Unidad 5

espacios con prodUcto

interno (norMa, distancia)

Objetivos:

Al inalizar la unidad, el alumno:

• Aplicará los conceptos de longitud y dirección de vectores en R2.

• Aplicará el concepto de norma de un vector en Rn.

• Aplicará las propiedades del producto interno.• Aplicará el concepto de norma en espacios vectoriales con producto

interno.

• Encontrará el ángulo entre dos vectores en Rn y la proyección de un vector

sobre otro.

Álgebralineal

169

Introducción

En unidades anteriores manejamos diferentes clases de espacios

vectoriales, entre ellos definimos los vectores columna y vectores

renglón como conjuntos ordenados de n números reales pertenecientes

al espacio vectorial Rn. En esta unidad usaremos como ejemplos el espacio

vectorial R2 con el fin de introducir dos conceptos nuevos: la norma de un

vector y el producto interno de dos vectores. Posteriormente, generalizaremos

estos conceptos a espacios vectoriales diferentes.

Iniciaremos con el manejo geométrico del espacio vectorial R2 también

llamado espacio euclideano.

5.1. El espacio vectorial R2: longitud, dirección y distancia

Como se definió anteriormente, los vectores del espacio vectorial R2 son

parejas ordenadas (x, y) de números reales, las cuales podemos representar

en el plano cartesiano; sin embargo, para muchas aplicaciones que incluyen

fuerza, velocidad, aceleración, momento, etc., es importante pensar en un

vector no como un punto sino como una entidad que tiene longitud y dirección.

Esto nos lleva a la siguiente definición:

Definición 5.1 Sean P y Q dos puntos en el plano cartesiano. Entonces el

segmento de recta dirigido de P a Q, que se denota por PQ→

, es el segmento de

recta que va de P a Q.

Nota que el segmento PQ→

y el QP→

son diferentes pues tienen sentidos

opuestos (figuras 5.1. a y 5.1. b).

Figura 1.a. Figura 1.b.

170

Unidad 5

Al punto P del segmento dirigido PQ→

se le llama punto inicial y a Q punto

terminal.

Si desplazamos el segmento PQ→

en forma paralela de modo que P

se encuentre exactamente en el origen, obtendremos un segmento dirigido

equivalente al original, ya que tienen la misma longitud, dirección y el mismo

sentido (figura 5.2).

Figura 5.2.

Esta equivalencia será muy útil ya que podremos identificar a cada punto

P del plano cartesiano como un vector dirigido que tiene como punto inicial

al origen y a P como punto terminal; a sus coordenadas (x, y) se les llama

componentes del vector.

Ejemplo 1

a) Consideremos al punto O cuyas coordenadas son (0,0); este vector es el

vector cero y su representación gráfica es el origen de los ejes coordenados.

b) Consideremos el punto P (3,4) y cuya gráfica se observa en la figura 5.3.

Figura 5.3.

Álgebralineal

171

Al inicio de la unidad mencionamos que los vectores del plano tienen

longitud y dirección. Intuitivamente entendemos por longitud el tamaño del

vector, ahora definiremos formalmente longitud o magnitud de un vector.

Definición 5.2 Consideremos un vector v = (a,b) en el plano cartesiano.

Entonces la longitud o magnitud de v, que se denota por v = magnitud de

v = a b2 2+ .

Observa que la magnitud es un escalar que siempre es positivo.

Esta definición no es arbitraria, sino que se deduce directamente del

teorema de Pitágoras (figura. 5.4), ya que si se observa, siempre se formará un

triángulo rectángulo entre los ejes coordenados y el vector de nuestro interés.

Figura 5.4.

Ejemplo 2

Calcular la magnitud de los siguientes vectores:

a) v = (2,2) v = 2 2 4 4 8 2 22 2+ = + = =b) v = (–3, 3 2 ) v = − + = + = =( ) ( )3 3 2 9 18 27 3 32 2

Definiremos ahora lo que es la dirección; intuitivamente, la dirección es el

grado de inclinación del vector y por lo tanto:

Definición 5.3. Sea v = (a,b) un vector del plano cartesiano. La dirección

de v se define como el ángulo θ, medido en radianes, que forma el vector con

el lado positivo del eje x.

172

Unidad 5

Por conveniencia se escoge θde tal manera que 0 2≤ ≤θ π .

De la figura 5.4 podemos deducir que tanθ = b

a; sin embargo, debemos

tener cuidado, ya que la función tangente es periódica con periodo πy por tanto

existen 2 valores de θ que satisfacen tanθ = b

a en el intervalo de 0 2≤ ≤θ π , de

tal modo que para tener un valor único debemos determinar el cuadrante donde

se encuentra el vector.

Ejemplo 3

Encontrar la dirección de los siguientes vectores:

a) v = (2, 2) ya que tanθ = 2

2= 1 y como v se encuentra en el primer

cuadrante entonces θ= tan–1(1) = π/4

b) v = (–2,–2)de tanθ = −−

2

2 = 1, y como v se encuentra en el tercer

cuadrante por lo que al ángulo θ = tan–1(1)= π/4 se le debe sumar π para obtenerθ=π/4+ π=5π/4

Álgebralineal

173

c) v = (–2,2) de tanθ = −2

2 = –1 y como v se encuentra en el segundo

cuadrante entonces a θ = tan–1(–1) = – π/4 se le suma π para obtener

θ=π−π/4=3π/4

d) v = (2, –2) ya que tanθ = −2

2 = –1 y como v se encuentra en el

cuarto cuadrante, entonces a θ= tan–1(–1) = – π/4se le suma 2π para

obtener el ángulo θ=2π−π/4=7π/4

Resumiendo, si el vector se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, el

ángulo se obtiene sumando π al ángulo θ =

−tan 1 b

a; si el vector se encuentra

en el cuarto cuadrante al ángulo θ =

−tan 1 b

a se le suma 2π.

¿Cuál será el significado de multiplicar un vector por un escalar positivo o

por uno negativo?

Consideremos el vector v = (1,1), su magnitud v = + =1 1 22 2

tanθ = =1

11 y su dirección es θ=π/4.

Tomemos ahora el producto del vector por un escalar dados por u = 3v y

174

Unidad 5

w = –3v, entonces u = 3(1,1) = (3,3) y w = –3(1,1) = (–3,–3)

Vamos ahora a encontrar su magnitud y dirección.

u v= + = = =3 3 18 3 2 32 2 y

w v= − + − = = = −( ) ( )3 3 18 3 2 32 2

Si α y γ son los ángulos de inclinación de u y w respectivamente,

entonces:

tanα = =3

31 y α=π/4, sin embargo tanγ = −

− =3

31, pero como w está en el

tercer cuadrante γ=5π/4,eso quiere decir que u tiene la misma dirección que

v pero w tiene dirección opuesta (véase las figuras 5.12 b y 5.12 c).

De donde podemos generalizar que al multiplicar un vector por un escalar

positivo, su magnitud se multiplica por el escalar y conserva la misma

dirección; al multiplicar por un escalar negativo, su magnitud se multiplica

por el valor absoluto del escalar y tiene dirección opuesta, es decir, su ángulo

aumenta π radianes.

De lo anterior podemos observar que es más comodo tener vectores cuya

magnitud sea 1 y trabajar con ellos, lo que nos lleva a dar la siguiente

definición.

Definición 5.4. Sea v un vector, entonces v se le llama vector unitario si su

magnitud es 1:

v =1

Álgebralineal

175

Esta definición nos permite tener una caracterización de los vectores

unitarios.

Ejemplo 4

Consideremos los vectores canónicos i = (1,0) y j (0,1)

Vamos a encontrar su magnitud

i = + =1 0 12 2

j = + =0 1 12 2

por lo que podemos decir que i y j son vectores unitarios.

De aquí nos surge la siguiente pregunta: ¿dado un vector cualquiera,

podremos encontrar un vector que tenga la misma dirección pero que sea

unitario? La respuesta es sí, y para ello retomaremos el hecho de lo que

significa multiplicar un vector por un escalar.

Teorema 5.1. Sea v un vector, entonces el vector u = v

v es un vector

unitario.

Vamos a encontrar vectores unitarios a partir de vectores que no lo son

usando el teorema anterior.

Ejemplo 5

Consideremos el vector v = (3, 2), calculemos su magnitud

v = + = + =3 2 9 4 132 2 entonces definamos al vector

u = v

v= =( , )

( / , / )3 2

133 13 2 13 calculemos la magnitud de u

u = + = + = =( / ) ( / ) / / /3 13 2 2 13 2 9 13 4 13 13 13 1 por tanto u sí es

unitario.

176

Unidad 5

Por último, introduciremos el concepto de distancia entre dos puntos. Para

ello usaremos el concepto de geometría analítica y la relacionaremos con el

concepto de longitud.

Consideremos los siguientes vectores v = (2, 3) y u = (1,–2); vamos a

encontrar la distancia entre ellos como puntos en el plano cartesiano.

Sabemos por geometría analítica que la distancia entre los puntos (2,3) y

(1,–2) la podemos obtener sustituyendo en la siguiente fórmula:

( ) ( ) ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2 2 22 1 3 2 1 25 26− + − = − + + = + =Si consideramos los puntos como vectores, observamos que esta distancia

se conforma sacando la magnitud del vector formado por la diferencia entre los

vectores u y v.

v u− = − + = = + =( , ) ( , )2 1 3 2 1 5 1 5 262 2

de lo anterior obtenemos la siguiente definición:

Definición 5.5. Sean u y v dos vectores, entonces la distancia entre u y v es

la longitud del vector v–u, es decir: d (v,u) = v u−

La distancia, definida de esta manera, posee las siguientes propiedades y

nos va a permitir generalizarla a espacios vectoriales distintos de Rn.

Álgebralineal

177

Teorema 5.2. Si d (v,u) = v u− es la distancia entre u y v, entonces

i) d (v, u) > 0,

ii) d (v, u) = 0 si v = u

iii) d (v, u) = d (u, v)

iv) d (v, u) ≤ d (v, w) + d(w, u) (Desigualdad del triángulo)

Viendo las características que debe cumplir una distancia surge la pregunta,

¿será ésa la única forma de definir una distancia? La respuesta es no.

Pondremos ejemplos en las siguientes secciones.

Ejercicio 1

1. Encuentra la magnitud y dirección de los siguientes vectores:

a) x = (3,–4)

b) y = (–1,0)

c) u = (–2/3, 1/2)

d) w = (0, –5)

2. Encuentra el vector unitario que tenga la misma dirección que el vector

dado:

a) u = (2, –3)

b) v = (–3, 4)

c) w = (–2, 3)

3. Encuentra la distancia entre las siguientes parejas de vectores:

a) a = (–1,–2), b = (3, –2)

b) c = (2, 3), d = (–4, 0)

c) e = (0, 3), f = (0, –2)

5.2. Producto interno, ángulo entre vectores en R2

En la unidad 1 definimos el producto escalar de dos vectores en Rn de la

siguiente manera:

178

Unidad 5

si u = (u1, u

2, ..., u

n) y v = (v

1, v

2, ..., v

n) son dos vectores en Rn, entonces

u•v = u1v

1 + u

2v

2 + ... + u

nv

n. Si trasladamos este resultado a R2 tenemos la

siguiente definición:

Definición 5.6. Sean u = (a1, b

1) y v = (a

2, b

2), entonces el producto interno

de u y v es

u•v = a1a

2 + b

1b

2.

Al producto interno también se le llama producto punto.

Recordemos que el producto interno es un número real al igual que la

magnitud de un vector. ¿Habrá alguna relación entre ellos?

El siguiente teorema nos indica cuál es esa relación y nos brinda otra

manera (que vamos a poder generalizar), de encontrar la magnitud de un

vector.

Teorema 5.3. Sea v un vector de R2, entonces v v v2 = •

Vamos a probar que éste es otro método para encontrar la magnitud de un

vector:

Ejemplo 6

Consideremos el vector v = (3,–5), entonces

v = + − = + =3 5 9 25 342 2( )

usando el teorema anterior tenemos que

v•v = (3)(3) + (–5)(–5) = 9 + 25 = 34 = v 2

y como podemos observar, ambos métodos dan el mismo resultado.

¿Qué significado geométrico tendrá el producto interno de dos vectores en R2?

La siguiente definición nos ayudará a aclararlo.

Álgebralineal

179

Definición 5.7. Sean u y v dos vectores diferentes de cero. El ángulo θ entre u y v es el ángulo no negativo más pequeño ( 0 ≤ ≤θ π ) que hay entre

ellos.

Si v = αu, entonces θ = 0 si α>0y θ = π si α< 0 (Figura. 5.14).

En la figura 5.14. se observa gráficamente cómo es que se toma el ángulo θ, el más pequeño de los dos ángulos que se forma entre dos vectores.

El siguiente resultado nos da una manera de encontrar el ángulo entre dos

vectores.

Teorema 5.4. Si u y v son dos vectores diferentes de cero y ϕ es el ángulo

entre ellos, entonces cosϕ = •u v

u v

Este teorema nos permite tener una expresión para el producto interno

u v u v• = cosϕ en términos del ángulo entre dos vectores y sus magnitudes.

En el siguiente ejemplo usaremos este teorema para encontrar el ángulo

entre dos vectores.

180

Unidad 5

Ejemplo 7

Sean u = (2,3) y v = (–7,1) el producto interno es u•v = (2)(–7) +

(3)(1) = –14 + 3 = –11, las magnitudes son u = + = + =2 3 4 9 132 2 y

v = − + = + =( ) ( )7 1 49 1 502 2

por lo tanto: cosϕ = • = − = −( )( ) =

−u v

u v

11

13 50

11

13 50

11

650 y

ϕ= cos− −

1 11

650=115.56°

Existen particularidades entre dos vectores cuyos ángulos son 0, π/2 (90°), π (180°), 3π/2(270°)y 2π (360°).

La siguiente definición nos dice en qué consisten las particularidades.

Definición 5.8. Dos vectores diferentes de cero, u y v son:

a) paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π (180°)

b) ortogonales (perpendiculares) si el ángulo entre ellos es π/2 (90°) o 3π/2

(270°).

En el siguiente ejemplo verificaremos vectores que son paralelos u

ortogonales y posteriormente generalizaremos los resultados obtenidos.

Álgebralineal

181

Ejemplo 8

a) Consideremos los vectores u = (2,1) y v = (4, 2), determina si son

paralelos u ortogonales.

Vamos a encontrar el producto interno u•v = (2)(4) + (1)(2) = 8 + 2 = 10;

sus magnitudes u = + = + =2 1 4 1 52 2 y

v = + = + =( ) ( )4 2 16 4 202 2

y el ángulo que hay entre ellos.

cosϕ = • = = = =u v

u v

10

5 20

10

100

10

101 y ϕ= cos–1(1)=0°

de donde podemos concluir que u y v son paralelos.

b) Consideremos los vectores u = (2,1) y v = (–4, –2), determina si son

paralelos u ortogonales.

El producto interno u•v = (2)(–4) + (1)(–2) = –8 + (–2) = –10;

sus magnitudes u = + = + =2 1 4 1 52 2

y v = − + − = + =( ) ( )4 2 16 4 202 2

y el ángulo que hay entre ellos

cosϕ = • = − = − = − = −u v

u v

10

5 20

10

100

10

101 y ϕ=cos–1(–1)=π=180°

182

Unidad 5

de donde podemos concluir que u y v son paralelos.

c) Sean u = (2,1) y v = (–1, 2), determina si son paralelos u ortogonales.

El producto interno u•v = (2)(–1) + (1)(2) = –2 + 2 = 0;

sus magnitudes u = + = + =2 1 4 1 52 2 y

v = − + = + =( ) ( )1 2 1 4 52 2

y el ángulo que hay entre ellos

cosϕ = • = = = =u v

u v

0

5 5

0

25

0

50 y ϕ=cos–1(0)=π/2=90°

de donde podemos concluir que u y v son ortogonales.

En el ejemplo anterior observamos que si los vectores son ortogonales, el

coseno de su ángulo es cero, pero como el coseno es un cociente, el numerador

debe ser cero, de donde se desprende el siguiente resultado:

Álgebralineal

183

Teorema 5.5. Dos vectores u y v , diferentes de cero, son ortogonales, si y

sólo si, su producto interno es cero, es decir u•v = 0.

Este resultado nos va a ser muy útil cuando generalicemos la noción de

ortogonalidad en espacios vectoriales distintos de Rn.

Ejemplo 9

Considera la pareja de vectores u = (–3, 4) y v = (2, –6), su producto

interno u•v = (–3)(2) + (4)(–6) = –6 + (–24) = –30, por lo tanto podemos

asegurar que u y v no son ortogonales.

Ejercicio 2

1. Encuentra el producto interno de las siguientes parejas de vectores:

a) (3, –2), (3, 4)

b) (0,3), (–1,0)

c) (–5,–1), (5, 1)

2. Encuentra el ángulo entre las parejas de vectores del ejercicio anterior.

3. Di si las siguientes parejas de vectores son paralelos, ortogonales o

ninguna de las dos cosas:

a) (–2, 4), (1, –2)

b) (8, 1), (–1, 8)

c) (3, 0), (1,1)

4. ¿Cuáles deberán ser las coordenadas del vector u para que sea ortogonal

al vector v = (2, –3)?

184

Unidad 5

5.3. Espacios vectoriales no euclideanos con producto interno

En esta sección generalizaremos los conceptos que vimos en las secciones

anteriores a espacios vectoriales no euclideanos, es decir, espacios vectoriales

que no tengan ninguna relación con Rn. Comenzaremos con el concepto de

producto interno.

Definición 5.9. Sea V un espacio vectorial. Decimos que V tiene producto

interno, si para cada pareja de vectores u y v en V existe un escalar único (u, v),

llamado producto interno de u y v que satisface las siguientes propiedades:

Si u, v y w están en V y α es un escalar;

i) (v, v) ≥ 0

ii) (v, v) = 0 si y sólo si v = 0

iii) (u, v + w) = (u, v) + (u, w)

iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w)

v) (u, v) = (v, u)

vi) (αu, v) = α(u, v)

vii) (u, αv) = α(u, v)

Nota: En otros textos el producto interno se representa por <v, v>

Daremos varios ejemplos de espacios vectoriales con producto interno.

Ejemplo 10

a) Consideremos el espacio vectorial Dn de las matrices diagonales de

orden n×n. Sean A, B en Dn, definimos (A, B) = a

11b

11 + a

22b

22 + ... + a

nnb

nn

vamos a probar que es un producto interno. Sean A, B, C en Dn

i) (A, A) = a11

a11

+ a22

a22

+ ... + ann

ann

= a11

2 + a22

2 + ... + ann

2 ≥ 0

ya que todos son cuadrados.

ii) (A, A) = 0, entonces

a11

a11

+ a22

a22

+ ... + ann

ann

= a11

2 + a22

2 + ... + ann

2 = 0

lo cual sucede sólo si todas las aii = 0, entonces A es la matriz cero.

iii) (A, B + C) = a11

(b11

+ c11

) + a22

(b22

+ c22

) + ... + ann

(bnn

+ cnn

)

= [a11

b11

+ a11

c11

] + [a22

b22

+ a22

c22

]+ ... + [ann

bnn

+ ann

cnn

]

= [a11

b11

+ a22

b22

+ ... + ann

bnn

] + [ a11

c11

+ a22

c22

+ ... + ann

cnn

]

Álgebralineal

185

= (A, B) + (A, C)

iv) (A + B, C) = (a11

+ b11

) c11

+ (a22

+ b22

) c22

+ ... + (ann

+ bnn

) cnn

= [a11

c11

+ b11

c11

] + [a22

c22

+ b22

c22

]+ ... + [ann

cnn

+ bnn

cnn

]

= [a11

c11

+ a22

c22

+ ... + ann

cnn

] + [ b11

c11

+b22

c22

+ ... + bnn

cnn

]

= (A, C) + (B, C)

v) (A, B) = a11

b11

+ a22

b22

+ ... + ann

bnn

como el producto de números es

conmutativo, se tiene que:

(A, B) = b11

a11

+ b22

a22

+ ... + bnn

ann

= (B, A)

vi) (αA, B) = αa11

b11

+ αa22

b22

+ ... + αann

bnn

; factorizando α tenemos

que:

(αA, B) = α( a11

b11

+ a22

b22

+ ... + ann

bnn

) = α (A, B)

vii) (A, αB) = a11

(αb11

) + a22

(αb22

) + ... + ann

(αbnn

); factorizando α tenemos que

(A, αB) = α( a11

b11

+ a22

b22

+ ... + ann

bnn

) = α (A, B)

Por lo tanto (A, B) = a11

b11

+ a22

b22

+ ... + ann

bnn

satisface las características

de producto interno.

b) Consideremos C[a, b] el espacio vectorial de las funciones continuas en

el intervalo [a, b].

Definimos en C[a, b] a ( f, g) = f t g t dta

b ( ) ( )∫ , vamos a probar que es un

producto interno.

Sean f, g, h en C[a, b], entonces:

i) ( f, f ) = f t f t dt f t dta

b

a

b

( ) ( ) ( )= ≥∫∫ 2 0, ya que f 2 no es negativa.

ii) ( f, f ) = f t dta

b2 ( )∫ = 0 únicamente si f(t) = 0

iii) ( f, g+h) = f t g t h t dt f t g t f t h t dta

b

a

b

( ) ( )+ ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( ) ∫ ∫ ;

propiedad de la integral

= +∫ ∫f t g t dt f t h t dta

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( ) = ( f, g) + ( f, h)

iv) ( f + g, h) = f t g t h t dt f t h t g t h t dta

b

a

b( )+ ( ) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( ) ∫ ∫ ;

propiedad de la integral

= ( ) ( ) + ( ) ( )∫ ∫f t h t dt g t h t dta

b

a

b

= ( f, h) + (g, h)

186

Unidad 5

vi) (αf, g) = α αf t g t dt f t g t dta

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫= = α(f, g)

vii) ( f, αg) = f t g t dt f t g t dta

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )α α[ ] =∫ ∫ = α(f, g)

Por lo anterior ( f, g) = f t g t dta

b

( ) ( )∫ es un producto interno en C[a,b].

5.4. Norma. Propiedades

En esta sección, definiremos y generalizaremos el concepto de longitud,

también llamado norma.

Definición 5.10. Sea V un espacio vectorial con producto interno definido

y u en V.

La norma de u, que se denota u está dada por u u u= ( , ) .

Esta definición nos muestra un modo de encontrar la longitud de objetos

que en apariencia no la tienen. Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 11

a) Consideremos el espacio D3 con el producto interno definido en el

ejemplo 10a; encontraremos la norma de una matriz en D3.

Sea A =

3 0 0

0 5 0

0 0 4

−

en D

3, entonces (A, A) = 32 + (–5)2 + 42 = 9 + 25 +

16 = 50

y la norma de A es A = (A, A) = 50

b) Consideremos el espacio P2[0,1], de todos los polinomios de grado

menor o igual a dos continuos en el intervalo [0, 1]. Como P2[0,1] es un

subespacio de C[0,1], podemos usar el producto interno definido en el ejemplo

10b.

Álgebralineal

187

Sea f (t) = t2 –3t en P2[0,1],

( f, f ) = f t dt t t dt t t t dt2

0

12

24 3 2

0

1

0

1

3 6 9( )∫ ∫∫= − = − + =

t t t5 4 3

0

1

56

49

3− + = 1/5 – 6/4 + 9/3 = 17/10

la norma de f es f f f= =( , ) /17 10

por lo tanto podemos decir que: f f f f t dt= = ∫( , ) ( )2

0

1

En el siguiente teorema se enuncian las propiedades que satisfacen cualquier

norma independientemente del producto interno del que provenga.

Teorema 5.6. Sea V un espacio vectorial con producto interno, y una norma

definida, entonces:

i) u ≥ 0

ii) u ≥ 0= 0 si y sólo si u = 0

iii) α αu u=iv) u v u v+ ≤ +

Nota que las primeras tres propiedades se deducen de las propiedades que

cumple el producto interno. Vamos a probar que se cumple la cuarta propiedad

en un ejemplo.

Ejemplo 12

Consideremos el espacio vectorial D3 con la norma definida en el ejemplo

11a.

Sean A =

1 0 0

0 1 0

0 0 3

−

y B =

2 0 0

0 3 0

0 0 1

−

en D

3, entonces:

A + B = + +( , )A B A B

188

Unidad 5

A + B =

3 0 0

0 2 0

0 0 2

; (A + B, A + B) = 9 + 4 + 4 = 17 de donde:

A + B = 17

A A A= = + + =( , ) 1 1 9 11 y B B B= = + + =( , ) 4 9 1 14

y por lo tanto 17 11 14≤ + que implica A B A B+ ≤ +

En R2 vimos que los vectores unitarios tenían características especiales

y eran fáciles de manejar, ¿sucederá lo mismo en otros espacios vectoriales?

Consideremos la siguiente definición, que es una generalización de la definición

de vector unitario en R2.

Definición 5.11. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea u

un vector de V.

Decimos que u es vector unitario si u = 1

Veamos los vectores unitarios de los ejemplos 11a y 11b.

Ejemplo 13

Consideremos el espacio D3 con la norma definida A A A= ( , ) .

Sea A =

a

b

c

0 0

0 0

0 0

Si A es unitario, entonces: A A A= = + + =( , ) a b c2 2 2 1 eso señala

que a b c2 2 2+ + = 1. Lo que nos indica que las matrices diagonales de 3×3

unitarias son aquellas cuya suma de los cuadrados de la diagonal es 1.

¿Podremos construir vectores unitarios? La respuesta nos la da el siguiente

resultado, que utilizaremos más adelante para construir bases llamadas

ortonormales.

Álgebralineal

189

Teorema 5.7. Sea V un espacio vectorial con producto interno y una norma

definida.

Sea u un vector en V, entonces el vector v = u

u es un vector unitario.

Este teorema nos proporciona un método para construir vectores unitarios.

Usaremos como ejemplo el espacio vectorial de las matrices diagonales

(ejemplo 13).

Ejemplo 14

Sea A =

3 0 0

0 2 0

0 0 1

−

, entonces su norma es:

A A A= = + + − =( , ) ( )3 2 1 142 2 2

Construyamos el vector unitario

B = A

A= 1

14

3 0 0

0 2 0

0 0 1

−

=

3 14 0 0

0 2 14 0

0 0 1 14

/

/

/−

vamos a encontrar la norma de B

B B B= = + + −( , ) ( / ) ( / ) ( / )3 14 2 14 1 142 2 2

= + + = =9 14 4 14 1 14 14 14 1/ / / /

por lo que efectivamente B es un vector unitario.

190

Unidad 5

Ejercicio 3

1. Encuentra la norma de las siguientes matrices en D3:

a) A =

−−

3 0 0

0 7 0

0 0 10

b) B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2. Usa el teorema 5.7. para construir, a partir del vector f(t) = t2 +3 de

P2[0,1] un vector unitario en P

2[0,1]

5.5. Distancia. Propiedades

Una vez definida la norma de un vector podemos generalizar el concepto

de distancia, de la siguiente manera:

Definición 5.12. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u

y v elementos de V.

La distancia entre u y v se define como la norma de la diferencia de los

vectores u y v.

d (u, v) = u v−

Esta definición nos permitirá encontrar la distancia entre vectores que

no son de Rn y en los cuales será importante definir conceptos como discos

abiertos y discos cerrados los cuales se requieren en conceptos más complejos

como límites y derivadas en cálculo vectorial.

Ejemplo 15

Encontrar la distancia entre las funciones f(t) = 2t2 – 3 y g(t) = –5t2 – 1 que

son elementos del espacio vectorial C[0, 1] con la norma definida en el ejemplo

11b.

Álgebralineal

191

f – g = 2t2 – 3 –(–5t2 – 1) = 2t2 – 3 + 5t2 + 1 = 7t2 – 2,

− = − = − +∫ ∫ ∫g t dt t t dt( ) ( )7 2 49 28 42 2

0

14 2

0

1

= − + = − + =49

5

28

34

49

5

28

34 2 115 3

0

1t t t .

La distancia cumple ciertas propiedades que tienen relación con aquellas

que cumplen tanto la norma como el producto interno del cual está definido.

Estas propiedades se muestran en el siguiente teorema:

Teorema 5.8. Sean V un espacio vectorial con producto interno y d una

distancia definida en V tal que si u , w y v son vectores de V, entonces:

i) d (u, v) ≥0ii) d (u, v) = 0 si y sólo si u = v

iii) d (u, v) = d (v, u)

iv) d( u, w) ≤ d (u, v) + d (v, w)

Las tres primeras propiedades son consecuencia directa de la definición de

la norma; en cuanto a la cuarta, es una propiedad conocida como desigualdad

del triángulo.

Probaremos la segunda en el caso de las matrices diagonales en D2 con la

norma definida en el ejemplo 13.

Ejemplo 16

Sean A y B matrices en D2, entonces A =

a

b

0

0

y B =

c

d

0

0

,

supongamos que

d (A, B) = 0, esto implica que

A B A B A B− = − − = − + − =( , ) ( ) ( )a c b d2 2 0

de donde (a – c)2 + (b – d)2 = 0, por lo tanto a – c = b – d = 0

esto nos conduce a que a = c y b = d y A = B.

192

Unidad 5

Ejercicio 4

1. Encuentra la distancia entre las funciones f(t) = 3t + 4 y g(t) = t2 + 4 de

P2[0,1] con la distancia definida como en el ejemplo 15.

5.6. Ángulo entre dos vectores. Proyección de un vector sobre otro

Otro de los conceptos que vale la pena generalizar es el de ángulo entre

vectores, ya que nos proporciona un modo de definir vectores ortogonales,

los cuales serán importantes en la construcción de bases ortonormales para

un espacio vectorial, pues tienen características especiales que ayudarán en el

manejo de solución de ecuaciones usando vectores y valores propios.

Definición 5.13. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sean u,

v vectores en V.

El ángulo entre u y v es un número real θ en el intervalo 0 ≤ ≤θ π tal

que

cos,θ = ( )u v

u v

Vamos a encontrar el ángulo entre dos matrices A y B del espacio vectorial D2.

Ejemplo 17

Consideremos A = 1 0

0 1

−

y B =

1 0

0 2

(A, B ) = 1 + (–2) = –1

A A A= = + = + =( , ) a b2 2 1 1 2

B B B= = + = + =( , ) a b2 2 1 4 5

entonces, cos,

.θ = ( ) = − = − = −A B

A B

1

2 5

1

100 316227 de donde

Álgebralineal

193

θ=108.43°Construiremos ahora lo que se denomina proyección de un vector sobre

otro.

En esta parte usaremos el espacio euclideano R2 para ejemplificar el

significado de la proyección, aunque la definición se dará para espacios

vectoriales con producto interno cualquiera.

Definición 5.14. Sean u y v dos vectores diferentes de cero en un espacio

vectorial V con producto interno. Entonces la proyección de u sobre v es un

vector denotado por proyv u que se define como proy

v u =

u v

vv

,( )2

Haremos una ejemplificación en R2 para ver cuál es su significado.

Ejemplo 18

Encontrar la proyección del vector u = (2,3) sobre el vector v = (4,–1)

(u, v) = 8–3 = 5; v2

= 16 +1 = 17 entonces

proyv u =

u v

vv

,( )2

= 5

17 (4, –1) = (20/17, –5/17)

Observemos que la proyv u es un vector en la misma dirección de v.

Este concepto permitirá encontrar la proyección ortogonal de un vector

sobre otro, que se manejará en la siguiente unidad.

194

Unidad 5

Ejercicio 5

1. Sean f, g ∈ C[0, 1], encuentra el ángulo entre las funciones f(t) = t y

g(t) = et.

2. Encuentra la proyección del vector u = (2, –1) sobre el vector v = (–3, 2).

3. ¿Cuál debe ser el ángulo entre u y v para que proyv u = 0?

Ejercicios resueltos

1. Encuentra la magnitud y dirección del vector u = (5, –1)

u = + − = + =5 1 25 1 262 2( )

tan tan .θ θ= − ⇒ = −

= =−1

5

1

5348 41 6 081

' radianes.

2. Encuentra el vector unitario en la misma dirección que v = (1, –2):

v = + − = + =1 2 1 4 52 2( )

u = v

v= − = −( , )

( / , / )1 2

51 5 2 5

Vamos a checar que u es unitario.

u = + − = + = =( / ) ( / ) / / /1 5 2 5 1 5 4 5 5 5 12 2

3. Encuentra el vector unitario de D2 a partir de la matriz B = −

3 0

0 1

B B B= = − + =( , ) ( )3 1 102 2

Construyamos la matriz

AB

B= = −

=

−

1 1

10

3 0

0 1

3 10 0

0 1 10

/

/

Álgebralineal

195

Probaremos que la matriz A es unitaria:

A A A= = − + = + =( , ) ( / ) ( / ) / /3 10 1 10 9 10 1 10 12 2

4. Encuentra la proyección del vector u = (2, –5) sobre v = (4, 1)

Según nuestra fórmula proyv u =

u v

vv

,( )2

.

(u, v) = 8–5 = 3; v2

=16 + 1 = 17, entonces:

proyv u = 3/17(4,1) = (12/17, 3/17).

Ejercicios propuestos

1. Encuentra la magnitud y dirección del vector v = (2, 5 ).

2. Encuentra el vector unitario en la misma dirección que v = (–4, –3).

3. Encuentra un vector ortogonal al vector v = (a, b).

4. Encuentra la norma de la matriz A =

2 0 0

0 1 0

0 0 3

−

de D

3.

5. Encuentra un vector unitario en D3 a partir de la matriz A =

2 0 0

0 1 0

0 0 3

−

.

6. Encuentra la distancia en P2[0,1] entre las funciones f(t) = t+1 y

g(t) = –2t + 1.

7. Encuentra el ángulo entre las matrices de D2 A = −

1 0

0 1

y B = −

1 0

0 1 .

8. Encuentra la proyección de u = (1, 0) sobre v = (1, –1)

196

Unidad 5

Autoevaluación

1. Es la longitud del vector (3, –4):

a) 25

b) −7

c) 5

d) −1

2. La dirección del vector (4, 8) es:

a) πb) tan ( )− −1 8 4

c) 8/4πd) tan ( )−1 8

4

3. El vector unitario en la dirección de u = (4,3) es:

a) (7, 13)

b) (8, 6)

c) (4/5, 3/5)

d) (4/7, 3/7)

4. Es el producto interno de (3,4) y (3, 2):

a) (3+3)(4+2) = 36

b) 3(3) + 4(2) = 17

c) (3 –3)(2 –4) = 0

d) 3(3) – 4(2) = 1

5. Los vectores (2, –12) y (3, 1/2) son:

a) Ni paralelos ni ortogonales.

b) Paralelos.

c) Ortogonales.

d) Idénticos.

6. Es la expresión para la proyección del vector u sobre el vector v:

a) u v

vv

,( )2

b) v u

uu

,( )2

Álgebralineal

197

c) u v

uv

,( )2

d) u v

vu

,( )2

7. Es el producto interno de las funciones f(t) = t y g(t) = t3 en C[0, 1]:

a) 1/2

b) 1/3

c) 1/4

d) 1/5

8. Es la norma de la matriz

3 0 0

0 2 0

0 0 8

−

en D

3:

a) 3

b) 77

c) 77

d) 69

9. Es el vector unitario en D2 a partir de

3 0

0 5

−

:

a) 3 34 0

0 5 34

/

/−

b) 3 34 0

0 5 34

/

/−

c) 9 34 0

0 25 34

/

/

d) −

5 0

0 3

10. Encuentra el ángulo entre las funciones f(t) = sen t y g(t) = cos t en

C[0,2π]

a) 0

b) 180°

c) 90°

d) 45°

Álgebralineal

199

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1.

a) Magnitud = 5; dirección = 306.87° = 5.36 radianes.

b) Magnitud = 1; dirección = 180° = π radianes.

c) Magnitud = 5/6; dirección = 143.13° = 2.5 radianes.

d) Magnitud = 5; dirección = 270° = 3π/2radianes.

2.

a) ( / , / )2 13 3 13−b) (–3/5, 4/5)

c) ( / , / )−2 13 3 13

3.

a) 4

b) 45

c) 5

Ejercicio 2

1.

a) 1

b) 0

c) –26

2.

a) 86.82°

b) 90°

c) 180°

3.

a) Son paralelos.

b) Son ortogonales.

c) No son parelelos ni ortogonales.

200

Unidad 5

4. Cualquiera de la forma k(3, 2) con k real.

Ejercicio 3

1.

a) 158

b) 3

2. g(t) = 1

35

563

565

2 2( ) ( )t t+ = +

Ejercicio 4

1. d ( f, g) = 77 10/

Ejercicio 5

1. 14.18°

2. (24/13, –16/13)

3. 90°

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. magnitud = 3; radianes = 0.84; dirección = 48.19°

2. (–4/5, –3/5)

3. (b, –a)

4. 14

5. 2/ 14 0 0

0 1/ 14 0

0 0 3/ 14

−

6. 3

7. 180° = π radianes

8. (1/2, –1/2)

Álgebralineal

201

Respuestas a la autoevaluación

1. c)

2. d)

3. c)

4. b)

5. c)

6. a)

7. d)

8. c)

9. b)

10. c)