moisés villena muñoz 2 -...

Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales

23

2

2.1 DEFINICIÓN

2.2 CONJUNTO SOLUCIÓN

2.3 MÉTODO DE GAUSS

2.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL

2.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2.5.1 ADMINISTRACIÓN DE RECURSOS

2.5.2 MODELO DE INSUMO-PRODUCTO

(ENTRADA-SALIDA) DE LEONTIEF

Ya hemos tenido la oportunidad de resolver sistemas de ecuaciones con

dos o tres incógnitas. El objetivo ahora es ser más generales, y definir

métodos para hallar conjunto solución, incluso de sistemas con más

ecuaciones que incógnitas. Y además hacer análisis de las soluciones.

OBJETIVOS: Definir sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos.

Definir Conjunto Solución de sistemas de ecuaciones lineales, sistemas consistentes con solución única, sistemas consistentes con

infinitas soluciones, sistemas inconsistentes. Aplicar el método de eliminación de Gauss para determinar conjunto

solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Justificar la consistencia o inconsistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Diseñar sistemas de ecuaciones que tengan solución única, infinitas

soluciones o que sean inconsistentes. Resolver problemas de Aplicación.


24

Una ECUACIÓN LINEAL en las incógnitas

nxxxx ,,,, 321 es de la forma:

1 1 2 2 3 3 1n na x a x a x a x b

donde 1 2 3 1, , , , ,na a a a b

Ya ha surgido la oportunidad de tratar sistemas lineales de dos o tres

incógnitas.

Ejemplo

Un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: 2 1

3 4 2

x y

x y

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

0

2 3 1

3 5 2

x y z

x y z

x y z

Definiremos ahora sistemas con más ecuaciones y con más incógnitas. Y no

necesariamente la misma cantidad de ecuaciones que incógnitas.

2.1 DEFINICIÓN

Un SISTEMA LINEAL de "m " ecuaciones con

" n" incógnitas es un predicado de la forma:

mnmnmmm

nn

nn

nn

n

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

xxxxp

332211

33333232131

22321222121

11313212111

321 :,,,,

donde 1,2,3,... ; 1,2,3,...,ij ia b para i m j n

Si 0321 mbbbb (todos iguales a cero) se llama "Sistema homogéneo".

Caso contrario se llama "Sistema no homogéneo"

2.2 CONJUNTO SOLUCIÓN

El conjunto solución nxxxxAp ,...,, 321 de un sistema lineal está constituido por

vectores de n.

Para todo sistema lineal su conjunto solución tendrá una de las siguientes tres características:


25

CASO I. Estar constituido por únicos valores nkkkk ,,,, 321 para las

respectivas incógnitas 1 2 3, , , , nx x x x , que satisfacen

simultáneamente a las ecuaciones. En tal caso se dirá que el sistema tiene solución única. Es decir:

nn kkkkxxxxAp ,...,,,,...,, 321321

CASO II. Estar constituido por infinitos valores para 1 2 3, , , , nx x x x . En tal

caso se dirá que el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir:

,,...,,,,,...,,,,...,, 22

3

2

2

2

1

11

3

1

2

1

1321 nnn kkkkkkkkxxxxAp

CASO III. No tener elementos. No existen valores para 1 2 3, , , , nx x x x

que satisfagan a las ecuaciones al mismo tiempo. En tal caso se dirá que el sistema no tiene solución. Es decir:

nxxxxAp ,...,, 321

Cuando el sistema tiene solución, se dice que es un SISTEMA

CONSISTENTE. Caso contrario, es decir, cuando no tiene solución, se dice que

es un SISTEMA INCONSISTENTE.

En conclusión los sistemas lineales pueden ser:

CONSISTENTES

Con Solución única, o

Con Infinitas soluciones

INCONSISTENTE

Sin solución.

Existen varios métodos para hallar el conjunto solución de sistemas lineales,

pero el que vamos a estudiar aquí, resulta ser el método general que le permitirá no sólo hallar el conjunto solución, sino también analizar consistencia e

inconsistencia de sistemas.

2.3. MÉTODO DE GAUSS

La esencia del método consiste en ir estableciendo sistemas equivalentes que

tendrán el mismo conjunto solución, hasta llegar a un sistema simple que nos permita deducir rápidamente su conjunto solución.

PASO 1. Plantear la matriz aumentada del sistema. Esta es, la

matriz de coeficientes de las incógnitas aumentando los términos independientes. Es decir:


26

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn m

a a a a b

a a a a b

a a a a b

a a a a b

PASO 2. Reducir por renglones a la matriz aumentada hasta

obtener una matriz escalonada (tratar de formar un sistema triangular superior)

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0

0 0

0 0 0

n

n

n

mn m

c c c c d

c c c d

c c d

c d

Utilizando a necesidad una de las siguientes operaciones (operaciones que forman sistemas equivalentes que poseen el mismo conjunto solución):

Ejemplo 1

Sea el sistema

1032

1132

44

:),,(

zyx

zyx

zyx

zyxp

PASO I: Su matriz aumentada es: 4 1 1 4

1 2 3 11

2 1 3 10

PASO II: El objetivo ahora será reducirla hasta una matriz escalonada empleando las operaciones permitidas. Note que se puede intercambiar la primera con la segunda fila para tener " 1 " en el primer elemento de la primera fila.

2 1

1 2 3 11

4 1 1 4

2 1 3 10

F F

Luego de esto, será posible obtener una matriz equivalente con "0" como primer elemento en los dos últimos renglones, bastaría con adic ionar a la segunda fila respectivamente -4 veces la primera fila (o lo que es lo mismo, multiplicar por -4 a la primera fila y se la suma algebraicamente a la segunda). En el mismo paso se puede adicionar a la tercera fila -2 veces la primera fi la

Intercambiar filas ( i jF F ).

Multiplicar a una fila por una constante "k "

diferente de cero ( ikF ).

Adicionar a una fila " k " veces otra fila

( i jF kF ).


27

2 1

3 1

4

2

( 2)( 4) 1 2 3 11 1 2 3 11

4 1 1 4 0 9 13 40

2 1 3 10 0 3 3 12

F F

F F

Podemos ahora multiplicar por 31 a la tercera fi la

3

1

3

1

3

1 2 3 11 1 2 3 11

0 9 13 40 0 9 13 40

0 3 3 12 0 1 1 4

F

Luego intercambiamos la segunda con la tercera fila

2 3

1 2 3 11

0 1 1 4

0 9 13 40

F F

Al adicionarle a la tercera fila -9 veces la segunda fila, conseguimos el sis tema triangular superior:

3 29

1 2 3 11 1 2 3 11

( 9) 0 1 1 4 0 1 1 4

0 9 13 40 0 0 4 4

F F

Podemos multiplicar por 41 a la tercera fila

3

1

4

1

4

1 2 3 11 1 2 3 11

0 1 1 4 0 1 1 4

0 0 4 4 0 0 1 1

F

El sistema equivalente, finalmente sería

1 2 3 11

0 1 1 4

0 0 1 1

x y z

2 3 11

4

1

x y z

y z

z

La última ecuación nos dice que 1z . Reemplazando este valor en la segunda ecuación tenemos:

4 1 4 3y z y . Y finalmente, reemplazando estos dos valores en la primera ecuación, tenemos:

11 2 3

11 2( 3) 3(1)

2

x y z

x

x

Por lo tanto el conjunto solución sería ( , , ) / 2; 3; 1

x

Ap x y z y x y z

z

.

O simplemente

1

3

2

),,( zyxAp .

Lo cual nos permite pensar que estamos en el CASO I, es decir es un SISTEMA CONSISTENTE CON SOLUCIÓN ÚNICA.

El procedimiento anterior no es rígido, es decir se podrían hacer otros pasos diferentes si fuese necesario, pero el objetivo debe ser el mismo, llegar a un

sistema triangular superior. Y por ende se debe llegar al mismo conjunto solución.


28

Ejemplo 2

Sea el sistema

2 7

( , , ) : 3 2 4

5 3 2 17

x y z

p x y z x y z

x y z

PASO I: Su matriz aumentada es: 2 1 1 7

3 2 1 4

5 3 2 17

PASO II: Ahora hacemos reducción de filas hasta llevarla a una matriz escalonada.

2 2 1

3 3 1

32 3 3 2

2 3

2 5

1

7 12

2 1 1 7 2 1 1 7 2 1 1 7

3 2 1 4 6 4 2 8 0 7 5 29

5 3 2 17 10 6 4 34 0 1 1 1

2 1 1 7 2 1 1 7 2

0 1 1 1 0 1 1 1

0 7 5 29 0 0 12 36

F F F

F F F

FF F F F

1 1 7

0 1 1 1

0 0 1 3

El sistema equivalente es:

2 7

1

3

x y z

y z

z

La última ecuación nos dice que 3z .

Despejamos y en la segunda ecuación: 1y z y reemplazamos z : 2y

Despejamos x en la primera ecuación: 7

2

y zx

y reemplazamos y y z : 1x

Por tanto, el conjunto solución sería.

1

( , , ) 2

3

Ap x y z

.

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON SOLUCIÓN ÚNICA

Ahora veamos sistemas con infinitas soluciones

Ejemplo 3

Sea

2 2

( , , ) : 3 2 3 1

2 1

x y z

p x y z x y z

x y z

PASO I: La matriz aumentada para este sistema es:

1 1 2 2

3 2 3 1

2 1 1 1

PASO II: Realizando reducción de filas, tenemos:

2 1

3 1

23 2

3

2

1

1 1 2 2 1 1 1 2

3 2 3 1 0 1 3 5

2 1 1 1 0 1 3 5

1 1 1 2 1 1 1 2

0 1 3 5 0 1 3 5

0 0 0 0 0 0 0 0

F F

F F

FF F

Siguiendo la técnica anterior, el sis tema equivalente sería:


29

2 2

3 5

0 0

x y z

y z

z

La última ecuación se satisface para cualquier valor de " z ", es decir z . Por esto, " z " recibe el nombre

de variable libre o independiente o arbitraria.

Despejando " y " en la segunda resulta 5 3y z .

Ahora, en la primera ecuación al despejar " x " tenemos: 2 2x y z . Reemplazando y por su

expresión respectiva y simplificando resulta: 3x z . Por tanto, el conjunto solución sería:

( , , ) / 3 5 3

x

Ap x y z y x z y z z

z

O también

3

( , , ) / 3 5 3 5 3 /

x t

Ap x y z y x t y t z t t t t

z t

Esto nos permite pensar que estamos en el CASO II, es decir un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES. Ex isten infinitos valores para las incógnitas que satis facen a las ecuaciones. Para obtener algunos de estos

valores, se le da valores a " z " o “ t ”, por ejemplo: si 1z . Entonces, (1) 3 2x y

5 3 1 2y

Se puede comprobar que ésta es una solución del sis tema para lo cual sólo habrá que reemplazar en el

sistema original:

2 2 2 1 2

3 2 2 2 3 1 1

2 2 2 1 1

.

Si se desea otra solución, le damos otro valor a " z ". Ahora puede ser 0z . Entonces, 3x y

5y . Note que también estos valores satis facen al sis tema:

3 5 2 0 2

3 3 2 5 3 0 1

2 3 5 0 1

El conjunto solución por extensión sería:

2 3

( , , ) 2 , 5 ,...

1 0

Ap x y z

Ejemplo 4

Sea

3059

9423

4

:),,(

zyx

zyx

zyx

zyxp

PASO I: La matriz aumentada para este sistema es:

1 1 1 4

3 2 4 9

9 1 5 30

PASO II: Realizando reducción de filas, tenemos:

3 22 1

3 1

23

9

1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4

3 2 4 9 0 5 7 3 0 5 7 3

9 1 5 30 0 10 14 6 0 0 0 0

F FF F

F F


30

El sistema equivalente sería:

4

5 7 3

0 0

x y z

y z

z

La última ecuación nos dice que z .

Despejando " y " en la segunda ecuación resulta 7 3

5

zy

.

Ahora, en la primera ecuación al despejar " x " tenemos: 4x y z . Reemplazando y por su

expresión respectiva y simplificando resulta: 17 2

5

zx

.

Por tanto, el conjunto solución sería:

17 2 7 3

( , , ) /5 5

xz z

Ap x y z y x y z

z

O también

17 2

5

17 2 7 3 7 3( , , ) /

5 5 5/

t

xt t t

Ap x y z y x y z t t t

zt

Esto nos permite pensar que este es otro SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES.

Obtengamos algunos de estos valores, se le da valores a " z " o “ t ”, por ejemplo: si 1z . Entonces,

17 2(1) 153

5 5x

y 2

5

10

5

3)1(7

y

Comprobando

3 2 1 4

3(3) 2(2) 4(1) 9

9(3) (2) 5(1) 30

.

Si 4z . Entonces, 55

25

5

)4(217

x y 5

5

25

5

3)4(7

y .

Estos valores también satis facen al sis tema:

30)4(5)5()5(9

9)4(4)5(2)5(3

4)4()5()5(

El conjunto solución (por extensión) sería:

,...

4

5

5

,

1

2

3

),,( zyxAp

Un sistema con otro tipo de infinitas soluciones, es el siguiente:

Ejemplo 5

Sea

12333

8222

4

:),,(

zyx

zyx

zyx

zyxp

PASO I: La matriz aumentada del sistema es:

12333

8222

4111


31

PASO II: Reduciendo renglones, resulta:

2 1

3 1

2

3

1 1 1 4 1 1 1 4

2 2 2 8 0 0 0 0

3 3 3 12 0 0 0 0

F F

F F

Lo cual da lugar al siguiente sistema:

4

0 0 0

0 0

x y z

y z

z

4x y z

y

z

Aquí “ x ” y “ y ” son las Variables libres o Independientes o arbitrarias.

Este es otro SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES. Por tanto, el conjunto solución sería:

4 3

( , , ) / 4 1 , 1 ,

1 0

x

Ap x y z y x y z y z

z

Se le da valores arbitrarios tanto a " z " como a " y " para obtener valores para " x ".

El conjunto solución también puede ser expresado de la siguiente manera:

4

( , , ) / 4 , / ,

x r t

Ap x y z y x r t y r z t r t r r t

z t

Ahora analicemos sistemas inconsistentes.

Ejemplo 6

Sea

2443

0232

42

:),,(

zyx

zyx

zyx

zyxp

PASO I: La matriz aumentada es:

2443

0232

4211


32 1

3 1

22

3

1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4

2 3 2 0 0 1 2 8 0 1 2 8

3 4 4 2 0 1 2 10 0 0 0 2

F FF F

F F


2 4

2 8

0 2

x y z

y z

z

La última ecuación es una proposición falsa, esto indica una INCONSISTENCIA. Por tanto, éste es un SISTEMA QUE NO TIENE SOLUCIÓN. Su conjunto solución es:

),,( zyxAp

No ex iste algún valor para x , y y z que satis faga al sistema.


32

Ejemplo 7

Sea

2 4

( , , ) : 2 2 4 0

3 3 6 12

x y z

p x y z x y z

x y z

PASO I: La matriz aumentada es:

1 1 2 4

2 2 4 0

3 3 6 12


2 1

3 1

2

3

1 1 2 4 1 1 2 4

2 2 4 0 0 0 0 8

3 3 6 12 0 0 0 0

F F

F F


2 4

0 8

0 0

x y z

z

z

La penúltima ecuación es una proposición falsa, esto indica que es un SISTEMA INCONSISTENTE. Su conjunto solución es:

),,( zyxAp

Analicemos ahora sistemas rectangulares.

Ejemplo 8

Sea

245

123

32

:),(

yx

yx

yx

yxp . Hallar su conjunto solución.

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y haciendo las reducciones de filas convenientes:

2 2 1

3 3 1

3 3 2

2 3

2 5

7 13

2 1 3 2 1 3 2 1 3

3 2 1 6 4 2 0 7 11

5 4 2 10 8 4 0 13 19

2 1 3 2 1 3

0 7 11 0 7 11

0 91 133 0 0 10

F F F

F F F

F F F

El último renglón nos da una INCONSISTENCIA. Por tanto ),( yxAp

Ejemplo 9

Sea

3

2 3 4( , , ) :

2 2 1

3 4 7

x y z

x y zp x y z

x y z

x y

. Hallar su conjunto solución.

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y haciendo reducciones de filas:

2 1

3 1 3 2

4 1 3 1

2

3

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

2 3 1 4 0 1 3 2 0 1 3 2

1 2 2 1 0 1 3 2 0 0 0 0

3 4 0 7 0 1 3 2 0 0 0 0

F FF F F F

F F F F


33


3

3 2

x y z

y z

Note que la filas de ceros en este caso es como que se anulan dos ecuaciones:

Despejamos y : 3 2y z

Despejamos x en la primera ecuación y reemplazamos y :

3 3 3 2 5 4x y z z z x z

Entonces su conjunto solución es:

5 4

( , , ) 3 2 /

t

Ap x y z t t

t

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES.

Ejemplo 10

Sea

2 3 4

3( , , ) :

3 2 2 7

5 3 7

x y z

x y zp x y z

x y z

x y z


SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y haciendo reducciones de filas:

2 1

3 11 2

4 1

43 2

4 2

23

5

1

2

3

2 3 1 4 1 1 1 3 1 1 1 3

1 1 1 3 2 3 1 4 0 1 3 2

3 2 2 7 3 2 2 7 0 1 1 2

5 1 3 7 5 1 3 7 0 6 2 8

1 1 1 3 1 1 1 3

0 1 3 2 0 1 3

0 1 1 2

0 3 1 4

F FF FF F

F F

FF F

F F

34 3

4

1

4

1

10

2

0 0 4 4

0 0 10 10

1 1 1 3 1 1 1 3

0 1 3 2 0 1 3 2

0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 0 0 0

FF F

F


3

3 2

1

x y z

y z

z

Note que en este caso la fila de cero es como que se anula una ecuación:

La última ecuación nos dice que 1z .

Despejamos y y reemplazamos z : 3 2 3 1 2 1y z y

Despejamos x en la primera ecuación y reemplazamos y y z : 3 3 1 1 1x y z x

Entonces su conjunto solución es:

1

( , , ) 1

1

Ap x y z

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON SOLUCIÓN ÚNICA.


34

Ejemplo 11

Sea 2 3 4 3

( , , , ) :2 3 3 2 1

x y z wp x y z w

x y z w


SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada, y haciendo reducciones de filas:

2 121 2 3 4 3 1 2 3 4 3

2 3 3 2 1 0 1 9 6 5

F F

El sistema equivalente resultante es:

2 3 4 3

9 6 5

x y z w

y z w

Despejamos y : 5 9 6y z w

Cómo no tenemos información de z y w , decimos que z y w

Despejamos x en la primera ecuación, y reemplazamos y :

3 2 3 4 3 2 5 9 6 3 4 3 10 18 12 3 4 15 8 7x y z w z w z w z w z w x z w El conjunto solución sería: ¨

15 8 7 15 8 7

5 9 6 5 9 6( , , , ) / , / ,

z w t r

z w t rAp x y z w z w t r

z t

w r

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES.

Ejemplo 12

Hallar el conjunto solución para

42

2322

5

:),,,(

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxp

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y reduciendo por renglones:

2 1

3 1

33 2

5

2

1

3

1

5

1 1 1 1 5 1 1 1 1 5

2 2 1 3 2 0 0 1 5 8

1 1 2 1 4 0 0 3 0 9

1 1 1 1 5 1 1 1 1 5

0 0 1 5 8 0 0 1 5 8

0 0 1 0 3 0 0 0 5 5

1 1 1 1 5

0 0 1 5 8

0 0 0 1 1

F F

F F

FF F

F

El sistema equivalente resultante es:

1

85

5

4

43

4321

x

xx

xxxx

De la última ecuación tenemos que: 4 1x , reemplazándolo en la segunda tenemos:

3

3 3

5( 1) 8

8 5 3

x

x x

.


35

En la primera ecuación reemplazamos los valores encontrados1 2

1 2

3 1 5

1

x x

x x

, entonces

podemos decir que 2x . Aunque lo mismo podr íamos decir de 1x y despejar 2x . Estamos

ante un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES , cuyo conjunto solución puede ser expresado de la siguiente forma:

1

2

1 2 3 4 1 2 2 3 4

3

4

1 3

0 2( , , , ) / 1 3 1 , ,

3 3

1 1

x

xAp x x x x x x x x x

x

x

O también:

1

2

1 2 3 4 1 2 3 4

3

4

1

( , , , ) / 1 3 1 /3

1

x t

x tAp x x x x x t x t x x t t

x

x

Ahora veamos sistemas homogéneos.

Ejemplo 13

Hallar el conjunto solución para el sistema homogéneo:

0736

0523

0432

:),,(

zyx

zyx

zyx

zyxp

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y reduciendo renglones:

2

32 1

3 1

3 2

2

133

3

12

2 3 4 0 2 3 4 0

3 2 5 0 6 4 10 0

6 3 7 0 6 3 7 0

2 3 4 0 2 3 4 0

0 13 2 0 0 13 2 0

0 12 5 0 0 156 65 0

2 3 4 0

0 13 2 0

0 0 41 0

F

FF F

F F

F F

El sistema equivalente ser ía:

2 3 4 0

13 2 0

41 0

x y z

y z

z

De la última ecuación concluimos que 0z

Reemplazando z en la segunda ecuación, obtenemos: 0y

Reemplazamos y y z en la primera ecuación, obtenemos: 0x Este tipo de solución es llamada SOLUCIÓN TRIVIAL.

0

( , , ) 0

0

Ap x y z

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON SOLUCIÓN ÚNICA.


36

Los sistemas homogéneos tienen una característica especial, son sistemas consistentes, por simple inspección se puede comprobar que por lo menos la

solución trivial los satisface, aunque además de la solución trivial puede haber más soluciones.

Ejemplo 14

Hallar el conjunto solución para el sistema homogéneo:

2 0

( , , ) : 3 2 6 0

5 3 7 0

x y z

p x y z x y z

x y z

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y reduciendo renglones:

2 3 12 1

3 3 1

2 3

2 5

2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0

3 2 6 0 6 4 12 0 0 1 9 0 0 1 9 0

5 3 7 0 10 6 14 0 0 1 9 0 0 0 0 0

F F FF F

F F F

El sistema equivalente ser ía:

2 0

9 0

x y z

y z

De la última ecuación concluimos que 9y z

Reemplazamos y despejamos x en la primera ecuación: 9

42 2

z zy zx x z

El conjunto solución es:

4

( , , ) 9 /

t

Ap x y z t t

t

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES .

Ejercicios Propuestos 2.1

1. Encuentre el conjunto solución de los siguientes sistemas lineales:

a)

932

4832

5113

zyx

zyx

zyx

b)

27372

20723

92

zyx

zyx

zyx

c)

11532

20723

92

zyx

zyx

zyx

d)

8433

1

3

zyx

zyx

zyx

e)

232

732

123

4

zyx

zyx

zyx

zyx

f)

3059

923

4

zyx

zyx

zyx

g)

03

0

032

zyx

zyx

zyx

h)

02

0

032

yx

zyx

zyx

2. Sea el sistema de ecuaciones:

4111

1132

4214

zyx

zyx

zyx

entonces el valor de " y " que lo satisface

es: a)1 b) -1 c) ½ d) -1/2 e) 1/3


37

3. Con respecto al sistema

0736

0523

0432

zyx

zyx

zyx

, una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA,

identifíquela:

a) El sistema tiene como solución 0,1,2 zyx .

b) El sistema sólo tiene solución triv ial: 0,0,0 zyx .

c) El sistema es inconsistente.

d) Además de la solución triv ial, el sistema tiene como solución 4,1,2 zyx .

e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.

4. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

0

02

032

32

321

321

xx

xxx

xxx

entonces es VERDAD que:

a) Una de las soluciones del sistema es: x1=-3; x2=3; x3=-3 b) El sistema no tiene solución y es inconsistente, aunque homogéneo. c) El sistema tan sólo tiene una única solución, que es la triv ial. d) El sistema, además de la solución trivial, tiene infinitas soluciones.


Existen otros tipos de problemas en donde no se trata de hallar el conjunto solución sino de diseñar el sistema

Ejemplo 1

Con respecto al siguiente sistema de ecuaciones:

cxcxx

xxx

xxx

32

21

321

321

)5(

62

2

El valor de "c" para que sea INCONSISTENTE, es:

a) -2 b) 2 c) 0 d) 1 e) 4 SOLUCIÓN: Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones de la misma forma que en los ejercicios

anteriores:

2 1

3 1

3

2 2

1 1 1 2 1 1 1 2

1 2 1 6 0 1 2 4

1 1 5 0 0 4 2

1 1 1 2

0 1 2 4

0 0 2 ( 2 2

F F

F F

Factorizamos F

c c c c

c c c

Analizando el último renglón:

Si 2c 0000 INFINITAS SOLUCIONES.

Si 2c 4000 INCONSISTENTE.

Si 22 cc 0000 21 kk SOLUCIÓN ÚNICA.

RESPUESTA: Opción "a".


38

Ejemplo 2

Sea el siguiente sistema

2

2 1

2 3 1

2 4 2 10 3

x y az

x a y z a

x a y a z a

, donde a , indique ¿cuál

de las afirmaciones siguientes es VERDADERA?

a) 2a el sistema tiene infinitas soluciones

b) 2a el sistema tiene solución única

c) 2a el sistema tiene solución única

d) 22 aa el sistema tiene solución única

e) 2a el sistema es inconsistente

SOLUCIÓN: Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:

2 1

3 1

3 1

3

2

2

2

2

2

1 2 1

1 ( 2) 3 1

2 (4 2 ) 10 3

1 2 1

0 3

0 2 2 10 3 2

1 2 1

0 3

0 0 4 2

1 2 1

0 3

0 0 2 2 2

F F

F F

F F

Factorizamos F

a

a a

a a a

a

a a a

a a a

a

a a a

a a

a

a a a

a a a

Analizando el último renglón:

Si 2a 4000 INCONSISTENTE.

Si 2a 0000 INFINITAS SOLUCIONES.

Si 22 aa SOLUCIÓN ÚNICA.

RESPUESTA: Opción "e".

Ejemplo 3

Sea el sistema de ecuaciones

2333

62432

322

2 kzkkyx

kzkyx

zyx El valor de "k " para

que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES es:

a) 32 b) 1 c)0 d)1 e)2

SOLUCIÓN:

Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones


39

2 1

3 1

3 2

2

2

2

2

1 2 2 3

2 3 (4 ) 2 6

1 3 3 3 2

1 2 2 3

0 1 2

0 1 1 3 1

1 2 2 3

0 1 2

0 0 1 1

F F

F F

F F

k k

k k k

k k

k k k

k k

k k

3

1 2 2 3

0 1 2

0 0 1 1 1

Factorizamos Fk k

k k k

Analizando el último renglón

Si 1k 0000 INFINITAS SOLUCIONES.

Si 1k 2000 INCONSISTENTE.

Si 11 kk SOLUCIÓN ÚNICA. RESPUESTA: Opción "d".

Ejemplo 4

Analizar el sistema

3

2

x y z a

x y b

x y z c

SOLUCIÓN:

Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:

1 3 2 1

3 1

3 2

2

3

2

3 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 0 2 1 0 0 1 2 2

1 1 1 3 1 1 0 2 4 3

1 1 1

0 1 2 2

0 0 0 2

F F F F

F F

F F

a c c

b b b c

c a a c

c

b c

a b c

El último renglón nos indica que s i elegimos 2 0a b c el sistema tendrá INFINITAS SOLUCIONES,

caso contrario; es decir si elegimos 2 0a b c , el sistema será INCONSISTENTE. Además, EL SISTEMA NUNCA TENDRÁ SOLUCIÓN ÚNICA.

Ejemplo 5

Analizar el sistema

3 2

2

x y z a

x y b

x y z c

SOLUCIÓN:


1 3 2 1

3 1

3 2

2

3

2

3 1 2 1 1 1 1 1 1

2 1 0 2 1 0 0 1 2 2

1 1 1 3 1 2 0 2 5 3

1 1 1

0 1 2 2

0 0 4 2

F F F F

F F

F F

a c c

b b b c

c a a c

c

b c

a b c

El último renglón nos indica que EL SISTEMA SÓLO TENDRÁ SOLUCIÓN ÚNICA, para cualquier valor de

a , b y c .


40

Ejemplo 6

Determine condiciones para a , b , c y d tal que el sistema 2

3 4

2

x y a

x y b

x y c

x y d

sea consistente.

SOLUCIÓN:


2 1

3 1 3 2

4 1

3 2

4 2

23

3

1 1 1 1 1 1

2 1 0 3 2 0 1 3

3 4 0 1 3 0 3 2

1 2 0 1 0 1

1 1

0 1 3

0 0 3 11

0 0 2

F FF F F F

F F

F F

F F

a a a

b b a c a

c c a b a

d d a d a

a

c a

b c a

d c a

Aquí debemos considerar los dos últimos renglones. Debemos elegir 3 11 0b c a y 2 0d c a para que el sis tema sea consis tente.


1. Considere el sistema de ecuaciones lineales:

cxxx

bxxx

axxx

321

321

321

2155

53

32

entonces es CIERTO que:

a) La matriz de coeficientes del sistema es inv ertible.

b) Para cualquier valor de a , b y c , el sistema es consistente.

c) Si 0 cba el sistema tiene solución única

d) El sistema es inconsistente sólo si bac 32


2. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

0)13(3

723

3

321

321

21

xaxx

axxx

xx

, entonces una de las siguientes

proposiciones es FALSA, identifíquela:

a) Si 1a a=1, el sistema tiene infinitas soluciones.

b) Si 1a , el sistema tiene solución única.

c) Si 1a , el sistema no tiene solución única.

d) No ex iste un número real 1a tal que el sistema sea inconsistente.

e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.

3. El sistema de ecuaciones lineales

czyx

bzyx

azyx

22

32

, es CONSISTENTE si:

a) cab

b) cab

c) cba

d) bac

e) cba

4. Los valores de la constante " a " para los cuales el sistema

02

4

32

zay

zxya

yzx

tiene un número infinito de soluciones, es: a) -4 y 1

b) -4 y -1 c) 4 y 1 d) 4 y -1 e) 4


41

5. Considere el sistema de ecuaciones:

122

2

23

2

zyx

zky

zyx

entonces es VERDAD que:

a) El sistema tiene infinitas soluciones si k .

b) El sistema es consistente si 2

1k

c) Si 2k entonces 2

5z

d) Si 2

1k el sistema es inconsistente.


6. Los VALORES de k para que el siguiente sistema lineal

022

022

04

zyx

kzyx

zykx tenga INFINITAS SOLUCIONES, son:

a) -1 y -5 b) 1 y -5 c) 1 y 5 d) 2 y -5

e) -1 y 5

2.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL

El sistema lineal de ecuaciones:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 21 3 21 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

Puede ser representado mediante una multiplicación de matrices de la

siguiente forma

11 12 13 1 1 1

21 22 23 2 2 2

31 32 33 3 3 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn n m

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b

Lo que esquemáticamente sería:


42

Ejemplo 1

Para el sistema

332

232

12

zyx

zyx

zyx

la representación matricial sería:

2 1 1 1

1 2 3 2

1 2 3 3

x

y

z

Ejemplo 2

La representación matricial del sistema

322

13

12

yx

yx

yx

es:

2 1 1

1 3 1

2 2 3

x

y

Ejercicio Propuesto 2.3

1. Con respecto al siguiente sistema

31

15

5

221

331

320

3

2

1

x

x

x

, es verdad que:

a) Tiene infinitas soluciones d) No tiene solución b) Tiene solución única e) Tiene una variable libre c) Tiene dos variables libres

2.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Problemas con más de una incógnita amerita plantear más de una ecuación, que deben ser consideradas simultáneamente. Los arreglos matriciales van a ser

de mucha utilidad para hacer un planteamiento rápido de los problemas de aplicación.

Ejemplo 1

La producción de dos tipos de artículos, A y B , requiere del uso de dos máquinas I , II .

Para los artículos del tipo A se requiere utilizar tres horas de la máquina I y cuatro horas

de la máquina I I . Para los artículos del tipo B se requiere utilizar una hora de la máquina I y dos horas de la máquina I I . Si el tiempo total disponible de la máquina I es de cinco horas al

día y de la máquina I I es de ocho horas diarias, el total de artículos A y B que se pueden fabricar en un día respectivamente son: a) 1 y 2 b) 2 y 4 c) 3 y 6 d) 4 y 2 e) 3 y 2

SOLUCIÓN: Es muy conveniente interpretar la información ubicándolo en una tabla, de la siguiente manera:

Sean: Cant. de art.x A

Cant. de art.y B

Entonces:

Los renglones permiten proponer la ecuación respectiva. Para el primer renglón:

824

513

II

I

totalTiempoBAArt

Maq

)(x )( y


43

3 horas de Maq I 1 hora de Maq I

unidades de unidades de 5 horas Maq. I1 unidad de 1 unidad de

x A y BA B

Esto quiere decir que: 53 yx

Para el segundo renglón:

4 horas de Maq II 2 hora de Maq II

unidades de unidades de 8 horas Maq. II1 unidad de 1 unidad de

x A y BA B

Esto quiere decir que: 824 yx

Note que se forma un sistema lineal de 2 ecuaciones con dos incógnitas:

824

53

yx

yx

Sus soluciones pueden ser encontradas por el método que usted escoja, sin embargo podemos hacer lo siguiente:

Despejar " x " en ambas ecuaciones y luego igualar:

4

28

284

824

yx

yx

yx

3

5

53

53

yx

yx

yx

2

20242

420624

)5(4)28(3

3

5

4

28

y

y

yy

yy

yy

Entonces: 1

3

25

x

x

Respuesta:1 unidad de

2 unidades de

x A

y B

Ejemplo 2

Un fabricante produce tres artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y

C es $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por año y los costos de producción por cada unidad son de $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente serán

producidas y vendidas un total de 11000 unidades entre los tres productos y se obtendrá una utilidad total de $25000. Si el costo total será de $80000, entonces el número de unidades del producto B es: a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000

SOLUCIÓN: Tabulando la información:

000,11Pr

754..

000,80$000,17..

000,25$321

zyxoduc

VarCost

FijCost

Utilidad

TotalesCBAArt


44

Entonces el sis tema para este problema es:

000,11

000,80000,17754

000,2532

zyx

zyx

zyx

Que al resolverlo, tenemos:

1 3

2 3

2 1 3 1

3 14

1 2 3 25,000 1 1 1 11,000

4 5 7 63,000 1 2 3 25,000

1 1 1 11,000 4 5 7 63,000

1 1 1 11,000 1 1 1 11,000

0 1 2 14,000 0 1 2 14,000

0 1 3 19,000 0 0 1 5,000

F F

F F

F F F F

F F

Por lo tanto:

Aunidxx

Bunidyzy

Cunidz

.000,2000,11000,5000,4

.000,4000,142

.000,5

RESPUESTA: Opción "d" SEGUNDO MÉTODO:

Aplicando la regla de Cramer (investíguela): 4000

754

321

111

7000,634

3000,251

1000,111

y

Ejemplo 3

Una persona invirtió un total de $20000 en 3 inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso anual

total fue de $1624 y el ingreso de la inversión del 10% fue dos veces el ingreso de la inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada inversión?

Solución: Planteando el sis tema en forma directa tenemos:

Sean: dólares invertidos al 6%x

dólares invertidos al 8%y

dólares invertidos al10%z

Entonces:

xz

zyx

zyx

100

62

100

10

1624100

10

100

8

100

6

000,20

entonces

xxz

zyx

zyx

5

6

10

12

1624001086

000,20

Reemplazando " z " en la segunda ecuación:

8

18162400

16240010

121086

xy

xyx

Reemplazando " z " y " y "

%66000$

120002

800000489081200040

200005

6

8

18162400

alx

x

xxx

xx

x


45

Entonces

%86800$

8

)6000(18162400

aly

y

y

%107200$

60005

6

alz

z

Ejemplo 4

Una compañía paga a trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de ensamblado. Trabajadores semicalificados en ese mismo departamento ganan $9 por hora.

A los empleados de envíos se les paga $10 por hora. A causa de un incremento en los pedidos, la compañía necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un

contrato con el sindicato, debe emplearse el doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. Entonces EL NÚMERO DE TRABAJADORES CALIFICADOS que contratará la compañía es: a) 10

b) 20 c) 30 d) 40

e) 50

SOLUCIÓN: Tabulando la información:

Y considerando la condición:

2

Calificados Semicalificados

x y

Resulta el sistema:

xy

zyx

zyx

2

70

76010915

Reemplazando " y " en la segunda ecuación:

xz

zx

zxx

370

703

702

Reemplazando " y " y " z " en la primera ecuación:

..20

7007603

760307001815

760)370(10)2(915

calftrabx

x

xxx

xxx

RESPUESTA: Opción "b"

70

76010915

.

zyx

hPago

TotalEnvíoSemicfCalifTrab


46


1. Una empresa utiliza 3 tipos de materias primas M1, M2, M3 en la elaboración de 2 productos P1 y P2. El número

de unidades de M1, M2 y M3 usados por cada unidad de P1 son 3, 2 y 4 respectivamente, y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3 respectiv amente. Si la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana, y los costos por unidad de M1 ,M2 y M3 son $1, $3 y $2 respectiv amente, entonces la cantidad gastada en materia prima a la semana en la producción de P1 y P2, es:

a) $730 b) $420 c) $550 d) $880

e) 990

2. Una industria fabrica 3 clases de artículos: x1, x2, x3, en sus 3 fábricas A, B y C. Cada fábrica debe producir igual cantidad de cada artículo diariamente. Los costos de producción por unidad (en dólares) vienen dados por la matriz:

30,030,060,0

40,020,040,0

20,010,050,0

321

CFábrica

BFábrica

AFábrica

xxx

Si los costos de producción total diaria son $75 para la fábrica A, $90 para la fábrica B y $120 para la fábrica C, entonces el número de unidades del artículo x2 que se producen en cada fábrica es igual a: a) 25 b) 50 c) 100

d) 125 e) 150

3. Una empresa produce 3 productos A, B y C, los que procesa en 3 máquinas. El tiempo en horas requeridas para procesar una unidad de cada producto por las 3 maquinarias está dado por:

112

421

213

IIIMAQ

IIMAQ

IMAQ

CBA

Se dispone de la maquinaria I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y la máquina III por 550 horas.

¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

4. Una compañía produce tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de

madera, plástico y aluminio, como se indica en la siguiente tabla:

unidadesunidadesunidad

unidadesunidadunidad

unidadesunidadunidad

Aluminio

Plástico

Madera

SillonesMecedoraSilla

532

211

111

La compañía tiene en ex istencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Entonces el NÚMERO DE MECEDORAS que debe fabricar la compañía con objeto de emplear todo el material ex istente, es: a) 100

b) 120 c) 150 d) 200 e) 250

5. Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de obra para 3 proyectos, BA, y C . Los costos por

hora-hombre para cada proyecto son de $8, $10 y $12 respectivamente y el costo total es de $53.000. Si el

número de horas-hombre para el proyecto C es igual a la suma de las horas-hombre requeridas por los

proy ectos A y B . Entonces es FALSO afirmar que el número de horas-hombre requeridas para:

a) El proyecto C es 2500

b) Los proyectos A y B es 2500

c) Los proyectos B y C es 4500

d) El proy ecto B es 1500

e) Los proyectos A y C es 3500


47

2.5.1 ADMINISTRACIÓN DE RECURSOS

En ocasiones hay que tomar decisiones sobre algunas opciones.

Ejemplo

En una sección de un zoológico hay tres especies de aves exóticas que requieren de tres tipos de alimentos. Cada ave de la especie uno consume cada semana un promedio de dos unidades del alimento 1, una unidad del alimento 2 y tres unidades del 3. Cada ave de la especie dos consume

cada semana un promedio de tres unidades de alimento 1, una del 2 y cuatro del 3. Cada ave de la especie tres consume un promedio semanal de una unidad del 1, una del 2 y dos del 3. Cada semana se proporciona al lago 9000 unidades del alimento uno, 5000 del dos y 14000 del

tres. Suponga que las aves se comen todo el alimento ¿cuántas aves de cada especie pueden coexistir? SOLUCIÓN:

Primero ubicamos la información en una tabla.

Ave 1 Ave 2 Ave 3 TOTAL

Alimento 1 2 3 1 9000 Alimento 2 1 1 1 5000 Alimento 3 3 4 2 14000

Llamemos a:

x=cantidad de aves de la especie 1.

y=cantidad de aves de la especie 2. z=cantidad de aves de la especie 3.

Las ecuaciones matemáticas para este problema ser ían:

2 3 9000

5000

3 4 2 14000

x y z

x y z

x y z

Ahora determinemos su conjunto solución:

1 2

2 3 1 9000 1 1 1 5000

1 1 1 5000 2 3 1 9000

3 4 2 14000 3 4 2 14000

F F

3 22 1

3 1

2

3

1 1 1 5000 1 1 1 5000

0 1 1 1000 0 1 1 1000

0 1 1 1000 0 0 0 0

F FF F

F F

5000

1000

x y z

y z

Despejamos y en la última ecuación:

1000y z

Reemplazamos y en la primera ecuación, y despejamos x:

1000 5000 6000 2x z z x z

En problemas de aplicación debemos considerar que tanto x, como y y z deben ser números no

negativos, entonces:

0

1000 0

1000

y

z

z

y

0

6000 2 0

3000

x

z

z

.

Es decir, existen algunas opciones de solución que deben ser tomadas del siguiente conjunto:

/ 6000 2 1000 1000 3000

x

S y x z y z z z

z

Por ejemplo, si hubiese 1500 aves de la tercera especie, debería haber 3000 aves de la especie uno y 500 aves de la especie dos.


48


1. Un departamento de pesca proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces cada pez de la especie uno consume cada semana un promedio de una unidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y dos unidad del 3. Cada pez de la especie dos consume cada semana un promedio de tres unidades de alimento 1, cua tro del 2 y cinco del 3. Para un pez de la especie tres el promedio semanal de consumo es de dos unidades del 1, una del 2 y cinco del 3. Cada semana se proporciona al lago 25000 unidades del alimento uno, 20000 del dos y 55000 del tres. Si se supone que los peces se comen todo el alimento ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

2. En el problema anterior, suponga que se suminis tran al lago 15000 unidades del primer alimento,

10000 unidades del segundo y 35000 del tercero. Suponiendo que todo el alimento se consume, ¿qué población de las tres especies puede coexistir en el lago? ¿existe solución única?.

3. Una inversionis ta le afirma a su corredor de bolsa que todas sus acciones son de tres

compañías, A, B y C, y que hace 2 días su valor bajó $350 pero que ayer aumentó $600. El corredor recuerda que hace 2 días el precios de las acciones de la compañía A bajó $1 por acción y el de las compañía B bajaron $1.50, pero que el precio de las acciones de la compañía C subió $0.50. También recuerda que ayer el precio de las acciones de la compañía A subió $1.50 por acción, el de la compañía B bajó $0.50 por acción y el de la compañía C subieron $1. a) Demuestre que el corredor no tiene suficiente información para calcular el número de

acciones que posee la inversionista en cada compañía. (Plantee el sis tema lineal de ecuaciones que modela el problema, resuélvalo y encuentre el conjunto solución

b) Si la inversionis ta dice que tiene 200 acciones de la compañía C, pruebe que el corredor puede calcular el número de acciones que tiene en la compañía A y en la compañía B. Determínelas.

4. Cada semana una comerciante mayorista recibe cuatro marcas de champú, ,w,z,y,x por un

total de 100 frascos. Esta semana puede vender las marcas y,x a razón de $2 cada frasco; la

marca ,z a $4, y la marca w a $5 cada frasco, y desea que sus ingresos sean de $290. Para la

semana siguiente tiene pedidos de las marcas x y y a $1 cada frasco, z a $3 y w a $4

por frasco, y desea que sus ingresos sean de $200. ¿Cuántos frascos de cada marca debe pedir si compra el mismo número de cada marca ambas semanas?

5. Una compañía de inversiones vende tres tipos de Fondos de Inversión: Estándar (E), de Lujo (D)

y Goldstar (G). Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 tipo B y 8 tipo C. Cada Unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 tipo B y 28 tipo C. Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A, 28 tipo B y 36 tipo C. Suponga que un inversionis ta desea comprar exactamente 220 acciones tipo A, 176 tipo B y 264 Tipo C comprando unidades de los tres fondos. Determine las combinaciones de unidades E, D y G que satisfagan los requerimientos del inversionista.

6. Una compañía produce 3 clases de artículos A, B, C. Para fabricarlos requiere de 3 clases de

máquinas I, II, III. Para producir 1 artículo A se requiere 1 hora de la máquina I, 1 hora de la II y 1 hora de la III. Para producir 1 artículo B se requiere 1 hora de la máquina I, 2 horas de la II y 3 horas de la III. Para producir 1 artículo C se requiere 4 horas de la máquina I, 7 horas de la II y 10 horas de la III. La máquina 1 está disponible 13 horas, la II está disponible 22 horas, y la 3 está disponible 31 horas. Encuentre cuántas unidades de cada artículo deben producirse y en qué combinaciones para uti lizar todo el tiempo disponible de las máquinas.

7. Un consumidor desea completar su consumo v itamínico en exactamente 13 unidades de

v itamina A, 22 de v itamina B y 31 de v itamina C por semana. Existen disponibles tres marcas de cápsulas v itamínicas. La marca I contiene 1 unidad de cada una de las v itaminas A, B y C; la marca II contiene 1 unidad de v itamina A, 2 de B y 3 de C; y la marca III contiene 4 unidades de A, 7 de B y 10 C. Determine las combinaciones de cápsulas de las marcas I, II y III que producirá exactamente las cantidades deseadas.

8. A una persona le prescribió el doctor tomar 10 unidades de v itamina A, 9 unidades de v itamina D

y 19 unidades de v itamina E diariamente. La persona puede elegir entre tres marcas de píldoras v itamínicas. La marca X contiene 2 unidades de v itamina A, 3 de v itamina D y 5 de v itamina E; la marca Y tiene 1, 3 y 4 unidades respectivamente; y la marca Z tiene 1 unidad de v itamina A, ninguna de v itamina D y 1 unidad de v itamina E. Encuentre todas las combinaciones posibles de píldoras que proporcionen de manera exacta las cantidades requeridas.


49

2.5.2 MODELO DE INSUMO-PRODUCTO (ENTRADA-SALIDA) DE LEONTIEF

Suponga que un sistema económico está compuesto por n industrias las

cuales tiene demandas interindustriales (entre ellas se demandan para poder producir) y demanda externa (por industrias fuera del sistema). Suponga que la

producción de cada industria es n

xxxx ,,,,321

Sean:

11a :El número de unidades que la industria 1 requiere para producir una unidad de

su propia producción, es decir la demanda unitaria de la industria 1 para sí

mismo; entonces:111

xa será la demanda total de la industria 1 sobre sí misma;

es decir, el total de unidades que necesita producir la industria 1 para lograr su

producción.

12a :La demanda unitaria que tiene la industria 2 sobre la industria 1 o lo que es lo

mismo, lo que necesita producir la industria 1 para que se pueda producir una

unidad de la industria 2, entonces: 212

xa será el total de unidades que emplea la

industria 2 de la producción de la industria 1, el número de unidades totales que

la industria 2 requiere de industria 1

13a :La demanda unitaria que tiene la industria 3 sobre la industria 1; es decir, lo que

necesita producir la industria 1 para que se pueda producir una unidad de la

industria 3, entonces: 13 3a x será el total de unidades que emplea la industria 3

de la producción de la industria 1, el número de unidades totales que la industria

3 requiere de industria 1. Ya así,

1na :La demanda unitaria que tiene la industria n sobre la industria 1 o lo que es lo

mismo, lo que necesita producir la industria 1 para que se pueda producir una

unidad de la industria n, entonces: 1n na x será el total de unidades que emplea la

industria n de la producción de la industria 1, el número de unidades totales que

la industria n requiere de industria 1.

1e :La demanda externa, lo que demandan las industrias externas de la industria 1

Suponga además que el modelo económico está en equilibrio.

Entonces, si no hay sobreproducción, para la industria 1 tenemos el siguiente planteamiento:

111313212111xexaxaxaxa

nn

Haciendo lo mismo para las otras industrias, se obtendría como

planteamiento el siguiente sistema:

11 1 12 2 13 3 1 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n n nn n n n

a x a x a x a x e x

a x a x a x a x e x

a x a x a x a x e x


50

El sistema anterior puede ser representado matricialmente de la siguiente manera:

1 1

11 12 13 1 1

2 2

21 22 23 2 2

3 3

1 2 3

n

n

n n n nn n

nn

x xa a a a e

x xa a a a e

x x

a a a a exx

O también:

1 1

11 12 13 1 1

2 2

21 22 23 2 2

3 3

1 2 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

n

n

n n n nn n

nn

x xa a a a e

x xa a a a e

x x

a a a a exx

Llamemos:

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

n n n nn

a a a a

a a a aA

a a a a

Denominada MATRIZ DE TECNOLOGÍA

1

2

3

n

x

x

x

x

X VECTOR PRODUCCIÓN

1

2

n

e

e

e

E VECTOR de DEMANDA EXTERNA

Entonces, tenemos: A IX+E = X

Agrupamos para el vector producción:

I A- X = E

La matriz I A- es llamada MATRIZ DE LEONTIEF.

El sistema tendrá solución única sólo si 1

I A

- existe.


51

Ejemplo 1

La economía de un país está dividida en tres sectores básicos, PESCA, AGRICULTURA y

MINERÍA. Para producir un millón de dólares en pesca se requiere $300000 de la misma pesca, $10000 de la agricultura y $50000 de minería (es decir para producir una unidad monetaria de pesca se requiere 0.300 unidades de pesca, 0.010 unidades de agricultura y

0.050 unidades de minería). Para producir un millón de dólares en agricultura se requiere sólo $200000 de agricultura y $20000 de minería. Y para producir un millón de dólares de minería se requiere sólo $15000 de agricultura y $100000 unidades de minería. Las

exportaciones en miles de dólares son:

Determine el valor en dólares de los productos de pesca, agricultura y minería requerida para hacer funcionar este modelo

Solución: Tabulando la información de la demanda interindustriales tenemos: UNIDADES NECESARIAS PARA PRODUCIR UNA UNIDAD DE:

PESCA AGRICULTURA MINERÍA

PESCA 0.300 0 0

AGRICULTURA 0.010 0.200 0.015 MINERÍA 0.050 0.020 0.100

Llamemos a: x=Miles de dólares en Pesca. y=Miles de dólares en Agricultura.

z=Miles de dólares en Miner ía. Como el sistema está en equilibrio, es decir:

Demanda Interna + Demanda Externa = Oferta(Producción)

Resulta e l sistema:

0.300 0 0 15000

0.010 0.200 0.015 20000

0.050 0.020 0.100 2000

x y z x

x y z y

x y z z

Podemos representarlo matricialmente de la siguiente forma:

0.300 0 0 15000

0.010 0.200 0.015 20000

0.050 0.020 0.100 2000

x x

y y

z z

Entonces la Matr iz de tecnología y la Matriz de Demanda Externa serían :

0.300 0 0

0.010 0.200 0.015

0.050 0.020 0.100

A

15000

20000

2000

E =

El vector producción

x

y

z

X = estar ía dado por:

1

I A

X - E

Al resolver se obtiene:

$ 21429

$ 25342

$ 3976

X

(miles de dólares)

PESCA 15000 AGRICULTURA 20000

MINERÍA 2000


52

Ejemplo 2

Una compañía X emplea 30% de su propia producción para comprar materia prima a una

compañía Y, y realizar pagos por deudas a la compañía Z. La compañía Y necesita una cantidad de materia prima de X equivalente a 30% de la propia producción de Y, y Z requiere materia prima de X equivalente a 20% de la propia producción de Z. Supóngase además que

X vende 5000 miles de dólares fuera de las industrias X, Y y Z. Las demandas interindustriales totales sobre Y y Z son como sigue:

( ) 0.30 0.30 0.10

( ) 0.40 0.25 0.30

sobre Y x y z

sobre Z x y z

Determine la producción (en miles de dólares) de cada compañía si las demandas finales de consumo local sobre Y y Z son de 10000 y 3000 miles de dólares, respectivamente. Suponga que la oferta es igual a la demanda.

SOLUCIÓN: El sistema que se plantea es el siguiente:

0.30 0.30 0.20 5000

0.30 0.30 0.10 10000

0.40 0.25 0.30 3000

x y z x

x y z y

x y z z

En este caso:

0.30 0.30 0.20

0.30 0.30 0.10

0.40 0.25 0.30

A

5000

10000

3000

E

Entonces:

1

$ 30279

$ 31978

$ 33008

x

y I A

z

X - E =


1. La Economía de un pequeño país se div ide básicamente en tres sectores: agricultura, manufactura y energía. Para producir 1000 unidades del sector agrícola son necesarias: 300 unidades de lo que produce este sector, 200 unidades de lo que produce el sector manufacturero y 600 unidades de energía. Para producir 100

unidades la industria manufacturera necesita: 40 unidades de los productos agrícolas, 40 unidades de su propia producción y 80 unidades de energía; para producir 50 unidades de energía son necesarias 6 unidades del producto agrícola, 15 unidades de lo que produce la industria manufacturera y 3 unidades de energía. Además se han ex portado 10 unidades de la producción agrícola, 15 unidades de productos manufactureros y 30

unidades de energía. Determine la producción de cada sector de tal manera que la oferta sea igual a la demanda.

2. Las demandas interindustriales y las demandas de consumo local finales sobre tres industrias x, y, z están

dadas a continuación. Encuentre la producción de las industrias x, y , z si ninguna de ellas tiene sobreproducción.

510,10.015.010.0)(

360,20.070.012.0)(

300,30.025.050.0)(

zyxz

zyxy

zyxx

3. Una compañía de electrónica X utiliza petróleo, que adquiere de la compañía Y, para la calefacción en su planta

y emplea electricidad, que adquiere de la compañía Z, para hacer funcionar su maquinaria. Un total de 20% de la producción de X se paga a las compañías Y y Z. Estas últimas, Y y Z requieren maquinaria de X equivalente en costo a 15% y 25% de sus propias producciones, respectiv amente. También, X v enden $10900 fuera de las industrias X, Y y Z. Las demandas interindustriales totales sobre Y y Z, y sus demandas finales de consumo

local son como sigue: (Y) 0.22X+0.30Y+0.10Z, 6160 (Z) 0.12X+0.30Y+0.05Z, 7160 Encuentre las producciones de X, Y, Z si la oferta es igual a la demanda.


53

4. La agricultura (X), la manufactura (Y) y la mano de obra y capital (Z) en un pequeño país están relacionados de la siguiente manera: 10% de la producción agrícola se emplea para pagar a las industrias manufactureras y para la mano de obra y capital; la manufactura y la mano de obra requieren productos agrícolas equivalentes a

30% y 22% de su propia producción, respectiv amente; la agricultura vende dentro del país 359 miles de dólares ajenos a la mano de obra y capital y a la manufactura. Las demandas interindustriales totales sobre “y” y “z”, junto con sus demandas finales de consumo local (en millones de dólares), son como sigue: (y ) 0.1x +0.6y +0.2z, 70

(z) 0.5x +0.1y+0.2z, 1730 Encuentre las producciones de x, y, z, en millones de dólares si la oferta es igual a la demanda.

5. La industria carbonera “X” de una ciudad emplea 20% de su ingreso para pagar deudas. La compañía de

electricidad “Y”gasta 10% de su ingreso en la compra de carbón , y la mano de obra “Z” emplea el 30% de su ingreso en la compra de carbón. Además la industria carbonera vende 1040 millones de dólares ajenos a la mano de obra y la electricidad dentro de la ciudad. Las demandas interindustriales totales sobre la compañía de electricidad y la mano de obra junto con sus demandas finales de consumo local (en millones de dólares), son

como sigue: (y ) 0.21x +0.1y+0.4z, 1690 (z) 0.1x +0.3y+0.2z, 1060 Determine las producciones de x, y, z, en millones de dólares, si la oferta es igual a la demanda.

Misceláneos


5

42

3

ayx

yx

yx

. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.

a) Si 2a entonces el sistema tiene solución única.

b) Si a , el sistema tiene infinitas soluciones.

c) Si a , el sistema es inconsistente.

d) Si 4a es inconsistente.

e) Si 5a entonces el sistema tiene solución única.

2. Una institución de pesca del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo

es de 2 unidades del alimento A, 1 del B y 5 del C. Cada semana se v ierte al lago 25000 unidades del alimento A, 20000 del alimento B y 55000 del C. Suponga que los peces se comen todo el alimento. Si hubiesen 6000 peces de la especie 3 entonces habrían: a) 10000 peces de la especie1 y 1000 de la especie 2.

b) 1000 peces de la especie1 y 10000 de la especie 2. c) 6000 peces de la especie1 y 5000 de la especie 2. d) 8000 peces de la especie1 y 6000 de la especie 2. e) 6000 peces de la especie1 y 8000 de la especie 2.


1

52

132

yx

yx

yx

Es VERDAD que: a) El sistema tiene infinitas soluciones.

b) El sistema es inconsistente.

c) El sistema tiene como única solución a 3x y 4y .

d) El sistema tiene como única solución a 4x y 3y .

e) El sistema tiene como única solución a 4x y 3y .

4. El valor de “ k ” para que el sistema

kzkyx

zyx

zyx

252

8

052

sea INCONSISTENTE, es:

a) 3 b) 0 c) –4

d) –3 e) –1


54

5. El gerente de un restaurante desea alquilar 200 juegos de platos. Una cierta clase de platos cuesta $25 el juego y otra clase cuesta $45 el juego. Si el gerente sólo desea gastar $7400, ENTONCES EL NÚMERO DE JUEGOS DE CADA CLASE DE PLATOS QUE DEBE ALQUILAR es:

a) 120 platos de $25 el juego y 80 platos de $45 el juego. b) 100 platos de $25 el juego y 60 platos de $45 el juego. c) 60 platos de $25 el juego y 100 platos de $45 el juego. d) 90 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego.

e) 80 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego.

6. Sea el sistema

azyx

zyx

zyx

23

432

52

. Entonces el VALOR de “ a ” para que el sistema sea CONSISTENTE

es: a) 1 b) 7 c) 9

d) 4 e) 0

7. Sea el sistema

3423

3523

9432

10

uzyx

uzyx

uzyx

uzyx

, entonces es VERDAD que:

a) El sistema es inconsistente.

b) El sistema tiene infinitas soluciones. c) El sistema tiene solución trivial. d) El sistema tiene solución única. e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.

8. Un turista que viaje al Mundial de Fútbol de Japón y Corea gastará $30 al día por hospedaje en la ciudad de Tokio, $20 al día en la ciudad de Seúl y $20 al día en la ciudad de Kobe. En cuanto a alimentos, el turista gastará $20 diarios en Tokio, $30 diarios en Seúl y $20 diarios en Kobe. Además por conceptos varios el turista gastará $10 en cada una de las ciudades mencionadas. Si sólo puede gastar un total de $340 por

hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Entonces el NÚMERO DE DÍAS que el turista podrá estar en Tokio, Seúl y Kobe, respectivamente es: a) 6, 4 y 4 días b) 3, 2 y 2 días

c) 1 días en las tres ciudades d) 8, 4 y 4 días e) 10, 4 y 4 días

9. Con respecto al sistema de ecuaciones

65

323

12

zyx

zyx

zyx

Es VERDAD que:

a) 5 yx

b) El sistema es inconsistente. c) El determinante de la matriz de coeficiente es 1. d) El sistema tiene solución única

e) El sistema tiene infinitas soluciones

10. Con respecto al sistema lineal:

02

0223

wzyx

wzyx

Es VERDAD que: a) Tiene única solución.

b) Una de sus soluciones es 0x , 0y , 1w , 1z

c) Su conjunto solución tiene 1 variable libre. d) Su conjunto solución tiene 2 variables libres. e) El sistema es inconsistente.


55

11. El valor de a para que el sistema

32

96)1(3

232

zyx

zyax

zyx

tenga infinitas soluciones es:

a) 3

b) 2

c) 1

d) 0

e) 2


5

42

3

kyx

yx

yx

Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,

identifíquela:

a) Si 2k entonces el sistema tiene única solución.

b) Si k el sistema tiene infinitas soluciones.

c) Si k el sistema es inconsistente.

d) Si 4k entonces el sistema tiene única solución.

e) Si 5k entonces el sistema es consistente.

13. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra para

pintarse y 21 hora de mano de obra en pulido; el modelo B requiere de 1 hora de mano de obra para cada

uno de los procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, ex isten 100 horas de

mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulido. Entonces el NÚMERO DE AUTOMÓVILES de cada modelo que pueden ser producidos cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra, es: a) 60 automóv iles del modelo A y 40 del modelo B.

b) 40 automóv iles del modelo A y 60 del modelo B. c) 45 automóv iles del modelo A y 50 del modelo B. d) 20 automóv iles del modelo A y 80 del modelo B. e) 80 automóv iles del modelo A y 20 del modelo B.

14. Un microempresario desea repartir los $8600 de ganancia con sus otros dos socios considerando que su

parte sea igual a las 32 de la parte que le corresponde a su primer socio y que la parte de su primer socio

sea igual a los 65 de la parte que le corresponde a su segundo socio. Entonces al microempresario, a su

primer socio y a su segundo socio, le corresponden respectivamente: a) $1500, $3500, $3600 b) $2000, $4000, $2600 c) $2000, $3000, $3600

d) $3000, $3000, $2600 e) $1000, $4000, $3600

15. Sea el sistema:

yxyz

zyx

yx

z

334

28

2010

5

1964

Entonces es VERDAD que:

a) El sistema es homogéneo y tiene solución triv ial. b) El sistema es inconsistente.

c) La única solución del sistema es 2;5;4 zyx .

d) No es un sistema lineal. e) El sistema tiene infinitas soluciones.

moisés villena muñoz 2 -...

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