muller grp 05

7/18/2019 Muller Grp 05

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

MÉTODOS NUMÉRICOS NRC:1671

GRUPO: 5

INTEGRANTES: Kevin Aguirre

Sebastián á!"#e

Me$issa Rea$

TEMA: M%t"&" &e Mu$$er

OBJETIVOS:

• '#($ear e$ #%t"&" &e Mu$$er (ara &eter#inar $a ra)* en una +un!i,n-• A(ren&er a se$e!!i"nar $as "!asi"nes en $as .ue ser)a ,(ti#" e$ us" &e$ #%t"&"-• Ana$i*ar $"s (ará#etr"s .ue /a!en ("sib$e $a e0e!ua!i,n &e$ #%t"&" (ara ("steri"r#ente

&esarr"$$ar$" a trav%s &e$ s"+tare Mat2ab-

DESARROLLO

INTRODUCCIÓN

'ste &"!u#ent" &es!ribe e$ #%t"&" &e Mu$$er (ara e$ !á$!u$" &e $as ra)!es " !er"s &e una +un!i,n3 sures(e!tiva &e#"stra!i,n 4 $a !"#(ara!i,n !"n "tr"s #%t"&"s .ue tienen $a #is#a +ina$i&a&- A&e#ás se (resentan a$gun"s e0e#($"s .ue #uestran $a a($i!a!i,n &e este #%t"&"-

A&i!i"na$#ente se ana$i*a e$ err"r .ue se !"#ete a$ &esarr"$$arse e$ #%t"&" &e Mu$$er &ebi&" a $anatura$e*a &e$ #%t"&" en s)-

DEFINICIÓN

'$ #%t"&" &e M$$er a(r"i#a $a ra)* &e $a +un!i,n3 ("r $a ra)* &e$ ("$in"#i" &e segun&" gra&" .ue (asa ("r tres (unt"s &e &i!/a +un!i,n- 'ste #%t"&" es uti$i*a&" (ara en!"ntrar $as ra)!es &e e!ua!i"nes ("$in"#ia$es &e $a +"r#a genera$:

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n

nn xa xa xaa x f ++++= -------89 :

:1;

D"n&e n es e$ "r&en &e$ ("$in"#i" 4 a s"n !"e+i!ientes !"nstantes-<1=

FUNDAMENTO TEÓRICO

Antecedentes

2"s ("$in"#i"s tienen #u!/as a($i!a!i"nes en !ien!ia e ingenier)a3 !"#" es e$ !as" &e su uti$i*a!i,n ena0uste &e !urvas- Sin e#barg"3 se !"nsi&era .ue una &e $as a($i!a!i"nes #ás interesantes 4 ("tentes es en$"s siste#as &iná#i!"s3 (arti!u$ar#ente en $"s $inea$es-<1=

A !"ntinua!i,n se en!uentra e$ ("$in"#i" !ara!ter)sti!a &e "r&en &"s3 .ue grá+i!a#ente re(resenta una

(aráb"$a-;;1

:

: =++ a xa xa

918

D"n&e $as ra)!es &e este ("$in"#i" satis+a!en $a siguiente e(resi,n #ate#%ti!a:

;

;:

:

11

:31:

>

a

aaaa x

−±−=

(2)

C"n base en $a e!ua!i,n 9?83 en!"ntrar $as ra)!es en siste#as &e segun&" "r&en es (rá!ti!a#entesen!i$$"3 (er" (ara siste#as &e "r&en su(eri"r3 (ue&e resu$tar en un ar&u" traba0"-

Método

'$ #%t"&" !"nsiste en "btener $"s !"e+i!ientes &e $"s tres (unt"s3 sustituir$"s en $a +,r#u$a !ua&ráti!a 4"btener e$ (unt" &"n&e $a (aráb"$a inter!e(ta e$ e0e - 2a a(r"i#a!i,n es +á!i$ &e es!ribir3 en +"r#a!"nveniente esta ser)a:

c x xb x xa x f +−+−= 898989 ::

::

(3)

'n @ig- 1 se i$ustra $a n"!i,n &e !"#" se e0e!uta e$ #%t"&" &e Mu$$er-

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DEMOSTRACIÓN

De $a e!ua!i,n 9?8 es ne!esari" en!"ntrar $"s va$"res .ue re(resentan esta (aráb"$a (ara $ueg"interse!tar $"s tres (unt"s <;3 +9;8=3 <13 +918= 4 <3 +98=- 2"s !"e+i!ientes &e $a e!ua!i,n 9?8 se eva$an

a$ sustituir un" &e es"s tres (unt"s (ara &ar:c x xb x xa x f +−+−= 898989 :;

:

:;;

9i8

c x xb x xa x f +−+−= 898989 :1

:

:11

9ii8

c x xb x xa x f +−+−= 898989 ::

:

:::

9iii8

2a $ti#a e!ua!i,n genera&a &a !"#" resu$ta&" .uec x f =89 :

3 &e esta +"r#a3 se (ue&e tener unsiste#a &e &"s e!ua!i"nes !"n &"s in!,gnitas:

9i8B9iii8 ent"n!es: 9a8

89898989 :;

:

:;:; x xb x xa x f x f −+−=−

9ii8Biii ent"n!es: 9b8

89898989 :1

:

:1:1 x xb x xa x f x f −+−=−

De+inien&" &e esta +"r#a:

;1; x xh −=

1:1 x xh −=

;1

:1;

8989

x x

x f x f

−

−=δ

1:

1:1

8989

x x

x f x f

−

−=δ

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Sustitu4en&" en e$ siste#a:

11;;

:

1;1; 8989 δ δ hhahhbhh +=+−−

11

:

11 δ hahbh =−

Tenien&" !"#" resu$ta&" $"s !"e+i!ientes:

;1

;1

hha

+

−=

δ δ

11 δ += ahb 89 : x f c =

a$$an&" $a s"$u!i,n &e $a e!ua!i,n 9?8 una ve* !"n"!i&"s sus !"e+i!ientes se (ue&e en!"ntrar

a($i!an&" $a e(resi,n &e $a e!ua!i,n 983 (er" &ebi&" a$ err"r &e re&"n&e" ("ten!ia$ (resente3 se uti$i*auna +"r#u$a!i,n a$ternativa- 'sta se en!uentra re(resenta&a ("r $a siguiente +,r#u$a:

acbb

c x x

>

:

::?

−±

−=−

Des(e0an&" se "btiene

acbb

c x x

>

:

::?

−±

−+=

(4)

TEORÍA DE ERRORES

Eo de! Método

'$ #%t"&" se a($i!a #e&iante a(r"i#a!i"nes3 $" .ue "!asi"na .ue a$ rea$i*arse &e +"r#a se!uen!ia$ eiterativa#ente e$ err"r (r"&u!i&" sen un va$"r !er!an" a !er"- Sin e#barg"3 se &ebe t"#ar en !uenta .ue e$err"r .ue se (r"&u!e &urante $a e0e!u!i,n &e$ #%t"&"- '$ !ua$ se !a$!u$a &e $a siguiente #anera:

D1;;?

:?⋅

−=

x

x x E a

VENTAJAS " DESVENTAJAS FRENTE A LOS OTROS M#TODOS

Una &e $as venta0as (rin!i(a$es &e uti$i*ar este #%t"&" es .ue #e&iante $a uti$i*a!i,n &e este se (ue&en$"!a$i*ar tant" $as ra)!es rea$es !"#" $as i#aginarias- A !"ntinua!i,n3 en tab$a 1 se &es!ribe una

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!"#(ara!i,n entre e$ #%t"&" &e Mu$$er (ara $a a(r"i#a!i,n &e ra)!es &e una +un!i,n !"n "tr"s #%t"&"s.ue tienen $a #is#a +ina$i&a&-

TABLA ICOMPARACIÓN ENTRE M#TODOS

MÉTODO

DE

BISECCIÓ

N

MÉTODO

DE

NEWTON

MÉTOD

O

SECANT

E

MÉTODO

DE

MULLER

's $ent"- Se ne!esita una+un!i,n +&erivab$e

Re.uiere &"sva$"res

(revi"s

Re.uiereva$"resin)!ia$es

Sie#(re!"nverge a unas"$u!i,n-

Cuan&"!"nverge3 $"/a!e #u!/"#ás rá(i&" .ue

bise!!i,n 4se!ante-

Cuan&"!"nverge es#u!/" #ásrá(i&" .ue

bise!!i,n-

C"nverge!ua&ráti!a#ente en uninterva$"!er!an" a $ara)*-

Da !"tassu(eri"res e

in+eri"res (ara$a s"$u!i,n-

Se ne!esita .ue$a &eriva&a n"

se anu$e en $"s (unt"s!"nsi&era&"s

N" &a !"tassu(eri"r e

in+eri"r (ara$a ra)*

bus!a&a

C"nsiste en"btener $"s

!"e+i!ientes &e$a (aráb"$a .ue

(asa ("r tres (unt"s e$egi&"s

Eue&e servir!"#" (ri#er

(as" (ara un#%t"&" #ásrá(i&"-

Eue&e usarse&es(u%s &e

bise!!i,n (ara"btener unresu$ta&" #e0"r #ásrá(i&a#ente F

Eue&e usarse&es(u%s &e

bise!!i,n (ara "btenerun resu$ta&"#e0"r #ásrá(i&a#ente

Se "btienera)!es rea$es 4!"#($e0as

Se ne!esitanva$"res &e $a

&eriva&a &e +

N" re.uiereeva$uar $a

(ri#era&eriva&a-

EJEMPLOS

E$ec%c%o &'

Deter#inar $a ra)* &e BeBG; usan&" e$ #%t"&" &e Mu$$er !"n GB13 1G; 4 ;G3 a&e#ás e(rese e$err"r re$ativ" ("r!entua$ &e a(r"i#a!i,n en $a $ti#a itera!i,n-

'!ua!i,n a res"$ver: B eBG;

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x3= x

0−

2c

b±√ b2−4 ac

Eri#era itera!i,n 9iG18

'$ !á$!u$" &e $"s !"e+i!ientes se en!uentran a !"ntinua!i,n:

a=( x1

− x0) [ f ( x2 )−f ( x0 ) ]−( x2

− x0 ) [ f ( x1 )−f ( x0 ) ]

( x2− x

0 )( x1− x0 ) ( x2

− x1)

b=( x2

− x0)

2 [ f ( x1 )−f ( x0 ) ]−( x1− x0 )

2 [ f ( x2 )−f ( x0 ) ]( x2

− x0)( x1

− x0 ) ( x2

− x1 )

c=f ( x0)

f ( x2 )=f (−1 )=−1.7183

f ( x1 )=f (0 )=−1.0000

f

( x

0 )=f (2 )=3.8647

a=(0−2 ) (−1.7183−3.8647 )−(−1−2)(−1−3.8647)

(−1−2)(0−2)(−1−0) =0.5714

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b=(−1−2)2 (−1−3.8647 )−(0−2 )2(−1.7183−3.8647)

(−1−2)(0−2)(−1−0) =3.5750

c=3.8647

x3=2− 2 (3.8647 )

3.5750±√ (3.5750 )2

−4 (0.5714 ) (3.8647 )=0.6104

Segun&a itera!i,n 9iG18

G;

;G

1G;-61;>

f ( x2 )=f (0 )=−1

f ( x1 )=f (0.6104 )=−0.1706

f ( x0 )=f (2 )=3.8647

a=0.7725

b=1.8304

c=−0.1706

x3=0.6104−

2 (−0.1706 )

1.8303±√ (1.8303 )2

−4 (0.7725 ) (−0.1706 )=0.7002

'rr"r re$ativ" ("r!entua$ &e a(r"i#a!i,n

ε=| x3− x1

x3

|∗100

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ε=|0.7002−0.6104

0.7002 |∗100

ε=12.83

2a s"$u!i,n &e $a e!ua!i,n

H eB

G; es ;-7;>3 "bteni&a a($i!an&" e$ #%t"&" &e Mu$$er !"n &"sitera!i"nes- '$ err"r re$ativ" ("r!entua$ &e a(r"i#a!i,n es 1-?-

E$ec%c%o ('

C"n $a +un!i,n in&i!a&a 4 $"s (unt"s ;3 1 4 &eter#inar una &e $as ra)!es &e $a +un!i,n +98- Rea$i*ar$as itera!i"nes ne!esarias (ara "btener un ; &e err"r-

1:1?89 ?

−−= x x x f

G 5 1 G 535 ; G>35

6:53:;853>9 = f I753I:85359 = f >I859 = f

A !"ntinua!i,n se !a$!u$an $"s va$"res /3 J 4 $"s !"e+i!ientes:

153>535; =−=h

53;53551 −=−=h

:536:53>535

6:53:;I753I:; =

−

−

=δ 7536K5355

I753I:>I1 =

−

−

=δ

15153;

:536:7536K=

+−

−=a

:536:7536K853;915 =+−=b

>I=c

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C"n $"s anteri"res va$"res "bteni&"s3 se (r"!e&e a !a$!u$ar e$ va$"r &e ?-

K7653?5>>3?1:536:

>I:5? =

+

⋅−+= x

L e$ err"r esti#a&"

D7>3:5D1;;;:?531

?

=⋅−

= x

E a

A/"ra

G ?3765 1 G 5 ; G535

A !"ntinua!i,n se (resenta en tab$a 1 $as itera!i"nes ne!esarias (ara "btener un err"r nu$"3 es &e!ir3 .ue $ara)* !a$!u$a&a es ea!ta#ente $a ra)* &e $a +un!i,n +98-

TABLA IIEJERCICIO (

i r 'a

; 5

1 ?3>65 537>;

>3;;11 ;361>

? >3;;;; ;3;6

> >3;;;; ;3;;;

CONCLUSIÓN

'$ #%t"&" &e Mu$$er es un #%t"&" #ate#áti!" .ue !"nsiste en $a !"nstru!!i,n &e una (aráb"$a

(artien&" &e tres (unt" !"n"!i&"s .ue /a!en (arte &e $a +un!i,n &e $a .ue se &esee !"n"!er su ra)*3 $a !ua$su interse!!i,n !"n e$ e0e n"s a!er!a a$ (unt" &e interse!!i,n &e $a +un!i,n "rigina$ +98- 2ueg" &e#$ti($es itera!i"nes se "btiene una a(r"i#a!i,n a&e!ua&a &e $a ra)* &e $a +un!i,n sin e#barg"3 se &ebe!"nsi&erar e$ err"r .ue se !"#ete a$ rea$i*ar $as &i+erentes a(r"i#a!i"nes en !a&a itera!i,n- '$ #%t"&"resu$ta e+i!iente &ebi&" a .ue traba0a !"n una e!ua!i,n &e "r&en &"s3 (er#ite &eter#inar a&e#ás &e $asra)!es rea$es3 ta#bi%n $as ra)!es !"#($e0as &e $a +un!i,n +98-

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REFERENCIAS

<1= 2eit/"$& 2"uis- '$ Cá$!u$"- M%i!"918-7#a e&i!i,n-

<= E"nti+i!ia Universi&a averiana- M%t"&" &e $a ise!!i,n &e:/tt(:("rta$es-(u0-e&u-!""b0et"s&ea(ren&i*a0eOn$ineOA1;!a(itu$"55-/t#

BIBLIOGRAFÍA

Steven C- C/a(ra3 918-M%t"&"s Nu#%ri!"s (ara Ingenier"s- Mei!"-

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