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Métodos Numéricos: Solución de los ejercicios
Tema 5: Resolución aproximada de ecuacionesFrancisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña
Abril 2008, versión 1.4
Ejercicio 1 Consideramos la ecuación
x− e−x = 0.
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución en el intervalo [0, 1].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo[0, 1].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuán-tas iteraciones nos hacen falta para asegurar 4 decimales exactos?
(d) Calcula las 5 primeras iteraciones.
−>−
(a) α ' 0.5.
x 21.510.50-0.5-1
2.5
2
1.5
1
0.5
0-0.5
-1
(b) Existencia.f(x) = x− e−x,
f es continua en [0,1], además
f(0) = −1 ª, f(1) = 0. 63212 ⊕,
por lo tanto, existe una solución α ∈ (0, 1) .
1
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 2
Unicidad. Calculamos la derivada
f 0(x) = 1 + e−x.
La derivada f 0 es positiva para todo x, por lo tanto, f es creciente en elintervalo y la raíz es única.
(c) Exigimos
|en| =b− a2n
=1
2n≤ 0.5× 10−4
2n ≥ 1
0.5× 10−4
n ≥ ln(20000)ln 2
= 14. 29
necesitamos n = 15 iteraciones.
(d) Iteraciones.
Fase 1a1 = 0 f(a1) = −1 ªc1 = 0.5 f(c1) = −0.1065 ª a2 = 0.5b1 = 1 f(b1) = 0.6321 ⊕ b2 = 1
Fase 2a2 = 0.5 f(a2) = −0.1065 ª a3 = 0.5c2 = 0.75 f(c2) = 0.2776 ⊕ b3 = 0.75b2 = 1 f(b2) = 0.6321 ⊕
c3 = 0.625,
c4 = 0.5625,
c5 = 0.59375. ¤
Ejercicio 2 Consideramos la ecuación
x− e−x = 0.
(a) Construye una representación gráfica con Maple y estima gráficamenteel valor de la raíz.
(b) Escribe un programa que permita aplicar el método de la bisección.Verifica el buen funcionamiento con el valor de las 5 iteraciones cal-culadas en el ejercicio anterior.
(c) Si partimos de intervalo [0, 1], ¿cuántas iteraciones nos hacen faltapara asegurar 7 decimales exactos?
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(d) Usa el programa y el número de iteraciones calculado para aproximarla raíz con 7 decimales.
(e) Calcula el valor de la raíz con Maple, verifica el resultado del apartadoanterior.
−>−
(a) Puedes obtener el gráfico con la orden£> plot(x-exp(-x),x=0..1);
Valor estimado a partir del gráfico α ' 0.57.(b) Un programa simple es el siguiente⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
> f:=x->x-exp(-x);a:=0; b:=1; n:=3;for i from 1 to n doc:=evalf((a+b)/2);fa:=f(a);fc:=f(c);if evalf(fa*fc)<0 then b:=c else a:=c fi;od;
Observemos que el programa no incorpora protección contra el caso f(ci) =0, no obstante, en cada iteración se imprime el valor de f(ci), lo que nospermite ver si en alguna iteración hemos determinado la raíz exacta.
(c) Exigimos1
2n≤ 0.5× 10−7
resulta n = 25.
(d) Usando el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], el valorobtenido en la iteración 25 es c25 = 0.56714329.
(e) Con el comando fsolve de Maple obtenemos£> s:=fsolve(x-exp(-x)=0);
s := 0.567143904
Error real.|e25| = |α− c25| = 0.12× 10−8.
El error obtenido nos confirma que, en efecto, c25 aproxima la raíz α con7 decimales exactos. ¤
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Ejercicio 3 Consideramos la ecuación
lnx =1
x.
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución en el intervalo [1, 2].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo[1, 2].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], ¿cuán-tas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos?
(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.
(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.
(f) Resuelve la ecuación con Maple.
−>−
(a) α ' 1.7.
x 420-2-4
5
4
3
2
1
0
-1
(b) Existencia.
f(x) =1
x− lnx
es continua en [1, 2], además
f(1) = 1 ⊕, f(2) = −0. 19 ª,
por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .
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Unicidad.f 0(x) =
−1x2− 1x
negativa para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f & en el intervalo y la raíz esúnica.
(c) Exigimos
|en| =b− a2n
=1
2n≤ 0.5× 10−5
resulta
n ≥ln¡2× 105
¢ln 2
= 17. 6096.
Necesitamos n = 18 iteraciones.
(d) Valor de las iteraciones
c1 = 1.5,
c2 = 1.75,
c3 = 1.875,
c4 = 1.8125.
(e) c18 = 1.763225557.
(f) α = 1.763222834, |e18| = 0.2723× 10−5. 2
Ejercicio 4 Consideramos la ecuación
lnx = e−x.
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución en el intervalo [1, 2].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo[1, 2].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], ¿cuán-tas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos?
(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.
(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.
(f) Resuelve la ecuación con Maple.
−>−
(a) α ' 1.3.
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x 543210-1
5
4
3
2
1
0-1
-2
(b) Existencia.f(x) = lnx− e−x
es continua en [1, 2], además
f(1) = −0.37 ª, f(2) = 0.56 ⊕,
por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .Unicidad.
f 0(x) =1
x+ e−x
positiva para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz esúnica.
(c) El intervalo tiene longitud 1, el resultado es el mismo que en el ejercicioanterior, necesitamos n = 18 iteraciones.
(d) Iteraciones
c1 = 1.5,
c2 = 1.25,
c3 = 1.375,
c4 = 1.3125.
(e) c18 = 1.309803011.(f) α = 1.309799586, |e18| = 0.3425× 10−5. 2
Ejercicio 5 Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado vertical-mente al aire y está descendiendo a su velocidad terminal1. La velocidadterminal se puede escribir, después de evaluar todas las constantes, como
(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2
donde v es la velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derechorepresenta la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza depresión.
1Shames, I. H., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, 1982, pag. 417.
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(a) Sabemos por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v '30m/s. Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz.
(b) Verifica el resultado construyendo un gráfico con Maple.
(c) Determina el número de pasos que se necesitan para aproximar la so-lución con 2 decimales usando el método de la bisección.
(d) Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente elvalor de los dos primeros pasos.
(e) Calcula el valor de la velocidad terminal con Maple.
−>−
(a) La función
f(v) = 1.962× 10−2 − 1.4× 10−5v1.5 − 1.15× 10−5v2
es continua en todo R.
f(20) = 0.01377, f(30) = 0.006 970, f(40) = −0.002 322,
tenemos una solución en el intervalo [30, 40]. Valor aproximado gráficamenteα ' 37.7.
x 403836343230
006
004
002
0
002
(b) Exigimos40− 302n
≤ 0.5× 10−2
y resulta n = 11.
(c) c1 = 35, c2 = 37.5, c11 = 37.73926.
(d) Resultado con Maple v = 37.73458, |e11| = 0.00468. ¤
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Ejercicio 6 El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resol-viendo una ecuación de criticalidad 2. Un ejemplo simple de este tipo deecuaciones es
tan (0.1x) = 9.2 e−x.
La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, porexperiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4].
(a) Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] yque tal raíz es única.
(b) Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de labisección.
(c) Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación.
(d) Calcula el valor de la raíz con Maple.
−>−
(a) Existencia. El primer punto positivo en el que tan(t) es discontinua est1 = π/2 = 1. 571. Si x ∈ [3, 4], entonces 0.1x ∈ [0.3, 0, 4], por lo tanto, lafunción
f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x
es continua en [3, 4]. Además
f(3) = −0. 1487f(4) = 0. 2543
¾T. Bolzano=⇒ Existe un α ∈ (3, 4) tal que f(α) = 0.
Unicidad. Calculamos la derivada
f 0(x) =0.1
cos2 (0.1x)+ 9.2e−x.
Como f 0(x) > 0 en (3, 4), tenemos f % y la raíz es única.
(b) Como el intervalo es de longitud 1, necesitamos 18 intervalos. El re-sultado de la iteración 18 es c18 = 3.292926791, por lo tanto la soluciónes
α = 3.29293.
(c) Sustituyendo en la ecuación obtenemos
f(c18) = f(3.29293) = 0.2 442× 10−5
Sin embargo, esto no garantiza la proximidad de c18 a la raíz (¿por qué?).
(d) Resultado Maple α = 3.292924615, |e18| = 0.2176× 10−5. ¤2Lamarsh, J. R., Introduction to Nuclear Reactor Theory, Addison-Wesley, 1966.
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Ejercicio 7 Consideramos la ecuación
x = e−x.
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución α próxima a x0 = 0.5.
(b) Aproxima el valor de la solución con 8 decimales mediante el método deNewton-Raphson, usando como criterio de parada el error estimado.
(c) Demuestra que la solución obtenida es correcta.
−>−
(a) α ' 0.5.
x 3210-1
4
3
2
1
0
-1
(b)f(x) = x− e−x
f 0(x) = 1 + e−x
Método
⎧⎨⎩ x0 = 0.5
xj+1 = xj −xj − e−xj1 + e−xj
Detenemos las iteraciones cuando los 8 primeros decimales quedan fijos
x0 = 0. 5,x1 = 0. 56631 1003,x2 = 0. 56714 3165,x2 = 0. 56714 3290,x4 = 0. 56714 3290.
En principio, el resultado es
α = 0. 56714 329,
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aunque no tenemos garantizado que el resultado sea correcto, puesto quehemos detenido las iteraciones usando el error estimado.(c) Error máximo admisible ² = 0.5× 10−8,
a = α− ² = 0.567143285, b = α+ ² = 0.567143295
f(a) = −8. 478× 10−9, f(b) = 7. 194× 10−9.Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar
|α− α| < 0.5× 10−8
y por lo tanto, la aproximación calculada α tiene 8 decimales exactos. ¤
Ejercicio 8 Resuelve la ecuación de criticalidad
tan (0.1x) = 9.2 e−x
usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial x0 = 3.5. Calcula lasolución con 5 decimales exactos.
−>−
(a)f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x
f 0(x) =0.1
cos2 (0.1x)+ 9.2e−x
Método
⎧⎪⎨⎪⎩x0 = 3.5
xj+1 = xj −tan (0.1xj)− 9.2 e−xj
0.1cos2(0.1xj)
+ 9.2e−xj
Detenemos las iteraciones cuando los 5 primeros decimales quedan fijos
x0 = 3. 5,x1 = 3. 27703 008,x2 = 3. 29283 161,x3 = 3. 29292 461,x4 = 3. 29292 461.
α = 3.29292.
Verificamos el resultado; error máximo admisible ² = 0.5× 10−5,
a = α− ² = 3.292915, b = α+ ² = 3.292925.
f(a) = −4. 35953 4× 10−6, f(b) = 1. 74609× 10−7.Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar
|α− α| < 0.5× 10−5. ¤
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Ejercicio 9 Resuelve la ecuación
(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2
usando el método de Newton-Raphson a partir del valor inicial v0 = 30m/s.Calcula la solución con 3 decimales exactos.
−>−
Tomamos
f(v) = 0.0 1962− 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2,
f 0(v) = −0.0000 21v. 5 + 0.0000 23v.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩v0 = 30,
vj+1 = vj −f(vj)
f 0(vj).
Valores de las iteraciones
v0 = 30,v1 = 38.657611,v2 = 37.744895,v3 = 37.734579,v4 = 37.734578.
Valor aproximado de la velocidad terminal
v = 37.735.
Error máximo ² = 0.5× 10−3
a = v − ² = 37.7545 f(a) = 0.77× 10−7b = v + ² = 37.7355 f(b) = −0.919× 10−6
¾cambio de signo,
podemos asegurar|vT − v| ≤ 0.5× 10−3. ¤
Ejercicio 10 Aproxima el valor de√41 con 6 decimales exactos usando el
método de Newton-Raphson.
−>−
Sea x el valor buscadox =√41
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y reformulamos ecuación como una ecuación cuadrática
x2 − 41 = 0.
Tenemos
f(x) = x2 − 41,f 0(x) = 2x.
Método ⎧⎨⎩x0 = 6.5,
xj+1 = xj −x2j − 412xj
.
Donde hemos tomado x0 = 6.5 como estimación inicial de√41. Iteraciones
x0 = 6.5,x1 = 6.4038462,x2 = 6.4031243,x3 = 6.4031242.
Valor aproximado con 6 decimales
α = 6.403124
Verificamos la solución. Error máximo admisible ² = 0.5× 10−6
a = α− ² = 6.4031235 f(a) = −0.49× 10−5a = α− ² = 6.4031245 f(b) = 0.34× 10−5
¾cambio de signo.
Podemos asegurar que
|α− α| ≤ 0.5× 10−6. ¤
Ejercicio 11 Aproxima el valor de 5√23 con 6 decimales exactos usando el
método de Newton-Raphson.
−>−
Formulamosx =
5√23⇐⇒ x5 − 23 = 0.
Tomamos la función
f(x) = x5 − 23,f 0(x) = 5x4.
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Valor inicial25 = 3215 = 1
¾⇒ x0 = 1.5.
Método ⎧⎨⎩x0 = 1.5,
xj+1 = xj −x51 − 234x4j
.
Iteracionesx0 = 1.5,x1 = 2.10864198,x2 = 1.91958682,x3 = 1.87445650,x4 = 1.87217680,x5 = 1.87217123,x6 = 1.87217123.
Valor aproximado con 6 decimales
α = 1.872171. ¤
Ejercicio 12 Dado un número c, podemos calcular su inverso x = 1/c re-solviendo la ecuación
1
x− c = 0.
(a) Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemoscalcular inversos sin hacer divisiones.
(b) Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores inicialesdeben estar próximos a la solución para que el método converja.
−>−(a) Formulamos
x =1
c⇐⇒ 1
x− c = 0.
Tomamosf(x) =
1
x− c
f 0(x) =−1x2
Método ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x0 = aproximación inicial
xj+1 = xj −
1
xi− cÃ− 1x2j
! = 2xj − cx2j
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 14
½x0 = aproximación inicial,xj+1 = 2xj − cx2j .
(b) Para α =1
9, tomamos el valor inicial x0 = 0.1. Observa que es c = 9.
La fórmula de recurrència es½x0 = 0.1,xj+1 = 2xj − 9x2j .
Iteraciones.x0 = 0.1x1 = 0.11x2 = 0.1111x3 = 0.11111111x4 = 0.1111111
Tomamos1
9= 0.111111.
Para α =1
45, podemos tomar el valor inicial x0 = 0.01. La fórmula de
recurrència es ½x0 = 0.1,xj+1 = 2xj − 45x2j .
x5 = x6 = 0.02222222.
1
45= 0.022222
Para α =1
678, valor inicial x0 = 0.001
x4 = x5 = 0.00147493,
α = 0.001475. ¤
Ejercicio 13 Consideramos la ecuación
x = cos(x).
(a) Demuestra que la formulación
x =x+ cos(x)
2
es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0, 1].
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 15
(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.
(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.
(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.
(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.
−>−
En primer lugar, observamos que la ecuación
x = cos(x)
es equivalente a la ecuación
x =x+ cos(x)
2
pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x. En el segundo caso, la función de iteración es
g(x) =x+ cos(x)
2.
(a) Veamos que la función
g(x) =x+ cos(x)
2
cumple las condiciones del teorema de punto fijo.
• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 1].
• (Condición 2) Sean
m = minx∈[0,1]
g(x), M = maxx∈[0,1]
g(x).
Si x ∈ [0, 1], entonces g(x) ∈ [m,M ]. Debemos resolver un problema deextremos absolutos de una función continua sobre un intervalo cerrado.Calculamos la derivada
g0(x) =1− sin(x)
2,
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 16
se cumple g0(x) > 0, en todo [0, 1], por lo tanto g % en [0, 1] y
m = minx∈[0,1]
g(x) = g(0) = 0. 5, M = maxx∈[0,1]
g(x) = g(1) = 0. 77015 1.
Por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en
[0.5, 0. 77015 1] ⊂ [0, 1].
• (Condición 3) Hemos de calcular
M1 = maxx∈[0,1]
¯g0(x)
¯.
La función objetivo es
h(x) =
¯1− sin(x)
2
¯=1− sin(x)
2,
calculamosh0(x) = −1
2cos(x).
Como h0(x) < 0 en [0, 1], resulta h(x)&, por lo tanto
M1 = maxx∈[0,1]
¯g0(x)
¯= h(0) = 0.5.
En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en elintervalo [0, 1] y que la iteración de punto fijo
xj+1 =xj + cos(xj)
2
converge a él para todo valor inicial x0 ∈ (0, 1) .(b) El error cumple
|ej | = |α− xj | ≤M j1(b− a) = (0. 5)
j (1− 0) = (0. 5)j ,
exigimos(0. 5)j ≤ 0.5× 10−5
y resolvemos en j, resulta
j ≥ln¡0.5× 10−5
¢ln (0. 5)
= 17. 6096.
Para asegurar 5 decimales exactos, necesitamos j = 18 iteraciones.
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 17
(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es
j xj0 0.5
1 0. 68879128
2 0. 73040306
3 0. 73765431
4 0. 73885125
5 0. 73904696
(d) Programa Maple⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
> g:=x->(x+cos(x))/2;x0:=0.5;n:=17;for j from 0 to n dox.(j+1):=evalf(g(x.j));od;
Obtenemosx18 = 0.73908513.
(e) Valor obtenido con fsolve
α = 0.73908513. ¤
Ejercicio 14 Consideramos la ecuación
x = e−x
(a) Demuestra que la formulación
x =x+ e−x
2
es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0.5, 1].
(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.
(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.
(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 18
(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.
−>−
En primer lugar, observamos que
x = e−x ⇐⇒ x =x+ e−x
2
pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x.
(a) Veamos que la función de iteración
g(x) =x+ e−x
2
cumple las condiciones del teorema de punto fijo.
• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 0.5].
• (Condición 2) Sean
m = minx∈[0,1]
g(x), M = maxx∈[0,1]
g(x),
calculamos
g0(x) =1− e−x2
,
estudiamos si g0(x) se anula
g0(x) = 0⇐⇒ 1− e−x = 0⇐⇒ e−x = 1⇐⇒ x = 0.
Vemos que la derivada tiene un único cero que está fuera del intervalo[0.5, 1], por lo tanto, g0 es de signo constante en el intervalo. Como
g0(1) =1− e−12
= 0. 31606,
se cumple g0(x) > 0, en todo [0.5, 1], en consecuencia g % en [0, 1] y
m = minx∈[0,1]
g(x) = g(0.5) = 0. 55326 5, M = maxx∈[0,1]
g(x) = g(1) = 0. 68394.
por lo tanto, cuando x toma valores en [0.5, 1], g(x) toma valores en
[0. 55326 5, 0. 68394] ⊂ [0.5, 1].
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 19
• (Condición 3) Hemos de calcular
M1 = maxx∈[0,1]
¯g0(x)
¯,
la función objetivo es
h(x) =
¯1− e−x2
¯.
En el apartado anterior, hemos visto que
1− e−x2
> 0, para x ∈ [0.5, 1],
por lo tanto, podemos eliminar el valor absoluto
h(x) =1− e−x2
.
Calculamos
h0(x) =e−x
2,
como h0(x) > 0 en [0.5, 1], resulta h(x)%, por lo tanto
M1 = maxx∈[0,1]
¯g0(x)
¯= h(1) = 0. 31606.
En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en elintervalo [0.5, 1] y que la iteración de punto fijo
xj+1 =xj + e
−xj
2
converge a él para todo valor inicial x0 ∈ (0.5, 1) .(b) El error cumple
|ej | = |α− xj | ≤ (0. 31606)j (0.5− 0) = (0. 31606)j (0.5) ,
exigimos(0. 31606)j (0.5) ≤ 0.5× 10−5
y resolvemos en j, resulta
j ≥ln¡10−5
¢ln (0. 31606)
= 9. 99539.
Para asegurar 5 decimales exactos, necesitamos j = 10 iteraciones.
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 20
(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es
j xj0 0.75
1 0. 61118328
2 0. 57694580
3 0. 56927841
4 0. 56760603
5 0. 56724347
(d) Programa Maple. Es análogo al del problema anterior, ajustando ladefinición de la función g(x) y el número de iteraciones⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
> g:=x->(x+exp(-x))/2;x0:=0.75;n:=9;for i from 0 to n dox.(i+1):=evalf(g(x.i));od;
Obtenemosx10 = 0.56714334
La solución esα = 0.56714
(e) Valor obtenido con fsolve
α = 0.5671432904. ¤
Ejercicio 15 Resuelve la ecuación
tan (0.1x) = 9.2 e−x
con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x− λf(x).
toma como intervalo inicial [3, 4].
−>−
En primer lugar, escribimos la ecuación en forma normal f(x) = 0, esto es
f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x.
Calculamosf(3) = −0. 14870 5, f(4) = 0. 25428 9,
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 21
por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (3, 4). Esti-mamos el valor de f 0(α) usando la pendiente media en el intervalo
f 0(α) ' f(4)− f(3)2− 1 = 0. 40299 4
y calculamos λ
λ =1
f 0(α)' 1
0. 40299 4= 2. 48143.
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,½x0 = 3.5,xj+1 = xj − 2. 48143 (tan(0.1xj)− 9.2e−xj ) .
Resultan las iteracionesj xj0 3. 5
1 3. 28358 81
2 3. 29412 90
3 3. 29277 45
4 3. 29294 34
5 3. 29292 23
6 3. 29292 49
7 3. 29292 46
8 3. 29292 46
Podemos tomarα = 3.292925. ¤
Ejercicio 16 Resuelve la ecuación
x = cos(x)
con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x− λf(x),
toma como intervalo inicial [0, 1].
−>−
Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con
f(x) = x− cos(x),
calculamosf(0) = −1, f(1) = 0. 45970.
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 22
Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (0, 1). Esti-mamos el valor de f 0(α)
f 0(α) ' f(1)− f(0)1− 0 = 1. 45970
y calculamos λ
λ =1
f 0(α)' 1
1. 45970= 0. 6851.
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,½x0 = 0.5,xj+1 = xj − 0.6851 (xj − cos (xj)) .
Obtenemosj xj0 0.51 0. 758681812 0. 736115783 0. 739518184 0. 739021605 0. 739094446 0. 739083777 0. 73908 5338 0. 73908 510 |e8| = 0.23× 10−6
Podemos tomarα = 0.739085. ¤
Ejercicio 17 Calcula√55 con 6 decimales exactos usando una formulación
de punto fijo del tipox = x− λf(x),
determina un intervalo inicial adecuado.
−>−
Formulamosx =√55⇐⇒ x2 = 55.
Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con
f(x) = x2 − 55.
Calculamos
f(7) = −6f(8) = 9
¾T. Bolzano=⇒ solución α ∈ (7, 8) .
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 23
Estimamos
f 0(α) ' f(8)− f(7)8− 7 = 15
y calculamos λ
λ =1
f 0(α)' 1
15= 0.066667.
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,(x0 = 7.5,
xj+1 = xj − 0.066667³x2j − 55
´.
Obtenemosj xj0 7.51 7. 41666 62502 7. 41620 36973 7. 41619 85454 7. 41619 8488 |e4| = 0.57× 10−7
Podemos tomarα = 7.416198. ¤
Ejercicio 18 El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tuboestá dado por3
1√f= 1.14− 2.0 log10
µe
D+
9.35
Re√f
¶donde Re es el número de Reynolds, e es la rugosidad de la superficie deltubo y D es el diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos
(a) D = 0.1m, e = 0.0025, Re = 3× 104
(b) D = 0.1m, e = 0.0001, Re = 3× 106
Indicación: El orden de magnitud de f es 10−2; además es mejor reescribirla ecuación en la forma
f =
∙1.14− 2.0 log10
µe
D+
9.35
Re√f
¶¸−2
−>−
Ver resolución con Maple.(a) f = 0.054114(b) f = 0.019721
3Correlación de Colebrook