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MORFOLOGIA MATEMÁTICA
BINARIA
Dra. Virginia Laura Ballarin
Universidad Nacional de Mar del Plata
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Historia
◼ Morfologia Matemática nació e mediados de los
años 60 en la Escuela de Minas de Paris
◼ Morfologia = Morphê + Logos
◼ Matemática basada en la Teoria de Conjuntos
◼ Estudio de las estructuras en Imagenes
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Objetivos
◼ Extraer informaciones relativas a topología y
geometría de los conjuntos dentro de las imagenes.
◼ Comparar un conjunto desconocido con una familia
de conjuntos conocidos ➔ Elemento Estruturante
◼ Cuantificar la noción de “estar contenido”
◼ Transformar las imagenes en otras imagenes mas
fáciles de ser manipuladas e interpretadas.
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Principio
•Compara los objetos que queremos analizar con otro
objeto, llamado elemento estructurante de geometría
conocida.
•El estructurante se desplaza a través de la imagen.
Cada vez que se superpone el elemento estructurante
con la imagen se realiza una operación entre
conjuntos pixel a pixel que dará origen a la nueva
imagen transformada.
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Morfologia Binária:
Operadores Básicos◼ Erosión de una imagem X por el elemento
estruturante B:
bBb
xB XBXXBXxX ~
~
}:{)(
===
bBb
xB XBXXBXxX ~
~
}:{)(
===
◼ Dilatación de una imagem X por el elemento
estruturante B:
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Fig. 7 : Erosión de la figura X por un elemento estructurante B
( ) { : } siendo = { b + x : b B}Bx xero X x X B X B=
Morfologia Binária:
Erosión
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( ) /BXero X x B A=
( )( ) BB Cdilero X X=
Erosión
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Erosiones sucesivas
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Fig. 8 : Dilatación de la figura X por un elemento estructurante B
Morfologia Binária:
Dilatación
( ) { : }siendo = { b + x : b B}Bx xdil X x X B X B=
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/
/
( ) X
X
B x B X
x B A A
dil X
=
=
( ))( ) ( B CB Cerodil X X=
Dilatación
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Dilataciones sucesivas
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Ejemplo operaciones básicas
Imagen DilataciónErosión
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( ( ))B BAB ero Adil=
Apertura
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Ejemplo de Apertura
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Aperturas sucesivas
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Ejemplos de elementos estructurantes 2D:
Morfologia Binária
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Ejemplo práctico de Apertura
Imagen Resultado
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Ejemplo práctico de Apertura
Apertura con un elemento
estructurante
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Ejemplo práctico de Apertura
Apertura con un elemento
estructurante
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Ejemplo práctico de apertura
OR lógico de las dos aperturas
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( ( ))B BA B ero dil A• =
Cierre
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Ejemplo de cierre
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Cierres sucesivos
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Ejemplo práctico de cierres
original
umbralada
cierre con elemento
estructurante rombo
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( )A B B•
Filtros Morfológicos
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Filtros Morfológicos
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Extracción de Bordes
( ) ( )B
I A A ero A = − ( ) ( )B
E A dil A A = −
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Dilatación condicionada
( ) ( )B B
CXdil Z dil Z X=
máscara
elemento estrucuturante
marcador
dilatación de Z con el elemento estructurante B condicionada a X
elemento estructurante ideal
X X X
X X X
X X X
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Dilatación condicionada
Imagen X
Marcador Z
( )Bdil Z
( )Bdil Z X
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Reconstrucción
( ) lim ( (...... ( )...))B B B
X CX CX CXn
n veces
Z dil dil dil Z→
=
X X X
X X X
X X Xelemento estructurante ideal
finaliza cuando dos operaciones seguidas no producen cambio
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Imagen X Marcador Z Reconstrución
Reconstrucciónparticulas de los bordes
lim ( (...... ( )...))B B B
CX CX CXn
n veces
dil dil dil Z→
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Reconstruccióntodas las particulas excepto las de los bordes
( )X Z
marcador
( )neg XX
( ) ( ( ))Xneg X neg Z−
( ( ))Xneg Z
( ( ) ( ( )))Xneg neg X neg Z−
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Reconstrucciónotro ejemplo
marcador
X ( )neg X ( ) ( )neg X Z( )( ) ( )neg Xneg X Z−
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Reconstrucciónotra iteración
( )neg X ( ) ( )neg X Z( )( ) ( )neg Xneg X Z−X
2 ( )X Z22 ( )XX Z− 2( 2 ( ))Xneg X Z−
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otro ejemplo de
Reconstrucción
Imagen Marcador Reconstrución
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Esqueletos
por afinamiento Thinning *
por esqueletización Skeleton
por engrosamiento Thickening
* Homotopía: para un conjunto sólo existe un
esqueleto continúo.
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Thinning Morfológico
( ) ( )C
i eX afin V X X ero B X ero B= −
••
••
•
••
•
••
••
•
•••
••
••
•
••
•
••
••
•••
•
xx
x
x
x
xx
x
x
x x
xxxxx
1 2((......(( ) )........) )nA B A afin B afin B afin B =
finaliza cuando dos operaciones seguidas no producen cambio
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Thinning Morfológico1 2((......(( ) )........) )nA B A afin B afin B afin B =
( ) ( )C
i eX afin V X X ero B X ero B= −
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Thinning Morfológico
EsqueletoImagen
( ) ( )C
i eX afin V X X ero B X ero B= −
1 2((......(( ) )........) )nA B A afin B afin B afin B =
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Esqueletización
( ) ( ) [( ( )] ]C
nn
S X X ero nB X ero nB B= −
0
( ) ( )N
nn
S X S X=
=
unión de los residuos max / ( )N n X ero nB=
líneas de fuego
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Esqueletización
( ) ( ) [( ( )] ]C
nn
S X X ero nB X ero nB B= −
0
( ) ( )N
nn
S X S X=
=
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Esqueletización
( ) ( ) [( ( )] ]C
nn
S X X ero nB X ero nB B= −
0
( ) ( )N
nn
S X S X=
=
Imagen skeleton
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Thickening Morfológico
( ) ( )C
i eX eng V X X ero B X ero B=
••
••
•
••
•
••
••
•
•••
••
••
•
••
•
••
••
•••
•
xx
x
x
x
xx
x
x
x x
xxxxx
1 2((......(( ) )........) )nA B A eng B eng B eng B =
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analiza como interactúa la imagen con elementos
estructurantes crecientes.
La granulometria se basa en
la noción intuitiva de
tamizado.
Aumentando el tamaño del
tamiz se incrementan el
numero de granos que
traspasan el cedazo.
A partir de la medida del área
en las sucesivas imágenes
se calcula una función
distribución de probabilidad.
Granulometría
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La función distribución de probabilidad y
sus momentos estadísticos pueden utilizarse
como patrones para una posterior
clasificación de texturas en una imagen.
Granulometría