movimiento ondulatorio, ondas. 2 ondas: introducción i las ondas están relacionadas con...

Movimiento

Ondulatorio, Ondas

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Ondas: Introducción I

Las ondas están relacionadas con muchísimos fenómenos cotidianos y no tan cotidianos. Están por todos sitios a nuestro alrededor:

• El sonido

•La luz

•La radio y los teléfonos móviles

•Las ondas electromagnéticas

•Las olas del mar y los tsunamis

•Las ondas sísmicas de un terremoto

•Ondas en cuerdas

•Y un largísimo etc.¿Pero que son realmente las ondas??

Definición formal:

“Una onda es una forma de transmisión de energía, en la que una per-turbación se propaga a través del espacio sin que haya transporte neto de materia”

¿Qué quiere decir esto? animacion

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Ondas: Introducción I

Las ondas están relacionadas con muchísimos fenómenos cotidianos y no tan cotidianos. Están por todos sitios a nuestro alrededor:

• El sonido

•La luz

•La radio y los teléfonos móviles

•Las ondas electromagnéticas

•Las olas del mar y los tsunamis

•Las ondas sísmicas de un terremoto

•Ondas en cuerdas

•Y un largísimo etc.¿Pero que son realmente las ondas??

Definición formal:

“Una onda es una forma de transmisión de energía, en la que una per-turbación se propaga a través del espacio sin que haya transporte neto de materia”

¿Qué quiere decir esto? animacion

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Ondas: Introducción II. Tipos de Ondas

Tipos de ondas

Las ondas se pueden clasificar atendiendo a diferentes criterios.El primero de ellos tiene que ver con la dirección de

propagación de la onda y la dirección de la perturbación. En este caso se dividen en:

Ondas transversales: La perturbación es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

Ondas Longitudinales: La perturbación tiene la misma dirección (es paralela) que la propagación de la onda.

Ejemplos: ondas en cuerda, olas, ondas electromagnéticas

animacion

Ejemplos: sonido, ondas símicas…

animacion

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Tipos de ondas

Existen otros tipos onda algo más complicadas, como las ondas del mar, las olas en las que las partículas se mueven en círculos

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Tipos de ondasEl segundo criterio se centra en la naturaleza (tipo) de la

perturbación y en si ésta necesita o no, un medio material para propagarse:

Ondas mecánicas: La perturbación es de tipo mecánico y necesitan un medio material (aire, agua, cualquier sólido…) para propagarse.

Es decir las partículas del medio “se empujan” unas a otras de forma que la perturbación se transmite sin que las partículas “viajen”.

Ondas electromagnéticas: La perturbación es un campo eléctrico asociado a uno magnético variante en el tiempo. La perturbación no necesita un medio material para propagarse.

Una carga electrica en movimiento (acelerada)) produce un E y un B variables en el tiempo. Esta variación seb transmite por el espacio en forma de ondas e.m.

Ejemplos: ondas en cuerda, olas, sonido, ondas sísmicas.

Ejemplos: luz, radio. Rayos x, rayos uv, microondas… animacion

(se propagan incluso en el vacío!!!).

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Tipos de ondasOndas mecánicas:

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El último criterio tiene en cuenta en cuantas direcciones (dimensiones) se está propagando la onda:

Ondas unidimensionales (1D):

Ondas Bidimensionales (2D):

Ondas Tridimensionales (3D):


Tipos de ondas

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Definiciones:Pulso: Una perturbación momentánea, aislada, que se transmite.Tren de ondas: Una serie de perturbaciones consecutivas.Onda: Se utiliza en general para cualquier caso.

animacion

Velocidad de propagación (v): Es la velocidad con que se transmite (con que viaja) la perturbación y la energía que transporta. La velocidad con que se propagan las ondas.

Depende de las propiedades del medio por donde se transmite la onda.

Todas las ondas del “mismo tipo” propagándose por el mismo medio viajan a la misma velocidad

Ondas: Introducción III. Definiciones y propiedades

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Velocidad de propagación (v): Es la velocidad con que se transmite (con que viaja) la perturbación y la energía que transporta. La velocidad con que se propagan las ondas.

Depende de las propiedades del medio por donde se transmite la onda. Todas las ondas del “mismo tipo” propagándose por el mismo medio viajan a la misma

velocidad.

Ejemplos:

Ondas: Introducción III. Definiciones y propiedades

d

Pv

γ

T

v

Ondas sonora en gases:

Ondas en una cuerda:

Ondas electromagnéticas (velocidad de la luz):

1

v

T l

mDonde es la tensión de la cuerda y

es la masa por unidad de longitud de la cuerda

P dDonde es la presión, es la densidad y es el

coeficiente adiabático del gas. Para el aire y

4,1

sm /340v

sKmsm /000.300/10·31 8

00

c

Donde es la constante dieléctrica del medio y

es su permeabilidad magnética. En el vacio:

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Definición: Las perturbaciones que las originan son armónicas simples

animacion

Características: Amplitud de la onda (A): Máximo valor de la perturbación (elongación, presión,

intensidad del campo eléctrico) en un punto Longitud de Onda (λ): Distancia entre dos puntos consecutivos en el mismo estado de

vibración (en fase). Unidad SI: m. Período T: Tiempo que tarda un punto cualquiera en describir un ciclo completo.

Coincide con el tiempo que tarda la perturbación en recorrer una distancia igual a λ. Unidad SI: s.

Frecuencia: Número de oscilaciones completas que da un punto del medio en la unidad de tiempo. También número de “longitudes de onda” (oscilaciones completas) que pasan por un punto en la unidad de tiempo. Unidad SI: Hz=s-1.

Ondas: Ondas armónicas I

)Asen(y(t) 0 ωt

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)Asen(y(t) 0 ωt

Definición: Las perturbaciones que las originan son armónicas simples

Animacion

Ondas: Ondas armónicas I. Características

A

A

y(x1,t)

y(x2,t)

y(x3,t)

y(x4,t)

Características:Perturbación (o elongación) (y(x,t)):

Es el valor de la perturbación en cada punto y en cada instante de tiempo. Evidentemente depende de que posición y que momento de tiempo estemos considerando.

Amplitud de la onda (A): Máximo valor de la perturbación (elongación, presión, intensidad del campo eléctrico…) en un punto

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)Asen(y(t) 0 ωt

Animacion


Características:Longitud de Onda (λ):

•Distancia entre dos puntos consecutivos con el mismo estado de vibración (que están en fase). Distancia entre dos valles o dos crestas consecutivos •Se podría denominar período espacial. •Unidades SI: metros (m).

λ·fv ó

λ

y(x1,t) y(x2,t)

y(x3,t) y(x4,t)

λ

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)Asen(y(t) 0 ωt

Animacion


Características:Período T:

•Tiempo que tarda un punto cualquiera en describir un ciclo completo.

•Coincide con el tiempo que tarda la perturbación en recorrer una distancia igual a λ.

•Unidad en el SI: el segundo (s).

Frecuencia (f):

•Número de oscilaciones completas que da cualquier punto del medio (aire, etc.) en la unidad de tiempo.•También número de “longitudes de onda” (oscilaciones completas) que pasan por un punto en la unidad de tiempo.

•Unidad SI: Hz=s-1.

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De las definiciones anteriores podemos deducir que para cualquier onda armónica la velocidad de propagación cumple:

Muy bien, vale, maravilloso... Pero… para el examen

¿Como se representan matemáticamente las ondas??

Función de Onda: Es una función matemática que representa el valor de la perturbación para cualquier punto del medio (por el que se propaga la onda) y para cualquier instante de tiempo.

Depende de dos variables: Espacio (x) y tiempo (t)

animacion

Ondas: Ondas armónicas II.

T

λv λ·fv ó

t)f(x,t) y(x,

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¿Como es la función de onda de una onda armónica?? animacion

Ondas: Ondas armónicas III: Función de

onda.

Δt

011 t

TA·sen)t0, y(x

·2

t)? y(x,¿

01tA·sent) y(x,

·2

T

0Δt-tA·sen

)·(2

T

y(x,t1)

)tA·sen() y(t 011 ·

y

x

y(x=0,t1)

1t

v

0t-tA·sent) y(x,

·2

·2

TT

0x

λ-tA·sent)y(x,

·2

·2

T

Δt-tt1

tv·x

y

xy(x=0,t)

)tA·sen( y(t) 0 · y(x,t)

Δttt 1

tv·x

v

0v

x-tA·sen

·2

·2

TT

T

λ·v

Pues esto es la

función de onda!!!

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Ondas: Ondas armónicas III: Función de

onda.

angularFrecuenciafT

22

ó

0x

λ-tA·sent)y(x,

·2

·2

T

0x-tA·sent)y(x, ··

Si la onda viaja hacia la derecha:

Si la onda viaja hacia la izquierda:

0x-tA·sent)y(x, ·· 0xtA·sent)y(x, ··

animación

ondasNúmero deK 2

n ó Pulsacio

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Ejemplo 1: Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje x. Si su amplitud es de 1cm, su frecuencia de 50Hz y la longitud de onda es de 10cm. Suponiendo que en el instante t=0 y en el punto x=0 la perturbación es nula (y(0,0)=0) determina:

a) El período, la frecuencia angular y el número de ondas (K).

b) La ecuación de onda

c) La velocidad de propagación de la onda.

d) ¿Cuál es la ecuación de la perturbación y la velocidad de una partícula situada en el punto x=-30cm?. ¿Y el valor de éstas en el instante t=1s?

Ondas: Ondas armónicas IV. Ejemplos

Datos:• A=1cm=0,01m • f=50Hz, • λ=10cm=0,1m • y(0,0)=0

sf

T 02,01

sradfT

/31410022

18,62201,0

22 mk

a)

b) 0x-tA·sent)y(x, ·· Condiciones iniciales A φ0

y(t=0)=y0

v(t=0)=0y0 π/2

y(t=0)=0

v(t=0)=v0

v0/ω 0

x0-t·sent)y(x, ·2·100010 ,

c)

λ·fv sm /5

x-t·sent)y(x, ·8,62·314010,

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Nota sobre la fase inicial y las condiciones iniciales:Ten en cuenta que la fase inicial φ0 tiene relación con el valor de la

perturbación en el punto x=0 del medio y en el instante inicial (t=0). Recordando del tema anterior la relación entre las condiciones iniciales y φ0 y A, tenemos:


Caso: Condiciones

inicialesA φ0

y(t=0)=y0

v(t=0)=0y0 π/2

y(t=0)=0

v(t=0)=v0

v0/ω 0

Cualquier otro caso

y(0,0))0A·sen(0) y(t 0 ·

y

x

0t

v

0

00 v

yarctg

)( 0

0

sen

yA

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Ejemplo 1: Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje x. Si su amplitud es de 1cm, su frecuencia de 50Hz y la longitud de onda es de 10cm. Suponiendo que en el instante t=0 y en el punto x=0 la perturbación es nula (y(0,0)=0) determina:

a) El período, la frecuencia angular y el número de ondas (K).

b) La ecuación de onda

c) La velocidad de propagación de la onda.

d) ¿Cuál es la ecuación de la perturbación y la velocidad de una partícula situada en el punto x=-30cm?. ¿Y el valor de éstas en el instante t=1s?


Datos:• A=1cm=0,01m • f=50Hz, • λ=10cm=0,1m • y(0,0)=0

x0-t·sent)y(x, ·2·100010 ,

d)

6·100010,0·(2·100010,0 t·sen3)0-t·sent)3;y(x ,,

6·100010·100()cos(,0 t)·cosdt

dyt)3;v(x ,ctetA

6·100)cos(,0 t·cosdt

dyt)3;v(x ctetA

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Ejemplo 2: Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda con la siguiente función de onda (en el SI) y(x,t)=0,005sen(400πt-20πx). Determina:

a) El período, la frecuencia y la longitud de onda.

b) El sentido en que se mueve la onda período, y la velocidad de propagación de la onda.

c) ¿Cuál es la ecuación de la perturbación y la velocidad de una partícula situada en el punto x=-30cm?. ¿Y el valor de éstas en el instante t=1s?

d) ¿Cuál es la velocidad máxima de ese punto?


Datos:• A=0,005m • ω=400π rad/s, • K=20π m-1 • φ0=0 rad

sf

T 005,0200

1

400

221

Hzf 2002

400

2

m

k1,0

20

22

a)

b) Sentido negativo del eje x

·(-0,3)20-·t4000,005·seny(t)t)0,3m,y(x

ππ·t·sen 6400 0,005y(t)t)0,3,y(x

c)

smλ·f /20200·1,0 v

04066400 π·senππ·sen 0,0050,0051s)y(t

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Ejemplo 3 (16,p128 guadiel): : Determina la elongación de una partícula situada en una cuerda tensa sobre el semieje positivo OX a una distancia λ/6 respecto del foco emisor, cuando el tiempo transcurrido es exactamente T/4 y A=2cm. Ten en cuenta que y(0,0)=0.


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Ejemplo 4(17,p128 guadiel): : La velocidad de una onda en una cuerda tensa situada en el eje x es de 8m/s. La ecuación de la onda es y(x,t)=0,3·sen(16πt+kx) (en SI). Determina:

a) La amplitud, la frecuencia y el sentido de propagación de la onda

b) El valor de k

c) La velocidad del punto de la cuerda correspondiente a un punto en x=0,5m cuando t=60s.


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Ejemplo 5 (19,p128 guadiel): Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte horizontal en el sentido negativo del eje x siendo 20cm la distancia entre dos puntos consecutivos que estén en fase. El foco emisor vibra con una frecuencia de 25Hz y una amplitud de 3cm. Calcula:

a)La velocidad con que se propaga la onda.b)La ecuación de la ondac)La velocidad y la aceleración máxima de cualquier punto del resorte.


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Ejemplo 6 (20,p128 guadiel): La función y(x,t)=0,3·sen(4πt-8πx) (SI) nos describe el movimiento ondulatorio de una cuerda.a) ¿Qué puntos de la cuerda estarán en fase con el punto que se

encuentra en x=3m?b) ¿Para que tiempos el estado de vibración de este punto será el

mismo que para t=2s?


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Ondas: Ondas armónicas V: Energía de una onda armónica

)t·cos(A· t),dy(x

v 011 kx

dt·

•La energía inicial del punto A (antes de que la onda) es: Emec=0

)tA·sen(t), y(x 011 kx·

y

x

y(x=0,t)

t

vy(x1,t)

A

•La energía final del punto A (cuando llega la onda) será: 2MAxACMAXMEC ·vm

2

1EE

¿Cuanto vale esta vmax?:

A·vMAX

22A

2MAxACMAX

A ·A·ωm2

1·vm

2

1EE 22

AA ·A·fm2E 2

“La energía que transporta una onda es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia (f2) y al cuadrado de la amplitud (A2)”

movimiento ondulatorio, ondas. 2 ondas: introducción i las ondas están relacionadas con...

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