MOVIMIENTOS VIBRATORIOS MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

MOVIMIENTOS VIBRATORIOSMOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE1. POR QU SE PRODUCEN LOS MOVIMIENTOS PERIDICOS VIBRATORIOS?En Dinmica se estudio un tipo de movimiento que era denominado peridico por repetirse en el cada ciertoTiempo la misma posicin del mvil

Se trata del movimiento circular uniforme (MCU), producido por una fuerza central constante, la denominada fuerza centrpeta o normal.

En una primera aproximacin, podemos considerar que el movimiento peridico de la Luna alrededor de la Tierra, de la Tierra alrededor de s misma y en torno al Sol son MCU.

Sin embargo, existen muchos otrosmovimientos peridicos comunes que no sonproducidos por fuerzas constantes; son producidospor fuerzas variables. Por ejemplo, el movimientode vaivn de un cuerpo unido a un muelle opendiente de un hilo (figura 1).

En estos movimientos oscilatorios o vibratorios la posicin del mvil recorre siempre la misma trayectoria y pasa alternativamente por posiciones extremas alrededor de una posicin de equilibrio estable, por accin de una fuerza central variable, llamada fuerza restauradora o recuperadora porque siempre tiende a devolver al mvil a la citada posicin de equilibrio estable.

Si las oscilaciones son libres (no actan simultneamente fuerzas disipativas o de rozamiento), el movimiento oscilatorio se mantendr indefinidamente (situacin ideal); si las oscilaciones son amortiguadas (actan al mismo tiempo fuerzas disipativas o de friccin), el mvil acabar retornando al reposo en su posicin de equilibrio estable.

Los movimientos vibratorios de partculas materiales estn muy presentes en nuestro entorno: (la carrocera de un coche al pasar por una carretera con baches, la lenteja del pndulo de un reloj de pared, las copas de los rboles y los puentes colgantes cuando les azota el viento, los latidos del corazn, nuestras cuerdas vocales al hablar) y en el mundo atmico (las vibraciones de los tomos dentro de una molcula o dentro de una red cristalina), de aqu la importancia de su estudio y descripcin.2. CMO DESCRIBIR EL MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMNICO SIMPLE (MAS)?El Movimiento Armnico Simple (MAS): Es un movimiento peridico de vaivn en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posicin de equilibrio, en una direccin determinada y en intervalos de tiempo.

Por ejemplo es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posicin de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Podemos considerar MAS los movimientos vibratorios de un muelle o de un pndulo simple que oscila bajo ngulos pequeos de forma libre.

Se llama oscilador armnico a cualquier dispositivo o sistema que describe un MAS.

Cualquier otro movimiento peridico vibratorio ms complicado se puede expresar como una sucesin deMAS (ley de Fourier).

El uso del trmino armnico en la denominacin del movimiento se debe a que para su descripcinmatemtica son adecuadas las funciones trigonomtricas seno o coseno, porque repiten una secuencia de valoresentre dos extremos, funciones conocidas tradicionalmente como armnicas.

2.1. CMO ES LA ECUACIN DEL OSCILADOR ARMNICO? DESCRIPCIN CINEMTICA.

Para describir los movimientos vibratorios, por ser peridicos, se utilizan magnitudes que ya vimos en el MCU, tales como:

El perodo (T). Representa el tiempo que tarda en repetirse una posicin dada, es decir, el tiempo que corresponde a una oscilacin completa o ciclo. Su unidad en el (SI) es el segundo (s).

La frecuencia (v, f). Representa el nmero de oscilaciones por unidad de tiempo. Su unidad en el SI es el s -1 o Hz (hertzio).

v y T guardan entre s una relacin inversa: v = 1/ T

.

Para deducir la ecuacin del MAS debemos relacionar este movimiento con el MCU. Observa en la figura 2 que el MAS es la proyeccin sobre un dimetro de un MCU. Al proyectar sobre el dimetro vertical el MCU de una partcula que parte de 0 en sentido contrario a las agujas del reloj con una velocidad angular w constante, obtenemos un MAS que parte de 0 hacia la direccin positiva del eje Y (figura 2.a).

Figura 2.a Figura 2.b Figura 2.cCuando hemos recorrido un cuarto de vuelta, el tiempo transcurrido ha sido un cuarto de perodo (T/4), y el movimiento vibratorio ha recorrido un radio (r = A), que es el valor mximo deldesplazamiento (figura 2.b).

Cuando hemos recorrido la circunferencia completa, el tiempo transcurrido es de un perodo (T) y en el dimetro se ha realizado una vibracin completa o ciclo. A partir de este instante, los dos movimientos se repiten.

En la figura 2.c vemos que a un desplazamiento angular f = t realizado en el movimiento circular en el tiempo t, corresponde un desplazamiento o elongacin y en el dimetro, tal que: y(t) = Asen tEn el caso de empezar a medir el tiempo cuando se ha recorrido previamente un ngulo o , (figura 3), el valor de y ser: y (t) = Asen (t + ) , ecuacin del MAS., donde donde A, y o son constantes del movimiento.

Figura 3Aclaramos el significado fsico de las magnitudes que intervienen en la ecuacin anterior (figura 4): y : Elongacin. Representa el estado de vibracin de la partcula en cualquier instante; mide la distancia entreel punto de equilibrio estable y la posicin de la partcula vibrante en cada instante (unidad SI: metro). Si o = 0

y representa el desplazamiento que ha experimentado la partcula en el tiempo t.Si el movimiento armnico es vertical, las elongaciones por encima de la posicin de equilibrio se consideran positivas ynegativas las de abajo, mientras que si el movimiento armnico tiene lugar horizontalmente, son positivas las elongacionesa la derecha de la posicin de equilibrio y negativas a la izquierda. A : Amplitud. Valor mximo que puede tomar la elongacin. Por tanto, la distancia entre las dos posicionesextremas de la partcula vibrante es 2A m.

Figura 4t + o : Fase del movimiento vibratorio en cualquier instante. Su valor determina el estado de vibracin, o sea, el valor de la elongacin en un instante dado. Consta de: o : Fase inicial, correccin de fase, desfase o constante de fase. Su valor determina la elongacin para t = 0 s y debe concretarse en cada caso:y(0)=Aseno = o=arcsen y(0) / A

As, si empezamos a contar el tiempo cuando la partcula pasa por la posicin de equilibrio (y(0) = 0 m) resulta que o = 0 rad.

: Pulsacin o frecuencia angular del movimiento vibratorio. Es el equivalente a la velocidad angular constante del MCU hipottico que hemos proyectado; mide la variacin de fase del movimiento vibratorio en la unidad de tiempo. W = /t = 1 o/t = 2/T = 2vSu unidad en el SI es la misma que la de la frecuencia, el s-1 o Hz (hertzio), ya que, por definicin de radin, esta magnitud complementaria es adimensional y, por tanto, sin unidades; no obstante, est admitido escribir rad/s.

Se dice que dos posiciones de la partcula vibrante estn en fase o concordancia de fase cuando coinciden sus estados de vibracin (coincide el valor de la elongacin). Esto ocurre cuando el tiempo que transcurre entre las posiciones es igual a un nmero entero de perodos de vibracin: t = nT (con n = 0, 1, 2, 3,) .. La diferencia de fase entre dos estados devibracin en fase es de: = 2n rad.Se dice que dos posiciones de la partcula vibrante estn en oposicin de fase cuando sus estados de vibracin son opuestos. Esto ocurre cuando el tiempo que transcurre entre las posiciones es igual a un nmero impar de semiperodos de vibracin: t = ( 2n +1)T /2 (con n = 0, 1, 2, 3, ...).

La diferencia de fase entre dos estados de vibracin en oposicin de fase es de: = (2n+1) radTeniendo en cuenta las relaciones planteadas anteriormente entre el perodo, la frecuencia y la pulsacin, la ecuacin del movimiento de un objeto que describe un MAS de perodo T y amplitud A, puede expresarse en las siguientes formas anlogas:

y (t) = Asen (t + o) = Asen ( 2 /T . t + o)= Asen ( 2t + o)A partir de la ecuacin del movimiento, podemos obtener la ecuacin de la velocidad y la ecuacin de la aceleracin sin ms que aplicar sus respectivas definiciones:v = dt/dy = Acos (t + o) = +- A / 1-sen2 (t + o)

= +- / A - A sen (t + o) = + - / A -y

a =dv/dt = - A 2sen (t + o) = - y

Observa que (figura 5):- La velocidad y la aceleracin son funcin peridica del tiempo.- Su valor depende de la posicin de la partcula, oscilando entre dos valores extremos:

La velocidad tiene el valor mximo en el centro de la trayectoria, anulndose en los extremos.

La aceleracin es proporcional a la elongacin, pero de sentido contrario a ella, siempre dirigida hacia el centro de vibracin; se anula en el centro y tiene valor mximo en los extremos.

Figura 5. Grficas y-t, v-t y a-t para el MAS2.2 DE QU DEPENDE EL PERODO DE UN OSCILADOR ARMNICO? DESCRIPCIN DINMICA.

Para dar respuesta a la cuestin que da ttulo a este apartado debemos recurrir al estudio dinmico del oscilador armnico. Dos osciladores armnicos tpicos son el muelle y el pndulo simple.

DINMICA DEL MAS EN UN MUELLE O SISTEMA ELSTICO.Un sistema elstico (muelle, resorte, goma, etc.) se convierte en un oscilador armnico por accin de unafuerza central recuperadora o restauradora que se manifiesta cuando se rompe la situacin de equilibrio estable por accin de alguna fuerza deformadora, siempre en contra de dicha fuerza deformadora y hacia la posicin de equilibrio. Dicha fuerza recuperadora es variable y cumple la ley de Hooke (F restaurado = -k . r ) es decir, es directamente proporcional en todo instante al desplazamiento experimentado por el sistema elstico

Al colgar un cuerpo de masa m de un muelle de masa despreciable y longitud L , se observa que se estira quedando en equilibrio con una longitud final L (figura 6). Dado que las fuerzas que actan sobre el cuerpo, su peso y la fuerza recuperadora, estn equilibradas, podemos afirmar:

F = 0; P = F recuperadora ; P = k(L-L) ; lo que nos permite calcular la constante elstica del sistema:

k = mg/L-Lo

Figura 6Vibraciones y ondas Si se aplica al sistema una fuerza deformadora vertical y sedeja libre, obtenemos un oscilador armnico (figura 7). La fuerzaresultante es proporcional y de sentido contrario a la separacin delcuerpo de la posicin de equilibrio, por lo que el objeto sigue unMAS. Aplicando la ley de Hooke (F=- k y)y la segunda ley deNewton (F=ma) y teniendo en cuenta que la aceleracin del movimiento es del tipo: a - y, se tiene: k = m = m 4 pi /TT = 1/v = 2 pi/ = 2 pi / m/k

Figura 7A partir de este resultado puede verse que el perodo y la frecuencia de un oscilador armnico elstico son independientes de la amplitud del movimiento. Dependen de la masa del sistema oscilante y de la constante recuperadora, o sea, de su naturaleza.

La frecuencia del oscilador es tanto mayor cuanto mayor es la rigidez del muelle y menor es su masa.Esto es lo natural: el muelle rgido comunica al cuerpo una aceleracin mayor y la velocidad de ste vara con ms rapidez.

DINMICA DEL MAS EN UN PNDULO SIMPLE CON NGULOS DE DESVIACIN PEQUEOS.

Un pndulo simple consta de un cuerpo suspendido de un hilo inextensible y de masa despreciable.Al separar el pndulo de la vertical un ngulo a, el cuerpo oscila en torno a la posicin central. Cul es la fuerza restauradora que actaen este caso?. Como se deduce de la figura 8, en un pndulo simple, la componente tangencial del peso acta en calidad de fuerza restauradora(Fa = - mg.sen a ) , ya que la componente normal del peso (mg.cos a), en la direccin del hilo, es compensada por la tensin de dicho hilo.

Figura 8Esta fuerza tangencial, causa del movimiento, no es proporcional al desplazamiento del cuerpo, por lo que el movimiento no es armnico simple. No obstante, si el ngulo de desviacin respecto a la posicin central es pequeo (no ms de 15-20) el valor de sen a equivale a a (en rad) (sen a a =s /l, con s mucho menor que l), con loque podemos escribir la fuerza tangencial as: F= - mg. s/l , donde :

s es el arco de circunferencia descrita, asimilable a una recta, y l es la longitud del pndulo.Combinando la ecuacin anterior con la segunda ley de Newton (F = m.a) y teniendo en cuenta que la aceleracin del movimiento es del tipo: a= - s (ver descripcin cinemtica), se tiene: g/l = = = / g/l ; o tambin: T = 1/v = 2 pi/ = 2 pi / g/l

A partir de esta ecuacin puede verse de nuevo que el perodo y la frecuencia de un MAS sonindependientes de la amplitud del movimiento. Adems, para un pndulo que oscila bajo pequeos ngulos deseparacin, el perodo y la frecuencia son independientes de la masa, algo que no suceda para el muelle oscilante.VIBRACIONES Y ONDAS Slo dependen de la longitud del pndulo y de la aceleracin de la gravedad. La frecuencia del M.A.S de unpndulo es tanto mayor cuanto mayor es la gravedad en el lugar y menor es la longitud del hilo.

Concluimos que todos los pndulos simples de igual longitud en el mismo lugar, oscilarn con el mismo perodo.

La dependencia entre el perodo de las oscilaciones de un pndulo y el valor de la gravedad se aprovecha en la prctica para determinar dicho valor con bastante exactitud. Tales mediciones locales de la intensidad decampo gravitatorio son importantes, pues dan informacin sobre la localizacin de petrleo y otros recursosminerales.