CONTROL DE CALIDAD Facultad de Ingeniera Industrial UNMSMTEMA: EL PROBLEMA DE RECEPCION MUESTREO PROGRESIVORectas lmites de ControlGrficoMtodo tabularIng. Luis Vivar Morales

PRUEBAS PROGRESIVAS O SECUENCIALES DE HIPTESIS

Con el muestreo Clsico se llega a definir un tamao de muestra a sacar, bajo condiciones dadas, con la finalidad de aceptar o rechazar un lote.Si bien es cierto que esto es mejor que inspeccionar al 100%, tambin sera del todo deseable tomar la decisin antes de inspeccionar toda la muestra.

Suponga que de una partida a examinar, sacamos secuencialmente elementos de ella, sin lmite preconcebido, y considerando, en cada etapa de las extracciones, el conjunto de los resultados obtenidos hasta entonces. As es como han nacido las pruebas progresivas o secuenciales de hiptesis, en el contexto de tener que aceptar o rechazar una partida que presente una proporcin de desechos situada por debajo o por encima de cierto valor.

Para elaborar la prueba se deben fijar, en primer lugar:W1 yW2 la elaboracin de dicha prueba consiste en encontrar una regla que permita determinar en cada etapa de las extracciones:a) Si se debe tomar la decisin de aceptar la partidab) Si se debe, por el contrario, rechazar la partidac) Ante la imposibilidad de resolver, se impone una extraccin suplementaria.

Establecida la regla, en presencia de una partida, la prueba progresiva conduce a coger una pieza y aceptar o rechazar la partida si el resultado observado lo permite; en caso contrario, a coger una segunda pieza y aceptar la partida o rechazarla, si los dos resultados lo permiten; en caso contrario a coger una tercera pieza, etc.

En general, en la n-sima etapa de las operaciones (despus de sacada la n-sima pieza) el mtodo operatorio consistir en definir en un espacio n de n dimensiones, tres regiones W , W1 y W2 , que se cumple : W + W1 + W2 = ntal que, si el punto muestra M esta situado :

en W se acepta la partida en W1 se rechaza la partida en W2 se extrae una pieza suplementaria

PRUEBA DE LA RAZN DE LAS PROBABILIDADES SUCESIVAS Consideremos una muestra de n observaciones, X1, X2, X3,...,Xn y designemos por Pn1 , Pn2 respectivamente, las probabilidades de esta muestra, por una parte en la hiptesis H1 (de ser W=W1) y por otra parte la hiptesis H2 (de ser W=W2).La prueba de la Razn de las Probabilidades sucesivas consiste en formar en cada etapa de las extracciones (es decir para cada valor de n), la razn : Pn2 / Pn1 y comparar luego el valor de esta razn, con dos nmeros "A" y "B" (siendo B

Pn2 Rechazar H2 (W=W2) si : ----- B Pn1

Pn2 Continuar las operaciones si : B < ------ < A Pn1

En realidad, no se dispone de los valores de A y B, sino de sus lmites superior e inferior, respectivamente iguales a: 1 - ------- y -------- 1 -

REGLA OPERATORIA DEL MUESTREO PROGRESIVO Consiste en calcular en cada etapa de las operaciones el cociente : Pn2 Kn = ----- , y : Pn1 Aceptar H2 aceptar H1 continuar si: si: si:

1 - 1- Kn ------ Kn ---- --- > Kn > --- 1 - 1-

Si se definen: dn dn n-dn Pn2 = (W2) x (1-W2) n dn dn n-dn Pn1 = (W1) x (1-W1) n==>

EJEMPLO 1

Hoja1

1) Una Empresa XYZ del Sector Metal Mecnico desea completar el proceso de automatizacin de su produccin; para tal fin, debe renovar una de sus principales prensas Hidrulicas manuales, por una automtica. La prensa actual tiene un valor de mercado

PROBLEMA 1

preferencia de compra = marca B (aunque cuesta mas que A)

Se observa que :(segn especificaciones)

===> se debera elegir B , a menos que, con los datos de las muestras se

demuestre que la produccin de A es mayor que la de B y solo en este caso se elegira la A

DATOS

Xi12345678PromDesv.S2

Marca A727374747475737473.6250.9160.839

Marca B7472737472747373.1430.9000.810

a) PRUEBA HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS :b) PRUEBA DE HIPOTESIS (DIFERENCIA DE MEDIAS)

Ho : Var (A) = Var(B)

H1 : Var (A) Var(B)

Fc = S2A / S2Bt = ( (XA-XB) -

Fc = 0.839 / 0.81

Fc =1.0367647059(7)x0.839 + (6)x0.81

F2 = F(nA-1, nB-1, a/2 ) = F(7,6, 0.025)(n1 +n2 - 2)(8+7-2)

F2 = 5.70.8255494505

F1 = F(nA-1, nB-1, (1 - a/2) ) = 1 / F(nB-1, nA-1, a/2)0.4702438911

F1 = 1 / F(6,7, 0.025)t cal = ( (73.625 - 73.143) - 0 )/0.4702439-89 =1.0253038185

F1 = 1 / 5.12t tab = t (13,0.05) = 1.771

F1 = 1 / 5.12 = 0.1953como t cal < t tab , entonces se acepta Ho

como F1 < Fc < F2 , entoncesno existe sufuciente evidencia para decir que la media de A es mayor

si hay homogeneidad de varianzasque la de B , por lo tanto se elige B

La Cant. que se requiere es = S/. 190,000 - 38,000 = S/. 152,000

PROB. 2n = 50n A = 6n R = 7

W%2%4%6%8%10%12%14%16%18%20%22%24%26%

POISSON

n*W12345678910111213

P x0.999990.99550.96640.88940.76220.60630.44960.31330.20670.13020.07860.04580.0259

NORMAL0.1100.0900.0700.0500.0300.010-0.010-0.030-0.050-0.070-0.090-0.110-0.130

0.0280.0340.0380.0420.0460.0490.0520.0540.0570.0590.0600.062

3.252.081.300.710.22-0.20-0.58-0.92-1.24-1.54-1.82-2.10

P x0.99960.98120.90320.76110.58710.42070.2810.17880.10750.06180.03440.0179

1) El Jefe de Logstica de la Empresa XYZ desea adquirir 10 lotes de cierto insumo a una Empresa ABC; el Director de Ventas de esta ltima y el Jefe de Logstica mencionado, desean establecer un plan de muestreo satisfactorio para ambos. El Director d

SOLUCIONPROVEEDORHo :Wo =2.20%; alfa =7%DICE SER BUENODirector de Ventas

CLIENTEH1 :W1 =4.10%; beta =10%DICE SER MALOJefe de Logistica

A)T alfa =1.476

T l-beta =-1.282

n =613.77Redond. al entero mayor

n =614Zs =0.0307390632

Zs * n =18.8737848095

B)h2 =3.977ASUMIR QUE SE PRESENTAN DESECHOS EN LAS UNIDADES :8, 15, 23, 38, 44 , 58 y 88.

0h1 =3.473ELABORAR LA TABLA CORRESPONDIENTE HASTA n(a) = 3

S =0.031

L2 =3.977+0.031n1451

L1 =-3.473+0.031n.........

112.0322580645113.66841629

c) dnnRnAnnanr16310

0(128.29)112.031**.........

1(96.03)144.294*41761

2(63.77)176.555*58 (1er)1772

3(31.52)208.81.........15 (2do).........

40.74241.0633*523 (3er)19410

533.00273.3234*638 (4to)19511

665.26305.58.........44 (5to).........

797.52337.8465*658 (6to)2082

8129.77370.1066...72093

9162.03402.35..................

10194.29434.6197*722611

11226.55466.8798822712

12258.81499.13..................

13291.06531.39112*2413

11302424

..................

129825812

130925913

..................

14402734

Hoja2

ZONA RECHAZO

ZONA ACEPTACION

ZONA INCERTIDUMBRE

4

3

2

1

-1n

-2

-3

-4

-5

no = h1/s

L2 = limite de rechazodn = h2 + sxn

L1 = limite de aceptacindn = - h1 + sxn

h2

-h1

con este resultado, se rechaza el Lote

con este resultado, se acepta el Lote

Hoja3

En las condiciones de eficacia,

H2 ---> W2 = 0.03 ; = 0.05

Establecer los lmites de control (L1 y L2), graficar.

7ZONA RECHAZO

6

5

4

3

2ZONA INCERTIDUMBRE

1

199.4

12345678910012345678920020406080300

-1

-2

-3

-4

-5

-6

ZONA ACEPTACION

no = h1/s = 144.5

L2 = limite de rechazodn = h2 + sxndn = 2.63+0.01825*n

L1 = limite de aceptacindn = - h1 + sxndn= -2.63+0.01825*n

h2

-h1

con este resultado, se rechaza el Lote

con este resultado, se acepta el Lote

Hoja1

SOLUCION SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA CONT CAL 2001-IIProf. Ing. Luis Vivar Morales

Problema 1

n = 60

W = 5%Lim. Sup. = W + 1,96 * [( raiz de (0.05 x 0.95 / 60 )] ==> x 60 = 6.3

alfa = 5%Lim. Inf. = W - 1,96 * [( raiz de (0.05 x 0.95 / 60 )] ==> x 60 = 0

Nro. De fallas (n)P(x)

0832098711274139000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000018320987112741390000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000110.02441581450.02442

183209871127413900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001138683118545689800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000600.060.02597427070.0935073745

283209871127413900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002235056133128287900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000017700.00360.02763220290.1760723967

38320987112741390000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000640526919504877230000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000342200.0002160.02939596050.21728083

48320987112741390000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000247109985878048632000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004876350.000012960.03127229840.1976330954

583209871127413900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001201269640335365826400000000000000000000000000000000000000000000000000000000054615120.00000077760.03326840260.1412866384

68320987112741390000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000720230843697339241300000000000000000000000000000000000000000000000000000000500638600.00000004670.03539191760.0826677139

W =6%0.06SUMA =0.9328638633

1 - W =0.94

W %5%6%7%8%9%10%11%12%13%15%

P (2 < k < 10)0.946020.888220.779080.634620.479220.336040.219640.13440671630.07740.0217

METODO PRACTICOSEGN TABLA POISSON :

n*W6.07.28.409.6010.8012.013.2014.4015.6018.00

P (10) =0.95740.8870.34720.03

P (2) =0.0620.0250.00020.00

P(10) - P(2) =0.89540.8620000.3470.03

Problema 2PROVEEDOR (Director de Ventas) VS EMPRESA B

Zs -0.024Zs -0.031

T alfa =------------------=1.476T l-beta=------------------=-1.341

0.0234240.030039

--

nn

0.2259003414-0.2324189385

n = ----------------n = -------------------

Zs -0.024Zs -0.031

0.2259003414x ( Zs -0.031) = (0.024- Zs ) x0.2324189385

Zs (0.22590034140.2324189385) = (0.2324189385x0.024) +

(0.2259003414x0.031)

Zs =0.0274502201n =65.4741828319===>n =4286.8686175032Redond. al entero mayor

n =4287

Zs * n =117.6754870717

PROVEEDOR (Director de Ventas) VS EMPRESA A

Zs -0.024Zs -0.049

T alfa =------------------=1.476T l-beta=------------------=-1.282

0.0234240.046599

------------nRnA

nn0-98.421765118485.9399329044

0.2259003414-0.27674279551-69.9147488656114.4469491571

n = ----------------n = -------------------2-41.4077326129142.9539654098

Zs -0.024Zs -0.0493-12.9007163602171.4609816626

415.6062998925199.9679979153

0.2259003414x ( Zs -0.049) = (0.024- Zs ) x0.2767427955544.1133161452228.475014168

Zs (0.22590034140.2767427955) = (0.2767427955x0.024) +672.6203323979256.9820304207

(0.2259003414x0.049)7101.1273486506285.4890466734

8129.6343649033313.9960629261

Zs =0.0352356225n =20.1057254752===>n =404.24019688599158.141381156342.5030791788

n =40510186.6483974087371.0100954315

Zs * n =14.243654973311215.1554136614399.5171116842

COMO n de A < n de B ====> es mas econmico trabajar con la Empresa A12243.6624299142428.0241279369

13272.1694461669456.5311441896

B)1-0.114300.6764624196485.0381604423

LOG [-----------]8.10419317315329.1834786723513.5451766951

0.071.109144469416357.690494925542.0521929478

h2 =------------------------- =---------- =3.452545304817386.1975111777570.5592092005

0.0490.9760.32125413918414.7045274304599.0662254532

LOG--------+ LOG----------------19443.2115436831627.5732417059

0.0240.951

1-0.07

LOG [-----------]

0.10.9684829486

h1 =------------------------- =---------- =3.0146940719

0.0490.9760.321254139

LOG--------+ LOG----------------

0.0240.951

1-0.024

LOG [-----------]

1-0.0490.0112693007

S =------------------------- =---------- =0.0350790834

0.0490.9760.321254139L2 =3.4525453048+0.0350790834n

LOG--------+ LOG----------------L1 =-3.0146940719+0.0350790834n

0.0240.951

3.0146940719

no =------- =85.9399329044

0.0350790834LOTE

nnanrL1L2L3L4L5L6L7L8L9L10

1**

4*4

...*...

.........

15*4

16*5

.........R

44*540 (5)

45...6RR

.........67 (6)68 (6)

72*6

73*7

.........

10107

102...8A

.........90

1140...

1151...A

.........A

129...8128 (1)

130...9

.........

1421...

1432...A

.........R141A

158...9152 (2)150 (2)

159...10

.........

1712...

1723...

.........

186...10

187...11

.........

1993...

2004...A

.........191 (3)

215...11

216...12A

.........206 (3)

2284...

2295...

.........

243...12

244...13

.........

2565...

2576...

.........

27213

27314

.........

2856AA

2867298 (6)305 (6)

RESUMENRARRRAAAAA

INSPECCIONES671284068152298305206191150

TOTAL1605

COSTO4,975.5

COSTO RECHAZO5000500050005000

TOTAL20,000.0

INGRESO15,000x10150,000.0

EGRESO24,975.5

BENEFICIO NETO125,024.5

MUESTRPR

TEMA : MUESTREO PROGRESIVO

SOLUCION SEGUNDO EXAMEN DE CONTROL DE CALIDAD 03/12/02PARA LAS CONDICIONES DE EFICACIA :

Ing. Luis Vivar MoralesCLIENTEHo :Wo =5.0%; =5.0%

1 ) PARA LAS CONDICIONES DE EFICACIA :CONTROL DE CALIDADPROVEEDORH1 :W1 =10.0%; =10.0%

PROVEEDORHo :Wo =0.90%; alfa =6.00%DICE SER BUENOSE PIDE :A) DETERMINAR EL PLAN DE MUESTREO CLASICO CORRESPONDIENTE

CLIENTEH1 :W1 =3.00%; beta =2.00%DICE SER MALOB) CALCULAR Y TRAZAR LA CURVA CARACTERISTICA O DE EFICACIA

SE PIDE :A) DETERMINAR EL PLAN DE MUESTREO CLASICO CORRESPONDIENTE4 ptsCORRESPONDIENTE AL PLAN DE MUESTREO DEFINIDO EN A)

C) ASUMIR QUE SE PRESENTAN DESECHOS EN LAS UNIDADES :C) ESTABLECER LA GRAFICA DE CONTROL, CON SUS RESPECTIVOS

14, 28, 67 , 85 y 98Realice el grfico correspondiente2 ptsLIMITES DE MUESTREO PROGRESIVO.

D) ELABORAR LA TABLA CORRESPONDIENTE HASTA UN n DE ACEPTACION DE 5D) ASUMIR QUE SE PRESENTAN DESECHOS EN LAS UNIDADES :

E) CUAL DEBE SER EL TERCER DESECHO PARA RECHAZAR EL LOTE (1ER SUPUESTO)3 pts5, 12, 15, 24, 27, 34, 45, 49 y 54. PRECISAR LAS DECISIONES EN CADA CASO.

E) ESTABLECER LA GRAFICA DE CONTROL CON LINEAS HORIZONTALES

INDICANDO SUS RESPECTIVOS LIMITES

SOLUCIONF) ELABORAR LA TABLA CORRESPONDIENTE

SOLUCION

A)Zs -0.009Zs -0.030A)Zs -0.05Zs -0.1

T alfa =------------------=1.555T l-beta=------------------=-2.054T =------------------=1.645T l- =------------------=-1.281

0.0089190.02910.04750.09

----

nnnn

0.1468549113-0.35038615210.3585194381-0.3843

n = ----------------n = -------------------n = ----------n = ----------

Zs -0.009Zs -0.03Zs -0.05Zs -0.1

0.1469x ( Zs -0.03) = (0.009- Zs ) x0.35038615210.3585x ( Zs -0.1) = (0.05- Zs ) x0.3843

Zs (0.14685491130.3503861521) = (0.3503861521x0.009) +Zs (0.35851943810.3843) = (0.3843x0.05) +

(0.1468549113x0.03)(0.3585194381x0.1)

Zs =0.0152021288n =23.6781458777===>n =560.6545922033Redond. al entero mayorZs =0.0741323409n =14.8563887621===>n =220.7122870514Redond. al entero mayor

n =561

B)1-0.02Zs * n =8.5231C)1-0.1

LOG [-----------]3.496489632LOG [-----------]

0.061.21307482530.051.2552725051

h2 =------------------------- =---------- =2.2794417459h2 =------------------------- =---------- =3.8681959968

0.030.9910.53218066550.10.950.3245110915

LOG--------+ LOG----------------LOG--------+ LOG----------------

0.0090.970.050.9

1-0.061-0.05

LOG [-----------]LOG [-----------]

0.021.67209785790.10.9777236053

h1 =------------------------- =---------- =3.141974082h1 =------------------------- =---------- =3.0129127505

0.030.9910.53218066550.10.950.3245110915

LOG--------+ LOG----------------LOG--------+ LOG----------------

0.0090.970.050.9

1-0.0091-0.05

LOG [-----------]LOG [-----------]

1-0.030.00930192021-0.10.0234810958

S =------------------------- =---------- =0.0174788767S =------------------------- =---------- =0.0723583768

0.030.9910.5321806655L2 =2.2794417459+0.0174788767n0.10.950.3245110915L2 =3.8681959968+0.0723583768n R =

LOG--------+ LOG----------------L1 =-3.141974082+0.0174788767nLOG--------+ LOG----------------L1 =-3.0129127505+0.0723583768n A =

0.0090.970.050.9

3.1419740823.0129127505

no =-179.7583529597no =-41.6387553441

0.01747887670.0723583768

d) dnnRnAnnanrF) dnnRnAnnanr

0-130.4179.81**0-53.541.61**

1-73.2237.03*3 ms1-39.655.52**

2-16.0294.2...*..."2-25.869.35*5

341.2351.4........."143-12.083.1......... ms

498.4408.641*3"3041.896.915*5 ms

5155.6465.842*4"515.6110.716*6 ms

6212.9523.0........."52 (3er)629.5124.6.........

7270.1580.2984"97 (4to)743.3138.429*6 ms

8327.3637.599...5"857.1152.230*6 ms

9384.5694.7........."970.9166.0.........

10441.7751.91555"1084.7179.841*6 ms

11498.9809.11566"1198.6193.74206 ms

12556.1866.3........."12112.4207.54307

13613.3923.51800..."13126.2221.34408

14670.6980.7........."14140.0235.1.........

15727.81037.92126"15153.8248.95508 ms

16785.01095.12137"561 menos8 ms

17842.21152.4........."57......8

18899.41209.62370"581...9

19956.61266.82381..."691 menos...

201013.81324.0......"..."702 menos9

2707"71......10 ms

2718"............ ms

"832......

2941......"843 menos10

2952""853 menos11

......"".........

327..."8963... ms

328...9974... ms

............98...11

351299...12

3523.........

............1104...

38491115... ms

38510112...12 ms

............113...13

4083...... menos...

40941245 menos...

............1256...

44110126613 ms

44211

............

4654

4665

............

49811

49912

............

5235

SOL PROB EXTRA

2)EMPRESA X

PROVEEDORHo :Wo =2.55%; alfa =8.00%DICE SER BUENOn =485.0364950589Redond. al entero mayor

CLIENTEH1 :W1 =4.80%; beta =10.00%DICE SER MALOn =486costo muestreo =14,630.4

T alfa =1.405T l-beta=-1.282Zs * n =18.1735009666

EMPRESA Y

PROVEEDORHo :Wo =2.55%; alfa =8.00%DICE SER BUENOn =731.667339481Redond. al entero mayor

CLIENTEH1 :W1 =4.50%; beta =7.00%DICE SER MALOn =732costo muestreo =21,081.6

T alfa =1.405T l-beta=-1.476Zs * n =24.6484461306

MUESTREO PROGRESIVO PARA LA EMPRESA X

h2 =3.6902491155h1 =3.3835405437

S =0.0356153738no =95.0022470193RESUMEN

L2 =3.6902491155+0.0356153738nLOTE123456

L1 =-3.3835405437+0.0356153738n????AA

dnnRnA672858068380298

0-103.613937382495.0022470193DEFECT8888

1-75.5361751119123.0800092897AAAA

2-47.4584128415151.1577715602508508508508

3-19.380650571179.2355338307LOTE789101112

48.6971116995207.3132961011AAAAA?

536.7748739699235.3910583716305206191209299262

664.8526362404263.468820642DEFECT8

792.9303985108291.5465829125A

nnanrnnanr508

1**......

4*41511

...*...1522LOTE123456

...............INSPECCIONES508508508508380298

8*41792

9*51803LOTE789101112

...............INSPECCIONES305206191209299508

36*52073

37...62084TOTAL INSPECCIONES4428

...............

64*62354

6572365

...............COSTO TOTAL RECHAZOS=0.0

92...72635

93...72646COSTO TOTAL INSPECCION4428X2.4=(10,627.2)

...............

95...72916INGRESO TOTAL21000X12=252,000.0

9602927

......BENEFICIO NETO241,372.8

1230

1241NOTA: no se considera el costo de produccin que es constante.

W2 1-W1 Log ---- = 0.47712 log ----- = 0.00887 W1 1-W2 1 - 1 - Log ------- = 1.279 log ----- = 1.279 1 - 1 - log ----- log ------ h 2 = ---------------------- ; h 1 = -------------------- W2 1-W1 W2 1-W1 log ---- + log ------ log --- + log ---- W1 1-W2 W1 1-W2 1.279 1.279 h2 = ----------------- = 2.63 ; h1 = ----------------- = 2.63 0.47712 + 0.00887 0.47712 + 0.00887 0.00887 y S = --------------------- = 0.01825 0.47712 + 0.00887

EJEMPLO 2

EJERCICIO

Ejercicio 2