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Diapositiva 1
UNIDAD 4 FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES.4.10 CAMPOS VECTORIALES4.11 DIVERGENCIA ROTACIONAL, INTERPRETACION GEOMETRICA Y FISICA.4.12 VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
14.10 campos vectoriales
4.11 DIVERGENCIA ROTACIONAL , INTERPRETACION GEOMETRICA Y FISICALa operacin rotacional asocia a cada campo vectorial C1 F en R3 el campo vectorial rot F definido como sigue: Sea Y hagamos
Usando la notacin operador. Introduzcamos formalmente el smbolo del (o nabla):
Es un operador; esto es, acta u opera sobre funciones con valores reales. Especficamente, , operando sobre esta dado por
Es el gradiente de . Esta notacin formal es bastante til; si vemos como vector con componentes , entonces podemos tomar tambin el producto cruz:
As,
EJEMPLO 1:Sea
Hallar
SOLUCION Tenemos
As,
TEOREMA 1Para cualquier funcin
de clase
, tenemos
Esto es, el rotacional de cualquier gradiente es el vector cero.DEMOSTRACION:Escribamos las componentes del campo vectorial
Como
tenemos, por definicin,
EJEMPLO 2Sea
Mostrar que
no es un campo gradiente.SOLUCION:Si
fuera un campo gradiente, entonces por el Teorema 1 tendramos la
Pero
ecuacin
FORMULA DE LA DIVERGENCIA
En notacin de operador
es el producto punto de
y
. Ntese
que es un campo vectorial, mientras que
de modo que
es un campo escalar. Leemos
como divergencia de F.SIGNIFICADO FISICO DE LA DIVERGENCIA.Si imaginamos
como el campo de velocidad de un gas (o fluido), entonces
representa la tasa de expansin por unidad de volumen del gas
entonces
por unidad de volumen por unidad de tiempo. esto significa que el gas se esta
Sique el gas se comprime.Por ejemplo, si (o fluido).expandiendo a la tasa de 3 unidades cubicassignificaEJEMPLO 3Calcular la divergencia de
SOLUCION
TEOREMA 2.
de la clase
Esto es, la divergencia de cualquier rotacional es cero.
esta relacionado con las rotaciones y
compresiones y expansiones. Esto conduce a la siguiente terminologa.est relacionado conSi
decimos que F es incomprensible, y decimos que
es irrotacional si
CONCLUSIONPara cualquier campo vectorial124.12 VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.DEFINICIONSea
un punto en
en dominio de
es un valor mximo (global) de
en
si
para todo
de
es un valor mnimo (global) de
en
si
para todo
de
es un valor extremo (global) de
en
si es un valor mximo(global) o mnimo (global).Obsrvese que un mximo global (o mnimo) es en forma automtica un mximo (o mnimo) local.
MAXIMO LOCALMINIMO GLOBALMINIMO LOCALMAXIMO GLOBALTEOREMA A(Teorema de existencia de mximo o mnimo). Si
es continua en el intervalo
, entonces
alcanza tanto un valor mximo (global) como
DONDE SE REPRESENTAN LOS VALORES EXTREMOS? La situacin es anloga a la del caso de una variable. Los puntos crticos de
en
son de tres tipos:Puntos frontera.Puntos estacionarios. Decimos que
es un punto estacionario si
donde
es diferenciable, y
punto el plano tangente es horizontal. Puntos singulares. Decimos que
es un punto singular si es interior
donde
no es diferenciable.cerrado y acotadoun mnimo (global) enes interior en . En dicho en TEOREMA B(Teorema del punto crtico). Sea
una funcin definida en un conjunto
que contiene a
Si
es un extremo, entonces
debe ser un punto crtico; es decir,
deber ser un;Punto frontera de
Punto estacionario de
Punto singular de
EJEMPLO 1:Encuentre el mximo o mnimo local de
SOLUCIN:La funcin dada es derivable a lo largo de su dominio, el plano xy. Por lo tanto, los nicos puntos crticos posibles son los puntos estacionarios que se obtienen al igualar a cero
yPero
yson iguales a cero solo cuando
y
Por lo tanto,
es en realidad un mnimo global de
No hay. valoresmximos locales.TEOREMA C.(Prueba de las segundas derivadas parciales). Supngase que
parciales continuas en una vecindad de segundas derivadas
y que
sea
Entonces:Si
es un valor mximo local.
Sies un valor minimo local.
Sino es un valor extremo y
es un puntoSi
no hay conclusin.tienesilla.