Curso de Perfeccionamento Docente

Sucesiones

Iris Flores Q.

Febrero 2015

Resumen

En este curso veremos una idea intuitiva, ladefinicion formal de sucesion y su formula general, si la tuviera.Estudiaremos la formula de recurrencia de una sucesion, en particular una,conocida como la sucesion de Fibonacci, la cual describe ciertos fenomenosde crecimiento que se producen en la naturaleza. Ademas, revisaremos dossucesiones importantes conocidas como la progresion aritmetica y laprogresion geometrica, las cuales tienen aplicaciones en la matematicafinanciera.

Introduccion

En la naturaleza se manifiesta la presencia de las matematicas, tanto o masde lo que se pueda imaginar. Las formas, las proporciones, los crecimientoso decrecimientos, siguen un orden matematico; es decir un patron numerico.Las sucesiones numericas son un ejemplo de objetos matematicos quedescriben esta presencia. Ası se tiene, entre otros ejemplos que pueden serdescritos por sucesiones, las temperaturas medias en una determinadalocalidad en los distintos meses del ano, los intereses que se generan aldepositar una cierta cantidad de dinero en una entidad bancaria, la alturaalcanzada por una pelota en cada rebote sucesivo despues de ser lanzada apartir de cierta altura, en el crecimiento de algunas plantas las hojas naceny se ubican en espacios preestablecidos segun los numeros de Fibonacci. Porotro lado, observando la importancia de las sucesiones en el que hacerhumano, y que su estudio esta presente en los programas curriculares de laEducacion Basica Regular (EBR) del sistema educativo peruano; se haconsiderado su estudio en este curso.

El desarrollo del curso se llevara a cabo a traves de actividades en las quese presentara situaciones donde se puedan identificar ideas, conceptos,procedimientos que permitan iniciar el estudio del objeto matematicosucesion, logrando mostrar como emerge, este objeto matematico, desituaciones reales y cotidianas.Luego se formalizaran estos conceptos dando la definicion de una sucesion,su formula general, si la tuviera y, las formulas de recurrencia. Ademasestudiaremos dos sucesiones importantes conocidas como la progresionaritmetica y la progresion geometrica que forman parte del programacurricular de la EBR.

Objetivos

Son objetivos del curso:

1. Mostrar, como en diversos contextos de la actividad humana, surge lanecesidad de estudiar a las sucesiones como un objeto matematico quedescribe y da solucion a problemas en estos contextos.

2. Estudiar a las sucesiones como funciones reales con dominio en elconjunto de los numeros naturales y no solo como una lista denumeros.

3. Evidenciar que una progresion aritmetica es una funcion lineal afın,cuyo dominio son los numeros naturales y que una sucesion geometricaes una funcion exponencial cuyo dominio son los numeros naturales.

4. Deducir la formula del termino general y de la suma de los n primerosterminos de una progresion aritmetica y geometrica, y demostrar suspropiedades haciendo uso del principio de induccion matematica.

Sucesiones

Ejemplo 1En la actualidad, una ciudad tiene una poblacion de 50 000 habitantes.

a) Si la poblacion crece a razon de 3 % anual, ¿cuantos habitanteshabra en la ciudad despues de un ano, dos anos, tres anos, y 4 anos?

b) Si la poblacion decrece a razon de 1 % anual, ¿cuantos habitanteshabra en la ciudad despues de un ano, dos anos, tres anos, y 4 anos?

c) Determine una expresion matematica (formula) que permita obtenerla cantidad de habitantes transcurridos n anos, tanto para la parte a)y b).

d) ¿Que condiciones debe tener la variable n para que las expresionesmatematicas obtenidas en la parte c) reflejen el contexto del ejemplo.

Solucion. Observe que el crecimiento y decrecimiento de la poblacion de laciudad puede ser expresada por las listas ordenadas

A1, A2, · · ·An y B1, B2, · · ·Bn

¿Que entendemos por una sucesion numerica?

Intuitivamente una sucesion numerica es un conjunto ordenado de numeros,cada uno de ellos se denomina termino (tambien elemento o miembro) de lasucesion.

DefinicionUna sucesion numerica es una funcion, cuyo dominio es el conjunto de losnumeros naturales o un subconjunto de el y el conjunto de llegada es R, esdecir

a : S ⊆ N −→ Rn 7−→ a (n)

Se acostumbra escribir an en vez de a(n) para designar a cada termino oelemento de una sucesion. Y la sucesion se denota por (an).

Ejemplo 2La sucesion (an) definida por

a : N −→ Rn 7−→ an =

3

n

cuyos diez primeros elementos son:

Podemos representar graficamente la sucesion

Ejemplo 3La sucesion (bn) definida por

b : N −→ Rn 7−→ bn =

3

n

es llamada sucesion constante.

Descripcion de una sucesion

Ejemplo 4Encuentre los seis primeros terminos de la sucesion definida por:

a1 = 2,a2 = 6,an = an−1 + 6an−2, ∀n ≥ 3.

Ejemplo 5 (Sucesion de Fibonacci)Consideremos el siguiente problema, propuesto originalmente por Leonardode Pisa, mas conocido como Fibonacci en el siglo XIII en su libro Liberabaci. Una pareja de conejos recien nacidos (uno de cada sexo) se sueltanen una isla. Los conejos no pueden tener descendencia hasta que cumplandos meses. Una vez que cumplan dos meses, cada pareja de conejos tienecomo descendencia otra pareja de conejos cada mes. Defina recursivamenteel numero de parejas de conejos que habra en la isla una vez transcurridosn meses, suponiendo que ningun conejo muere.

Solucion. Si consideramos

an :numero de parejas de conejos que viven en la isla al cabode n meses.

Se definea1 = 1a2 = 1an = an−1 + an−2, ∀n ≥ 3.

Ejemplo 6La sucesion de los numeros primos puede escribirse como

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , an, . . .

donde an es el n-esimo numero primo. No se conoce una expresionmatematica que define an.

Observacion 1Mientras no se conozca el n-esimo termino de la sucesion, no se puededeterminar, de manera unica, el termino sucesivo de una lista dada.

Ejemplo 7Encuentre una sucesion que tenga los mismos elementos que la sucesion

(an), donde an =1

n, pero de manera que no sean iguales.

Ejemplo 8En una transitada vıa, entre los kilometros 23 y 107 donde hay estacionesde servicio, se quiere intercalar seis mas igualmente espaciadas en elrecorrido. Indique la lista que muestre los kilometros donde deben ir las seisnuevas estaciones de servicio.

Solucion. Consideremos d la distancia en kilometros entre cada estacion, esdecir

23 . . .︸︷︷︸d

23 + d . . .︸︷︷︸d

23 + 2d . . .︸︷︷︸d

23 + 4d . . .︸︷︷︸d

23 + 5d . . .︸︷︷︸d

23 + 6d . . .︸︷︷︸d

107

entonces

23 + 7d = 107⇒ d =107− 23

7= 12

Luego, la lista que indica los kilometros donde deben ir las seis nuevasestaciones de servicio es:

35, 47, 59, 71, 83, 95.

Observacion 2La solucion de la situacion anterior involucra una sucesion donde cadatermino, excepto el primero, se obtiene al sumar 12 al termino anterior.Esta es un tipo especial de sucesion llamada progresion aritmetica.

Ejemplo 9Determine el termino a2 de una progresion aritmetica, si se sabe quea1 + a2 + a3 = 36.

Observacion 3Una progresion aritmetica es la restriccion de una funcion lineal afınf(x) = dx+a a los numeros naturales. Por ejemplo, la progresion aritmetica

35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, . . .

se puede asociar con la funcion lineal afın

f (x) = 23 + 12x, x ∈ N.

Graficamente tenemos

Seaa1, a2, a3, a4, . . . , an

una progresion aritmetica de razon d.

Teorema 6.1El n-esimo termino de una progresion aritmetica cuyo primer termino es a1

y con razon dada d esta determinado por

an = a1 + (n− 1) d.

Ejemplo 10En una progresion aritmetica la suma de los tres primeros terminos es 24 yla suma de sus cuadrados es 242. Determine los numeros de la sucesion.

Ejemplo 11Determine el termino de lugar 99 en la progresion aritmetica

(x + 1), 2x, 8.

Teorema 6.2Si a1, a2, a3, . . . , an es una progresion aritmetica con razon dada d, y

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

entoncesSn =

n

2(a1 + an) =

n

2[2a1 + (n− 1) d] .

Ejemplo 12Determine la suma de los enteros positivos pares mayores que 10 y menoresque 100.

Ejemplo 13Encuentre la razon de aquella progresion aritmetica cuya suma de sus nprimeros terminos viene dada por

Sn = 2n2 + 3n.

Ejemplo 14Una ciudad tiene una poblacion de 100000 habitantes. Si se espera que lapoblacion se incremente en 10 % cada cinco anos, ¿cual sera la poblacion alcabo de 30 anos?

Solucion. En la actualidad la poblacion es de a1 = 100000 habitantes.Dentro de cinco anos la poblacion sera de:

a2 = 100000 +10

100(100000) =

110

100(100000) = 1,1(100000) habitantes.

Dentro de diez anos la poblacion sera de:

a3 = 1,1(100000)+10

100[1,1(100000)] =

110

100[1,1(100000)] = (1,1)2(100000) habitantes.

Dentro de quince anos la poblacion sera de:

a4 = (1,1)2(100000)+10

100

[(1,1)2(100000)

]=

110

100

[(1,1)2(100000)

]= (1,1)3(100000) habitantes.

Dentro de veinte anos la poblacion sera de:

a5 = (1,1)3(100000)+10

100

[(1,1)3(100000)

]=

110

100

[(1,1)3(100000)

]= (1,1)4(100000) habitantes.

Progresion geometrica

Observe que la poblacion esperada al final de cada periodo sucesivo decinco anos, describe la siguiente sucesion

100000, 1,1(100000), (1,1)2(100000), (1,1)3(100000), (1,1)4(100000), (1,1)5(100000), (1,1)6(100000)

donde cada termino, excepto el primero, se obtiene de multiplicar eltermino anterior por 1.1. Esta es otro tipo especial de sucesion llamadaprogresion geometrica.

Ejemplo 15Descomponer el numero 65 en tres sumandos que formen una progresiongeometrica y tales que el producto del primero por el tercero sea 225.

Ejemplo 16Para que valor de x los numeros 5, 9, (3x− 1) forman una progresiongeometrica, en ese orden.

Observacion 4Una progresion geometrica es la restriccion de una funcion exponencialf(x) = a · rx a los numeros naturales. Por ejemplo, la progresion geometrica

100000, 110000, 121000, 133100, 146410, 161051, 177156

se puede asociar con la funcion exponencial

f(x) = 100000 (1,1)x , x ∈ N.

Graficamente tenemos

Ejemplo 17Sea

a1, a2, a3, · · · an

una progresion geometrica de razon r.

Teorema 7.1El n-esimo termino de la progresion geometrica cuyo primer termino es a1

y de razon r esta determinado por an = a1 · rn−1.

Ejemplo 18Halle el termino que ocupa la posicion once en la progresion geometrica 3,6, 12,. . . .

Teorema 7.2Si a1, a2, a3, · · · , an es una progresion geometrica con razon dada r, y

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an,

entonces

Sn =a1 (1− rn)

1− r, si r 6= 1

y

Sn =a1 − ran

1− r, si r 6= 1

Ejemplo 19Halle la razon de una progresion geometrica, si se sabe que la suma de los 6primeros terminos igual a 9 veces la suma de los tres primeros terminos.