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NIVELES DE ENTENDIMIENTO DE LA FUNCIÓN LINEAL

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

PRESENTA:

LIZETH GÓMEZ CHÁVEZ

DIRIGIDA POR:

DR. FERNANDO BARRERA MORA

DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ

Mineral de la Reforma, Hidalgo, Mayo de 2016

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

Resumen

Uno de los objetivos centrales de la educación matemática es lograr que los estudiantes

adquieran un aprendizaje con entendimiento de ideas matemáticas fundamentales, entre las

que destaca el concepto de Función Lineal. Las Funciones Lineales constituyen uno de los

conceptos matemáticos más sencillos que puedan utilizarse para entender una amplia

variedad de fenómenos. Sin embargo, las investigaciones en educación matemática

muestran evidencias de que los estudiantes poseen diversas dificultades de comprensión en

torno a este concepto. En el presente trabajo se propone un marco para analizar el nivel de

entendimiento que los estudiantes desarrollan, en la secundaria, al abordar tareas de

aprendizaje relacionadas con la identificación y generalización de patrones.

El trabajo de campo se llevó a cabo con alumnos de primer año de secundaria; quienes

abordaron tareas relacionadas con generalización de patrones lineales. El marco conceptual

utilizado para el análisis de datos se estructuró en torno a tres elementos: aprendizaje con

entendimiento, elementos del pensamiento algebraico y características de la función lineal.

La metodología empleada fue de corte cualitativo, se analizaron datos escritos, así como

videograbaciones y grabaciones de audio. Los resultados del trabajo muestran que las

actividades en las que se generalizan patrones lineales pueden aportar elementos para que

los estudiantes construyan un aprendizaje con entendimiento del concepto de función lineal.

Este tipo de actividades permiten que el estudiante desarrolle elementos del pensamiento

algebraico, así como establecer vínculos con el pensamiento numérico.

Abstract

One of the central objectives of mathematics education is to enable students to acquire

learning with understanding of fundamental mathematical ideas, in which stands out the

concept of linear function. Linear functions are one of the simplest mathematical concepts

that can be used to understand an ample variety of phenomena. However, research in

mathematics education show evidence that students have several difficulties of

understanding around this concept. The current work aims a framework to analyze the level

of understanding that students develop in lower secondary, when addressing learning tasks

related to the identification and generalization of patterns.

The field work was carried out with students from first grade of secondary; whom have

considered tasks related to generalization of linear patterns. The conceptual framework

used for data analysis was structured around three elements: learning with understanding,

elements of algebraic thinking and characteristics of linear function. The methodology used

was qualitative, written data were analyzed, as well as videotapes and audio recordings.

The results of the study show that the activities in which linear patterns are generalized

provide elements for the students to build learning with understanding of the concept of

linear function. Such activities allow students to develop elements of algebraic thinking and

establish links with the numerical thinking.

Contenido Página

CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1 Introducción………………………………………………………………………..........1

1.2 Una breve revisión histórica de la evolución de la idea de función……………….........2

1.3 Revisión de la literatura…………………………………………………………………3

1.4 Planteamiento del problema…………………………………………………………….5

CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL

2.1 El entendimiento en matemáticas…………………………………………...................8

2.2 Los niveles de pensamiento geométrico….....................................................................9

2.3 El entendimiento del concepto de función lineal y su relación con el desarrollo del

pensamiento algebraico……………………………………………………………………11

2.4 Caracterización de los niveles de entendimiento de la función lineal………………..12

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

3.1 Participantes…………………………………………………………………………....14

3.2 Las tareas y el escenario de la instrucción ………………………………….................15

3.3 Análisis preliminar de las tareas………………………………………………….........16

3.4 Instrumentos de recolección de la información………………………………………..33

3.5 Procedimientos de análisis…………………………………………………………......34

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

4.1 Descripción del proceso de implementación de las tareas………………………….....35

4.2 Nivel de entendimiento alcanzado por el estudiante…………......................................46

Contenido Página

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES

5.1 Introducción ………………………………………………………………………….50

5.2 Respuestas a las preguntas de investigación………………………………………….50

5.3 Alcances y limitaciones………………………………………………………………52

5.4 Propuestas a futuro…………………………………………………………………...53

5.5 Reflexiones finales…………………………………………………………………...53

REFERENCIAS ………………………………………………………………………....56

APÉNDICE A. OFICIO DE AUTORIZACIÓN PARA QUE LOS ESTUDIANTES

PARTICIPARAN EN EL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN………………………..60

APÉNDICE B. HOJAS DE TRABAJO……………………………………………….....61

APÉNDICE C. ANÁLISIS GENERAL DE LAS TAREAS PARA DETERMINAR EL

NIVEL DE ENTENDIMIENTO………………………….……………………………...65

APÉNDICE D. TRANSCRIPCIONES DE LAS

VIDEOGRABACIONES………………………………………………………………...77

1

CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. Introducción

En los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000), publicado

por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos, se argumenta

que el análisis de patrones lineales es un antecedente importante para el estudio de las

funciones lineales y de las razones y proporciones, como herramientas útiles para medir la

variación o cambio, el análisis del cambio y la variación es un aspecto importante en la

formación matemática de los estudiantes, y por esta razón el proceso de instrucción debe

incluir actividades que les permitan utilizar, relacionar e interpretar dos conjuntos de

cantidades mediante tablas, gráficos, y expresiones simbólicas o numéricas. Es decir, los

estudiantes deberían ser capaces de representar, cuantificar y analizar matemáticamente

fenómenos en los que está presente el cambio o la variación. Para lograr lo anterior, es

importante que los estudiantes conecten sus conocimientos y experiencias previas con el

lenguaje de las funciones, usando sus conocimientos sobre aritmética y proporcionalidad.

En este mismo documento se enfatiza que el estándar de álgebra debiera enfocarse en el

estudio de las relaciones entre cantidades, incluyendo la utilización de funciones como

medio para analizar matemáticamente el cambio y la variación. Desde hace tiempo se ha

destacado la relevancia del estudio de las funciones en la educación secundaria (Klein,

1945), particularmente mediante el uso de expresiones algebraicas, las cuales son un medio

para representar y analizar ideas complejas de forma concreta. En el segundo grado de

secundaria los estudiantes deberían ser capaces de analizar y representar ecuaciones de

primer grado, resolver sistemas de ecuaciones simultaneas; además de aprender a

representar relaciones lineales mediante representaciones numéricas, gráficas, tabulares y

algebraicas (NCTM, 2000, p.297).

En los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000) se argumenta

que las funciones lineales son un tema de fundamental importancia para la formación de los

estudiantes, porque constituyen como modelos matemáticos simples útiles para aproximar,

entender y predecir el comportamiento de una amplia variedad de fenómenos, en ámbitos

2

tan diversos como la economía, biología, finanzas, química, física y sociología. Los

modelos lineales son muy importantes por su utilidad para resolver problemas de la vida

diaria. Debido a su extensa aplicación para comprender fenómenos del mundo real, las

funciones lineales son un contenido matemático importante, ya que proporciona a los

estudiantes sus primeras experiencias con la identificación, generalización e interpretación

de relaciones entre dos variables cuya característica fundamental es contar con una razón de

cambio constante.

A pesar de la relevancia de las funciones lineales en la formación de los estudiantes, existe

evidencia de que hay dificultades de entendimiento en todos los niveles educativos. En esta

línea de ideas, el presente trabajo busca caracterizar niveles de entendimiento de la función

lineal en forma análoga a los niveles de pensamiento geométrico propuestos por van Hiele

(Fuys, Geddes y Tischler, 1988) y determinar cómo es que el desarrollo de actividades de

generalización de patrones pueden contribuir al entendimiento de la función lineal.

1.2. Una breve revisión histórica de la evolución de la idea de función

El entendimiento del concepto de función requiere interrelacionar dos imágenes mentales,

la geométrica cuando se piensa en curvas, y la algebraica que implica entender expresiones

analíticas. Un tercer elemento que entra en juego es la definición formal de una función

como una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos (Kleiner, 2012). Fue

Leibniz quien por primera vez utilizó el término “función” en 1692 para designar un objeto

geométrico, tal como una tangente, asociado con una curva (Youschkevitch, 1976).

Sin embargo, la reflexión sobre los fundamentos geométricos del cálculo propició cambios

en el concepto de función. Por ejemplo, para Euler “una función de una cantidad variable es

una expresión analítica compuesta de alguna forma por esa cantidad variable y números o

cantidades constantes” (Euler, 1988, p.3). La definición de Euler es casi idéntica a la de

Bernoulli, excepto que Euler agrega la palabra “expresión analítica”, refiriéndose a

expresiones algebraicas que incluyen sumas, multiplicaciones, raíces, exponentes,

logaritmos, funciones trigonométricas. En 1734, Euler introdujo la notación f(x) para

expresar el valor que la función f asocia a la variable x.

3

Fourier, Dirichlet, Cauchy, Riemann, Weierstrass, Lebesgue y Borel continuaron

impulsando el desarrollo del concepto de función y en 1822, Fourier dio la interpretación

contemporánea más general de función: Una función f representa una sucesión de valores o

coordenadas cada una de los cuales es arbitraria. Dados una infinidad de valores de la

abscisa x, hay un número igual de ordenadas, f(x). Todas tienen valores numéricos reales,

ya sean positivos, negativos o cero. No se supone que estas ordenadas estén sujetas a una

ley común, sino que se siguen unas a otras, de la manera que sea, y cada una se da como si

se tratara de una sola cantidad (Kleiner, 2012, p.11). En 1829, Dirichlet fue el primero en

considerar a una función como una correspondencia arbitraria y en restringir el dominio de

una función a un intervalo. La idea de función como la asignación entre conjuntos

arbitrarios dominó gradualmente la matemática del siglo XX y tuvo impacto en el estudio

del álgebra. Durante varias décadas continuaron los intentos por refinar el concepto de

función hasta que a finales del siglo XIX y principios del XX se introdujo el nuevo

concepto llamado “conjunto” que influyó en las posteriores definiciones de función.

1.3. Revisión de la literatura

Uno de los conceptos fundamentales en matemáticas es el de función. Las funciones

constituyen una herramienta mediante la cual podemos modelar cómo cambian los

fenómenos presentes en la naturaleza o en el dominio puramente matemático. La revisión

de la literatura de este trabajo se enfoca en aquellos trabajos que han analizado el

entendimiento del concepto de función en general y posteriormente aquellas

investigaciones que han estudiado el proceso de comprensión de la función lineal.

El estudio didáctico de las funciones se ha abordado desde diferentes perspectivas,

Dubinsky (2013), por ejemplo, analizó el nivel de entendimiento del concepto de función

en estudiantes de secundaria de bajo desempeño, quienes participaron en un grupo de

instrucción experimental y posteriormente resolvieron pruebas escritas en las que se les

solicitó dar ejemplos de funciones. Los resultados indicaron que los estudiantes no

mostraron muchas de las dificultades reportadas en la literatura, además de que algunos,

incluso, fueron capaces de resolver problemas relacionados con la composición de

funciones. En este mismo contexto, Cansiz (2011) identificó las ideas erróneas sobre el

4

concepto de función que poseen estudiantes de secundaria, mediante la realización de

entrevistas. Las tareas propuestas consistieron en reconocer gráficas de funciones,

expresiones verbales, expresiones algebraicas y representación tabular de una función.

Entre los resultados de mayor relevancia se encuentra que los estudiantes tuvieron

dificultades para identificar si algunas gráficas y expresiones algebraicas representan

funciones.

Entre los trabajos enfocados en la función lineal destacan los realizados por Tanish (2011),

quien investigó las formas de pensamiento funcional de estudiantes de quinto grado. Este

autor buscó determinar cómo entienden los estudiantes la relación entre dos cantidades que

varían, al analizar tablas construidas con datos que provienen de funciones lineales. Los

resultados de este estudio indican que la aproximación recursiva fue una de las estrategias

más utilizadas para identificar y generalizar la relación de correspondencia entre dos

conjuntos de datos organizados en una tabla, además de que las actividades favorecieron el

que los estudiantes pensaran cómo cambian en forma conjunta dos cantidades. En esta

misma línea de ideas se ha examinado el entendimiento de la función lineal mediante la

identificación y generalización de patrones en sucesiones geométricas mediante la

realización de gráficas de casos particulares en algunas sucesiones, con la finalidad de

evaluar conceptos y dificultades con respecto a la comprensión de patrones y gráficas de

funciones (Beatty, 2007), o se han utilizado actividades con patrones para la comprensión

de los números negativos al graficar casos particulares de una sucesión (Beatty, 2010).

Otro tipo de investigaciones se han enfocado en las dificultades de los estudiantes para

entender el concepto de función lineal. Por ejemplo, Postelnicu (2011) analizó aquellas

limitaciones o impedimentos que presentan los estudiantes al realizar gráficas lineales. Esta

investigación se llevó a cabo con dos grupos de estudiantes. Se aplicó una prueba

diagnóstica para conocer las dificultades de entendimiento de las funciones lineales,

además de implementar tareas que involucraban el trazo de gráficas de funciones lineales.

El análisis reveló que los estudiantes tenían dificultad para dar significado gráfico a la

pendiente de una recta y para identificar a este número con la tasa de cambio de una

función lineal.

5

Algunos trabajos se han interesado en evaluar habilidades de los estudiantes para establecer

y justificar generalizaciones acerca de algunos patrones lineales. En este tenor, Rivera

(2008), obtuvo evidencia, mediante la realización de pre y post entrevistas, de cambios en

las habilidades de representación y la fluidez con la que estudiantes de sexto grado

generalizaron un patrón lineal representado numéricamente sin tener una base figurativa.

La mayor parte de las investigaciones referidas se han desarrollado en escenarios de papel y

lápiz. Sin embargo, también hay investigaciones que han incluido el uso de la tecnología

para analizar su efecto en el entendimiento de las funciones lineales. Al respecto, Bardani

(2004) analizó el impacto de una aproximación de instrucción basada en la modelación de

funciones lineales utilizando calculadoras en la enseñanza del álgebra. Se aplicó un pre-test

y un pos-test sobre bosquejo de gráficas y operaciones algebraicas. El uso de la tecnología

fue útil para que los estudiantes aprendieran a escribir reglas algebraicas y construyeran

significado para los valores de una función lineal y la tasa de cambio. Así, Burke (2010)

examinó la interpretación gráfica de funciones lineales, al hacer uso del software SimCalc.

Se trabajó con estudiantes de secundaria, con la finalidad de estudiar la forma en que

interpretaban la relación gráfica entre la posición y tiempo de un objeto que se mueve en

línea recta. Se logró identificar que el uso del software amplió las habilidades de los

estudiantes para interpretar gráficas, y para entender el concepto de función lineal.

1.4. Planteamiento del problema

Con base en la revisión de la literatura se identificó que existe una amplia gama de

investigaciones que utilizan actividades con patrones como un medio para analizar el

razonamiento matemático de los estudiantes, particularmente para evaluar su comprensión

del concepto de función lineal. Lo anterior se debe a que la generalización de patrones

subyace a toda la actividad matemática (Beatty, 2007). Este trabajo tiene como propósito

documentar y analizar el razonamiento de estudiantes de secundaria cuando enfrentan

actividades de generalización de patrones lineales. Particularmente, interesa caracterizar el

nivel de entendimiento de las funciones lineales que desarrollan estos estudiantes al abordar

actividades que involucran la generalización de patrones lineales. Las preguntas que

orientan este trabajo son:

6

1. ¿Qué características tienen los diferentes niveles de entendimiento de la función lineal?

2. ¿Cómo el desarrollo de actividades con patrones figurales favorece la construcción de

niveles progresivos de entendimiento de la función lineal?

En resumen, este trabajo busca determinar algunas características de posibles niveles de

entendimiento de la función lineal, de forma análoga a los niveles de entendimiento

geométrico (Fuys, Geddes y Tischler, 1988) o los niveles de comprensión del concepto

general de función (Sierpinska, 1992) y obtener evidencia de qué aspectos de estos niveles

de entendimiento es posible favorecer mediante actividades de generalización de patrones

lineales.

7

CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL

Un marco de investigación es una estructura básica de ideas, principios, acuerdos o reglas

que proporcionan las bases y lineamientos para orientar el proceso de investigación (Lester,

2005). Existen diferentes tipos de marcos que se utilizan en la investigación en educación

matemática. Un marco teórico es una estructura de ideas que guía la investigación y se basa

en alguna teoría formal; es construido mediante el uso de explicaciones establecidas y

coherentes de ciertos fenómenos y relaciones. El marco práctico, orienta la investigación

mediante el uso de “lo que funciona” de acuerdo con la experiencia de aquellos que están

directamente involucrados en la práctica. Este tipo de marco no está integrado por una

teoría formal, sino por el conocimiento práctico acumulado por los expertos. El marco

conceptual es un conjunto de argumentos que incluye diferentes puntos de vista y culmina

en una serie de razones para adoptar algunas ideas o conceptos como sustento de una

investigación (Eisenhart, 1991; Lester, 2005).

Para sustentar este trabajo se adopta un marco conceptual que está estructurado en torno a

dos elementos, el primero es la idea de entendimiento propuesta por Hiebert et al. (1997), el

cual considera que una persona entiende algo cuando es capaz de relacionar ese algo con

otras cosas que conoce. Un segundo elemento son los niveles de pensamiento geométrico

propuestos por van Hiele (Fuys, Geddes y Tischler, 1988), que junto con la revisión de la

literatura, se tomarán como base para caracterizar algunos posibles niveles de

entendimiento de la función lineal.

En este trabajo se caracteriza a las matemáticas como la ciencia de los patrones (Steen,

1988). La actividad de los matemáticos profesionales consiste, entre otras cosas, en buscar

y examinar patrones, mientras que las teorías matemáticas explican las relaciones entre

patrones, los cuales pueden ser numéricos, de forma, de movimiento, de comportamiento,

de razonamiento de repetición (Devlin, 2000). Las matemáticas revelan patrones

escondidos que ayudan a comprender el mundo. El proceso de “hacer” matemáticas va más

allá de realizar cálculos y deducciones; involucra la observación de patrones, la prueba de

conjeturas, la estimación de resultados. (NRC, 1989, citado en Schoenfeld, 1992, p. 343).

8

Se considera que el aprendizaje de las matemáticas se lleva a cabo mediante la actividad de

resolver problemas, la cual favorece el desarrollo de procesos mentales análogos a los

empleados por los matemáticos profesionales al crear nuevos conocimientos, o al aplicar

las matemáticas para comprender el mundo. Es decir, aprender matemáticas significa hacer

o aplicar matemáticas en niveles adecuados al contexto particular de los estudiantes

(Halmos, 1980). Aprender matemáticas implica imaginar, crear, proponer nuevas ideas,

razonar y argumentar.

2.1. El entendimiento en matemáticas

Uno de los objetivos fundamentales de la instrucción matemática es que los estudiantes

desarrollen un entendimiento de las ideas fundamentales de la disciplina. Las cosas que se

aprenden con entendimiento pueden utilizarse de forma flexible, adaptarse a nuevas

situaciones, y utilizarse para aprender nuevas cosas. Entendemos algo cuando ese algo se

puede relacionar con aquello que se conoce de forma previa o puede utilizarse para abordar

una situación nueva. En resumen, el entendimiento tiene que ver con cómo los estudiantes

razonan y pueden utilizar aquello que han aprendido (Hiebert et al., 1997).

Un estudiante entiende, a cierto nivel, el concepto de función si puede manejar y relacionar

diversas representaciones de este concepto (gráfica, algebraica o numérica). Por ejemplo al

asociar la función lineal con gráficas de rectas, identificar el efecto gráfico de variar los

valores de m y b en una expresión de la forma y=mx+b, utilizar funciones del tipo

f(x)=mx+b para analizar cómo cambia un fenómeno, identificar la pendiente de una recta

con una tasa o razón constante de cambio, resolver ecuaciones de primer grado, identificar

situaciones que se puedan modelar mediante una función lineal, relacionar generalizaciones

acerca de cómo dos conjuntos de datos se encuentran relacionados, etcétera.

Las explicaciones que proporciona un estudiante acerca del porqué las cosas funcionan

como lo hacen son una evidencia de su nivel de entendimiento, ya que con base en estas

explicaciones el profesor puede determinar cuáles son las conexiones que el estudiante ha

integrado en su estructura conceptual. Entre mayor sea el número de conexiones

estructuradas que puedan realizarse, será mayor nuestro nivel de entendimiento. Durante la

9

construcción de conexiones intervienen dos procesos relevantes: la reflexión y la

comunicación de resultados. La reflexión se lleva a cabo cuando el estudiante piensa de

forma consciente sobre sus propias experiencias y las analiza desde múltiples perspectivas.

Este proceso de reflexión permite establecer nuevas conexiones y analizar las establecidas.

Por otra parte, la comunicación involucra escuchar, hablar, escribir, justificar y razonar. La

comunicación nos permite conocer las ideas de los demás, y reflexionar sobre las ideas

propias (Hiebert et al., 1997).

2.2. Los niveles de pensamiento geométrico

Para caracterizar los posibles niveles de entendimiento de la función lineal, se tomaron

como base los niveles de pensamiento geométrico propuestos por van Hiele (Fuys, Geddes

y Tischler, 1988). Estos niveles son útiles para analizar el desarrollo cognitivo de los

estudiantes al aprender geometría; esto es, explorar cuáles son las habilidades y

conocimientos que ponen en juego al resolver problemas geométricos. De acuerdo con van

Hiele, los niveles de pensamiento geométrico son progresivos y jerarquizados, esto

significa que no se puede alcanzar un nivel si no se ha completado el nivel previo, en el

orden establecido (Fuys, Geddes y Tischler, 1988; Gutiérrez y Jaime, 1998). El

entendimiento está relacionado con los procesos de razonamiento que permiten al

estudiante relacionar diferentes contenidos y procesos matemáticos. Completar un

determinado nivel significa ser capaz de desarrollar los procesos de razonamiento que

caracterizan a este nivel. Para determinar el nivel de entendimiento geométrico de los

estudiantes se caracterizan cinco niveles:

Nivel 1: Visualización o Reconocimiento. Los estudiantes reconocen las figuras por su

apariencia, sin que las propiedades de éstas jueguen un papel explícito en el proceso de

identificación.

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Nivel 2: Análisis. Los estudiantes reconocen propiedades de las figuras geométricas, las

cuales se consideran independientes unas de otras. El proceso de razonamiento en este nivel

se lleva a cabo a través de la identificación de componentes y atributos, con la finalidad de

caracterizar a los integrantes de una clase o familia de objetos geométricos.

Nivel 3: Ordenación, clasificación o abstracción. Los estudiantes interrelacionan

lógicamente propiedades de los conceptos, construyendo o siguiendo argumentos

informales. Son capaces de formular justificaciones informales de resultados matemáticos.

Nivel 4: Deducción Formal. Los estudiantes prueban teoremas deductivamente y

establecen interrelaciones entre redes de teoremas. Entienden la necesidad de justificar

deductivamente resultados matemáticos o proposiciones, con base en un sistema

axiomático. Son capaces de demostrar un resultado de diferentes formas.

Nivel 5: Rigor. El estudiante es capaz de realizar deducciones abstractas. El razonamiento

geométrico en este nivel no necesariamente involucra el uso de modelos pictóricos o

concretos. En este nivel los postulados o axiomas son objeto de análisis.

Estos niveles de pensamiento geométrico cuentan con cinco propiedades:

Propiedad 1. (Secuencia fija) Un estudiante no puede estar en el nivel de van Hiele n, si no

ha pasado por el nivel n-1.

Propiedad 2. (Adyacencia) En cada nivel de pensamiento, lo que era intrínseco en el nivel

anterior se vuelve extrínseco en el nivel actual.

Propiedad 3. (Distinción) Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y su propia

red de relaciones que conectan esos símbolos.

Propiedad 4. (Separación) Dos individuos que han desarrollado diferentes niveles de

entendimiento, cuando razonan acerca de un mismo concepto, ponen en juego diferentes

estructuras conceptuales, y por esta razón pueden tener dificultades para comunicarse.

Desde el punto de vista didáctico esto puede ser un elemento que obstaculice los procesos

de aprendizaje en términos de la aproximación teórica de Vygotsky (1978) (Zona de

Desarrollo Próximo).

11

Propiedad 5. (Logro) El proceso de aprendizaje que lleva a un nivel mayor de

entendimiento se compone de cinco fases, información o indagación, orientación guiada,

explicación, orientación libre e integración (Usiskin.1982).

En este trabajo se caracterizan niveles de entendimiento para la función lineal, análogos a

los niveles de pensamiento geométrico, ya que éstos pueden ayudar al profesor a entender

cómo piensan los estudiantes. Además, mediante la implementación de tareas sobre

generalización de patrones en un grupo de secundaria, se busca determinar cómo las

actividades permiten desarrollar niveles progresivos de entendimiento de la función lineal,

así como posibles inconsistencias de los niveles propuestos a priori al detectar aspectos que

no concuerden con la propiedad de secuencia fija de los niveles.

2.3. El entendimiento del concepto de función lineal y su relación con el

desarrollo del pensamiento algebraico

Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez (2013) mencionan que una de las dificultades para

analizar el entendimiento radica en que es un fenómeno complejo que se desarrolla a través

de diferentes niveles y que constantemente está incrementándose y cambiando. En este

trabajo se intenta determinar algunas características del proceso de razonamiento por el que

transita un estudiante para escalar niveles sucesivos de comprensión de la función lineal, y

la relevancia de la variación proporcional, en el entendimiento de este concepto. Proponer

actividades que permitan a los estudiantes relacionar cantidades puede favorecer el

pensamiento proporcional cualitativo antes que el cuantitativo, con la finalidad de

desarrollar entendimiento conceptual de fenómenos que aparecen en su vida cotidiana, por

ejemplo cambio de temperatura, velocidad, peso y población.

El proceso de generalización es clave para el desarrollo del pensamiento algebraico.

Mediante la exploración visual de patrones, y la generalización de los invariantes y

regularidades observados, se pueden fomentar los procesos de pensamiento fundamentales

para la comprensión del álgebra. El pensamiento algebraico es una forma particular de

razonamiento que involucra conectar el uso de símbolos matemáticos, gráficos, palabras,

gestos, y expresiones lingüísticas, para expresar generalizaciones (Radford, 2006).

12

Las tareas asociadas con generalización de patrones figurales, pueden ser usadas como

herramientas para ayudar a los estudiantes de nivel secundaria a desarrollar un pensamiento

algebraico (Smith, Hiellen y Catalina, 2007), al permitirles relacionar el concepto de

función con sus conocimientos previos sobre proporcionalidad y las diferentes

representaciones de una función (algebraica, gráfica, tabular, numérica). Entre más

contenidos puedan relacionar de forma significativa, los estudiantes lograrán un mayor

nivel de entendimiento. Por ejemplo, al graficar una relación lineal de la forma y = mx + b,

es importante que realicen conexiones entre la pendiente de una línea recta y la ordenada al

origen, o que sean capaces de predecir cómo los cambios en un parámetro en la

representación algebraica afectan a la representación gráfica y viceversa.

2.4. Caracterización de los niveles de entendimiento de la función lineal

Los niveles de entendimiento de la función lineal propuestos se estructuraron tomando

como base los niveles de pensamiento geométrico propuestos por van Hiele, esto con la

finalidad de analizar los procesos de aprendizaje de la función lineal. Cada nivel de

entendimiento se apoya en el anterior, por lo que transitar hacia un nivel superior no es

posible sin la comprensión estructurada del previo, lo cual significa desarrollar los procesos

de razonamiento que lo caracterizan. El logro de niveles progresivos de entendimiento se

lleva a cabo en orden, es decir, no se puede pasar al tercer nivel si no se han concluido el

primero y segundo. Además, el razonamiento que presenta cada estudiante es fruto de las

experiencias a las que ha estado expuesto; es decir, las actividades de instrucción son el

medio para robustecer los esquemas mentales previos y alcanzar niveles superiores de

entendimiento conceptual, así como terminología específica. Los indicadores para cada

nivel de entendimiento que se muestran en la tabla 1 representan una guía para determinar

el nivel de desarrollo cognitivo que han alcanzado los estudiantes respecto al concepto de

función lineal.

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Nivel Características de los niveles de entendimiento de la función lineal

Nivel 1

Reconocimiento

Los estudiantes son capaces de:

Identificar que dos cantidades varían conjuntamente.

Identificar cualquier forma de representación.

Identificar la variación lineal de una cantidad respecto de otra en casos específicos.

Nivel 2

Análisis


Representar y generalizar patrones lineales de manera gráfica, tabular, figural o

mediante sucesiones numéricas.

Distinguir la variación lineal y no lineal así como su representación gráfica.

Nivel 3

Resolución


Comprender el significado de una razón o tasa de cambio constante en diversas

representaciones.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales en una o más variables e interpretar el

significado de las soluciones.

Modelar fenómenos que se rijan por medio de un comportamiento lineal.

Nivel 4

Aplicación


Conjeturar y probar teoremas que involucran transformaciones lineales y su

representación matricial.

Establecer relaciones entre teoremas del álgebra lineal.

Nivel 5

Abstracción


Entender el concepto abstracto de espacio vectorial, así como el de base y dimensión.

Analizar y entender estructuras algebraicas en el contexto del álgebra lineal.

Tabla 1. Niveles de entendimiento de la función lineal

14

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

Este trabajo se abordó desde un enfoque esencialmente cualitativo, ya que el análisis se

llevó a cabo al analizar las explicaciones que los estudiantes dieron sobre las estrategias de

solución. Los instrumentos de recolección de la información fueron las producciones

escritas elaboradas por los estudiantes, videograbaciones y grabaciones en audio llevadas a

cabo durante la implementación de las tareas. Mediante las producciones escritas y las

transcripciones de los videos se identificaron qué aspectos relacionados con el

entendimiento de la función lineal pusieron en juego los estudiantes al abordar las

actividades sobre identificación y generalización de patrones lineales.

3.1. Participantes

Las tareas se implementaron en una escuela Secundaria particular, ubicada en la Ciudad de

Pachuca, en el Estado de Hidalgo. Los estudiantes cuentan con un nivel socioeconómico

alto. Se contó con la participación de 3 estudiantes de primer grado, cuyas edades se

encontraban en el rango de 11 a 13 años. Los alumnos fueron seleccionados por

conveniencia, ya que se buscaba contar con estudiantes con diferentes niveles de

desempeño académico. Por ser estudiantes menores de edad, se tramitó la autorización para

que pudiera grabarse en video su actividad al abordar las tareas, mediante un oficio firmado

por los padres de familia. Dos de los estudiantes son mujeres y un estudiante es hombre. De

estos estudiantes, uno muestra un desempeño alto en matemáticas, uno un desempeño

medio y uno un desempeño bajo, de acuerdo con el criterio de la profesora titular de la

asignatura de matemáticas.

La implementación de las actividades se llevó a cabo durante el mes de enero del ciclo

escolar 2014-2015. Dado que los estudiantes cursaron el programa oficial de la Secretaría

de Educación Pública, en la asignatura de matemáticas durante la educación primaria, desde

el cuarto grado debieron enfrentarse a experiencias con patrones numéricos y sucesiones

con figuras geométricas, en quinto grado identificaron sucesiones con números, incluyendo

números fraccionarios con progresión aritmética, para encontrar términos faltantes o

continuar la sucesión; en sexto grado, identificaron la regularidad de una sucesión de

figuras con progresión aritmética y la utilizaron para encontrar términos faltantes o los que

15

la continuaban, también progresiones geométricas, así como sucesiones espaciales y

resolución de problemas de comparación de razones, con base en la equivalencia.

3.2. Las tareas y el escenario de instrucción

Las tareas se diseñaron e implementaron por la profesora titular de la asignatura de

matemáticas del grupo de estudiantes. Para el diseño de las tareas se retomaron algunas

ideas de Radford (2006) respecto al desarrollo del pensamiento algebraico a través de tareas

de generalización de patrones lineales. Por ejemplo, que la generalización de patrones en

sucesiones figurales requiere de la identificación de elementos constantes y variables. Para

cada tarea se elaboraron doce preguntas cuya finalidad fue orientar el trabajo y la reflexión

de los estudiantes en aspectos tales como la identificación de una razón de cambio

constante, la relación cuantitativa entre variables, sentido de la variación e interpretación

gráfica. Con este tipo de tareas se buscó que los estudiantes llevaran a cabo procesos de

razonamiento relevantes para el logro de un mayor nivel de entendimiento de la función

lineal. La actividad fue proporcionada a los estudiantes de forma impresa, mediante una

hoja de trabajo, que se respondió de forma individual.

La implementación de las actividades se realizó en dos etapas: en la primera se les

proporcionó a los estudiantes un tiempo de 70 minutos para resolver la tarea, en la segunda

etapa, cada estudiante explicó la estrategia de solución en un tiempo estimado de veinte

minutos, con la finalidad de comunicar resultados. Durante la ejecución de la tarea de

aprendizaje por parte de los estudiantes, se tuvo especial cuidado en hacer preguntas

relevantes que orientaran el trabajo, además se buscó propiciar la comunicación durante la

fase de explicación de las estrategias de solución. Durante el proceso de implementación se

trató de mantener el nivel de demanda cognitiva de la tarea, mediante preguntas que

ayudaran a los estudiantes a avanzar en la construcción de una estrategia, pero sin que se

indicara cuál era la solución o alguna posible ruta para obtenerla; y así realizar diversas

conexiones entre ideas o conceptos. Se filmó la actividad grupal, así como las estrategias de

solución y el razonamiento de cada estudiante, cuando cada uno de ellos explicó su

estrategia de solución, con la finalidad de recabar información que nos permitiera entender

cómo el estudiante diseñó e implementó cada ruta o estrategia.

16

3.3. Análisis preliminar de las tareas

Primera tarea. Número de estrellas

Estrategia 1

La cantidad de estrellas que se va agregando a cada figura para obtener la siguiente es

constante e igual a dos, si esa constante se multiplica por el número de posición y se le

suma una estrella obtenemos que el número de estrellas de la figura que se encuentra en la

posición n es 2n+ 1.

Posición x 1 2 3 4 5 6 7 8 … n

Número de estrellas

y

3

5

7

9

11

13

15

17

…

2n+1

Estrategia 2

El elemento constante son las tres estrellas de la primera figura. El elemento que cambia

son las estrellas adicionales a las tres estrellas de la izquierda. Para obtener una figura a

partir de la anterior es necesario sumar dos estrellas. Entonces si se multiplica el número de

posición menos uno por dos y se le suman las tres estrellas que representan el elemento

invariante en cada figura obtenemos que el total de estrellas en la posición n-ésima es

2(n-1)+3.

17

Posición x Número de estrellas y Aumento

1 3

2 5 2

3 7 2

4 9 2

5 11 2

6 13 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N 2(n-1)+3 2

Estrategia 3

Este problema puede resolverse mediante progresiones aritméticas. La siguiente expresión

an=a1+(n-1)r, nos permite calcular el término enésimo como también el número de estrellas

que existe en cada posición. Para calcular el término enésimo la expresión es la siguiente

an=2n+1.

18

Posición x Número de estrellas y Término enésimo

1 3 a1=3+(1-1)2=3

2 5 a2=3+(2-1)2=5

3 7 a3=3+(3-1)2=7

4 9 a4=3+(4-1)2=9

5 11 a5=3+(5-1)2=11

6 13 a6=3+(6-1)2=13

.

.

.

.

.

.

.

.

. N

an=3+(n-1)2

an=3+2n-2

an=2n+1

Análisis de la variación y el cambio

La razón de cambio es el cociente entre la diferencia del número de estrellas y la diferencia

de las posiciones.

Posición x 1 2 3 4 5 6

Número de

estrellas y 3 5 7 9 11 13

La posición va aumentando de uno en uno, al relacionar la posición dos con la uno b=(x2-

x1); es decir b=(2-1)=1 la diferencia es 1, sin embargo, podemos ver que el número de

estrellas va aumentando de dos en dos, lo que significa que al relacionar el número de

estrellas que se encuentra en la posición dos con el número de estrellas que está en la

posición uno a=(y2-y1); a=(5-3)=2 la diferencia es 2, esto nos permite conocer la variación

de cambio Vc =a/b.

19

Posición (x)

Número de

estrellas (y)

Diferencia número de

estrellas

a=(y2-y1)

Diferencia posición

b=(x2-x1)

Variación de

cambio

a/b

1 3 5-3=2 2-1=1 2/1=2

2 5 7-5=2 3-2=1 2/1=2

3 7 9-5=2 4-3=1 2/1=2

4 9 11-9=2 5-4=1 2/1=2

5 11 13-11=2 6-5=1 2/1=2

6 13 15-13=2 7-6=1 2/1=2

7 15 17-15=2 8-7=1 2/1=2

8 17

La variación que existe en el número de estrellas con relación a la posición de la figura se

observa en la siguiente gráfica. Los puntos p1= (5,3) y p2= (2,1), nos permite obtener la

variación de cambio Vc =a/b, donde Vc=(5-3)/(2-1)=2 y es constante. En la tabla anterior se

muestra la variación de cambio como cociente, en cualquier intervalo. La siguiente gráfica

muestra los datos, colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje vertical la

cantidad de estrellas que corresponden a cada figura. Lo que permite relacionar la tasa de

cambio con la gráfica.

20

Segunda tarea. Puntos en sucesión

Estrategia 1

En esta solución se observa que el número de puntos es un número impar, la cantidad de

puntos en la primera figura es el primer número positivo impar, la cantidad de puntos en la

segunda figura es el segundo número impar (tres) y así sucesivamente, entonces la cantidad

de puntos en la figura que ocupa la posición n-ésima se puede calcular mediante la

expresión 2n-1.

Estrategia 2

Posición x 1 2 3 4 5 6 … n

Número de puntos azules y 1 3 5 7 9 11 … 2n-1

21

En esta ruta de solución se considera como elemento invariante al punto más a la izquierda

en cada una de las figuras, mientras que el resto de los puntos en diagonal es el elemento

que varía. Este elemento va cambiando de forma constante, dos unidades a la vez a partir de

la segunda posición, entonces la expresión algebraica que indica el número de elementos de

la figura en la posición n-ésima es 2(n-1)+1.

Posición x Número de puntos azules y Constante

1 1

2 3 2

3 5 2

4 7 2

5 9 2

6 11 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N 2(n-1)+1 2

Estrategia 3

Puede resolverse mediante progresiones aritméticas. La siguiente expresión an=a1+(n-1)r,

nos permite calcular el término enésimo como también el número de puntos azules que

existe en cada posición. Para calcular el término enésimo la expresión es la siguiente

an=2n-1.

22

Posición x Número de puntos azules y Término enésimo

1 1 a1=1+(1-1)2=1

2 3 a2=1+(2-1)2=3

3 5 a3=1+(3-1)2=5

4 7 a4=1+(4-1)2=7

5 9 a5=1+(5-1)2=9

6 11 a6=1+(6-1)2=11

.

.

.

.

.

.

.

.

. N

an=1+(n-1)2

an=1+2n-2

an=2n-1


La razón de cambio es el cociente entre la diferencia del número de puntos azules y la

diferencia de las posiciones.


Número de puntos azules y 1 3 5 7 9 11

La posición va aumentando de uno en uno, al relacionar la posición dos con la uno b=(x2-

x1); es decir b=(2-1)=1 la diferencia es 1, sin embargo, podemos ver que el número de puntos

azules va aumentando de dos en dos, lo que significa que al relacionar el número de

puntos que se encuentra en la posición dos con el número de puntos que está en la posición

uno a=(y2-y1); a= (3-1)=2 la diferencia es 2, esto nos permite conocer la variación de

cambio Vc =a/b

.

23

Posición (x)

Número de

puntos azules

(y)

Diferencia

número de

puntos azules

a=(y2-y1)

Diferencia

posición

b=(x2-x1)

Variación de

cambio

a/b

1 1 3-1=2 2-1=1 2/1=2

2 3 5-3=2 3-2=1 2/1=2

3 5 7-5=2 4-3=1 2/1=2

4 7 9-7=2 5-4=1 2/1=2

5 9 11-9=2 6-5=1 2/1=2

6 11

La variación que existe en el número de puntos azules con relación a la posición de la

figura observa en la siguiente gráfica. Los puntos p1= (3,1) y p2= (2,1), nos permite calcular

la variación de cambio Vc =a/b, donde Vc =(3-1)/(2-1)=2 y es constante. En la tabla

anterior se muestra la variación de cambio como cociente, en cualquier intervalo. La

siguiente gráfica muestra los datos, colocando en el eje horizontal el número de la figura y

en el eje vertical la cantidad de puntos azules que corresponden a cada figura, lo que

permite relacionar la gráfica con la tasa de cambio.

24

Tercera tarea. Casitas de palillos

Estrategia 1

Cinco palitos es la cantidad constante que se agrega a una figura para obtener la figura en la

posición siguiente, si esa constante se multiplica por el número de posición y se le suma el

palito del cuadrado que se encuentra más a la izquierda obtenemos que la expresión

algebraica que indica en número de palitos que hay en la figura que se encuentra en la

posición n-ésima es 5n+1.

Posición x 1 2 3 4 5 6 … n

Número de palitos y 6 11 16 21 26 31 … 5n+1

25

Estrategia 2

La cantidad constante son cinco palitos de la primera figura. El elemento que cambia son

los palitos adicionales a los cinco palitos de la izquierda. Para obtener la figura a partir de la

anterior es indispensable sumar cinco palitos. Entonces si se multiplica al número de

posición menos uno por cinco y se le suman los seis obtenemos el total de palitos en cada

posición n-ésima es 5(n-1)+6.

Posición x Número de palitos y Constante

1 6

2 11 2

3 16 2

4 21 2

5 26 2

6 31 2

.

.

.

.

.

.

.

.

. N 5(n-1)+6 2

Estrategia 3


an=a1+(n-1)r, nos permite calcular el término enésimo como también el número de palitos

que existe en cada posición. Para calcular el término enésimo la expresión es la siguiente

an=5n+1.

26

Posición x Número de palitos y Término enésimo

1 6 a1=6+(1-1)5=6

2 11 a2=6+(2-1)5=11

3 16 a3=6+(3-1)5=16

4 21 a4=6+(4-1)5=21

5 26 a5=6+(5-1)5=26

6 31 a6=6+(6-1)5=31

.

.

.

.

.

.

.

.

. N

an=6+(n-1)5

an=6+5n-5

an=5n+1


La razón de cambio es el cociente entre la diferencia del número de palitos y la diferencia

de las posiciones.


Número de palitos y 6 11 16 21 26 31

27

La posición va aumentando de uno en uno, b=(x2-x1); es decir b=(2-1)=1 la diferencia es 1,

sin embargo, el número de palitos va aumentando de cinco en cinco, lo que significa que al

relacionar el número de palitos que se encuentra en la posición dos con el número de palitos

que está en la posición uno a=(y2-y1); a=(11-6)=5 la diferencia es 5, esto nos permite

conocer la variación y el cambio Vc=a/b.

Posición (x)

Número de palitos

(y)

Diferencia número

de palitos

a=(y2-y1)

Diferencia

posición

b=(x2-x1)

Variación de

cambio

a/b

1 6 11-6=5 2-1=1 5/1=5

2 11 16-11=5 3-2=1 5/1=5

3 16 21-16=5 4-3=1 5/1=5

4 21 26-21=5 5-4=1 5/1=5

5 26 31-26=5 6-5=1 5/1=5

La variación que existe en el número de palitos con relación a la posición de la figura se


variación de cambio Vc=a/b, donde Vc =(11-6)/(2-1)=5 y es constante. En la tabla anterior

se muestra la variación de cambio como cociente, en cualquier intervalo. La siguiente

gráfica muestra los datos, colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje

vertical la cantidad de palitos que corresponden a cada figura. Lo que permite relacionar la

tasa de cambio con la gráfica.

28

Cuarta tarea. Cuadrados con cerillos

Estrategia 1

La cantidad constante de cerillos que se va agregando a cada figura para obtener la

siguiente es igual a tres cerillos, si esa constante multiplica al número de posición y se le

suma un cerillo obtenemos que el número de cerillos de la figura que se encuentra en la

posición n-ésima es 3n+1.

Posición x 1 2 3 4 5 6 … n

Número de cerillos y 4 7 10 13 16 19 … 3n+1

29

Estrategia 2

En la primera figura el número constante son cuatro cerillos. El elemento que cambia son

los cerillos adicionales a los cerillos de la izquierda. Para obtener una figura consecutiva es

necesario sumar tres cerillos. Entonces si se multiplica el número de posición menos uno

por tres y se le suma cuatro cerillos que representan el número invariante de cada figura

obtenemos que el total de cerillos en la posición n-ésima es 3(n-1)+4.

Posición Número de cerillos Constante

1 4

2 7 3

3 10 3

4 13 3

N 3(n-1)+4 3

Estrategia 3


an=a1+(n-1)r, nos permite calcular el término enésimo como también el número de cerillos

que existe en cada posición. La expresión que nos permite conocer el total de cerillos que

existe en la posición n-ésima es la siguiente an=3n+1.

30

Posición x Número de cerillos y Término enésimo

1 4 a1=4+(1-1)3=4

2 7 a2=4+(2-1)3=7

3 10 a3=4+(3-1)3=10

4 13 a4=4+(4-1)3=13

5 16 a5=4+(5-1)3=16

6 19 a6=4+(6-1)3=19

N

a1=4+(n-1)3

a1=4+3n-3

a1=3n+1


La razón de cambio es el cociente entre la diferencia del número de cerillos y la diferencia

de las posiciones.


Número de cerillos y 4 7 10 13 16 19

Puede verse, la posición va aumentando de uno en uno, al relacionar la posición dos con la

posición uno b=(x2-x1);es decir b=(2-1)=1 la diferencia es 1, sin embargo, podemos ver que

el número de cerillos va aumentando de tres en tres, lo que significa que al relacionar el

número de cerillos que se encuentra en la posición dos con el número de cerillos que está

en la posición uno a=(y2-y1); a=(7-4)=3 la diferencia es 3, esto nos permite conocer la

variación de cambio VC=a/b.

31

Posición (x)

Número de

cerillos (y)

Diferencia

número de

cerillos

a=(y2-y1)

Diferencia

posición

b=(x2-x1)

Variación de

cambio

a/b

1 4 7-4=3 2-1=1 3/1=3

2 7 10-7=3 3-2=1 3/1=3

3 10 13-10=3 4-3=1 3/1=3

4 13 16-13=3 5-4=1 3/1=3

La variación que existe en el número de cerillos con relación a la posición de la figura se


variación de cambio Vc=a/b, donde Vc=(7-4)/(2-1)=3 y es constante. En la tabla anterior se

muestra la variación de cambio como cociente, en cualquier intervalo. La siguiente gráfica

muestra los datos, colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje vertical la

cantidad de cerillos que corresponde a cada figura.

32

En las tareas 1, 2, 3 y 4 se utilizaron secuencias figurales cuyo término general es

representado mediante una expresión algebraica lineal. Estas tareas permiten realizar

conexiones entre diversas representaciones (algebraicas, gráficas y tabulares). A

continuación se ilustran las rectas de cada representación algebraica al generalizar cada una

de las tareas. Primer tarea número de estrellas y=2x+1(roja), segunda tarea puntos en

sucesión y=2x-1(verde), tercera tarea casita de palitos y=5x+1(rosa) y cuarta tarea cuadritos

de cerillos y=3x+1(azul), en las cuales se visualiza expresiones lineales de la forma

f(x)=mx+b cuya representación gráfica es una línea recta con pendiente m y ordenada al

origen b, donde m y b son constantes reales que nunca cambian y x una variable real. En la

siguiente gráfica se ve que a mayor pendiente, la “recta” es más “inclinada”, se observan

pendientes positivas y rectas crecientes donde al aumentar los valores de las posiciones

aumentan el número de estrellas, puntos, palitos y cerillos.

33

Gráfica1. Relación entre pendiente e inclinación de la recta

3.4. Instrumentos de recolección de la información

Las fuentes de recolección de datos fueron la guía de la actividad, las producciones escritas

se entregaron impresas a los estudiantes, tuvieron una duración de 70 minutos, se aplicó a

tres estudiantes quienes se eligieron por conveniencia. Este instrumento permitió recolectar

información y obtener registros comparables, de modo que pudo analizarse con los criterios

previamente definidos. Se seleccionó la videograbación por ser una herramienta que

permitió observar y captar detalles sobre las estrategias de solución de cada tarea, así como

obtener información adicional acerca del comportamiento y hechos que de otra manera no

hubiera sido posible obtener, como factores ambientales, anímicos y expresivos que

pudieran afectar o intervenir en el desarrollo de la investigación. La grabación en audio,

tuvo como finalidad escuchar ideas centrales en el momento de la explicación de la

estrategia de solución de la tarea, permitió descifrar la explicación, así como el análisis,

gracias a su reproducción en repetidas ocasiones y posteriormente se plasmaron esas

opiniones en una tabla.

34

3.5. Procedimiento de análisis

El análisis se llevó a cabo por estudiante y por tarea. La finalidad de las actividades fue

detectar en qué medida el desarrollo de tareas con patrones apoya el entendimiento de la

función lineal. Una vez que se transcribieron los videos, se identificaron aquellos

segmentos que aportaron información para determinar los niveles de entendimiento de la

función lineal. Posteriormente se resumió la información y se realizó una tabla de análisis

general (APÉNDICE C), donde pudo observarse de forma clara y ordenada los

razonamientos de cada uno de los estudiantes al abordar tareas de generalización de

patrones lineales, y la relación de diversos contenidos en la estrategia de solución.

35

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

En este capítulo se presentan los resultados derivados del análisis de los datos obtenidos

durante la implementación de las actividades. Como se mencionó en el capítulo anterior,

una vez que se tuvieron las transcripciones de los videos se buscó identificar cuáles

aspectos del trabajo de los estudiantes se enmarcaron en las categorías de análisis. Se

observaron las estrategias que implementaron los estudiantes al contestar diversas tareas, y

las conexiones de cada uno de ellos para entender los elementos de la función lineal.

Posteriormente, se analizó el nivel de entendimiento de cada uno de ellos. Para identificar

los niveles de entendimiento de la función lineal, se analizaron las rutas de solución para

cada tarea, y se observaron las diversas conexiones entre ideas matemáticas que llevaron a

cabo los estudiantes.

4.1 Descripción del proceso de implementación de las tareas


El estudiante 1 observó las figuras en tres primeras posiciones y centró la atención en las

estrellas que había en la parte superior e inferior de cada una de las figuras proporcionadas.

Fue agregando una estrella en la parte superior e inferior de cada figura con el objetivo de

encontrar el número de estrellas que en la posición, cuatro, cinco y seis. El estudiante 2 de

igual forma observó las figuras anteriores y se dio cuenta que en cada posición existía un

incremento de dos estrellas, finalmente decidió multiplicar la posición por dos y sumarle

uno, de esa forma encontró el número de estrellas que tenía cada posición. El estudiante 3

utilizó la misma estrategia que el estudiante 1, cada estudiante concluyó que en la cuarta

posición hay nueve estrellas, en la quinta once y en la sexta trece.

36

Para saber cuántas estrellas hay en la posición siete y ocho los estudiantes 1 y 3

implementaron la misma estrategia que utilizaron para encontrar las posiciones cuatro,

cinco y seis. Sin embargo, el estudiante 2, multiplicó el número de posición por dos y le

sumó una estrella. Resaltó que en la posición siete existían quince estrellas y en la octava

diecisiete estrellas. Cada estudiante logró explicar cuántas estrellas había en cada caso y a

continuación construyeron una tabla donde mostraron la relación entre número de estrellas

y la posición. Los tres estudiantes identificaron el número de estrellas que había en la

posición número veinte, multiplicaron la posición veinte por dos y sumaron una estrella,

obtuvieron cuarenta y un estrellas.

Los tres estudiantes respondieron que utilizaron una fórmula para encontrar el número de

estrellas de la posición veinte las expresiones fueron las siguientes. El estudiante 1, escribió

(20*2)+1=41, el estudiante 2 (20*2)+1 y el estudiante 3 20(2)+1. Para encontrar el número

de estrellas que había en la posición n multiplicaron veinte por dos y le sumaron uno,

tuvieron presente que n podía ser cualquier posición. La expresión que mostraron fueron las

siguientes, estudiante 1 (20*2)+1, estudiante 2 (20*2)+1 y estudiante 3 20(2)+1. Cuando se

les pidió que calcularan la variación y el cambio, el estudiante 1 contestó, que la diferencia

entre posición era de uno y en estrellas dos, el estudiante 2 identificó el cambio en el

número de estrellas y en la posición, el estudiante 2 argumentó que entre posiciones el

número de estrellas iba a variar dos estrellas. Relacionaron la posición y el número de

estrellas mediante una gráfica.

El estudiante 1 diseñó una gráfica de barras y explicó cuántas estrellas le correspondían a

cada una de las posiciones, pero no logró identificar que al relacionar la posición y el

número de estrellas se forma una línea recta. Sin embargo, los estudiantes 2 y 3 explicaron

cuántas estrellas habían en cada posición, a cada posición, y enfatizaron que utilizaron una

tabla para relacionar la información, los estudiantes 2 y 3 lograron identificar que al

relacionar los datos se formaba una línea recta.

37

Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3

Figura 1. Representación gráfica para analizar la relación entre dos variables cuantitativas

Al momento de explicar la razón de cambio entre la posición tres y cuatro, los estudiantes 1

y 3 comentaron que al relacionar la diferencia de número de estrellas y número de posición

la razón de cambio era dos. El estudiante 3 en lugar de diferenciar dijo que restó. El

estudiante 2 mencionó que la razón de cambio fue dos a uno, pero en ningún momento

plasma el procedimiento que le permitió llegar a ese resultado. Cuando relacionan el

cambio, la razón de cambio y la gráfica, el estudiante 1 expresó que en ambas se observa la

diferencia en posición y número de estrellas, el estudiante 3 indicó que mostraban el

aumento en el número de estrellas al igual que el estudiante 2, el tercer estudiante indicó el

cambio entre la posición y número de estrellas. En el momento en que explicaron la

relación entre la razón de cambio y la gráfica los tres coincidieron que entre posiciones

consecutivas iba a existir una variación de dos.

Comentarios: El estudiante 2 pudo relacionar el número de estrellas con el número de

posición, mediante una gráfica de barras pero no identificó la relación lineal. El estudiante

3 tuvo dificultad para calcular la variación, sin embargo, logró identificar el cambio en

posición y estrellas.

38


De igual forma en la tarea 2 cada estudiante empezó por observar la siguiente secuencia

de patrones figurales. Se analizaron las estrategias que utilizaron los estudiantes para

encontrar el número de puntos azules que existían en la posición cuatro, cinco y seis. Los

estudiantes 1, 2 y 3 optaron por observar las posiciones uno, dos y tres y con base en ello

concluyeron que en cada posición de forma consecutiva el incremento era dos puntos

azules, la estrategia fue ir sumando dos puntos azules a la tercera para encontrar la cuarta y

así consecutivamente. Los tres estudiantes lograron dibujar los puntos azules que había en

cada posición.


Figura 2. Secuencia consecutiva de patrones lineales

En el momento de querer encontrar el número de puntos azules de la séptima y la octava

posición, los estudiante 1 y 2 no mostraron dificultad para encontrar el número de puntos

azules; sin embargo, el estudiante 3 tuvo que dibujar la secuencia para poder saber cuántos

puntos existían en la posición siete y ocho. Para explicar cuántos puntos azules había en

cada posición, los estudiantes relacionaron el número de puntos y la posición, mediante una

tabla como se muestra a continuación.

39


Figura 3. Tablas que muestran la relación cuantitativa entre dos variables

Los estudiantes coincidieron que el número de puntos azules en la posición veinte era

treinta y nueve puntos azules, multiplicaron el número de figura por dos y le sumaron uno

para obtener el número de puntos azules en esa posición. El estudiante 1 utilizó la siguiente

fórmula U= 1+(20-1)2, como segunda estrategia y explicó que a era el número de puntos

azules que había en la primera posición, n era la posición número veinte y r era la razón.

Los estudiantes para expresar cuántos puntos azules habían en la posición n realizaron lo

siguiente.

U=a+(n-1)r ó (n*2)-1 n(2)-1 (nx2) -1


Figura 4. Generalización de patrones lineales

El estudiante 2 observó el cambio entre posiciones y puntos azules de forma consecutiva e

identificaron que la variación fue dos. Al pedirles que relacionaran el número de puntos

azules con la posición mediante una gráfica el estudiante 1 y 3 comentaron que la gráfica

era lineal y explicaron cómo es que se relacionaban las cantidades, el estudiante 1, en la

gráfica unió los puntitos con la finalidad de resaltar que era lineal. El estudiante 3

relacionó y fue colocando puntitos, en ningún momento los unió y el estudiante 2 relacionó

la información y explicó que la variación de puntos azules era constante. Los tres

estudiantes se basaron en la tabla donde habían relacionado la posición y el número de

puntos azules, para realizar la gráfica.

40



Para calcular la razón de cambio entre la posición tres y cuatro es el estudiante 2 y 3

calcularon la diferencia entre el número de puntos azules que le correspondía a la posición

cuatro y la tres y realizaron lo mismo con el número de posición, finalmente relacionaron

la diferencia de puntos azules y la diferencia en la posición. El estudiante 1 mencionó que

la razón fue dos, pero no argumentó el porqué. Para explicar la relación entre la variación,

el cambio y la gráfica el estudiante 1, expresó que todas mostraban el incremento en

posición de forma consecutiva. El estudiante 2, identificó el cambio en puntos azules y en

posición, comentó que tanto la variación como la gráfica muestran un incremento de dos

puntos azules con relación a la posición. Pero ninguno de los estudiantes logró explicar la

relación entre esos tres elementos. Lo que sí lograron analizar fue la razón de cambio y la

gráfica como herramienta como medio para observar la variación constante.

Comentarios. El estudiante 3 no fue capaz de identificar patrones lineales y de obtener un

elemento no consecutivo en la sucesión, sin hacer dibujo, el estudiante 1 generó patrones

mediante diferentes rutas. Los tres estudiantes presentaron dificultad para calcular la

variación.


41

En la tercera tarea observaron patrones lineales y se dio respuesta a una serie de preguntas.

La primera consistió en observar la serie y dibujar las figuras de las posiciones cuatro, cinco

y seis. El estudiante 1, identificó que en cada posición había cinco palitos más, y sumó a

cada posición cinco palitos, logró dibujar las figuras que pertenecían a cada posición. El

estudiante 2 vio cómo iba aumentando en número de palitos con relación a la posición, pero

no realizó los dibujos. El estudiante 3 sumó cinco palitos más a cada una de las posiciones

y finalmente realizó figuras. Los estudiantes 1 y 3 mostraron las figuras de las posiciones

cuatro, cinco y seis.


A los estudiantes se les pidió que dijeran cuántos palitos había en las posiciones 7 y 8, el

estudiante 1 dijo que fue aumentando cinco palitos a partir de la posición seis y de igual

forma para la posición ocho, obteniendo treinta y seis en la séptima y cuarenta y un palitos

en la octava. El estudiante 3 al igual que el estudiante 1 sumó cinco palitos a cada una de

las posiciones y argumentó que esos cinco palitos eran la diferencia entre posiciones. Se les

solicitó a los estudiantes que mencionaran cuántos palitos había desde la primera a la

octava posición, el estudiante 1 explicó cuántos palitos le correspondía a cada posición. El

estudiante 2 relacionó la información y diseñó una tabla al igual que el estudiante 3.

Estudiante 1 Estudiante 3

42

Estudiante 2 Estudiante 3


Al preguntarles a los estudiantes cuántos eran los palitos en la posición veinte los tres

estudiantes contestaron que habían multiplicado veinte por dos y sumaron uno, obteniendo

ciento un palitos. Se les preguntó que si existía una regla que les permitiera calcular el

número de palitos si se conocía la posición de ésta. Los estudiantes contestaron que la regla

que les permitió calcular el número de puntos azules en la posición n fue n*5+1. Al calcular

la variación y el cambio los estudiantes 1 y 2 identificaron cuál había sido el cambio tanto

en posición como en número de palitos y además explicaron que la variación entre

posiciones consecutivas fue cinco, el estudiante 3 observó el cambio en posición y en

número de palitos y mencionó que la variación era la relación que entre posiciones y

número de palitos. Al momento que se les pidió relacionaran el número de posición con el

número de palitos mediante una gráfica los estudiantes 2 y 3 comentaron que se habían

basado en la tabla diseñada con anterioridad y el estudiante 1, realizó una tabla para

relacionar la posición y número de palitos, pero eso no le impidió dibujar la gráfica. El

estudiante 1 comentó que su gráfica era una línea recta.



43

Se les solicitó calcularan la razón de cambio entre la posición tres y cuatro, el estudiante 1

realizó lo siguiente (21-16)/(4-3)=5/1=5, relacionó la diferencia entre el número de palitos

que se encontraban en la posición cuatro y tres como la diferencia entre esas posiciones y

obtuvo cinco en la razón de cambio. El estudiante 2 calculó la razón de cambio entre la

posición dos y tres, y comentó que entre esas posiciones la diferencia de palitos era cinco.

El estudiante 3 dijo que eran cinco palitos, pero no mostró evidencia.

Se les preguntó que explicaran lo común entre la variación, el cambio y la gráfica y el

estudiante 1 contestó, que ambas mostraban un incremento de cinco palitos, el estudiante 2

mencionó que aumentaron cinco palitos entre posiciones consecutivas y el estudiante 3

argumentó que entre posiciones seguidas había un aumento de cinco palitos. Finalmente el

estudiante 1 y 2 contestaron que observaron un cambio continuo de cinco palitos entre

posiciones, el estudiante 3 analizó que la relación entre la tasa de variación y la gráfica

mostraba un aumento de cinco palitos entre posiciones continuas.

Comentarios. El estudiante 1 no necesitó del apoyo de una tabla como medio para

representar la relación cuantitativa entre dos variables, ni tampoco para representar

gráficamente dos variables (el número de palitos y la posición).


En la tarea cuatro se les pidió que observaran la siguiente secuencia lineal y que dibujaran

las figuras que se encontraban en la posición cuatro, cinco y seis. Los tres estudiantes

identificaron que en cada posición había tres cerillos más que agregar, dibujaron lo

siguiente.

44



Al pedirles que dijeran cuántos palitos había en las posiciones siete y ocho pero sin hacer

dibujo el estudiante 1 contestó que en la siete existían veintidós cerillos y en la octava

veinticinco. El estudiante 2 multiplicó el número de posición por tres y le sumó uno y

obtuvo lo mismo que es estudiante 1. El estudiante 3 fue aumentando tres cerillos y logró el

mismo resultado. El profesor preguntó cuántos cerillos había en cada caso. El estudiante 1

realizó una tabla relacionando la posición y el número de cerillos, al igual que el resto de

los estudiantes. Las tablas que ellos realizaron fueron las siguientes.



Al preguntar cuántos cerillos había en la figura que ocupa la posición veinte, los

estudiantes contestaron que sesenta y uno, obtuvieron el resultado multiplicando la posición

n por tres y le sumaron uno. El profesor preguntó que si existía alguna regla que les

permitiera conocer el número de cerillos en una figura si conocían la posición, y que cual

era esa regla, los estudiantes contestaron que la posición multiplicada por tres más uno.

Para calcular el número de cerillos que había en la posición n. Los estudiantes contestaron

n*3+1. Al calcular la variación y el cambio, los estudiantes contestaron que la variación era

tres, porque observaron que entre posiciones había tres cerillos demás.

45

Al pedirles que elaboraran una gráfica relacionando la posición y el número de cerillos el

estudiante 1 observó la tabulación que había realizado para guiarse, realizó una gráfica de

barras y comentó que al hacer la gráfica se dio cuenta como variaba el número de cerillos

con respecto a la posición. El estudiante 2 diseñó una gráfica de dispersión y analizó

cuantos cerillos le correspondían a cada una de las posiciones, se fue guiando con la tabla

que había realizado y explicó cuántos cerillos le correspondían a cada una de las

posiciones.

El estudiante 3 se guio con la tabulación que había realizado al relacionar la posición con el

número de cerillos, para la construcción de la gráfica, diseñó un histograma y de igual

forma explicó la relación que existía entre posiciones y cerillos. Las gráficas que realizaron

estos estudiantes se muestran a continuación.



Al calcular la razón de cambio entre la posición tres y cuatro. El estudiante 1 dijo que tres

cerillos ya que entre cada posición había tres cerillos más. El estudiante 2 expresó que la

razón de cambio era tres cerillos sin dar explicación. El estudiante 3 explicó que era tres,

porque entre ambas posiciones variaba tres cerillos. Al analizar lo común entre la variación,

el cambio y la gráfica. El estudiante 1 dijo que el cambio en posiciones y cerillos le

permitió entender cómo variaban los cerillos con relación a la posición en la gráfica. El

estudiante 2 contestó que la gráfica mostraba cómo variaba la cantidad de cerillos con

relación a la posición. El estudiante 3 que al relacionar el cambio y posición la variación

había sido de tres cerillos pero no mencionó algo sobre la gráfica.

46

Al relacionar la tasa de variación y la gráfica el estudiante 1 contestó que la gráfica

mostraba cómo variaba la cantidad de cerillos con relación a la posición, El estudiante 2

explicó que la gráfica le ayudó a ver cómo es que se aumentaban los cerillos en cada una de

las posiciones y el estudiante 3 que ambas mostraron el número de cerillos que había en

cada posición y que la variación dependía de las posiciones.

Comentarios. En esta actividad los estudiantes fueron capaces de identificar patrones y

obtener el valor siguiente de una secuencia consecutiva y no consecutiva, identificaron que

el cambio de una variable se traduce en el cambio de otra, como que el número de

elementos varía dependiendo a la posición, relacionaron dos variables de forma gráfica y

tabulada, entendieron la relación que existe entre una relación gráfica y lineal, mostraron

dificultad para calcular la razón de cambio.

Una vez propuestas las características de los niveles de entendimiento de la función lineal,

se realizó el análisis por tarea y por alumno; se logró observar las diversas conexiones de

que cada uno de los estudiantes en sus estrategias de solución y se identificó el nivel de

entendimiento de cada uno de ellos al trabajar con generalización de patrones lineales.

4.2. Nivel de entendimiento alcanzado por cada estudiante

A continuación se muestra una tabla de análisis general donde se visualiza el nivel de

entendimiento de cada uno de los estudiantes y las conexiones que cada uno de ellos logró

realizar al dar solución a las tareas. En las estrategias de solución se observó que los

estudiantes transitaron entre el primer y segundo nivel de entendimiento de la función

lineal. Dadas las experiencias a las que los estudiantes estuvieron expuestos, no se logró

alcanzar un mayor nivel.

47

Descriptores

Estudiante

1

Nivel de

entendimiento

2

Nivel 1: Reconocimiento

Identificó patrones geométricos, cantidades varían de forma

conjunta, obtuvo el valor siguiente de una secuencia, reconoció

que el cambio de una variable determina el cambio de otra

variable, es decir, que una representación figural es función de la

que ocupa cada figura.

Nivel 2: Análisis

Con relación al segundo nivel obtuvo elementos no consecutivos

de una sucesión con un comportamiento lineal, utilizó

representaciones tabulares como un medio para representar la

relación cuantitativa entre dos variables, reconoció que la gráfica

de una línea recta representa una relación lineal entre dos

variables, generalizó patrones lineales mediante diferentes rutas.

Estudiante

2

Nivel de

entendimiento

2


Identificó patrones geométricos, cantidades varían de forma

conjunta, obtuvo el valor siguiente de una secuencia, reconoció

que el cambio de una variable determina el cambio de otra

variable, es decir, que una representación figural es función de la

que ocupa cada figura.

Nivel 2: Análisis


en la sucesión, entendió la relación gráfica y lineal, comprendió

cómo cambian dos variables que se encuentran ligadas por una

relación lineal, generalizó patrones lineales.

Estudiante

3

Nivel de

entendimiento

2


Identificó patrones geométricos y obtuvo el valor siguiente de una

secuencia, observó que dos cantidades varían de forma conjunta,

reconoció que el cambio de una variable determina el cambio de

otra variable.

Nivel 2: Análisis


en la sucesión, entendió que una tabla es un medio para

representar la relación cuantitativa entre dos variables, comprendió

cómo cambian dos variables que se encuentran ligadas por una

relación lineal, generalizó patrones lineales.

Tabla 1. Nivel de entendimiento donde se ubica cada estudiante

48

Descripción de los niveles de entendimiento de la función lineal

Nivel 1: Reconocimiento. Los estudiantes identifican patrones geométricos, cantidades que

varían de forma conjunta, obtienen el valor siguiente de una secuencia, reconocen que el

cambio de una variable determina el cambio de otra variable, es decir, que una

representación figural es función de la que ocupa cada figura, resuelven problemas de

proporcionalidad directa al completar tablas.

Nivel 2: Análisis. Los estudiantes obtienen elementos no consecutivos en una sucesión con

un comportamiento lineal, generalizan patrones lineales mediante diferentes rutas, utilizan

representaciones tabulares como un medio para representar la relación cuantitativa entre

dos variables, identifican que una característica de la función lineal es que tienen una tasa

de cambio constante, reconocen que la gráfica de una línea recta representa una relación

lineal entre dos variables, con una tasa de cambio constante, modelan fenómenos utilizando

funciones lineales, distinguen entre relaciones lineales y no lineales, representan en el plano

coordenado funciones lineales de la forma f(x)=mx+b, resuelven ecuaciones lineales de la

forma f(x)=mx+b.

Nivel 3: Resolución. Los estudiantes comprenden que una tasa de cambio es constante,

identifican a la pendiente de una recta con una tasa de cambio constante, reconocen el

efecto gráfico al variar los valores de m y b en una ecuación de la forma f(x)=mx+b,

resuelven ecuaciones lineales de una variable y representar gráficamente la solución de una

ecuación, solucionan sistemas de ecuaciones lineales, y ecuaciones relacionando dos o más

variables, identifican situaciones que puedan modelar mediante funciones lineales,

entienden que es una transformación lineal.

Nivel 4: Aplicación. Los estudiantes prueban teoremas que involucran la función lineal y

establecen relaciones entre teoremas, justifican formalmente resultados matemáticos o

proposiciones con base en un sistema axiomático, demuestran resultados por medio de

distintas estrategias de solución.

49

Nivel 5: Abstracción. Los estudiantes demuestran propiedades de las funciones, entienden

el concepto abstracto de espacio vectorial y de transformación lineal, identifican

propiedades de la función lineal desde el punto de vista axiomático, usan un sistema

axiomático para probar y establecer teoremas es un espacio vectorial, analizan postulados,

teoremas y axiomas de la función lineal.

50

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES

5.1 Introducción

En este capítulo se presenta una discusión sobre los resultados presentados en el capítulo

anterior, además de las conclusiones de la investigación con base en los objetivos del

estudio, con la finalidad de responder a las preguntas de investigación.

El problema de la investigación consistió en cómo el desarrollo de actividades con patrones

figurales favorece la construcción de niveles progresivos de entendimiento de la función

lineal, como también, establecer características de los niveles de entendimiento de la

función lineal, ver tabla 1. El análisis se basó en observar detenidamente cada una de las

estrategias que implementaron los estudiantes al resolver las actividades con patrones

lineales e identificar cómo los estudiantes relacionan los elementos de la función lineal y

ubicar a los estudiantes en un nivel de entendimiento, con base en las conexiones que hayan

logrado hacer. Así, como los diversos obstáculos que los estudiantes puedan tener al

momento de estar trabajando con generalización de patrones lineales para lograr el

entendimiento de la función lineal. Un obstáculo es la tendencia de los estudiantes a utilizar

una estrategia recursiva para encontrar y describir las reglas. Se observó que los estudiantes

logran desarrollar una capacidad de encontrar y articular reglas, lo cual coincide con lo

reportado en otras investigaciones (Moss, Beatty, McNab y Eisenband, 2005).

5.2 Respuesta a las preguntas de investigación

A continuación se dará respuesta puntual a las preguntas de investigación relacionadas con

el entendimiento de la función lineal, enfocadas en el análisis de las tareas que se realizaron

detenidamente en el capítulo 4, el cual estuvo basado en analizar las estrategias de solución

de cada uno de los estudiantes al resolver actividades de generalización de patrones

lineales, las cuales estuvieron encaminadas a identificar los elementos de la función lineal.

51

1. ¿Qué características tienen los diferentes niveles de entendimiento de la función lineal?

Los niveles de entendimiento de la función lineal propuestos en este trabajo se

estructuraron tomando como base los niveles de pensamiento geométrico propuestos por

van Hiele, con la finalidad de analizar el proceso de aprendizaje de la función lineal. Los

niveles de entendimiento de la función lineal son progresivos y jerarquizados, esto significa

que no pueden pasar al siguiente nivel si no han concluido el anterior, transitar hacia un

nivel superior implica comprender un nivel previo. Se diseñaron 5 niveles de

entendimiento, cada uno con diversas características y grado de complejidad.

Descripción de los niveles de entendimiento de la función lineal

Nivel 1: Reconocimiento. Los estudiantes identifican que dos cantidades varían

conjuntamente, cualquier forma de representación, la variación lineal de una cantidad

respecto de otra en casos específicos.

Nivel 2: Análisis. Los estudiantes representan y generalizan patrones lineales de manera

gráfica, tabular, figural o mediante sucesiones numéricas, distinguen la variación lineal y

no lineal así como su representación gráfica.

Nivel 3: Resolución. Los estudiantes comprenden el significado de una razón o tasa de

cambio constante en diversas representaciones, resuelven sistemas de ecuaciones lineales

en una o más variables e interpretan el significado de las soluciones, modelan fenómenos

que se rijan por medio de un comportamiento lineal.

Nivel 4: Aplicación. Los estudiantes conjeturan y prueban teoremas que involucran

transformaciones lineales y su representación matricial, establecen relaciones entre

teoremas del álgebra lineal.

Nivel 5: Abstracción. Los estudiantes entienden el concepto abstracto de espacio vectorial,

así como el de base y dimensión, analizan y entienden estructuras algebraicas en el

contexto del álgebra lineal.

52

2. ¿Cómo el desarrollo de actividades con patrones figurales favorece la construcción de

niveles progresivos de entendimiento de la función lineal?

Tras la investigación realizada para este estudio, se concluye que el diseño de actividades

con patrones lineales apoya el entendimiento de la función lineal, ya que permite a los

estudiantes medir la variación y el cambio, mediante herramientas tales como las razones y

proporciones. Así como también realizar diversas conexiones entre los elementos de la

función lineal: el cambio, razón de cambio, proporcionalidad, tasa de cambio constante,

representaciones (algebraicas, gráficas y tabular), graficar ecuaciones de la forma

f(x)=mx+b, calcular la pendiente, modelar fenómenos y poder entender el concepto de

función lineal.

5.3 Alcances y limitaciones

La información recopilada permitió caracterizar los niveles de entendimiento de la función

lineal, identificar el razonamiento de cada uno de los estudiantes a través de las diversas

conexiones que lograron realizar al relacionar diversos contenidos matemáticos, así como

ubicarlos en un nivel de entendimiento. La estructuración de las tareas de generalización de

patrones lineales permitió que los estudiantes realizaran conexiones con los elementos de la

función lineal. Con la implementación de este tipo de actividades se logró que los

estudiantes encontraran la secuencia de figuras consecutivas y no consecutivas, que

relacionaran variables cuantitativas mediante tablas y gráficas, y mostraran la facilidad

para generalizar patrones lineales. Al mismo tiempo, lograron comunicar resultados al

momento de explicar la estrategia de solución.

Sin embargo, este trabajo no estuvo exento de ciertas limitaciones. Trabajar con estudiantes

de primer grado de secundaria tuvo ciertas restricciones, principalmente la situación de que

los estudiantes no habían completado aún el nivel de entendimiento que se suponía, razón

por la cual las actividades no fueron suficientes para permitirles avanzar al nivel siguiente.

Las experiencias a las que estuvieron expuestos antes de la resolución de las tareas, no les

53

permitió continuar relacionando diversos contenidos matemáticos Lograron concluir los

primeros dos niveles y ubicarse en el segundo nivel de entendimiento.

5.4 Propuestas a futuro

Con base en los resultados obtenidos, se sugieren algunas líneas de investigación que

permitirán avanzar en la investigación orientada al entendimiento de la función lineal.

1. Contrastar las estrategias de resolución de las actividades de aprendizaje con

entendimiento de la función lineal, diseñando diferentes escenarios de instrucción.

2. Implementar actividades con patrones bajo distinta organización (binas, equipo).

3. Profundizar en el análisis de las características de los niveles de entendimiento de la

función lineal que se proponen en este trabajo de investigación.

4. Aplicar este tipo de tareas en estudiantes que cursen un mayor grado académico.

5.5 Reflexiones finales

El profesor de matemáticas juega un papel importante en el diseño de las tareas para lograr

un aprendizaje con entendimiento en los estudiantes, el diseñar este tipo de actividades

permite que los profesores de matemáticas reconozcan y valoren la importancia de la

generalización de patrones lineales como herramienta de apoyo para la construcción del

pensamiento algebraico. La identificación de patrones lineales en este tipo de tareas facilita

el paso de la aritmética al álgebra usando diferentes lenguajes aritmético, verbal y

algebraico.

Las funciones que debe cubrir el profesor de matemáticas son, entre otras: realizar tareas

acordes con los objetivos planteados, diseñar actividades que logren llevar a los estudiantes

de algo particular a lo general. Promover en el salón de clases la comunicación y la

reflexión. Proponer actividades que permitan a los estudiantes relacionar diversos

contenidos con la finalidad de propiciar en ellos el desarrollo de un razonamiento

matemático.

54

El docente necesita orientar a los estudiantes mediante preguntas, despertar el interés por

las matemáticas, desarrollar la habilidad para solucionar problemas, fomentar el

razonamiento respecto a que un problema puede tener diferentes rutas de solución y

propiciar desarrollo del pensamiento algebraico.

Diseñar este tipo de tareas implica tiempo y esfuerzo, desde el momento de elegir el tema e

identificar aquellos contenidos matemáticos que se pretende que el estudiante logre

relacionar. El docente debe tener siempre presente el objetivo de aprendizaje. En algunos

momentos crear este tipo de tareas puede provocar un desequilibrio en el estudiante y estar

modificando los esquemas constantemente, se trata de lograr que el estudiante relacione los

conocimientos nuevos con lo que ya aprendió.

Es importante la intervención del profesor para orientar a los estudiantes durante el

desarrollo de la actividad y pueda alcanzarse un aprendizaje con entendimiento. El docente

debe ser cuidadoso al momento de apoyar al estudiante mediante preguntas. Guiar a los

estudiantes no es proporcionar la respuesta sino intervenir formulando de forma correcta

preguntas que les permitan comprender lo que tiene que hacer. Los maestros de

matemáticas deben reconocer que es valioso implementar este tipo de actividades, ya que

permite llevar a los estudiantes de lo particular a lo general, desde la identificación de

patrones lineales hasta la modelación de fenómenos.

Al momento de resolver este tipo de tareas se observa cómo los estudiantes muestran la

relación de lo que saben con ideas nuevas, lo que propicia que empiecen a dar sentido a los

contenidos matemáticos e identificar la relevancia de cada tema. En el transcurso de la

solución de las tareas los estudiantes se percatan de la importancia de entender las tareas

para posteriormente comprender otras. El rol que desempeña el profesor de matemáticas al

implementar este tipo de actividades es sumamente importante, debe aprender a desarrollar

este tipo de actividades y buscar también diferentes escenarios que permitan mayor

entendimiento de las mismas. Puede diseñarse una excelente tarea y no poder dirigirla, esto

requiere de implicación por parte de los profesores. Inicialmente puede parecer complejo

diseñar este tipo de actividades, pero la práctica puede convertir al docente en un experto en

55

el diseño y aplicación de actividades dirigidas al aprendizaje con entendimiento por parte

de los estudiantes.

Este tipo de acciones pueden volverse una herramienta poderosa para el profesor siempre y

cuando logre diseñar e implementarlas de forma correcta. Al inicio esto puede ser

complicado, pero al final pueden observarse logros positivos en el aprendizaje con

entendimiento del estudiante. Fomentar la comunicación en el salón de clase puede facilitar

que el estudiante adquiera confianza y explique lo que ha aprendido, en ese momento el

docente podrá decir que sus estudiantes han aprendido con entendimiento.

56

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60

APÉNDICE A. OFICIO DE AUTORIZACIÓN PARA QUE LOS ESTUDIANTES

PARTICIPARAN EN EL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

Pachuca, Hgo., 23 de Enero de 2015

ESTIMADOS PADRES DE FAMILIA

Como es de su conocimiento, la profesora que imparte la asignatura de Matemáticas en los

grupos de primero A y B, Lizeth Gómez Chávez, está cursando la Maestría en Ciencias en

Matemáticas y su Didáctica y, como parte de la realización de su tesis, requiere hacer un

proyecto de investigación en el que debe videograbar algunas de las clases que tiene con

sus hijos.

Por este motivo me dirijo a ustedes con el propósito de solicitar su autorización y, para tal

efecto, les pido por favor llenar y devolver el día lunes, el talón que aparece al calce de la

presente circular.

Es importante que sepa que estos videos se utilizan exclusivamente para fines de

investigación y serán revisados sólo por la profesora y los directores de tesis de la UAEH,

respetando íntegramente la identidad de los estudiantes, asignándoles un seudónimo.

Sin más por el momento, quedo de ustedes.

Karla González Hernández

Subdirección de Secundaria

Autorizo a mi hijo(a) ____________________________________________de grado: ___

grupo: ____ participe en el proyecto de investigación de la profra. Lizeth Gómez Chávez.

Nombre de padre: ___________________________________Firma:_________________

61

APÉNDICE B. HOJAS DE TRABAJO

COLEGIO COLUMBIA

No ESTUDIANTE______ FECHA________

INSTRUCCIONES: Observa la siguiente figura, lee cada una de las siguientes preguntas y

contesta los que se te indica. Anota procedimientos.

(Utiliza juego geométrico si es necesario realizar trazos)

TIEMPO: 70 minutos


Observa la siguiente figura.

1. Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6

2. Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántas estrellas hay en la figura que se encuentra

en la posición 7? ¿y en la 8?

3. ¿Cuántas estrellas hay en cada caso?

4. ¿Cuántas estrellas hay en la figura que ocupa la posición 20?

5. ¿Cómo obtuviste este resultado?

6. Existe alguna regla que te permita conocer el número de estrellas en una figura si

conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla?

7. ¿Cuál es el número de estrellas que hay en la figura que se encuentra en la posición

n?

8. Calcula la variación y el cambio

9. Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje

vertical la cantidad de estrellas que corresponde a cada figura.

10. La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es.

11. ¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica?

12. ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica?

62

COLEGIO COLUMBIA





TIEMPO: 70 minutos




2. Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos puntos azules hay en la figura que se

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8?

3. ¿Cuántos puntos azules hay en cada caso?

4. ¿Cuántos puntos azules hay en la figura que ocupa la posición 20?


6. Existe alguna regla que te permita conocer el número de puntos azules en una figura

si conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla?

7. ¿Cuál es el número de puntos azules que hay en la figura que se encuentra en la

posición n?



vertical la cantidad de puntos azules que corresponde a cada figura.




63

COLEGIO COLUMBIA





TIEMPO: 70 minutos




2. Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos palitos hay en la figura que se encuentra


3. ¿Cuántos palitos hay en cada caso?

4. ¿Cuántos palitos hay en la figura que ocupa la posición 20?


6. Existe alguna regla que te permita conocer el número de palitos en una figura si


7. ¿Cuál es el número de palitos que hay en la figura que se encuentra en la posición

n?



vertical la cantidad de palitos que corresponde a cada figura.




64

COLEGIO COLUMBIA





TIEMPO: 70 minutos




2. Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos cerillos hay en la figura que se encuentra


3. ¿Cuántos cerillos hay en cada caso?

4. ¿Cuántos cerillos hay en la figura que ocupa la posición 20?


6. Existe alguna regla que te permita conocer el número de cerillos en una figura si


7. ¿Cuál es el número de cerillos que hay en la figura que se encuentra en la posición

n?



vertical la cantidad de cerillos que corresponde a cada figura.




65

APÉNDICE C. ANALISIS GENERAL DE LAS TAREAS PARA DETERMINAR EL

NIVEL DE ENTENDIMIENTO


Preguntas E1 E2 E3

Dibuja las figuras

que corresponden

a la posición 4, 5 y

6.

(apéndice D, línea 44-

48).

(apéndice D, línea

150-157).


257).

Sin hacer el

dibujo ¿puedes

saber cuántas

estrellas hay en la

figura que se

encuentra en la

posición 7? ¿y en

la 8?

15 estrellas en la

posición siete y

diecisiete en la ocho.


53).

En la posición siete

15 estrellas y en la

posición ocho,

diecisiete.

(apéndice D línea

160)

Vi que en la posición

seis arriba había siete

estrellas, entonces, le

agregué uno que en

total sería ocho estrellas

y en la parte de abajo

son seis entonces le

sumé una y eso lo

convierte como siete

abajo para saber la

posición ocho hice lo

mismo tome la posición

siete y como arriba en la

posición siete había

ocho le añadí uno y se

convirtió en nueve

estrellas arriba y en la

posición siete había

ocho arriba y siete

abajo.


277).

¿Cuántas estrellas

hay en cada caso

Yo hice una tabla.


61).

Para eso utilice una

tabla


162-163).


285)

66

¿Cuántas estrellas

hay en la figura

que ocupa la

posición 20?

20 por dos cuarenta más

uno cuarenta y uno.

(apéndice D, línea 63-64).

Cuarenta y un

estrellas.


172).

Cuarenta y uno.


287-289).

¿Cómo obtuviste

este resultado?

Con la fórmula, cualquier

número por dos más uno. (20*2)+1=41

O poniendo el número de

posición el de las estrellas

de abajo y agregándole

uno arriba.


Por medio de una

fórmula.


174-176).

Por medio de una

regla.


291).

Existe alguna

regla que te

permita conocer el

número de

estrellas en una

figura si conoces

la posición de ésta

¿Cuál es esa

regla?

(20*2)+1

(apéndice D, línea 70).

(20*2)+1 (apéndice D, línea

180).

20(2) =40+1


295).

¿Cuál es el

número de

estrellas que hay

en la figura que se

encuentra en la

posición n?

Es la misma, porque no

sabes cuál es la posición

n.

(n*2)+1

(apéndice D , línea 74).

(n*2)+1


183).

n(2)+1


298-299)

Calcula la

variación y el

cambio

El cambio en estrellas dos

y en posición uno. La

variación 5-3=2 y 2-1=1.

Entonces varia de 2/1


Dos el cambio en

estrellas y uno en

posición.


186).

Varía dos en

estrellas cuando se

mueve uno en

posición


301-303).

67

Elabora una

gráfica colocando

en el eje

horizontal el

número de figura

y en el eje vertical

la cantidad de

estrellas que

corresponde a

cada figura.



189-192).


306-311).

La razón de

cambio entre la

posición 3 y 4 es.

Es dos.

(9-7)/(4-3)=2/1


Es dos a uno


196-197).

2/1


314-319).

¿Cuál es lo común

entre la variación

y el cambio y la

gráfica?

Pues, que ambos

muestran cuánto hay de

diferencia dos si la

variación es continua de

uno en uno la razón de

cambio es dos.


Todos tienen su

variación, una

cantidad de estrellas

que van aumentando

que son dos. Y el

cambio en posición

un lugar y en

estrellas dos

estrellas.


196-197).

Ambas te van

indicando cuánto

tienen que ir

aumentando el

número de estrellas.


318-319).

¿Qué relación

existe entre la tasa

de variación y la

gráfica?

Las dos muestran que

cada posición continua

aumenta dos estrellas.


103).

Que aumentan en

cada posición dos

estrellas, es decir,

dos sobre uno, dos

que son la diferencia

del número de

estrellas aumentadas

y uno que es la

diferencia de

posición. Igual que la

gráfica.


199-201).

Las dos te muestran

el aumento de

estrellas de una

posición a otra

posición.


321).

68


Preguntas E1 E2 E3

Dibuja las figuras

que corresponden a

la posición 4, 5 y 6.


326-331).


463).


621-626).

Sin hacer el dibujo

¿puedes saber

cuántos puntos

azules hay en la

figura que se

encuentra en la

posición 7? ¿y en la

8?

En la siete habría

trece puntos y en la

ocho quince


335-336).

En la posición siete son

trece puntos azules y en

la ocho quince puntos

azules.


470).


630-632).

¿Cuántos puntos

azules hay en cada

caso?


338-340).


476).


634).

¿Cuántos puntos

azules hay en la

figura que ocupa la

posición 20?

Treinta y nueve


342-343).

Hay treinta y nueve

puntos azules (apéndice

D, línea 481).

Treinta y nueve.


641).

¿Cómo obtuviste

este resultado?

Fórmula


346-355).

Creando una regla.


484).

Usando una fórmula.


643-647).

69

Existe alguna regla

que te permita

conocer el número

de puntos azules en

una figura si conoces

la posición de ésta

¿Cuál es esa regla?

U=a(n-1)r ó (n*2)-1


361-363).

n*2-1


492).

Sí.

(n*2)-1


643-647).

¿Cuál es el número

de puntos azules que

hay en la figura que

se encuentra en la

posición n?

Pues, para eso

utilizaríamos la

fórmula ya que n es

cualquier número. U=1+(n-1)2 ó (n*2)-1


366-367).

La posición n es

variable porque hay

diferente tipos de

posición, entonces es n

por dos menos uno.

n*2-1


501).

(nx2) -1


656).

Calcula la variación

y el cambio

La variación es de

dos a uno.

El cambio es uno

en posición y dos

en puntos azules.


369-371).

La variación es de dos

y el cambio en puntos

es dos y en posición

uno.

(apéndice D, línea 503).

El cambio es dos en

el número de

puntitos y uno en la

posición y la

variación es dos a

uno porque, en cada

posición va

aumentando dos

puntitos, cada

posición va de uno.


658-660).

Elabora una gráfica

colocando en el eje

horizontal el número

de figura y en el eje

vertical la cantidad

de puntos azules que

corresponde a cada

figura.


377-380).


513).


663-667).

70

La razón de cambio

entre la posición 3 y

4 es.

Dos


382).

De dos puntos azules y

uno en la posición, es

decir 2/1


671).

Es de dos, (apéndice

D, línea 668-670).


entre la variación y

el cambio y la

gráfica?

Muestran el

aumento continuo


384-385).

El cambio y la

variación se observan

en la gráfica.


520).

Indican lo que va

aumentando.


673).

¿Qué relación existe

entre la tasa de

variación y la

gráfica?

Se ve una

variación continua

de uno en uno,

bueno, si la

posición es de uno

en uno aumenta de

dos en dos.


387-388).

Pues que en ambas se

ve como aumente la

posición y los puntos

azules


529).

Ambas relacionan

que hay entre la

posición y la

cantidad de puntos

que tienen en total.


675-676).

71


Preguntas E1 E2 E3

Dibuja las figuras

que corresponden a

la posición 4, 5 y 6


682-685).

En la cuarta posición

veintiún palitos en la

quinta veintiséis y en la

sexta treinta y uno.


824).


989-992).

Sin hacer el dibujo

¿puedes saber

cuántos palitos hay

en la figura que se

encuentra en la


8?

En la posición siete

37 y en la ocho 41.


688-690).

En la siete habría treinta

y seis palitos en la ocho

cuarenta y un palitos.


829).

Treinta y seis en la

posición siete y en la

ocho cuarenta y uno


999-1002).

¿Cuántos palitos hay

en cada caso?

A la uno le

corresponde seis

palitos a la dos

once, a la tres

dieciséis, a la

cuatro veintiuno, a

la cinco veintiséis a

la seis treinta y

uno, a la siete

treinta y seis y a la

ocho cuarenta y

uno


692-695).


835).


1004-1008).

¿Cuántos palitos

hay en la figura que

ocupa la posición

20?

Ciento un palitos


697-699).

101 palitos

azules (apéndice D,

línea 837-838).

Ciento un palitos


1011-1015).

¿Cómo obtuviste

este resultado?

Con una fórmula


697-699).

Multiplicando cinco por

tres más uno


841).

Con una fórmula. A

la posición la

multipliqué por cinco

y le suma uno.


1017-1019).

72

Existe alguna regla

que te permita

conocer el número

de palitos en una

figura si conoces la

posición de ésta


(n*5)+1


702-704).

n*5+1


845).

n*5+1


1022).


de palitos que hay

en la figura que se

encuentra en la

posición n?

(n*5)+1


706-707).

n*5+1


848).

(nx5) +1


1028).

Calcula la variación

y el cambio

El cambio en

palitos es cinco y

en posición

continua es uno. La

variación es cinco

entre posiciones

siempre que la

posición sea

continua.


709-711).

El cambio entre palitos

es cinco y en posición

uno y la variación entre

posición es cinco.


851).

La variación es de

cinco y el cambio en

palitos de cinco en

cinco y en posición

de uno en uno


1030-1032).

Elabora una gráfica

colocando en el eje

horizontal el número

de figura y en el eje


de palitos que

corresponde a cada

figura.


714-717).


856).


1038-1040).

La razón de cambio

entre la posición 3 y

4 es.

(21-16)/(4-3)=5/1=5


716-719).

Es cinco.


865).

Cinco entre esas

posiciones continúas.


1042).

73


entre la variación y

el cambio y la

gráfica?

Ambas demuestran

el

Cambio en

posición siempre y

cuando sea

continuo.


724-725).

En las tres se ve el

cambio entre palitos y

posición.


871).

Las tres indican

como aumentan

cinco palitos las

posiciones.


1046-1047).

¿Qué relación existe

entre la tasa de

variación y la

gráfica?

En ambas se

observa ese

aumento de 5

palitos entre

posiciones.


727-728).

El número de palitos

que se aumenta entre

posiciones es cinco se

ve en la gráfica.


877).

Que muestran el

aumento de palitos

en posiciones

continuas


1049).

74


Preguntas E1 E2 E3

Dibuja las figuras

que corresponden a

la posición 4, 5 y 6.


1054-1057).


1140-1143).


1274-1281).

Sin hacer el dibujo

¿puedes saber

cuántos cerillos hay

en la figura que se

encuentra en la


8?

Sí, en la posición

siete habría 21

cerillos y en la ocho

25 cerillos, luego.


1062).

La posición siete da 21

cerillos y en la posición

ocho 25.


1146-1147).

El resultado da

veintidós en la

posición siete y en la

posición ocho

veinticinco.


1284-1285).

¿Cuántos cerillos

hay en cada caso?


1064-1066).


11501154).


1287-1291).

¿Cuántos cerillos

hay en la figura

que ocupa la

posición 20?

Sesenta y uno.


1069).

61


1156).

Sesenta y uno.


1293-1295).

75

¿Cómo obtuviste

este resultado?

Porque el número

de posición por tres

más uno entonces 20

por tres, sesenta más

uno 61.


1071-1074).

Multiplicando la

posición por tres más

uno.


1158)

Bueno, en este caso

utilice una fórmula.

20*3+1


1297-1298).

Existe alguna regla

que te permita

conocer el número

de cerillos en una

figura si conoces la

posición de ésta


(posición n*3)+1


1077).

n(3)+1


1161-1162).

Si existe, es número

por tres más uno en

este caso. n*3+1


1301).


de cerillos que hay

en la figura que se

encuentra en la

posición n?


1080-1081).

(n*3)+1


1165-1166).

La posición n puede

variar porque puede

ser cualquier posición

y depende que

posición sea n*3+1


1304-1305).

Calcula la

variación y el

cambio

Pues en cada

posición seguida de

uno en uno hay tres

cerillos de diferencia

la variación sería tres

entre uno.


1083-1084).

Tres en uno es la

variación y el cambio

en posición uno y en

cerillos tres.


1168-1170).

Bueno, en cada

posición van

aumentando los

cerillos, la secuencia

de uno en uno en la

posición y el número

de cerillos de tres en

tres. Su variación es

de tres cerillos por

posición.


1307-1309).

76

Elabora una

gráfica colocando

en el eje horizontal

el número de

figura y en el eje


de estrellas que

corresponde a cada

figura.


1087-1089).


1173-1076).


1312-1315).

La razón de

cambio entre la

posición 3 y 4 es.

Tres


1091-1092).

Tres .


1179).

Es tres, porque de la

posición tres a la

cuatro para poder

variar fueron tres

cerillos en total.


1317-1318).


entre la variación

y el cambio y la

gráfica?

Todas muestran

como aumentan los

cerillos en cada

posición.


1094-1095).

Demuestran que

aumenta de tres en tres

y esa sería su variación.


1181).

Indican cuánto va

aumentando.


1320-1321).

¿Qué relación

existe entre la tasa

de variación y la

gráfica?

Que en ambos

aumenta de tres en

tres y muestra su

aumento.


1097).

Entre cada posición va

aumentando tres

cerillos, entonces,

utilizaríamos un poco

de ayuda con la gráfica

uno a cuatro porque uno

es la posición y cuatro

es el número de

cerillos.


1083-1085).

Las dos te enseñan

cuánto va aumentando

dependiendo de la

posición y lo que va

variando.


1323-1324).

77

APÉNDICE D. TRANSCRIPCIÓN DE LAS VIDEOGRABACIONES 1

A continuación se presenta la transcripción de los videos obtenidos durante la presentación 2 de las tareas, considerando y marcando los diversos niveles de entendimiento. 3 Niveles de entendimiento. 4

Nivel 1: Razonamiento. Se marcan con color amarillo 5

Los estudiantes identifican patrones geométricos, obtienen el valor siguiente de la 6 secuencia, identifican que dos cantidades varían de forma conjunta, reconocen que el 7 cambio de una variable determina el cambio de otra variable, es decir que una 8

representación figural es función de la posición que ocupa cada figura, identifican que el 9 número de elementos en una representación figural es función de la posición que ocupa 10 cada figura, resuelven problemas de proporcionalidad directa al completar tablas. 11

Nivel 2: Análisis. Se marcan con color rojo 12

Los estudiantes obtienen elementos no consecutivo de una sucesión con un comportamiento 13 lineal, generalizan patrones lineales mediante diferentes rutas, utilizan representaciones 14 tabulares como un medio para representar la relación cuantitativa entre dos variables, 15

identifican que una característica de la función lineal es que tienen una tasa de cambio 16 constante, reconocen que la gráfica de una línea recta representa una relación lineal entre 17 dos variables, con una tasa de cambio constante, modelan fenómenos utilizando funciones 18

lineales, distinguen entre relaciones lineales y no lineales, representan en el plano 19 coordenado funciones lineales de la forma f(x)=mx+b, resuelven ecuaciones lineales de la 20

forma f(x)=mx+b 21 Nivel 3: Resolución. Se marcan con color Azul 22 Los estudiantes comprenden que una tasa de cambio es constante, identifican a la pendiente 23

de una recta con una tasa de cambio constante, identifican el efecto gráfico al variar los 24

valores de m y b en una ecuación de la forma f(x)=mx+b, resuelven ecuaciones lineales de 25 una variable y representan gráficamente la solución de una ecuación, solucionan un sistema 26 de ecuaciones lineales, resuelven ecuaciones relacionando dos o más variables, identifican 27

situaciones que se pueden modelar mediante funciones lineales, entienden qué es una 28 transformación lineal. 29

Nivel 4: Aplicación. Se marcan con color gris 30

Los estudiantes prueban teoremas que involucran la función lineal y establecen relaciones 31

entre teoremas, justifican formalmente resultados matemáticos o proposiciones con base a 32

un sistema axiomático, demuestra resultados por medio de distintas estrategias de solución. 33

Nivel 5: Abstracción. Se marcan con color verde 34

Los estudiantes demuestran propiedades de la función lineal, entienden el concepto 35 abstracto de espacio vectorial y de transformación lineal, identifican propiedades de la 36 función lineal desde el punto de vista axiomático, usan un sistema axiomático para probar y 37 establecen teoremas es un espacio vectorial, analizan postulados, teoremas y axiomas de la 38 función lineal. 39

Primera tarea: Número de estrellas 40

78

41 Estudiante 1 42

Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición cuatro, cinco y seis. 43

Estudiante 1: Yo primero me di cuenta que en la posición 1, había una estrella a 44

bajo y dos arriba, en la segunda posición dos estrellas abajo y tres arriba, entonces, 45 al principio yo no tenía fórmula así que puse cuatro estrellas abajo y cinco arriba y en la 46

cinco puse cinco abajo y seis arriba en la seis, seis abajo y siete arriba, como se puede ver 47 aquí. 48

49 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántas estrellas hay en la figura que se 50

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 51 Estudiante 1: Y lo hice igual aquí puse siete abajo y ocho arriba para la posición siete y 52 para la posición ocho, ocho abajo y nueve arriba. 53

Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en cada caso? 54 Estudiante 1: Yo hice una tabla. 55

56 Y entonces, puse en el número de la posición, las estrellas que hay arriba y las estrellas que 57 había abajo y el total de estrellas que había en cada caso y entonces aquí se puede ver que 58

en la posición uno dos estrellas arriba una estrella abajo y en total había tres estrellas y allí 59 llegue a la conclusión de que la fórmula era n que era el número cualquiera de la posición 60

por dos más uno (n*2)+1 61

Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en la figura que ocupa la posición 20? 62 Estudiante 1: Entonces, allí ya seguí la regla, bueno, la posición 20 era 20 por dos cuarenta 63 más uno cuarenta y uno, (20*2)+1=41 64

Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 65 Estudiante 1: Con la fórmula, cualquier número por dos más uno (n*2)+1 o bien poniendo 66 el número de posición el de las estrellas de abajo y agregándole uno arriba. 67 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de estrellas en una figura si 68

conoces la posición de ésta. 69 Estudiante 1: Si 70 Profesor: ¿Cuál es esa regla? 71 Estudiante 1: Es la que ya mencione n por 2 más uno, (n*2)+1=41 72

79

Profesor: ¿Cuál es el número de estrellas que se encuentra en la posición n? 73

Estudiante 1: Utilicé esta regla, (n*2)+1 pues no sabes cuál es la posición. 74 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 75

Estudiante 1: Yo vi entre la posición dos estrellas de diferencia es decir, si la posición 76 variaba de uno en uno va haber dos estrellas de diferencia. 77 Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal en número de posición y en el 78 eje vertical la cantidad de estrellas que corresponde a cada figura. 79 Estudiante 1: En la gráfica se puede ver el número de estrellas que le corresponde a cada 80

posición. Como se puede verse a continuación. 81

82 En la posición 1, había tres estrellas, en la posición dos, cinco y de diferencia dos estrellas 83 entre cada uno. 84

Profesor: La razón de cambio entre la posición tres y cuatro es. 85 Estudiante 1: Es dos, porque puede verse que la posición tres, tenía siete estrellas y la 86 posición cuatro nueve entonces, nueve menos siete igual a dos, siete menos cinco es dos, 87

cinco menos tres es dos. 88

89 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación, el cambio y la gráfica? 90

Estudiante 1: Pues, ambas muestran que el número de estrellas va aumentando de dos en 91 dos. 92

Profesor: ¿Cómo que su variación? 93 Profesor: Observa, ¿cuál es el cambio entre el número de posición? 94 Estudiante 1: Uno 95

Profesor: ¿Cuál es el cambio entre el número de estrellas? 96 Estudiante 1: Dos 97

Profesor: Cuando relacionas el cambio en número de estrellas y el cambio entre el número 98 de posición encuentras la variación. 99

Estudiante 1: Ah, entonces es dos como la razón. 100 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa la variación, y la gráfica? 101 Estudiante 1: Las dos muestran que cada posición continúa de uno en uno aumenta dos 102 estrellas. 103

Estudiante 2 104 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6. 105 Estudiante 2: Para resolver esto yo me fijé en la posición 1 y 2 de la uno a la dos sólo 106 subían dos estrellas de la dos a la tres subían dos estrellas entonces para sacar la posición 4, 107

80

5 y 6, a la tres le sumé dos para sacar la 4 a la 4 le agregué dos para sacar la 5 y a la 5 le 108

agregué dos para sacar la 6. 109

110

Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántas estrellas hay en la figura que se 111 encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 112

Estudiante 2: Eso es fácil porque al 6 le sumas dos y te da la posición 7 y al 7 le sumas dos 113 y te da la posición 8 en la 7 son 15 estrellas y en la 8 son 17 estrellas. 114 Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en cada caso? 115

116

Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en la figura que ocupa la posición 20? 117 Estudiante 2: Hay, cuarenta más 1 cuarenta y uno. 118

Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de estrellas en una figura si 119 conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 120 Estudiante 2: Pero, el problema ya es cuando son cantidades más altas como la posición 121

20, en esta tendrías que hacer una fórmula que sería dos por el número de posición más uno 122 es decir dos por dos cuatro más uno cinco que son la cantidad de estrellas en la posición dos 123

entonces, si haces esta regla podrías decir 2 por 20 cuarenta más 1 cuarenta y uno que sería 124 el número de estrellas en la posición 20. 125 Profesor: ¿Cuál es el número de estrellas que hay en la figura que se encuentra en la 126

posición n? 127 Estudiante 2: Es decir, si tenemos mil podría ser 2 por mil igual a dos mil más uno dos mil 128

uno entonces en la posición mil hay dos mil una estrellas. 129 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 130

Observe la posición uno hay tres estrellas en la posición dos hay 5 entonces esto significa 131 que va variando de dos en dos, cada posición va subiendo dos estrellas. 132

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 133 vertical la cantidad de estrellas que corresponde a cada figura. 134 Estudiante 2: Entonces, se forma una línea recta en la gráfica. 135

136 Profesor: La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es. 137 Estudiante 2: Y pues, es dos porque va aumentando de dos en dos. 138 Profesor: Lo común entre la variación y el cambio y la gráfica es que todos van 139 aumentando de dos en dos. 140

Profesor: ¿En la posición de cuanto en cuanto va aumentando? 141 Estudiante 2: Va aumentando de uno en uno. 142 Profesor: Y, ¿En el número de estrellas? 143

81

Estudiante 2: De dos en dos. 144

Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 145 Estudiante 2: Que las dos van de dos en dos, si la tasa de variación es dos y la gráfica va 146

subiendo de dos en dos. 147

Estudiante 3 148 Profesor: En la primera pregunta dice dibuja la figura que corresponde a la figura 4,5 y 6. 149 Estudiante 3: Lo que hice fue ver las posiciones que tenía anteriormente. 150

y tenía la posición 1 en la fila de abajo una estrella y arriba de ella 151

dos estrellas por lo que aumentó dos estrellas. Igualmente la posición dos tenía dos estrellas 152 pero ahora aumentaron tres me fui haciendo una idea de qué regla podría ser, lo que yo 153 empecé hacer fue multiplicar la posición que tenía por dos más uno que es lo que me daría 154

que es dos por dos más 1 da 5 que son el número de estrellas que hay en total y fui 155

haciendo lo mismo en la posición cuatro, cinco y seis. 156

157

Profesor: La pregunta dos, sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántas estrellas hay en la 158

figura que se encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 159 Estudiante 3: Posición por 2 más 1 en la siete 15 estrellas y en la posición ocho, diecisiete. 160

Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en cada caso? 161 Estudiante 3: Ahora, tomé como referencia a la posición seis. 162

163

En la posición uno hay tres estrellas por lo que en la dos se añadirían dos estrellas más 164 entonces son cinco y así sucesivamente, para eso utilicé una tabla pues, puse la posición 165

con el total de cada estrella como se ve a continuación. 166

167

En la posición uno yo le puse que el total tres estrellas, la posición dos cinco estrellas, la 168 tres un total de siete estrellas, en la cuatro nueve, en la cinco once, en la seis trece en la 169 siete quince y en la ocho diecisiete estrellas. 170

Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en la figura que ocupa la posición 20? 171 Estudiante 3: Cuarenta y un estrellas. 172 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 173

Estudiante 3: Por medio de una regla, bueno, yo para eso realice una fórmula para que me 174 ayudara hacerlo de forma más rápida, el número de posición por dos más uno, en este caso 175 es la posición veinte por dos más uno cuarenta y uno. 176 Estudiante 3: Existe alguna regla que te permita conocer el número de estrellas en una 177 figura si conoces la posición de ésta. 178

82

Profesor: ¿Cuál es esa regla? 179

Estudiante 3: Veinte por dos más uno. (20*2)+1 180

Estudiante 3: ¿Cuál es el número de estrellas que hay en la figura que se encuentra en la 181 posición n? 182 Estudiante 3: (n*2)+1 Pues simplemente la posición n sería el número de la posición por 183 dos más uno, para sacar la cantidad de estrellas total. 184

Profesor: Calcula la variación y el cambio. 185 Estudiante 3: Dos es el cambio en estrellas y uno en posición. 186 Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 187 vertical la cantidad de estrellas que corresponde a cada figura. 188 Estudiante 3: Hice esto, poner el número de estrellas en el eje vertical y en el horizontal la 189

posición con ayuda de la tablita. Coloqué en uno tres estrellas, en dos cinco estrellas siete y 190 así. Y sale una línea recta. 191

192 Profesor: La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es. 193 Estudiante 3: Dos a uno 194

Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica? 195 Estudiante 3: Todos tienen su variación, una cantidad de estrellas que van aumentando de 196

dos en dos, y el cambio en posición un lugar y en estrellas dos estrellas. 197 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 198 Estudiante 3: Que sigue aumentando en cada posición dos estrellas, es decir, dos sobre 199

uno, dos que son la diferencia del número de estrellas aumentadas y uno que es la 200

diferencia de posición, igual que la gráfica. 201

Estudiante 5 202 Profesor: Dibuja las sucesiones correspondientes a las posiciones 4, 5 y 6. 203

Estudiante 5: Bueno, lo primero que yo hice fue ver las primeras sucesiones. 204

205

Y pues, me di cuenta que en la posición 1 solo había 1 correspondiente a la posición, luego 206 me di cuenta que estos dos juntos eran el doble de la posición y le sumabas uno y entonces 207 fue así como respondí ésta y aquí está. 208 Profesor: ¿Me la puedes explicar de favor? 209

Estudiante 5: Sí, bueno primero puse los cuatro que van aquí, porque es el número de la 210 posición y luego 5 pues me da nueve y así con las demás obviamente me da el doble de la 211 posición más uno. 212

83

Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántas estrellas hay en la figura que se 213

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 214 Estudiante 5: Pues, multipliqué siete por dos más uno y me dio 15 y luego 8 por 2 y me da 215

17. 216 Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en cada caso? 217 Estudiante 5: Lo único que hice fue pasar mis respuestas en una tablita. 218

219 Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en la figura que ocupa la posición 20? 220

Estudiante 5: Pues, cuarenta y uno. 221 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 222 Estudiante 5: Veinte por dos más uno cuarenta más 1. 223 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de estrellas en una figura si 224

conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 225 Estudiante 5: Pues sí, (n*2)+1 226 Profesor: ¿Cuál es el número de estrellas que hay en la figura que se encuentra en la 227

posición n? 228 Estudiante 5: Fue 1000 mil por dos 2000 más uno 2001. 229

Profesor: Calcula la variación y el cambio. 230 Estudiante 5: Pues la variación es de dos. 231 Profesor: ¿En dónde? 232

Estudiante 5: En el número de estrellas. 233

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 234 vertical la cantidad de estrellas que corresponde a cada figura. 235

236 Estudiante 5: Pues yo lo hice al revés. 237 Profesor: ¿Cuál es la posición en la gráfica para ti? 238 Estudiante 5: La que se encuentra en x. 239

240

84

Profesor: [El estudiante selecciona el eje de las y, en ese momento se da cuenta que al 241

graficar no sigue las indicaciones y en el eje de las x coloca el número de estrellas y en el 242 eje de las y la posición] 243

Profesor: La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es. 244

245 Profesor: [En esta pregunta el estudiante no logra explicar, sin embargo se observa que 246

relaciona el número de estrellas con el número de posición y como resultado obtiene -2] 247 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica? 248 Estudiante 5: La razón es -2 y la tasa de cambio -2/1. 249 Profesor: [En esta pregunta el estudiante no logra identificar lo común entre la razón, la 250

tasa de cambio y la gráfica] 251

Estudiante 6 252 Profesor: Dibuja la figura que corresponda a la posición 4, 5 y 6. 253 Estudiante 6: Yo me fijé en algo, en la posición uno hay dos estrellas arriba y una abajo y 254

vi que la posición dos había tres estrellas arriba y dos abajo entonces [El estudiante observó 255 las posiciones que se muestran a continuación] 256

257

Estudiantes 6: Me fije que llevaba una secuencia que es continua, le añades uno arriba 258 como abajo, entonces, para saber la posición cuatro lo que hice es contar en la posición tres 259

cuatro arriba y le agregué uno más que me da en total cinco y en la posición tres en la parte 260

de abajo eran tres estrellas y como le agregué una se vuelve cuatro, en la posición cinco 261 tomé la referencia ahora de la posición cuatro como se ve. [El estudiante representó a la 262

posición 4, 5 y 6 de la siguiente manera] 263

264

Estudiante 6: Agregué una arriba y otra abajo en total dos estrellas entonces el resultado 265 iba ser de once estrellas en la posición cinco en la posición seis tomé como referencia a la 266

posición cinco y le sumé uno en la parte de arriba y otro en la parte de abajo y en total sería 267

trece estrellas. 268

Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántas estrellas hay en la figura que se 269

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 270 Estudiante 6: Ahora, tomé como referencia a la posición seis, entonces, vi que en la 271 posición seis arriba había siete estrellas, entonces, le agregué uno que en total sería ocho 272 estrellas y en la parte de abajo son seis entonces le aumenté una y eso lo convierte como 273 siete abajo para saber la posición ocho hice lo mismo tomé la posición siete y como arriba 274

en la posición siete había ocho le agregué uno y se convirtió en nueve estrellas arriba y en 275 la posición siete había ocho arriba y siete abajo. 276

85

277 Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en cada caso? 278 Estudiante 6: Pues observé las figuras, hice una tabla, puse la posición con el total de cada 279 estrella en la posición uno yo le puse que el total era de trece estrellas, la posición con el 280

total de cinco estrellas en la posición tres un total de siete estrellas, en la cuatro nueve 281 estrellas en la cinco once en la seis trece en la siete quince estrellas y en la ocho diecisiete. 282 [A continuación la estudiante realiza una tabla donde relaciona el número de posición con 283 la cantidad de estrellas] 284

285 Profesor: ¿Cuántas estrellas hay en la figura que ocupa la posición 20? 286

Estudiante 6: Bueno, yo para eso elaboré una fórmula para que me ayudara hacerlo de 287 forma más rápida, el número por dos más uno, en este caso, es la posición veinte por dos 288 más uno cuarenta y uno. 289

Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 290 Estudiante 6: Por medio de una regla. 291

Estudiante 6: Existe alguna regla que te permita conocer el número de estrellas en una 292 figura si conoces la posición de ésta. 293

Profesor: ¿Cuál es esa regla? 294 Estudiante 6: n(2)+1; 20(2) =40+1 295

Profesor: ¿Cuál es el número de estrellas que hay en la figura que se encuentra en la 296 posición n? 297 Estudiante 6: Pues, en la posición n puede variar, porque hay diferentes posiciones, 298

entonces, aquí se podría utilizarse nuestra regla que es número por dos más uno. n(2)+1 299 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 300 Estudiante 6: Varía dos en estrellas cuando se mueve uno en posición. Bueno, la variación 301 depende de cómo esté la posición con el número de estrellas y así se puede saber cuánto 302 aumentó. 303

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 304

vertical la cantidad de estrellas que corresponde a cada figura. 305 Estudiante 6: En el eje horizontal es el número de figura como pueden ver el tipo de 306 posiciones y el eje vertical el número de estrellas y en la primera posición son tres estrellas 307 en la dos cinco estrellas en la tercera posición siete estrellas en la cuarta posición nueve 308 estrellas y así sucesivamente, me basé en la tabla y me fijé que da una línea recta. [En las 309

siguientes imágenes se muestra cómo es que fue relacionando el estudiante el número de 310 posición con la cantidad de estrellas] 311

86

312 Profesor: La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es. 313 Estudiante 6: Como vi que siete es el total de las estrellas de la tercera posición y nueve de 314 la cuarta posición entonces, esa resta me da un resultado es 2/1, entonces dos estrellas. 315

316 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica? 317

Estudiante 6: Yo creo que tienen algo en común, porque, ambas te van indicando cuánto 318 tienen que ir aumentando el número de estrellas. 319

Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 320 Estudiante 6: Las dos te muestran el aumento de estrellas de una posición a otra posición. 321

Segunda tarea: Puntos en sucesión 322

323 Estudiante 1 324

Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la figura 4, 5 y 6. 325 Estudiante 1: Entonces, lo primero que hice fue observar la posición uno, dos y tres. 326

327

Me di cuenta que aumentaba de dos en dos para todas las posiciones con posiciones 328

continuas, y entonces, observé la posición tres y le aumenté dos puntos azules a la cuatro y 329 después le fui aumentando de dos en dos dependiendo de la posición. Los puntitos 330

dependen de la posición. 331

332

Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos puntos azules hay en la figura que se 333 encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 334

87

Estudiante 1: En la siete habría trece puntos y en la ocho quince porque va aumentando de 335

dos en dos. 336 Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en cada caso? 337

Estudiante 1: Pues, para eso yo primero hice una tabla dependiendo de la posición y 338 después el número de puntos que había. 339

340

Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en la figura que ocupa la posición 20? 341

Estudiante 1: Pues, primero yo utilice una fórmula que era. 342

343 Estudiante 1: Treinta y nueve. 344 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 345

Estudiante 1: Lo obtuve de dos maneras, utilice esta fórmula. 346

347

U es igual a uno que sería nuestra primera posición más veinte que sería a la posición 348

donde queremos saber el número de puntos azules, menos uno por la fórmula y por dos que 349 es la razón porque tres menos unos igual a dos y entonces, me salió que en la posición 350

habría treinta y nueve. 351

352

Otra forma de hacerlo sería n por dos menos uno, entonces veinte en este caso sería n por 353

dos menos uno, veinte por dos cuarenta menos uno treinta y nueve. 354

355

Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 356 Estudiante 1: Tuve dos maneras de obtenerlo con dos fórmulas. 357

; 358 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de puntos azules en una 359

figura si conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 360

88

Estudiante 1: Pues sí, porque conoces n puedes multiplicarlo por dos y después restarle 361

uno y en esta parte u igual a uno más la resta de n menos uno, el uno es la primera posición 362

el veinte el número que queremos saber y el dos sería la razón. 363

Profesor: ¿Cuál es el número de puntos azules que hay en la figura que se encuentra en la 364

posición n? 365 Estudiante 1: Pues, para eso utilizaríamos la fórmula ya que n es cualquier número. 366

367 Profesor: Calcula la variación y el cambio 368 Estudiante 1: La variación es de dos a uno, porque va de dos en dos, quiere decir, la resta 369 entre puntos azules de la posición tres con la dos ejemplo, cinco menos tres son dos puntos 370

azules y uno la resta en la posición tres y la dos siempre que la posición sea continúa. 371

Profesor: ¿Qué quiere decir dos a uno? 372 Estudiante 1: Es de dos por la diferencia entre dos posiciones continuas en el número de 373

puntos azules y uno en la diferencia de número de posición. 374

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 375 vertical la cantidad de puntos azules que corresponde a cada figura. 376

Estudiante 1: Aquí abajo p significa posición y aquí se puede ver la gráfica cómo van 377 aumentando y qué forma una línea al unir los puntitos, fue fácil hacerla porque me guíe 378 con la tabla. 379

380 Profesor: La razón de cambio entre la posición tres y cuatro es. 381

Estudiante 1: Dos puntos azules. 382 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica? 383 Estudiante 1: Muestran el aumento continuo de puntos azules siempre que la posición sea 384 continua 385

Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 386 Estudiante 1: Se ve una variación continua de uno en uno, bueno, si la posición es de uno 387

en uno aumenta de dos en dos. 388

Estudiante 2 389 Profesor: Dibuja la figura que corresponde a la figura 4, 5 y 6. 390 Estudiante 2: Como se puede verse, cada posición va subiendo de dos en dos entonces es 391 fácil saber. 392

393

89

Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos puntos azules hay en la figura que se 394

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 395 Es fácil porque a la seis solo le sumas dos para saber la siete y a la siete le sumas dos para 396

saber la ocho y en la posición siete hay 13 y en la ocho hay quince. 397 Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en cada caso? 398 Estudiante 2: En la posición uno tres, la dos cinco, en la tres siete, en la cuatro nueve, en la 399 cinco once, en la seis trece, en la siete quince y en la ocho diecisiete. 400 Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en la figura que ocupa la posición 20? 401

Estudiante 2: En este caso sería treinta y nueve. 402 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 403 Estudiante 2: Diseñando una regla. 404 Profesor: ¿Qué regla? 405 Estudiante 2: Dos por el número de posición que quieras sacar menos uno. Es decir, 406

imagínate que pides calcular las figuras que están es la posición 30, debería, multiplicar 2 407 por treinta sesenta menos uno cincuenta y nueve. 408

Profesor: ¿Esa regla aplica para la posición cuatro? 409

Estudiante 2: Sí, dos por cuatro te da ocho menos uno te da siete que es la cantidad de 410 puntos que tenemos ahí. 411

412 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de puntos azules en una 413 figura si conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 414 Estudiante 2: La regla es dos por el número de posición que quieres sacar menos uno, 415

Profesor: ¿Cuál es el número de puntos azules que hay en la figura que se encuentra en la 416 posición n? 417

Estudiante 2: Imagínate que nos piden la figura treinta entonces debería aplicar la regla 418 dos por treinta igual a sesenta y eso me da cincuenta y nueve. 419 Profesor: ¿Esa regla aplica para la posición cuatro? 420 Estudiante 2: Sí, (2*4)-1=7 que es la cantidad de puntos que tenemos ahí. 421

Profesor: Calcula la variación y el cambio. 422 Estudiante 2: Bueno, la variación de posición va de uno en uno y la variación de número 423 de puntos va de dos en dos. 424

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 425 vertical la cantidad de puntos azules que corresponde a cada figura. 426 Estudiante 2: Al relacionarla posición y los puntos se puede ver la gráfica es una línea 427 recta. 428

90

429 Profesor: ¿Qué representa del uno al ocho? 430 Estudiante 2: El número de posiciones. 431 Profesor: ¿Y, del uno al quince? 432 Estudiante 2: El número de puntos azules. 433 Profesor: ¿Qué observas en la gráfica? 434

Estudiante 2: Que se forma una línea recta. 435

Profesor: Y, eso, ¿qué quiere decir? 436

Profesor: [El estudiante no sabe cómo formular su respuesta] 437 Profesor: ¿Qué quiere decir que forma una línea recta? [Al estudiante se le oriento para 438 poder entender la pregunta planteada] 439 Profesor: Fíjate, en la posición uno cuantos puntos azules hay 440

Estudiante 2: Uno 441 Profesor: En la posición dos cuantos puntos azules hay. 442

Estudiante 2: Tres en la posición tres hay cinco. 443 Profesor: Entonces, ¿Qué puedes observar con respecto a la posición? 444 Estudiante 2: Qué cada vez que aumenta el número de posición el número de puntos 445

aumenta. 446 Estudiante 2: ¿Cuánto aumenta en posición? De uno en uno y en cantidad de puntos de 447

dos en dos. 448 Profesor: Entonces, ¿qué puedes observar en la gráfica? 449

Estudiante 2: Que es una variación proporcional. 450 Profesor: La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es. 451 Estudiante 2: Bueno, la posición es de uno en uno y de puntos es de dos en dos. 452

Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación, el cambio y la gráfica? 453 Estudiante 2: Bueno, que todos van de dos en dos con base en los puntos y en la última 454

pregunta dice qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica y bueno como ya 455 expliqué que en la posición va de uno en uno y en os puntos van de dos en dos. 456

Estudiante 3 457 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4,5 y 6 458 Estudiante 3: Lo primero que hice fue ver la serie entre la posición uno, dos y tres. 459

460

Y me percaté que en cada posición va aumentando de dos en dos, por lo que en la posición 461

cuatro iban a ser siete en la cinco nueve y en la posición seis once. Va aumentando de 462

forma continua. 463

91

464

Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos puntos azules hay en la figura que se 465

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 466 Estudiante 3: Claro, que se puede saberse, porque cada posición va aumentando de dos en 467 dos. Lo que yo hice fue ir aumentándole dos entonces en la posición siete son trece puntos 468 azules y en la ocho quince puntos azules. Si la posición aumenta el número de puntos 469 también. 470

Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en cada caso? 471 Estudiante 3: Pues, en la posición uno hay un punto azul en la dos tres en la tres cinco en 472 la cuatro siete, en la cinco nueve en la seis once, en la siete trece y en la ocho son quince 473

para eso use una tablita, como se ve. Y lo representé fácil con una tabla de un lado arriba 474 posición abajo puntos. 475

476 Profesor: ¿Para qué sirve representar de esa manera la información? 477 Estudiante 3: Pues, simplemente para irme guiando y ver cuánto va ir aumentando y ver la 478

diferencia. 479 Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en la figura que ocupa la posición 20? 480 Estudiante 3: Treinta y nueve puntos azules. 481

Profesor: ¿Cómo obtuviste ese resultado? 482 Estudiante 3: Lo supe porque tuve que crear una regla por lo que multipliqué el número de 483

la posición por dos menos uno. 484

Profesor: ¿Por qué por dos? 485

Estudiante 3: Porque si lo multiplico por uno nos faltaría demasiado para alcanzar el 486 número de posición, no estaría aumentando de una forma correcta para la posición veinte. 487

Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de puntos azules en una 488 figura si conoces la posición de ésta. 489 Profesor: ¿Cuál es esa regla? 490

Estudiante 3: Pues es la que ya dije, multiplicar el número de la posición por dos menos 491 uno n (2) -1 492

Profesor: Y esa fórmula aplica para cualquier posición. 493 Estudiante 3: Solamente en este ejercicio. 494

Profesor: ¿La regla aplica para calcular el número de puntos azules en la posición número 495 seis? 496

Estudiante 3: Sí, sería la posición seis por dos que son doce menos uno da once. 497 Profesor: ¿Cuál es el número de puntos azules que hay en la figura que se encuentra en la 498 posición n? 499 Estudiante 3: La posición n es variable porque hay diferente tipos de posición, entonces es 500 n por dos menos uno. 501

Profesor: Calcula la variación y el cambio. 502 Estudiante 3: Entre cada posición va aumentando de dos en dos. 503 Profesor: ¿Qué va aumentando de dos en dos la posición o los puntos azules? 504 Estudiante 3: Los puntos azules. 505

92

Estudiante 3: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en 506

el eje vertical la cantidad de puntos azules que corresponde a cada figura. 507 Estudiante 3: Entonces, para esto me guíe en la tablita anterior donde la posición es el 508

número uno y vi que había un punto azul en la posición dos fueron tres en la tres ahora 509 cinco en la posición cuatro habrá siete, en la posición cinco nueve en la posición seis once 510 y así sucesivamente y la gráfica permite observar que van de dos en dos en los puntos que 511 hay y en la posición igual pero de uno en uno. 512

513 Profesor: La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es. 514 Estudiante 3: De dos en el número de puntos azules y uno en la posición, es decir 2/1 515 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación el cambio y la gráfica? 516

Estudiante 3: Pues simplemente, te demuestra que el cambio es de dos en los puntitos y de 517 uno en la posición, la variación si el número de puntos de una posición a otra es dos y 518

también lo vemos en la gráfica primera posición un puntito segunda tres su cambio es de 519 dos. 520

Profesor: ¿Cómo sabes cómo es la variación? 521 Estudiante 3: Hay un cierto número que lo distingue que en la posición uno hay uno y en 522

la segunda posición habrá dos puntos más porque hay tres puntos en la posición dos. 523 Profesor: ¿Cuándo hablas de variación que relacionas? 524 Estudiante 3: La diferencia que hay entre cada posición, bueno en los puntos que hay en 525

cada posición. 526 Profesor: ¿Qué relación hay entre la tasa de variación y la gráfica? 527

Estudiante 3: Pues, que en cada posición aumenté de uno en uno y en los puntos azules 528 aumente de dos en dos entonces en la posición uno habrá un punto y en la dos tres puntos. 529

Estudiante 4 530 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6. 531 Estudiante 4: Primero observe las figuras detenidamente y me fijé que el número de 532

posición indicaba el número de puntitos azules que existía en la parte de abajo de cada una 533 de las figuras y en la parte de arriba iba a ver un puntito menos. En la primera posición 534

había un puntito en la segunda posición dos puntitos azules abajo y uno arriba y así me 535 pude dar cuenta cuantos puntitos le correspondían a cada posición. 536 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos puntos azules hay en la figura que se 537 encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 538

93

Estudiante 4: Bueno, ya que vi más o menos como era obviamente tenía que sumar seis 539

más siete y me iba a dar trece y ocho más siete que me iba a dar quince, entonces en el 540 siete había trece y en la ocho quince. 541

Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en cada caso? 542 Estudiante 4: Pues en la primera posición un punto azul, en la dos son tres en el tres son 543 cinco en el cuatro siete en la cinco nueve en la seis once en la siete trece y en la ocho 544 quince y así sucesivamente. 545 Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en la figura que ocupa la posición 20? 546

Estudiante 4: Treinta y nueve. 547 Estudiante 4: Sí, son treinta y nueve. 548 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 549 Estudiante 4: Veinte más diecinueve y me da treinta y nueve y para cerciorarme hice esto 550 u es igual a uno que sería nuestro primer término más veinte que es la posición menos uno 551

por dos, entonces u es igual a uno más diecinueve por dos igual a uno más treinta y ocho 552 que es igual a treinta y nueve, sólo lo utilice para comprobar, esa fórmula me permite 553

calcular la cantidad de puntos azules. 554

Profesor: ¿Cómo obtuviste el resultado? 555 Estudiante 4: Dándome cuenta que siempre abajo iba a ver la posición y arriba menos uno. 556 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de puntos azules en una 557

figura si conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 558 Estudiante 4: Sí, mientras conozcas n podrás multiplicarlo por dos y restarle uno. 559

Profesor: ¿Cuál es el número de puntos azules que se encuentran en la posición n? 560 Estudiante 4: Aquí le puse el punto es igual a n por dos menos uno. 561 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 562

Estudiante 4: Es dos sobre uno el dos significa cuánto va aumentando ente los puntos y el 563

uno entre la posición. Los puntos van de dos en dos y solo aumentaría de uno en uno. 564 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de puntos azules en una 565 figura si conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 566

Estudiante 4: Pues, lo hice hasta seis que es la posición y los puntos en el uno había uno, 567 en el dos había tres en el tres cinco, en el cuatro siete, en el cinco nueve, en el seis once en 568

el siete trece y en el ocho quince. 569 Estudiante 4: La gráfica permite observar cuánto va aumentando en la posición y también 570

te señala la variación. 571 Profesor: La razón de cambio entre la posición tres y cuatro es. 572 Estudiante 4: Aumenta dos puntos azules y la variación seria dos sobre uno es que 573 aumenta dos en una sola posición. 574 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación, el cambio y la gráfica? 575

Estudiante 4: Que la posición siempre aumentará uno en cada caso y los puntos siempre 576 dos, el cambio se observa en la posición por ejemplo de cuatro cambia a cinco y los puntos 577

también y en la gráfica la posición cambia de uno a dos y en la posición de uno a tres. 578 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 579 Estudiante 4: Nos muestra que siempre van aumentar dos puntos mientras la posición 580 aumente uno. 581

Estudiante 5 582 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6. 583

94

Estudiante 5: Lo primero que hice fue observar la posición uno donde solo hay un puntito 584

en la posición dos hay dos puntitos y uno arriba y en la tercera posición tres abajo y dos 585 arriba, entonces lo que yo hice fue dibujar en la posición cuatro puntitos abajo y tres arriba 586

en la posición cinco 5 puntos abajo y cuatro arriba y así sucesivamente. 587 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos puntos azules hay en la figura que se 588 encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 589 Estudiante 5: Para saber esto sumé dos más una y me dio tres más dos me dio cinco 590 entonces yo agregué siete más seis y me dio trece y añadí ocho más siete y medio quince. 591

Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en cada caso? 592 Estudiante 5: Pues, hice una tablita que me permite hacer referencia de cuanto aumenta la 593 posición y el número de puntos. 594 Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en la figura que ocupa la posición veinte? 595 Estudiante 5: Usando la regla que había dicho antes, 20+19=39. 596

Profesor: Existe alguna regla que me permita conocer en número de puntos azules en la 597 figura si conozco la posición de ésta ¿cuál es esa regla? 598

Estudiante 5: Sí, hay una regla, sería el número de posición más el número de la posición 599

anterior. 600 Profesor: ¿Cuál es el número de puntos azules que se encuentran en la posición n? 601 Estudiante 5: Pues, yo diría que puede haber cualquier número de puntos porque la 602

posición n se refiere a cualquiera, la regla sería número de posición más el número de la 603 posición anterior. 604

Profesor: Calcula la variación y el cambio 605 Estudiante 5: El cambio en los puntos es de dos en dos y en los puntos de uno en uno y la 606 variación es de dos. 607


vertical la cantidad de puntos azules que corresponde a cada figura. 609 Estudiante 5: Se observa en la gráfica cómo van aumentando en la posición de uno en uno 610 y acá va de dos en dos. 611

Profesor: ¿Cuál es la razón de cambio entre la posición tres y cuatro? 612 Estudiante 5: Pues, yo puse que es de uno, porque cuatro menos tres es uno en la posición. 613

Profesor: ¿Cuál es lo común entre gráfica, el cambio y la variación? 614 Estudiante 5: Demuestra el aumento entre la posición y los puntos. 615

Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 616

Estudiante 5: En la gráfica te muestra lo que va aumentando en puntos y en posición. 617

Estudiante 6 618

Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4,5 y 6. 619

Estudiante 6: Bueno, yo me fijé en la posición uno, dos y tres. 620

621 Observé que en la posición uno había un puntito en la dos tres puntitos y relacioné que de 622 uno a tres la diferencia era de dos puntitos y lo toma de la posición dos a la tres y vi lo 623 mismo porque en la posición dos hay tres y en la posición tres hay cinco, entonces en la 624

95

posición cuatro hay siete puntitos en la posición cinco hay nueve y en la seis hay once. Va 625

aumentando dos puntitos de forma continua sin saltar posiciones. 626

627 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos puntos azules hay en la figura que se 628

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 629

Estudiante 6: En la posición siete trece y en la ocho quince. Se me complicó y realicé el 630

dibujo. 631

632

Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en cada caso? 633

Estudiante 6: Para eso realicé una tablita porque fue una forma de poder saber. 634

Profesor: ¿Cuántos puntitos que correspondía a cada posición? 635

Estudiante 6: Como se puede verse, en la primera columna puse la posición y en la otra el 636 total de puntitos en la posición uno había uno en la dos tres en la tres cinco en la cuatro 637

siete en la cinco nueve en la seis once en la siete trece y en la ocho quince. 638

639

Profesor: ¿Cuántos puntos azules hay en la figura que ocupa la posición 20? 640 Estudiante 6: Treinta y nueve. 641 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 642 Estudiante 6: Lleva mucho tiempo hacer puntitos, entonces, hice una pequeña fórmula que 643

es el número de la posición que queremos saber por dos que es la diferencia del total que 644 hay en cada posición menos uno, y al usarla es veinte por dos es cuarenta menos uno 645 treinta y nueve obtuve este resultado utilizando una pequeña fórmula que es n por la 646 diferencia menos uno. 647

96

Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de puntos azules en una 648

figura si conoces la posición de ésta. 649 Profesor: ¿Cuál es esa regla? 650

Estudiante 6: Puede variar porque n puede ser cualquier posición y podemos resolverlo 651 utilizando una fórmula, es la que ya mencioné. 652

653 Profesor: ¿Cuál es el número de puntos azules que hay en la figura que se encuentra en la 654 posición n? 655 Estudiante 6: Si existe, y es (nx2) -1 656 Profesor: Calcula la variación y el cambio 657 Estudiante 6: El cambio es dos en el número de puntitos y uno en la posición y la 658

variación es dos a uno porque en cada posición va aumentando dos puntitos, cada posición 659 va de uno. 660

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 661 vertical la cantidad de puntos azules que corresponde a cada figura. 662

Estudiante 6: Bueno, en la tablita que en la posición uno había un punto azul en la dos 663 había tres, en la tres había cinco, en la cuatro había siete en la posición cinco había nueve 664 en la seis había once en la posición siete había trece y en la ocho quince. La tablita me 665

facilitó hacer la gráfica lineal. 666

667 Profesor: La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es. 668

Estudiante 6: Yo le puse que es de dos, porque por cada posición aumenta dos puntitos y 669 uno la posición, en la cuatro son 7-5=2 y la posición 4-3=1 la razón es 2/1, me ayudó la 670

gráfica. 671 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica? 672

Estudiante 6: Indican lo que va aumentando. 673 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 674

Estudiante 6: Ambas relacionan que hay entre la posición y la cantidad de puntos que 675

tienen en total. 676

97

Tercera tarea: Casitas de 677

palitos678

679

Estudiante 1 680 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4,5 y 6. 681 Estudiante 1: Me di cuenta que cada casita por así decirlo iba aumentando de cinco palitos 682

la posición, entonces, eso fue lo primero que hice, los fui sumando, en la posición cuatro 683

tenia veintiún palitos en la cinco veintiséis y en la seis treinta y uno. 684

685

Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos palitos hay en la figura que se 686

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 687 Estudiante 1: Pues, a lo que tenía primero le sumé cinco para saber la posición siete y fue 688

treinta y seis y a eso le agregué cinco para saber la posición ocho que eran cuarenta y un 689 palitos. 690

Profesor: ¿Cuántos palitos hay en cada caso? 691 Estudiante 1: A la posición uno le corresponden seis palitos a la dos once, a la tres 692

dieciséis, a la cuatro veintiuno, a la cinco veintiséis a la seis treinta y uno, a la siete treinta y 693 seis y a la ocho cuarenta y uno. Entonces, ahí fue cuando me di cuenta que era n o sea el 694 número de posición por cinco más uno. 695

Profesor: ¿Cuántos hay en la posición veinte? 696 Estudiante 1: Entonces, yo usé una fórmula veinte por cinco más uno y supe que había 697

ciento un palitos. Obtuve mi resultado usando mi fórmula y entonces el número de la 698 posición era veinte por cinco y le sumé uno. 699 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de palitos si conoces la 700 posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 701

Estudiante 1: Pues sí, porque como ya había explicado en esta fórmula n es la posición 702

entonces simplemente multiplicas la posición por cinco más uno y la fórmula sería esta 703

(n*5)+1 704 Profesor: ¿Cuál es el número de palitos que se encuentra en la posición n? 705 Estudiante 1: Entonces, si querías saber simplemente multiplicas tu posición por cinco y 706 le sumas uno n*5+1 707 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 708

Estudiante 1: El cambio es de uno en uno porque va posición uno, dos y tres y la cambio 709 es de cinco en cinco porque por cada posición continúa de uno en uno aumenta cinco 710 palitos. 711

98


vertical la cantidad de puntos azules que corresponde a cada figura. 713

Estudiante 1: Bueno, aquí puse en el eje de las x el número de posición uno, dos y tres y 714 de este lado el número de palitos que tiene cada una, las fui relacionando y guiando en las 715

figuras anteriores, observé que al ir colocando los puntitos se iba formando una línea recta. 716

717

Profesor: La razón de cambio entre la posición tres y cuatro es. 718

Estudiante 1: De uno en uno y de cinco en cinco, pues la posición tres su número de 719 posición es tres y tiene dieciséis palitos y la cuatro tiene veinte un palitos. 720 La razón en la posición tres, es 3/16 y en la cuatro de 4/21. Entonces, entre la tres y la 721

cuatro pasa esto (21-16)/(4-3)=5/1=5. 722 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación, el cambio y la gráfica? 723

Estudiante 1: Pues, todos demuestran el cambio en posición siempre y cuando sea 724 contínuo de uno en uno aumenta de cinco en cinco. 725 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 726

Estudiante 1: Pues, que muestran el aumento entre posiciones continuas es decir, de cinco 727 en cinco. 728

Profesor: ¿Tanto la variación como la gráfica? 729 Estudiante 1: Sí 730

Estudiante 2 731 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6. 732 Estudiante 2: Puede notarse cómo va subiendo de cinco palitos en cinco palitos, solo a la 733

posición tres le aumentas cinco, es la manera en que se van aumentando y así 734 consecutivamente. [El estudiante muestra mediante sus dibujos cómo es que va 735

incrementando en número de palitos dependiendo de la posición] 736

737 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos palitos hay en la figura que se 738 encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 739 Estudiante 2: Pues sí, es fácil. 740

Profesor: ¿Cuántos palitos hay en cada caso? 741 Estudiante 2: Entonces, a la posición seis le aumentas cinco te da treinta y séis ya que éste 742

tiene treinta y uno y después a la posición siete que son treinta seis palitos le aumentas 743 cinco que son cuarenta y uno para la octava posición. [El estudiante se basa en el número 744 de palitos que se encuentran en la posición 6, como se muestra a continuación] 745

99

746 Profesor: ¿Cuántos palitos hay en la figura que ocupa la posición 20? 747 Estudiante 2: La respuesta es ciento uno. 748 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 749 Estudiante 2: Bueno, con una regla. 750 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de palitos en una figura si 751

conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 752 Estudiante 2: Número de posición por cinco más uno que es igual al resultado. 753

Profesor: ¿Cuál es el número de palitos que hay en la figura que se encuentra en la 754 posición n? 755 Estudiante 2: Entonces, si queremos saber la posición mil haríamos esta operación, mil por 756 cinco sería cinco mil más uno cinco mil uno. Entonces, la respuesta sería que en la posición 757

veinte hay cinco mil y un palitos. [El estudiante muestra la siguiente expresión, que le 758 permite obtener el número de palitos que se encuentra en la posición mil, en este caso se 759

apoyó en casos particulares] 1000(5)=5000+1=5001 760 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 761 Estudiante 2: La variación y el cambio entre posiciones es de uno en uno y entre número 762

de palitos es de cinco en cinco. 763 Profesor: ¿Cuál es la diferencia entre variación y cambio? [El estudiante tuvo dificultad 764

para contestar la pregunta, se le realizaron preguntas particulares para que comprendiera lo 765

que se le preguntaba] 766

Profesor: ¿Cómo veo el cambio en la gráfica? 767 Estudiante 2: Por ejemplo en posición veo el cambio que va aumentando de uno en uno y 768 el número de palitos va subiendo de cinco en cinco y ahora. 769

Profesor: ¿Eso sería el cambio? 770 Estudiante 2: Sí ahora y la variación sería como va variando. 771

Profesor: Pero, ¿Cómo observó la variación? 772 Estudiante 2: Es decir primero empieza con seis después va con once, después con 773 dieciséis. Y cuando hablamos de variación relacionas las figuras y los palitos que van 774

aumentando, si sube la posición, sube la cantidad de palitos. 775 Profesor: Entonces, ¿para la variación qué relacionas? 776 Estudiante 2: La posición y el número de palitos. 777


vertical la cantidad de palitos que corresponde a cada figura. [El estudiante 2, muestra en la 779 primera imagen que coloca a la posición en el eje de las x, en la segunda muestra la 780 ubicación del número de palitos en el eje de las y. 781

782

100

Profesor: La razón de cambio para la posición tres y cuatro es. 783

Estudiante 2: En la posición de uno en uno y en el número de palitos de cinco en cinco. 784 Profesor: Por ejemplo en la posición cuatro cual es la razón. 785

Estudiante 2: Cinco. 786 Profesor: ¿Por qué? 787 Estudiante 2: Porque va aumentando de cinco en cinco. 788 Profesor: ¿Qué es la razón? 789 Estudiante 2: Como va aumentando entre posición y número de palitos. Pero, la 790

comparación de la posición y el número de palitos. 791 Profesor: ¿Cuál es la razón en la posición tres y cuatro? 792 Estudiante 2: EL cambio en el número de palitos dieciséis y en la posición cuatro número 793 de palitos que es veinte uno. 794 Profesor: Si la razón es una comparación ¿cómo la puedo expresarla? 795

Estudiante 2: Tres sobre dieciséis y cuatro sobre veintiuno. [El estudiante expresa por 796 separado la razón, para él, la razón para la posición tres es 3/16 y para la posición cuatro es 797

4/21] 798

Profesor: ¿Por qué representas así a la razón? 799 Estudiante: Porque así es la manera de representar a una razón. 800 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y el cambio? 801

Estudiante 2: Bueno, es casi lo mismo va aumentando de uno en uno en posición y el 802 número de palitos de cinco en cinco. 803

Profesor: ¿Cuál es la variación? 804 Estudiante 2: Pones once menos seis sobre dos menos uno y que te da igual a cinco. [El 805 estudiante plasma en su hoja de resultados la siguiente expresión V=(11-6)/(2-1)=5/7] 806

Profesor: La expresión que acabas de explicar, ¿cómo se observa en la gráfica? 807

Estudiante 2: Que en la posición 2 son once palitos y la posición uno tiene seis palitos, 808 entonces al restar once menos seis te da cinco y dos menos uno te da uno. [El estudiante 809 explica cómo es que observa esa relación de lo que expresa como tasa de cambio con 810

relación a la gráfica] 811

812 Estudiante 2: La tasa de cambio es lo mismo que observo en la gráfica. 813

Estudiante 3 814 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6. 815 Estudiante 3: Primero tuve que ver las posiciones anteriores la uno, dos y la tres en las que 816

pude apreciar que había seis palitos que conformaban una casita, en la dos que había once 817 palitos y en tres que había dieciséis, entonces, pude realizar las siguientes posiciones 818 dependiendo de cuál era su cambio y variación porque en cada casita iba aumentando cinco 819 palitos, entonces si dice que en la posición tres hay dieciséis palitos en la cuatro debería 820 haber cinco palitos más es decir, veintiún palitos en la posición cinco habría veintiséis en la 821 posición seis treinta y uno. Si aumentaba la posición el número de palitos aumentaba cinco. 822

101

[El estudiante observa la siguiente imagen para buscar una estrategia que le permita 823

encontrar la posición 5, 6 y 7] 824

825 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos palitos hay en la figura que se 826

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 827 Estudiante 3: Claro que se puede saber, en la siete habría treinta y seis palitos, en la ocho 828 cuarenta y un palitos. 829 Profesor: ¿Cuántos palitos hay en cada caso? 830 Estudiante 3: En la posición uno hay seis, en la dos once, en la tres dieciséis, en la cuatro 831

veinte uno, en la cinco veinte seis, en la seis treinta y uno, en la siete treinta y seis, en la 832

ocho cuarenta y uno. Hacerlo con una tablita fue más fácil. [Se muestra la tabla en donde el 833 estudiante relaciono el número de posición con el número de palitos] 834

835 Profesor: ¿Cuántos palitos hay en la figura que ocupa la posición 20? 836

Estudiante 3: Me dieron 101 palitos. [El estudiante obtuvo el resultado con esta operación 837

5(20)+1=101] 838 Profesor: ¿Cómo obtuviste ese resultado? 839

Estudiante 3: Porque multipliqué cinco por el número de la posición más uno y me dio ese 840

resultado. 841 Profesor: Existe alguna regla que permita conocer el número de palitos en una figura si 842 conoces la posición de ésta ¿cuál es esa regla? 843

Estudiante 3: Cinco palitos que son los que se agregan a cada posición y uno que es el 844 palito que falta, por eso es n*5+1. 845

Profesor: ¿Cuál es el número de palitos que hay en la figura que se encuentra en la 846 posición n? 847 Estudiante 3: Pues, esa dependerá porque n será la posición puede variar, pero es n*5+1. 848

Profesor: Calcula la variación y el cambio. 849 Estudiante 3: Para los palitos su cambio es de cinco en cinco ya que es la diferencia entre 850 cada posición y el cambio en posición es de uno en uno, su variación es cinco en posición. 851

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal en número de la figura en el 852

eje vertical la cantidad de palitos que corresponde a cada figura. 853

Estudiante 3: Entonces, aquí está la posición y aquí está el número de palitos que se van 854 añadiendo me guié en la tablita que hice en la pregunta tres. 855

102

856 Profesor: ¿Qué indica esa gráfica? 857 Estudiante 3: Cuánto va aumentando entre cada posición entre seis y once hay cinco 858 palitos que es la diferencia para poder saber cuántos hay. 859 Profesor: ¿Cuál es la finalidad de la gráfica? 860 Estudiante 3: Colocarle al número de posición la cantidad de palitos, relacionar los palitos 861

con la posición y no te confundes, es decir la posición uno seis palitos, la dos once palitos 862

son dos sobre once y además se ve una línea. 863

La diferencia entre posición uno y dos es uno entre los números de palitos son cinco. 864 Profesor: La razón de cambio entre la posición tres y cuatro es. 865 Estudiante 3: Es de cinco palitos entre cada posición porque en las casitas, si en la 866 posición uno hay seis palitos en la dos hay once en la tres dieciséis entonces, si vamos por 867

los palitos la diferencia entre cada número de palitos son cinco y cinco. 868 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación, el cambio y la gráfica? 869

Estudiante 3: En el cambio por cada posición se aumenta el número de palitos y eso pasa 870 también en la gráfica. En las tres se ve el cambio en palitos y posición. 871 Estudiante 3: Por ejemplo, en la posición tres hay dieciséis palitos y en la cuatro veintiún 872

palitos entonces su cambio es de uno en uno y de cinco en cinco en el número de palitos. 873 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 874

Estudiante 3: Un cambio continúo en cada posición al ir agregando cinco palitos y la 875 variación es de cinco porque entre cada posición continua el número de palitos que se 876

aumenta es cinco. Esto se ve en la gráfica. 877

Estudiante 4 878 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4,5 y 6 879 Estudiante 4: Bueno, aquí se muestra la posición del uno al seis. 880

881 Profesor: Sin hacer el dibujo puedes saber ¿cuántos palitos corresponden a la figura siete 882

cinco y ocho? 883 Estudiante 4: Si, treinta y seis y cuarenta y uno, descubrí que tomando una posición 884 anterior siempre se le van a sumar cinco palitos. 885 Profesor: ¿Cuántos palitos hay en cada caso? 886 Estudiante 4: En el uno hay seis, en el dos once, en el tres dieciséis, en el cuatro veintiuno, 887

en la cinco veintiséis, en el seis treinta y uno, en el siete treinta y seis y en el ocho cuarenta 888

103

y uno. [En la siguiente imagen se muestra cómo es que relacionó el número de posición con 889

la cantidad de palitos] 890

891 Profesor: ¿Cuántos palitos hay en la figura que ocupa la posición 20? 892 Estudiante 4: Bueno, yo puse que fueron ciento un palitos. 893 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 894 Estudiante 4: Lo descubrí con una regla. 895 Estudiante 4: Existe alguna regla que te permita conocer el número de palitos en una 896

figura si conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 897 Estudiante 4: La posición que es veinte por cinco es cien más uno ciento uno, escinco 898 porque es el número de palitos que se agrega y se le suma uno porque yo vi que siempre te 899

iba a faltar un palito por eso se le tenía que sumar uno. [La expresión que escribió para 900 calcular el número de palitos que se encontraban en la posición 20 fue posición(5)+1] 901 Profesor: ¿Por qué colocas cinco y uno en tu expresión? 902

Estudiante 4: Yo vi que te iba a faltar un palito en cada caso, entonces se lo tenías que 903 agregar en cada caso. [El estudiante explicó guiándose en sus dibujos. La razón de por qué 904

lo multiplica por uno y le suma uno] 905

906 Profesor: ¿Cuál es el número de palitos que hay en la figura que se encuentra en la 907

posición n? 908

Estudiante 4: Es n por cinco más uno. [El estudiante escribe la siguiente expresión para 909 encontrar en número de palitos n*5+1] 910

Profesor: Calcula la variación y el cambio. 911 Estudiante 4: Es cinco sobre uno, siempre va aumentar cinco cada vez que aumentes una 912 posición lo descubrí con la posición dos y uno que en este caso es 11 menos seis palitos da 913 cinco palitos y dos menos uno una posición. 914

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 915 vertical la cantidad de palitos que corresponde a cada figura. 916 Estudiante 4: Se observa que siempre se aumenta cinco en cada caso. 917


104

Estudiante 4: Se agrega cinco palitos y uno en la posición [El estudiante expresa la razón 920

de la siguiente manera 5/1] 921 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación el cambio y la gráfica? 922

Estudiante 4: Mientras que la posición cambie de uno en uno siempre se le va ir agregando 923 cinco palitos. El cambio es uno en la posición y cinco en el número de palitos. 924 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 925 Estudiante 4: La posición siempre aumenta uno y 5 en número de palitos. 926

Estudiante 5 927 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4,5 y 6. 928 Estudiante 5: Y bueno, lo primero que yo hice fue observar que en la posición uno había 929 una casita en la posición dos, había dos casitas en la tres había tres casitas. 930

931 Entonces empecé a poner en la cuatro 4 casitas en la posición 5 cinco casitas y en las seis 6 932 casitas, y luego me di cuenta que conforme iba aumentando una casita le borraban un lado 933

entonces se lo tuve que borrar. [La estudiante dibuja el número de estrellas que le 934 corresponde a cada posición, se muestra a continuación] 935


encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 938

Estudiante 5: Lo que hice fue multiplicar siete por seis menos uno, para la posición siete, 939 para la posición ocho, seis por ocho menos uno pero también hay otra manera que sería 940

multiplicando por cinco más uno. 941 Profesor: ¿Cuántos palitos hay en cada caso? 942 Estudiante 5: Hice una tablita poniendo posición y palitos. [En las siguientes imágenes se 943

muestra cómo fue que el estudiante construyo su tabla para relacionar la posición y el 944 número de palitos] 945

105

946


Estudiante 5: Ciento uno 949 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 950

Estudiante 5: Lo podemos hacer de dos maneras, multiplicando cinco por veinte, pues me 951 da cien más una ciento uno o multiplicando veinte por seis que me daría ciento veinte 952 menos diecinueve que me daría ciento uno. 953

Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de palitos en una figura si 954 conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 955

Estudiante 5: Si el número de posición por seis menos el número de posición anterior. 956 Profesor: ¿Cuál es el número de palitos que hay en la figura que se encuentra en la 957

posición n? 958 Estudiante 5: Para mí la posición n, es n es diez, entonces sería diez por cinco cincuenta 959 daría cincuenta y uno no treinta y uno. 960

Profesor: Calculemos la variación y el cambio, pues la variación es cinco porque va 961 aumentando de cinco en cinco y el cambio es de uno porque va aumentando de posición de 962

uno en uno. 963 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 964 Estudiante 5: Pues para mí la variación es el número de palitos que va aumentando 965

conforme la posición. Para sacar la variación resté once menos seis m dio cinco y para el 966 cambio reste dos menos uno y medio uno. 967

Profesor: Elabore una gráfica colocando en el eje de las x el número de figura y en el eje 968 vertical la cantidad de palitos que corresponde a cada figura. 969

Estudiante 5: En la gráfica también se demuestra la variación y el cambio porque el 970 cambio va de uno en uno y la variación de cinco en cinco como se puede verse. [En la 971 siguiente imagen se muestra cómo es que realiza su gráfica] 972

106


Estudiante 5: Cinco enteros, yo haría cuatro menos tres y me dará uno y luego lo que sería 975 correspondiente a la posición cuatro que son veintiuno palitos y la posición tres dieciséis 976 palitos y me da cinco, entonces la razón de cambio en la posición tres y cuatro es de cinco y 977 de uno. 978

Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación, el cambio y la gráfica. [El estudiante 979 analiza antes de responder y se le apoya con la siguiente pregunta] 980

Profesor: ¿Cómo observas el cambio en la gráfica? 981 Estudiante 5: Lo veo en el número de posición. 982

Profesor: ¿De cuánto es en cambio? De uno en uno en la posición y en el número de 983 palitos lo veo de cinco en cinco. 984 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y el cambio? 985

Estudiante 5: La manera en que se va aumentando quien el cambio según la posición. 986

Estudiante 6 987 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6. 988 Estudiante 6: Bueno, para poder hacerlo me tuve que ir fijando por las anteriores 989 posiciones en este caso en la posición uno conté que en total hay seis palitos, en la posición 990

dos once palitos, en la posición tres dieciséis palitos. 991

992 Entonces, me di cuenta que el cambio para el número de palitos va de cinco en cinco 993 entonces a dieciséis le suma cinco y se convierte a veintiuno en la veintiuno le sume cinco 994 y me da de resultado veintiséis palitos y en la posición seis me da treinta y un palitos. 995


encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 998 Estudiante 6: Sí, lo que hice fue a la posición seis le sume cinco que es la diferencia 999 entonces, eso me da un total de treinta y seis y en la posición ocho me da el resultado de 1000 cuarenta y uno palitos. La posición aumenta continuamente el número de palitos, por lo 1001

tanto aumenta cinco. 1002 Profesor: ¿Cuántos palitos hay en cada caso? 1003 Estudiante 6: Yo para esto hice una pequeña tabla es el número de palitos con el total que 1004 hay en cada casita. En la posición uno puse que son seis, en la dos once, en la tres dieciséis, 1005

107

en la cuatro veintiuno, en la cinco veinte seis, en la seis treinta y uno en la siete treinta y 1006

seis y en la ocho cuarenta y uno palitos. En la tablita se ve la posición y el número de 1007 palitos que le tocan. 1008


Estudiante 6: Para no ir contando de cinco en cinco fue hacer una fórmula que es número 1011 por cinco más uno, esto a que se refiere n sería veinte que es la posición que queremos 1012

saber por cinco que es el cambio que hay en cada posición y eso me da cien más uno que se 1013

convierte en ciento uno. [El estudiante utiliza la siguiente fórmula que le permite calcular 1014 cualquier término n(5)+1] 1015 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 1016

Estudiante 6: Porque utilicé una pequeña fórmula la anterior que mencioné, es una regla 1017 sencilla donde n es posición por cinco más uno que es el palito se debe agregar. 1018

n(5)+1 1019 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de palitos en una figura si 1020 conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 1021

Estudiante 6: Sí, la que ya dije que es n(5)+1 1022

Estudiante 6: Utilizando la tablita anterior me guié para realizar la gráfica donde se 1023

observa el número de palitos que le corresponde a cada posición como se puede verse. 1024

1025 Profesor: ¿Cuál es número de palitos que hay en la figura que se encuentra en la posición 1026

n? 1027 Estudiante 6: Puede variar porque puede ser cualquier número (n*5+1) 1028 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 1029 Estudiante 6: Bueno, el cambio en posición va aumentando de uno en uno en cada 1030

conjunto de palitos que exista y el cambio en palitos sería de cinco en cinco. Entonces, la 1031 variación es la relación de palitos y posición es de cinco por cada posición. 1032 Profesor: ¿Existe cambio en la posición? 1033

108

Estudiante 6: Sí, porque en cada uno aumenta uno y en el número de palitos hay cambio 1034

que va de cinco en cinco. 1035 Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje vertical el número de figura y en el eje 1036

vertical el número de palitos que corresponde a cada figura. 1037 Estudiante 6: Entonces, lo que hice en el eje horizontal fue poner el número de figura y en 1038 el eje vertical puse el total de cada casita en la uno hay 6 en la dos 11 en la tres dieciséis en 1039 la ocho cuarenta y uno. 1040 Profesor: ¿Cuál es la razón de cambio entre la posición tres y cuatro? 1041

Estudiante 6: Cinco 1042 Estudiante 6: Las tres indican cómo aumentan cinco palitos las posiciones siempre y 1043 cuando estén seguidas. 1044 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación, el cambio y la gráfica? 1045 Estudiante 6: Que los tres te muestran el aumento de palitos en cada posición continua se 1046

ve igualmente en la gráfica. 1047 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 1048

Estudiante 6: Que fue aumentando cinco palitos en cada posición. 1049

Cuarta tarea: Cuadrados con cerillos 1050

1051 Estudiante 1 1052

Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4,5 y 6. 1053 Estudiante 1: Entonces, lo primero que yo hice fue observar a estas tres figuras. 1054

1055 Y vi que en cada posición continua iban subiendo de tres en tres cerillos. Entonces, en la 1056 posición 4, serían trece porque en la posición tres hay 10 y en la 4 trece, en la cinco 16 y en 1057 la seis 19. 1058

1059 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos cerillos hay en la figura que se 1060

encuentra en la posición 7? ¿ y en la 8? 1061 Estudiante 1: Sí, en la posición siete habría 21 cerillos y en la ocho 25 cerillos. 1062 Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en cada caso? 1063

109

Estudiante 1: Pues, para eso yo hice una tabla, puse el número de la posición que varía y el 1064

número de cerillos que había y me di cuenta de que en cada posición continua iba subiendo 1065 tres cerillos cada posición. Y así las pude relacionarlas. 1066

1067 Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en la figura que ocupa la posición 20? 1068

Estudiante 1: Sesenta y uno. 1069 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 1070 Estudiante 1: El número de posición por tres más uno, entonces 20 por tres, sesenta más 1071 uno 61. 1072 Ahí, puse n que sería cualquier posición por tres más uno y eso sirve para muchos casos si 1073

tuviéramos un número muy grande pondríamos el número de posición por tres más 1. 1074 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de cerillos en una figura si 1075

conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 1076 Estudiante 1: Sería (posición *3)+1. 1077

Profesor: ¿Cuál es el número de cerillos que hay en la figura que se encuentra en la 1078 posición n? 1079

Estudiante 1: Pues, para eso solo aplicamos posición por tres más uno así, (n*3)+1 y ahí 1080 podríamos poner cualquier número que queramos. 1081 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 1082

Estudiante 1: Pues, en cada posición seguida de uno en uno hay tres cerillos de diferencia 1083 la variación seria tres entre uno. 1084

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 1085 vertical la cantidad de cerillos que corresponde a cada figura. 1086

Estudiante 1: Yo hice una gráfica de barras para ver cómo iba su variación guiándome con 1087 la tablita anterior. 1088

1089 Profesor: La razón de cambio entre la posición tres y cuatro es. 1090 Estudiante: De tres cerillos entre cada posición seguida de uno en uno es decir que no se 1091 salte. 1092

Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica? 1093

Estudiante 1: La variación y la gráfica muestran cómo aumentan los cerillos en cada 1094 posición continua y el cambio indica los cerillos que corresponden a cada posición. 1095 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 1096

Estudiante 1: En la gráfica se ve el aumento de tres cerillos. 1097

Estudiante 2 1098 Profesor: Dibuja la figura que corresponde a la figura 4, 5 y 6. 1099

110

Estudiante 2: Entonces, porque aquí vas viendo que va de tres en tres, entonces en la 1100

posición cuatro son trece cerillos en la posición 5 son 16 en la posición 6 son 19. [El 1101 estudiante muestra cuántos cerillos le corresponde a cada posición] 1102

1103 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos cerillos hay en la figura que se 1104 encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 1105 Estudiante 2: Pues, es fácil porque a la 6 le aumentas 3 cerillos para que te de la 7 y a la 7 1106 le aumentas 3 para que te de la 8 y entonces sabes que en la 7 son 22 y en la 8 son 25. 1107

Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en la figura que ocupa la posición 20? 1108

Estudiante 2: Para esto puedes hacer como una fórmula tres por número de posición más 1109 uno veinte por tres es 60 más uno es 61. 1110

Profesor: ¿Cuál es la regla? 1111

Estudiante2: Como ya lo dije es tres por número de posición más 1. 1112 Profesor: ¿Cuál es el número de cerillos que hay en la figura que se encuentra en la 1113 posición n? 1114

Estudiante 2: Imaginemos que tienes la posición mil multiplicamos tres por mil me da tres 1115 mil más uno es decir que hay tres mil uno en la posición mil. 1116

Profesor: Calcula la variación y el cambio. 1117 Estudiante 2: La variación y el cambio va de tres en tres. 1118 Profesor: ¿Cómo es eso? 1119

Estudiante 2: De la posición 5 a la posición 6 aumenta tres cerillos. 1120

Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 1121 vertical la cantidad de cerillos que corresponde a cada figura. 1122

1123 Estudiante 2: Entonces sale una línea recta así. 1124

1125

111

Profesor: ¿Eso qué quiere decir? 1126

Estudiante 2: Cada puntito quiere decir que es una variable con relación a la posición. 1127 Profesor: La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es la posición va cambiando de uno 1128

en uno y el número de cerillos va de tres en tres. 1129 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación de cambio y la gráfica? 1130 Estudiante 2: Pues, que todos van subiendo de tres en tres el número de cerillos y de uno 1131 en uno el número de posición. 1132 Profesor: ¿Cuál es la razón de cambio entre la posición tres y cuatro? 1133

Estudiante 2: En el número de cerillos es 3 y en la posición es uno, la razón de cambio es 1134 tres entre 1. 1135 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 1136 Estudiante 2: Va cambiando consecutivamente de tres en tres. 1137

Estudiante 3 1138 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6. 1139 Estudiante 3: Seguí la serie vi en la posición uno cuatro cerillos, en la dos siete. Entonces, 1140

no podría ser uno por cuatro ni dos por cuatro porque en la dos son 7 entonces, fui 1141

aumentando poco a poco a cada posición tres cerillos y así me dio las posiciones. 1142

1143 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos cerillos hay en la figura que se 1144 encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 1145

Estudiante 3: Entonces, tuve que crear una técnica más compleja multipliqué el número de 1146 la posición por tres más uno y ya me da un número par e impar, la posición siete da 21 1147

cerillos y en la posición ocho 25. 1148

Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en cada caso? 1149

Estudiante 3: Para eso utilice una tablita en la que se demostrará cuantos cerillos habría en 1150 cada posición y estos son los resultados en la uno cuatro, en la dos siete, en la tres diez, en 1151

la cuatro trece en la cinco dieciséis, en la seis diecinueve, en la siete veintiuno y en la ocho 1152 veinticinco. 1153

1154 Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en la figura que ocupa la posición 20? 1155 Estudiante 3: 61 1156 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 1157

Estudiante 3: Multiplicando la posición por tres más uno. 1158

Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de cerillos en una figura si 1159

conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 1160 Estudiante 3: Multiplicando el número de posición por tres más uno. [La operación que 1161 utiliza el estudiante es n(3)+1] 1162 Profesor: ¿Cuál es el número de cerillos que hay en la figura que se encuentra en la 1163 posición n? 1164

Estudiante 3: Pues, puede ser variable porque es cualquier número de posición, entonces, 1165 sigues usando la misma regla pero con diferentes posiciones. 1166

112

Profesor: Calcula la variación y el cambio 1167

Estudiante 3: Lo que yo pude ver, que aumenta de tres porque en la posición uno son 1168 cuatro y en la posición dos son siete, van aumentando de tres en tres y la posición aumenta 1169

de uno en uno. Y varia tres en cerillos uno en posición. 1170 Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 1171 vertical la cantidad de cerillos que corresponde a cada figura. 1172 Estudiante 3: Entonces, utilicé la tablita, pero un poquito más complejo, en uno hay cuatro 1173 en dos hay siete en tres hay diez en cuatro trece en cinco dieciséis y así. La gráfica me 1174

permitió ver cómo van variando el número de cerillos en cada posición y ver que se forma 1175 una recta. 1176


Estudiante 3: Tres. 1179 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica? 1180 Estudiante 3: En la gráfica se ve cómo aumenta de tres cerillos, esa sería su variación. 1181

Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 1182 Estudiante 3: Entre cada posición va aumentando tres cerillos, entonces, utilizaríamos un 1183

poco de ayuda con la gráfica uno a cuatro porque uno es la posición y cuatro es el número 1184 de cerillos. 1185

Estudiante 4 1186 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6. 1187

Estudiante 4: Primero para entenderle fui viendo las figuras que había entonces la posición 1188 1, me di cuenta de algo que en la uno había 4 y en la dos 7 y simplemente me di cuenta que 1189 le tenía que ir agregando tres. 1190

1191 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos cerillos hay en la figura que se 1192

encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 1193 Estudiante 4: Entonces en la posición 7 hay 22 y en la 8 hay 25. 1194

1195 Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en cada caso? 1196

113

Estudiante 4: En la posición uno son cuatro, en la dos siete, en la tres diez en la cuatro 1197

trece, en la cinco, dieciséis y en la seis diecinueve. 1198 Profesor: ¿Cuál es el número de cerillos que hay en la posición 20? 1199

Estudiante 4: Pues, es 61 cerillos, le fui sumando tres hasta llegar a la posición 20. 1200 Profesor: ¿Existe alguna regla que te permita conocer el número de cerillos que hay en la 1201 posición n? 1202 Estudiante 4: Ir sumando tres hasta la posición que deseas, después me di cuenta que era 1203 más fácil multiplicar la posición por tres y sumarle uno [El estudiante escribió la siguiente 1204

expresión luego n(3)+1, 20(3)+1= 61] 1205 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 1206 Estudiante 4: Siempre van aumentando de tres en tres. 1207 Profesor: Elabora una gráfica donde en el eje horizontal la posición y en el eje vertical la 1208 cantidad de cerillos. 1209


Estudiante 4: Que aumenta tres en los cerillos y uno en la posición. 1212 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación, el cambio y la gráfica? 1213

Estudiante 4: Esto va relacionado en la posición siempre aumenta uno y en el número de 1214 cerillos tres. 1215 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 1216

Estudiante 4: Siempre va a aumentar. 1217

Estudiante 5 1218 Profesor: Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6 1219 Estudiante 5: Observé las figuras. 1220

1221 Y me di cuenta que la posición 1 solo había un cuadrado en la segunda posición dos en la 1222 posición tres había tres los que yo hice fue en la posición 4 puse e cuadrados en la posición 1223 5 cinco y en el seis 6. [El estudiante muestra la cantidad de cerillos que le corresponde a 1224

cada posición] 1225

1226 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos cerillos hay en la figura que se 1227 encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 1228 Estudiante 5: Lo que hice fue contar los cerillos en la posición uno había 4 en la dos 7 en 1229 la tres había 10 entonces me di cuenta que de la posición 1 a la dos se iban aumentando tres 1230

114

entonces para la posición 7 empecé a sumar los cerillos que había en la posición 6 que son 1231

19 más tres que me dan 22 luego para la ocho sume los que había en la 7 más 3 es decir los 1232 22 cerillos más tres y me dan 25. 1233

Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en cada caso? 1234 Estudiante 5: Hice una tablita para acomodarlos, en la posición uno hay cuatro, en la dos 1235 siete en la tres diez en la cuatro trece en la cinco dieciséis en la seis diecinueve en la siete 1236 veintidós y en la ocho 25. 1237

1238 Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en la figura que ocupa la posición 20? 1239 Estudiante 5: Mi técnica de ir sumando ya no me va servir, entonces me di cuenta que uno 1240

por tres es tres y me sobra uno entonces le sumo uno entonces y luego en la dos pues hice 1241 lo mismo dos por tres seis más uno siete entonces así fue como lo hice y pues me dio 1242

sesenta y un cerillos. 1243 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 1244 Estudiante 5: Lo obtuve multiplicando por tres y luego le sume más uno. 1245

Profesor: ¿Qué multiplicaste por tres? 1246 Estudiante 5: Multipliqué el número de posición que es veinte. 1247

Profesor: ¿Existe una regla que te permita conocer el número de cerillos en la figura si 1248 conoces la posición de ésta ¿cuál es esa regla? 1249

Estudiante 5: Sí existe una regla número de posición por tres más uno o simplemente voy 1250 sumando de tres en tres desde la base que es el número uno, diría una más tres cuatro y 1251

luego para la dos sumaria cuatro más tres siete y así. 1252 Profesor: ¿Cuál es el número de cerillos que se encuentra en la posición n? 1253 Estudiante 5: Bueno mi posición n fue tres millones y pues lo obtuve multiplicando n por 1254

tres más uno y me dio tres millones uno. 1255 Profesor: Calcula la variación y el cambio. 1256 Estudiante 5: Pues, la variación me salió que es tres porque divides la diferencia de 1257

posición y cerillos. 1258 Profesor: ¿Cuál es el cambio en la posición? 1259

Estudiante 5: Es de uno en uno y los cerillos de tres en tres. 1260 Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 1261 vertical la cantidad de cerillos que corresponde a cada figura. 1262

115

1263 Profesor: ¿Qué observas en la gráfica? 1264 Estudiante 5: Cómo van aumentando los cerillos correspondientes al nivel de posición. 1265 Profesor: La razón de cambio entre la posición tres y cuatro es. 1266 Estudiante 5: Es tres. 1267

Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación, el cambio y la gráfica? 1268 Estudiante 5: Muestran la manera en que va aumentando. 1269

Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 1270 Estudiante 5: En la gráfica se puede ver la variación. 1271

Estudiante 6 1272 Profesor: Dibuja la figura que corresponde a la posición 4, 5 y 6. 1273

Estudiante 6: Primero conté cuantos cerillos hay en la posición uno y me di cuenta que 1274 eran cuatro, después conté en la posición dos y me fijé que eran siete y en la posición tres 1275

eran diez entonces, pensé en la relación que había entre la posición uno y dos era que iba 1276 aumentando de tres en tres siempre se fueran seguidas las posiciones. Entonces, lo que hice 1277 para saber la posición 4, 5 y 6 a la posición tres le fui aumentando tres más, en la posición 1278

cuatro habría trece en la posición cinco habría dieciséis porque le aumente tres y en la 1279 posición tres y entonces convertiría en dieciséis cerillos. 1280

1281 Profesor: Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántos cerillos hay en la figura que se 1282 encuentra en la posición 7? ¿y en la 8? 1283

Estudiante 6: Pues sí, aumentando tres a la posición, en la seis en total son diecinueve 1284 cerillos y aumente tres entonces, el resultado da veintidós y en la posición ocho veinticinco. 1285

Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en cada caso? 1286 Estudiante 6: Para eso, hice una tabla colocando en una columna las posiciones y en la 1287 otra columna el total de cerillos y vi que en la posición uno había cuatro en la dos había 1288

siete en la tres había diez, en la cuatro había trece en la cinco había dieciséis en la seis había 1289

diecinueve en la siete había veintidós y en la ocho había veinticinco. 1290

116

1291 Profesor: ¿Cuántos cerillos hay en la figura que ocupa la posición 20? 1292 Estudiante 6: Bueno, en este caso yo utilicé una fórmula que es número de posición por 1293

tres más uno. En este caso, fue lo que aumento más uno, entonces, sería veinte por tres más 1294 uno y el resultado te da sesenta y uno. 1295 Profesor: ¿Cómo obtuviste este resultado? 1296

Estudiante 6: Bueno, en este caso utilice una fórmula. 1297

1298 Profesor: Existe alguna regla que te permita conocer el número de cerillos en una figura si 1299 conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla? 1300

Estudiante 6: Sí existe, es número por tres más uno en este caso es 1301 Profesor: ¿Cuál es el número de cerillos que hay en la figura que se encuentra en la 1302

posición n? 1303

Estudiante 6: La posición n puede variar porque puede ser cualquier posición y depende 1304 que posición sea. n*3+1 1305 Profesor: Calcula la variación y el cambio 1306

Estudiante 6: Bueno, en cada posición van aumentando los cerillos, la secuencia de uno en 1307 uno en la posición y el número de cerillos de tres en tres, y varía de tres por cerillos por 1308

posición. 1309 Profesor: Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje 1310 vertical la cantidad de cerillos que corresponde a cada figura. 1311 Estudiante 6: Pues, puse que en la posición uno cuatro cerillos, en la dos siete, en la tres 1312

diez en la cuatro trece, en la cinco dieciséis en la siete diecinueve y en la ocho veinticinco. 1313 Estos datos los vi en la tablita para poder hacer más fácil la gráfica. 1314


117

Estudiante 6: Es tres, porque de la posición tres a la cuatro para poder variar fueron tres 1317

cerillos en total. 1318 Profesor: ¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica? 1319

Estudiante 6: El cambio indica cuánto va aumentando en posición uno y en cerillos tres y 1320 en lo que varía es de posición a posición continua tres cerillos. 1321 Profesor: ¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica? 1322 Estudiante 6: Las dos te enseñan cuánto va aumentando dependiendo de la posición y lo 1323 va variando. 1324

new t e s i s · 2017. 10. 6. · niveles de entendimiento de la funciÓn lineal t e s i s que para...

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