7, −6 y −44 Unos estudios cartográficos han descubierto un pequeño islote

de origen volcánico.

El mapa refleja las curvas de nivel del islote.

a) Si la escala está expresada en metros, ¿cuál es la altura del volcán sobre el nivel del mar?

b) ¿A qué profundidad se encuentra la base del volcán?

c) ¿Cuántos metros hay entre la cima y la base del volcán?

a) La altura del volcán es de 40 m.

b) La profundidad del volcán es de 30 m.

c) Desde la cima hasta el cero hay 40 m, desde el cero hasta la base del volcán hay otros 30 m. En total hay 70 m.

Investiga5 Utiliza Internet para averiguar:

a) la temperatura más baja registrada en la Tierra.

b) La mayor profundidad alcanzada por un submarino.

a) En la Antártida se registró la temperatura más baja de la Tierra: −89,2 °C

b) Un submarino japonés ha alcanzado −11 000 m en la fosa de las Marianas (océano Pacífico).

3 Números enteros


2. Ordenación de números enteros

51


50

DESAFÍO

2. ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Javier trabaja en el servicio de información meteorológica de un periódico. Mañana va a publicar las temperaturas medias de las capitales europeas de este mapa, ordenadas de menor a mayor.

Valor absoluto y opuesto de un número entero

Carmen se ha quedado encerrada en un ascensor. Por el intercomunicador avisa al servicio de emergencia y les dice que está a 3 plantas de la planta 0.

Según su explicación, Carmen puede estar en dos posibles plantas: en la 3 o en su opuesta, la −3.

Para ordenar números enteros, se comparan dos a dos teniendo en cuenta estas reglas:

❚ Si los dos son positivos, es mayor el que está más lejos del 0.

❚ Si uno es positivo y otro negativo, es mayor el positivo.

❚ Si los dos son negativos, es mayor el que está más cerca del 0.

❚ El valor absoluto de un número entero es la distancia que lo separa del 0en la recta numérica.

Se indica mediante dos barras verticales y es igual al número sin su signo.

|−3| = 3 |+3| = 3

❚ El opuesto de un número entero es otro entero situado a la misma distancia del 0 pero de signo contrario.

op(+3) = −3 op|−3| = +3

Ordena los números para encontrar el mensaje secreto.15

Aprenderás a… ● Ordenar números enteros.

● Calcular el valor absolutoy el opuesto de un número entero.

0 1 5–10 10 13–8 –3–12• • • • •• • • •

0 +1 +2 +3–3

|–3| = 3 |+3| = 3

–2 –1• •

Indica cuál es el número entero mayor en cada caso.a) −3 y 6 c) −12 y 0 e) −7 y −9b) −5 y −7 d) 14 y 7 f) −10 y −3

Ordena de menor a mayor.a) −5, 7, −6, −12, 4, 17, −11, 5 b) 0, −4, 7, 17, −5, −9, −3, 10, 1

Calcula los valores absolutos de los siguientes números.a) +5 c) 0b) −7 d) −12

Realiza estos valores absolutos.a) |−|+4|| c) −|−|+4|| e) |−|−4||b) −|−4| d) −|+4| f) −|−|−4||

Halla los siguientes opuestos.a) op(−5) c) op(+4) e) op(0)b) op(+7) d) op(−11) f) op(−15)

Calcula estos opuestos.a) op(op(−5)) c) op(op(op(−3)))b) op(op(+2)) d) op(op(op(+7)))

Resuelve.a) op(|−3|) c) |op(−3)|b) op(|+3|) d) |op(+3)|

Ordena de mayor a menor.a) −4, 5, |−4|, 12, –13, op(+7), |−2|b) op(−5), 3, |−4|, −7, op(+12), |+6| c) 11, −8, op(|−1|), 5, |−2|, 0d) −4, op(−5), |−6|, 0, 10, −3

Relaciona la distancia con respecto al nivel del mar de cada objeto.

6

7

8

9

10

11

12

13

14 Relaciona la distancia con respecto al nivel del mar de cada objeto.14

Presta atención

❚ El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al quitarle el signo.

❚ El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto y signo contrario.

S R O E N E S M E R T Ú O N

0 3 −20 −14 23 −3 −7 −21 21 15 −15 −10 22 2 −9

Oslo−10 ºC

Roma10 ºC

Londres1 ºC

Reikiavik−12 ºC

Berlín−3 ºC

Viena5 ºC

Moscú−8 ºC

París0 ºC

Madrid13 ºC

Los números enteros positivos suelen escribirse sin el signo +.

+5 = 5


Para ordenar las temperaturas, las representamos en una recta numérica.

−12 ºC < −10 ºC < −8 ºC < −3 ºC < 0 ºC < 1 ºC < 5 ºC < 10 ºC < 13 ºC

Así, las capitales saldrán publicadas en este orden:

Reikiavik - Oslo - Moscú - Berlín - París - Londres - Viena - Roma - Madrid

Presta atención

Cualquier número es mayor que los que están a su izquierda en la recta numérica y menor que los que están a su derecha.


Antes de comenzar este epígrafe es conveniente ordenar números naturales ya que se trata de los números enteros positivos. Después, los alumnos deben ser conscientes de que al trabajar con los mismos números pero con signo ne-gativo el orden es el contrario.

Para manejar de un modo adecuado este procedimiento, es fundamental trabajar la comparación de números enteros teniendo en cuenta las reglas descritas en el epígrafe.

Los conceptos de valor absoluto y opuesto de un número entero no presentan dificultad para los alumnos aunque no tienen clara su aplicación. Se debe insistir en la necesidad de ambos a la hora de operar con números enteros.

Para terminar, conviene trabajar actividades que mezclen los dos conceptos.

Soluciones de las actividades6 Indica cuál es el número entero mayor en cada caso.

a) −3 y 6 c) −12 y 0 e) −7 y −9

b) −5 y −7 d) 14 y 7 f) −10 y −3

a) 6 c) 0 e) −7

b) −5 d) 14 f) −37 Ordena de menor a mayor.

a) −5, 7, −6, −12, 4, 17, −11, 5 b) 0, −4, 7, 17 , −5, −9 , −3, 10, 1

a) −12 < −11 < −6 < −5 < 4 < 5 < 7 < 17 b) −9 < −5 < −4 < −3 < 0 < 1 < 7 < 10 < 178 Calcula los valores absolutos de los siguientes números.

a) +5 b) −7 c) 0 d) −12

a) |+5| = 5 b) |−7| = 7 c) |0| = 0 d) |−12| = 12

73

3Números enteros


9 Realiza estos valores absolutos.

a) |−|+4|| c) −|−|+4|| e) |−|−4||

b) −|−4| d) −|+4| f) −|−|−4||

a) 4 c) −4 e) 4

b) −4 d) −4 f) −410 Halla los siguientes opuestos.

a) op(−5) d) op(−11)

b) op(+7) e) op(0)

c) op(+4) f) op(−15)

a) +5 d) +11

b) −7 e) 0

c) −4 f) +1511 Calcula estos opuestos.

a) op(op(−5)) b) op(op(+2)) c) op(op(op(−3))) d) op(op(op(+7)))

a) −5 b) +2 c) +3 d) −712 Resuelve.

a) op(|−3|) b) op(|+3|) c) |op(−3)| d) |op(+3)|

a) −3 b) −3 c) 3 d) 313 Ordena de mayor a menor.

a) −4, 5, |−4|, 12, −13, op(+7), |−2| c) 11, −8, op(|−1|), 5, |−2|, 0

b) op(−5), 3, |−4|, −7, op(+12), |+6| d) −4, op(−5), |−6|, 0, 10, −3

a) 12 > 5 > |−4| > |−2| > −4 > op(+7) > −13 c) 11 > 5 > |−2| > 0 > op(|−1|) > −8

b) |+6| > op(−5) > |−4| > 3 > −7 > op(+12) d) 10 > |−6| > op(−5) > 0 > −3 > −414 Relaciona la distancia con respecto al nivel del mar de cada objeto.

Avioneta: 90 m Submarinista: −7 m Globo: 50 m

Barco: 0 m Submarino: −45 m Ala delta: 12 m

Desafío15 Ordena los números para encontrar el mensaje secreto.

S R O E N E S M E R T Ú O N

0 3 −20 −14 23 −3 −7 −21 21 15 −15 −10 22 2 −9

Para encontrar el mensaje secreto hay que ordenar los números de mayor a menor.

N Ú M E R O S E N T E R O S

23 22 21 15 3 2 0 −3 −7 −9 −10 −14 −15 −20 −21

3 Números enteros



Las operaciones con números enteros suelen resultar com-plicadas para los alumnos. Es importante trabajar el cálculo mental con sumas y restas de números enteros, positivos y negativos, antes de pasar a actividades donde se combinen dichas operaciones. Puede ser útil plantear situaciones cer-canas, como las plantas de un edificio, para que les resulte más sencilla su comprensión.

GeoGebra. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Se presentan dos recursos TIC, para trabajar la suma y la resta de números enteros. En ambos, los deslizadores de la izquierda per-miten cambiar los términos de las operaciones para comprobar gráficamente el resultado. Y pueden modificarse para números enteros entre −10 y 10.

Con ellos pueden comprobarse gráficamente, tanto los ejemplos de esta página como los resultados de los ejercicios de la página siguiente.

53


52

3. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Andrés está en un edificio con 9 plantas sobre la planta baja y 3 sótanos.

❚ Si está en la planta 2 y sube 3 plantas, llegará a la planta 5.

(+2) + (+3) = +5

❚ Si desde el sótano 1 sube 4 plantas, terminará en la planta 3.

(−1) + (+4) = +3

❚ Si se encuentra en la planta −1 y baja 2, acabará en el sótano 3.

❚ Si está en la planta 5 y baja 7, llegará al sótano 2.

(+5) − (+7) = −2

❚ Si desde la planta 1 baja hasta el sótano 3, habrá bajado 4 plantas.

Observa: Restar a un número entero otro es lo mismo que sumarle su opuesto.

(+5) − (+7) = (+5) + op(+7) = (+5) + (−7)

(+1) − (−3) = (+1) + op(−3) = (+1) + (+3)

Aprenderás a… ● Sumar y restar números enteros.

● Aplicar la suma y la resta de números enteros.

Para sumar dos números enteros:

❚ Si tienen el mismo signo, se suman las partes numéricas. El resultado tendrá el mismo signo que los números.

❚ Si uno es positivo y el otro negativo, se resta a la parte numérica del mayor la del menor. El resultado tendrá el signo de la parte numérica mayor.

Realiza estas sumas.a) (+3) + (+5) e) (+9) + (+5) b) (+3) + (−5) f) (+9) + (−5)c) (−3) + (+5) g) (−9) + (+5)d) (−3) + (−5) h) (−9) + (−5)

Calcula las siguientes restas.a) (+3) − (+5) e) (+9) − (+5) b) (+3) − (−5) f) (+9) − (−5)c) (−3) − (+5) g) (−9) − (+5)d) (−3) − (−5) h) (−9) − (−5)

16

17

Halla el resultado de estas operaciones.a) (−7) + (−7) − (+3) − (−5)b) (+9) − (+8) − (−2) + (−6)c) (−4) + (+7) − (−6) + (−9)d) (−8) − (−3) + (−5) − (−7)

Calcula.a) (−12) − (−17) + (+23) + (−35) − (+12)b) (+27) + (−25) − (+13) − (−14) + (−31)c) (−35) − (+10) + (−20) − (−39) − (+19)d) (−29) + (−11) − (+33) − (+18) − (−26)

Copia y completa con el número que falta.a) (−15) − (§) = (−8)b) (§) + (−7) = (−10)c) (−8) − (§) + (+3) = (+10)d) (+2) + (−5) + (§) − (+12) = (−7)

18

19

20

Resuelve estas operaciones.a) 8 − 9 c) −9 + 5 e) −6 − 7b) 4 − 10 d) −11 + 3 f) −12 − 10

Calcula.a) 8 − 7 + 2 + 5 c) 8 − 7 − 2 + 5b) 8 − 7 + 2 − 5 d) −8 − 7 + 2 − 5

Efectúa estas sumas y restas.a) 15 − 17 + 4 − 3 d) −19 + 31 − 15 − 23 − 3b) −21 − 9 − 5 + 10 e) 9 − 27 + 10 + 6 − 13c) 12 − 31 − 5 + 17 f) −20 − 2 − 32 + 15 + 7

Completa en tu cuaderno con el signo que falta.a) §7 § 2 = −9 c) §2 § 1 = 3b) §2 § 6 = −4 d) §7 § 12 = 5

Copia y completa para que sean ciertas las siguientes operaciones.a) 20 + (§) = −5b) (§) + 9 = 3c) 10 + (§) + 7 = −12d) −2 + 6 + (§) − 19 = 3

La variación de las temperaturas en esta semana en una población ha sido la siguiente.

21

22

23

24

25

26

L M X J V S D

−2 ºC 3 ºC −1 ºC 2 ºC −5 ºC 1 ºC 3 ºC

EJERCICIO RESUELTO

} Realiza las siguientes operaciones.

a) 5 − 7 b) −5 − 7 c) −5 + 7

Solucióna) 5 − 7 = (+5) + (−7) = −2b) −5 − 7 = (−5) + (−7) = −12c) −5 + 7 = (−5) + (+7) = 2

EJERCICIO RESUELTO

} Resuelve esta operación.

(−3) + (−5) − (+3) − (−7)

Solución(−3) + (−5) − (+3) − (−7) =

= (−3) + (−5) + op(+3) + op(−7) = = (−3) + (−5) + (−3) + (+7) =

= (−8) + (−3) + (+7) = (−11) + (+7) = −4

Transformamos las restas en sumas.

1 2 3 4 5 6 7 8 90–1–2–3

+4•

sustituir

sustituir

1 2 3 4 5 6 7 8 90–1–2–3

–7•

DESAFÍOCopia y rellena los huecos para que las sumas en vertical, horizontal y diagonal tengan el mismo resultado.

27

❚ Para sumar dos números enteros del mismo signo, sumamos sus valores absolutos y al resultado le añadimos el signo de los sumandos.

(+2) + (+3) = +5

❚ Para sumar dos números enteros de distinto signo, restamos sus valores absolutos (el menor al mayor) y al resultado le añadimos el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto.

(−5) + (+4) = −1

|+2| = 2 2 + 3 = 5

|+3| = 3

|−5| = 5 5 − 4 = 1

|+4| = 4


Para restar dos números enteros, se suma al primero el opuesto del segundo.

a) ¿Qué diferencia de temperatura hubo entre el lunes y el martes?

b) ¿Y entre el miércoles y el viernes?

Efectuamos las sumas en el orden en el que aparecen.

ma1e11

ma1e12

3. Suma y resta de números enteros

Soluciones de las actividades16 Realiza estas sumas.

a) (+3) + (+5) c) (−3) + (+5) e) (+9) + (+5) g) (−9) + (+5)

b) (+3) + (−5) d) (−3) + (−5) f) (+9) + (−5) h) (−9) + (−5)

a) +8 b) −2 c) +2 d) −8 e) +14 f) +4 g) −4 h) −1417 Calcula las siguientes restas.

a) (+3) − (+5) c) (−3) − (+5) e) (+9) − (+5) g) (−9) − (+5)

b) (+3) − (−5) d) (−3) − (−5) f) (+9) − (−5) h) (−9) − (−5)

a) −2 b) +8 c) −8 d) +2 e) +4 f) +14 g) −14 h) −418 Halla el resultado de estas operaciones.

a) (−7) + (−7) − (+3) − (−5) c) (−4) + (+7) − (−6) + (−9)

b) (+9) − (+8) − (−2) + (−6) d) (−8) − (−3) + (−5) − (−7)

a) (−14) − (+3) − (−5) = (−17) − (−5) = −12 c) (+3) − (−6) + (−9) = (+9) + (−9) = 0

b) (+1) − (−2) + (−6) = (+3) + (−6) = −3 d) (−5) + (−5) − (−7) = (−10) − (−7) = −3

75

3Números enteros


19 Calcula.

a) (−12) − (−17) + (+23) + (−35) − (+12) c) (−35) − (+10) + (−20) − (−39) − (+19)

b) (+27) + (−25) − (+13) − (−14) + (−31) d) (−29) + (−11) − (+33) − (+18) − (−26)

a) (+5) + (+23) + (−35) − (+12) = (+28) + (−35) − (+12) = (−7) − (+12) = −19

b) (+2) − (+13) − (−14) + (−31) = (−11) − (−14) + (−31) = (+3) + (−31) = −28

c) (−45) + (−20) − (−39) − (+19) = (−65) − (−39) − (+19) = (−26) − (+19) = −45

d) (−40) − (+33) − (+18) − (−26) = (−73) − (+18) − (−26) = (−91) − (−26) = −6520 Copia y completa con el número que falta.

a) (−15) − (§) = (−8) c) (−8) − (§) + (+3) = (+10)

b) (§) + (−7) = (−10) d) (+2) + (−5) + (§) − (+12) = (−7)

a) (−15) − (−7) = (−8) c) (−8) − (−15) + (+3) = (+10)

b) (−3) + (−7) = (−10) d) (+2) + (−5) + (+8) − (+12) = (−7)21 Resuelve estas operaciones.

a) 8 − 9 c) −9 + 5 e) −6 − 7

b) 4 − 10 d) −11 + 3 f) −12 − 10

a) 8 − 9 = −1 c) −9 + 5 = −4 e) −6 − 7 = −13

b) 4 − 10 = −6 d) −11 + 3 = −8 f) −12 − 10 = −2222 Calcula.

a) 8 − 7 + 2 + 5 b) 8 − 7 + 2 − 5 c) 8 − 7 − 2 + 5 d) −8 − 7 + 2 − 5

a) 1 + 2 + 5 = 3 + 5 = 8 c) 1 − 2 + 5 = −1 + 5 = 4

b) 1 + 2 − 5 = 3 − 5 = −2 d) −15 + 2 − 5 = −13 − 5 = −1823 Efectúa estas sumas y restas.

a) 15 − 17 + 4 − 3 d) −19 + 31 − 15 − 23 − 3

b) −21 − 9 − 5 + 10 e) 9 − 27 + 10 + 6 − 13

c) 12 − 31 − 5 + 17 f) −20 − 2 − 32 + 15 + 7

a) −2 + 4 − 3 = 2 − 3 = −1 d) 12 − 15 − 23 − 3 = −3 − 23 − 3 = −26 − 3 = −29

b) −30 − 5 + 10 = −35 + 10 = −25 e) −18 + 10 + 6 − 13 = −8 + 6 − 13 = −2 − 13 = −15

c) −19 − 5 + 17 = −24 + 17 = −7 f) −22 − 32 + 15 + 7 = −54 + 15 + 7 = −39 + 7 = −3224 Completa en tu cuaderno con el signo que falta.

a) §7 § 2 = −9 b) §2 § 6 = −4 c) §2 § 1 = 3 d) §7 § 12 = 5

a) −7 − 2 = −9 b) +2 − 6 = −4 c) +2 + 1 = 3 d) −7 + 12 = 525 Copia y completa para que sean ciertas las siguientes operaciones.

a) 20 + (§) = −5 b) (§) + 9 = 3 c) 10 + (§) + 7 = −12 d) −2 + 6 + (§) − 19 = 3

a) 20 + (−25) = −5 b) (−6) + 9 = 3 c) 10 + (−29) + 7 = −12 d) −2 + 6 + (+18) − 19 = 326 La variación de las temperaturas en esta semana en una pobla-

ción ha sido la siguiente.

a) ¿Qué diferencia de temperatura hubo entre el lunes y el martes?

b) ¿Y entre el miércoles y el viernes?

a) 3 − (−2) = 5 b) −5 − (−1) = −4

Desafío27 Copia y rellena los huecos para que las sumas en vertical, horizontal y diagonal tengan el mismo resultado.

a) b)

L M X J V S D

−2 ºC 3 ºC −1 ºC 2 ºC −5 ºC 1 ºC 3 ºC

−5 −6 8

12 −1 −14

−10 4 3

−8 10 −11

−6 −3 0

5 −16 2

3 Números enteros



Los alumnos no suelen tener dificultad en el manejo de la regla de los signos tanto para multiplicar como para dividir números enteros. Sin embargo, suelen confundir situacio-nes en las que tienen que operar con dos números nega-tivos. Así, al resolver una operación como −5 − 3 algunos

interpretan que por el hecho de aparecer dos signos menos deben cambiar el signo al resultado cuando, en realidad, en esta operación no interviene la regla de los signos.

Es importante que comprendan la diferencia que existe y cuándo es correcto aplicar dicha regla.

54

3 Números enteros

55

4. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Multiplicación de números enteros

Claudia quiere ahorrar para comprar unos patines. Decide que de lunes a viernes meterá 7 € al día en su hucha, y el fin de semana, sacará 6 € cada día.

❚ Si empieza a ahorrar el lunes, ¿cuánto dinero tendrá el viernes?

Para multiplicar dos números enteros:

1 Se multiplican las partes numéricas.

2 Al resultado se le añade el signo más (+) si ambos números tienen el mismo signo, y el signo menos (−) si tienen distinto signo.

Para dividir dos números enteros:

1 Se calcula el cociente de las partes numéricas.

2 Al resultado se le añade el signo más (+) si ambos números tienen el mismo signo, y el signo menos (−) si tienen distinto signo.

Aprenderás a… ● Multiplicar y dividir números enteros.

● Aplicar la multiplicación y la división de los números enteros.

Copia y completa con el signo que falta en cada multiplicación.a) (+4) ⋅ (−2) = § 8 c) (−4) ⋅ (−2) = § 8b) (−4) ⋅ (+2) = § 8 d) (+4) ⋅ (+2) = § 8

Realiza las siguientes multiplicaciones.a) (−5) ⋅ (+5) d) (+7) ⋅ (+3) g) (+5) ⋅ (−4)b) (−4) ⋅ (−7) e) (−8) ⋅ (+5) h) (−7) ⋅ (+8)c) (+6) ⋅ (+3) f) (+4) ⋅ (−9) i) (−2) ⋅ (−9)

Calcula.a) (−3) ⋅ (+5) ⋅ (−2) d) (+3) ⋅ (+5) ⋅ (−2)b) (−3) ⋅ (+5) ⋅ (+2) e) (−3) ⋅ (−5) ⋅ (+2)c) (−3) ⋅ (−5) ⋅ (−2) f) (+3) ⋅ (−5) ⋅ (+2)

Completa en tu cuaderno con el signo que falta en cada división.a) (+8) : (−2) = § 4 c) (−8) : (+2) = § 4b) (−8) : (−2) = § 4 d) (+8) : (+2) = § 4

Realiza estas divisiones.a) (−16) : (+2) d) (+16) : (+4) g) (+20) : (+5)b) (+4) : (−2) e) (−11) : (−11) h) (−18) : (+9)c) (−9) : (+3) f) (+15) : (−5) i) (−10) : (−5)

Calcula.a) (−20) : (−5) : (+2) d) (+56) : (−7) : (−4)b) (+12) : (+4) : (−3) e) (−40) : (−20) : (−2)c) (−30) : (−5) : (+2) f) (−32) : (+8) : (+4)

Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones combinadas.

28

29

30

31

32

33

34

Un submarino inicia su maniobra de inmersión. Para ello, baja 3 mcada 10 s. ¿Cuál será su posición con respecto al nivel del mar al cabo deun minuto?

35

Presta atención

❚ Para realizar varias multiplicaciones o divisiones, estudiamos primero el signo y luego realizamos las multiplicaciones y divisionesde las partes numéricas.

(−20) : (−5) ⋅ (+2) =

(−) : (−) ⋅ (+)= = +8 20 : 5 ⋅ 2

❚ Resolvemos siempre las operaciones de izquierda a derecha.

DESAFÍO

Para introducir números negativos en las calculadoras científicas, usamos la tecla . Según el modelo de calculadora que utilicemos la forma de introducirlos es diferente.Por ejemplo, para realizar la operación (+4) ⋅ (−5), pulsamos:

4*5æ= o 4*æ5=

Hay calculadoras que tienen esta tecla para introducir los números negativos.

Utiliza la calculadora para hallar los siguientes productos y cocientes. a) (+276) ⋅ (−245) : (+92)b) (−4 118) : (+58) ⋅ (−35)c) (−25) ⋅ (−81) ⋅ (+71)d) (−13 685) : (−35) : (−17)

36

Lunes Hoy

+7 +7 +7 +7 +7 –6 –6

L M X J V S D

Sábado Domingo

+7 +7 +7 +7 +7 –6 –6

L M X J V S D

Dos días menos Hoy

–6 –6

L M X J V S D

a) (−18) : (−9) ⋅ (+2) d) (+3) ⋅ (−5) ⋅ (−2) : (−6)

b) (+6) ⋅ (+4) : (−3) e) (−40) : (−5) ⋅ (−3) : (−2)

c) (−30) : (−3) ⋅ (+2) f) (−11) ⋅ (+8) : (−4) : (−2)

Presta atención

Para multiplicar o dividir números enteros se utiliza la regla de los signos.

+ ⋅ + = + + : + = +

+ ⋅ − = − + : − = −

− ⋅ + = − − : + = −

− ⋅ − = + − : − = +

3Actividades

(+7) ⋅ (+5) = +35

Tendrá 35 € más.

❚ ¿Cuánto dinero menos tendrá si saca el dinero correspondiente del fin de semana?

(−6) ⋅ (+2) = −12

Tendrá 12 € menos.

❚ Si hoy es domingo, ¿cuánto dinero más tenía el viernes?

(−6) ⋅ (−2) = +12

Tenía 12 € más.

División de números enteros

Podemos deducir una regla para dividir números enteros basándonos en la multiplicación.

Aplicando la prueba de la división deducimos que:

(+12) : (+3) = +4 porque (+3) ⋅ (+4) = +12

(−12) : (+3) = −4 porque (+3) ⋅ (−4) = −12

(+12) : (−3) = −4 porque (−3) ⋅ (−4) = +12

(−12) : (−3) = +4 porque (−3) ⋅ (+4) = −12

4. Multiplicación y división de números enteros

Soluciones de las actividades28 Copia y completa con el signo que falta en cada multiplicación.

a) (+4) ⋅ (−2) = §8 b) (−4) ⋅ (+2) = §8 c) (−4) ⋅ (−2) = §8 d) (+4) ⋅ (+2) = §8

a) (+4) ⋅ (−2) = −8 b) (−4) ⋅ (+2) = −8 c) (−4) ⋅ (−2) = +8 d) (+4) ⋅ (+2) = +8 29 Realiza las siguientes multiplicaciones.

a) (−5) ⋅ (+5) d) (+7) ⋅ (+3) g) (+5) ⋅ (−4)

b) (−4) ⋅ (−7) e) (−8) ⋅ (+5) h) (−7) ⋅ (+8)

c) (+6) ⋅ (+3) f) (+4) ⋅ (−9) i) (−2) ⋅ (−9)

a) (−5) ⋅ (+5) = −25 d) (+7) ⋅ (+3) = +21 g) (+5) ⋅ (−4) = −20

b) (−4) ⋅ (−7) = +28 e) (−8) ⋅ (+5) = −40 h) (−7) ⋅ (+8) = −56

c) (+6) ⋅ (+3) = +18 f) (+4) ⋅ (−9) = −36 i) (−2) ⋅ (−9) = 1830 Calcula.

a) (−3) ⋅ (+5) ⋅ (−2) c) (−3) ⋅ (−5) ⋅ (−2) e) (−3) ⋅ (−5) ⋅ (+2)

b) (−3) ⋅ (+5) ⋅ (+2) d) (+3) ⋅ (+5) ⋅ (−2) f) (+3) ⋅ (−5) ⋅ (+2)

a) (−15) ⋅ (−2) = +30 c) (+15) ⋅ (−2) = −30 e) (+15) ⋅ (+2) = +30

b) (−15) ⋅ (+2) = −30 d) (+15) ⋅ (−2) = −30 f) (−15) ⋅ (+2) = −30

77

3Números enteros


31 Completa en tu cuaderno con el signo que falta en cada división.

a) (+8) : (−2) = §4 b) (−8) : (−2) = §4 c) (−8) : (+2) = §4 d) (+8) : (+2) = §4

a) (+8) : (−2) = −4 b) (−8) : (−2) = +4 c) (−8) : (+2) = −4 d) (+8) : (+2) = +432 Realiza estas divisiones.

a) (−16) : (+2) d) (+16) : (+4) g) (+20) : (+5)

b) (+4) : (−2) e) (−11) : (−11) h) (−18) : (+9)

c) (−9) : (+3) f) (+15) : (−5) i) (−10) : (−5)

a) (−16) : (+2) = −8 d) (+16) : (+4) = +4 g) (+20) : (+5) = +4

b) (+4) : (−2) = −2 e) (−11) : (−11) = +1 h) (−18) : (+9) = −2

c) (−9) : (+3) = −3 f) (+15) : (−5) = −3 i) (−10) : (−5) = +233 Calcula.

a) (−20) : (−5) : (+2) d) (+56) : (−7) : (−4)

b) (+12) : (+4) : (−3) e) (−40) : (−20) : (−2)

c) (−30) : (−5) : (+2) f) (−32) : (+8) : (+4)

a) (+4) : (+2) = +2 d) (−8) : (−4) = +2

b) (+3) : (−3) = −1 e) (+2) : (−2) = −1

c) (+6) : (+2) = +3 f) (−4) : (+4) = −134 Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones combinadas.

a) (−18) : (−9) ⋅ (+2) d) (+3) ⋅ (−5) ⋅ (−2) : (−6)

b) (+6) ⋅ (+4) : (−3) e) (−40) : (−5) ⋅ (−3) : (−2)

c) (−30) : (−3) ⋅ (+2) f) (−11) ⋅ (+8) : (−4) : (−2)

a) (+2) ⋅ (+2) = +4 d) (−15) ⋅ (−2) : (−6) = (+30) : (−6) = −5

b) (+24) : (−3) = −8 e) (+8) ⋅ (−3) : (−2) = (−24) : (−2) = +12

c) (+10) ⋅ (+2) = +20 f) (−88) : (−4) : (−2) = (+22) : (−2) = −1135 Un submarino inicia su maniobra de inmersión. Para ello, baja 3 m cada 10 s.

¿Cuál será su posición con respecto al nivel del mar al cabo de un minuto?

60 : 10 = 6 6 ⋅ (−3) = −18

Al cabo de un minuto se encontrará a 18 metros bajo el nivel del mar.

Desafío36 Para introducir números negativos en las calculadoras científicas, usamos la tecla .

Según el modelo de calculadora que utilicemos la forma de introducirlos es diferente.

Por ejemplo, para realizar la operación (+4) ⋅ (−5), pulsamos:

4*5æ= o 4*æ5= Hay calculadoras que tienen esta tecla para introducir los números negativos.

Utiliza la calculadora para hallar los siguientes productos y cocientes.

a) (+276) ⋅ (−245) : (+92) c) (−25) ⋅ (−81) ⋅ (+71)

b) (−4 118) : (+58) ⋅ (−35) d) (−13 685) : (−35) : (−17)

a) (+276) ⋅ (−245) : (+92) = −735 c) (−25) ⋅ (−81) ⋅ (+71) = 143 775

b) (−4 118) : (+58) ⋅ (−35) = 2 485 d) (−13 685) : (−35) : (−17) = −23

3 Números enteros


Soluciones de las actividades37 Calcula.

a) 3 − 4 ⋅ 2 b) −3 + 4 ⋅ 2 c) 3 − 4 ⋅ (−2) d) 3 − (−4) ⋅ 2 e) −3 + (−4) ⋅ 2 f) 3 − (−4) ⋅ (−2)

a) 3 − 8 = −5 b) −3 + 8 = 5 c) 3 + 8 = 11 d) 3 − (−8) = 11 e) −3 + (−8) = −11 f) 3 − 8 = −538 Realiza las siguientes operaciones combinadas.

a) −12 : 4 + (−3) ⋅ 2 − 1 c) (−5) ⋅ (−4) + 7 − 8 ⋅ 2 e) 28 : 7 − 3 ⋅ (−5) − 16 : 2 + 1

b) −6 + 18 : (−6) + 8 d) 9 : (−3) − 1 + 4 ⋅ 2 − 5

a) −3 + (−6) − 1 = −9 − 1 = −10 c) 20 + 7 − 16 = 27 − 16 = 11 e) 4 + 15 − 8 + 1 = 19 − 8 + 1 = 11 + 1 = 12

b) −6 − 3 + 8 = −9 + 8 = −1 d) −3 − 1 + 8 − 5 = −4 + 8 − 5 = 4 − 5 = −139 Opera respetando el orden de las operaciones.

a) 5 − (4 − 6) + 3 + (8 − 12) − 1 d) 11 + (5 − 7) − (10 − 19 + 3) − (2 − 5)

b) −(6 − 10) + 5 − 8 − (10 − 7) e) −20 − 4 + (4 − 8) − (5 − 7 − 6) + 2

c) −9 − (12 − 10 + 4) − (14 − 20) + 10

a) 5 − (−2) + 3 + (−4) − 1 = 7 + 3 − 4 − 1 = 5 d) 11 + (−2) − (−6) − (−3) = 18

b) −(−4) + 5 − 8 − 3 = −2 e) −20 − 4 + (−4) − (−8) + 2 = −18

c) −9 − 6 − (−6) + 10 = 1

56

Números enteros3

57

5. OPERACIONES COMBINADAS

Operaciones sin paréntesis

Igual que cuando operamos con números naturales, para realizar operaciones combinadas con números enteros seguimos un orden.

4 + 6 : (−2) ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 + 7

Aprenderás a… ● Realizar operaciones combinadas con números enteros.

Calcula.a) 3 − 4 ⋅ 2 d) 3 − (−4) ⋅ 2b) −3 + 4 ⋅ 2 e) −3 + (−4) ⋅ 2c) 3 − 4 ⋅ (−2) f) 3 − (−4) ⋅ (−2)

Realiza las siguientes operaciones combinadas.a) −12 : 4 + (−3) ⋅ 2 − 1b) −6 + 18 : (−6) + 8c) (−5) ⋅ (−4) + 7 − 8 ⋅ 2 d) 9 : (−3) − 1 + 4 ⋅ 2 − 5 e) 28 : 7 − 3 ⋅ (−5) − 16 : 2 + 1

Opera respetando el orden de las operaciones.a) 5 − (4 − 6) + 3 + (8 − 12) − 1 b) −(6 − 10) + 5 − 8 − (10 − 7) c) −9 − (12 − 10 + 4) − (14 − 20) + 10 d) 11 + (5 − 7) − (10 − 19 + 3) − (2 − 5)e) −20 − 4 + (4 − 8) − (5 − 7 − 6) + 2

Calcula.a) 12 − 3 ⋅ (5 − 7) − 19b) −6 + (8 − 5) ⋅ (−2) − (5 − 9) : 2 + 1c) 1 + 7 − (13 − 17) ⋅ (6 − 8) − 4 d) 4 + (−3) ⋅ (7 − 10) + 2

Halla el resultado.a) −16 : 4 − (4 − 9) ⋅ 6 : 3b) 1 + 8 : (6 − 10) ⋅ (−2) c) 4 ⋅ 3 − 5 ⋅ 8 : (−4) + 1d) −9 − (5 − 7) ⋅ 3 : (−2) + 5

Efectúa estas operaciones.a) 12 − (−3) + (−5) ⋅ 6b) −15 − 18 : (1 + (−10)) − 5c) −3 + (−5) − (5 − 7 + (−2)) ⋅ (−1)d) 4 ⋅ (−3) + 1 − (−5) + (4 − 5) ⋅ 3

Resuelve estas operaciones.a) 7 − 2 ⋅ (6 − 4 ⋅ 2) + 3b) (5 − 3 ⋅ 2 + 1) ⋅ 4 − 3c) 10 + 4 ⋅ (7 − 5 ⋅ 3) + 11d) 12 + (6 − 4 ⋅ 2) : (−2) − 13

37

38

39

40

41

42

43

Calcula.a) 12 − (−9 + (−3) ⋅ 2) − 5 + (7 − 12)b) −25 + 7 − (4 − 3 ⋅ 2) + (5 − 4) ⋅ (−2)c) −12 + 5 ⋅ (5 − 7) − (4 ⋅ 3 − 7) + 1 d) 7 + 5 − (5 ⋅ 3 − 15) ⋅ 4 − (7 − 10) e) 17 − (12 − 6) − 4 ⋅ (3 − 4 ⋅ 2) + 3f) 2 ⋅ (−3) + (18 : 2 − 10) ⋅ (6 − 9)

44

Opera.a) −4 ⋅ 2 − (5 − (9 + 6) : 5) + 2b) 12 − (4 − (13 − 7) : (−3) + 2) − 5 c) 20 : (−10) + (5 ⋅ (6 − 8) + 7) − 5 ⋅ 2d) 18 : (4 : (7 − 5) ⋅ (4 − 3) + 1) − 4

45

DESAFÍOMario y Paula han utilizado dos calculadoras distintas para realizar esta operación.

5 + 3 ⋅ (−2) − 6

A Mario le da como resultado −7, mientras que Paula obtiene −22. Si ambos han introducido los datos en la calculadora en el mismo orden, ¿por qué motivo obtienen dos resultados distintos? ¿Cuál esel correcto?

46

El orden en el que resolvemos operaciones combinadas con números naturales es el siguiente:

1 Paréntesis.

2 Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).

3 Sumas y restas (de izquierda a derecha).

Recuerda

1 Calculamos todas las multiplicacionesy las divisiones.

Si hay varias, las realizamos de izquierda a derecha.

2 Resolvemos todas las sumas y las restas.

4 + 6 : (−2) ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 + 7 =

= 4 + (−3) ⋅ 5 − 12 + 7 =

= 4 − 15 − 12 + 7 =

= −11 − 12 + 7 =

= −23 + 7 = −16

1 Realizamos todas las operacionesque están entre paréntesis.

2 Resolvemos las multiplicacionesy las divisiones.

Si hay varias, operamos de izquierdaa derecha.

3 Calculamos las sumas y las restas.

6 + (3 − 8) ⋅ 2 − 5 − 12 : (−3) =

= 6 + (−5) ⋅ 2 − 5 − 12 : (−3) =

= 6 − 10 − 5 + 4 =

= −4 − 5 + 4 =

= −9 + 4 = −5

EJERCICIO RESUELTO

} Realiza la siguiente operación combinada.

5 + 3 ⋅ (3 ⋅ 2 − 10) − (4 + 3) ⋅ 2 + 9

Solución

3Actividades

Operaciones con paréntesis

Cuando en una expresión con números enteros hay operaciones agrupadas con paréntesis, efectuamos las operaciones siguiendo este orden:

6 + (3 − 8) ⋅ 2 − 5 − 12 : (−3)

EJERCICIO RESUELTO

} Realiza la siguiente operación.

3 − (4 − (12 − 15) ⋅ 3) − 8 : (−2) − 5

Solución

Primero se resuelven los paréntesis, respetando el orden en su interior.

4 − (12 − 15) ⋅ 3 = Paréntesis

= 4 − (−3) ⋅ 3 =

Multiplicaciones y divisiones

= 4 + 9 = Sumas y restas

= 13

Una vez resuelto el paréntesis, se continúa con la operación.

3 − (4 − (12 − 15) ⋅ 3) − 8 : (−2) − 5 =

13 Paréntesis

= 3 − 13 − 8 : (−2) − 5 = Multiplicaciones y divisiones

= 3 − 13 + 4 − 5 = Sumas y restas

= −11

=

ma1e13


Conviene hacer hincapié en que al realizar operaciones combinadas se debe respetar la jerarquía de la operacio-nes, también si están dentro de paréntesis. Para respetar el orden, una buena técnica es que subrayen la operación a realizar en cada paso.

Vídeo. OPERACIÓN COMBINADA

Para comprender este procedimiento, se presenta un vídeo con la resolución del ejercicio resuelto paso a paso. Los bocadillos van apareciendo teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.

5. Operaciones combinadas

79

3Números enteros


40 Calcula. a) 12 − 3 ⋅ (5 − 7) − 19 c) 1 + 7 − (13 − 17) ⋅ (6 − 8) − 4 b) −6 + (8 − 5) ⋅ (−2) − (5 − 9) : 2 + 1 d) 4 + (−3) ⋅ (7 − 10) + 2 a) 12 − 3 ⋅ (−2) − 19 = 12 + 6 − 19 = −1 c) 1 + 7 − (−4) ⋅ (−2) − 4 = 1 + 7 − 8 − 4 = −4 b) −6 + 3 ⋅ (−2) − (−4) : 2 + 1 = −6 − 6 − (−2) + 1 = −9 d) 4 + (−3) ⋅ (−3) + 2 = 4 + 9 + 2 = 1541 Halla el resultado. a) −16 : 4 − (4 − 9) ⋅ 6 : 3 c) 4 ⋅ 3 − 5 ⋅ 8 : (−4) + 1 b) 1 + 8 : (6 − 10) ⋅ (−2) d) −9 − (5 − 7) ⋅ 3 : (−2) + 5 a) −4 − (−5) ⋅ 6 : 3 = −4 + 30 : 3 = −4 + 10 = 6 c) 12 − 40 : (−4) + 1 = 12 + 10 + 1 = 22 + 1 = 23 b) 1 + 8 : (−4) ⋅ (−2) = 1 + (−2) ⋅ (−2) = 1 + 4 = 5 d) −9 − (−2) ⋅ 3 : (−2) + 5 = −9 + 6 : (−2) + 5 = −9 − 3 + 5 = −742 Efectúa estas operaciones. a) 12 − (−3) + (−5) ⋅ 6 c) −3 + (−5) − (5 − 7 + (−2)) ⋅ (−1) b) −15 − 18 : (1 + (−10)) − 5 d) 4 ⋅ (−3) + 1 − (−5) + (4 − 5) ⋅ 3 a) 12 − (−3) − 30 = −15 c) −3 + (−5) − (−4) ⋅ (−1) = −3 + (−5) − 4 = −12 b) −15 − 18 : (−9) − 5 = −15 − (−2) − 5 = −18 d) −12 + 1 − (−5) + (−1) ⋅ 3 = −12 + 1 − (−5) − 3 = −943 Resuelve estas operaciones. a) 7 − 2 ⋅ (6 − 4 ⋅ 2) + 3 c) 10 + 4 ⋅ (7 − 5 ⋅ 3) + 11 b) (5 − 3 ⋅ 2 + 1) ⋅ 4 − 3 d) 12 + (6 − 4 ⋅ 2) : (−2) − 13 a) 7 − 2 ⋅ (6 − 8) + 3 = 7 − 2 ⋅ (−2) + 3 = 7 − (−4) + 3 = 14 c) 10 + 4 ⋅ (7 − 15) + 11 = 10 + 4 ⋅ (−8) + 11 = 10 − 32 + 11 = −11 b) (5 − 6 + 1) ⋅ 4 − 3 = 0 ⋅ 4 − 3 = −3 d) 12 + (6 − 8) : (−2) − 13 = 12 + (−2) : (−2) − 13 = 12 + 1 − 13 = 044 Calcula. a) 12 − (−9 + (−3) ⋅ 2) − 5 + (7 − 12) d) 7 + 5 − (5 ⋅ 3 − 15) ⋅ 4 − (7 − 10) b) −25 + 7 − (4 − 3 ⋅ 2) + (5 − 4) ⋅ (−2) e) 17 − (12 − 6) − 4 ⋅ (3 − 4 ⋅ 2) + 3 c) −12 + 5 ⋅ (5 − 7) − (4 ⋅ 3 − 7) + 1 f) 2 ⋅ (−3) + (18 : 2 − 10) ⋅ (6 − 9) a) 12 − (−9 − 6) − 5 + (−5) = 12 − (−15) − 5 − 5 = 17 b) −25 + 7 − (4 − 6) + 1 ⋅ (−2) = −25 + 7 − (−2) − 2 = −18 c) −12 + 5 ⋅ (−2) − (12 − 7) + 1 = −12 − 10 − 5 + 1 = −26 d) 7 + 5 − (15 − 15) ⋅ 4 − (−3) = 7 + 5 − 0 − (−3) = 15 e) 17 − 6 − 4 ⋅ (3 − 8) + 3 = 17 − 6 − 4 ⋅ (−5) + 3 = 17 − 6 + 20 + 3 = 34 f) 2 ⋅ (−3) + (9 − 10) ⋅ (6 − 9) = 2 ⋅ (−3) − 1 ⋅ (−3) = −6 + 3 = −345 Opera. a) −4 ⋅ 2 − (5 − (9 + 6) : 5) + 2 c) 20 : (−10) + (5 ⋅ (6 − 8) + 7) − 5 ⋅ 2 b) 12 − (4 − (13 − 7) : (−3) + 2) − 5 d) 18 : (4 : (7 − 5) ⋅ (4 − 3) + 1) − 4 a) −8 − (5 − 15 : 5) + 2 = −8 − (5 − 3) + 2 = −8 − 2 + 2 = −8 b) 12 − (4 − 6 : (−3) + 2) − 5 = 12 − (4 + 2 + 2) − 5 = 12 − 8 − 5 = −1 c) −2 + (5 ⋅ (−2) + 7) − 10 = −2 + (−10 + 7) − 10 = −2 + (−3) − 10 = −15 d) 18 : (4 : 2 ⋅ 1 + 1) − 4 = 18 : (2 ⋅ 1 + 1) − 4 = 18 : (2 + 1) − 4 = 18 : 3 − 4 = 6 − 4 = 2

Desafío46 Mario y Paula han utilizado dos calculadoras distintas para realizar esta operación.

5 + 3 ⋅ (−2) − 6 A Mario le da como resultado −7, mientras que Paula obtiene −22. Si ambos han introducido los datos en la calculadora

en el mismo orden, ¿por qué motivo obtienen resultados distintos? ¿Cuál es el correcto? Paula ha hecho mal la operación, primero hizo la suma: 5 + 3 = 8, después la multiplicación: 8 ⋅ (−2) = −16, y finalmente

la resta: −16 − 6 = −22. Lo correcto es lo que hizo Mario, primero la multiplicación: 3 ⋅ (−2) = −6, después la suma: 5 + (−6) = −1, y finalmente

la resta: −1 − 6 = −7.

3 Números enteros



En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta una noticia real que se ha publi-cado en algún medio de comunicación.

Tras su lectura, se les plantea alguna situación que pueden encontrarse en su vida cotidiana y que deben resolver extra-yendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para responder la pregunta.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre las consecuencias de romper la cadena de frío en los ali-mentos. Deben manejar temperaturas positivas y negativas a la hora de resolver la situación planteada.

Una vez analizado este ejemplo resuelto, los alumnos se enfrentan a otras situaciones similares.

3 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

58 59

El consumidor no respeta la cultura de la cadena de frío

¿Cómo afecta la rotura de la cadena según el alimento?

Deberían considerarse varios grupos de alimentos: las frutas y hortalizas frescas, las verduras congeladas, como hortalizas para cocción, productos animales (carnes, pescados y lácteos) refrigerados y alimentos congelados. En el caso de los vegetales frescos, que aún respiran, al romperse la cadena de frío se aceleran los procesos metabólicos de la maduración. Por cada 10 grados de aumento de la temperatura […], la velocidad de las reacciones de deterioro enzimático se duplican, lo que se traduce en una reducción del período de conservación en igual medida. En la carne y pescado, productos muertos, […] la rotura de la cadena de frío es mucho más grave, porque se alteran fácilmente las proteínas por los cambios de temperatura y se generan olores y pardeamientos extraños.

Además, proliferan bacterias patógenas cuando la temperatura de conservación no se garantiza continua entre −18 y −24 ºC. Por este motivo, la cadena de frío debe ser específica para cada tipo de alimento.

Entrevista a José Luis de la Plaza, investigador del Instituto del Frío

Números enterosen la alimentación

Alicia y Raúl compran judías verdes congeladas en el supermercado. Alicia las mete en una bolsa térmica en la que la temperatura del alimento sube 6 ºC cada media hora, y Raúl, en una bolsa no térmica en la que la temperatura sube 3 ºC cada 5 min. Antes de comprarlas, observan que el termómetro del congelador del supermercadomarca −30 ºC. Si Alicia tarda en llegar a casa 45 min y Raúl 30 min, ¿se rompe la cadena de frío en alguno de los dos casos?

Miguel ha leído este artículo en el periódico.47 Diana quiere visitar el Parque Minero de Almadén. Antes, recoge esta información en Internet.

Lee esta noticia y responde a las preguntas.

48

49

En las siguientes situaciones hay datos erróneos. Cámbialos para que tengan sentido.

❚ Andrea está en un edificio con 5 plantas y 3 sótanos. Se encuentra en la segunda planta y baja 6.

❚ En la ciudad de Samuel el termómetro marca −5 ºC. La previsión es que el día siguiente baje2 grados. Entonces la temperatura será de 3 ºC.

❚ Ángel tiene 120 € en su cuenta corriente. Paga 3 plazos de 42 € cada uno por la compra deun televisor. En la cuenta le queda un saldo de 6 €.

50

Después, se acerca a una tienda y se fija en la temperatura que marca el congelador.

Almadén está a 589 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la altura bajo el nivel del mar a la que se encontrará si baja a la mina?

a) ¿Cuál habría sido la temperatura en el Lago Estangento si hubiera bajado 3 grados más?

b) ¿Cuál fue la temperatura una semana después si cada día esta aumentó 2 ºC?

Suspenso a los supermercados por fallosen la refrigeración de los alimentos

❚ Un análisis de la OCU encuentra fallos en el 35 % de los supermercados.

❚ Las temperaturas de refrigeración no cumplen los niveles adecuados.

En el caso de los congelados, aunque los resultados son un poco mejores, tampoco son buenos. Por ley, deben estar a −18 ºC, aunque se permite un margen de 6 ºC. [...] Sin embargo, el 16 % de las verduras y el 13 % del pescado no llegan a −12 ºC. Como aclara el experto en microbiología de alimentos, «el riesgo de los congelados es menor porque los microbios no se desarrollan a esta temperatura, pero los resultados denotan que no hay control».

Fuente: elmundo.es

Turismo a cielo abierto en las minas de España

¿Se imagina la Tierra a 700 metros bajo sus pies? En el parque minero de Almadén, situado en la provincia de Ciudad Real en la región de Castilla-La Mancha, sabrá cómo es. El parque le presenta una explotación minera en la que algunas de sus minas alcanzan esa profundidad.

Fuente: spain.info

Temperaturas extremas en España

La temperatura más baja que se ha registrado en nuestro país se corresponde a la ola de frío más potente que hemos tenido nunca, la de febrero de 1956. Por aquel entonces en muchos lugares la temperatura bajó de los 20 grados negativos, pero en el lago Estangento (Lérida) situado a más de 2 000 metros de altitud sobre el nivel del mar, la temperatura bajó de forma oficial a los −32,0 ºCel día 2. Se estima, que en otros puntos más altos del Pirineo, donde por aquel entonces la red de estaciones meteorológicas era bastante escasa, la temperatura pudo llegar aquella madrugada hasta los 40 grados bajo cero.

Fuente: abc.es

3Actividades

Analiza la pregunta

¿Se rompe la cadena de frío en alguno de los dos casos?

Buscamos en el texto cuándo se rompe la cadena de frío, es decir, cuándo no se garantiza la calidad de los alimentos.

«Además, proliferan bacterias patógenas cuando la temperatura de conservación no se garantiza continua entre −18 y −24 ºC.».

Para contestar a la pregunta tenemos que averiguar a qué temperatura llegan a casa los alimentos que han comprado Alicia y Raúl.

Busca los datos

❚ En la bolsa térmica de Alicia la temperatura sube 1 ºC cada 5 min.

❚ Alicia tarda 45 min en llegar a casa.

❚ En la bolsa de Raúl la temperatura sube 3 ºC cada 5 min.

❚ Raúl tarda 30 min en llegar a casa.

❚ El congelador marca −30 ºC.

Utiliza las matemáticas

Calculamos cuánto sube la temperatura en cada bolsa hasta que llegan a casa y la sumamos a la temperatura a la que estaban las judías en el congelador.

Alicia Raúl45 : 5 = 9 30 : 5 = 6−30 + 9 = −21 −30 + 3 ⋅ 6 = −30 + 18 = −12−21 ºC < −18 ºC −12 ºC > −18 ºC

En el caso de Raúl, se rompe la cadena de frío ya que no mantiene la temperatura por debajo de los −18 ºC.

a) ¿Cuál es la temperatura máxima y la mínima ala que deben estar los productos congelados para que estén dentro de la normativa?

b) ¿Qué temperatura marca el congelador de la tienda? ¿Cumple la normativa?

c) ¿Cuántos grados le faltan a un congelador que marca −8 ºC para cumplir la normativa?

d) Un congelador marca −26 ºC. ¿Está dentro de la normativa? Si no es así, ¿cuántos grados debe subir o bajar?

Lee y comprende las matemáticas

Soluciones de las actividades47 Miguel ha leído este artículo en el periódico.

Suspenso a los supermercados por fallos en la refrigeración de los alimentosUn análisis de la OCU encuentra fallos en el 35 % de los supermercados.Las temperaturas de refrigeración no cumplen los niveles adecuados.En el caso de los congelados, aunque los resultados son un poco mejores, tampoco son bue-nos. Por ley, deben estar a −18 ºC, aunque se permite un margen de 6 ºC. [...] Sin embargo, el 16 % de las verduras y el 13 % del pescado no llegan a −12 ºC. Como aclara el experto en Microbiología de alimentos, «el riesgo de los congelados es menor porque los microbios no se desarrollan a esta temperatura, pero los resultados denotan que no hay control».

Fuente: el mundo.es

Después, se acerca a una tienda y observa la temperatura que marca el congelador.

81

3Números enteros


a) ¿Cuál es la temperatura máxima y la mínima a la que deben estar los productos congelados para que estén dentro de la normativa?

b) ¿Qué temperatura marca el congelador de la tienda? ¿Cumple la normativa?

c) ¿Cuántos grados le faltan a un congelador que marca −8 ºC para cumplir la normativa?

d) Un congelador marca −26 ºC. ¿Está dentro de la normativa? Si no es así, ¿cuántos grados debe subir o bajar?

a) Temperatura mínima: −18 − 6 = −24 ºC

Temperatura máxima: −18 + 6 = −12 ºC

b) El congelador de la tienda marca −14 ºC: −24 < −14 < −12

El congelador de la tienda cumple la normativa.

c) −12 − (−8) = −4

Le falta bajar 4 grados la temperatura.

d) Tiene que subir la temperatura en 2 ºC.48 Diana quiere visitar el Parque Minero de Almadén. Antes, recoge esta información en Internet.

Turismo a cielo abierto en las minas de España¿Se imagina la Tierra a 700 metros bajo sus pies? En el Parque Minero de Almadén, situado en la provincia de Ciudad Real en la región de Castilla-La Mancha, sabrá cómo es. El parque le presenta una explotación minera en la que algunas de sus minas alcanzan esa profundidad.

Fuente Spain.info

Almadén está a 589 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la altura bajo el nivel del mar a la que se encontrará si baja a la mina?

−700 − (−589) = −111 m

El punto más bajo de la mina se encuentra 111 m por debajo del nivel del mar.49 Lee esta noticia y responde a las preguntas.

Las temperaturas más extremas de la historia en España La temperatura más baja que se ha registrado en nuestro país se corresponde a la ola de frío más potente que hemos tenido nunca, la de febrero de 1956. Por aquel entonces en muchos lugares la temperatura bajó de los 20 grados negativos, pero en el Lago Estangento (Lérida) situado a más de 2 000 metros de altitud sobre el nivel del mar, la temperatura bajó de forma oficial a los −32,0 ºC el día 2. Se estima, que en otros puntos más altos del Pirineo, donde por aquel entonces la red de estaciones meteorológicas era bastante escasa, la temperatura pudo llegar aquella madrugada hasta los 40 grados bajo cero.

Fuente: abc.es

a) ¿Cuál habría sido la temperatura en el Lago Estangento si hubiera bajado 3 grados más?

b) ¿Cuál fue la temperatura una semana después si cada día esta aumentó 2 ºC?

a) −32 − 3 = −35 ºC

La temperatura habría sido de −35 ºC.

b) 2 ⋅ 7 = 14 −32 + 14 = −18 ºC

La temperatura una semana más tarde fue de −18 ºC.

Analiza50 En las siguientes situaciones hay datos erróneos. Cámbialos para que tengan sentido.

❚ Andrea está en un edificio con 5 plantas y 3 sótanos. Se encuentra en la segunda planta y baja 6.

❚ En la ciudad de Samuel el termómetro marca −5 ºC. La previsión es que el día siguiente baje 2 grados. Entonces la temperatura será de 3 ºC.

❚ Ángel tiene 120 € en su cuenta corriente. Paga 3 plazos de 42 € cada uno por la compra de un televisor. En la cuenta le queda un saldo de 6 €.

❚ Si se encuentra en la segunda planta no puede bajar 6 plantas. Podría bajar, por ejemplo, 5 plantas.

❚ −5 − 2 = −7 ºC

La temperatura será de −7 ºC.

❚ 42 ⋅ 3 = 126 120 − 126 = −6

En la cuenta tiene −6 € de saldo.

3 Números enteros



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚ Ordenar números enteros.

❚ Realizar operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación y división.

❚ Resolver operaciones combinadas con números enteros respetando la jerarquía de las operaciones.

Actividades finalesSoluciones de las actividades51 Utiliza números enteros para expresar el valor numérico de estas afirmaciones.

a) Tengo 50 € en el banco.

b) El submarino alcanzó una profundidad de 80 m.

c) La sección de oportunidades se encuentra en el segundo sótano.

d) El pronóstico para la temperatura de mañana es de 7 ºC bajo cero.

a) +50 b) −80 c) −2 d) −752 Escribe los siguientes números enteros.

a) Parte numérica 4 y signo positivo.

b) Parte numérica 3 y signo negativo.

c) Parte numérica 12 y signo negativo.

a) +4

b) −3

c) −12

60 61

¿QUÉ tienes que saber?3 Actividades Finales 3

Números enteros

Utiliza números enteros para expresar el valor numérico de estas afirmaciones.a) Tengo 50 € en el banco.b) El submarino alcanzó una profundidad de 80 m.c) La sección de oportunidades se encuentra en el

segundo sótano.d) El pronóstico para la temperatura de mañana

es de 7 ºC bajo cero.

Escribe los siguientes números enteros.a) Parte numérica 4 y signo positivo.b) Parte numérica 3 y signo negativo.c) Parte numérica 12 y signo negativo.

Indica a qué números enteros corresponden los puntos marcados en estas rectas numéricas.a)

b)

c)

d)

Completa en tu cuaderno con el signo > o <.a) 4 § 9b) 5 § −6c) −7 § −12d) −2 § 2e) −8 § −5f) −3 § −10

Escribe un número que esté entre cada uno de estos pares. a) −2 y 0 d) −7 y −10b) −9 y −4 e) 4 y −3c) 3 y 5 f) −10 y −8

Ordena estos números de menor a mayor.a) −7, 5, 0, 2, 12, −3, −10b) 12, −21, −7, 13, −10, −22

Ordena los siguientes números enteros de mayor a menor.a) 0, −5, 7, −6, 10, 6, −1b) −14, −24, 9, 18, −3, −7, 5

Realiza los siguientes valores absolutos.a) |+4|b) |−7|c) |+32|d) |−41|

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58

Halla los opuestos de estos números.a) +5 c) −35b) −7 d) +23

Copia y completa con el signo > o <.a) |−7| § op(+5)b) op(−3) § 4c) |op(+5)| § op(+6)d) op(|−4|) § −5e) −8 § op(+3)f) |+9| § 6

Operaciones con númerosenteros

Realiza estas sumas.a) (+7) + (−4) e) (−12) + (+7)b) (+8) + (+10) f) (+5) + (−8)c) (−6) + (−9) g) (+12) + (+9)d) (−15) + (−3) h) (−7) + (−16)

Efectúa las siguientes restas.a) (+7) − (−4) d) (−12) − (+7)b) (+8) − (+10) e) (+5) − (−8)c) (−6) − (−9) f) (+12) − (+9)

Calcula.a) 7 − 4 − 12 + 7 + (−8) − (−6)b) −14 + 15 − (−4) + (−8)c) 8 − (−9) + (−5) − 7 − (+4)d) 19 + (−3) + 2 − 11 + (−3)

Halla el resultado en cada caso.a) 12 − 32 − 28 + 43 − 17b) −34 − 17 + 21 − 39c) 45 − 63 − 21 + 31 − 19d) 12 + 35 − 47 − 37 − 29

Resuelve las siguientes multiplicaciones.a) (+6) ⋅ (−2) e) (−2) ⋅ (−7)b) (+2) ⋅ (+10) f) (+9) ⋅ (−9)c) (−8) ⋅ (+3) g) (−2) ⋅ (+5)d) (−5) ⋅ (−4) h) (−17) ⋅ (−2)

Copia estas operaciones y complétalas para que sean ciertas.a) 3 ⋅ § = −6 e) § ⋅ 9 = −27b) § ⋅ (−5) = 30 f) 4 ⋅ § = 24c) −3 ⋅ § = 15 g) −8 ⋅ § = −32d) § ⋅ 7 = 14 h) § ⋅ (−6) = 48

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63

64

65

66

0 2 3 6••••

0 1 4 5••••

1–6 –4 –2••••

2–3• • • •••

Ordena de menor a mayor estos números enteros.

6 −5 0 9 −8 −12 2

Se agrupan los negativos, el cero y los positivos.

−5 −8 −12 0 6 9 2

Entre los negativos se busca el más alejado del cero, que es el menor, y se repite el proceso con los que quedan.

Entre los positivos se busca el más cercano al cero, que es el menor, y se repite el proceso con los que quedan.

−12 < −8 < −5 < 0 < 2 < 6 < 9

Ordenación de números enteros Ten en cuenta

Para ordenar dos números enteros:

❚ Si los dos son positivos, es mayor el que está más lejos del 0.

❚ Si uno es positivo y otro negativo, es mayor el positivo.

❚ Si los dos son negativos, es mayorel que está más cerca del 0.

Realiza esta operación con números enteros: 5 − (−6) − 15 + (−9)

Se simplifican los paréntesis que aparecen.

5 − (−6) − 15 + (−9) = 5 + 6 − 15 − 9

Se realizan las suman y las restas de izquierda a derecha.

5 + 6 − 15 − 9 = 11 − 15 − 9 = − 4 − 9 = −13

Suma y resta de números enterosTen en cuenta

Para sumar o restar dos números enteros:

❚ Si tienen el mismo signo, se suman las partes numéricas. El resultado tendrá el mismo signo.

❚ Si uno es positivo y el otro negativo, se resta a la parte numérica del mayor la del menor. El resultado tendrá el signo del que tenga la parte numérica mayor.

−(−6) = +6

+(−9) = −9

Calcula el resultado: 45 : (−5) ⋅ (−3)

Se multiplica y se divide de izquierda a derecha aplicando la regla de los signos.

45 : (−5) ⋅ (−3) = −9 ⋅ (−3) = 27

Multiplicación y división de números enterosTen en cuenta

❚ Para multiplicar o dividir números enteros se utilizala regla de los signos.

+ ⋅ + = + + : + = +− ⋅ − = + − : − = ++ ⋅ − = − + : − = −− ⋅ + = − − : + = −

Resuelve la siguiente operación combinada: 7 + 6 ⋅ (5 − 9) + 12 : (−8 + 14)

7 + 6 ⋅ (5 − 9) + 12 : (−8 + 14) = Paréntesis

= 7 + 6 ⋅ (−4) + 12 : 6 = Multiplicaciones y divisiones

= 7 − 24 + 2 = Sumas y restas

= −15

Operaciones combinadasTen en cuenta

El orden en que se resuelven operaciones combinadas es el siguiente:1 Paréntesis: si hay varios, se

resuelven de dentro hacia fuera.

2 Multiplicaciones y divisiones: si hay varias, se opera de izquierda a derecha.

3 Sumas y restas.

¿Qué tienes que saber?

83

3Números enteros


53 Indica a qué números enteros corresponden los puntos marcados en estas rectas numéricas.

a)

b)

c)

d)

a) 1, 4, 5 y 7 b) −1, −2, 2 y 3 c) −5, −3, −1 y 0 d) −5, −4, −2, −1, 0 y 154 Completa en tu cuaderno con el signo > o <.

a) 4 § 9 b) 5 § −6 c) −7 § −12 d) −2 § 2 e) −8 § −5 f) −3 § −10

a) 4 < 9 b) 5 > −6 c) −7 < −12 d) −2 < 2 e) −8 < −5 f) −3 > −1055 Escribe un número que esté entre cada uno de estos pares.

a) −2 y 0 b) −9 y −4 c) 3 y 5 d) −7 y −10 e) 4 y −3 f) −10 y −8

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) −1 b) −6 c) 4 d) −8 e) 0 f) −956 Ordena estos números enteros de menor a mayor. a) −7, 5, 0, 2, 12, −3, −10 b) 12, −21, −7, 13, −10, −22 a) −10 < −7 < −3 < 0 < 2 < 5 < 12 b) −22 < −21 < −10 < −7 < 12 < 1357 Ordena los siguientes números de mayor a menor. a) 0, −5, 7, −6, 10, 6, −1 b) −14, −24, 9, 18, −3, −7, 5 a) 10 > 7 > 6 > 0 > −1 > −5 > −6 b) 18 > 9 > 5 > −3 > −7 > −14 > −2458 Realiza los siguientes valores absolutos. a) |+4| b) |−7| c) |+32| d) |−41| a) |+4| = 4 b) |−7| = 7 c) |+32| = 32 d) |−41| = 4159 Halla los opuestos de estos números. a) +5 b) −7 c) −35 d) +23 a) op(+5) = −5 b) op(−7) = +7 c) op(−35) = +35 d) op(+23) = −2360 Copia y completa con el signo > o <. a) |−7| § op(+5) c) |op(+5)| § op(+6) e) −8 § op(+3) b) op(−3) § 4 d) op(|−4|) § −5 f) |+9| § 6 a) |−7| > op(+5) c) |op(+5)| > op(+6) e) −8 < op(+3) b) op(−3) < 4 d) op(|−4|) > −5 f) |+9| > 6

0 2 3 6••••

0 1 4 5••••

1–6 –4 –2••••

2–3• • • •••

3 Números enteros


61 Realiza estas sumas. a) (+7) + (−4) e) (−12) + (+7) b) (+8) + (+10) f) (+5) + (−8) c) (−6) + (−9) g) (+12) + (+9) d) (−15) + (−3) h) (−7) + (−16) a) 7 − 4 = +3 e) −12 + 7 = −5 b) 8 + 10 = +18 f) (+5) + (−8) = −3 c) −6 − 9 = −15 g) +12 + 9 = +21 d) −15 −3 = −18 h) −7 − 16 = −2362 Efectúa las siguientes restas. a) (+7) − (−4) c) (−6) − (−9) e) (+5) − (−8) b) (+8) − (+10) d) (−12) − (+7) f) (+12) − (+9) a) +11 c) 3 e) +13 b) −2 d) −19 f) +363 Calcula. a) 7 − 4 − 12 + 7 + (−8) − (−6) c) 8 − (−9) + (−5) − 7 − (+4) b) −14 + 15 − (−4) + (−8) d) 19 + (−3) + 2 − 11 + (−3) a) 3 − 12 + 7 + (−8) − (−6) = −9 + 7 + (−8) − (−6) = −2 + (−8) − (−6) = −10 + 6 = −4 b) 1 − (−4) + (−8) = 5 + (−8) = −3 c) 17 + (−5) − 7 − (+4) = 12 − 7 − (+4) = 5 − (+4) = 1 d) 16 + 2 − 11 + (−3) = 18 − 11 + (−3) = 7 + (−3) = 464 Halla el resultado en cada caso. a) 12 − 32 − 28 + 43 − 17 c) 45 − 63 − 21 + 31 − 19 b) −34 − 17 + 21 − 39 d) 12 + 35 − 47 − 37 − 29 a) −20 − 28 + 43 − 17= −48 + 43 − 17 = −5 − 17 = −22 b) −51 + 21 − 39 = −30 − 39 = −69 c) −18 − 21 + 31 − 19 = −39 + 31 − 19 = −8 − 19 = −27 d) 47 − 47 − 37 − 29 = 0 − 37 − 29 = −6665 Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) (+6) ⋅ (−2) e) (−2) ⋅ (−7) b) (+2) ⋅ (+10) f) (+9) ⋅ (−9) c) (−8) ⋅ (+3) g) (−2) ⋅ (+5) d) (−5) ⋅ (−4) h) (−17) ⋅ (−2) a) (+6) ⋅ (−2) = −12 e) (−2) ⋅ (−7) = +14 b) (+2) ⋅ (+10) = +20 f) (+9) ⋅ (−9) = −81 c) (−8) ⋅ (+3) = −24 g) (−2) ⋅ (+5) = −10 d) (−5) ⋅ (−4) = +20 h) (−17) ⋅ (−2) = +3466 Copia estas operaciones y complétalas para que sean ciertas. a) 3 ⋅ § = −6 e) § ⋅ 9 = −27 b) § ⋅ (−5) = 30 f) 4 ⋅ § = 24 c) −3 ⋅ § = 15 g) −8 ⋅ § = −32 d) § ⋅ 7 = 14 h) § ⋅ (−6) = 48 a) 3 ⋅ (−2) = −6 e) (−3) ⋅ 9 = −27 b) −6 ⋅ (−5) = 30 f) 4 ⋅ 6 = 24 c) −3 ⋅ (−5) = 15 g) −8 ⋅ 4 = −32 d) 2 ⋅ 7 = 14 h) −8 ⋅ (−6) = 48

85

3Números enteros


67 Realiza las siguientes divisiones.

a) (+6) : (−2) c) (−25) : (+5) e) (−12) : (+6)

b) (+21) : (+7) d) (−32) : (−4) f) (−18) : (−9)

a) (+6) : (−2) = −3 c) (−25) : (+5) = −5 e) (−12) : (+6) = −2

b) (+21) : (+7) = +3 d) (−32) : (−4) = +8 f) (−18) : (−9) = +268 Copia estas operaciones y complétalas para que se cumplan las igualdades.

a) 15 : § = −3 e) 16 : § = 4

b) −25 : § = −5 f) −18 : § = 2

c) 27 : § = −9 g) 34 : § = −17

d) 40 : § = −4 h) −35 : § = −7

a) 15 : (−5) = −3 e) 16 : 4 = 4

b) −25 : 5 = −5 f) −18 : (−9) = 2

c) 27 : (−3) = −9 g) 34 : (−2) = −17

d) 40 : (−10) = −4 h) −35 : 5 = −769 Halla el signo de las siguientes operaciones.

a) 4 532 ⋅ (−31) : (−2) : 6 c) −17 ⋅ 45 ⋅ (−68) : (−6)

b) 775 : 31 : (−5) ⋅ 71 d) −2 047 : (−23) ⋅ (−45) ⋅ (−71)

a) (+) ⋅ (−) : (−) : (+) → Signo positivo c) (−) ⋅ (+) ⋅ (−) : (−) → Signo negativo

b) (+) : (+) : (−) ⋅ (+) → Signo negativo d) (−) : (−) ⋅ (−) ⋅ (−) → Signo positivo

62

3 Números enteros

¿Cuánto suman las caras superiores de los dados de la fotografía?

Diego se ha despistado al corregir los ejercicios en la pizarra y ha copiado por un lado las operaciones y por otro los resultados.Operacionesa) 5 + 7 − 12 e) −5 + 7 − 3 b) −12 − 6 + 5 f) 10 − 5 − 7 c) 15 + 2 − 20 g) −23 + 10 − 2 d) −4 − 5 − 7 h) 12 + 9 − 13 Resultados8, −13, −2, 0, −16, −15, −3, −1Ayúdale copiando cada operación con su resultado correcto.

Las temperaturas máximas y mínimas durante la última semana en una ciudad han sido las siguientes.

a) ¿Cuál ha sido la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima cada día?

b) ¿Qué día se ha registrado mayor diferencia de temperatura?

Un caracol va a subir una pared de 6 m. Durante el día sube 3 m pero durante la noche se resbala y desciende 2 m. ¿Cuántos días necesitará para llegar a la cima de la pared?

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63

Sara tiene un juego de 12 dados cuyas caras muestran números positivos y negativos.

79Realiza las siguientes divisiones.a) (+6) : (−2) d) (−32) : (−4)b) (+21) : (+7) e) (−12) : (+6)c) (−25) : (+5) f) (−18) : (−9)

Copia estas operaciones y complétalas para que se cumplan las igualdades.a) 15 : § = −3 e) 16 : § = 4b) −25 : § = −5 f) −18 : § = 2c) 27 : § = −9 g) 34 : § = −17d) 40 : § = −4 h) −35 : § = −7

Halla el signo de las siguientes operaciones.

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Calcula.a) 36 ⋅ (−3) : (−2) : 6b) 125 : 5 ⋅ (−3) ⋅ 7c) −7 ⋅ 4 ⋅ (−2) : (−14)d) −200 : (−20) ⋅ (−4) ⋅ (−3)

Opera.a) 3 − (4 + 5) + (12 − 15) + 1b) −(14 − 3 − 12) + (2 − 8) − 3c) 19 + 12 − (15 + 7) − 7 + 2d) −5 + 7 − (8 − 19) − (12 − 4 + 3)

Efectúa estas operaciones.a) 12 − (4 − (5 + 3) − 15) + 1b) −(9 − 3) + (8 − (2 − 3))c) 2 − (15 + (7 − 10) − 3) + 2d) −(−4 + (13 − 7)) − (5 − 9)e) 5 − 7 + ((4 − 6) − 10) + 3

Realiza las siguientes operaciones combinadas.a) −5 + 3 ⋅ (−4)b) 12 − (−4) : 2c) (−5 + 3) ⋅ (−4)d) (−9 + 3) ⋅ (−5)e) (−7 − (−3)) : (−2)

Efectúa estas operaciones combinadas.a) 12 − 3 ⋅ (5 − 12) + 15 : (9 − 3 ⋅ 2) b) −3 + 10 ⋅ (9 − 4 ⋅ 3) − (5 − 6)c) (4 − 7 ⋅ 5) ⋅ (−2) − (12 + 4 : (−2))d) 9 − (−5 + 7) − (42 : (5 − 12) + 1)

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74

Mónica vierte en un cazo un caldo que está a una temperatura de 18 ºC. Primero lo pone a calentar y en un par de minutos sube 15 ºC. Después, cambia de opinión y decide meterlo en el congelador. Sabiendo que el caldo se congela a −4 ºC, ¿conseguirá congelarlo si lo introduce en el frigorífico y la temperatura del caldo baja 46 ºC?

Estos son los movimientos realizados hoy en la cuenta de Isabel.

¿Cuál es el saldo actual de la cuenta?

Carlos ha escrito unas operaciones con números enteros en un programa de su ordenador. Al imprimirlos, le han desaparecido los paréntesis. Colócalos en el lugar adecuado para que las soluciones sean las correctas.a) 9 − 3 + 2 − 7 = −3b) −12 + 3 + 10 + 1 = −4c) 5 − 4 + 2 − 3 = −4d) 9 + 5 − 3 + 2 = 9

En un supermercado, por cada 10 € de compra está permitido usar un descuento de 3 €, y por cada 50 €, uno de 5 €. José María ha acumulado dos descuentos de 3 € y uno de 5 €. Este es el tique de la compra de hoy sin descuentos.

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a) ¿Cuál es la mejor combinación de descuentos que puede usar?

b) ¿Cuánto tiene que pagar por la compra?

Opera.a) 123 − (−42) ⋅ 5 − (35 + (−25) : 5 − 42)b) −371 + 25 ⋅ (45 − 12 ⋅ 3) − 345 : (−15)c) 45 − 20 + (12 − 10) : (25 + (−4) ⋅ 5 − 3) − 2 d) (17 − 25) ⋅ (−3) + 7 − (12 − 3) : ((−3) ⋅ 2 + 5)

Halla el resultado. a) 9 + (15 − (3 − 4 ⋅ 5) − 6 ⋅ (−2)) − 7b) (5 − 6 − 7) ⋅ ((4 − 5 ⋅ 3) − (2 ⋅ 3 − 6))c) −((6 − 15) : (7 − 2 ⋅ 5) + 3) − 4 ⋅ (−2)d) −25 : (10 − 3 ⋅ 2 − (10 − 6) : (−4)) − 1

Problemas con númerosenteros

En un estudio de arquitectura se ha diseñado un edificio simétrico con respecto a la planta baja: tiene 4 plantas hacia arriba y 4 hacia abajo.

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Estación meteorológica Fecha Mínima

Burgos (Villafría) 3/01/1971 −22

Calamocha-Vor 17/12/1963 −30

Salamanca (Matacán) 5/02/1963 −20

Vitoria Aeródromo 25/12/1962 −21

Molina de Aragón 28/01/1952 −28

Máxima Mínima

Lunes −1 ºC −7 ºC

Martes 2 ºC −3 ºC

Miércoles 5 ºC 0 ºC

Jueves 7 ºC 1 ºC

Viernes 3 ºC −3 ºC

Sábado 2 ºC −5 ºC

Domingo −2 ºC −9 ºC

Concepto Importe (€)

Saldo anterior 450

Pago teléfono −35

Pago recibo gas −45

Pago tarjeta −18

Ingreso efectivo 250

Transferencia 125

Pago tarjeta −32

a) 4 532 ⋅ (−31) : (−2) : 6

b) 775 : 31 : (−5) ⋅ 71

c) −17 ⋅ 45 ⋅ (−68) : (−6)

d) −2 047 : (−23) ⋅ (−45) ⋅ (−71)

DESCRIPCIÓN PRECIO

Frutería 15 €

Carnicería 25 €

Droguería 12

Pescadería 14 €

TOTAL 61 €

a) ¿Cuántas plantas tiene el edificio en total?b) Sergio se encuentra en la primera planta del edi-

ficio. Si se mueve 2 plantas, ¿puede saberse con seguridad en qué planta se encuentra? ¿Por qué?

c) En este momento, Sergio se encuentra en una planta indicada con un 4 y el ascensor no le da la posibilidad de bajar. ¿En qué planta se encuentra?

Según la Agencia Estatal de Meteorología, estas son algunas de las temperaturas mínimas que se han registrado en España.

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Ordena las estaciones meteorológicas de menor a mayor temperatura mínima.

Actividades Finales 3

3 Números enteros


70 Calcula.

a) 36 ⋅ (−3) : (−2) : 6 c) −7 ⋅ 4 ⋅ (−2) : (−14)

b) 125 : 5 ⋅ (−3) ⋅ 7 d) −200 : (−20) ⋅ (−4) ⋅ (−3)

a) 36 ⋅ (−3) : (−2) : 6 = −108 : (−2) : 6 = 54 : 6 = 9

b) 125 : 5 ⋅ (−3) ⋅ 7 = 25 ⋅ (−3) ⋅ 7 = −75 ⋅ 7 = −525

c) −7 ⋅ 4 ⋅ (−2) : (−14) = −28 ⋅ (−2) : (−14) = 56 : (−14) = −4

d) −200 : (−20) ⋅ (−4) ⋅ (−3) = 10 ⋅ (−4) ⋅ (−3) = −40 ⋅ (−3) = 12071 Opera.

a) 3 − (4 + 5) + (12 − 15) + 1

b) − (14 − 3 − 12) + (2 − 8) − 3

c) 19 + 12 − (15 + 7) − 7 + 2

d) −5 + 7 − (8 − 19) − (12 − 4 + 3)

a) 3 − 9 + (−3) + 1 = −6 + (−3) + 1 = −9 + 1 = −8

b) − (−1) + (−6) − 3 = −5 − 3 = −8

c) 31 − 22 − 7 + 2 = 9 − 7 + 2 = 2 + 2 = 4

d) 2 − (−11) − (11) = 13 − 11 = 272 Efectúa estas operaciones.

a) 12 − (4 − (5 + 3) − 15) + 1

b) − (9 − 3) + (8 − (2 − 3))

c) 2 − (15 + (7 − 10) − 3) + 2

d) − (−4 + (13 − 7)) − (5 − 9)

e) 5 − 7 + ((4 − 6) − 10) + 3

a) 12 − (4 − 8 − 15) + 1 = 12 − (−19) + 1 = 31 + 1 = 32

b) − (9 − 3) + (8 − (2 − 3)) = −6 + (8 − (−1)) = −6 + 9 = 3

c) 2 − (15 + (7 − 10) − 3) + 2 = 2 − (15 + (−3) − 3) + 2 = 2 − 9 + 2 = −5

d) − (−4 + 6) − (−4) = −2 − (−4) = 2

e) 5 − 7 + ((−2) − 10) + 3 = 5 − 7 + (−12) + 3 = −1173 Realiza las siguientes operaciones combinadas.

a) −5 + 3 ⋅ (−4) b) 12 − (−4) : 2 c) (−5 + 3) ⋅ (−4) d) (−9 + 3) ⋅ (−5) e) (−7 − (−3)) : (−2)

a) −5 − 12 = −17 b) 12 − (−2) = 14 c) −2 ⋅ (−4) = 8 d) −6 ⋅ (−5) = 30 e) −4 : (−2) = 274 Efectúa estas operaciones combinadas.

a) 12 − 3 ⋅ (5 − 12) + 15 : (9 − 3 ⋅ 2)

b) −3 + 10 ⋅ (9 − 4 ⋅ 3) − (5 − 6)

c) (4 − 7 ⋅ 5) ⋅ (−2) − (12 + 4 : (−2))

d) 9 − (−5 + 7) − (42 : (5 − 12) + 1)

a) 12 − 3 ⋅ (−7) + 15 : (9 − 6) = 12 + 21 + 15 : 3 = 12 + 21 + 5 = 38

b) −3 + 10 ⋅ (9 − 12) − (−1) = −3 + 10 ⋅ (−3) − (−1) = −3 − 30 − (−1) = −32

c) (4 − 35) ⋅ (−2) − (12 − 2) = −31 ⋅ (−2) − 10 = 62 − 10 = 52

d) 9 − 2 − (42 : (−7) + 1) = 9 − 2 − (−6 + 1) = 9 − 2 − (−5) = 12

87

3Números enteros


75 Opera.

a) 123 − (−42) ⋅ 5 − (35 + (−25) : 5 − 42)

b) −371 + 25 ⋅ (45 − 12 ⋅ 3) − 345 : (−15)

c) 45 − 20 + (12 − 10) : (25 + (−4) ⋅ 5 − 3) − 2

d) (17 − 25) ⋅ (−3) + 7 − (12 − 3) : ((−3) ⋅ 2 + 5)

a) 123 − (−210) − (35 + (−5) − 42) = 123 − (−210) − (−12) = 345

b) −371 + 25 ⋅ (45 − 36) + 23 = −371 + 25 ⋅ 9 + 23 = −371 + 225 + 23 = −123

c) 45 − 20 + 2 : (25 − 20 − 3) − 2 = 45 − 20 + 2 : 2 − 2 = 45 − 20 + 1 − 2 = 24

d) −8 ⋅ (−3) + 7 − 9 : (−6 + 5) = 24 + 7 − 9 : (−1) = 24 + 7 + 9 = 4076 Halla el resultado.

a) 9 + (15 − (3 − 4 ⋅ 5) − 6 ⋅ (−2)) − 7

b) (5 − 6 − 7) ⋅ ((4 − 5 ⋅ 3) − (2 ⋅ 3 − 6))

c) − ((6 − 15) : (7 − 2 ⋅ 5) + 3) − 4 ⋅ (−2)

d) −25 : (10 − 3 ⋅ 2 − (10 − 6) : (−4)) − 1

a) 9 + (15 − (3 − 20) + 12) − 7 = 9 + (15 − (−17) + 12) − 7 = 9 + 44 − 7 = 46

b) (−8) ⋅ ((4 − 15) − (6 − 6)) = (−8) ⋅ ((−11) − 0) = −8 ⋅ (−11) = 88

c) − ((−9) : (7 − 10) + 3) + 8 = − ((−9) : (−3) + 3) + 8 = − (3 + 3) + 8 = = −6 + 8 = 2

d) −25 : (10 − 6 − 4 : (−4)) − 1 = −25 : (10 − 6 + 1) − 1 = −25 : 5 − 1 = −5 − 1 = −677 En un estudio de arquitectura se ha diseñado un edificio simétrico con respecto a la planta baja: tiene 4 plantas hacia

arriba y 4 hacia abajo.

a) ¿Cuántas plantas tiene el edificio en total?

b) Sergio se encuentra en la primera planta del edificio. Si se mueve 2 plantas, ¿puede saberse con seguridad en qué planta se encuentra? ¿Por qué?

c) En este momento, Sergio se encuentra en una planta indicada con un 4 y el ascensor no le da la posibilidad de bajar. ¿En qué planta se encuentra?

a) Tiene nueve plantas: −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4

b) No sabemos en qué planta se encuentra porque no sabemos si sube o si baja. Puede estar en la planta 3 o en la planta −1.

c) Sergio se encuentra en la planta −4.78 Según la Agencia Estatal de Meteorología, estas son algunas de las temperaturas mínimas que se han registrado en España.

Estación meteorológica Provincia Fecha Mínima

Burgos (Villafría) Burgos 3/01/1971 −22

Calamocha-Vor Teruel 17/12/1963 −30

Salamanca (Matacán) Salamanca 5/02/1963 −20

Vitoria Aeródromo Álava 25/12/1962 −21

Molina de Aragón Guadalajara 28/01/1952 −28

Ordena las estaciones meteorológicas de menor a mayor temperatura mínima.

−30 < −28 < −22 < −21 < −20

Teruel − Guadalajara − Burgos − Álava − Salamanca

3 Números enteros


79 Sara tiene un juego de 12 dados cuyas caras muestran números positivos y negativos.

¿Cuánto suman las caras superiores de los dados de la fotografía?

+3 + 4 + 4 − 2 − 2 + 5 + 5 − 1 − 1 − 2 + 3 − 1 = 15

80 Diego se ha despistado al corregir los ejercicios en la pizarra y ha copiado por un lado las operaciones y por otro los resul-tados.

Operaciones:

a) 5 + 7 − 12 c) 15 + 2 − 20 e) −5 + 7 − 3 g) −23 + 10 − 2

b) −12 − 6 + 5 d) −4 − 5 − 7 f) 10 − 5 − 7 h) 12 + 9 − 13

Resultados: 8, −13, −2, 0, −16, −15, −3, −1

Ayúdale copiando cada operación con su resultado correcto.

a) 5 + 7 − 12 = 0 c) 15 + 2 − 20 = −3 e) −5 + 7 − 3 = −1 g) −23 + 10 − 2 = −15

b) −12 − 6 + 5 = −13 d) −4 − 5 − 7 = −16 f) 10 − 5 − 7 = −2 h) 12 + 9 − 13 = 881 Las temperaturas máximas y mínimas durante la última semana en una ciudad han sido las siguientes.

Máxima Mínima

Lunes −1 ºC −7 ºC

Martes 2 ºC −3 ºC

Miércoles 5 ºC 0 ºC

Jueves 7 ºC 1 ºC

Viernes 3 ºC −3 ºC

Sábado 2 ºC −5 ºC

Domingo −2 ºC −9 ºC

a) ¿Cuál ha sido la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima cada día?

b) ¿Qué día se ha registrado mayor diferencia de temperatura?

a)

Máxima Mínima Diferencia

Lunes −1 ºC −7 ºC −1 − (−7) = 6

Martes 2 ºC −3 ºC 2 − (−3) = 5

Miércoles 5 ºC 0 ºC 5 − 0 = 5

Jueves 7 ºC 1 ºC 7 − 1 = 6

Viernes 3 ºC −3 ºC 3 − (−3) = 6

Sábado 2 ºC −5 ºC 2 − (−5) = 7

Domingo −2 ºC −9 ºC −2 − (−9) = 7

b) El sábado y el domingo se produce la mayor diferencia de temperatura con 7 ºC.

89

3Números enteros


82 Un caracol va a subir una pared de 6 m. Durante el día sube 3 m pero durante la noche se resbala y desciende 2 m. ¿Cuántos días necesitará para llegar a la cima de la pared?

Primer día: 3 m Primera noche: 3 − 2 = 1 m

Segundo día: 1 + 3 = 4 m Segunda noche: 4 − 2 = 2 m

Tercer día: 2 + 3 = 5 m Tercera noche: 5 − 2 = 3 m

Cuarto día: 3 + 3 = 6 m

Necesitará cuatro días para llegar a la cima de la pared.83 Mónica vierte en un cazo un caldo que está a una temperatura de 18 ºC. Primero lo pone a calentar y en un par de mi-

nutos sube 15 ºC. Después, cambia de opinión y decide meterlo en el congelador. Sabiendo que el caldo se congela a −4 ºC, ¿conseguirá congelarlo si lo introduce en el frigorífico y la temperatura del caldo baja 46 ºC?

18 + 15 = 33 ºC 33 − 46 = −13 ºC

Sí lo conseguirá porque −13 ºC < −4 ºC.84 Estos son los movimientos realizados hoy en la cuenta de Isabel.

Concepto Importe

Saldo anterior 450

Pago teléfono −35

Pago recibo gas −45

Pago tarjeta −18

Ingreso efectivo 250

Transferencia 125

Pago tarjeta −32

¿Cuál es el saldo actual de la cuenta?

450 − 35 − 45 − 18 + 250 + 125 − 32 = 695

El saldo actual de la cuenta es de 695 €.85 Carlos ha escrito unas operaciones con números enteros en un programa de su ordenador. Al imprimirlos, le han desapa-

recido los paréntesis. Colócalos en el lugar adecuado para que las soluciones sean las correctas.

a) 9 − 3 + 2 − 7 = −3 c) 5 − 4 + 2 − 3 = −4

b) −12 + 3 + 10 + 1 = −4 d) 9 + 5 − 3 + 2 = 9

a) 9 − (3 + 2) − 7 = −3 c) 5 − (4 + 2) − 3 = −4

b) − (12 + 3) + 10 + 1 = −4 d) 9 + 5 − (3 + 2) = 986 En un supermercado, por cada 10 € de compra está permitido usar un descuento de 3 €, y por cada 50 €, uno de 5 €.

José María ha acumulado dos descuentos de 3 € y uno de 5 €. Este es el tique de la compra de hoy sin descuentos.

a) ¿Cuál es la mejor combinación de descuentos que puede usar?

b) ¿Cuánto tiene que pagar por la compra?

a) 61 = 10 ⋅ 6 + 1

61 = 50 + 10 + 1

Si utiliza los dos descuentos de 3 €, ya no podrá utilizar el otro descuento.

Le descontarán 2 ⋅ 3 = 6 €.

Si utiliza el descuento de 5 €, aún puede utilizar uno de 3 €, le descontarán 5 + 3 = 8 €.

La mejor combinación que puede usar es un descuento de 3 € por diez euros de compra y otro de 5 € por cincuenta euros de compra.

b) 61 − (3 + 5) = 61 − 8 = 53

Tiene que pagar 53 € por la compra.

DESCRIPCIÓN PRECIO

Frutería 15 €

Carnicería 25 €

Droguería 12

Pescadería 14 €

TOTAL 61 €

3 Números enteros


La meteorologíaSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, la meteorología, en la que intervienen los números enteros.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Representa, Piensa y razona, Resuelve o Argumenta.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman. Para desarrollar esta tarea, los alumnos realizarán un trabajo de investigación sobre las temperaturas de la provincia donde viven y plasmarán la información en varios mapas que ellos mismos elaborarán.

Soluciones de las actividadesEstos mapas de temperaturas muestran la previsión meteorológica de la Agencia Estatal de Meteorología para España de un día concreto del año.

Comprende1 Observa los mapas anteriores.

a) ¿Qué temperatura máxima se alcanzará en las islas Baleares?

b) ¿En qué zona de la Península tendrán la temperatura máxima más alta?

c) ¿Cuál es la temperatura mínima más baja que habrá ese día? ¿Y la más alta? Represéntalas en una recta numérica.

d) ¿En qué zona la temperatura no superará los 0 ºC?

e) ¿A qué estación del año corresponde la predicción de tempe-raturas?

3 MATEMÁTICAS VIVAS 3La meteorología

64 65

RELACIONA

Localiza tu provincia en el mapa.

a. ¿Cuál es la temperatura máxima prevista? ¿Y la mínima?

b. ¿Cuántos grados de diferencia hay entre la temperatura máxima y la mínima?

En el mapa de temperaturas mínimas hay una zona en el norte de la Península de color morado claro que corresponde a una temperatura entre −6 ºC y −4 ºC.

a. Si en la misma zona la temperatura mínima del día anterior fue 5 ºC más alta, ¿cuáles fueron las mínimas de ayer en esta zona?

b. La previsión para el día siguiente en esta zona es que las temperaturas bajen 2 ºC. ¿Cuál será la mínima que alcanzarán?

2

3

Las siguientes tablas muestran la previsión meteorológica semanal de dos ciudades españolas en la misma semana del año.

4

¿Cuál de las dos ciudades se encuentra en la costa y cuál en alta montaña?

Representa e interpreta de la misma manera las temperaturas diarias de la ciudad B.

Esta es la representación e interpretación de las temperaturas máxima y mínima de la ciudad A.5

REFLEXIONA

COMPRENDE

Observa los mapas anteriores.

a. ¿Qué temperatura máxima se alcanzará en las islas Baleares?

b. ¿En qué zona de la Península tendrán la temperatura máxima más alta?

c. ¿Cuál es la temperatura mínima más baja que habrá ese día? ¿Y la más alta? Represéntalas en una recta numérica.

d. ¿En qué zona la temperatura no superará los 0 ºC?

e. ¿A qué estación del año corresponde la predicción de temperaturas?

1

una recta numérica.

REPRESENTA

PIENSA Y RAZONA

RESUELVE

ARGUMENTA

REPRESENTA

Temperaturas máximas

Temperaturas mínimas

Lunes

−1 ºC / 9 ºC

9 ºC / 16 ºC

−4 ºC / 8 ºC

7 ºC / 15 ºC

0 ºC / 10 ºC

8 ºC / 16 ºC

−3 ºC / 8 ºC

6 ºC / 14 ºC

−3 ºC / 7 ºC

7 ºC / 15 ºC

−4 ºC / 7 ºC

6 ºC / 14 ºC

−4 ºC / 6 ºC

7 ºC / 15 ºC

Lunes

Martes

Martes

Miércoles

Miércoles

Jueves

Jueves

Viernes

Viernes

Sábado

Sábado

Domingo

Domingo

Ciudad A

Ciudad B

10

8

6

4

2

0

–2

–4Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

MáximasMínimas

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Máximas 9 ºC 1 ºC 2ºC 2 ºC 1 ºC 0 ºC 1 ºC

Mínimas −1 ºC 3 ºC 4 ºC 3 ºC 0 ºC 1 ºC 0 ºC

Representa e interpreta de la misma manera las temperaturas diarias de la ciudad B.Representa e interpreta de la misma manera las temperaturas diarias de la ciudad B.

REPRESENTAREPRESENTA

1 ºC

TRABAJO

COOPERATIVO

Estos mapas de temperaturas muestran la previsión meteorológica de la Agencia Estatal de Meteorología para España de un día concreto del año.

Matemáticas vivas

91

3Números enteros


a) En las islas Baleares se alcanzará una temperatura máxima entre 16 ºC y 18 ºC.

b) Las temperaturas máximas más altas se alcanzan en zonas de Andalucía y de Canarias.

c) La temperatura mínima más baja es de unos −6 ºC. La temperatura mínima más alta es de unos 12 ºC.

0 16 12–

d) En algunas zonas de Huesca y Lérida la mínima no superará los 0 ºC.

e) Las temperaturas máximas son bastante bajas y las mínimas también. La predicción de temperaturas corresponde al invierno.

Relaciona2 Localiza tu provincia en el mapa.

a) ¿Cuál es la temperatura máxima prevista? ¿Y la mínima?

b) ¿Cuántos grados de diferencia hay entre la temperatura máxima y la mínima?

a) Respuesta abierta. b) Respuesta abierta.3 En el mapa de temperaturas mínimas hay una zona en el norte de la Península de color morado claro que corresponde a

una temperatura entre −6 ºC y −4 ºC.

a) Si en la misma zona la temperatura mínima del día anterior fue 5 ºC más alta, ¿cuáles fueron las mínimas de ayer en esta zona?

b) La previsión para el día siguiente en esta zona es que las temperaturas bajen 2 ºC. ¿Cuál será la mínima que alcanzarán?

a) −6 + 5 = −1 ºC −4 + 5 = 1 ºC La temperatura mínima del día anterior estaba entre −1 ºC y 1 ºC.

b) −6 − 2 = −8 ºC −4 − 2 = −6 ºC La temperatura mínima del día siguiente estará entre −8 ºC y −6 ºC.

Reflexiona4 Las siguientes tablas muestran la previsión meteorológica semanal de dos ciudades españolas en la misma semana del año.

¿Cuál de las dos ciudades se encuentra en la costa y cuál en alta montaña?

En la costa hay temperaturas más moderadas, en alta montaña las temperaturas son más frías. La primera ciudad se en-cuentra en alta montaña y la segunda en la costa.

5 Esta es la representación e interpretación de las temperaturas máxima y mínima de la ciudad A.

Representa e interpreta de la misma manera las temperaturas diarias de la ciudad B.

Trabajo cooperativoRespuesta abierta.

Lunes

−1 ºC / 9 ºC −4 ºC / 8 ºC 0 ºC / 10 ºC −3 ºC / 8 ºC −3 ºC / 7 ºC −4 ºC / 7 ºC −4 ºC / 6 ºC

Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado DomingoA B

9 ºC / 16 ºC 7 ºC / 15 ºC 8 ºC / 16 ºC 6 ºC / 14 ºC 7 ºC / 15 ºC 6 ºC / 14 ºC 7 ºC / 15 ºC

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

10

8

6

4

2

0

–2

–4Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

MáximasMínimas

L M X J V S D

Máx. 9 ºC 1 ºC 2 ºC 2 ºC 1 ºC 0 ºC 1 ºC

Mín. −1 ºC 3 ºC 4 ºC 3 ºC 0 ºC 1 ºC 0 ºC

L M X J V S D

Máx. 16 ºC 1 ºC 1 ºC 2 ºC 1 ºC 1 ºC 1 ºC

Mín. 9 ºC 2 ºC 1 ºC 2 ºC 1 ºC 1 ºC 1 ºC

14

12

10

8

6

4

2

0Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

MáximasMínimas

16

3 Números enteros


66

3 Números enteros

La potencia de base 3 y exponente 5 es el producto de 3 por sí mismo 5 veces.

35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243

De la misma forma se pueden efectuar potencias de base negativa.

(−) ⋅ (−) ⋅ (−) ⋅ (−) ⋅ (−) (−3)5 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = = −243 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

Dependiendo de la paridad del exponente, el signo del resultado es positivo o negativo.

(−) ⋅ (−) ⋅ (−) ⋅ (−) (−3)4 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = = +81 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

AVANZA

A1. Halla el signo de las siguientes potencias de base negativa.

a) (−2)7 d) (−4)3

b) (−7)2 e) (−1)15

c) (−8)6 f) (−6)9

A2. Copia y completa.

a) ( 2) = 128 c) ( 3) = 27

b) ( 5) = 125 d) ( 4 ) = 16

A3. Calcula las siguientes potencias.

a) (−2)6 d) (−5)5

b) (−8)2 e) (−1)11

c) (−4)4 f) (−3)3

A4. Calcula.

a) ((−2) ⋅3)3 d) (32 : (−4))6

b) ((−8) : 4)5 e) 12 : 127

)))) ))

c) (5 ⋅ (−2))4 f) (2 ⋅ (−6))2

Base 5 vecesBase

Exponente

CÁLCULO MENTAL Estrategias para la RESTA

❚ Recuentos o conteos

Una estrategia para realizar restas es contar las unidades que hay desde el sustraendo hasta el minuendo. Por ejemplo, para efectuar la resta 12 − 8, contamos del 8 al 12.

CM1. Utiliza esta técnica para escribir el resultado de las siguientes restas.

a) 25 − 18 c) 32 − 27 e) 45 − 39 g) 76 − 65

b) 43 − 39 d) 89 − 72 f) 54 − 48 h) 68 − 53

La misma técnica puede utilizarse cuando aparecen resultados negativos. Por ejemplo, para efectuar la resta de 15 − 23, sabemos que el signo es negativo por ser mayor el sustraendo y contamos desde el 15 al 23.

CM2. Ahora aplica la regla a las siguientes operaciones.

a) 2 − 17 c) 45 − 49 e) 67 − 78 g) 47 − 54

b) 23 − 36 d) 36 − 47 f) 53 − 61 h) 81 − 93

CM3. Realiza los siguientes cálculos.

a) 25 − 32 c) 72 − 69 e) 93 − 88 g) 69 − 45

b) 57 − 43 d) 61 − 57 f) 75 − 83 h) 72 − 81

Potencias de base un número entero


En la sección Avanza de esta unidad se introducen las potencias cuya base es un número entero negativo para completar lo aprendido en la unidad de números naturales, donde se trabajan las potencias con estos números.

Este concepto será ampliado en cursos superiores.

Soluciones de las actividades

A1. Halla el signo de las siguientes potencias de base negativa.

a) (−2)7 c) (−8)6 e) (−1)15

b) (−7)2 d) (−4)3 f) (−6)9

a) (−2)7 → Signo negativo c) (−8)6 → Signo positivo e) (−1)15 → Signo negativo

b) (−7)2 → Signo positivo d) (−4)3 → Signo negativo f) (−6)9 → Signo negativo

A2. Copia y completa.

a) (−2)§ = −128 c) (−3)§ = −27

b) (−5)§ = −125 d) (−4)§ = 16

a) (−2)7 = −128 c) (−3)3 = −27

b) (−5)3 = −125 d) (−4)2 = 16

A3. Calcula las siguientes potencias.

a) (−2)6 c) (−4)4 e) (−1)11

b) (−8)2 d) (−5)5 f) (−3)3

a) (−2)6 = 64 c) (−4)4 = 256 e) (−1)11 = −1

b) (−8)2 = 64 d) (−5)5 = −3 125 f) (−3)3 = −27

A4. Calcula.

a) ((−2) ⋅ 3)3 c) (5 ⋅ (−2))4 e) ((−12) : (−12))7

b) ((−8) : 4)5 d) (32 : (−4))6 f) (2 ⋅ (−6))2

a) (−6)3 = −216 c) (−10)4 = 10 000 e) 17 = 1

b) (−2)5 = −32 d) (−8)6 = 262 144 f) (−12)2 = 144

Avanza. Potencias de base un número entero

93

3Números enteros


Cálculo mental. Estrategias para la restaSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabajan dos estrategias de cálculo mental para realizar restas con números enteros, basadas en el razonamiento ¿Cuánto le falta a … para llegar a …?

CM1. Utiliza esta técnica para escribir el resultado de las siguientes restas.

a) 25 − 18 e) 45 − 39

b) 43 − 39 f) 54 − 48

c) 32 − 27 g) 76 − 65

d) 89 − 72 h) 68 − 53

a) 25 − 18 = 7 e) 45 − 39 = 6

b) 43 − 39 = 4 f) 54 − 48 = 6

c) 32 − 27 = 5 g) 76 − 65 = 11

d) 89 − 72 = 17 h) 68 − 53 = 15

CM2. Ahora aplica la regla a las siguientes operaciones.

a) 2 − 17 e) 67 − 78

b) 23 − 36 f) 53 − 61

c) 45 − 49 g) 47 − 54

d) 36 − 47 h) 81 − 93

a) 2 − 17 = −15 e) 67 − 78 = −11

b) 23 − 36 = −13 f) 53 − 61 = −8

c) 45 − 49 = −4 g) 47 − 54 = −7

d) 36 − 47 = −11 h) 81 − 93 = −12

CM3. Realiza los siguientes cálculos.

a) 25 − 32 e) 93 − 88

b) 57 − 43 f) 75 − 83

c) 72 − 69 g) 69 − 45

d) 61 − 57 h) 72 − 81

a) 25 − 32 = −7 e) 93 − 88 = 5

b) 57 − 43 = 14 f) 75 − 83 = −8

c) 72 − 69 = 3 g) 69 − 45 = 24

d) 61 − 57 = 4 h) 72 − 81 = −9

3 Números enteros


1. Copia y completa los números que faltan en la siguiente recta numérica.

−6 2 5 −3 4

0 11–

0 11–3–6– 2 4 5

2. Calcula.

a) |−12| c) op(−5)

b) op(+23) d) |+4|

a) |−12| = 12 c) op (−5) = 5

b) op (23) = −23 d) |+4| = 4

3. Halla el resultado de estas siguientes sumas y restas de números enteros.

a) (−12) − (+7) c) (+7) − (+12)

b) (+12) + (−7) d) (−7) − (−12)

a) (−12) − (+7) = −12 − 7 = −19

b) (+12) + (−7) = 12 − 7 = 5

c) (+7) − (+12) = 7 − 12 = −5

d) (−7) − (−12) = −7 + 12 = 5

4. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de números enteros.

a) (−18) : (+3) c) (+7) ⋅ (+2)

b) (+5) ⋅ (−3) d) (−16) : (−2)

a) (−18) : (+3) = −6

b) (+5) ⋅ (−3) = −15

c) (+7) ⋅ (+2) = 14

d) (−16) : (−2) = 8

5. Realiza las siguientes operaciones respetando la jerarquía de las operaciones.

a) 2 − 5 ⋅ 2 c) −5 − 4 ⋅ (−2) − (−6)

b) 8 + (−4) ⋅ 3 − (−1) d) 14 + (3 − 5) ⋅ 6 − 2 ⋅ (−5)

a) 2 − 5 ⋅ 2 = 2 − 10 = − 8

b) 8 + (−4) ⋅ 3 − (−1) = 8 − 12 + 1 = −3

c) −5 − 4 ⋅ (−2) − (−6) = −5 + 8 + 6 = 9

d) 14 + (3 − 5) ⋅ 6 − 2 ⋅ (−5) = 14 + (−2) ⋅ 6 + 10 = 14 − 12 + 10 = 12

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

95

3Números enteros


1. Opera y ordena los resultados de menor a mayor.

(3 − 4) op(4) |−7| (−1 − 1) op(2) + |−3|

El resultado de estas operaciones es:

(3 − 4) = −1 op(4) = −4 |−7| = 7 (−1 − 1) = −2 op(2) + |−3| = −2 + 3 = 1

op(4) < (−1 − 1) < (3 − 4) < op(2) + |−3| < |−7|

2. Realiza las siguientes sumas y restas de números enteros.

a) −12 + 5 − (+7) − 1 c) 7 − 5 − (+12) − (−3)

b) −5 − (−2) + (−7) + 3 d) (−6) − 2 + (−3) + 5

a) −12 + 5 − (+7) − 1 = −12 + 5 − 7 − 1 = c) 7 − 5 − (+12) − (−3) = 7 − 5 − 12 + 3 = = −7 − 7 − 1 = −14 − 1 = −15 = 2 − 12 + 3 = −10 + 3 = −7

b) −5 − (−2) + (−7) + 3 = −5 + 2 − 7 + 3 = d) (−6) − 2 + (−3) + 5 = −6 − 2 − 3 + 5 = = −3 − 7 + 3 = −10 + 3 = −7 = −8 − 3 + 5 = −11 + 5 = −6

3. Halla el resultado de estas operaciones con números enteros.

a) (−8) ⋅ (+3) : (−6) c) (+7) ⋅ (−3) ⋅ (+2)

b) 5 ⋅ (−6) : (−2) d) 24 : (−3) : (−2)

a) (−8) ⋅ (+3) : (−6) = −24 : (−6) = 4 c) (+7) ⋅ (−3) ⋅ (+2) = −21 ⋅ 2 = −42

b) 5 ⋅ (−6) : (−2) = −30 : (−2) = 15 d) 24 : (−3) : (−2) = −8 : (−2) = 4

4. Realiza las siguientes operaciones respetando la jerarquía de las operaciones.

a) −15 − 4 ⋅ (−3) − (−8)

b) 8 + (−14) ⋅ 2 − (−5) ⋅ 3

a) −15 − 4 ⋅ (−3) − (−8) = −15 + 12 + 8 = 5

b) 8 + (−14) ⋅ 2 − (−5) ⋅ 3 = 8 − 28 + 15 = −5

5. Calcula: −12 + (5 − (2 − 4 ⋅ 3) : (−5) + 1) − 3 ⋅ (−2)

−12 + (5 − (2 − 4 ⋅ 3) : (−5) + 1) − 3 ⋅ (−2) =

= −12 + (5 − (2 − 12) : (−5) + 1) − 3 ⋅ (−2) =

= −12 + (5 − (−10) : (−5) + 1) − 3 ⋅ (−2) =

= −12 + (5 − 2 + 1) − 3 ⋅ (−2) =

= −12 + 4 − 3 ⋅ (−2) =

= −12 + 4 + 6 =

= −8 + 6 = −2

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

nÚmeros enteros · significado y contextualizándolo en problemas de la vida cotidiana. 6, 7 13-15...

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