momento angular
DESCRIPTION
dinamicaTRANSCRIPT
El momento angular o momento cinético es una magnitud
física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde
la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica
relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está
relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos.
Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una
magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el
sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación
conocida como ley de conservación del momento angular. El momento
angular para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es
la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad
angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se
mide en kg·m²/s.
Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo
al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que
sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento
angular de una partícula que se mueve libremente
con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva.
El nombre tradicional en español es momento cinético,1 pero por
influencia del inglés angular momentum hoy son frecuentes momento
angular y otras variantes como cantidad de movimiento
angular o ímpetu angular.
Momento angular de una masa puntual
El momento angular de una partícula con respecto al punto es el
producto vectorial de su momento lineal por el vector .
En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa
puntual con respecto a un punto O del espacio se define como
el momento de su cantidad de movimiento con respecto a ese
punto. Normalmente se designa mediante el símbolo . Siendo el
vector que une el punto O con la posición de la masa puntual, será
El vector es perpendicular al plano que contiene y , en la
dirección indicada por la regla del producto vectorialo regla de
la mano derecha y su módulo o intensidad es:
esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo (
en el dibujo), definido éste como la distancia del punto respecto
al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de
la partícula.
Momento angular y momento dinámico
Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:
El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de con
respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad y, como el
vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento ,
el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis,
tenemos:
donde es la aceleración de la partícula, de modo que , es
la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial
de por la fuerza es el momento o momento dinámico aplicado a la
masa, tenemos:
Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento
dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en
esta expresión ambos momentos, y deberán estar referidos al
mismo punto O.
Momento angular de un conjunto de partículas puntuales
El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los
momentos angulares de cada una:
La variación temporal es:
El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos
por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte
de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de
partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero
cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero
de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos
producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción
son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir,
la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede
hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo
quedan los momentos externos:
El momento angular de un sistema de partículas se conserva en
ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para
cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta
grupos de galaxias.
Momento angular de un sólido rígido
Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:
Donde:
es la velocidad angular del sólido.
es el tensor de inercia del cuerpo.
Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de
inercia , depende del tiempo y por tanto en el sistema
inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley
de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de
los ejes principales de inercia sucede que:
Donde es la aceleración angular del cuerpo. Por eso
resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en
un sistema no inercial formado por los ejes principales de
inercia del sólido, así se logra que , aunque
entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:
Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad
angular.
Conservación del momento angular clásico
Cuando la suma de los momentos externos es cero ,
hemos visto que:
Eso quiere decir que . Y como es un
vector, es constante tanto en módulo como en
dirección.
Consideremos un objeto que puede cambiar de forma.
En una de esas formas, su Momento de inercia es y
su velocidad angular . Si el objeto cambia de
forma (sin intervención de un momento externo) y que
la nueva distribución de masas hace que su
nuevo Momento de inercia sea , su velocidad angular
cambiará de manera tal que:
En algunos casos el momento de inercia se puede
considerar un escalar. Entonces la dirección del
vector velocidad angular no cambiará. Solo
cambiará la velocidad de rotación.
Hay muchos fenómenos en los cuales la
conservación del momento angular tiene mucha
importancia. Por ejemplo:
En todos las artes y los deportes en los
cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por
ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina
o una patinadora toman impulso con los brazos
y una pierna extendida para aumentar sus
momentos de inercia alrededor de la vertical.
Después, cerrando los brazos y la pierna,
disminuyen sus momentos de inercia, lo cual
aumenta la velocidad de rotación. Para
terminar la pirueta, la extensión de los
brazos y una pierna, permite disminuir la
velocidad de rotación. Sucede lo mismo con el
salto de plataforma o el trampolín. También es
importante en el ciclismo y motociclismo, ya
que la conservación del momento angular es la
responsable de la sencillez con que es posible
mantener el equilibrio.
Para controlar la orientación angular de un
satélite o sonda espacial. Como se puede
considerar que los momentos externos son cero,
el momento angular y luego, la orientación del
satélite no cambian. Para cambiar esta
orientación, un motor eléctrico hace girar
un volante de inercia. Para conservar el
momento angular, el satélite se pone a girar
en el sentido opuesto. Una vez en la buena
orientación, basta parar el volante de
inercia, lo cual para el satélite. También se
utiliza el volante de inercia para parar las
pequeñas rotaciones provocadas por los
pequeños momentos inevitables, como el
producido por el viento solar.
Algunas estrellas se contraen convirtiéndose
en púlsar (estrella de neutrones). Su diámetro
disminuye hasta unos kilómetros, su momento de
inercia disminuye y su velocidad de rotación
aumenta enormemente. Se han detectado pulsares
con periodos rotación de tan sólo unos
milisegundos.
Debido a las mareas, la Luna ejerce un momento
sobre la Tierra. Este disminuye el momento
angular de la Tierra y, debido a la
conservación del momento angular, el de la
Luna aumenta. En consecuencia, la Luna aumenta
su energía alejándose de la Tierra y
disminuyendo su velocidad de rotación (pero
aumentando su momento angular). La Luna se
aleja y los días y los meses lunares se
alargan.
Ejemplo.
Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira
a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.
¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?.
Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del incremento de energía.
Conservación del momento angular
I1=1210⋅1.32+2(25⋅1.32) ω1=5⋅2π60=π6 rad/sI2=1210⋅1.32+2(25⋅0.72)I1ω1=I2ω2 ω2=1.48 rad/s
Variación de la energía cinética
ΔE=Ek2−Ek1=12I2ω22−12I1ω21=27.2 J