XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMTICA

MEP ITCR UCR UNA UNED - MICIT

SOLUCIN

PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL

NIVEL C

2012

1. Un factor de la factorizacin completa de 2 4 2 2 2 22 9mx y y m x y x+ corresponde a

a) ( )x m y b) ( )x m y+ c) 23y mx xy+ d) 23y mx xy

Solucin c) 23y mx xy+

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2

2 22 2 2

2 2

2 9 9 2

3 3 3

3 3

mx y y m x y x y m x mx y y x

y mx xy y mx xy y mx xy

y mx xy y mx xy

+ = +

= = +

= + +

2. Sean AB un dimetro de una circunferencia de centro O y C y D puntos en la circunferencia tales que OBCD es un paralelogramo. Entonces, la medida del arco AD es

a) 30 b) 40 c) 60 d) 65

Solucin c) 60

CD

BA O

Como OB y OD son radios, OBCD es un rombo, por lo que OC biseca al ngulo DOB . Adems, OC es un radio, por lo que DOC es equiltero. Entonces,

60m ODC m BOC m AOD = = = , con lo que 60mAD =

3. En la figura A, B y C son los centros de las circunferencias, tales que 3CE EB= , 2AB GB= y el rea del crculo de centro B es16pi 2cm .

Si C E B y A G B entonces el permetro del ABC , en centmetros, es

1. a) 81 b) 36 c) 18 d) 9

Solucin b) 36

Tenemos las siguientes igualdades: 3 4

2 23

CB CE EB EB EB EBAB GB EBAC CE EB

= + = + =

= =

= =

Esto nos da que el permetro del tringulo es 9 EB , por otro lado el rea del crculo menor corresponde a 2 16 4EB EBpi pi= = , por lo tanto el permetro del triangulo corresponde a 36 cm.

4. En un plano considere los puntos colineales de coordenadas ( ),5a , ( )1, a y ( )2, a . El punto de coordenadas ( )4 , 5a a se ubica en el

a) I cuadrante b) II cuadrante c) III cuadrante d) IV cuadrante

Solucin d) IV Cuadrante Como los primeros puntos corresponden a una misma recta entonces debe

cumplirse que ( )( )

2 25 2 15 3 2 2 0 2 151 3

50 2 5 3 32

a aa a a a a

a

a a a a

+= + = + =

+

= + = =

entonces ( ) 13 154 , 5 ,2 2

a a

=

( ) ( )4 , 5 1, 2a a =

En ambos casos el punto se ubica en el IV cuadrante.

5. El valor numrico de la expresin ( ) ( )( ) 1tan 45 cos 60

tan 30

+

es

a) 3

3

b) 3

2

c) 3 d) 3

6

Solucin b) 32

( ) ( )( ) 1 1

1 31tan 45 cos 60 32 223tan 30 3

3

++= = =

6. Si x y y son nmeros reales mayores que 1, el numerador que se obtiene al racionalizar el denominador y simplificar la expresin

3

32 3 8

x

y xy x xy + corresponde a

a) 36 1y b) 6x xy c) ( )3x xy x+ d) 3 2 3y xy x+

Solucin d) 3 2 3y xy x+

( )3

2 3

3 3 32 3 2 2 3 2 32 3 8

3 3 2 33 2 3 3 2 339 2 3 6 13 2 3 3 2 3

x x x

y xy x y xy y xy xy xy x xy

x y xy xy xy x y xy xxy xy x yy xy x y xy x

= =

+ +

++ += = =

+

7. En la figura se muestra un crculo de centro O inscrito en un cuadrado cuyo permetro es 32 cm. Cul es el rea, en centmetros cuadrados, de la regin sombreada con gris?

a) 6pi b) 8 2pi c) 32 2pi d) 2pi 4

Solucin b) 8 2pi

El rea sombreada corresponde a la octava parte de la diferencia de las reas del cuadrado y el crculo que se encuentra inscrito en ste. Como el permetro del cuadrado es 32cm entonces cada lado mide 8cm y por lo tanto su rea es 264 cm .

Como el radio del crculo mide 4cm entonces su rea es 216 cmpi .

La diferencia de las reas es ( ) 264 - 16 cmpi .

Por lo tanto el rea de la regin sombreada es ( )2 264 - 16 cm 8 2 cm8

pipi

=

.

8. Sea ABCD un cuadrado de lado a , M, N los puntos medios de BC y AB respectivamente y P el punto de interseccin de AM y DN . La medida de PN es

a) 510

a

b) 54

a

c) 55

a

d) 52

a

Solucin a) 510

a

ADN BAM por lo que BAM ADN y BMA AND . Luego, ADN PAN

Como 2AD AN= se tiene que 2PA PN= . Llamemos PN x= , sabemos que

2 ,2aPA x AN= = , y por el teorema de Pitgoras se tiene

22 24

4a

x x+ = , de donde 510

ax =

P

M

N

B

A

C D

9. Carmen tiene cuatro cadenas con distinto nmero de eslabones cada una de ellas e identificadas con las letras A, B, C y D. Todas las cadenas tienen entre 273 y 290 eslabones. A tiene 12 eslabones menos que B y C tiene 2 menos que D y 5 menos que B. El nmero de eslabones de la cadena D es divisible por 11. Cuntos eslabones tiene la cadena A?

a) 266 b) 277 c) 279 d) 282

Solucin b) 277

Slo hay dos nmeros divisibles por 11 entre 273 y 290 incluyendo a stos, que son 275 y 286, por lo que se proceder a construir una tabla para determinar el nmero de eslabones de la cadena A.

Nmero de eslabones de A

Nmero de eslabones de B

Nmero de eslabones de C

Nmero de eslabones de D

266 278 273 275 277 289 284 286

Entonces el nmero de eslabones de la cadena D es 286 y por ende los eslabones de la cadena A son 277. Por lo que la opcin correcta es B.

10. En la figura adjunta ABC y DEA son tringulos rectngulos congruentes entre s y M es el punto medio de BC .

D

MB

A

C

E

Si 4BC = , entonces la medida de AC es a) 2 6

b) 4 63

c) 2 33

d) 4 33

Solucin a) 2 6

ABC DEA , de donde 4BC EA= = . Adems, DEA MBA , por lo que DE AEMB AB

= .

Sea AB DE x= = , como 2MB = , se tiene que 42x

x= , de donde 2 2x = .

Por el teorema de Pitgoras en ABC , 2 6AC = .

11. Considere la expresin 2012 2011 2 1x x x x+ + + + + , cuantos nmeros enteros x hacen que dicha expresin sea igual a 2012x ?

a) Tres b) Dos c) Uno d) Ninguno

Solucin c) uno

( )2012 2011 2 2012 2011 2

2010

1 1 01 1

x x x x x x x x

x x x

+ + + + + = + + + + =

+ + + =

Como se dice que x es entero entonces debe ser un divisor de -1, pero se puede observar que no puede ser 1, por lo tanto el nico valor entero posible para x es -1. Por otra parte, como la expresin 2 2010...x x x+ + + contiene 2010 trminos, 1005 con exponente par y 1005 con exponente impar, cuando 1x = esta expresin es cero. Por lo tanto, si 1x = se tiene que 2010( ... 1) 1 (0 1) 1x x x+ + + = + = .

12. La medida, en centmetros, de la menor de las alturas de un tringulo cuyos lados miden 6cm, 7cm y 11cm corresponde a

a) 12 1011

b) 12 107

c) 2 10 d) 6 10

Solucin a) 12 1011

La menor altura del tringulo se encontrar sobre el lado mayor del tringulo y calculando el rea de dicho tringulo con la frmula de Hern tenemos,

12 6 5 1 6 10A = = 2cm .

Y como otra frmula para el clculo del rea de un tringulo es 2

bhA = entonces,

sustituyendo se tiene que 11 12 106 102 11h h= = cm.

13. Considere tres nmeros enteros a , b , p tales que p es primo, a excede a p en 2 unidades y b excede a a en 2 unidades. Entonces con certeza se

cumple que el recproco de 2 4b

a es un nmero

a) primo b) mltiplo de 2 c) racional no entero d) entero no divisible por p

Solucin a) primo

Observe que 2a p= + y 2 4b a p= + = + , luego el reciproco de 2 4b

a es

( )22 22 44 44 4

pa p p pb p p

+ +

= = =

+ +.

14. En el siguiente sistema de ecuaciones donde 0a , 0b y b a ,

1

1

x y x ya b

x ya b

+ =

=

el valor de y es

a) ( )( )22ab b a

a b

b) ( )( )22ab b a

a b+

c) ( )( )22a a b

a b

d) ( )( )22b b a

a b

Solucin a) ( )( )22ab b a

a b

De la segunda ecuacin: 1x y abx ay ab x a ya b b

= = = +

De la primera ecuacin:

( ) ( ) ( )( )1x y x y b x y ab a x y x y b a aba b

+ = + = =

Sustituyendo x por aa yb

+ se tiene:

( )

( )( )

2

2

2

1

1

2

2

a a aba y y b a ab a y

b b b aa aby ab a ba b ab a aby

b a bab a bya b a b

ab b ay

a b

+ = + =

=

+ =

=

=

15. El cuadriltero ABCD es tal que 1AD AB BC= = = , 2DC = y AB es paralelo a DC . Entonces la medida del ngulo DBC corresponde a

a) 45 b) 60 c) 90 d) 120

Solucin: c) 90

Si se trazan las alturas del trapecio issceles desde A y B se forma un rectngulo y dos tringulos rectngulos semi-equilteros pues un cateto mide 1

2 y la

hipotenusa 1. As, m m 60BCD ADC = = y por consiguiente los ngulos DAB y ABC miden 120 cada uno. Ahora, como ADB es issceles, el ngulo ABD mide 30 y por lo tanto, el ngulo DBC mide 120 30 90 = .

16. Segn los datos de la figura adjunta, en donde ABC es equiltero de lado l y EC = x , el resultado de DE + EF corresponde a

a) 32

l

b) 45l

c) ( )32

l x

d) 2

l x

Solucin a) 32

l

Como los tringulos AEF y CED son semiequilteros (30, 60, 90), se cumple que:

Considerando el CED : 3sen 60 sen 602

ED ED xED xEC x

= = = =

Considerando el AEF : ( ) ( ) 3sen 60 sen 602

l xEF EF EF l xEA l x

= = = =

.

Entonces, ( ) 33 32 2 2

l xx lED EF

+ = + = .

17. Considere las funciones { }: 1, 1f y { }: 1, 1g tales que ( ) 1 si es par

1 si es imparnf nn

=

y

( ) 1 si no es primo1 si es primo

ng n

n

=

Si q es un nmero natural cuyos divisores primos son todos impares, entonces ( ) ( )2012 20121 1f q g q + corresponde a

a) -2 b) -1 c) 0 d) 2

Solucin d) 2 Observe que si q es un nmero natural cuyos divisores primos son todos impares entonces 2012q sigue siendo producto de impares, por lo tanto impar, luego 2012 1q es par, entonces ( )2012 1 1f q = . Por otro lado tenemos que ( )( )2012 1006 10061 1 1q q q = + por lo tanto es compuesto, entonces ( )2012 1 1g q = . Entonces ( ) ( )2012 20121 1 1 1 2f q g q + = + = .

18. Sea x un nmero real tal que 49 49 7x x+ = . Entonces el valor de 7 7x x+ es

a) 9 b) 3 c) 7 d) 5

Solucin b) 3

Sea 7 7x xy = +

2 49 49 2 7 7 7 2 93

x x x xyy

= + + = + =

=

19. Considere las funciones :f y :g con

( ) ( )( )1 si es par

1 si es imparn k nf n

n k n+

=

y ( ) ( )1 2 1k n n n= + + + + . El valor de ( )2012f corresponde a

a) 2011 b) 2012 c) 2013 d) 2014

Solucin c) 2013

Para determinar ( )2012f se debe determinar primero el valor de ( ) ( ) ( )2012 1 2 ... 2012 1 3 ... 2011 2 4 ... 2012k = + + + = + + + + + + + que es la suma de

1006 nmeros pares y 1006 nmeros impares, por lo tanto es par, por lo que ( )2012 2012 1 2013f = + = .

20. En la figura ABCDE es un pentgono regular de centro O y P es el punto medio de AE . Qu porcentaje del rea del pentgono es el rea del cuadriltero que est sombrado?

a) 20% b) 25% c) 30% d) 40%

Solucin c) 30% Si se trazan los segmentos desde el centro del polgono a los vrtices, se forman cinco tringulos congruentes, y la regin sombreada corresponde a un tringulo y medio. As, el porcentaje del pentgono sombreado es

11 32 100% 100% 30%5 10

+ = = .

21. La cantidad de soluciones reales de la ecuacin ( )( )2log 4

1log 2

x

x

=

es

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Solucin b) 1

Para que la expresin del trmino izquierdo est bien definida en se requiere que 2x < . ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2

log 41

log 2

log 4 log 2

4 22 0

2 1 02 1

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

=

=

=

=

+ =

= =

Por lo tanto la nica solucin de la ecuacin es 1x = .

22. Un trapecio issceles tiene tres lados congruentes y un ngulo de 45. Si el permetro es 14 cm entonces su rea, en cm2, es

a) 2 2 1 b) 9 4 2 c) 1 5 2+ d) 2 10 2+

Solucin c) 1 5 2+

De acuerdo con los datos de la figura 2y x= y entonces el permetro del

cuadriltero est dado por ( )2 4 2 2 4 2P x x x= + = + de donde se tiene que ( )

( )( )

14 2 4 2

7 1 2 214 7 1 2 2 2 2 171 2 2 1 2 22 1 2 2

x

x

= +

= = = = + +

El rea est dada por ( )

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2

2

2 2 2 1 22

2 2 1 1 2 9 4 2 1 2 1 5 2

y xA x x xy x x x

A

+= = + = + = +

= + = + = +

23. La cantidad de nmeros naturales de tres cifras que tienen exactamente tres divisores positivos es la siguiente

a) 17 b) 19 c) 21 d) 23

Solucin C) 21 Un nmero que tiene exactamente tres divisores debe ser el cuadrado de un nmero primo, y si tiene tres cifras debe ser el cuadrado de un nmero primo mayor que 10 y menor que 100.

El problema entonces se reduce a contar los nmeros primos desde el 11 hasta el 97: son 21 en total: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97

24. Sea D el pie de la altura sobre la hipotenusa del ABC rectngulo en A. Si 32

BD = y la razn entre el rea del ABD y el rea del ADC es 49

entonces BC es igual a

a) 92

b) 94

c) 278

d) 398

Solucin d) 398

Por AA, ABD CAD y como la razn entre sus reas es 49

entonces la razn

entre sus lados correspondientes es 23

. Por lo tanto 3

2 923 4

ADAD

= = .

Por el teorema de la altura sobre la hipotenusa se tiene que 23 9 27

2 4 8CD CD = =

.

Entonces 27 3 398 2 8

CB = + = .

25. Una solucin de la ecuacin ( ) 211

bxa x

x =

+, con ,a b

constantes

diferentes de cero, es

a) 2 2b a b

a

b) 2 2b b a

a

+

c) 2 2b a b

b +

d) 2 2b a b

a

+ +

Solucin d) 2 2b a b

a

+ +

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2 2 2

21 1 1 2 2 01

2 4 4 4 4

bxa x a x x bx ax bx a

x

b a a b a b a

= + = =+

= = + = +

Luego ( )2 2 2 22 4

2

b b a b b ax

a a

+ += =