estados coherentes de momento angular

Estados Coherentes de Momento Angular

Ana Lucıa Uribe Uribe

Asesor:Jagdish Luthra, Ph.D.

Departamento de FısicaUniversidad de los Andes

Bogota, Colombia

Mayo 22 de 2006

Indice general

1. El estado de Bloch 31.1. Estados Coherentes del Oscilador Armonico . . . . . . . . . . 3

1.1.1. El hamitoniano y la base del oscilador . . . . . . . . . 31.1.2. Estados Coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. El estado de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2. Ecuacion de valor propio . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3. Relacion de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.4. Propiedades de Ortogonalidad y Completitud . . . . . 13

2. La representacion de Schwinger 152.1. Operadores de Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Correspondencia (n1, n2) −→ (j,m) . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Expansion del estado de Bloch en terminos de estados de dos

modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. El estado de Bloch generalizado 223.1. Otras definiciones de estados coherentes de momento angular 22

3.1.1. Estados de Atkins y Dobson . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.2. El estado de Bhaumik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.3. Operadores de desplazamiento y otras definiciones . . 25

3.2. El estado de Bloch generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2. Relacion de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Propiedades Radiativas 324.1. Gas de n atomos de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

4.2. Super-radiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.1. Para el estado de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2. Para el estado de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3. Para el estado de Bloch general . . . . . . . . . . . . . 36

4.3. Emision estimulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.1. Para el estado de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2. Para el estado de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.3. Para el estado de Bloch general . . . . . . . . . . . . . 40

4.4. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

A. Formulas utiles de conmutacion 43

B. Calculo de los operadores rotados 45

2

Resumen

En esta tesis se estudian algunas definiciones de estados coherentes paramomento angular. Como la mayorıa de trabajos sobre el tema, comenzamospor recordar los estados coherentes del oscilador armonico pues estos sonel modelo a seguir y la motivacion inicial para buscar la misma clase deestados para otros sistemas. Tambien se estudia aquı la representacion delos operadores de momento angular en terminos de operadores de bosones yveremos que esta interesante conexion entre el momento angular y los estadosdel oscilador puede ser usada para definir estados con propiedades de mınimaincertidumbre y ademas tiene aplicaciones en la descripcion de sistemas deatomos de dos niveles que interactuan con campos electromagneticos. Seespera que el lector pueda vislumbrar la conexion entre estos temas y suimportancia en la descripcion de sistemas fısicos.

Introduccion

Desde el surgimiento de la mecanica cuantica ha habido un gran interesen entender la relacion entre esta teorıa y la mecanica clasica. Se han estu-diado los lımites clasicos de la mecanica cuantica, el punto de encuentro delas dos teorıas y el rango de aplicacion de cada una, entre otros aspectos.A medida que la teorıa cuantica se empezo a aplicar a diferentes sistemas,surgio la pregunta de cual serıa el estado cuantico del sistema que en prome-dio describiera el comportamiento clasico de este. En particular, alrededorde 1926, Schrodinger se hizo esta misma pregunta en relacion al osciladorarmonico cuantico. En las palabras de Schrodinger: “I was to produce awave-packet,...,which was practically confined to a small special region, andwhich as a matter of fact revolves in precisely the harmonic ellipses de-scribed by classical mechanics for an arbitrary long time without dispersing!I believe that this is only a question of computational skill to acomplish thesame thing for the electron in the hydrogen atom. The transition from mi-croscopic characteristic oscillations to the macroscopic “orbits” of classicalmechanics will then be clearly visible,... .”([3]).

La solucion a este problema en el caso del oscilador armonico llego enla forma de lo que se llamo entonces estados coherentes. En estos estadosespeciales los valores esperados de la posicion y la energıa son precisamentelos valores clasicos del oscilador. A partir de esta propiedad se obtiene queestos estados son ademas estados de mınima incertidumbre en las variablesde posicion y momento, que pueden ser generados a partir de un desplaza-miento sobre el estado de vacıo del sistema y que son estados propios deloperador de destruccion a.

Desde la introduccion de los estados coherentes para el oscilador armonicose han buscado estados con las mismas propiedades para sistemas de mo-mento angular. Varios estados se han definido en analogıa a los estados del

1

oscilador, ya sea mediante un operador de dezplazamiento sobre un estadoespecıfico o mediante una ecuacion de valor propio para el operador de de-struccion. En el Capıtulo 1 se estudia el estado de Bloch y su propiedad deser un estado de mınima incertidumbre y veremos que es un estado comple-tamente analogo a los estados coherentes del oscilador armonico.

Una forma de definir estados coherentes para momento angular es atraves de la representacion de Schwinger para los operadores de momentoangular. Esta consiste en expresar las componentes del momento angular enterminos de un par de operadores escalera del oscilador armonico teniendoen cuenta que las relaciones de conmutacion se mantengan. Esta relacion hasido usada para definir varias clases de estados e incluso se han definido otrasclases de representaciones y operadores que cumplen tambien con las reglasde conmutacion. En el Capıtulo 2 se estudia esta correspondencia y vemoscomo se expresan los estados de Bloch en terminos de estados de dos modosdel oscilador. En el Capıtulo 3 se estudia lo que llamamos el estado de Blochgeneral, que se define usando la representacion de Schwinger y de maneraanaloga al estado de Bloch. Antes de esto se revisan algunas definicionesanteriores de estados coherentes de momento angular, tanto para mostrar loque se ha hecho previamente en el tema como para exponer la motivacionque nos llevo a estudiar un estado definido de esta manera. Para el estadode Bloch general estudiamos la relacion de incertidumbre y los parametrosque hacen que este estado sea de mınima incertidumbre, verificando que enlos casos particulares obtengamos los resultados conocidos. Finalmente enel Capıtulo 4 presentamos algunas aplicaciones de estos estados en el areade optica cuantica. La teorıa de momento angular es muy util para modelarsistemas de atomos de dos niveles que interactuan con campos de radiaciony la coneccion con los estados del oscilador es fundamental para entender larelacion entre estos dos sistemas.

2

Capıtulo 1

El estado de Bloch

1.1. Estados Coherentes del Oscilador Armonico

En esta seccion se estudia la definicion y algunas propiedades basicasde los estados coherentes del oscilador armonico. Estos estados han sidotratados a fondo mas que todo en artıculos o en libros avanzados de opticacuantica ([1]) y es usual que en los trabajos acerca de estados coherentes paramomento angular se de una introduccion a estos estados, ya que son el mod-elo a seguir para tratar otros sistemas. Los resultados de esta seccion serande gran utilidad en el resto del documento ya que nos permitiran hacer ana-logıas entre los resultados obtenidos para otros sistemas. Las aplicacionesde estos estados son extensas en el area de optica cuantica, mas especıfi-camente cuando se estudia la interaccion de la radiacion con la materia,pues es un modelo para la radiacion coherente. El tratamiento de los oper-adores escalera y sus propiedades tambien seran utiles en la representacionde Schwinger de los operadores de momento angular.

1.1.1. El hamitoniano y la base del oscilador

El hamiltoniano del oscilador armonico cuantico se puede expresar enterminos de los operadores no hermiticos a y a† como

H = hω(a†a+12) (1.1)

donde los operadores a y a† satisfacen las relaciones de conmutacion

[a, a†] = 1, [a, a] = [a†, a†] = 0. (1.2)

3

Este hamiltoniano describe un modo individual de la radiacion electro-magnetica, por lo tanto para una descripcion del campo total es necesariosumar sobre todos los modos de vibracion. La base del espacio de Hilbertpara este sistema son los conocidos estados de Fock |n〉, donde n es enteroy n ≥ 0 y cada estado |n〉 describe un campo con exactamente n fotones.Los valores propios del hamiltoniano son las energıas del oscilador hω(n+ 1

2).

El estado base del oscilador, que representa el estado de vacıo del campo,esta definido por

a|n〉 = 0. (1.3)

La accion de los operadores a y a† sobre los estados |n〉 esta dada por

a|n〉 =√n|n− 1〉, a†|n〉 =

√n+ 1|n+ 1〉 (1.4)

y es facil ver que el operador aa† representa el numero de fotones del modode vibracion

a†a|n〉 = n|n〉. (1.5)

De esta manera los operadores a y a† representan la “destruccion” y la“creacion” respectivamente de un foton con frecuencia y polarizacion definidas.Usando estas propiedades, cualquier estado |n〉 puede ser construıdo a partirdel estado de vacıo usando el operador de creacion a†:

|n〉 =(a†)n

√n!|0〉 (1.6)

No sobra recordar que estos estados forman una base completa para el es-pacio del oscilador y que ademas son ortogonales:

〈n|m〉 = δnm,

∞∑n=0

|n〉〈n| = 1. (1.7)

Aunque estos estados han sido usados para describir campos opticos y lasers,no son los mas adecuados para describir campos donde el numero de fotoneses grande. En general resulta que la descripcion mas precisa de un campode radiacion electromagnetica, y mas especıficamente de un laser, esta dadapor una superposicion de los estados |n〉, donde el numero de fotones no esfijo sino que esta sujeto a una distribucion determinada (Ver [4],[3]).

4

1.1.2. Estados Coherentes

La manera mas usual de definir un estado coherente para el osciladorarmonico (que usualmente es llamado estado de Glauber) es como el es-tado resultante de aplicar el operador unitario de desplazamiento D(α) =eαa†−α∗a en el estado base del oscilador, es decir

|α〉 = D(α)|0〉. (1.8)

Aquı α es un parametro complejo. A partir de esta definicion es facil verque |α〉 es un estado propio del operador de destruccion a con valor propioα. Si aplicamos a a |α〉 tenemos

a|α〉 = aD(α)|0〉= D(α)D(−α)aD(α)|0〉 (1.9)

donde hemos usado el hecho de queD(α) es unitario. Para hallarD(−α)aD(α)usamos la ecuacion (A.2) del Apendice A y usando tambien las ecuaciones(1.2) y (2.18) la expresion queda

a|α〉 = D(α)(a+ [α∗a− αa†, a] + · · ·)|0〉= D(α)(a+ α)|0〉= D(α)α|0〉= α|α〉. (1.10)

Para el ket 〈α| tendremos entonces (trasponiendo la ultima ecuacion) 〈α|a† =〈α|α∗. Como cualquier estado perteneciente al espacio de Hilbert del os-cilador, |α〉 puede ser escrito como una combinacion lineal de los estados dela base del espacio, es decir de los estados de Fock |n〉

|α〉 =∞∑

n=0

Cn|n〉. (1.11)

Los coeficientes Cn se pueden hallar aplicando el operador a a la ecuacion(1.11) y usando la ecuacion (1.10) para obtener una relacion de recurrenciade la siguente manera:

a|α〉 =∞∑

n=0

Cna|n〉

=∞∑

n=0

Cn

√n|n− 1〉

=∞∑

n=0

Cnα|n〉. (1.12)

5

Entonces, igualando los coeficientes que acompanan a |n〉,tenemos

Cn+1 =α√n+ 1

C0. (1.13)

Para n = 0, 1, 2 los coeficientes en terminos de C0 son

C1 = αC0

C2 =α√2C1 =

α2

√2C0

C3 =α√3C2 =

α3

√2 · 3

C0.

Generalizando para n, la forma de Cn es

Cn =αn

√n!C0. (1.14)

El primer coeficiente C0 se halla aplicando la condicion de normalizacionpara |α〉, es decir

〈α|α〉 =∞∑

n=0

∞∑m=0

(α∗)n

√n!

C0αm

√m!C0〈n|m〉

=∞∑

n=0

|α|2n

n!C2

0

= e|α|2C2

0

= 1. (1.15)

Entonces C0 es

C0 = e−|α|22 . (1.16)

Usando estos resultados obtenemos finalmente una expresion para la expan-sion del estado |α〉 en terminos de los estados |n〉:

|α〉 = e−α2

2

∞∑n=0

αn

√n!|n〉. (1.17)

Notese que este resultado lo hubieramos podido obtener mas facilmente us-ando el teorema de BCH del apendice A debido a la simple relacion deconmutacion que tienen los operadores a y a†.El estado |α〉 tiene muchas propiedades interesantes. Una de estas propiedades

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es que son estados de mınima incertidumbre para las variables conjugadasx y p. Otra propiedad muy interesante se hace visible cuando hallamos laprobabilidad de que el estado |α〉 tenga exactamente n fotones. Ası comovamos a ver los estados coherentes son combinaciones lineales muy especialesde los estados |n〉. Para vislumbrar el hecho de que estos estados cumplencon ∆x∆p = h

2 vamos a usar la representacion de los operadores x y p enterminos de los operadores escalera. Es decir

x =

√h

2ω(a+ a†) (1.18)

p = i

√hω

2(a− a†) (1.19)

Ahora las incertidumbres estan dadas por

∆x =√〈x2〉 − 〈x〉2 (1.20)

∆p =√〈p2〉 − 〈p〉2 (1.21)

Entonces, usando la ecuacion de valores propios para |α〉 tengo que los val-ores esperados son

〈x〉 = 〈α|x|α〉

=

√h

2ω(α+ α∗) (1.22)

〈p〉 = 〈α|p|α〉

=

√hω

2(α− α∗) (1.23)

〈x2〉 = 〈α|x2|α〉

=h

2ω(α2 + (α∗)2 + 1) (1.24)

〈p2〉 = 〈α|p2|α〉

=hω

2(α2 + (α∗)2 − 1) (1.25)

Con estas ecuaciones, el lado izquierdo de la relacion de incertidumbre queda

h

2ω((α2+(α∗)2+2|α|2+1)−(α+α∗)2)

hω

2((α2+(α∗)2−2|α|2−1)−(α−α∗)2)

(1.26)lo cual es igual a h2

4 y es claro entonces que la igualdad se da en la relacion deincertidumbre ∆x∆p = h

2 . Este resultado es valido para cualquier instante

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de tiempo y en este sentido se dice que el estado coherente es un paquete deonda que no se dispersa con el tiempo, pues las fluctuaciones en x y p sonconstantes a traves del tiempo y su producto es ademas mınimo para cadainstante.

Ahora surge la pregunta de porque estos estados son llamados estadoscoherentes. La respuesta esta relacionada con el numero de fotones que “con-tiene” el estado coherente. Como el estado |α〉 es una combinacion lineal delos estados |n〉, que representan un estado con n fotones, la probabilidad deencontrar n fotones en el estado |α〉 es

|〈n|α〉|2 = C2n =

|α|2n

n!e−|α|

2. (1.27)

Esta funcion tiene la forma de una distribucion de Poisson donde el numeropromedio de fotones esta dado por el exponente de la exponencial, es de-cir |α|2. Esta distribucion en el numero de fotones es caracterıstica de unaonda electromagnetica clasica o senosoidal. Podemos decir entonces que unestado cuantico coherente se comporta en promedio como una onda clasica,que tambien es llamada radiacion coherente ([3]). Aunque este es el origendel termino “coherente”, cuando se buscan estados coherentes para distin-tos sistemas a menudo se utiliza el termino para denotar estados de mınimaincertidumbre o estados definidos en forma analoga al estado |α〉, es decira traves de un operador de desplazamiento o de una ecuacion de valorespropios ([4],[5]).

El conjunto |α〉 no es ortogonal, pues para dos estados coherentes |α〉y |β〉 la superposicion entre ellos sera siempre mayor que cero:

〈α|β〉 = e−12(|α|2+|β|2)

∞∑n=0

(αβ)n

n!

= e−12(|α|2+|β|2−2α∗β). (1.28)

Aunque los estados coherentes no formen un conjunto ortogonal, si formanuna base completa para el espacio de hilbert del oscilador. De hecho |α〉es una base sobre-completa, lo que significa que hay mas estados |α〉 delos necesarios para expandir un estado cualquiera del oscilador. Como α esun parametro continuo, a diferencia de n, la condicion de completitud seexpresa ∫ ∞

−∞|α〉〈α|d2α = π. (1.29)

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Los estados coherentes son un buen modelo para la radiacion con unafase fija y una amplitud constante. La luz emitida por un laser ideal secomporta entonces como un estado coherente, donde la radiacion es emitidaordenadamente (en fase).

1.2. El estado de Bloch

Mientras que los estados coherentes del oscilador son usados para de-scribir un campo de radiacion libre, los estados coherentes de momento an-gular son un buen modelo para un atomo libre (o una coleccion de atomos)con un numero determinado de posibles niveles de energıa. Un atomo dedos niveles puede ser descrito por un sistema con momento angular j = 1

2 ,donde cualquier operador de interes se puede expresar en terminos de lasmatrices de Pauli junto con la matriz identidad. Hay varias definiciones paralos estados coherentes de momento angular que se nombraran mas adelante,sin embargo la tratada en detalle en este capıtulo es la de mas interes paranosotros. A este estado lo llamaremos estado de Bloch tal como en [4]. Enlo que resta del documento adoptaremos la convencion h = 1.

1.2.1. Definicion

El algebra de momento angular (las relaciones de conmutacion) determi-nan la clase de estados que se pueden formar para un sistema con momentoangular. Mas adelante veremos que hay una correspondencia entre los esta-dos de Bloch y los estados de Glauber que tiene su origen en la relacion delgrupo de rotacion al grupo de translacion que describe el movimiento deloscilador [4].

Los operadores de momento angular Jx, Jy y Jz cumplen con la regla deconmutacion

[Ji, Jj ] = iεi,j,kJk, (1.30)

donde εi,j,k es igual a 1 si la permutacion entre i, j, k es par y es igual -1 delo contrario. Los operadores escalera de momento angular de definen como

J− = Jx − iJy (1.31)J+ = Jx + iJy, (1.32)

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y cumplen con la reglas de conmutacion

[J±, Jz] = ∓J±, [J−, J+] = −2Jz (1.33)

Para un sistema con momento angular j total fijo, definimos los estados deDicke |m〉 como los estados propios del operador Jz con valor propio m.Estos son los estados usuales de momento angular donde −j ≤ m ≤ j. Elestado |m〉 puede ser expresado en terminos del estado base del sistema |−j〉de la siguiente forma:

|m〉 =1

(m+ j)!

(2j

m+ j

)− 12

Jm+j+ | − j〉 (1.34)

Ahora, el estado de Bloch, que denotaremos |θ, ϕ〉, se define analogamenteal estado |α〉 mediante un operador unitario Rθ,ϕ que se aplica al estadobase | − j〉:

|θ, ϕ〉 = Rθ,ϕ| − j〉. (1.35)

Este operador tiene la misma forma del operador de desplazamiento D(α),pero aquı se usan los operadores escalera para momento angular. EntoncesRθ,ϕ es

Rθ,ϕ = eµJ+−µ∗J− (1.36)

donde µ es un parametro complejo. Para ver el significado de θ y ϕ, Rθ,ϕ

se puede reexpresar como un operador de rotacion haciendo µ = θ2e

−iϕ.Entonces Rθ,ϕ queda

Rθ,ϕ = eθ2(J+(cos ϕ−i sin ϕ)−J−(cos ϕ+i sin ϕ))

= eθ2((cos ϕ−i sin ϕ)(Jx+iJy)−(cos ϕ+i sin ϕ)(Jx−iJy))

= e−iθ(Jx sin ϕ−Jy cos ϕ)

= e−iθ(J ·n). (1.37)

Aquı n = (sinϕ,− cosϕ, 0) es un vector unitario en el plano xy y J es el mo-mento angular total. El angulo θ representa el angulo de rotacion del vectorJ alrededor del eje de rotacion n ([2] Capıtulo VI, Complemento BV I).

1.2.2. Ecuacion de valor propio

Para obtener la ecuacion de valores propios para este estado, se definenlos operadores

Jn = J · n = Jx sinϕ− Jy cosϕ (1.38)Jk = Jx cosϕ+ Jy sinϕ, (1.39)

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y J+ y J− se escriben

J+ = (Jk − iJn)eiϕ, J− = (Jk + iJn)e−iϕ. (1.40)

Si queremos una ecuacion para el estado |θ, ϕ〉 similar a la ecuacion (1.10),vale notar que si tenemos una expresion de la forma J−| − j〉 = (cte)| − j〉,es equivalente a tener

J−R−1θ,ϕ|θ, ϕ〉 = (cte)R−1

θ,ϕ|θ, ϕ〉

Rθ,ϕJ−R−1θ,ϕ|θ, ϕ〉 = (cte)|θ, ϕ〉. (1.41)

Entonces es posible definir una ecuacion propia en terminos de el operadorrotado Rθ,ϕJ−R

−1θ,ϕ = Rθ,ϕ(Jk− iJn)eiϕR−1

θ,ϕ (remplazando J− de la ecuacion(B.3)), y el problema es ahora calcular Rθ,ϕJ−R

−1θ,ϕ. El calculo de esta ex-

presion es bastante largo e involucra calcular Rθ,ϕJkR−1θ,ϕ y Rθ,ϕJnR

−1θ,ϕ por

separado, ası que los detalles son expuestos en el apendice B.1 Los resultadosson:

Rθ,ϕJnR−1θ,ϕ = Jn (1.42)

Rθ,ϕJkR−1θ,ϕ = Jk cos θ + Jz sin θ (1.43)

Rθ,ϕJzR−1θ,ϕ = Jz cos θ − Jk sin θ, (1.44)

y para Rθ,ϕJ−R−1θ,ϕ:

Rθ,ϕJ−R−1θ,ϕ = e−iϕ(J−eiϕ cos2

θ

2− J+e

−iϕ sin2 θ

2+ Jz sin θ). (1.45)

Entonces como J−| − j〉 = 0, la ecuacion propia para el estado de Bloch|θ, ϕ〉 es

e−iϕ(J−eiϕ cos2θ

2− J+e

−iϕ sin2 θ

2+ Jz sin θ)|θ, ϕ〉 = 0. (1.46)

Esta ecuacion tiene una estructura mucho mas complicada que su contra-parte en el caso del oscilador armonico (a† −α∗)(a−α)|α〉 = 0. Esto era deesperarse debido a las reglas de conmutacion que tenemos es este caso, sinembargo las dos ecuaciones son analogas.

1En el apendice B se calcula R−1θ,ϕJ−Rθ,ϕ, pues esta expresion va ser util mas adelante.

Sin embargo los resultados para Rθ,ϕJ−R−1θ,ϕ se obtienen simplemente cambiando θ por

−θ.

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1.2.3. Relacion de incertidumbre

Una de las caracterısticas mas interesantes del estado de Bloch es quees un estado de mınima incertidumbre. Recordemos que para cualesquieraoperadores A, B y C que cumplan con la relacion de conmutacion [A, B] =iC, se cumple la desigualdad ∆A∆B ≥ 1

2 |〈[A,B]〉| = 12 |〈C〉| para cualquier

estado. En este caso usamos los operadores rotados Jq′ = Rθ,ϕJqR−1θ,ϕ, donde

q es x, y, z, y la relacion de incertidumbre es

∆Jx′∆Jy′ ≥12|〈Jz′ 〉|. (1.47)

Vamos a ver que para el estado |θ, ϕ〉 se da la igualdad. El valor esperadodel operador Jq′ en el estado |θ, ϕ〉 es

〈θ, ϕ|Jq′ |θ, ϕ〉 = 〈θ, ϕ|Rθ,ϕJqR−1θ,ϕ|θ, ϕ〉

= 〈−j|R−1θ,ϕRθ,ϕJqR

−1θ,ϕRθ,ϕ| − j〉

= 〈−j|Jq| − j〉. (1.48)

Teniendo en cuenta la ecuacion (1.32), tenemos las expresiones

〈Jx〉 = 〈−j|12(J+ + J−)| − j〉 =

12〈−j|

√2j| − j + 1〉 = 0 (1.49)

〈J2x〉 = 〈−j|1

4(J2

+ + J2− + J−J+ + J+J−)| − j〉

=14〈−j|

√2j

√2j| − j〉 =

j

2(1.50)

〈Jy〉 = 〈−j| 12i

(J+ − J−)| − j〉 = − 12i〈−j|

√2j| − j + 1〉 = 0 (1.51)

〈J2y 〉 = −〈−j|1

4(J2

+ + J2− − J−J+ − J+J−)| − j〉

=14〈−j|

√2j

√2j| − j〉 =

j

2, (1.52)

y para Jz:〈Jz〉 = 〈−j|Jz| − j〉 = 〈−j|(−j)| − j〉 = −j. (1.53)

Entonces ∆Jx = ∆Jy =√

j2 y |〈Jz〉| = j, por lo tanto hemos comprobado

que se da la igualdad en la ecuacion (1.47). Note que calcular las incertidum-bres para el estado de Bloch |θ, ϕ〉 con los operadores rotados es equivalentea calcular las incertidumbres para el estado de Dicke (con m = −j) conlos operadores no rotados. Entonces no solo vemos que el estado de Dicke

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con m = −j es un estado de mınima incertidumbre por si solo, sino quetambien cualquier rotacion sobre este estado (la relacion de incertidumbrees independiente de θ y ϕ) resulta en otro estado de mınima incertidum-bre si ademas rotamos los operadores. Es facil ver que hubieramos obtenidoel mismo resultado para m = j. Entonces este tambien es un estado conmınima incertidumbre en este sentido.

1.2.4. Propiedades de Ortogonalidad y Completitud

Vamos ahora a estudiar las propiedades de ortogonalidad y completitudde los estados de Bloch. Usando la ecuacion (A.7) del apendice A especıfi-camente para momento angular, podemos “desacoplar” el operador Rθ,ϕ yası obtener una expresion mas explıcita para el estado |θ, ϕ〉. Usando estarelacion el operador queda

Rθ,ϕ = eτ J+eln(1+|τ |2)Jzeτ∗J− . (1.54)

Podemos aplicar este operador al estado | − j〉 recordando que J−| − j〉 = 0y que Jz| − j〉 = −j| − j〉. El resultado de esta operacion es

|θ, ϕ〉 = eτ J+eln(1+|τ |2)Jzeτ∗J− | − j〉

= eτ J+eln(1+|τ |2)Jz | − j〉

= eτ J+e− ln(1+|τ |2)j | − j〉

= eτ J+eln(1+|τ |2)−j | − j〉

= (1 + |τ |2)−jeτ J+ | − j〉. (1.55)

Aqui τ = e−iϕ tan θ2 . La accion del ultimo operador eτ J+ sobre | − j〉 no es

tan sencilla como la de los otros operadores, por lo tanto es necesario usarla expansion en serie de la exponencial

eτ J+ =∞∑

n=0

(τ J+)n

n!

= (1 + τ J+ +(τ J+)2

2!+ · · ·), (1.56)

y aplicar cada termino por separado para obtener

|θ, ϕ〉 = (1 + |τ |2)−j(| − j〉+ τ√

2j| − j + 1〉+ τ2

√2j(2j − 1)

√2| − j + 2〉+ · · ·)

= (1 + |τ |2)−j2j∑

i=0

τ i

√(2j)!i!

(2j − i)!| − j + i〉. (1.57)

13

Esta sumatoria tiene 2j terminos ya que J+|j〉 = 0. La superposicion delestado |θ, ϕ〉 sobre el estado |m〉 dado por la ecuacion (1.34) se puede calculara partir de la ecuacion (1.57) de la siguiente manera:

〈m|θ, ϕ〉 = 〈−j| 1(m+ j)!

(2j

m+ j

)− 12

Jm+j−

2j∑i=0

τ i

√(2j)!i!

(2j − i)!|−j+i〉. (1.58)

Al aplicar J− sobre el estado | − j + i〉 m + j veces, solo sobrevivira en laexpresion el termino para el cual −j+ i− (m+ j) = −j (es decir el terminoi = j +m), pues 〈−j| − j〉 = 1. Entonces tenemos

〈m|θ, ϕ〉 =1

(m+ j)!

(2j

m+ j

)− 12

τ j+m√

(j +m)!

√2j!

(j −m)!

=(

2jm+ j

) 12

τ j+m(1 + |τ |2)−j . (1.59)

Esta superposicion entre el estado de momento angular |m〉 y el estado deBloch sirve para obtener la superposicion entre los estados Bloch, usandola propiedad de completitud de los estados de Dicke

∑m |m〉〈m| = 1. Si

multiplicamos el lado izquierdo de la ecuacion (1.59) por 〈θ, ϕ|m〉 y sumamossobre todos los m′s, tenemos

〈θ, ϕ|∑m

|m〉〈m|θ′, ϕ′〉 = 〈θ, ϕ|θ′, ϕ′〉

= (1 + |τ∗|2)−j(1 + |τ ′|2)−j(τ∗τ ′)jj∑

m=−j

(τ∗τ ′)m

= (1 + |τ∗|2)−j(1 + |τ ′|2)−j(1 + τ∗τ ′)2j (1.60)

Entonces los estados de Bloch no son ortogonales, tal como los estados co-herentes del oscilador, donde la superposicion entre ellos nunca era cero. Lapropiedad de completitud se obtiene nuevamente usando el hecho de que∑

m |m〉〈m| = 1. La integral sobre todo el algulo solido dΩ es

(2j + 1)∫dΩ4π|θ, ϕ〉〈θ, ϕ| =

∑m

|m〉〈m| = 1 (1.61)

14

Capıtulo 2

La representacion deSchwinger

En este capıtulo se estudia la correspondencia entre los estados del os-cilador armonico y los estados de momento angular. Mediante una repre-sentacion de los operadores de momento angular en terminos de un parde operadores escalera, se vislumbra una correstondencia entre los estadosen terminos del momento angular total j y el numero m, y los estadosde dos modos del oscilador. Las aplicaciones en optica cuantica y en fısicamatematica son varias, en especial en relacion con los estados coherentespara momento angular.

2.1. Operadores de Momento Angular

Cualquier representacion de los operadores de momento angular tienecomo requisito principal cumplir con las reglas de conmutacion de estosoperadores pues estas son la base de toda la teorıa cuantica de momentoangular. Recordemos que estas reglas son

[J±, Jz] = ∓J±, [J−, J+] = −2Jz. (2.1)

Julian Scwhinger, en el ano 1965, propuso una representacion de estos op-eradores en terminos de un conjunto de operadores escalera a, a†, b, b† [6].En esta representacion J+, J− y Jz se escriben

J+ = a†b (2.2)J− = b†a (2.3)

Jz =12(a†a− b†b). (2.4)

15

La primera relacion de conmutacion en la ecuacion (2.1) se escribe entoncescomo para J+)

[a†b,12(a†a− b†b)] =

12([a†, a†a]b− a†[b, b†b])

= −a†b= −J+. (2.5)

Y para J−

[b†a,12(a†a− b†b)] =

12(b†[a, a†a]− [b†, b†b]a)

= b†a

= J−. (2.6)

Ahora para la segunda relacion de conmutacion en la ecuacion (2.1):

[b†a, a†b] = b†[a, a†b] + [b†, a†b]a= b†b− a†a

= −2Jz. (2.7)

Entonces ya hemos comprobado que esta representacion para el momentoangular en terminos de dos operadores de bosones es valida, y reproduce lasrelaciones de conmutacion que estos operadores deben cumplir. Las ecua-ciones (2.2), (2.3) y (2.4) pueden ser interpretadas de la siguiente manera.Para un sistema de espın, el operador a disminuye el espın total en mediaunidad de momento angular o en un espın, pero solo en la coordenada z(definida de acuerdo a algun marco de referencia). a† aumenta en mediaunidad (o en un espın) la coordenada z del momento angular. Si ahora mi-ramos la proyeccion opuesta del eje z, es decir con el eje z negativo apuntandohacia “arriba”, b disminuye el valor de Jz en media unidad, y b† aumentala misma cantidad en esta direccion [6]. Esto garantiza que J− reduce lacomponente z del momento angular en una unidad y J+ aumenta la compo-nente z en una unidad segun J±|m〉 =

√j(j + 1)−m(m± 1)|m ± 1〉 (Ver

la Figura 2.1).

2.2. Correspondencia (n1, n2) −→ (j, m)

Para cada operador escalera definimos el estado base segun la accion deloperador de destruccion, es decir como

a|0〉 = 0, b|0〉 = 0. (2.8)

16

Figura 2.1: Ejemplo de la accion de los operadores a y b sobre el vector demomento angular para j = 1/2. La accion total de J∓ es la de reducir(a) oaumentar(b) la componente z en 1

Ası definimos los conjuntos |n1〉 y |n2〉, donde n1, n2 ∈ ℵ, como

|n1〉 =(a†)n1

√n1!

|0〉, |n2〉 =(b†)n2

√n2!

|0〉. (2.9)

Y se cumple que la accion de estos operadores sobre cualquier estado |n1〉 y|n2〉 es

a|n1〉 =√n1|n1 − 1〉 , a†|n1〉 =

√n1 + 1|n1 + 1〉 (2.10)

b|n2〉 =√n2|n2 − 1〉 , b†|n2〉 =

√n2 + 1|n2 + 1〉. (2.11)

Denotamos el producto tensorial |n1〉 ⊗ |n2〉 como |n1, n2〉.

Ahora, si queremos hallar una relacion entre n1, n2, j y m basta con es-tudiar la accion de Jz y J2 sobre el estado |n1, n2〉. Como ya conocemoscomo actuan estos operadores sobre los estados de Dicke |m〉 que son esta-dos propios de estos operadores y conocemos los valores propios, podemosrelacionar los resultados de tal manera que todas las operaciones sean con-

17

2.3. Expansion del estado de Bloch en terminos deestados de dos modos

El estado de Bloch |θ, ϕ〉 definido en la ecuacion (1.35) tiene una repre-sentacion en terminos de los estados |n1, n2〉. Mediante una expansion de laforma

|θ, ϕ〉 =∑n1,n2

Cn1,n2 |n1, n2〉. (2.19)

La forma de los coeficientes Cn1,n2 puede ser determinada estudiando al-gunos casos sencillos para despues deducir una forma general para cualquierj. Aquı vamos a estudiar los casos j = 1/2 y j = 1, es decir vamos a hallarla forma explıcita de |θ, ϕ〉, y usando los resultados de la seccion anteriorse determinaran los coeficientes Cn1,n2 para estos casos. Despues se gener-alizara para todo j.

Para j = 1/2 los operadores de momento angular son simplemente las ma-trices de Pauli σz y σ±. Entonces el estado |θ, ϕ〉 es

|θ, ϕ〉 = eτσ+eλσze−τ∗σ− | − 1/2〉= eτσ+eλσz | − 1/2〉= e−λ/2eτσ+ | − 1/2〉. (2.20)

Recordemos que λ y τ estan dados en la ecuacion (A.7). Como | − 1/2〉 noes un estado propio de σ+ usamos la expansion en serie de la exponencialpara obtener

|θ, ϕ〉 = e−λ/2(1 + τσ+ +12!τ2σ2

+ + · · ·)| − 1/2〉

= e−λ/2(1 + τσ)| − 1/2〉= e−λ/2(| − 1/2〉+ τ |1/2〉). (2.21)

Todos los terminos de la serie despues del segundo son cero debido a queσ+|1/2〉 = 0. La exponencial e−λ/2 se expresa

e−λ/2 = e− ln(1+|τ |2)/2

= (1 + |τ |2)−1/2

=1√

1 + tan2 (θ/2)= cos (θ/2), (2.22)

19

Ahora bien, si queremos hallar la forma general de esta expansion paracualquier valor de j es necesario notar ciertos patrones a partir de los dosprimeros casos que calculamos. Primero, el estado de Bloch |θ, ϕ〉 para unj cualquiera esta dado en terminos del siguiente conjunto de estados de dosmodos:

|0, 2j〉, |1, 2j − 1〉, |2, 2j − 2〉, ..., |2j − 1, 1〉, |2j, 0〉. (2.29)

Hay exactamente 2j + 1 estados en la expansion, cada uno correspondientea un posible valor de m. Segundo, la expansion general esta multiplicadapor un factor de e−λj como se ve en las ecuaciones (2.21) y (2.26). Tercero,los coeficientes estan dados segun la accion de las varias potencias de τ J+

sobre el estado | − j〉 teniendo en cuenta el factor del factorial que apareceen cada termino. Teniendo en cuenta estos factores, la expansion general es

|θ, ϕ〉 =2j∑

k=0

Ck,2j−k|k, 2j − k〉, (2.30)

donde Ck,2j−k es

Ck,2j−k = e−λjτk

((2j)!k!

(2j − k)!

)1/2

. (2.31)

Esta expansion tambien puede ser expresada facilmente en la base de losestados de Dicke |m〉

|θ, ϕ〉 =2j∑

k=0

Ck| − j + k〉, (2.32)

donde Ck es

Ck = e−λjτk

((2j)!k!

(2j − k)!

)1/2

. (2.33)

2.4. Comentarios

Ahora ya esta bien definida la correspondencia entre los espacios de j ym y n1 y n2. Vale mencionar que esta correspondencia esta muy relacionadacon la representacion en terminos de grupos del espacio de las rotaciones y elespacio de las translaciones, aunque no es el objetivo de este trabajo estudi-ar esta correspondencia puramente matematica (aunque con interpretacionfısica). Las relaciones halladas en este capıtulo seran fundamentales masadelante en el documento y mas que todo nos ayudaran a ver la aplicacionde los estados de Bloch en problemas de interaccion entre los atomos y laradiacion.

21

Capıtulo 3

El estado de Blochgeneralizado

En este capıtulo se define el estado de Bloch generalizado a partir de lasrelaciones de Schwinger. Estamos interesados en ver bajo que condicioneseste es un estado de mınima incertidumbre. Antes se estudian definicionesanteriores de estados coherentes de momento angular con el fin de exponerla motivacion que llevo a la definicion que presentamos aquı.

3.1. Otras definiciones de estados coherentes demomento angular

Desde que Schwinger hizo la construccion de los operadores de momentoangular en terminos de operadores de bosones, se ha intentado usar estarepresentacion para definir estados de mınima incertidumbre para momentoangular. Aunque es posible definirlos sin usar esta representacion (como es elcaso del estado de Bloch) es muy interesante explorar esta correspondenciapor medio de estos estados. Ademas, el uso del formalismo de Schwinger esfundamental para entender la relacion de estos estados con sistemas de ato-mos interactuando con un campo de radiacion como veremos mas adelante.

3.1.1. Estados de Atkins y Dobson

Estos estados fueron definidos por P. W. Atkins y J. C. Dobson en [6]. Esuna de las primeras definiciones disponibles. Estos estados que se denotan|α, β〉 se definen como estados propios de a y b. Los valores propios se denotan

22

α y β de tal manera que

a|α, β〉 = α|α, β〉, b|α, β〉 = β|α, β〉. (3.1)

Estas ecuaciones tienen sus correspondientes ecuaciones adjuntas para a†

y b†. Para encontrar la forma explıcita se expresan como una combinacionlineal de los estados |n1, n2〉 ası:

|α, β〉 =∑n1,n2

Cn1,n2 |n1, n2〉 (3.2)

Aplicando las condiciones en la ecuacion (3.1) se obtienen las relaciones derecurrencia para los coeficientes Cn1,n2 y |α, β〉 queda

|α, β〉 = e−(|α|2+|β|2)/2∑n1,n2

αn1βn2

√n1!n2!

|n1, n2〉. (3.3)

El termino de la exponencial es simplemente un factor de normalizacion. Enterminos de los estados de Dicke |m〉, |α, β〉 se escribe (simplemente usandolas ecuaciones (2.16)):

|α, β〉 = e−(|α|2+|β|2)/2∞∑

j=0

j∑m=−j

αj+mβj−m√(j +m)!(j −m)!

|j,m〉. (3.4)

Este estado definido de esta manera es un estado de mınima incertidumbre

3.1.2. El estado de Bhaumik

Estos estados que estan definidos en [7] y que denotaremos |β, γ〉 sontambien interesantes de estudiar pues se definen en terminos de dos oper-adores nuevos I±,z y K±,z que estan dados por los operadores de escalera debosones de la siguiente manera:

K+ = a†b†, (3.5)K− = ab, (3.6)

Kz =12(a†a+ b†b+ 1). (3.7)

Y para I:I+ = a†a†, I− = aa, Iz = 2a†a. (3.8)

Lo importante de estos operadores es que cumplen con el algebra de las reglasde conmutacion de momento angular, por lo tanto representan operadores

23

escalera que modifican el valor del momento angular. Por ejemplo K± sedefine de tal manera que aumente(+) o disminuya(-) el valor del momentoangular j en una unidad y I± se define de tal manera que aumente(+) odisminuya(-) en una unidad los valores de j y m. Esto se puede expresarmatematicamente como

K−|j,m〉 =√

(j −m)(j +m)|j − 1,m〉. (3.9)

Y la accion de I se expresa

I−|j,m〉 =√

(j +m)(j +m− 1)|j − 1,m− 1〉. (3.10)

Estas expresiones se pueden obtener usando la ecuacion (2.18). Estos oper-adores son interesantes por que nos muestran que usando la representacionde Schwinger se pueden definir operadores que copien la accion de J± sobrem pero para j y tambien para los dos, es decir que actuen sobre j o sobrej y m juntos. Los estados coherentes para momento angular se definen eneste caso como estados propios simultaneos de los dos operadores, es decir

I−|β, γ〉 = β|β, γ〉, (3.11)K−|β, γ〉 = γ|β, γ〉. (3.12)

Para hallar la forma explıcita usamos el mismo metodo que hemos aplica-do anteriormente. Si escribimos |β, γ〉 como una combinacion lineal de losestados |j,m〉

|β, γ〉 =∞∑

j=0

j∑m=−j

Cj,m(β, γ)|j,m〉, (3.13)

y aplicamos las condiciones en la ecuacion (3.12) a esta expansion, hallamosnuevamente las relaciones de recurrencia para los coeficientes Cj,m(β, γ) yobtenemos

|β, γ〉 =1√

cosh (|β|2 + |γ|2)/|β|

∑j,m

βmγj−m

((j +m)(j −m))1/2|j,m〉. (3.14)

Estos estados cumplen con la relacion de mınima incertidumbre en las trescomponentes del momento angular y tambien describen lımites clasicos enproblemas de rotaciones.

24

3.1.3. Operadores de desplazamiento y otras definiciones

En general si se tiene un conjunto de operadores K+, K− y Kq(q =x, y, z) que cumplan con

[Kx, Ky] = −iKz, [Kz, K±] = ±K±, (3.15)

yK+ = Kx + iKy, K− = Kx − iKy, (3.16)

se pueden definir estados de dos maneras. Una posibilidad es definir estados apartir de una ecuacion de valor propio, es decir estados de la forma K−|ζ〉 =ζ|ζ〉. Otra posibilidad es aplicar el operador de desplazamiento eζK+−ζ∗K−

en un estado determinado |ψ0〉. En el caso del oscilador armonico, donde secumple que a|α〉 = α|α〉 y |α〉 = ea

†α−α∗a|0〉, estas dos definiciones llevan almismo resultado, sin embargo en general esto no se cumple y es necesariohacer una distincion entre los estados definidos mediante la ecuacion deeigenvalores y el operador de desplazamiento. En este caso general la relacionde incertidumbre asociada a las relaciones de conmutacion de la ecuacion(3.15) serıa

(∆Kx)(∆Ky) ≥12|〈Kz〉|. (3.17)

Algunos de los estados mas importantes que han sido definidos son men-cionados en las primeras paginas de [8]. Algunas de estas definiciones son:

K− =12a2 con |ψ0〉 = |0〉, (3.18)

K− =12a2 con |ψ0〉 = |α〉, (3.19)

K− = ab con |ψ0〉 = |0, 0〉, (3.20)K− = ab con |ψ0〉 = |α, β〉. (3.21)

Aquı |α〉 se refiere a los estados coherentes del oscilador armonico estudiadoinicialmente. Estos son todos estados definidos a partir de la accion deloperador de desplazamiento. Algunos otros estados definidos a partir de laecuacion de valor propio son estados con K− = 1

2a2 y K− = ab.

3.2. El estado de Bloch generalizado

En este capıtulo se estudia otra posible definicion de estado coherentede momento angular. A este estado se le llama estado de Bloch generalizado

25

porque se define a partir de la accion del operador de desplazamiento Rθ,ϕ

sobre un estado general de Dicke |m〉. El caso particular en que m = −jcorresponderia entonces al estado de Bloch. Ademas se ha querido incor-porar al desarrollo la representacion de Schwinger de la cuantizacion de losoperadores de momento angular. Esto con el fin de poder analizar los resul-tados desde el punto de vista de la optica cuantica y para tener presente lacorrespondencia que hay entre un sistema de momento angular(por ejemploun sistema de espines) y un sistema de atomos de dos niveles.

3.2.1. Definicion

Se han definido estados basados en la accion de operadores de desplaza-miento sobre distintos estados. Por ejemplo, en la ecuacion (3.21) se operasobre un estado coherente de dos parametros α y β. Tambien existen esta-dos simplemente definidos como un desplazamiento sobre el estado base dedos modos |0, 0〉. En este trabajo surgio la pregunta de que estado resultaal operar Rθ,ϕ sobre el estado de dos modos |n1, n2〉 (en analogıa con elestado |α, β〉) pero usando naturalmente la representacion en terminos deoperadores escalera, es decir Rθ,ϕ = eµa†b−µ∗b†a. A falta de un mejor nombre,este estado se denotara como |µ〉. Entonces |µ〉 es

|µ〉 = eµa†b−µ∗b†a|n1, n2〉. (3.22)

Recordemos que µ es un parametro complejo de depende de los angulos θy ϕ segun la ecuacion µ = θ

2e−iϕ. Dado que m, n1 y n2 estan relacionados

por la ecuacion (2.15), si hacemos n1 = 0 en la ecuacion (3.22) se obtieneel estado |θ, ϕ〉. Notese que la ecuacion de valor propio serıa en este caso lamisma obtenida para el estado de Bloch en el Capıtulo 1.

3.2.2. Relacion de incertidumbre

En un principio podrıamos definir la relacion de incertidumbre por mediode los operadores rotados

Jx′ = R−1θ,ϕJxRθ,ϕ, (3.23)

Jy′ = R−1θ,ϕJyRθ,ϕ,

Jz′ = R−1θ,ϕJzRθ,ϕ.

26

Ası el valor esperado de las componentes del momento angular(rotadas) enel estado |µ〉 serıa:

〈Jx′〉 = 〈µ|Jx′ |µ〉= 〈n1, n2|R−1

θ,ϕJx′Rθ,ϕ|n1, n2〉

= 〈n1, n2|R−1θ,ϕRθ,ϕJxR

−1θ,ϕRθ,ϕ|n1, n2〉

= 〈n1, n2|Jx|n1, n2〉. (3.24)

Aplicando el mismo procedimiento obtenemos 〈J2x′〉 = 〈n1, n2|J2

x |n1, n2〉.Igualmente serıa para las demas componentes de J . Usando estos resultadosla incertidumbre en Jx′ es

(∆Jx′)2 = 〈J2x′〉 − 〈Jx′〉2

=14

(〈n1, n2|(a†b+ b†a)2|n1, n2〉 − (〈n1, n2|(a†b+ b†a)|n1, n2〉)2

)=

14(2n1n2 + n1 + n2). (3.25)

Para ∆Jy′ se obtiene exactamente el mismo resultado. Ahora, el valor es-perado de la componente z del momento angular(rotado) en el estado |µ〉es

〈Jz′〉 =12〈n1, n2|(a†a− b†b)|n1, n2〉

=12(n1 − n2). (3.26)

Entonces si tenemos una relacion de incertidumbre de la forma

∆Jx′∆Jy′ ≥14|〈Jz′〉|, (3.27)

para el estado |µ〉 queda

14(2n1n2 + n1 + n2) ≥

14|n1 − n2|. (3.28)

En el caso en que n1 = 0, es decir m = −j, esta relacion de vuelve unaigualdad tal como en el estado de Bloch. Es interesante que el estado conn2 = 0 (m = j), que es mas energetico, es tambien un estado de mınimaincertidumbre. El caso de n1 = n2 (m=0) no cumple la igualdad, por lotanto no es un estado de mınima incertidumbre o definido al maximo. Estosresultados son obtenidos hallando la incertidumbre con los operadores ro-tados, que segun la ecuacion (3.24), es simplemente equivalente a hallar la

27

incertidumbre de los estados no rotados, es decir de | − j〉 o |n1, n2〉. Peroahora nos interesa hallar las condiciones de mınima incertidumbre en el es-tado general |µ〉 si no aplicamos tambien una rotacion sobre los operadores.Para este caso el valor esperado de las componentes del momento angulares

〈Jx〉 = 〈µ|Jx|µ〉= 〈n1, n2|R−1

θ,ϕJxRθ,ϕ|n1, n2〉

= 〈n1, n2|Jx′ |n1, n2〉. (3.29)

Igualmente para la componente y y la componente z. Ahora notese queobtenemos que este calculo es equivalente a tener el operador rotado sobre elestado inicial |n1, n2〉. Para el cuadrado de las componentes el valor esperadoes

〈Jx〉 = 〈µ|Jx|µ〉= 〈n1, n2|R−1

θ,ϕJxRθ,ϕ|n1, n2〉

= 〈n1, n2|J2x′ |n1, n2〉, (3.30)

donde tambien tenemos expresiones iguales para las otras componentes. Elproblema es ahora hallar las expresiones para los operadores rotados. Estecalculo, que involucra los teoremas de conmutacion que se encuentran en elApendice A, es bastante largo y por esto se expone en el Apendice B. Larotacion de Jx da

R−1θ,ϕJxRθ,ϕ =

12(J+(cos2

θ

2−e−2iϕ sin2 θ

2)+J+(cos2

θ

2−e2iϕ sin2 θ

2)−2Jz sin θ cosϕ).

(3.31)La de Jy es

R−1θ,ϕJyRθ,ϕ =

12i

(J+(cos2θ

2+e−2iϕ sin2 θ

2)−J−(cos2

θ

2+e2iϕ sin2 θ

2)−2Jz sin θ sinϕ).

(3.32)Y para Jz:

R−1θ,ϕJzRθ,ϕ = Jz cos θ + (Jx cosϕ+ Jy sinϕ) sin θ. (3.33)

28

Usando estos resultados y aplicando estas funciones (en terminos de a y b)sobre |n1, n2〉 obtenemos:

〈Jx〉2 =14(n1 − n2)2 sin2 θ cos2 ϕ,

〈Jy〉2 =14(n1 − n2)2 sin2 θ sin2 ϕ,

〈Jz〉2 =14(n1 − n2)2 cos2 θ (3.34)

Y los otros terminos son

〈J2x〉 =

14(f−(θ, ϕ)f∗−(θ, ϕ)(2n1n2 + n1 + n2)

+14g(θ, ϕ)(n1 − n2)2), (3.35)

〈J2y 〉 =

14(f+(θ, ϕ)f∗+(θ, ϕ)(2n1n2 + n1 + n2)

+14h(θ, ϕ)(n1 − n2)2). (3.36)

Las funciones f±(θ, ϕ), g(θ, ϕ) y h(θ, ϕ) son

f±(θ, ϕ) = cos2θ

2± e−2iϕ sin2 θ

2, (3.37)

g(θ, ϕ) = 2 sin θ cosϕ, (3.38)h(θ, ϕ) = 2 sin θ sinϕ. (3.39)

Con estas funciones ya podemos hallar las incertidumbres ∆Jx y ∆Jy. Esinteresate ver que en este caso donde no usamos los operadores rotados, lasincertidumbres son funciones de θ, ϕ, n1 y n2. Calculando 〈J2〉 − 〈J〉2 paraJx y Jy, tenemos

∆Jx =12

(f−(θ, ϕ)f∗−(θ, ϕ)(2n1n2 + n1 + n2)

)1/2, (3.40)

∆Jy =12

(f+(θ, ϕ)f∗+(θ, ϕ)(2n1n2 + n1 + n2)

)1/2, (3.41)

Entonces la relacion de incertidumbre queda

14

(f−(θ, ϕ)f∗−(θ, ϕ)f+(θ, ϕ)f∗+(θ, ϕ)

)1/2 (2n1n2+n1+n2) ≥12|(n1−n2) cos θ|

(3.42)Ahora nos preguntamos, bajo que condiciones se da la igualdad en estarelacion? Hay varios casos para analizar y como veremos estos nos devuel-ven el resultado anterior para el estado de Bloch.

29

♣ Caso θ = 0:En este caso f−(θ, ϕ)f∗−(θ, ϕ)f+(θ, ϕ)f∗+(θ, ϕ) = 1 por lo tanto la relacionde incertidumbre queda:

14(2n1n2 + n1 + n2) ≥

14|n1 − n2|. (3.43)

Esta es la misma relacion que teniamos en el caso del estado general conlos operadores rotados, es decir resulta de calcular los valores esperados〈n1, n2|Jq|n1, n2〉. El caso de mınima incertidumbre se obtiene como vimosantes para n1 = 0 (m=-j) o para n2 = 0 (m=j). Este es justamente el casoen que tenemos el estado de Bloch |θ, ϕ〉.

♣ Caso n1 = n2 6= 0:En este caso el lado derecho de la relacion de incertidumbre es cero y laexpresion 2n1n2 + n1 + n2 nunca es cero. Entonces los estados de mınimaincertidumbre se dan en el caso en que f−(θ, ϕ)f∗−(θ, ϕ)f+(θ, ϕ)f∗+(θ, ϕ) = 0.En la Figura 3.1 se ven los valores de θ y ϕ en los que la funcion se hace cero,por lo tanto estos puntos corresponden a puntos de mınima incertidumbre.En este caso m = 0, y a diferencia del caso en el que usamos los operadores

Figura 3.1: Grafica de la funcion f−(θ, ϕ)f∗−(θ, ϕ)f+(θ, ϕ)f∗+(θ, ϕ). Los pun-tos donde la funcion se hace cero corresponden a puntos donde se da laigualdad en la relacion de incertidumbre.

rotados y en el caso del estado de Bloch, aquı para ciertos valores de θ y ϕse puede hallar un estado de mınima incertidumbre en el cual m = 0.

30

♣ Caso n1 6= n2 6= 0 : Para estos valores de n1 y n2 no hay ningun val-or de θ y ϕ que haga el producto de la derecha de la ecuacion (3.42) igual a14 |(n1 − n2) cos θ|.

3.2.3. Comentarios

Resumiendo, hemos definido un estado |µ〉 como una rotacion sobre unestado general |n1, n2〉 usando la represetacion del momento angular enterminos de operadores escalera. Este estado es analogo a una una rotacionsobre un estado con cualquier valor de j y m. El estado de Bloch se obtieneen el caso particular en el que m = −j o n1 = 0. Ademas hemos calcu-lado los valores esperados de las componentes del momento angular sobreel estado |µ〉 y a partir de estas hemos calculado las incertidumbres de dosformas. Primero definimos la relacion de incertidumbre en terminos de losoperadores rotados, tan como se toma en [4] y como hicimos en el Capıtulo1. Entonces transformamos los operadores y los estados y encontramos queesto era equivalente a tener simplemente los estados y operarores sin trans-formar, como se ve en la ecuacion (3.24). Para este caso se comprobo que losresutados para el estado general |µ〉 devuelven los resultados para el estadode Bloch |θ, ϕ〉. Despues definimos la relacion de incertidumbre en terminosde los operadores no rotados, y de nuevo obtuvimos una relacion mas gen-eral en terminos de θ y ϕ que tambien se reducıa a el caso conocido para losvalores de θ = 0. En este caso los operadores no estaban transformados bajola rotacion, pero el caso es equivalente a tener los operadores transformadossobre el estado solo |n1, n2〉 como se ve en la ecuacion (3.30) Ademas encon-tramos que para el caso en que n1 = n2 6= 0, es decir m = 0, hay valores deθ y ϕ en los que |µ〉 puede ser un estado de mınima incertidumbre.

31

Capıtulo 4

Propiedades Radiativas

Hemos mencionado en capıtulos anteriores que los estados estudiadosson usados en areas como la optica cuantica en varios contextos. La teorıade momento angular se presta para modelar sistemas de atomos de dosniveles interactuando con la radiacion. Los Hamiltonianos pertinentes a estossistemas tienen en general una representacion en terminos de operadoresde momento angular. Ası la teorıa que conocemos puede ser aplicada siconocemos como se relaciona el modelo con el sistema. Aquı es donde entraen juego la representacion de Schwinger en terminos de bosones, que nospermite conectar valores como j y m al numero de atomos involucrados yal numero de atomos que estan en el estado base o en el estado excitado.En este capıtulo vamos a estudiar un sistema de este tipo y nos vamos aconcentrar en describir algunas caracterısticas como la emision espontaneay estimulada cuando el sistema se encuentra en los estados presentados enlos capıtulos anteriores.

4.1. Gas de n atomos de dos niveles

Si consideramos en primera estancia un solo atomo de dos niveles, |−〉 y|+〉, que esta haciendo transiciones entre estos dos niveles, es equivalente atener un sistema de espin 1/2 (un electron), donde los dos posibles valoresde m, 1/2 y −1/2 representan los dos niveles |+〉 y |−〉. Segun las ecuaciones(2.16) si el electron esta en el estado m = 1/2, tenemos que n1 = 1 y n2 = 0.En cambio si el electron tiene m = −1/2, tenemos que n1 = 0 y n2 = 1.El primer caso corresponde al atomo excitado y el segundo corresponde alatomo en el estado base. Por lo tanto n1 y n2 se pueden interpretar comoel numero de atomos en el estado excitado y el numero de atomos en el

32

estado base respectivamente. Si llamamos n a la suma de estos dos, es decirn = n1 + n2, tenemos entonces el numero de atomos totales, en este caso 1.Los operadores que describen el comportamiento de este atomo tambien sepueden expresar usando los operadores de momento angular, que son en estecaso las matrices de Pauli. Los proyectores |+〉〈−|, |−〉〈+|, |+〉〈+| y |−〉〈−|que son fundamentales en los calculos de poblaciones y ratas de emision, seescriben([1])

σz = |+〉〈+| − |−〉〈−|, (4.1)σ+ = |+〉〈−|, (4.2)σ− = |−〉〈+|. (4.3)

Ahora consideremos un sistema de dos atomos de dos niveles. Para dosespines, sabemos que el momento angular total es j = 1 y que los tres val-ores de m total posibles (1,0,-1) representan las tres posibles configuracionesque pueden tomar las orientaciones de los dos espines (si no distinguimosentre electrones). El caso m = 1 corresponde a los dos espines “arriba”, elcaso m = 0 corresponde a uno “arriba” y otro “abajo”, y el caso m = −1corresponde a los dos “abajo”. Entonces si los dos electrones representan losdos atomos de dos niveles, todas las posibles transiciones que hagan los ato-mos entre estos niveles se representan como cambios en el valor de m totaldel sistema de momento angular total. Recordemos del Capıtulo 2 que paraj = 1, m = 1, 0,−1 representan a n1 = 2, 1, 0 y n2 = 0, 1, 2 respectivamente.

Este analisis se puede generalizar para n atomos de dos niveles. El problemase convierte en uno de suma de momento angular. El momento angular totales j = n

2 y hay 2j+ 1 posibles valores de m. Los operadores del conjunto delos n atomos se escriben

Jq =n∑

i=1

σ(i)q , (q = x, y, z), (4.4)

J± =n∑

i=1

σ(i)± . (4.5)

El problema que vamos a considerar ahora es el de los n atomos inter-actuando con un campo electromagnetico. Los n atomos estan localizados

33

en un contenedor que tiene dimensiones pequenas en comparacion con lalongitud de onda de la luz que incide. Ademas consideramos que estan losuficientemente separados tal que sus funciones de onda individuales no sesobrelapen y ası no es necesario simetrizar la funcion de onda total. Bajo laaproximacion dipolar, el Hamiltoniano tıpico de interaccion es ([1])

H =ω

2Jz − µe · E(J+ + J−), (4.6)

donde ω es la diferencia en frecuencias entre los dos niveles de cada atomoy seguimos con la convencion de h = 1. E es el campo electrico y µe es eldipolo electrico. El primer termino es el Hamiltoniano del gas y el segundoes propiamente el de la interaccıon con el campo. Notese que aquı no esta-mos teniendo en cuenta la posicion de los atomos y que el valor del campoes el mismo para todos ellos, debido precisamente a que el contenedor espequeno tal que el valor del campo no varie considerablemente a traves desu longitud. Por esta razon el valor de µe ·E sale solo como una constante enel Hamiltoniano de interaccion, entonces podemos remplazar este terminopor una constante g de acoplamiento que puede representar cualquier inter-accion constante. Para los calculos que vamos a hacer aquı el valor de estaconstante no es necesario como vamos a ver en la proxima seccion.

4.2. Super-radiancia

Nos interesa hallar ahora la probabilidad de emision espontanea para ungas de n atomos que se encuentre inicialmente en los estados mencionadosanteriormente. Mas especıficamente nos interesa saber cuando esta proba-bilidad de emision espontanea es maxima, es decir cuando se da la superra-diancia.

4.2.1. Para el estado de Dicke

Si el sistema de atomos esta inicialmente en un estado |m〉, la probabil-idad I de que decaiga espontaneamente a un estado |m− 1〉 es proporcionala

I ∝ |〈m− 1|(J+ + J−)|m〉|2. (4.7)

Llamaremos a la constante de proporcionalidad I0 (esta constante va a de-pender de la magnitud de la interaccion y de ω). UsandoJ−|m〉 =

√(j +m)(j −m+ 1)|m − 1〉 la intensidad (ası es llamada usual-

mente) queda [4]I = I0(j +m)(j −m+ 1). (4.8)

34

Se pueden hacer varias observaciones acerca de esta expresion. Primero, sehace cero en el caso en que m = −j. Sabemos que en este caso n1 = 0entonces todos los atomos estan en el estado base y no pueden decaer aningun nivel inferior. Por esta razon no puede haber emision espontanea eneste caso. Segundo, si j = 1/2, es decir tenemos un solo atomo, I = I0.Entonces I0 es simplemente la probabilidad de emision espontanea para unsolo atomo en el estado excitado. Tercero, esta probabilidad es maxima paraj grande en m = 0. Esto se aprecia mejor graficamente en la Figura 4.1. Aeste estado se le llama un estado superradiante y corresponde a

I = I0j(j + 1) = I0n

2

(n2

+ 1). (4.9)

Figura 4.1: Grafica de I/I0 para j = 2(azul), j = 8(verde), j = 12(roja).A medida que j aumenta, el maximo de la intensidad tiende a centrarse enm = 0. Esto corresponde a los estados superradiantes si j es grande

4.2.2. Para el estado de Bloch

Ahora consideramos el caso en el cual el gas esta inicialmente en elestado de Bloch |θ, ϕ〉, es decir en una superposicion finita de estados |m〉.Queremos hallar ahora la probabilidad de emision espontanea si el gas decae

35

a un estado cualquiera |m〉. La probabilidad es

I = I0∑m

|〈m|J−|θ, ϕ〉|2,

= I0∑m

〈θ, ϕ|J+|m〉〈m|J−|θ, ϕ〉,

= I0〈θ, ϕ|J+

∑m

|m〉〈m|J−|θ, ϕ〉,

= I0〈θ, ϕ|J+J−|θ, ϕ〉,= I0〈−j|R−1

θ,ϕJ+J−Rθ,ϕ| − j〉,

= I0〈−j|R−1θ,ϕJ+Rθ,ϕR

−1θ,ϕJ−Rθ,ϕ| − j〉. (4.10)

Hemos usado la propiedad de completitud de los estados de Dicke y el hechode que R es unitario. Volvemos entonces a las expresiones para los operadoresrotados que se encuentran en el Apendice B. Para J+ y J− tenemos que

(R−1θ,ϕJ+Rθ,ϕ)(R−1

θ,ϕJ−Rθ,ϕ) = (eiϕ(J+e−iϕ cos2

θ

2− J−e

iϕ sin2 θ

2− Jz sin θ))

· (e−iϕ(−J+e−iϕ sin2 θ

2+ J−e

iϕ cos2θ

2− Jz sin θ)), (4.11)

entonces I queda

I = I0〈−j|(J+J− cos4θ

2+ J−J+ sin4 θ

2+ J2

z sin2 θ)| − j〉

= I0(2j sin4 θ

2+ j2 sin2 θ). (4.12)

Esta es la probabilidad de emision espontanea para un gas inicialmente en unestado de Bloch [4]. Ahora si el numero de atomos es fijo, j es fijo. Tenemostambien una dependencia de el angulo θ. Para j grande esta expresion tiendea hacerse maxima en θ = π/2. Esto tambien se observa mejor graficamenteen la Figura 4.2. Como θ nos da una idea de la orientacion del momentoangular con respecto a un eje z, este resultado es consistente con el de laseccion anterior, pues esta orientacion corresponderia a m = 0.

4.2.3. Para el estado de Bloch general

Ahora vamos a considerar que el estado inicial del gas es el estado µestudiado en el Capıtulo 3. Este estado decae espontaneamente a un estado

36

Figura 4.2: Grafica de I/I0 para j = 4(azul), j = 8(verde), j = 10(roja).A medida que j aumenta, el maximo de la intensidad tiende a centrarse enθ = π/2. Esto corresponde a los estados superradiantes si j es grande

|n′1, n′2〉 con probabilidad

I = I0∑n′

1,n′2

|〈n′1, n′2|J−|µ〉|2,

= I0∑n′

1,n′2

〈µ|J+|n′1, n′2〉〈n′1, n′2|J−|µ〉,

= I0〈θ, ϕ|J+

∑n′

1,n′2

|n′1, n′2〉〈n′1, n′2|J−|µ〉,

= I0〈µ|J+J−|µ〉,= I0〈n1, n2|R−1

θ,ϕJ+J−Rθ,ϕ|n1, n2〉,

= I0〈n1, n2|R−1θ,ϕJ+Rθ,ϕR

−1θ,ϕJ−Rθ,ϕ|n1, n2〉. (4.13)

37

Los operadores son los mismos de la ecuacion (4.11), por lo tanto si losexpresamos usando a y b tenemos

I = I0〈n1, n2|(a†bb†a cos4θ

2+ b†aa†b sin4 θ

2

+14(a†a− b†b)2 sin2 θ)|n1, n2〉

= I0(n1(n2 + 1) cos4θ

2+ n2(n1 + 1) sin4 θ

2

+14(n2

1 + n22 − 2n1n2) sin2 θ). (4.14)

Esta es la probabilidad de emision espontanea para un gas en el estado µ quedecae a un estado |n′1, n′2〉 cualquiera. Primero se ve que en el caso particularn1 = 0(m = −j), tenemos

I = I0(n2 sin4 θ

2+

14n2

2 sin2 θ) (4.15)

Este es exactamente el resultado para el estado de Bloch donde j = n2/2.Volviendo al resultado general de la ecuacion (4.14), para en caso en quen2 = 0(m = j) el resultado es el mismo que para m = −j sino que el valorde θ en el que la intensidad se hace maxima tiende a π/2 por la derecha.Esto se ve en la Figura 4.3. Ademas cuando n1 = n2(m=0), vemos que elmaximo tiende a ser en θ = 0. Para j grandes los resultados para m = −j ym = j son practicamente los mismos, el maximo se encuentra ya en θ = π/2como se ve en la Figura 4.4.

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Figura 4.3: Grafica de I/I0 para n1 = 10, n2 = 0(rojo), n1 = 0, n2 =10(verde), n1 = n2 = 10(azul). A medida que j aumenta, el maximo dela intensidad tiende a centrarse en θ = π/2 desde la derecha y desde laizquierda para los dos primeros casos respectivamente. Esto corresponde alos estados superradiantes si j es grande. Ademas hay un maximo en θ = 0para n1 = n2 = 10

Figura 4.4: Grafica de I/I0 para n1 = 10000, n2 = 0. El maximo ya se vecentrado en θ = π/2. La grafica es identica en el caso n1 = 0, n2 = 10000.

39

4.3. Emision estimulada

En esta seccion hallamos la probabilidad de emision estimulada para lostres estados estudiados en la seccion anterior y veremos que como es deesperarse depende de la diferencia de poblaciones entre los dos niveles.

4.3.1. Para el estado de Dicke

Para el gas en un estado |m〉, la probabilidad de emision estimulada yaincluye la accion de J+ y la de J−. Para hallar esta probabilidad seguimosel procedimiento usado en [4]. Esta probabilidad es

I = I0|〈m− 1|J−|m〉|2 − |〈m+ 1|J+|m〉|2

= (j +m)(j −m+ 1)− (j −m)(j +m+ 1)= 2m. (4.16)

Si hacemos la identificacion m = (n1 − n2)/2, esto simplemente es propor-cional a la inversion de poblacion.

4.3.2. Para el estado de Bloch

La probabilidad de emision estimulada para el estado de Bloch es

I = I0∑m

(|〈m|J−|θ, ϕ〉|2 − |〈m|J+|θ, ϕ〉|2

)= 〈θ, ϕ|J+J−|θ, ϕ〉 − 〈θ, ϕ|J−J+|θ, ϕ〉= 〈−j|R−1

θ,ϕJ+Rθ,ϕR−1θ,ϕJ−Rθ,ϕ| − j〉 − 〈−j|R−1

θ,ϕJ−Rθ,ϕR−1θ,ϕJ+Rθ,ϕ| − j〉

= 2j(sin4 θ

2− cos4

θ

2)

= −2j cos θ. (4.17)

En el caso en que m = −j cos θ este resultado es igual al obtenido para enestado de Dicke en la ecuacion (4.16). Este es el resultado obtenido en [4].

40

4.3.3. Para el estado de Bloch general

En analogıa a lo que se hizo en la seccion anterior, la intensidad deemision estimulada es

I = I0∑n′

1,n′2

(|〈n′1, n′2|J−|µ〉|2 − |〈n′1, n′2|J+|µ〉|2

)= 〈µ|J+J−|µ〉 − 〈µ|J−J+|µ〉= 〈n1, n2|R−1

θ,ϕJ+Rθ,ϕR−1θ,ϕJ−Rθ,ϕ|n1, n2〉 − 〈n1, n2|R−1

θ,ϕJ−Rθ,ϕR−1θ,ϕJ+Rθ,ϕ|n1, n2〉

= (n1 − n2) cos θ. (4.18)

Como esperabamos la intensidad es la diferencia de poblaciones entre losniveles excitado y base. Otra vez, este es el mismo resultado que se obtienepara los dos estados anteriores. En el caso de Dicke y este ultimo resultado, seobtiene un resultado general para cualquier valor de m. En el caso del estadode Bloch, el resultado corresponde al caso particular en que m = j cos θ.

4.4. Conclusiones Generales

Los estados coherentes del oscilador armonico tienen muchas caracterısti-cas interesantes de estudiar y por esta razon han sido usados ampliamenteen muchas areas de la fısica. Estos estados cumplen con ∆x∆p = 1/2 paratodo tiempo y este sentido son estados cuanticos determinados al maximo,lo que hace que se consideren los estados que reconstruyen el comportamien-to clasico del oscilador. Estos estados son un punto de encuentro entre ladescripcion clasica y cuantica de este sistema, ya sea un oscilador mecanicoo un modelo para describir radiacion electromagnetica coherente.

La busqueda de esta clase de estados en otros sistemas se sigue inmedi-atamente para momento angular. Las relaciones de conmutacion entre lascomponentes del momento angular determinan enteramente la clase de es-tados que se pueden formar usando estos operadores. Teniendo la base delos estados de Dicke que se definen por ser estados propios comunes de Jy Jz, se pueden definir transformaciones sobre estos estados (ası como sedefinieron transformaciones sobre el estado base del oscilador) que tenganpropiedades de mınima incertidumbre y ası sean estados “clasicos” dentrodel formalismo cuantico. Los estados de Bloch son un ejemplo de estos esta-dos y se obtienen a partir de una rotacion sobre el estado base de los estadosde Dicke (en el subespacio de j constante). Cumplen con la relacion de mıni-ma incertidumbre para los operadores rotados, lo cual es de esperarse pues

41

una rotacion sobre el sistema y sobre los operadores deberıa dejar el sistemaen un principio invariante ([2] Cap. VI, Comp. BV I). Esta caracterıstica estaprofundamente relacionada con la relacion entre las rotaciones geometricasy el momento angular y la conservacion de este. Tal como los estados coher-entes del oscilador describen campos radiantes (o una coleccion de fotones),los estados de Bloch describen sistemas atomicos (o una coleccion de atomosde dos niveles), donde en el primer caso el numero cuantico n se refiere anumero de fotones y en el segundo caso j es el doble del numero de atomos.Es evidente entonces que estos dos modelos son herramientas muy utiles enla descripcion de estos dos sistemas, tanto aislados como interactuando entreellos.

La representacion de Schwinger que relaciona las componentes del momentoangular con operadores de bosones nos da una conexion entre los estadosde Fock de dos modos y los estados de Bloch que nos permite relacionar losnumeros cuanticos j y m y n1 y n2. Como vimos en las dos primeras sec-ciones del Capıtulo 4, esta correspondencia nos permite relacionar sistemasde n atomos de dos niveles con sistemas con momento angular total j ynumero magnetico m.

Usando esta representacion estudiamos el estado resultante de aplicar eloperador de rotacion, ya no sobre el estado base n1 = 0, sino sobre unestado general |n1, n2〉. Para este estado general comprobamos que los re-sultados obtenidos para el estado de Bloch se reproducıan en el caso en quen1 = 0. Ademas obtuvimos resultados generales que nos permitieron estudi-ar el comportamiento de este estado para valores distintos de n1 y n2, tantoen relacion a la mınima incertidumbre como para las propiedades radiativasde estos estados. La condicion de superradiancia y emision estimulada deDicke se estudio para el estado de Bloch y el estado general de Bloch. Enel primer caso se obtienen nuevas condiciones para en estado general y enel segundo caso encontramos que los tres estados coincidıan y que la proba-bilidad de emision estimulada es proporcional a la diferencia en poblacionesentre los niveles base y excitado.

Este tema es extenso y hay muchas otros aspectos que pueden ser estudiados.Uno de estos es la evolucion temporal de estos estados bajo el Hamiltonianode interaccion aquı mencionado o bajo otras clases de interacciones no lin-eales o con disipacion. Serıa interesante ver si las propiedades coherencia seconservan como en el caso del oscilador o si hay alguna variacion en el tiem-po. Otro aspecto interesante en este tema es buscar estados que cumplan la

42

igualdad en la relacion de incertidumbre ∆Jz∆φ ≥ 12 |1 − 2πP (θ0)|, donde

φ es la fase del estado y P (θ0) es la probabilidad de que el estado este a unangulo θ0 ([9]). Esta relacion es mucho mas complicada de analizar precisa-mente por involucrar la fase. Debido a que la fase es una cantidad periodica,la cantidad ∆φ es tiene un lımite superior y una relacion de incertidumbrede la forma ∆Jz∆φ ≥ 1

2 falla para valores suficientemente pequenos de ∆Jz.Esta es la razon por la que toca definir la relacion de incertidumbre mascomplicada que nombramos anteriormente, donde el lado izquierdo dependedel estado que se este considerando. Para esta relacion de incertidumbre sepueden analizar estados que minimizan el producto de las incertidumbreso que cumplen con la igualdad de la relacion, pues en este caso no nece-sariamente corresponden a los mismos estados. Los estados que cumplen laigualdad se llaman usualmente estados inteligentes y un aspecto interesantede estudiar es si pueden ser escritos como superposiciones de los estadoscoherentes de momento angular o si se relacionan de alguna manera con losestados estudiados en este trabajo.

43

Apendice A

Formulas utiles deconmutacion

Sean A y B dos operadores cualquiera. Cualquier funcion f(A) tiene unaexpansion en serie de Taylor. Especıficamente para una funcion exponencialse tiene

eA =∞∑

n=0

An

n!. (A.1)

Entonces una expresion de la forma eABe−A se puede escribir como

eABe−A = B + [A, B] +12!

[A, [A, B]] +13!

[A, [A, [A, B]]] + · · ·, (A.2)

y tambieneA+B = eAeBe−[A,B]/2. (A.3)

Este es el conocido teorema de BCH (Baker-Campbell-Hausdorff) y es validoen el caso en que [A, [A, B]] = 0. En el caso en que [A, B] = 0, se cumplepara cualquier funcion f(A) que

[f(A), B] = 0, (A.4)

y viceversa.Si A y B son operadores hermıticos actuando sobre un espacio de Hilbert,se cumple para cualquier estado que

∆A∆B ≥ 12|〈[A, B]〉|. (A.5)

44

Para los operadores de momento angular es necesario usar el teorema de”desenredamiento”que se prueba en [4], pero que solo mencionaremos aqui,pues las relaciones de conmutacion mas complicadas llevan a que no se pue-da usar BCH. Para los operadores J+, J−, Jz que cumplen las reglas deconmutacion

[J±, Jz] = ∓J±, [J−, J+] = −2Jz, (A.6)

el operador de rotacion Rθ,ϕ = eµJ+−µ∗J− se escribe

Rθ,ϕ = e−τ∗J−e− ln(1+|τ |2)Jzeτ J+ , (A.7)

donde τ = e−iϕ tan θ2 es un numero complejo que depende de θ y de ϕ, es

decir de µ.

45

Apendice B

Calculo de los operadoresrotados

En la seccion 1.2.2 del capıtulo 1 se definen los operadores Jn y Jk como

Jn = Jx sinϕ− Jy cosϕ (B.1)Jk = Jx cosϕ+ Jy sinϕ, (B.2)

asi J− y J+ se pueden expresar como

J+ = (Jk − iJn)eiϕ, J− = (Jk + iJn)e−iϕ. (B.3)

♣Calculo de R−1θ,ϕJnRθ,ϕ

Usando la ecuacion (A.2) tenemos

R−1θ,ϕJnRθ,ϕ = e−µJ++µ∗J− Jne

µJ+−µ∗J−

= eiθ(Jx sin ϕ−Jy cos ϕ)(Jx sinϕ− Jy cosϕ)e−iθ(Jx sin ϕ−Jy cos ϕ)

= Jx sinϕ− Jy cosϕ= Jn. (B.4)

♣Calculo de R−1θ,ϕJkRθ,ϕ

R−1θ,ϕJkRθ,ϕ = eiθ(Jx sin ϕ−Jy cos ϕ)(Jx cosϕ+ Jy sinϕ)e−iθ(Jx sin ϕ−Jy cos ϕ).

(B.5)

46

Recordemos que esta expresion se expande en una serie segun la ecuacion(A.2). El primer conmutador de la expansion es

[iθ(Jx sinϕ− Jy cosϕ), (Jx cosϕ+ Jy sinϕ)] = iθ(sin2 ϕ[Jx, Jy]− cos2 ϕ[Jy, Jx])= −θJz. (B.6)

El segundo es

[iθ(Jx sinϕ− Jy cosϕ),−θJz] = −iθ2(sinϕ[Jx, Jz]− cosϕ[Jy, Jz])= −iθ2(sinϕ(−iJy)− cosϕ(iJx))= −θ2(Jx cosϕ+ Jy sinϕ). (B.7)

El cuarto termino de la expansion es

[iθ(Jx sinϕ− Jy cosϕ),−θ2(Jx cosϕ+ Jy sinϕ)] = −iθ3(sin2 ϕ[Jx, Jy]− cos2 ϕ[Jy, Jx])= θ3Jz. (B.8)

Entonces R−1θ,ϕJkRθ,ϕ queda

R−1θ,ϕJkRθ,ϕ = Jk − θJz −

12!θ2Jk +

13!θ3Jz + · · ·

= Jk(1−θ2

2!+ · · ·)− Jz(θ −

θ3

3!+ · · ·)

= Jk cos θ − Jz sin θ. (B.9)

Para la componente z del momento angular tenemos:

♣Calculo de R−1θ,ϕJzRθ,ϕ

El primer conmutador de la expresion es

[iθ(Jx sinϕ− Jy cosϕ, Jz] = iθ(sinϕ(−iJy)− cosϕ(iJx))= θ(Jx cosϕ+ Jy sinϕ). (B.10)

El segundo es

[iθ(Jx sinϕ− Jy cosϕ, θ(Jx cosϕ+ Jy sinϕ)] = iθ2(sin2 ϕ(iJz)− cos2 ϕ(−iJz))= −θ2Jz. (B.11)

El tercero es

[iθ(Jx sinϕ− Jy cosϕ),−θ2Jz] = −θ3(Jx cosϕ+ Jy sinϕ)= −θ3Jk. (B.12)

47

Entonces la serie nos queda

R−1θ,ϕJzRθ,ϕ = Jz + θJk −

θ2

2!− θ3

3!Jk + · · ·

= Jz(1−θ2

2!+ · · ·) + Jk(θ −

θ3

3!+ · · ·)

= Jz cos θ + Jk sin θ. (B.13)

Ahora podemos hallar R−1θ,ϕJ+Rθ,ϕ y R−1

θ,ϕJ−Rθ,ϕ remplazando R−1θ,ϕJnRθ,ϕ

y R−1θ,ϕJkRθ,ϕ en las ecuaciones (B.3) de la siguiente forma.

♣Calculo de R−1θ,ϕJ+Rθ,ϕ

R−1θ,ϕJ+Rθ,ϕ = eiϕ(Jk cos θ − Jz sin θ − i(Jx sinϕ− Jy cosϕ))

= eiϕ(Jx(cosϕ cos θ − i sinϕ) + Jy(sinϕ cos θ + i cosϕ)− Jz sin θ)

= eiϕ(J+ + J−

2(cosϕ cos θ − i sinϕ) +

J+ − J−2i

(sinϕ cos θ + i cosϕ)− Jz sin θ)

= eiϕ(J+e−iϕ cos2

θ

2− J−e

iϕ sin2 θ

2− Jz sin θ). (B.14)

♣Calculo de R−1θ,ϕJ−Rθ,ϕ

R−1θ,ϕJ−Rθ,ϕ = e−iϕ(Jk cos θ − Jz sin θ + i(Jx sinϕ− Jy cosϕ))

= e−iϕ(Jx(cosϕ cos θ + i sinϕ) + Jy(sinϕ cos θ − i cosϕ)− Jz sin θ)

= e−iϕ(J+ + J−

2(cosϕ cos θ + i sinϕ) +

J+ − J−2i

(sinϕ cos θ − i cosϕ)− Jz sin θ)

= e−iϕ(−J+e−iϕ sin2 θ

2+ J−e

iϕ cos2θ

2− Jz sin θ). (B.15)

Ahora, usando los resultados anteriores es facil hallar las mismas expresionespara Jx y para Jy:

♣Calculo de R−1θ,ϕJxRθ,ϕ

R−1θ,ϕJxRθ,ϕ =

12(eiϕ(J+e

−iϕ cos2θ

2− J−e

iϕ sin2 θ

2− Jz sin θ)

+ e−iϕ(−J+e−iϕ sin2 θ

2+ J−e

iϕ cos2θ

2− Jz sin θ))

=12(J+(cos2

θ

2− e−2iϕ sin2 θ

2) + J+(cos2

θ

2− e2iϕ sin2 θ

2)

− 2Jz sin θ cosϕ). (B.16)

48

♣Calculo de R−1θ,ϕJyRθ,ϕ

R−1θ,ϕJyRθ,ϕ =

12i

(eiϕ(J+e−iϕ cos2

θ

2− J−e

iϕ sin2 θ

2− Jz sin θ)

− e−iϕ(−J+e−iϕ sin2 θ

2+ J−e

iϕ cos2θ

2− Jz sin θ))

=12i

(J+(cos2θ

2+ e−2iϕ sin2 θ

2)− J−(cos2

θ

2+ e2iϕ sin2 θ

2)

− 2Jz sin θ sinϕ). (B.17)

49

Bibliografıa

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50

estados coherentes de momento angular

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