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Título: PROGRAMACIÓN LINEAL

Nivel educativo: 2º BACHILLERATO

Calculadora: CP-400

Autores: Onofre Monzó Del Olmo y María Teresa Navarro Moncho

Proyecto: Sí

Experimentado: Sí y con muy buenos resultados. Nuestro alumnado ha obtenido

resultados en las PAU muy por encima de la media.

Material necesario para experimentar: Maleta con 20 calculadoras CP-400

Justificación: A pesar de la postura que mantienen los responsables de la elaboración

de las pruebas de acceso a la universidad española no tiene sentido que se prohíba el uso

de calculadoras CAS en dichas pruebas

Lo más importante en la resolución de problemas de programación lineal son las

decisiones que el resolutor debe tomar en el proceso de la resolución, a saber, elección

de las incógnitas, obtención de la función que se quiere optimizar en función de los

datos del problema, expresión de las restricciones del problema en forma de sistema de

inecuaciones, obtención del conjunto de soluciones factibles y, finalmente obtención, si

existe, el valor óptimo de la función en dicho conjunto. Es evidente que a lo largo de

este proceso hay que realizar diversos cálculos, cálculos que el alumnado de segundo de

bachillerato no debería tener que demostrar que sabe realizar, pues dichos cálculos se

realizan desde los primeros cursos de secundaria.

El uso de la CP-400 en el aprendizaje de la programación lineal favorece que éste se

centre en lo que verdaderamente es significativo y permite resolver problemas reales de

mayor complejidad.

Onofre Monzó y Maite Navarro. Departament de Matemàtiques______________________________

IES Veles e Vents. Torrent ____________________________________________________/ 2

La programación lineal En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y,

sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo

infinitesimal, se ocuparon del problema de obtener máximos y mínimos condicionados

de determinadas funciones.

Posteriormente, el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el

primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente

denominamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Si exceptuamos el matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interesó

por problemas de este género, tenemos que remontarnos a 1939 para encontrar nuevos

estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal. En ese año, el

matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovitch publica una extensa monografía

titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la

que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría

matemática precisa y muy definida, denominada hoy en día programación lineal.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado

independientemente por Koopmans y por Kantorovitch, razón por la cual se suele

conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantorovftch.

Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre

de régimen alimentario optimal. En los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial,

en los Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y

recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y

simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la

programación lineal.

Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y los

ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los

problemas que se estaban gestando. En 1947, G. B. Dantzig formula, en términos

matemáticos muy precisos, el enunciado estándar a que cabe reducir todo problema de

programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States

Departamento of Air Fuerzo, formarían el grupo que se denominó SCOOP (Scientific

Computation of Optimum Programs).

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben de al matemático

norteamericano de origen húngaro John (Janos) Von Neumann (1903-1957), quien en

1928 publicó su famoso trabajo Teoría de juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de

los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus

trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en

Gotinga y, desde 1930, catedrático de la Universidad de Princeton de los Estados

Unidos, hace que otros investigadores se interesaron gradualmente por el desarrollo

riguroso de esta disciplina.

Desigualdades

Dado que el conjunto de los números resales ℝ es totalmente ordenado, dados dos

números reales a i b, siempre es cierta alguna de les tres relaciones siguientes:

a b o a = b

Las dos primeras se denominan desigualdades.

Entre las desigualdades numéricas se cumplen las tres transformaciones de equivalencia

siguientes:

a. Si a los dos miembros de una desigualdad se los suma un mismo número, la

desigualdad se conserva en el mismo sentido, es decir:

a b a+c > b+c c ℝ

b. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo

número positivo, la desigualdad conserva el sentido, es decir:

Si c ℝ + a b ac > bc

c. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo

número negativo, la desigualdad cambia de sentido, es decir:

Si c ℝ ─ a bc i a > b ac < bc

d. Dados cuatro números reales a, b, c i d cualesquiera, se cumple la compatibilidad de

la ordenación con la suma, es decir:

a 

1

𝑏

f. Si un número real es menor que otro, con los opuestos de estos dos la desigualdad

cambia de sentido, es decir:

a ─b

Inecuaciones en la calculadora gráfica

A veces, los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen “es igual”,

sino “es mayor” o “es menor”, por ejemplo:

Sabemos que cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor

que su diferencia. Sean x = 2 i y = 4 dos lados de un triangulo, ¿cuánto mide el otro?

Si llamamos z al otro lado, entonces z < 2+4 i z > 4─2.

Si tratamos de escribir una expresión algebraica que represente la situación, vemos que

no podemos poner el signo = entre las cantidades.

Si en una ecuación sustituimos el signo = per <,>, ≤ o ≥ obtenemos una inecuación.

2BInecuaciones lineales con una variable

Al resolver una inecuación lineal con una variable utilizando las propiedades de las

desigualdades llegaremos a una de las situaciones siguientes:

a) x < a (-, a) o ]-, a[

b) x a (-, a] o ]-, a]

c) x > a (a,+) o ]a, +[

d) x a [a,+) o [a, +[

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Regiones del plano

Si queremos saber cuál es la región del plano que verifica que y ≤ 0.5x+4 tendremos

que buscar el conjunto de puntos del plano (x,y) que verifiquen la desigualdad, y por

tanto la recta dividirá el plano en dos trozos, y uno de ellos es el que nos interesa.

Tendremos que hacer lo siguiente:

En el menú Gráficos i Tablas seleccionamos en Tipos y ≤ (o directamente desplegando

el submenú y =) e introducimos la inecuación:

y ≤ 0.5x+4

a-2 a-1 a a+1 a+2

a-2 a-1 a a+1 a+2

a-2 a-1 a a+1 a+2

a-2 a-1 a a+1 a+2



Ajustamos el tamaño de la ventana pulsando el icono 6 y dibujamos tocando $

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas está formado por dos o

más inecuaciones con dos incógnitas que tienen que verificarse simultáneamente.

Teniendo en cuenta que la solución de una inecuación lineal con dos incógnitas es un

semiplano, la solución de un sistema de inecuaciones lineales será la región del plano

que contiene todos los puntos cuyas coordenadas son solución de todas y cada una de

las inecuaciones del sistema. Esta región se obtiene a partir de la intersección de los

semiplanos de cada una de las inecuaciones que forman el sistema.

Veamos algunos ejemplos:

4 2 6

0

x y

x y

si transformamos el sistema

obtenemos: 3 2y x

y x



La solución del sistema está formada por los puntos del plano que son solución de las

dos inecuaciones al mismo tiempo. Esta lo obtenemos por superposición de los dos

semiplanos solución de cada una de las inecuaciones del sistema.

Como se observa en este caso se trata de una región poligonal no acotada.

Veamos otro caso:

2 2 6

0

x y

x y

si transformamos el sistema

obtenemos: 3y x

y x

y si procedemos como en el caso anterior observamos que no tiene solución.

Finalmente consideramos el sistema siguiente:



4

2

2 2

x y

x y

x y

transformándolo y procediendo

como en las ocasiones anteriores

obtenemos:

4

2

2 2

y x

y x

y x

Donde la solución es una región poligonal cerrada.

Puntos óptimos de funciones en conjuntos

convexos

Se define una función lineal con dos variables como una expresión de la forma:

f (x, y) = ax + by.

Se observa que para cada valor de "c", el lugar geométrico de los puntos cuyas

coordenadas (x, y) verifiquen f (x, y) = c es la recta de ecuación ax+by = c.

Al variar "c", se obtienen rectas paralelas tales que todas tienen la misma pendiente

─a/b y cortan al eje Y en el punto (0, c/b). Si los valores de x e y no están cerrados,

tampoco lo estarán f (x, y), en cambio, si están restringidos a un cierto conjunto C, la

función no podrá tomar cualquier valor. Se puede entonces hablar de valor máximo o

mínimo (valores óptimos) de f (x, y) en C.

Se cumple el siguiente teorema: "Si una función lineal f (x, y) = ax+by tiene máximo o

mínimo en un conjunto C convexo, toma este valor óptimo en un punto extremo".

En efecto, si lo valor c fuera óptimo y correspondiera a un punto (x, y) interior al

conjunto convexo C, siempre se podrían encontrar dos rectas paralelas a ax+by+c = 0,

en las que f(x, y) tomaría valores mayores o menores que c y no podría ser c máximo o

mínimo. Por lo tanto estos valores sólo pueden presentarse en los puntos extremos.

Usando este teorema, para encontrar los puntos óptimos de f (x, y) en el conjunto

convexo C podemos proceder de dos formes:



1. Estudiar los valores de la función en los vértices (si su número es reducido) y decidir

en cuál de ellos hay máximo o mínimo. Tengamos en cuenta que si la función toma el

mismo valor en dos vértices consecutivos, también toma ese valor en todos los puntos

del segmento que une esos dos vértices.

2. Representar la función en una gráfica para un valor cualquiera de c (se suele tomar

c=0) y obtener, por simple inspección, desplazando la recta dibujada paralelamente a sí

misma el punto óptimo. Este procedimiento, por ser gráfico es más impreciso salvo que

realizamos el dibujo con mucha precisión. Nosotros utilizaremos el método a) salvo que

el número de vértices sea muy elevado.

Ejemplos

El dilema (P.A.U. Matemáticas II 1997 Universitat de València)

Marc M.M. ha estado trabajando todo el verano para poder pagarse la matrícula del

curso siguiente.

Su problema ahora es decidir el número de créditos teóricos y prácticos en los que se

matriculará, puesto que tienen que cumplirse los requisitos siguientes:

1- Sólo dispone de 84.000 PTA. El precio de un crédito teórico (CT) es de 1.000 PTA, y

el de un crédito práctico (CP) es de 2.000 PTA.

2- Tiene que elegir un mínimo de 20 CT y como máximo 56 CT, y no quiere

matricularse en más de 70 créditos en total.

3- La normativa de su Universidad exige que el número de CP no supero el 20% del

total de créditos elegidos.

Si su objetivo es cursar el mayor número posible de créditos, ¿de cuántos créditos

teóricos y prácticos tendrá que matricularse?

Solución

Sean x los CT que elige e y los CP, entonces 1.000x+2.000y ≤ 84.000

x + y ≤ 70

y ≤ (20/100)(x+y)

x ≥20

x ≤ 56

y ≥ 0

y el objetivo es maximizar x+y.

Con las manipulaciones convenientes quedaría: Maximizar x + y

Sujeto a:

x + 2y 84 (y 42 – x/2)

x+y 70 (y 70 – x)

x 4y (y x/4)

x 20, x 56, y 0



Introducimos las funciones en el editor de funciones:

Restringimos el tamaño de la ventana en

-5 x 70 i -5 y 70:

Y observamos que con -5 ≤ y ≤40 es suficiente



Si trazamos una paralela a la función objetivo (y = ─x) (y = 70─x): observamos que la

solución es la intersección de les tres rectes, x=56 i y=14, con un valor de la función

objetivo (x+y) de 70.

Otra opción es fijarnos en la región factible, es decir, la que contiene las posibles

soluciones. En el gráfico se corresponde con la intersección de los semiplanos. Esta

región es un polígono convexo, cuyos vértices son (22,0), (56,0), (56,14) y (22,22/4).

Como la función es continua y el conjunto en el que hay que maximizarla un convexo

cercado, el máximo se conseguirá en uno de los vértices o en una de sus aristas

(delimitada por dos de sus vértices).

Calculamos los puntos de intersección del semiplanos con la opción Intersección del

submenú Resolución Gráfica del menú Análisis.



O mediante la opción cal y del submenú Resolución Gráfica del menú Análisis.

Si calculamos el valor de la función objetivo para cada uno de los puntos:

Punto x+y

(20,0) 20

(56,0) 56

(56,14) 70

(20,5) 25

Observamos que el máximo se consigue para x=56 i y=14 con un valor de la función

objetivo de 70.

El problema de programación lineal con

dos variables

Un problema de programación lineal con dos variables tiene por finalidad optimizar

(maximizar o minimizar) una función lineal:

f (x,y) = ax + by

llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones presentadas en forma de

sistema de inecuaciones con dos incógnitas de la forma:

1 1 1

2 2 2

n n n

a x b y c

a x b y c

a x b y c

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. El conjunto



intersección de todos esos semiplanos recibe el nombre de zona de soluciones factibles.

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles

básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se denomina solución máxima

(o mínima según el caso).

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se denomina

valor del programa lineal.

El procedimiento a seguir para resolver un problema de programación lineal en dos

variables será, pues:

1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representante gráficamente las

restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son

pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál

de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que

tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no es cerrado).

Problemas PAU

2000

J-A PROBLEMA 2. Una factoría produce coches de los modelos A y B. El beneficio

por la venta de un coche del modelo A es 450 euros, y la venta de uno del modelo B

reporta un beneficio de 600 euros.

La capacidad de la factoría impide producir más de 400 coches por día del modelo A y

más de 300 coches por día del modelo B. Además, no es posible producir diariamente

más de 500 coches entre ambos modelos.

Se vende toda la producción que se hace y se quiere saber, razonadamente, cuántos

coches interesa fabricar de cada modelo para obtener el máximo beneficio.

J-B PROBLEMA 2. Un vendedor de libros usados tiene 180 libros de la editorial A y

160 de la editorial B, con los que se decide hacer dos tipos de lotes, el lote económico

con tres libros de la editorial A y uno de la editorial B, que venderá a 800 PTA., y el

lote selecto con un libro de la editorial A y dos de la editorial B, que venderá a 1.000

PTA. Deducid razonadamente cuántos lotes tiene que hacer de cada tipo para maximizar

sus ingresos al vender todos los lotes.

S-A PROBLEMA 1. Encuentra los máximos y mínimos de la función f (x, y) = 2x+3y-7

en la región limitada por los segmentos que unen: el punto (0,0) y el (0,6); el punto (0,6)

y el (4,4); el punto (4,4) y el (6,0); y el punto (6,0) y el punto (0,0).



2001

J-A PROBLEMA 2. Una fábrica produce bombillas normales a 900 pesetas cada una y

focos halógenos a 1.200 pesetas cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación

es de 1.000, entre bombillas normales y focos halógenos, si bien no se pueden fabricar

más de 800 bombillas normales ni más de 600 focos halógenos.

Se sabe que la fábrica vende toda la producción. Averiguad razonadamente cuántas

bombillas y cuántos focos tiene que producir para obtener la máxima facturación

posible y cuál sería ésta.

J-B PROBLEMA 3. Una industria fabrica bolígrafos que vende a 400 pesetas cada uno

y plumas estilográficas que vende a 1.200 pesetas cada una. Las máquinas limitan la

producción de forma que cada día no se pueden producir más de 200 bolígrafos ni más

de 150 plumas estilográficas, y el total de la producción (bolígrafos más plumas) no

puede sobrepasar las 250 unidades. La industria vende siempre toda la producción.

Deducid razonadamente cuántos bolígrafos y plumas estilográficas tiene que producir al

día para maximizar el beneficio y cuál sería éste.

S-A PROBLEMA 3. El INSERSO tiene que organizar un viaje para 800 personas con

cierta empresa que dispone de 16 autobuses de 40 plazas cada uno y 20 autobuses de 50

plazas cada uno. El alquiler de un autobús pequeño cuesta 3.000 pesetas y el alquiler de

un autobús grande costa 4.000 pesetas

Averiguad razonadamente cuántos autobuses de cada clase se tienen que contratar para

minimizar el coste y cuál sería el coste mínimo, sabiendo que la empresa sólo dispone

de 18 conductores.

S-B PROBLEMA 1. La función f (x, y) = 2x + 3y está definida en el polígono de

vértices (0,0), (6,0), (6,8), (4,12) y (0,15). Determinad de forma razonada todos los

puntos en los que la función f logra un máximo. Justificad de forma razonada si este

máximo se logra en un sólo punto o no. ¿En qué punto o puntos se logra el máximo?

¿Cuál es el valor del máximo?

2002

J-A PROBLEMA 1. Se considera la región factible dada por el conjunto de

restricciones siguientes:

00

93

5

y,x

yx

yx

Representad la región factible que determina el sistema de inecuaciones anterior y

calculad de forma razonada el punto o los puntos de la región factible en la que las

funciones siguientes logran su máximo y su mínimo:

a) yxy,xf 32 ,

b) xyy,xf .



J-B PROBLEMA 1. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos

de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de

tipos A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipos B contienen

dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 € por cada paquete que venda

de tipo A y 5 € por cada paquete que venda de tipo B. Calculad de forma razonada

cuántos paquetes de cada tipo tiene que vender para maximizar el beneficio y calculad

este beneficio.

S-A PROBLEMA 1. En un terreno se quieren cultivar dos tipos de olivos: A y B. No se

pueden cultivar más de 8 ha con olivos de tipos A ni más de 10 ha con olivos del tipo B.

Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anual y cada una de tipo B, 3

m3. Se dispone anualmente de 44 m

3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una

inversión de 500 € y cada hectárea de tipo B, 225 €. Se dispone de 4.500 € para hacer

dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B produce, respectivamente, 500

y 300 litros anuales de aceite,

a) Obtened razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se tienen que

plantar para maximizar la producción de aceite

b) Obtened la producción máxima de aceite.

S-B PROBLEMA 1. Una empresa fabrica dos tipos de aparatos A y B que necesitan

pasar por los talleres X e Y. En cada uno de los talleres se trabaja 100 horas a la

semana. Cada aparato A requiere 3 horas del taller X y 1 hora del taller Y, y cada

aparato B necesita 1 y 2 horas, respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 € y

cada aparato B se vende a 150 €.

a) Obtened razonadamente cuántos aparatos de cada tipo tienen que producirse para

que el ingreso por ventas sea máximo

b) ¿Cuál es el ingreso máximo?

2003

J-A PROBLEMA 2. Una compañía fabrica y vende dos modelos de luces A y B. Para

su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y de 30

minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de

10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6.000 minutos al mes

y para el de máquina de 4.800 minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de

15 € para el modelo A y de 10 € para el modelo B, planificad la producción mensual para

obtener el máximo beneficio y calculad éste.

J-B PROBLEMA 2. Tengo que tomar al menos 60 mg de vitamina A y al menos 90 mg

de vitamina B cada día. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e

Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10 mg de vitamina A y 15 mg de vitamina B, y

cada pastilla de la marca Y contiene 10 mg de cada vitamina. Además, no es conveniente

tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es de

50 céntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 céntimos de euro, calculad de

forma razonada:

a) Cuántas pastillas diarias de cada marca tengo que tomar porque el coste sea mínimo, y



b) Cuál es el coste mínimo.

S-A PROBLEMA 2. Una empresa dispone de un máximo de 16.000 unidades de un

producto que puede vender en unidades sueltas o en lotes de cuatro unidades. Para

empaquetar un lote de cuatro unidades se necesita el triple de material que para

empaquetar una unidad suelta. Si se dispone de material para empaquetar 15.000

unidades sueltas, y si el beneficio que se obtiene por la venta de cada unidad suelta es de

2 € y de cada lote de cuatro unidades es de 7 €, calculad de forma razonada el número

de unidades sueltas y de lotes de cuatro unidades que se tiene que preparar para

maximizar el beneficio y calculad éste.

S-B PROBLEMA 2. Se pretende invertir en dos productos financieros A y B. La

inversión en B tiene que ser al menos de 3.000 € y no se quiere invertir en A más del

doble que en B. Se supone que A proporcionará un beneficio del 10% y B del 5%. Si se

dispone de 12.000 €, calculad de forma razonada cuánto se tiene que invertir en cada

producto para maximizar el beneficio y determinad éste.

2004

J-A PROBLEMA 2. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos

de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7%, respectivamente. sabiendo que

se tiene que dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo mediano y que

el dinero invertido en alto y mediano riesgo tiene que estar como máximo a razón de 4 a

5, determinad cuánto tiene que dedicarse a cada uno del tipo de préstamo para

maximizar el beneficio y calculad éste.

J-B PROBLEMA 2. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27

vagones. En cierto viaje, transporta coches, y motocicletas. Para coches tiene que

dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los

vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 €

por vagón de coches y 360 € por vagón de motocicletas, calculad cómo se tienen que

distribuir los vagones para que el beneficio del transporte de coches y motocicletas sea

máximo y cuánto vale este beneficio.

S-A PROBLEMA 2. Un fabricante produce en dos talleres tres modelos diferentes de

archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar 12 archivadores del

modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le cuesta 720 € al día el funcionamiento del

primer taller y 960€ el del segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores

del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce 2, 2 y 12

archivadores, respectivamente. ¿Cuántos días tiene que trabajar cada taller para,

cumpliendo el contrato, conseguir reducir al máximo los costes de funcionamiento?

¿Cuál es el valor del mencionado coste? ¿Quedaría algún excedente de algún producto

en los talleres? En caso afirmativo, determinad cuánto.

S- B PROBLEMA 2. Calculad los puntos de la región definida por

52

63

152

6

y

x

yx

yx



en los que la función yxz 23 toma los valores máximo y mínimo. Calculad los

mencionados valores.

2005

J-A PROBLEMA 2. Las necesidades vitamínicas diarias de una persona son de un

mínimo de 36 mg de vitamina A, 28 mg de vitamina C y 34 mg de vitamina D. Estas

necesidades se cubren tomando pastillas de la marca Energic y de la marca Vigor. Cada

pastilla de la marca Energic costa 0,03 € y proporciona 2 mg de vitamina A, 2 mg de

vitamina C y 8 mg de vitamina D. Cada pastilla de la marca Vigor cuesta 0,04 € y

proporciona 3 mg de vitamina A, 2 mg de vitamina C y 2 mg de vitamina D. ¿Cuántas

pastillas de cada marca se tienen que tomar diariamente si se desea cubrir las

necesidades vitamínicas básicas con el menor coste posible? Determinad el mencionado

coste.

J-B PROBLEMA 2. Un vendedor dispone de 350000 € para invertir en dos tipos de

microondas. El que dispone de más accesorios tiene un coste de 150 € y reporta un

beneficio de 15 € por unidad vendida, mientras que el otro modelo sólo proporciona un

beneficio de 11 € por unidad vendida y tiene un coste de 100 €. Sabiendo que sólo se

pueden almacenar 3000 microondas y que no se venderán más de 2000 del modelo más

caro, determinad cuántos microondas de cada clase se deben comprar para maximizar el

beneficio y calculad éste.

S-A PROBLEMA 2. Representad la región factible dada por el sistema de

inecuaciones:

2/13

1

2

1

yx

y

x

yx

y encontrad los puntos de la región factible donde la función yxyxf 32, logra los

valores máximo y mínimo y obtened tales valores.

S-B PROBLEMA 2. Una empresa farmacéutica tiene en la actualidad dos líneas de

investigación, la de medicamentos antiinflamatorios no esteroides y la de fármacos

ansiolíticos. Desea invertir en la investigación como máximo tres millones de euros, con

la condición de dedicar al menos 1,5 millones de euros a los ansiolíticos, con los que

espera obtener un beneficio del 10%. En cambio en la investigación sobre

medicamentos antiinflamatorios, aunque se calcula un beneficio del 25% no tiene que

invertir más de un millón de euros. ¿Qué cantidad tiene que dedicar a cada línea de

investigación para maximizar beneficios, si además tiene que dedicar a los ansiolíticos

al menos el doble de dinero que a los antiinflamatori0s? ¿Qué beneficio obtendrá de este

modo la empresa?

2006

J – B PROBLEMA 2. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y

pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de

crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 98



y 0,2 barriles de gasóleo. Así mismo, con cada barril de crudo pelmazo produce 0,1, 0,2

y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería tiene

que suministrar al menos 26.300 barriles de gasolina 95, 40.600 barriles de gasolina 98

y 29.500 barriles de gasóleo. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo tiene que

comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y

calcula éste.

S-A PROBLEMA 2. Una destilería produce dos tipos de whisky blend mezclando sólo

dos maltas destiladas distintas, A y B. El primero tiene un 70% de malta A y se vende a

12 €/litro, mientras que el segundo tiene un 50% de dicha malta y se vende a 16 €/litro.

La disponibilidad de las maltas A y B son 132 y 90 litros, respectivamente. ¿Cuántos

litros de cada uno de los whiskys tiene que producir la destilería para maximizar sus

ingresos, sabiendo que la demanda del segundo whisky nunca supera a la del primero en

más del 80%? ¿Cuáles serían en este caso los ingresos de la destilería?

2007

J-A PROBLEMA 2. Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de adobo, A y B, a

partir de dos materias primas M1 y M2. Para fabricar una tonelada de A hacen falta 500

kg de M1 y 750 kg de M2, mientras que las cantidades de M1 y M2 utilizadas para

fabricar 1 tm de B son 800 kg y 400 kg, respectivamente. La empresa tiene contratado

un suministro máximo de 10 tm de cada una de las materias primeras y vende a 1.000 €

y 1.500 € cada tm de adobo A y B, respectivamente. Sabiendo que la demanda de B

nunca llega a triplicar la de A, ¿cuántas toneladas de cada uno de los adobos tiene que

fabricar para maximizar sus ingresos y cuáles son éstos?

J-B PROBLEMA 2.

a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema determinado por

las inecuaciones siguientes:

3𝑦 − 4𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ −4𝑥 + 4, 𝑦 ≥ 2, 𝑥 ≤ 1

b) Encuentra los vértices de la región anterior.

c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función yxyxf 3),( en dicha

región. Determina este valor mínimo.

2008

J-A PROBLEMA 2.

a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones:

3 2 5

2 1

5 4 16

5

x y

x y

x y

x y

b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior.



c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función ( , ) 3f x y x y en dicha

región. Determina este valor mínimo.

S-B PROBLEMA 2. Un cierto armador se dedica a la pesca de rape y merluza. Las

cuotas pesqueras imponen que sus capturas totales no excedan las 30 toneladas (Tm).

Por otro lado, la cantidad de rape como máximo puede triplicar a la de merluza y,

además, esta última no puede superar las 18 Tm. Si el precio del rape es de 15 €/kg y el

de la merluza 10 €/kg, ¿qué cantidades de cada especie tiene que pescar para maximizar

sus ingresos?

2009

J-PROBLEMA A1. Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg de manzanas

y 230 de peras. Para ello prepara dos bolsas de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg

de naranjas y 2 de manzanas, y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas

y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A obtiene un beneficio de 2,5 euros, y 3 euros

por cada una del tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas, ¿cuántas bolsas de cada

tipo tiene que preparar para maximizar sus ganancias? ¿Cuál es el beneficio máximo?

S-PROBLEMA D1. Una empresa construirá dos tipos de apartamentos, uno de lujo y

otro de súper lujo. El coste del modelo de lujo es de 1 millón de euros y del de súper

lujo de 1,5 millones. Dispone para la operación de 60 millones de euros. Para evitar

riesgos, se cree conveniente construir al menos tantos apartamentos de lujo como de

súper lujo y, en todo caso, no construir más de 45 apartamentos de lujo. ¿Cuántos

apartamentos de cada tipo interesa construir a la empresa si quiere maximizar el número

total de apartamentos construidos? ¿Agotará el presupuesto disponible?

PROBLEMA D2. Atendido el sistema de inecuaciones siguiente:

2

3 5 0

4 6

3 4

2

x

x y

y x

y x

y x

a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones y determina los vértices.

b) Obtén los puntos donde la función yxyxf 32),( logra los valores mínimo y

máximo en la mencionada región.

2010

J-A PROBLEMA 1. En un horno mallorquín se fabrican dos tipos de ensaimadas,

grandes y pequeñas. Cada ensaimada grande requiere para la elaboración 500 g de

masa y 250 g de relleno, mientras que una pequeña requiere 250 g de masa y 250 g de

relleno. Se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de relleno. El beneficio obtenido por la

venta de una ensaimada grande es de 2 euros y el de una pequeña es de 1,5 euros.



a) ¿Cuántas ensaimadas de cada tipo tiene que fabricar el horno para que el beneficio

obtenido sea máximo?

b) ¿Cuál es el beneficio máximo?

S-A PROBLEMA 1. Un ganadero dispone de alimento concentrado y forraje para

alimentar sus vacas. Cada kg de alimento concentrado contiene 300 g de proteína cruda

(PC), 100 g de fibra cruda (FC) y 2 Mcal de energía limpia de lactancia (ENL), y su

coste es 11 euros. Por otro lado, cada kg de forraje contiene 400 g de PC, 300 g de FC y

1 Mcal de ENL, siendo su coste 6,5 euros. Determina la ración alimentaria de mínimo

coste si sabemos que cada vaca tiene que ingerir al menos 3500 g de PC, 1500 g de FC

y 15 Mcal de ENL. ¿Cuál es el coste?

2011

S-A PROBLEMA 1. El amo de una tienda de golosinas dispone de 10 paquetes de

pipas, 30 chicles y 18 bombones. Decide que para venderlas mejor confeccionará dos

tipos de paquetes: el tipo A estará formado por un paquete de pipas, dos chicles y dos

bombones y se venderá a 1,5 euros. El tipo B estará formado por un paquete de pipas,

cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2 euros. ¿Cuántos paquetes de cada tipo

conviene preparar para conseguir los ingresos máximos? Determinad los ingresos

máximos.

2012

J-A PROBLEMA 1. Un comerciante quiere invertir hasta 1000 euros en la compra de

dos tipos de aparatos, A y B, y puede almacenar hasta 80 aparatos. Cada aparato de tipo

A le cuesta 15 euros y lo vende a 22, cada uno del tipo B le cuesta 11 y lo vende a 17

euros. ¿Cuántos aparatos tiene que comprar de cada tipo para maximizar el beneficio?

¿Cuál es el beneficio máximo?

S-B PROBLEMA 1. Sea el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

𝑥 + 𝑦 ≥ 1𝑥 + 𝑦 ≤ 2−𝑥 + 𝑦 ≤ 1𝑥 − 𝑦 ≤ 1

a) Resolvedlo gráficamente.

b) Calculad el máximo y el mínimo de la función z = 2x + y en el conjunto solución

de este sistema.

2013

JL-B PROBLEMA 1. Un estudiante reparte propaganda publicitaria para conseguir

ingresos. Le pagan 8 cts. de euro por cada uno de los impresos colocados al parabrisas

de un coche y 12 cts. por cada uno depositado en un buzón. Ha calculado que cada día

puede repartir como máximo 150 impresos y la empresa le exige diariamente que la

diferencia entre los colocados en coches y el doble de los colocados en buzones no sea

inferior a 30 unidades. Además, tiene que introducir en buzones al menos 15 impresos



diariamente. ¿Cuántos imprimidos tiene que colocar en coches y buzones para

maximizar sus ingresos diarios? ¿Cuál es este ingreso máximo?

2014

J-A PROBLEMA 1. Representa gráficamente la región determinada por el sistema de

inecuaciones:

𝑥 ≥

𝑦

2760𝑥 + 370𝑦 ≤ 94500

𝑦 +𝑥

2≥ 100

y calcula sus vértices. ¿Cuál es el máximo de la función f (x, y) = x + y en esta región?

¿En qué punto se consigue?

nivel educativo: 2º bachillerato - xeix.org · lo más importante en la resolución de problemas...

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